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利用XSLT来求得Fibonacci数列问题
Fibonacci数列表示的是除第1、2位数字外，从第三位开始每一位都是前两位之和，例如：1，1，2，3，5，8，13...
XSLT(XSLT is a language for transforming XML documents into XHTML documents or to other XML documents)是转换XML的语言。在XSLT中有一些基本流程控制例如&xsl:if &&xsl:choose&&xsl:when&&xsl:otherwise&等。
我们知道要实现Fibonacci数列可以通过循环的方式或者递归调用的方式，下面给出利用XSLT来输出Fibonacci数列以及求Fibonacci的第n项值。（需要注意的是由于Fibonacci数列数值增长的非常快，所以n尽量小点）
1、输出Fibonacci数列
&?xml version="1.0" encoding="utf-8"?&
&xsl:stylesheet version="1.0"
xmlns:xsl="http://www.w3.org/1999/XSL/Transform"&
&xsl:template match="/"&
&xsl:call-template name="repeat"&
&xsl:with-param name="times" select="5" /&
&/xsl:call-template&
&/xsl:template&
&xsl:template name="repeat"&
&xsl:param name="times" select="0" /&
&xsl:param name="f1" select="1" /&
&xsl:param name="f2" select="1" /&
&xsl:if test="$times &gt 0"&
&xsl:value-of select="$f1" /&
&xsl:text& , &/xsl:text&
&xsl:value-of select="$f2" /&
&xsl:text& ,&/xsl:text&
&xsl:call-template name="repeat"&
&xsl:with-param name="times" select="$times - 1" /&
&xsl:with-param name="f1" select="$f1+$f2" /&
&xsl:with-param name="f2" select="$f2+$f1+$f2" /&
&/xsl:call-template&
&/xsl:template&
&/xsl:stylesheet&
2、Fibonacci数列第n项的值
&?xml version="1.0" encoding="utf-8"?&
&xsl:stylesheet version="1.0"
xmlns:xsl="http://www.w3.org/1999/XSL/Transform"&
&xsl:template match="/"&
&xsl:call-template name="fibonacci"&
&xsl:with-param name="n" select="$n"/&
&/xsl:call-template&
&/xsl:template&
&xsl:template name="fibonacci"&
&xsl:param name="n" /&
&xsl:choose&
&xsl:when test="$n &= 0"&
&xsl:text&0&/xsl:text&
&/xsl:when&
&xsl:when test="$n = 1"&
&xsl:text&1&/xsl:text&
&/xsl:when&
&xsl:otherwise&
&xsl:call-template name="fiboloop"&
&xsl:with-param name="fn1" select="1"/&
&xsl:with-param name="fn2" select="0"/&
&xsl:with-param name="remains" select="$n - 2"/&
&/xsl:call-template&
&/xsl:otherwise&
&/xsl:choose&
&/xsl:template&
&xsl:template name="fiboloop"&
&xsl:param name="fn1"/&
&xsl:param name="fn2"/&
&xsl:param name="remains"/&
&xsl:variable name="current" select="$fn1 + $fn2"/&
&xsl:choose&
&xsl:when test="$remains = 0"&
&xsl:value-of select="$current"/&
&/xsl:when&
&xsl:otherwise&
&xsl:call-template name="fiboloop"&
&xsl:with-param name="fn1" select="$current"/&
&xsl:with-param name="fn2" select="$fn1"/&
&xsl:with-param name="remains" select="$remains - 1"/&
&/xsl:call-template&
&/xsl:otherwise&
&/xsl:choose&
&/xsl:template&
&/xsl:stylesheet& (注：以上代码可能来源于网络，这是我在我的电脑上找出来的代码。呵呵)
【上篇】【下篇】请问一个关于Fibonacci数列的细节 - C语言当前位置:& &&&请问一个关于Fibonacci数列的细节请问一个关于Fibonacci数列的细节www.MyException.Cn&&网友分享于：&&浏览：5次请教一个关于Fibonacci数列的细节求fibonacci数列前40个数 &
#include &iostream&
#include &iomanip&
using & namespace & &
int & main() &
