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小学数学奥数 专题(六年级)
1( ) 小学数学奥数 专题(六年级)比较分数的大小 同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数 的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产 生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相 同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方 法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。 下 面我们介绍另外几种方法。 1.“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大， 而分子的最小公倍数比 较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的 方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称 为“通分子”。 2.化为小数。第 1页，共 178页2这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时 是否简便，就要看具体情况了。 3.先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4.根据倒数比较大小。5.若两个真分数的分母与分子的差相等、 则分母 （子） 大的分数较大； 若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就 是说，6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数 m 和 n，若 m＞k，k＞n，则 m＞n。（2）对于分数 m 和 n，若 m-k＞n-k，则 m＞n。第 2页，共 178页3前一个差比较小，所以 m＜n。 （3）对于分数 m 和 n，若 k-m＜k-n，则 m＞n。注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数 k 小于原来的两 个分数 m 和 n；（3）中借助的数 k 大于原来的两个分数 m 和 n。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新 分数一定介于两个已知分数之间， 即比其中一个分数大， 比另一个分数小。利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已 知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结， 但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同， 分母小的分数大”这一基本方法。练习 1 1.比较下列各组分数的大小：第 3页，共 178页4答案与提示练习 1( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲巧求分数 我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目，例如分子或 分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、 减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题 目变化很多，因此解法也不尽相同。数。第 4页，共 178页5分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减 1 就变成分子加、减 1，这样就可以用例 1 求平均数的方法求出分子、分母 调换位置后的分数，再求倒数即可。个分数。 分析与解： 因为加上和减去的数不同， 所以不能用求平均数的方法求 解。，这个分数是多少？ 分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：第 5页，共 178页6这个分数是多少？ 于是与例 3 类似，可以求出在例 1～例 4 中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分 母同时变化，那么会怎样呢？数 a。 分析与解：分子减去 a，分母加上 a，（约分前）分子与分母之和不 变，等于 29+43=72。约分后的分子与分母之和变为 3+5=8，所以分子、 分 母约掉45-43=2。求这个自然数。同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是 45，新分数约分 后变第 6页，共 178页7例 7 一个分数的分子与分母之和是 23， 分母增加 19 后得到一个新分 数，分子与分母的和是 1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以 42÷6=7 得 到分析与解：分子加 10，等于分子增加了 10÷5=2（倍），为保持分数 的大小不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加 8×2=16。在例 8 中，分母应加的数是在例 9 中，分子应加的数是第 7页，共 178页8由此，我们得到解答例 8、例 9 这类分数问题的公式： 分子应加（减）的数=分母所加（减）的数×原分数； 分母应加（减）的数=分子所加（减）的数÷原分数。分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类 题中最难的，我们用设未知数列方程的方法解答。（2x+2）×3=（x+5）×4， 6x+6=4x+20， 2x=14， x=7。练习 2第 8页，共 178页9是多少？答案与提示练习 2第 9页，共 178页105.5。解：(53+79)÷(4+7)=12， a=53-4×12=5。 6.13。解：（67-22）÷（16-7）=5，7×5-22=13。解：设分子为 x，根据分母可列方程( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲分数运算的技巧 对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握 一些特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。 1.凑整法第 10页，共 178页11与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算 法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、 商 成为整数、整十数……从而使运算得到简化。2.约分法3.裂项法第 11页，共 178页12若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵 消，则能大大简化运算。例 7 在自然数 1～100 中找出 10 个不同的数，使这 10 个数的倒数的 和等于 1。 分析与解：这道题看上去比较复杂，要求 10 个分子为 1，而分母不 同的就非常简单了。第 12页，共 178页13括号。此题要求的是 10 个数的倒数和为 1，于是做成：所求的 10 个数是 2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的 10 和 30，仍是符合题意的解。 4.代数法5.分组法分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母 为 n 的分数之和为第 13页，共 178页14原式中分母为 2～20 的分数之和依次为练习 38.在自然数 1～60 中找出 8 个不同的数， 使这 8 个数的倒数之和等于 1。第 14页，共 178页15答案与提示 1.3。练习 3第 15页，共 178页168.2，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。9.5680。 解：从前向后，分子与分母之和等于 2 的有 1 个，等于 3 的有 2 个， 等于 4 的有 3 个人……一般地，分子与分母之和等于 n 的有(n-1)个。分 子与分母之和小于 9+99=108 的有 1+2+3+…+106=5671（个），0（个）。( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲循环小数与分数 任何分数化为小数只有两种结果， 或者是有限小数， 或者是循环小数， 而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能 化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、 混循环小数呢？我们先 看下面的分数。第 16页，共 178页17（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数 2 和 5， 化因为 40=23×5，含有 3 个 2，1 个 5，所以化成的小数有三位。 （2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数 2 和 5。 （3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数 2 或 5，又含有 2 和 5 以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分 的位数与5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数 2 和 5，那么这个分数一定能化成有限 小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数 2 与 5 中个数较多的那个 数的个数； （2）如果分母中只含有 2 与 5 以外的质因数，那么这个分数一定能 化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数 2 或 5，又含有 2 与 5 以外的质因数， 那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母 中质因数 2 与 5 中个数较多的那个数的个数。 例 1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小 数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环 部分有几位？分析与解：上述分数都是最简分数，并且 32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13，第 17页，共 178页18117=33×13，850=2×52×17， 根据上面的结论，得到：不循环部分有两位。 将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可 能比较熟悉将有限小数化成分数的方法， 而对将循环小数化成分数的方法 就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环 小数化成分数的方法。 1.将纯循环小数化成分数。将上两式相减，得将上两式相减，得从例 2、例 3 可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。 纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是 9，9 的个数与循环节的位数相同。第 18页，共 178页192.将混循环小数化成分数。将上两式相减，得将上两式相减，得从例 4、例 5 可以总结出将混循环小数化成分数的方法。 混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所 组成的数， 减去不循环数字所组成的数所得的差； 分母的头几位数字是 9， 末几位数字都是 0，其中 9 的个数与循环节的位数相同，0 的个数与不循 环部分的位数相同。第 19页，共 178页20掌握了将循环小数化成分数的方法后， 就可以正确地进行循环小数的 运算了。 例 6 计算下列各式：练习 4 1.下列各式中哪些不正确？为什么？第 20页，共 178页212.划去小数 0. 后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆 点，得到一个循环小数，例如 0.274836。请找出这样的小数中最大的与 最小的。 3.将下列纯循环小数化成最简分数：4.将下列混循环小数化成最简分数：5.计算下列各式：答案与提示 1.（1）（3）（4）不正确。练习 4第 21页，共 178页22( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲工程问题（一） 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类 题目的内容已不仅仅是工程方面的问题， 也括行路、 水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量=工作效率×工作时间， 工作时间=工作量÷工作效率， 工作效率=工作量÷工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示， 也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。 单位时间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作 量/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例 1 单独干某项工程，甲队需 100 天完成，乙队需 150 天完成。甲、 乙两队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？ 分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作 效第 22页，共 178页23例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如 果开工时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成任务。问：甲队干了多少天？ 分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作 甲、乙两队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了 12 天。 例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。 开始三个队一起干， 因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成 这一工程。问：甲队实际工作了几天？ 分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的 工作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。如 果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件。这批零 件共有多少个？ 分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，第 23页，共 178页24例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5 时可将空 池灌满，单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水 管 1 时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？例 6 甲、 乙二人同时从两地出发， 相向而行。 走完全程甲需 60 分钟， 乙需 40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽 误了 5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇？ 分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以 不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上 耽误 10 分钟，再加上取东西的 5 分钟，等于比乙晚出发 15 分钟。我们将 题目改述一下：完成一件工作，甲需 60 分钟，乙需 40 分钟，乙先干 15 分钟后，甲、乙合干还需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的 解法来解答。答：甲再出发后 15 分钟两人相遇。练习 5 1.某工程甲单独干 10 天完成，乙单独干 15 天完成，他们合干多少天 才可完成工程的一半？第 24页，共 178页252.某工程甲队单独做需 48 天，乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天，将工程做 完。求乙队在中间单独工作的天数。 3.一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后，剩下 的乙队单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天？则完成任务时乙比甲多植 50 棵。这批树共有多少棵？ 5.修一段公路，甲队独做要用 40 天，乙队独做要用 24 天。现在两队 同时从两端开工，结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米？ 6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 18 时注满，单开乙管需 24 时注满。如果要求 12 时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时 间？ 7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需 8 时，比快 车从40 千米。求甲、乙两地的距离。 答案与提示 练习 52.14 天。3.120 天。4.350 棵。第 25页，共 178页265.6000 米。6.8 时。 提示：甲管 12 时都开着，乙管开7.280 千米。( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲工程问题（二） 上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。 