高等数学函数求极限 这道题可以用等价无穷小代换并用洛必达法则求解吗？为什么算出来是2而不是答案4呢_百度知道
高等数学函数求极限 这道题可以用等价无穷小代换并用洛必达法则求解吗？为什么算出来是2而不是答案4呢
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(x+2),这部分
请问可以直接将sin括号里的x&#178;-4等价无穷小代换出来，然后使用洛必达法则吗？
可以。但是，你得把你做的发出来，别人才能知道你错在哪啊
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用等价无穷小代换求幂指函数的极限
　　【摘 要】本文讨论了幂指函数求极限的方法，重点探讨了00，∞0，1∞型幂指函数在求极限的过程中利用等价无穷小代换的问题，并提出了相应的定理，给出了证明以及实例。 中国论文网 http://www.xzbu.com/8/view-5419217.htm　　【关键词】幂指函数；等价无穷小；极限 　　Research on the Limit of Power-Exponential Function by Equivalent Infinitesimal 　　YANG Feng 　　（Hubei University of Arts and Science， College of Mathematical and Computer Science， Xiangyang Hubei 441050） 　　【Abstract】How to solve the limit of the power-exponential function has been discussed. The methods and examples are showed as to how to apply the methods to calculate limit， especially by the replacement of equivalent infinitesimal. The theorems have been provided and proofed. 　　【Key words】The power-exponential function；Equivalent infinitesimal；Limit 　　1 问题提出 　　在大学高等数学中，对于幂指函数求极限的问题，共有两处提到，包括重要极限和洛必达法则。但是，关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。一般得，只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。在教学过程中，有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题，就不知道如何计算了。课本中有一道极限求解题目，具体如下： 　　■（■）■ 　　这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解，但此题用重要极限不太容易看出来。如果了解等价无穷小的相关定理，那么这道题就迎刃而解了。鉴于此种情况，本文在前人研究的基础上，总结了幂指函数的求极限的方法，着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。 　　2 幂指函数求极限的其他方法 　　幂指函数的极限类型很多，有确定型和不定式之分。对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。而对于不定式型的幂指函数，通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。 　　2.1 重要极限 　　对1∞型的幂指函数极限问题，考虑利用重要极限■（1+■）x=e及其变形公式■（1+x）■=e求极限。 　　例1 求极限■（cosx）csc2x. 　　解：■（cosx）csc2x=■[1+（cosx-1）]■ 　　=■[1+（cosx-1）]■=e■=e■ 　　2.2 洛必达法则 　　另外，对00型，∞0型，1∞型幂指函数的极限，可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=elny的形式，转换为■型或■型不定式，然后再利用洛必达法则进行求解。 　　例2 求极限■（1+■）x. 　　解：■（1+■）x=■e■=e■ 　　因为 　　■（1+■）=0，■■=0 　　由洛必达法则，得： 　　■（1+■）■=e■=e■=e■ 　　3 用等价无穷小代换求幂指函数的极限 　　幂指函数00型，∞0型，1∞型这三种类型不定式的求极限问题，除了运用前两种方法外，还可以使用等价无穷小的代换。这里对这三种类型不定式进行全面探讨，将局限于分式型不定式的等价无穷小代换原理，推广到幂指函数求极限问题中去，从而在理论上较系统的解决了幂指函数求极限的问题。 　　3.1 00型的等价无穷小代换 　　引理1 设α> 0，α′> 0为某变化过程中的无穷小。若α～α′ ，则■～■. 　　