{long & f1,f2; &
f1=f2=1; &
for(i=1;i &=20;i++) & //题目要求输出40个数字,为什么i &=20而不是40 &
{cout & &setw(12) & &f1 & &setw(12) & &f2; &
if(i%2==0) & cout & &//每输出完4个换行,但为什么i%2,而不是i%4; &
f1=f1+f2; &
f2=f2+f1; &
system( &pause &); &
return & 0; &
谢谢------解决方案--------------------呵呵，难道你没注意到它每次循环输出两个？
cout & &setw(12) & &f1 & &setw(12) & &f2;
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12345678910 上一篇：下一篇：文章评论相关解决方案 12345678910 Copyright & &&版权所有[Fibonacci数列]悟空学艺monkey
【题目描述】
说当初大闹天宫的猴头反斗精——孙悟空来到了21世纪。当他通过时空隧道来到21世纪时才发现世界发生了翻天覆地的变化。于是他决定来中国的泰山学艺。他在海南腾云驾雾来到泰山脚下，谁知脚下却有两个人把守。他走上前对他们说：“喂！我要见你们的师傅——粉面大秃驴。”那两个人没有搭理他，反而说：“我们的师傅岂是你这个毛猴想见就见的！”孙悟空听了，心中很是愤怒，心想：当初我大闹天宫时，怕过谁！而现在却让这两个毛孩训斥，哼！给你们点厉害瞧瞧。接着，他就掏出金箍棒朝那两个人砸去。可是谁知刚砸到他们面前，却被一道光给挡了回来。原来他们的面前都有一道防护层。“哼！21世纪还用武力解决问题，白痴！”他们不懈的说，“21世纪是智慧的时代，不过，看你是孙悟空的面子上，你只要答对我们的问题，我便放你进去见我们的师傅。”悟空听了，无奈的点了点头，看来只有这样了。“好，猴头，你听好了！这里有一个桃子，我们以下列的方式对它进行变换：
①开始时，只有一个桃子；
②每一次变换，把其中的桃子变成桃子和梨，其中的梨变成桃子。&
&&&&我们用‘T’表示桃子，用‘L’表示梨，则经过无数次的变换，我们得到如下字符串“TLTTLTLTTLTTLTLTTLT……”。现在你的任务是：每次给你n个询问，每个询问为：在区间a和b之间有多少个
桃子。”孙悟空听了傻了眼，他一个从石头里蹦出来的猴子，哪会这么多东西。可是他必须要去见泰山宗，怎么办呢？看来只有求助于你们了。
【输入格式】
第一行是一个整数n，表示有n次提问，后面有n行，每行有两个整数a和b，用空格隔开。
对于100%的数据&
1&=n&=5000&
&&&&1&=a&=b&2^63
【输出格式】
共n行，每行有一个回答，表示在这个区间内有多少个桃子。
【输入样例】
【输出样例】
这道题，照规则模拟一下，发现是一个斐波那契数列。如下：
字符串：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
总长：&&&&&&&&&&&&&&
T&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
TL&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
2&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
TLT&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
3&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
TLTTL&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
5&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
TLTTLTLT&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
8&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
TLTTLTLTTLTTL&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
13&&&&&&&&&&&&&&&&&&
TLTTLTLTTLTTLTLTTLTLT&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
21&&&&&&&&&&&&&&&&&&
这样，我们发现这是一个斐波那契数列。不论是长度，还是T个数，甚到是字符串本身，都满足f[i]=f[i-1]+f[i-2]。
于是，对于一个区间[a,b]，我们可以这样算出答案：ans=T(b)-T(a-1)。前缀和相减。
由于字符串本身也满足斐波那契数列，所以T(x)可以这样求：T(x)=g(a)+g(b)+g(c)...
a、b、c...满足：f(a)+f(b)+f(c)+...=x。f(x)为斐波那契数列的长度，g(x)为此数列的T个数。
这样就很水了。
#include&cstdio&
#include&cstdlib&
#include&cstring&
#include&iostream&
long long f[100],g[100];
void prepare()
f[0]=1& f[1]=1
g[0]=0& g[1]=1
for (int i=2; i&92; i++)
f[i]=f[i-1]+f[i-2],g[i]=g[i-1]+g[i-2];
long long work(long long x)
&&& long long
&&& for (int
i=91; i&=0; i--)
if (f[i]&=x)
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
tmp+=g[i];
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& return
int main()
freopen("monkey.in","r",stdin);