在较复杂的 工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用 基本的分析方法，问题也不难解决。第 26页，共 178页27例 1 一项工程，如果甲先做 5 天，那么乙接着做 20 天可完成；如果 甲先做 20 天，那么乙接着做 8 天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天 可以完成？ 分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率， 我 们先画出示意图：从上图可直观地看出：甲 15 天的工作量和乙 12 天的工作量相等， 即 甲 5 天的工作量等于乙 4 天的工作量。于是可用“乙工作 4 天”等量替换 题中“甲工作 5 天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用 20+4=24（天）甲、乙合做这一工程，需用的时间为例 2 一项工程，甲、乙两队合作需 6 天完成，现在乙队先做 7 天， 然后么还要几天才能完成？ 分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合 作第 27页，共 178页28们把“乙先做 7 天，甲再做 4 天”的过程转化为“甲、乙合做 4 天，乙再 单独例 3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前 2 天完成，乙则要超 过规定时间 3 天才能完成。如果甲、乙二人合做 2 天后，剩下的继续由乙 单独做，那么刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？ 分析与解：乙单独做要超过 3 天，甲、乙合做 2 天后乙继续做，刚好 按时完成，说明甲做 2 天等于乙做 3 天，即完成这件工作，乙需要的时间 是甲的，乙需要 10+5=15（天）。甲、乙合作需要例 4 放满一个水池的水，若同时打开 1，2，3 号阀门，则 20 分钟可 以完成；若同时打开 2，3，4 号阀门，则 21 分钟可以完成；若同时打开 1，3，4 号阀门，则 28 分钟可以完成；若同时打开 1，2，4 号阀门，则 30 分钟可以完成。问：如果同时打开 1，2，3，4 号阀门，那么多少分钟 可以完成？ 分析与解：同时打开 1，2，3 号阀门 1 分钟，再同时打开 2，3，4 号阀门 1 分钟，再同时打开 1，3，4 号阀门 1 分钟，再同时打开 1，2， 4 号阀门 1 分钟，这时，1，2，3，4 号阀门各打开了 3 分钟，放水量等于 一第 28页，共 178页29例 5 某工程由一、二、三小队合干，需要 8 天完成；由二、三、四 小队合干，需要 10 天完成；由一、四小队合干，需 15 天完成。如果按一、 二、三、四、一、二、三、四、……的顺序，每个小队干一天地轮流干， 那么工程由哪个队最后完成？ 分析与解：与例 4 类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和 是例 6 甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人 一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的 顺序轮流件工作，要用多少天才能完成？ 分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论 谁先谁后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作 量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图 虚线右边）。第 29页，共 178页30由最后一轮完成的工作量相同，得到练习 6 1.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。 甲 完成有多少个？需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天？ 3.加工一批零件，王师傅先做 6 时李师傅再做 12 时可完成，王师傅 先做 8 时李师傅再做 9 时也可完成。现在王师傅先做 2 时，剩下的两人合 做，还需要多少小时？第 30页，共 178页31独修各需几天？ 5.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依 次需要 10，12，15 时。上午 8 点三个管同时打开，中间甲管因故关闭， 结果到下午 2 点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭？ 6.单独完成某项工作，甲需 9 时，乙需 12 时。如果按照甲、乙、甲、 乙、……的顺序轮流工作，每次 1 时，那么完成这项工作需要多长时间？ 7.一项工程，乙单独干要 17 天完成。如果第一天甲干，第二天乙干， 这样交替轮流干， 那么恰好用整天数完成； 如果第一天乙干， 第二天甲干， 这样交替轮流干，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问：甲单独干需 要几天？ 答案与提示练习 6 1.360 个。2.甲 18 天，乙 12 天。3.7.2 时。 解：由下页图知，王干 2 时等于李干 3 时，所以单独干李需 12+6÷2 ×3=21（时），王需 21÷3×2=14（时）。所求为第 31页，共 178页325.上午 9 时。6.10 时 15 分。第 32页，共 178页337.8.5 天。 解：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种 轮流做的方式完成的天数必定相同（见左下图）。 甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙……甲乙 甲现在乙先比甲先要多用半天，所以甲先时，完成的天数一定是奇数， 于是得到右上图，其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量也相同， 说 明乙做 1 天等于甲做半天，所以乙做 17 天等于甲做 8.5 天。( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲巧用单位“1” 在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许多分数应用 题中，都会遇到单位“1”的问题，根据题目条件正确使用单位“1”， 能 使解答的思路更清晰，方法更简捷。分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为 单位第 33页，共 178页34答：这本故事书共有 240 页。分析与解：本题条件中单位“1”的量在变化，依次是“全书的页数” 、 “第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”，出现了 3 个不 同的单位“1”。按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分率。但在本 题中，不统一单位“1”反而更方便。我们先把全书看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的共有多少本图书？ 分析与解： 故事书增加了， 图书的总数随之增加。 题中出现两个分率，这给计算带来很多不便，需要统一单位“1”。统一单位“1”的一个窍门 就是抓“不变量”为单位“1”。第 34页，共 178页35本题中故事书、图书总数都发生了变化，而其它书的本数没有变， 可 以以图书室原来共有图书分析与解：与例 3 类似，甲、乙组人数都发生了变化，不变量是甲、 乙组的总人数，所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。第 35页，共 178页36例 5 公路上同向行驶着三辆汽车，客车在前，货车在中，小轿车在 后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等；走了 10 分钟，小轿 车追上了货车；又过了 5 分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，货车 追上客车？ 分析与解：根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等”， 设这段距离为单位“1”。由“走了 10 分钟，小轿车追上了货车”，可知 小轿可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离， 每分钟多行这段距 离的两班各有多少人？乙班有 84-48=36（人）。 练习 7第 36页，共 178页37树上原有多少个桃？剩下的部分收完后刚好又装满 6 筐。共收西红柿多少千克？7.六年级两个班共有学生 94 人，其中女生有 39 人，已知一班的女生 占本 答案与提示 1.35 个。 练习 72.60 个。第 37页，共 178页383.64 吨。4.384 千克。6.男生 15 人，女生 21 人。7.一班 45 人，二班 49 人。第 38页，共 178页39( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲比和比例 比的概念是借助于除法的概念建立的。 两个数相除叫做两个数的比。例如，5÷6 可记作 5∶6。比值。 表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，3∶7=9∶21。