证明：α～α′，所以 　　lim■=lim■=lim■=1， 　　从而有■～■ 　　定理1 α> 0，α′>0和β，β′均为某变化过程中的无穷小。若α～α′，β～β′，且limα′■=A，则有 　　limαβ=limα′■=A 　　证明：因为α～α′， 所以■～■ 　　然后就有 　　limβlnα=lim■=lim■=limβ′lnα′ 　　limαβ=limeβ ln α=limeβ′ ln α′=limα′■=A 　　此定理1说明，当limα′■=A时， limαβ中的α和β均可代换为等价无穷小α′和β′。 　　例3 求■（sin x）tan■.（00型） 　　分析：因为■sin x=0，■tan2x=0，即极限呈00型。 　　解：当x→0+时，sinx～x，tan2x～2x 　　由定理1，得： 　　■（sin x）■=■x2x=■e■ 　　=e■=e0=1 　　3.2 ∞0型的等价无穷小代换 　　∞0型的极限可写为lim[■]β=lim■，其中α>0和β均为某变化过程中的无穷小。 　　定理2 α>0，α′>0和β，β′均为某变化过程中的无穷小。若α～α′，β～β′，且lim[■]β′=A，则 　　lim[■]β=lim[■]β′=A 　　由定理1可得定理2。此定理2说明，当lim[■]β′=A时，α和β均可代换为等价无穷小α′和β′。
　　例4 求■[■]■（∞0型） 　　分析：因为■[■]=∞，■sin x=0，即极限呈∞0型。 　　解： 当x→0时，ln（1+x）～x，sinx～x 　　由定理2，得： 　　■[■]■=■（■）■=e■=e0=1 　　3.3 1∞型的等价无穷小代换 　　1∞型的极限可写为lim（1+α）■，其中α，β均为某变化过程中的无穷小。 　　引理2 设α，β为某变化过程中的无穷小。若lim■=A，则有 　　lim（1+α）■=e■=eA 　　证明：lim（1+α）■=lime■=e■ 　　ln（1+α）～α 　　就有 　　lim（1+α）■=e■=e■=eA 　　所以，刚刚文章一开始的那道求极限的题目，可以按照等价无穷小代换来求解。 　　例5 求极限■（■）■（1∞型）. 　　解：当x→0，■→1，■→∞时， 　　■（■）■=■[1+（■-1）]■=■[1+■]■ 　　■■?■=■■?■ 　　=■■?■?■=■. 　　由引理2，得： 　　■（■）■=e■ 　　定理3 设α，α′，β，β′均为某变化过程中的无穷小。若α～α′，β～β′，且lim■=A，则有 　　lim（1+α）■=lim（1+α′）■=eA 　　证明：因为 　　lim■=A， 　　由等价无穷小代换原理，得： 　　lim■=lim■ 　　lim（1+α）■=e■=e■=lim（1+α′）■=eA 　　这说明，当lim■=A时，lim（1+α）■中的无穷小量α，β可代换为等价无穷小α′，β′。 　　例6 ■（1+tan x）■求极限（1∞型）. 　　分析：因为■（1+tan x）=1，■■=∞，即极限呈1∞型。 　　解： 当x→0+，tanx～x，ln（1+x）～x时， 　　■■=1， 　　由定理3，得： 　　■（1+tan x）■=e 　　【参考文献】 　　[1]华东师大数学系.数学分析[M].4版.北京：人民教育出版社，2011，9. 　　[2]同济大学应用数学系，主编.高等数学（上册）[M].6版.高等教育出版社，2007，4. 　　[3]刘金林.高等数学（上册）[M].机械工业出版社，2013，6. 　　[4]沐国宝.等价无穷小在求幂指函数极限中的应用[J].上海应用技术学院学报，2002，6. 　　[5]冯变英.幂指函数极限中等价无穷小代换的探讨[J].运城学院学报，2006，10. 　　[责任编辑：曹明明]
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求极限时，什么时候不能用等价代替。？
整体的乘积或商，单个幂指函数的指数也能。加减或局部一般不能用。
往下做一下
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请问这里为什么不能直接用等价无穷小？而要做个变换才能用？
因为这个等价无穷小的前提是x趋于0
还是不太懂，当x趋向1时，难道sinπx不是趋向零吗？
x趋向于1时πx趋向于π，sinπx&#47;πx趋向于0而不是1
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求极限有幂运算时可以用等价无穷小代换吗?如lim[x->0,(1+sinx)^(1/2x)],其中指数1/2x中的x能用sinx直接替换吗? sinx也不能直接被替换成x吧?
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那要看你对等价无穷小概念的理解了.所谓等价无穷小其实为了求解极限方便而引入的概念,根据依然是泰勒展开,只不过是泰勒展开的低阶近似.之所以老师们一再强调只有乘除关系可以替换,是因为乘除关系中,展开的阶次不影响...
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