freopen("monkey.out","w",stdout);
prepare();
long long a,b;
cin&&a&&b;
long long ans=work(b)-work(a-1ll);
cout&&ans&&
fclose(stdin);
fclose(stdout);
&&& 成绩：
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Fibonacci数列在初等数学上的应用
Fibonacci 数列在初等数学上的应用作者：摘 要意 大 利 数 学 家 比 萨 的 列 奥 纳 多 ， 又 称 斐 波 那 契 （ Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175 年-1250 年）在一本题为《算盘 书》的数学著作中，给出了著名的 Fibonacci 数列。它的许多有趣性质，引 起了许多人的兴趣，由于它在数论 、几何 、概率、数 据处理、信息检索 等数学中有很 多应用 ，因此有人说 ：Fibonacci 以他的兔子问题猜中了大 自然的奥秘，本文主要研究了元素为广义 Fibonacci 数的行列式的性质以及 广义 Fibonacci 数在初等数学上的应用，给出了一些有用的结果. 关键词 ：Fibonacci 数列；递归序列目录123 4Fibonacci 数列的引入................................................... 3 1.1 有趣的兔子问题 ................................................... 3 1.2 应用辗转相除法 ................................................... 3 1.3 一些其他问题 ..................................................... 3 Fibonacci 数列的基本定义和性质......................................... 4 2.1 Fibonacci 数列的定义 .............................................. 4 2.2 Fibonacci 数列的性质 .............................................. 6 Fibonacci 数列更广义的定义及其性质.................................... 11 元素为广义 Fibonacci 数列的行列式的性质 ............................... 131 Fibonacci 数列的引入1.1 有趣的兔子问题有这样一个有趣的问题： “有人养了一对兔子，一个月后长大并开始每月生下一对小兔 子。新的每对小兔子也是按此规律繁衍. 若兔子都不死亡，问一年后总共有多少对兔子？” 这是一道很有意思的算术问题，结果也不难逐月算出来，但对由此问题产生出来的 Fibonacci 数列的研究至今仍有相当价值，它最早出自 1202 年，意大利比萨市的数学家费波 那契写的一本书《算经》中. 由于 Fibonacci 数列在理论上的严谨性及应用上的广泛性，近 年来越来越引起人们的研究兴趣. 1963 年开始出版的专门性杂志《Fibonacci Quarterly》标志 着对其性质及应用研究进入了一个崭新的历史阶段 . 在我国自八十年代以来也加大了对它 的研究力度，主要标志是一批中青年数学工作者加入研究行列，陆续发表了一些研究文章. 出版两部专著：吴振奎教授的《斐波那契数列》 ，周持中教授的《Fibonacci 数，Lucas 数及其 应用》.1.2应用辗转相除法Fibonacci 数列的应用是研究工作中的一个重要方面，早在 1854 年，法国数学家拉姆就 利用 Fibonacci 数列证明了 “应用辗转相除 （欧几里得除法） 法的步骤 （既辗转相除的次数） 不大于较小的那个数的位数的五倍”.这是 Fibonacci 数列第一次有价值的应用. 后来，鲁卡 斯利用 Fibonacci 数列的性质证明 2127-1 是一个质数.这在当时是人们所知的最大素数.1.3一些其他问题它的完美的前后项之比的极限 ( 5 ? 1) / 2 使其在历史上赢得黄金分割的美誉 .古埃及的金字古希腊雅典的他农神庙、 巴黎的圣母院、 印度的泰姬陵以至近世纪的埃菲尔铁塔等 建筑中都有不少与黄金分割率相关的尺寸数据；桌面的长宽比、围巾的折叠围起位置、报幕 员在前台上午站立点， 以至弦乐器琴弦下声码的放置点也都以黄金分割点最佳. 运筹学方面 单因数优选法中的 “分数法” 则是一种直接应用费波那契数列作为试验区间长度序列的方法， 它可以做到在尽量少的试验次数内寻求出最佳的投产方案 . 费波那契数列还在估计辗转相 除法的步骤， 表示真分数为单位分数之和以及发现梅森素数等方面显示了威力. 它甚至还被 应用到平面正方形铺砌、火柴游戏、象棋马步以及一些几何图形的研究方面. 更有趣的是： 植物的生长也与费波那契数列有关.2 Fibonacci 数列的基本定义和性质2.1 Fibonacci 数列的定义文献[3]探讨了 Fibonacci 数列在研究一些特殊行列式值方面的应用，为了后文讨论的需 要本文将其叙述如下： 定义 1[1 ]满足递推关系 Fn ? Fn?1 ? Fn?2 ，及初始条件 F0 =1， F1 =1 的关系式称为?Fibonacci 关系式， F0 ， F1 ， F2 ,? Fn ,? 称为 Fibonacci 数， ?Fn ?0 称为 Fibonacci 数列， 即 1，1，2，3，5，8，13，21， 34 ? 该数列的通项为 ? n (n ? 0,1,2,?) ，那么 ? 0 =1， ?1 =1，且 ? i = ? i ?1 + ? i ?2 ， (i ? 2) ， 并且我们知道该数列的通项公式为?n = ? n 还有一些其他的表达式11 ? 5 n?1 1 ? 5 n?1 [( ) ?( ) ]. 2 2 5(a)? n ?1? r ? ? ?n = ?? ? ? ， (n ? 1) ， r ?0 ? r ?(b)?F ? ? n ?1 Fn ? ?1 ?n = ? ?=? ? ? Fn Fn ?1 ? ?1 ? ?1 ?1 1 1 ?1 1 1 ?1? ? ， 1? ?n(n ? 