判断两个 比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这两个 比能组成比例，否则不能组成比例。 在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果 a∶ b=c∶d，那么 a×d=b×c。 两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如 a∶b∶c。 连比中的“∶”不能用“÷”代替，不能把连比看成连除。把两个比化为 连比， 关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化 成它们的最小公倍数。例如， 甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3， 因为[6，4]=12，所以 5∶ 6=10∶ 12， 4∶3=12∶9， 得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。 例 1 已知 3∶(x-1)=7∶9，求 x。 解： 7×(x-1)=3×9， x-1=3×9÷7，第 39页，共 178页40例 2 六年级一班的男、女生比例为 3∶2，又来了 4 名女生后，全班 共有 44 人。求现在的男、女生人数之比。 分析与解：原来共有学生 44-4=40（人），由男、女生人数之比为 3∶ 2 知，如果将人数分为 5 份，那么男生占 3 份，女生占 2 份。由此求出女生增加 4 人变为 16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生人 数之比为 24∶20=6∶5。 在例 2 中，我们用到了按比例分配的方法。 将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。 按比例分 配的方法是将按已知比分配变为按份数分配，把比的各项相加得到总份 数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求得各 个分量。 例 3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是 1∶2∶12， 现在要配制这种农药 2700 千克，求各种原料分别需要多少千克。 分析： 总量是 2700 千克， 各分量的比是 1∶ 12， 2∶ 总份数是 1+2+12=15，答：生石灰、硫磺粉、水分别需要 180，360 和 2160 千克。 在按比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。 如例 3 中，总份数是 1+2+12=15，每份的量是 （千克）， 然 后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用 180 千克分别乘以 1，2，12， 就可以求出各个分量。第 40页，共 178页41例 4 师徒二人共加工零件 400 个，师傅加工一个零件用 9 分钟，徒 弟加工一个零件用 15 分钟。 完成任务时， 师傅比徒弟多加工多少个零件？ 分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作效 率有多少学生？按比例分配得到例 6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车 30 元，小 客车 15 元，小轿车 10 元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比第 41页，共 178页42是 5∶6，小客车与小轿车之比是 4∶11，收取小轿车的通行费比大客车多 210 元。求这天这三种车辆通过的数量。 分析与解：大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能将 5∶6 中的 6 与 4∶11 中的 4 统一成[4，6]=12，就可以得到大客车∶小客 车∶小轿车的连比。 由 5∶6=10∶12 和 4∶11=12∶33，得到 大客车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。 以 10 辆大客车、12 辆小客车、33 辆小轿车为一组。因为每组中收取 小轿车的通行费比大客车多 10×33-30×10=30（元），所以这天通过的 车辆共有 210÷30=7（组）。这天通过 大客车=10×7=70（辆）， 小客车=12×7=84（辆）， 小轿车=33×7=231（辆）。练习 8 1.一块长方形的地，长和宽的比是 5∶3，周长是 96 米，求这块地的 面积。 2.一个长方体，长与宽的比是 4∶3，宽与高的比是 5∶4，体积是 450 分米 3。问：长方体的长、宽、高各多少厘米？ 3.一把小刀售价 6 元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱 数之比是 3∶ 如果小强买了这把小刀， 5； 那么小明与小强的钱数之比是 9∶ 11。问：两人原来共有多少钱？5.甲、乙、丙三人分 138 只贝壳，甲每取走 5 只乙就取走 4 只，乙每 取走 5 只丙就取走 6 只。问：最后三人各分到多少只贝壳？第 42页，共 178页436.一条路全长 60 千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程的长 度之比是 1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是 3∶4∶5。已知他 走平路的速度是 5 千米/时，他走完全程用多少时间？ 7.某俱乐部男、女会员的人数之比是 3∶2，分为甲、乙、丙三组， 甲、乙、丙三组的人数之比是 10∶8∶7。如果甲组中男、女会员的人数 之比是 3∶1，乙组中男、女会员的人数之比是 5∶3，那么丙组中男、女 会员的人数之比是多少？ 答案与提示练习 8 1.540 米 2。2.长 100 厘米，宽 75 厘米，高 60 厘米。 解：长∶宽∶高=20∶15∶12， 450000÷(20×15×12)=125=53。 长=20×5=100（厘米），宽=15×5=75（厘米）， 高=12×5=60（厘米）。 3.86 元。 解：设小明有 x 元钱。根据小强的钱数可列方程36+50=86（元）。 4.2640 元。第 43页，共 178页445.甲 50 只，乙 40 只，丙 48 只。 解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2， 甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只）， 丙=2×24=48（只）。 6.12 时。7.5：9( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲百分数 百分数有两种不同的定义。 （1）分母是 100 的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百分 数作为分数的一种特殊形式。第 44页，共 178页45（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数 叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数又 叫百分比或百分率。 百分数通常不写成分数形式， 而采用符号 “％” 来表示， 叫做百分号。 在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三者 的关系如下： 比较数÷标准数=分率（百分数）， 标准数×分率=比较数， 比较数÷分率=标准数。 根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数有 关的应用题。 例 1 纺织厂的女工占全厂人数的 80％，一车间的男工占全厂男工的 25％。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？ 分析与解：因为“女工占全厂人数的 80％”，所以男工占全厂人数 的 1-80％=20％。 又因为“一车间的男工占全厂男工的 25％”，所以一车间的男工占 全厂人数的 20％×25％=5％。 例 2 学校去年春季植树 500 棵，成活率为 85％，去年秋季植树的成 活率为 90％。已知去年春季比秋季多死了 20 棵树，那么去年学校共种活 了多少棵树？ 分析与解：去年春季种的树活了 500×85％=425（棵），死了 500-425=75（棵）。去年秋季种的树，死了 75-20=55（棵），活了 55÷ （1-90％）×90％=495（棵）。所以，去年学校共种活 425+495=920（棵） 。 例 3 一次考试共有 5 道试题。做对第 1，2，3，4，5 题的人数分别 占参加考试人数的 85％，95％，90％，75％，80％。如果做对三道或三 道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少？ 分析与解： 因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几， 所以不妨 设总量即参加考试的人数为 100。 由此得到做错第 1 题的有 100×（1-85％）=15（人）； 同理可得，做错第 2，3，4，5 题的分别有 5，10，25，20 人。第 45页，共 178页46总共做错 15+5+10+25+20=75（题）。 一人做错 3 道或 3 道以上为不及格，由 75÷3=25（人），推知至多 有 25 人不及格，也就是说至少有 75 人及格，及格率至少是 75％。 