2) ，(c)?n =，(n ? 2) .(d)? ? 1 ?1 1[3] 费波那契数列还有很多有趣的性质： 1. Fn?1 Fn?1 ? F 2.2 n? (?1) n ；?Fk ?1nk? Fn?2 ? 1 ；3.? F2k ? F2n?1 ? 1， ? F2k ?1 ? F2n ；k ?1 k ?1nn4.；?Fk ?1n2k? Fn Fn?1 ；5. F 2 n ?1 ? F 2 n?1 ? F2 n ； 6. Fm Fn ?1 ? Fm?1 Fn ? Fm? n ； 7. Fn?1 Fn?3 ? Fn Fn ? 2 ? 2(?1) n ；2 2 8. F n + F n ?1 = F2 n ?1 .费波那契数列还有一些更深刻的性质，比如它的数论性质、倒数性质、与连分数及循环小数 的关联等等.也正因为它的这些性质， 使得它在许多方面有着广泛的应用. 这里对这些性质暂 时不加研究. 在高等代数中 n 阶行列式? ??Dn ?1 0 ? 0?? ? ??1 ? 00?00 0 0?? ? 0 ? ?? ? 0? 0?? ? ? ? 1 ? ??? n?1 ? ? n ?1 ? ??(? ? ? )将行列式 Dn 按第一行展开可得：Dn ? (? ? ? ) Dn?1 ? ?? Dn?2 ，若令 ? ? ? =1， 则上面的递推关系式变为： 且易知 D1 =1， ?? = ? 1 ， Dn ? Dn?1 + Dn?2 ， 如果再令 D0 ? 1，那么易见数列 ?Dn ? 与 ?? n ?完全相同. 从而有：1?10?0 0 00 0 01 1 ?n = 0 1 ? ? 0 0?1 ? 1 ?? ? ? ? 0 ? 1 1这就是说 Fibonacci 数列的通项可以用行列式来表示，同上(d)式. 这样就把行列式和 Fibonacci 数列两个似乎风马牛不相及的东西有机地联系在一起了. 我们可以利用矩阵对 Fibonacci 数列的性质进行证明. 其中 A ? ? ? 矩阵?1 1 ? ? ? 称为 Fibonacci ?1 0 ?2.2性质 1Fibonacci 数列的性质[5]Fn?1 Fn?1 ? F 2 n ? (?1) n ；证明： A n ? (?1) n 即得[5]性质 2?Fk ?1nk? Fn?2 ? 1证明：? ( I ? A) ( A ? A2 ? ? ? An ) ? A( I ? An )( I ? A) ?1 ? ? A? A ? A2 ? ? ? An ? An?2 ? A2??Fk ?1 n k ?1nk? Fn?2 ? 1n性质 3[5]? F2k ? F2n?1 ? 1 ， ? F2k ?1 ? F2nk ?1证明： ( I ? A2 ) ( A2 ? A4 ? ? ? A2n ) ? A2 ( I ? A2 n )2 又? I ? A ? ? A? A 2 ? A 4 ? ? ? A 2 n ? A 2 n?1 ? A? ? F2 k ? F2n?1 ? 1k ?1nn?Fk ?1 n2 k ?1? F2 n性质 4[5]?Fk ?12k? Fn Fn?1(n ? 2)证明：由 An ? Fn A ? Fn?1 I2Fn An ? Fn A ? Fn ? Fn?1 I同样Fn?1 An?1 ? Fn?1 A ? Fn?1 ? Fn?2 I ?2F2 A2 ? F2 A ? F2 F1 I把这些式子相加2Fn A n ? Fn?1 An?1 ? ? ? F2 A2 ? ( Fn ? F 2 n?1 ? ? ? F2 ) A ? (Fn ? Fn?1 ? ? ? F2 F1 )I? ? F 2 k ? Fn Fn?1k ?1 n22上面我们用行列式表示了 Fibonacci 数列的通项，下面考虑一个 n 阶行列式的元素都是 Fibonacci 数列的项时， n 阶行列式值的情形. 首先考察 n 阶行列式：?0 ?1 ? ? n ?1当 n ? 3 时，由 ? i = ? i ?1 + ? i ?2 列式(1)变为：?1 ?2 ? ?n?2 ?3 ?? ? ?? n ?1 ?n ?(1)? n ?1 ? ? 2 n ? 2(i ? 2) ，将行列式(1)的第一列加到第二列上去，则行?0 ?1 ? ? n ?1?2 ?3 ? ? n ?1?2 ?3 ?? ? ?? n ?1 ?n ?( 1? )? n ?1 ? ? 2 n ? 2? 行列式( 1?) 的第二列与第三列完全相同，? 当 n ? 3 时，行列式( 1? )为 0，即行列式(1)为 0；当 n =2， n =1 时易见行列式(1)均为 1. 从而得到下面的结论：?0命题 1?1 ?2 ? ?n?2 ?3 ? ? n ?1n 阶行列式?1 ? ? n ?1? , ?1, ( n ? 1） ? ?n ? = ?1, （n ? 2), ? ? ? 0. ( n ? 3). ? ? 2n?2 ? ??? n ?1下面再考察 n 阶行列式?0 ?2 ?4 ? ? 2n?2?1 ?3 ?5 ? ? 2 n ?1?2 ?4 ?6 ? ? 2n? ? ? ?? n ?1 ? n ?1 ? n ?3 ?(2)? ? 3 n ?3当 n ? 3 时，将行列式(2)的第一列加到第二列上去可得到第二列与第三列完全相同， 从而行列式为 0；当 n =2， n =1 时易见行列式(2)均为 1. 从而得到下面的结论： 命题 2 n 阶行列式?0 ?2 ?4 ? ? 2n?2?1 ?3 ?5 ? ? 2 n ?1?2 ?4 ?6 ? ? 2n? ? ?, ? n ?1 ?1 (当n ? 1时） ? ? ? n ?3 = ?1（当n ? 2时), ? ? ? ?0 (当n ? 3时). ? ? ? 3 n ?3? n ?1由上面两个命题我们得到启发： 只要行列式每行 n 个元素是 Fibonacci 数列连续的 n 项， 那么这类行列式当 n ? 3 时必为 0. 即有下面的结论： 命题 3 设 a1 , a2 ,?, an 是任意非负整数，当 n ? 3 时， n 阶行列式：? a1 ? a2 ? ? an? a1 ?1 ? a2 ?1 ? ? an ?1? a1 ? 2? ? a1 ? n ?1(3)? a2 ? 2 ? ? a2 ? n ?1 =0 ? ? ? ? an ? 2 ? ? an ? n ?1证明：将第一列加到第二列上去，则第二列与第三列完全相同，所以当 n ? 