例 4 育红小学四年级学生比三年级学生多 25％，五年级学生比四年 级学生少 10％，六年级学生比五年级学生多 10％。如果六年级学生比三 年级学生多 38 人，那么三至六年级共有多少名学生？ 分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的 125％，五 年级是三年级的 125％×（1-10％），六年级是三年级的 125％×（1-10 ％）×（1+10％）。因为已知六年级比三年级多 38 人，所以可根据六年 级的人数列方程。 解：设三年级有 x 名学生，根据六年级的人数可列方程： x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38， x×125％×90％×110％=x+38， 1.2375x=x+38， 0.2375x=38， x=160。 三年级有 160 名学生。 四年级有学生 160×125％=200（名）。 五年级有学生 200×（1-10％）＝180（名）。 六年级有学生 160+38=198（名）。 160+200+180+198=738（名）。 答：三至六年级共有学生 738 名。 在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。 我们都知道，将糖溶于水 就得到了糖水， 其中糖叫溶质， 水叫溶剂， 糖水叫溶液。 如果水的量不变， 那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质） 与糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的含糖 量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的比值 就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本关系： 溶液重量=溶质重量+溶剂重量，第 46页，共 178页47溶质含量=溶质重量÷溶液重量， 溶液重量=溶质重量÷溶质含量， 溶质重量=溶液重量×溶质含量。 溶质含量通常用百分数表示。例如，10 克白糖溶于 90 克水中，含糖 量（溶例 5 有含糖量为 7％的糖水 600 克，要使其含糖量加大到 10％，需 要再加入多少克糖？ 分析与解：在 600 克含糖量为 7％的糖水中，有糖（溶质）600×7％ =42（克）。 设再加 x 克糖，可使其含糖量加大到 10％。此时溶质有（42+x）克， 溶液有（600+x）克，根据溶质含量可得方程需要再加入 20 克糖。 例 6 仓库运来含水量为 90％的一种水果 100 千克，一星期后再测， 发现含水量降低到 80％。现在这批水果的总重量是多少千克？ 分析与解：可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始，果重 100×（1-90％）=10（千克）。 一星期后含水量变为 80％，“果”与“水”的比值为因为“果”始终是 10 千克，可求出此时“水”的重量为第 47页，共 178页48所以总重量是 10+40=50（千克）。练习 9 1.某修路队修一条路，5 天完成了全长的 20％。照此计算，完成任务 还需多少天？ 2.服装厂一车间人数占全厂的 25％，二车间人数比一车间少 20％， 三车间人数比二车间多 30％。已知三车间有 156 人，全厂有多少人？ 3.有三块地，第二块地的面积是第一块地的 80％，第三块地的面积 比第二块多 20％，三块地共 69 公顷，求三块地各多少公顷。 4.某工厂四个季度的全勤率分别为 90％，86％，92％，94％。问： 全年全勤的人至少占百分之几？ 5.有酒精含量为 30％的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成 酒精含量为 24％的溶液，如果再加入同样多的水，那么酒精含量将变为 多少？ 6.配制硫酸含量为 20％的硫酸溶液 1000 克，需要用硫酸含量为 18 ％和 23％的硫酸溶液各多少克？ 7.有一堆含水量 14.5％的煤，经过一段时间的风干，含水量降为 10 ％，现在这堆煤的重量是原来的百分之几？ 答案与提示 1.20 天。 解：5÷20％-5=20（天）。 2.600 人。解：156÷[(1-20％) × (1+30％)]÷25％=600（人）。 3.第一、二、三块依次为 25，20 和 24 公顷。解：第一块地的面积为 69÷[1+80％+80％×(1+20％)]=25 （公顷） 第二块地为 25×80％=20 ， （公 顷），第三块地为 69-25=24（公顷）。 4.62％。解；设全厂有 100 人，则四个季度没有全勤的共有 10+14+8+6=38（人次）。当四个季度没有全勤的人互不相同时，全年没有 全勤的人最多，为 38 人，所以至少有 100-36=62（人）全勤，即全年全 勤率至少为 62％。第 48页，共 178页练习 9495.20％。 解：设酒精含量为 30％的酒精溶液有 100 克，则溶质为 30 克。稀释 成酒精含量为 24％的酒精溶液需加水 30÷24％-100=25（克）。若再加入 25 克水，则酒精含量变为 30÷(100+25+25)=20％。 6.600 克，400 克。 提示：设需要 18％的溶液 x 克，则需要 23％的溶液(100-x)克。根据 溶质重量可得 x×18％+(1000-x)×23％=1000×20％。解得 x=600。 7.95％。 解：设原有 100 吨煤，则有水份 14.5 吨。又设风干掉水份 x 吨，则 由含现在煤的重量为 100-5=95（吨），是原来的 95％。( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲商业中的数学 市场经济中有许多数学问题。 同学们可能都有和父母一起去买东西的 经历， 都知道商品有定价，但是这个价格是怎样定的？这就涉及到商品的 成本、利润等听起来有些陌生的名词。 这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用。 利润=售出价-成本，例如，一件商品进货价是 80 元，售出价是 100 元，则这件商品的利 润是 100-80=20（元），利润率是第 49页，共 178页50在这里我们用“进货价”代替了“成本”，实际上成本除了进货价， 还包括运输费、仓储费、损耗等，为简便，有时就忽略不计了。 例 1 某商品按每个 7 元的利润卖出 13 个的钱， 与按每个 11 元的利润 卖出 12 个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元？ 解：设进货价是每个 x 元。由“售出价=进货价+利润”，根据前、 后 两次卖出的钱相等，可列方程 （x+7）×13=（x+11）×12， 13x+91=12+132 x=41。 答：进货价是每个 41 元。 例 2 租用仓库堆放 3 吨货物，每月租金 7000 元。这些货物原计划要 销售 3 个月，由于降低了价格，结果 2 个月就销售完了，由于节省了租仓 库的租金，所以结算下来，反而比原计划多赚了 1000 元。问：每千克货 物的价格降低了多少元？ 分析与解：原计划租仓库 3 个月，现只租用了 2 个月，节约了 1 个月 的租金 7000 元。如果不降低价格，那么应比原计划多赚 7000 元，但现在 只多赚了 1000 元，说明降价损失是 00（元）。 因为共有 3 吨，即 3000 千克货物，所以每千克货物降低了 6000÷ 3000=2（元）。 例 3 张先生向商店订购了每件定价 100 元的某种商品 80 件。张先生 对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价 1 元，我就多订购 4 件。” 商店经理算了一下，若减价 5％，则由于张先生多订购，获得的利润反而 比原来多 100 元。问：这种商品的成本是多少元？ 分析与解：设这种商品的成本是 x 元。减价 5％就是每件减 100×5 ％=5（元），张先生可多买 4×5=20（件）。由获得利润的情况，可列方 程 （100-x）×80 +100=（100-5-x）×（80 + 20）， 0=x， 20x=1400，第 50页，共 178页51x=70， 这种商品的成本是 70 元。 由例 2、例 3 看出，商品降价后，由于增加了销售量，所以获得的利 润有时反而比原来多。 例 4 某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克 1.20 元。从产 地到商店的距离是 400 千米，运费为每吨货物每运 1 千米收 1.50 元。如 果在运输及销售过程中的损耗是 10％，商店要想实现 25％的利润率，零 售价应是每千克多少元？ 分析与解：本题的成本包括收购价、运费、损耗。每千克的收购价加 运费是 1.20+1.50×400÷（元）。 因为有 10％的损耗，所以每千克的成本为 1.80÷（1-10％）=2.00 （元）。售出价=成本×（利润率+1） =2.00×（25％+1） =2.50（元）， 即零售价应是每千克 2.50 元。 例 5 小明到商店买了相同数量的红球和白球，红球原价 2 元 3 个， 白球原价 3 元 5 个。新年优惠，两种球都按 1 元 2 个卖，结果小明少花了 8 元钱。问：小明共买了多少个球？例 6 某厂向银行申请甲、乙两种贷款共 40 万元，每年需付利息 5 万 元。甲种贷款年利率为 12％，乙种贷款年利率为 14％。该厂申请甲、乙 两种贷款的金额各是多少？第 51页，共 178页52解：设申请甲种贷款 x 万元，则申请乙种贷款（40-x）万元。根据需 付利息可得方程 x×12％+（40-x）×14％=5， 0.12x+5.6-0.14x＝5， 0.02x＝0.6， x=30（万元）。 40-30=10（万元）。 