3 时，行列 式为 0. 上面我们讨论的行列式的每一行的元素在 Fibonacci 数列中的位置是连续的，下面考虑 每行元素在数列中的位置是不连续的情形. 先考虑行列式：?0 ?2 ?4 ? ? 2n?2?2 ?4 ?6 ? ? 2n?4 ?6 ?8 ?? ? 2n?2 ? ? 2n ? ? 2n?2 ? ?(4)? 2n?2 ? ? 4n?4因为 ? 2 n ? 2 ? ? 2 n ?1 ? ? 2 n ，所以 ? 2 n ? 2 ? ? 2 n ? ? 2 n ?1 ， 先将行列式(4)的第二列乘(-2)加到第三列上再将第一列加到第二列上去可得：?0 ?2 ?4 ? ? 2n?2?2 ?4 ?6 ? ? 2n?2 ?4 ?6 ?? ? 2n?2 ? ? 2n ? ? 2n?2 ， ? ?? 2n ? ? 4n?4此行列式有两列相同，则行列式必为 0. 所以有下面的结论： 命题 4 当 n ? 3 时， n 阶行列式?0 ?2 ?4 ? ? 2n?2一般地有先面的结论：?2 ?4 ?6 ? ? 2n?4 ?6 ?8 ?? ? 2n?2 ? ? 2n ? ? 2 n ? 2 =0 ? ?? 2n?2 ? ? 4n?4命题 5 设 a1 , a2 ,?, an 是任意非负整数， r 为不小于 1 的整数，当 n ? 3 时， n 阶行列 式? a1 ? a2 ? ? an的值为零. 证明：因为? a1 ? r ? a2 ? r ? ? an ? r? a1 ? 2 r ? a2 ? 2 r ? ? an ? 2 r? ? a1 ? ( n ?1) r ? ? a2 ? ( n ?1) r ? ? ? ? an ?( n ?1) r(5)? a1 ?2r ? ? a1 ? 2 r ?1 ? ? a1 ?2r ?2? 2? a1 ?2r ?2 ? ? a1 ?2r ?3? 3? a1 ?2r ?3 ? 2? a1 ?2r ?4? 4? a1 ?2r ?4 ? 3? a1 ?2r ?5? ??? ? r ? a1 ?r ? ? r ?1? a1 ?r ?1所以 ? a1 ?2r ? ? r ? a1 ?r ? ? r ?1? a1 ?r ?1(i ? 1,2,?, n) (i ? 1,2,?, n)因此将行列式(5)的第二列的( ? ? r )倍加到第三列上去，行列式(5)变为：? a1 ? a2 ? ? an ? a1==========? a1 ? r ? a2 ? r ? ? an ? r ? a1 ? r ? a2 ? r ? ? an ? r ? a1? r ?1 ? a1 ? r ?1 ? ? a1 ? ( n ?1) r ? r ?1 ? a2 ? r ?1 ? ? a2 ? ( n ?1) r ? ? ? ? r ?1 ? an ? r ?1 ? ? an ? ( n ?1) r ? a1 ? r ?1 ? ? a1 ? ( n ?1) r ? a2 ? r ?1 ? ? a2 ? ( n ?1) r ? ? ? ? an ? r ?1 ? ? an ? ( n ?1) r ? a1 ? r ? 2 ? a2 ? r ? 2 ? ? an ? r ? 2 ? a1 ? r ?1 ? ? a1 ? ( n ?1) r ? a2 ? r ?1 ? ? a2 ? ( n ?1) r ? ? ? ? an ? r ?1 ? ? an ? ( n ?1) r? r ?1? a2 ? ? an?a 将第三列的（? 1 ）倍 ? r ?1 2 ? 加到第二列上去 ? an? a1==========? a1 ? r ? 2 ? a2 ? r ? 2 ? ? an ? r ? 2? a1 ? r ?3? ? a1 ? ( n ?1) r? r ?1? a2 ? ? an? a2 ? r ?3 ? ? a2 ? ( n ?1) r ? ? ? ? an ? r ?3 ? ? an ? ( n ?1) r? ??这样一直下去，因为 r 是自然数，所以经过有限次的变换之后，行列式的第二 列或者第三列总会变得与第一列相同，因此，当 n ? 3 时，行列式(5)为 0.以上所讨论的行列式的每行元素的下标都是有规律变化的， 对于元素的下标无规律的变 化所得到的行列式也可以通过若干次的恒等变换将第二列或第三列变为与第一列相同， 从而 n ? 3 D=0. 故当 时， n 阶行列式 D=0. 本文的目的是探讨与广义 Fibonacci 数列相类似的结果，为此首先叙述广义 Fibonacci 数 列.3 Fibonacci 数列更广义的定义及其性质上面我们通过对 Fibonacci 数列的研究，定义较 Fibonacci 数列更为一般的数列形式：广 义 Fibonacci 数列. 定义 2[11]如果序列 {Fn }? n ? bF n?1 ， a, b ? R ， n ? 1,2, ?, 且 n?0 是满足方程 Fn?1 ? aFF0 ? p, F1 ? q ； p 2 ? q 2 ? 0 ； p, q ? R ，则称序列 {Fn }? n?0 为广义 Fibonacci 数列.广义 Fibonacci 数列的任一项都是它的前两项之线性组合，初始两项是两个非零常数.如 果广义 Fibonacci 数列中的四个常数 a, b, p, q 都等于 1， 则变为 Fibonacci 数列. Fibonacci 数列 的数论性质一直引起人们的广泛关注，所以有必要探讨广义 Fibonacci 数列的数论性质. 为求得广义 Fibonacci 数列的通项，现引入特征方程，特征根等有关知识. 定义 3[6]对于数列 U n ? a 1U n?1 ? a2U n?2 ? ? ? a k U n ?k 有：?k ? a1?k ?1 ? a2 ?k ?2 ? ?? ak =0， a k ? 0，称为数列 {U n } 的特征方程. 它在复数域上的 k 个根称为该数列的特征根.定理 1[6]设数列 U n ? a 1U n?1 ? a2U n?2 ? ? ? a k U n ?k ， a k ? 0， n ? k , k ? 1,? 的特征根为 ?1 ， ?2 ,?, ?t ，重数依次为 l1 , l 2 ,?, lt ，则数列通项为：n i n 其中 C10 ,?, C1l1 ?1 ,?, Ct 0 ,?, Ctlt ?1 U n ? ? C1i n i ?1 ? ? C 2i n i ?n 2 ? ? ? ? Cti n ?t ， i ?0 i ?0 i ?0 l1 ?1 l2 ?1 lt ?1共 k 个数完全由初始值 U 0 ,U1 ,?,U k ?1 所确定. 下面我们来求广义 Fibonacci 数列的通项. 因为广义 Fibonacci 数列为 Fn?1 ? aFn ? bFn?1 ，且 F0 ? 0, F1 ? 1 ，2 所以其特征方程为 ? ? a? ? b ? 0a ? a 2 ? 4b a ? a 2 ? 4b 特征根为 ?1 ? ， ?2 ? 于是有： 2 22 1） 当 ? ? a ? 4b ? 0 时，n Fn ? C1?1 ? C2 ? n 2 ，其中 C1 , C 2 满足?0 ? C1 ? C 2 ? ?1 ? C1?1 ? C 2 ?2即 C1 ?1 a ? 4b2， C2 ? ?1 a ? 4b2，从而Fn ?1 a 2 ? 4b[(a ? a 2 ? 4b n a ? a 2 ? 4b n ) ?( ) ] 2 22） 当 ? ? a 2 ? 4b ? 0 时，Fn ? (C1 ? C2 n)? n ，其中 ? ?2 a C 2 = ，从而 Fn ? n( ) n ?1 a 2a a ， C1 , C2 满足 C1 =0，且 1= (C1 ? C 2 ) ，即 C1 =0， 2 2对 于 广 义 Fibonacci 数 列 之 增 长 率 数 列 {U }? n n?1?F ? F ? ? n ?1 ? ， 因 为 U n ? n ?1 Fn ? Fn ? n ?1??aFn ? bFn ?1 1 1 2 U i m Un ， =a ?b ， 设U ? L 则有 U ? a ? b ， 即 U ? aU ? b ? 0 ， n ? ? U Fn U n ?1 a ? a 2 ? 4b . 22 是方程 x ? ax ? b ? 0 的根，此时负根没有意义，所以 U ?上面我们对广义 Fibonacci 数列的通项进行求解，下面我们对一般的递归数列求通项， 并讨论它与行列式的联系. 已知数列 ?M n ?满足递归关系：M n ? 3M n?2 ? 2M n?3及初值 M 0 ? 4, M 1 ? 7, M 2 ? 9, 求此递归关系.(n ? 3)解 ： 特 征 方 程 ： x ? 3x ? 2 ? ( x ? 2)(x ? 1) ? 0 的 根 为 q0 ? 2, q1 ? ?1 . 重 数 为2 2r1 ? 1, r2 ? 2 .故 M n ? C1 ? 2 ? (C2 ? C3 n) (?1) .代入初值.n n?C1 ? C 2 ? 4 ?C1 ? 3 ? ? 得方程组： ?2C1 ? C 2 ? C 3 ? 7 ? ?C 2 ? 1 ?4C ? C ? 2C ? 9 ?C ? ?2 2 3 ? 1 ? 3得通项公式M n ? 3 ? 2 n ? (1 ? 2n)(?1) n .4 元素为广义 Fibonacci 数列的行列式的性质类似 Fibonacci 数列的研究方法， 我们考虑一个 n 阶行列式的元素都是数列 ?M n ?的项， n阶 行列式值的情形. 首先考察 n 阶行列式：M0M1 M2 M3 ? MnM2 M3 M4 ? M n ?1M3 M4 M5 ?? ? ? ?M n ?1 Mn M n ?1 ?（I）Dn ?M1 M2 ? M n ?1M n?2 ? M 2 n?2(n ? 3) ，将行列式（I）的第二列乘以 3，再当 n ? 4 时，由 M n ? 3M n?2 ? 2M n?3将第一列的 2 倍加到第二列上，则行列式（I）变为：M0 M1 M2 ? M n ?1 M0==========3M 1 ? 2 M 0 3M 2 ? 2 M 1 3M 3 ? 2 M 2 ? 3M n ? 2 M n ?1 M3 M4 M5 ? M n?2 M2 M3 M4 ? M n ?1M2 M3 M4 ? M n ?1 M3 M4 M5 ?M3 M4 M5 ? ? ? ? ?? ? ? ? M n ?1 Mn M n ?1 ?M n ?1 Mn M n ?1 ?( I ?)M n?2 ? M 2n?2M1 M2 ? M n ?1M n?2 ? M 2n?2因为行列式第二列与第四列完全相同， 所以当 n ? 4 时， 行列式 ( I ?) 为 0， 即行列式 （I） 为 0，从而有下面的结论： 命题 1? n 阶行列式，当 n ? 4 时M0 M1 M2 ? M n ?1下面再考察 n 阶行列式：M1 M2 M3 ? MnM2 M3 M4 ? M n ?1M3 M4 M5 ?? ? ? ?M n ?1 Mn M n ?1 =0， ?M n?2 ? M 2 n?2M0 M2 M4 ? M 2 n?2M1 M3 M5 ? M 2 n ?1M2 M4 M6 ? M 2nM3 M5 M7 ?? ? ? ?M n ?1 M n ?1 M n ?3 ?（II）M 2 n ?1 ? M 3n ?3当 n ? 4 时，将行列式（II）的第二行乘以 3，再将第一列的 2 倍加到第二列上，得到行 列式第二列与第四列完全相同，所以当 n ? 4 时，行列式为 0，从而的大批下面的结论： 命题 2? n 阶行列式，当 n ? 4 时M0 M2 M4 ? M 2 n?2M1 M3 M5 ? M 2 n ?1M2 M4 M6 ? M 2nM3 M5 M7 ?? ? ? ?M n ?1 M n ?1 M n ?3 =0 ?M 2 n ?1 ? M 3n ?3由此我们得到启发，只要行列式每行 n 个元素是数列 ?M n ?连续的 n 项，那么这类行列 式当 n ? 4 时必为 0.即有下面的结论： 命题 3 ? 设 b1 , b2 ,?, bn 是任意非负整数，当 n ? 4 时， n 阶行列式M b1 M b2 M b3 ? M bnM b1 ?1 M b2 ?1 M b3 ?1 ? M bn ?1M b1 ? 2 M b2 ? 2 M b3 ? 2 ? M bn ? 2M b1 ?3? M b ? n ?1（III）M b2 ?3 ? M b2 ? n ?1 M b3 ?3 ? M b3 ? n ?1 =0 ? ? ? M bn ?3 ? M bn ? n ?1证明：将第二列乘以 3，再将第一列的 2 倍加到第二列上，则第二列与第四列完全相同. 所以当 n ? 4 时，行列式为 0. 上面我们讨论的是行列式的每一行元素在数列 ?M n ?