答：申请甲种贷款 30 万元，乙种贷款 10 万元。练习 10 1.商店进了一批钢笔，用零售价 10 元卖出 20 支与用零售价 11 元卖 出 15 支的利润相同。这批钢笔的进货价每支多少元？ 2.某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的 80％。妈妈 第一天买了 2 个，第二天买了 3 个，第三天买了 5 个，共花了 38 元。若 这 10 个蜜瓜都在第三天买，则能少花多少钱？ 3.商店以每双 13 元购进一批凉鞋， 售价为 14.8 元， 卖到还剩 5 双时， 除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利 88 元。问：这批凉鞋共多少双？ 4.体育用品商店用 3000 元购进 50 个足球和 40 个篮球。零售时足球 加价 9％，篮球加价 11％，全部卖出后获利润 298 元。问：每个足球和篮 球的进价是多少元？ 5.某种商品的利润率是 20％。如果进货价降低 20％，售出价保持不 变，那么利润率将是多少？ 6.某商店到苹果产地去收购苹果，收购价为每千克 1.20 元。从产地 到商店的距离是 400 千米，运费为每吨货物每运 1 千米收费 1.50 元。如 果不计损耗，那么商店要想实现 25％的利润率，零售价应是每千克多少 元？第 52页，共 178页53减价 10 元出售，全部售完，共获利润 3000 元。书店共售出这种挂历多少 本？ 答案与提示 1.7 元。 解：（10×20-11×15）÷（20-15）=7（元）。 2.6 元。 解：设第一天每个蜜瓜 x 元。由 2x+3x×80％+5x×80％=38， 解得 x=5（元）。10 个瓜都在第三天买要花 5×10×80％×80％=32（元）， 少花 38-32=6（元）。 3.90 双。 解：(88+14.8×5)÷(14.8-13)=90（双）。 4.足球 32 元，篮球 35 元。 解：设 50 个足球的进价为 x 元，则 40 个篮球的进价为(3000-x)元。 根据利润可得方程 x×9％+(3000-x)×11％=298。 解得 x=1600。每个足球的进价为 （元），每个篮球的进 价为(3000-x)÷40=35（元）。 5.50％。 解：设原来进价为 1 元，则售出价为 1×(1+20％)=1.2（元）。 现在的进价为 1×(1-20％)=0.8 （元） 利润率为 ， （1.2-0.8） ÷0.8=50 ％。 6.2.25 元。 解：(1.20+1.50×400÷1000)×(1+25％)=2.25（元）。 练习 10第 53页，共 178页547.250 本。 解：将售出的挂历分组，每组 5 本，其中原价的 2 本，减价的 3 本。 每组可获利润 18×2+8×3=60（元），推知共有 （组）， 所以共售出 5×50=250（本）。( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲圆与扇形 五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成 的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。圆的面积=πr2， 圆的周长=2πr，本书中如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。 例 1 如下图所示， 200 米赛跑的起点和终点都在直跑道上， 中间的弯 道是一个半圆。已知每条跑道宽 1.22 米，那么外道的起点在内道起点前 面多少米？（精确到 0.01 米）分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长， 要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等第 54页，共 178页55于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道，然而两 条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。 设外弯道中心线的半径为 R，内弯道中心线的半径为 r，则两个弯道 的长度之差为 πR-πr＝π（R-r） ＝3.14×1.22≈3.83（米）。 即外道的起点在内道起点前面 3.83 米。 例 2 有七根直径 5 厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆 （如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？分析与解：由右上图知，绳长等于 6 个线段 AB 与 6 个 BC 弧长之和。 将图中与 BC 弧类似的 6 个弧所对的圆心角平移拼补，得到 6 个角的和是 360°，所以 BC 弧所对的圆心角是 60°，6 个 BC 弧等于直径 5 厘米的圆 的周长。 而线段 AB 等于塑料管的直径， 由此知绳长=5×6＋5×3.14＝45.7 （厘米）。 例 3 左下图中四个圆的半径都是 5 厘米，求阴影部分的面积。分析与解： 直接套用公式， 正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。 容易看出，正方形中的空白部分是 4 个四分之一圆，利用五年级学过的割 补法，可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个 2 正方形与 4 个半圆 （即 2 个圆） 的面积之和， （2r）＋πr2×2=102＋3.14 为 2 ×50≈257（厘米 ）。 例 4 草场上有一个长 20 米、宽 10 米的关闭着的羊圈，在羊圈的一 角用长 30 米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范 围有多大？第 55页，共 178页56分析与解：如右上图所示，羊活动的范围可以分为 A，B，C 三部分，所以羊活动的范围是例 5 右图中阴影部分的面积是 2.28 厘米 2，求扇形的半径。分析与解：阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。第 56页，共 178页57所以，扇形的半径是 4 厘米。 例 6 右图中的圆是以 O 为圆心、径是 10 厘米的圆，求阴影部分的面 积。分析与解：解此题的基本思路是：从这个基本思路可以看出：要想得到阴影部分 S1 的面积，就必须想 办法求出 S2 和 S3 的面积。S3 的面积又要用下图的基本思路求：第 57页，共 178页58现在就可以求出 S3 的面积，进而求出阴影部分的面积了。 S3=S4-S5=50π-100（厘米 2）， S1=S2-S3=50π-（50π-100）=100（厘米 2）。练习 11 1.直角三角形 ABC 放在一条直线上，斜边 AC 长 20 厘米，直角边 BC 长 10 厘米。如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕 A 点转动，到达位置Ⅱ，此 时 B，C 点分别到达 B1，C1 点；再绕 B1 点转动，到达位置Ⅲ，此时 A，C1 点分别到达 A2，C2 点。求 C 点经 C1 到 C2 走过的路径的长。2.下页左上图中每个小圆的半径是 1 厘米， 阴影部分的周长是多少厘 米？3.一只狗被拴在一个边长为 3 米的等边三角形建筑物的墙角上 （见右 上图），绳长是 4 米，求狗所能到的地方的总面积。第 58页，共 178页595.右上图是一个 400 米的跑道，两头是两个半圆，每一半圆的弧长是 100 米，中间是一个长方形，长为 100 米。求两个半圆的面积之和与跑道 所围成的面积之比。 6.左下图中，正方形周长是圆环周长的 2 倍，当圆环绕正方形无滑动 地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？7.右上图中，圆的半径是 4 厘米，阴影部分的面积是 14π厘米 2 ， 求图中三角形的面积。 答案与提示 1.68 厘米。 练习 112.62.8 厘米。 解：大圆直径是 6 厘米，小圆直径是 2 厘米。阴影部分周长是 6π+2 π×7=62.8（厘米）。 3.43.96 米 2。 解：如下页右上图所示，可分为半径为 4 米、圆心角为 300°的扇形 与两个半径为 1 米、圆心角为 120°的扇形。面积为4.60°。第 59页，共 178页60解：设∠CAB 为 n 度，半圆 ADB 的半径为 r。由题意有解得 n=60。 5.1∶3。6.3 圈。7.8 厘米 2。解：圆的面积是 42π=16π（厘米 2），空白扇形面积占圆面积的 1-的等腰直角三角形，面积为 4×4÷2=8（厘米 2）。第 60页，共 178页61( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲圆柱与圆锥 这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。例 1 如右图所示，圆锥形容器中装有 5 升水，水面高度正好是圆锥 高度的一半，这个容器还能装多少升水？分析与解： 本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关 系。第 61页，共 178页62这表明容器可以装 8 份 5 升水， 已经装了 1 份， 还能装水 5× （8－1） =35（升）。 例 2 用一块长 60 厘米、宽 40 厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另 找一块铁皮做底。这样做成的铁桶的容积最大是多少？