中的位置是连续的，下面考虑每行 元素不连续的情形.考察行列式：M0 M2 M4 ? M 2n?2M2 M4 M6 ? M 2nM4 M6 M8 ? M 2n?2M6 M8 M 10 ?? M 2 n?2 ? M 2n ? M 2n?2 ? ?（IV）M 2n? 4 ? M 4 n?4因为 M n ? 3M n?2 ? 2M n?3 ，所以 M n ? 3M n?2 ? 2M n?3 将第三列的（-6）倍加到第四列上，再将第二列的 9 倍加到第四列上，得到：M0 M2 M4 ? M 2n?2M2 M4 M6 ? M 2nM4 M6 M8 ? M 2n?22M 0 2M 2 2M 14 ?? M 2n?2 ? M 2n ? M 2n?2 ? ?2M 2 n ?2 ? M 4 n?4此行列式有两列相同，则行列式必为 0.所以有下面的结论： 命题 4? 当 n ? 4 时， n 阶行列式：M0 M2 M4 ? M 2n?2一般地有下面的结论：M2 M4 M6 ? M 2nM4 M6 M8 ? M 2n?2M6 M8 M 10 ?? M 2 n?2 ? M 2n ? M 2 n ? 2 =0 ? ?M 2n? 4 ? M 4 n?4命题 5 ? 设 b1 , b2 ,?, bn 是任意非负整数， r 为不小于 1 的整数，当 n ? 4 时， n 阶行列式M b1 M b2 M b3 ? M bn的值为零. 证明：因为M b1 ? r M b2 ? r M b3 ? r ? M bn ? rM b1 ? 2 r M b2 ? 2 r M b3 ? 2 r ? M bn ? 2 rM b1 ?3r M b2 ?3r M b3 ?3r ? M bn ?3r? M b ? ( n ?1) r ? M b2 ? ( n ?1) r ? M b3 ?( n ?1) r ? ? ? M bn ?( n ?1) r（V ）M b1 ?2r ? 3M b1 ?2r ?2 ? 2M b1 ?2r ?3= 2M b1 ?2r ?3 + 9M b1 ?2r ?4 ? 6M b1 ?2r ?5 = 9M b1 ?2r ?4 ? 12M b1 ?2r ?5 ? 4M b1 ?2r ?6 = 12M b1 ?2r ?5 ? 31M b1 ?2r ?6 ? 18M b1 ?2r ?7 = =??Br ?1M b1 ?r ? Br M b1 ?r ?1 ? 2Br ?2 M b1 ?r ?2这里引入数列 ?Bn ?，其中 B1 ? 3, B2 ? 2, B3 ? 9, Bn ? 3Bn?2 ? 2Bn?3 ， 从而 M b1 ? 2r ? Br ?1M b1 ?r ? Br M b1 ?r ?1 ? 2Br ?2 M b1 ?r ?2M b1 ?3r ? 3M b1 ?3r ?2 ? 2M b1 ?3r ?3=??= Br ?1M b1 ?r ? Br M b1 ?r ?1 ? 2Br ?2 M b1 ?r ?2 =??= B2r ?1 M b1 ?r ? B2r M b1 ?r ?1 ? 2B2r ?2 M b1 ?r ?2 从而 M b1 ?3r ? B2r ?1 M b1 ?r ? B2r M b1 ?r ?1 ? 2B2r ?2 M b1 ?r ?2 . 因此将行列式（V）的第二列的 (?Br ?1 ) 倍加到第三列，将第二列的 (? B2 r ?1 ) 倍加到第 四列，行列式（V）变为：M b1 M b2 M b3 ? M bnM b1 ? r M b2 ? r M b3 ? r ? M bn ? rBr M b1 ? r ?1 ? 2 Br ? 2 M b1 ? r ? 2 Br M b2 ? r ?1 ? 2 Br ? 2 M b2 ? r ? 2 Br M b3 ? r ?1 ? 2 Br ? 2 M b3 ? r ? 2 ? Br M bn ? r ?1 ? 2 Br ? 2 M bn ? r ? 2 M b1 M b2 ? M b3 ? M bn M b1 M b2 ? M b3 ? M bn M b1 M b2 ? M b3 ? M bn M b1 M b2 ? M b3 ? M bn M b1 ? r M b2 ? r M b3 ? r ? M bn ? r M b1 ? r M b2 ? r M b3 ? r ? M bn ? r M b1 ? r M b2 ? r M b3 ? r ? M bn ? r M b1 ? r M b2 ? r M b3 ? r ? M bn ? r Br M b1 ? r ?1 Br M b2 ? r ?1 Br M b3 ? r ?1 ? Br M bn ? r ?1 Br M b1 ? r ?1 Br M b2 ? r ?1 Br M b3 ? r ?1 ? Br M bn ? r ?1B2 r M b1 ? r ?1 ? 2 B2 r ? 2 M b1 ? r ? 2 B2 r M b3 ? r ?1 ? 2 B2 r ? 2 M b3 ? r ? 2? M b ?( n ?1) r ? M b3 ?( n ?1) rB2 r M b2 ? r ?1 ? 2 B2 r ? 2 M b2 ? r ? 2 ? M b2 ?( n ?1) r ? ? ? B2 r M bn ? r ?1 ? 2 B2 r ? 2 M bn ? r ? 2 ? M bn ?( n ?1) r B2 r M b1 ? r ?1 ? M b ?( n ?1) r B2 r M b2 ? r ?1 ? M b2 ?( n ?1) r B2 r M b3 ? r ?1 ? M b3 ? ( n ?1) r ? ? ? B2 r M bn ? r ?1 ? M bn ? ( n ?1) r 2 B2 r ? 2 M b1 ? r ? 2 ? M b ?( n ?1) r 2 B2 r ? 2 M b2 ? r ? 2 ? M b2 ?( n ?1) r 2 B2 r ? 2 M b3 ? r ? 2 ? M b3 ?( n ?1) r ? ? ? 2 B2 r ? 2 M bn ? r ? 2 ? M bn ?( n ?1) r B2 r M b1 ? r ?1 ? M b ?( n ?1) r B2 r M b2 ? r ?1 ? M b2 ?( n ?1) r B2 r M b3 ? r ?1 ? M b3 ?( n ?1) r ? ? ? B2 r M bn ? r ?1 ? M bn ?( n ?1) r 2 B2 r ? 2 M b1 ? r ? 2 2 B2 r ? 2 M b3 ? r ? 2 ? M b ?( n ?1) r ? M b3 ?( n ?1) r 2 B2 r ? 2 M b2 ? r ? 2 ? M b2 ?( n ?1) r ? ? ? 2 B2 r ? 2 M bn ? r ? 2 ? M bn ?( n ?1) r2 Br ? 2 M b1 ? r ? 2 2 Br ? 2 M b2 ? r ? 2 2 Br ? 2 M b3 ? r ? 2 ? 2 Br ? 2 M bn ? r ? 2 2 Br ? 2 M b1 ? r ? 2 2 Br ? 2 M b2 ? r ? 2 2 Br ? 2 M b3 ? r ? 2 ? 2 Br ? 2 M bn ? r ? 2M b1 M b2= 2 Br B2 r ? 2 M b3M b1 ? r M b2 ? r M b3 ? r ? M bn ? rM b1 ? r ?1 M b2 ? r ?1 M b3 ? r ?1 ? M bn ? r ?1M b1 ? r ? 2 M b3 ? r ? 2 ? M bn ? r ? 2? M b ?( n ?1) r ? M b3 ?( n ?1) r ? ? ? M bn ?( n ?1) rM b2 ? r ? 2 ? M b2 ?( n ?1) r? M bnM b1 M b2 ? 2 Br ? 2 B2 r M b3 ? M bnM b1 ? r M b2 ? r M b3 ? r ? M bn ? rM b1 ? r ? 2 M b2 ? r ? 2 M b3 ? r ? 2 ? M bn ? r ? 2M b1 ? r ?1 ? M b ?( n ?1) r M b2 ? r ?1 ? M b2 ?( n ?1) r M b3 ? r ?1 ? M b3 ?( n ?1) r ? M bn ? r ?1 ? ? ? M bn ?( n ?1) r利用公式 M b1 ?r ? 3M b1 ?r ?2 ? 2M b1 ?r ?3M b1 M b2对于行列式M b1 ? r M b2 ? r M b3 ? r ? M bn ? r M b1 ? r ?3 M b2 ? r ?3 M b3 ? r ?3 ? M bn ? r ?3 M b1 ? r ?3 M b2 ? r ?3 M b3 ? r ?3 ? M bn ? r ?3M b1 ? r ?1 M b2 ? r ?1 M b3 ? r ?1 ? M bn ? r ?1 M b1 ? r ?1 M b2 ? r ?1 M b3 ? r ?1 ? M bn ? r ?1 M b1 ? r ? 4 M b2 ? r ? 4 M b3 ? r ? 4 ? M bn ? r ? 4M b1 ? r ? 2 M b3 ? r ? 2 ? M bn ? r ? 2 M b1 ? r ? 2 M b3 ? r ? 2 ? M bn ? r ? 2 M b1 ? r ? 2 M b3 ? r ? 2 ? M bn ? r ? 2? M b ?( n ?1) r ? M b3 ?( n ?1) r ? ? ? M bn ?( n ?1) r ? M b ?( n ?1) r ? M b3 ?( n ?1) r ? ? ? M bn ?( n ?1) r ? M b ?( n ?1) r ? M b3 ? ( n ?1) r ? ? ? M bn ? ( n ?1) rM b2 ? r ? 2 ? M b2 ?( n ?1) rM b3 ? M bn M b1 M b2= M b3将第四列的（-3）倍加到第二列上，得到行列式（常数提出） ：M b2 ? r ? 2 ? M b2 ?( n ?1) r? M bn M b1 M b2= M b3再将第二列的（-3）倍加到第三列上，得到行列式（常数提出） ：M b2 ? r ? 2 ? M b2 ?( n ?1) r? M bn=== ?? 这样一直进行下去，因为 r 是自然数，所以 有限次的变换后，行列式的第二列或第三列或第四列总会变得与第一列相同，因此，当 n ? 4 时，行列式为 0. 以上所讨论的行列式的每行元素的下标是有规律变化的，对于元素的下标无规律的变 化所得到的行列式的情况在这里我们就不再进行讨论. 此外, 广义 Fibonacci 数列还有助于解决高中数学中的相关问题: 某君举步上高楼,每跨一次或上一个台阶或上二个台阶, 或上三个台阶,问有多少种不同 的方式上高楼? 解?14 ?:设登上 n 个台阶的方式数为 f n ,则显然有 f1 ? 1 (即登上一个台阶只有一种方式),f 2 ? 2 (即登上两个台阶有两种方式), f 3 ? 4 (即登上三个台阶有四种方式).f n = f n?1 ? f n?2 ? f n?3 (n ? 3, n ? N ) ,分析如下:因为在登上 n 个台阶的所有方式中 ,跨第一步只有三种可能性 ,(1)第一步跨一 个台阶,后面登 n ? 1 个台阶的方式有 f n ?1 个, (2)第一步跨二个台阶,后面登 n ? 2 个台阶的方 式有 f n?2 个, (3)第一步跨三个台阶,后面登 n ? 3 个台阶的方式有 f n?3 个. 由此得到以上的广 义 Fibonacci 数列. 对上 式我们可 以进行推广 : 即将横线处 改为 ” 或上 n 个 台阶 ”, 或在该横 线后加上 ”?, 或上 n 个台阶”,都可以用广义 Fibonacci 数列来求解.例: 某一楼梯有 12 级台阶,若上楼梯时可以一步上 1 个台阶,也可以一步上 2 个台阶,则上 此楼梯的方法有多少种? 解: 上一个台阶的方法数 f1 ? 1 ,上二个台阶的方法数 f 2 ? 2 ,上 12 个台阶的方法数为f 12 .由f n = f n?1 ? f n?2得到 f 12 =233.所以,上此楼梯的方法有 233 种.参考文献：[1] 康庆德. 组合数学趣话.河北科学技术出版社[M],1999 年 12 月. [2] 卢开澄. 组合数学.清华大学出版社[M], 1991 年 10 月. [3] 曲贵东. 谈与 Fibonacci 数列有关的行列式[J].衡阳师专学报, ):56-62. 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