（精确到 1 厘米 3） 分析与解： 铁桶有以 60 厘米的边为高和以 40 厘米的边为高两种做法。时桶的容积是桶的容积是例 3 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是 30 分米 。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为 20 厘米，倒放时空余部分 的高度为 5 厘米（见右图）。问：瓶内现有饮料多少立方分米？3分析与解：瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计 算。比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变， 所以空余部分的体积应当相同。将正放与倒放的空余部分变换一下位置， 可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变，高为 20＋5=25（厘米）第 62页，共 178页63例 4 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为 15 厘米， 水桶中后，水桶中的水面升高了多少厘米？解：皮球的体积是水面升高的高度是 450π÷900π＝0.5（厘米）。 答：水面升高了 0.5 厘米。 例 5 有一个圆柱体的零件，高 10 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的 一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是 4 厘米，孔深 5 厘米（见右图）。 如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘 米？第 63页，共 178页64分析与解：需要涂漆的面有圆柱体的下底面、外侧面、上面的圆环、 圆孔的侧面、 圆孔的底面，其中上面的圆环与圆孔的底面可以拼成一个与 圆柱体的底面相同的圆。涂漆面积为例 6 将一个底面半径为 20 厘米、高 27 厘米的圆锥形铝块，和一个 底面半径为 30 厘米、高 20 厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为 15 厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。 解：被熔的圆锥形铝块的体积：被熔的圆柱形铝块的体积：π×302×20=18000π（厘米 3）。 熔成的圆柱形铝块的高： （3600π＋18000π）÷（π×152） =21600 π÷225π=96（厘米）。 答：熔铸成的圆柱体高 96 厘米。练习 12 1.右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个 圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是 a 厘米，那么哪种 颜色的布用得多？第 64页，共 178页652.一个底面直径为 20 厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个 底面直径为 18 厘米、高为 20 厘米的铁质圆锥体。当圆锥体取出后，桶内 水面将降低多少？ 3.用直径为 40 厘米的圆钢锻造长 300 厘米、宽 100 厘米、厚 2 厘米 的长方形钢板，应截取多长的一段圆钢？容器高度的几分之几？5.右上图是一个机器零件，其下部是棱长 20 厘米的正方体，上部是 圆柱形的一半。求它的表面积与体积。 6.有两个盛满水的底面半径为 10 厘米、高为 30 厘米的圆锥形容器， 将它们盛的水全部倒入一个底面半径为 20 厘米的圆柱形容器内， 求水深。 答案与提示 1.一样多。 练习 122.5.4 厘米。3.47.8 厘米。 解：（300×100×2）÷（3.14×202）≈47.8（厘米）。第 65页，共 178页66解：设水面高度是容器高度的 x 倍，则水面半径也是容器底面半径的 x 倍。根据题意得到5.表面积 2942 厘米 2，体积 11140 厘米 3。6.5 厘米。( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲立体图形（一） 我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这一讲 将通过长方体、正方体及其组合图形，讲解有关的计数问题。 例 1 左下图中共有多少个面？多少条棱？第 66页，共 178页67分析与解：如右上图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向 看这个立体图形。 前、后看各有 1 个面，左面看有 1 个面，右面看有 2 个面，上面看有 2 个面，下面看有 1 个面。所以共有 1＋1+1+2＋2＋1= 8（个）面。 前后方向的棱有 6 条，左右方向的棱有 6 条，上下方向的棱也有 6 条，所以共有棱 6＋6＋6=18（条）。 例 2 右图是由 18 个边长为 1 厘米的小正方体拼成的， 求它的表面积。分析与解：如果一面一面去数，那么虽然可以得到答案，但太麻烦， 而且容易出错。仔细观察会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、 前面与后面的面积分别相等。如上图所示，可求得表面积为 （9＋7＋8）×2=48（厘米 2）。 例 3 右图是由 22 个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大 小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？第 67页，共 178页68分析与解：正方体只可能有两种： 由 1 个小正方体构成的正方体，有 22 个； 由 8 个小正方体构成的 2×2×2 的正方体，有 4 个。 所以共有正方体 22＋4=26（个）。 由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下 图所示的 上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有 13 个，左右位有 13 个， 前 后位有 14 个，共有 13＋13＋14=40（个）。例 4 有一个棱长为 5 厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个 穿透的完全相同的孔（见下页左上图），求这个立体图形的表面积。分析与解：由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。我们可以将 这个立体图形看成由 8 个棱长为 2 厘米的正方体和 12 个棱长为 1 厘米的 立方体粘合而成。如右上图所示，八个棱长为 2 厘米的正方体分别在 8 个顶角，12 个棱长 1 厘米的正方体分别在 12 条棱的中间。由于每个小正 方体都有 2 个面分别粘接两个较大正方体，相对于不粘接，减少了表面积 4 厘米 2 ，所以总的表面积为 （2×2×6）×8＋（1×1×6）×12-4×12=216（厘米 2）。 例 5 右图是由 120 块小立方体构成的 4×5×6 的立方体，如果将其 表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少 块？第 68页，共 178页69分析与解：一个长方体有 8 个角、12 条棱、6 个面，角上的 8 个小立 方体三面涂有红色， 在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色，在面上 而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红 色。 根据上面的分析得到： 三面涂有红色的小立方体有 8 块； 两面涂有红色的小立方体，因为每条棱上要去掉两头的 2 块，故有 ［（4-2）＋（5-2）+（6-2）］×4=36（块）； 一面涂有红色的小立方体，因为每个面上要去掉周围一圈的小立方 体，故有 ［（4-2）×（5-2）＋（4-2）×（6-2）＋（5-2）×（6-2）］×2 ＝ 52（块）。 一般地，当 a，b，c 都不小于 2 时，对于 a×b×c 的立方体： 三面涂有红色的小立方体有 8 块； 两面涂有红色的小立方体的块数是： ［（a-2）＋（b-2）＋（c-2）］×4； 一面涂有红色的小立方体的块数是： ［（a-2）×（b-2）＋（a-2）×（c-2）＋（b-2）×（c-2）］×2； 没有被涂上红色的小立方体的块数是： （a-2）×（b-2）×（c-2）。 例 6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种， 每种颜色涂两个面，共有多少种不同涂法？（两种涂法，经过翻动能使各 种颜色的位置相同，认为是相同的涂法。） 分析与解：根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。第 69页，共 178页70（1）两个红色面相对。此时，有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。 （2）两个红色面相邻。此时，除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外， 当蓝黄相对时，按右图摆放，底面有蓝或黄两种涂法。 所以共有 6 种不同涂法。练习 13 1.下页左上图中共有多少个面？多少条棱？2.有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后 把露出的表面涂成红色。求被涂成红色的表面积。 3.有一个正方体，红、黄、蓝色的面各有两面。在这个正方体中， 有 一些顶点是三种颜色都不同的面的交点， 这种顶点最多有几个？最少有几 个？ 4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为 1 厘米 3 的小正 方体，其中一点红色都没有的小立方体只有 3 块。求原来长方体的体积。 5.将一个 5×5×5 的立方体表面全部涂上红色，再将其分割成 1×1 ×1 的小立方体，取出全部至少有一个面是红色的小立方体，组成表面全 部是红色的长方体。那么，可组成的长方体的体积最大是多少？ 6.在边长为 3 分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的 洞，洞口呈边长为 1 分米的正方形（见左下图）。求挖洞后木块的体积及 表面积。第 70页，共 178页717.把正方体的六个表面都划分成 9 个相等的正方形 （右上图） 用红、 。 黄、 蓝三种颜色去染这些小正方形， 要求有公共边的正方形染不同的颜色， 那么，用红色染的正方形最多有多少个？ 答案与提示 1.9 个面，21 条棱。 2.56 米 2。 解：4×4+（1+2+3+4）×4=56（米 2）。 3.8 个；2 个。 提示：颜色相同的面两两相对时有 8 个； 颜色相同的面两两相邻时有 2 个。 4.45 厘米 3。 解：由 3 块小立方体构成的长方体体积为 1×1×3 厘米 3，故原来长方体的 体积为 （1+2）×（1+2）×（3+2）=45（厘米 3）。 5.96。 解：至少有一个面是红色的小立方体有 53-33=98（个），其中三面红的 8 个， 两面红的 36 个，一面红的 54 个。可以组成 4×4×6 的表面全是红色的长方体， 体积是 4×4×6=96。 6.20 分米 3；72 分米 3。 7.22 个。 解：一个面最多有 5 个方格可染成红色（见左下图）。因为染有 5 个红色方 格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成 5 个红色方格。 练习 13第 71页，共 178页72其余四个面中， 每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染 4 个红 色方格（见上中图）。因为染有 4 个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以 至多有两个面可以染成 4 个红色方格。 最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染 2 个红色方格（见右上图）。 所以，红色方格最多有 5×2+4×2+2×2=22（个）。( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲立体图形（二） 本讲主要讲长方体和立方体的展开图，各个面的相对位置，提高同学 们的看图能力和空间想象能力。例 1 在下面的三个图中，有一个不是右面正四面体的展开图，请将 它找出来。第 72页，共 178页73分析与解：观察四面体容易看出，每个顶点都是三个面的交点，即四 面体的每个顶点只与三个面相连， 而在图 2 中， “中心点” 与四个面相连， 所以图 2 不是正四面体的展开图。 例 2 在下面的四个展开图中，哪一个是右图所示立方体的展开图？分析与解：观察立方体图形，A，B，C 三个面两两相邻，即三个面有 一个公共顶点。 再看四个展开图， 1 中 A 与 C 不相邻， 图 是相对的两个面， 不合题意；图 3 中 C 与 B 是相对的两个面，也不合题意；图 2、图 4 中 A， B，C 三个面都相邻，还需进步判别。我们看下面的两个立方体图形：这两个图虽然相似，但是 A，B，C 三个面的相对位置不同。我们可以借助一个现成工具――右手，帮助判断三个面的相对位置。 伸出右手，让除大姆指外的四指从 A 向 B 弯曲，此时，左上图中 C 位于大 姆指指向的方向， 右上图中 C 位于大姆指指向的相反方向。 所以两个图 A， B，C 三个面的相对位置不同。用这种方法判断三个面相对位置的方法称 为右手方法。（这也是建立空间坐标系的方法）。 用右手方法很容易判断出，图 4 是所求的展开图。第 73页，共 178页74例 3 右图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，1 点与哪 些点重合？分析与解： 直接想象将展开图折叠成纸盒时的情景， 也可以得到答案。 现在我们从另一个角度来分析。在左下图所示的立方体上观察 8 个顶点， 其中与 A 点不在一个表面上的只有 B 点，也就是说，沿着表面走，这两个点的路程最远。 在展开图上， 这两个点恰好是相邻两个小正方形所构成的长方形的对角线 上的两个端点。在上页右下图中，1，2，6 点都距 9 点最远，也就是说， 1，2，6 点都与 9 点不在一个表面上。而与 9 点不在一个表面上的只有一 个点，所以 1，2，6 点是同一个点，即折叠成纸盒时，1，2，6 点重合。 例 4 有两块六个面上分别写着 1～6 的相同的数字积木， 摆放如下图。 在这两块积木中，相对两个面上的数字的乘积最小是多少？分析与解：由两图看出，5 与 1，3，4，6 都相邻，所以 5 的对面只 能是 2；对右上图使用右手方法，四指由 5 向 4 弯曲，大姆指指向 6，将 5，4，6 的这个关系移到左上图，立刻得到 1 的对面是 4，3 的对面是 6。 5×2＝10，1×4＝4，3×6＝18， 相对两个面上的数字的乘积最小是 4。 例 5 有五颗相同的骰子放成一排（如下图），五颗骰子底面的点数 之和是多少？第 74页，共 178页75分析与解：五颗骰子有三颗露出了 5，并且 5 和 1，2，3，6 相邻， 所以 5 的对面是 4；2 与 1，3，5 相邻，因为 5 与 4 相对，故 2 也与 4 相 邻，所以 2 的对面是 6；剩下的 1 与 3 必相对。 五颗骰子底面的点数从左至右依次是 4，6，3，1，4，其和为 4＋6 ＋3＋1＋4＝18。 例 6 用一平面去截一个立方体，把立方体截成两个部分，截口是一 个矩形的。问：这两个部分各是几个面围成的？ 分析与解：截的方法有多种，所以一定要分情况讨论。截口通过 1 条棱是 1 种情况，截口通过 2 条棱是 1 种情况，截口不通过任何棱有 2 种情况。所以共有下图所示的四种可能。练习 14 1.在下列各图中，哪些是正方体的展开图？第 75页，共 178页762.将左下图沿虚线折成一个立方体， 它的相交于一个顶点处的三个面 上的数字之和的最大值是多少？最小值是多少？3.有四枚相同的骰子，展开图如右上图（1）。问：在右上图（2）中， 从上往下数第二、三、四枚骰子的上顶面的点数之和是多少？4.将一个立方体纸盒沿棱剪开，使之展开成右图所示的图形，一共要 剪开几条棱？ 5.左下图是图（1）（2）（3）中哪个正方体的展开图？第 76页，共 178页776.在一个立方体的六个面上分别写有 A，B，C，D，E 五个字母，其中 两个面写有相同的字母。 下图是它的三个视图。 哪个字母被写了两遍？ 问：7.右图中第 1 格内放着一个立方体木块，木块六个面上分别写着 A， B，C，D，E，F 六个字母，其中 A 与 D，B 与 E，C 与 F 相对。如果将木块 沿着图中方格滚动，那么当木块滚动到第 21 个格时，木块向上的面写的 是哪个字母？答案与提示练习 141.（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20） 共 11 个。 2.13；8。 提示：最大是 6+4+3=13；最小是 1+2+5=8。 3.12。 提示：用右手方法可得，第二、三、四枚骰子上顶面的点数依次为 3， 6 和 1。第 77页，共 178页784.7 条。 提示：每剪开一条棱，展开图的周长就会增加 2 条棱长。展开图的周 长是 14 条棱长，所以剪开了 14÷2=7（条）棱。 注：沿棱剪，无论剪成哪种连通的展开图，都要剪开 7 条棱。也就是 说，无论哪种展开图，周长都等于 14 条棱长。 5.图（1）。 提示：图（2）正面有两个相连的阴影的正方形，展开图中找不到， 所以不是图（2）；图（3）正面与右侧面各有两个阴影正方形，这四个阴 影正方形没有相邻的边，而展开图中有两个阴影正方形的面，折叠后有两 个阴影正方形相邻，所以不是图（3）。 6.C。 解：假设 C 只写了一遍。因为 C 与 A，B，D，E 都相邻，所以被写了 两遍的字母在 C 的对面。 C 相邻的四个字母的相互位置是确定的。 （2） 与 图 （3）都有 D，C，用右手方法判断，图（2）与图（3）不符。这个矛盾的 出现，是因为假设 C 只写了一遍，所以 C 写了两遍。 7.A。 提示：木块沿直线滚动 4 格，与原来的状态相同，所以木块到第 5， 9，13，17，21 格时，与在第 1 格的状态相同。( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲棋盘的覆盖 同学们会下棋吗？下棋就要有棋盘，下面是中国象棋的棋盘（图 1）， 围棋棋盘（图 2）和国际象棋棋盘（图 3）。第 78页，共 178页79用某种形状的卡片， 按一定要求将棋盘覆盖住， 就是棋盘的覆盖问题。 实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列 的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。 棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问题，二是有多少 种不同的覆盖方法问题。 例 1 要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示 的图形？分析与解： 因为图形由 3 个小方格构成， 所以要拼成的正方形内所含 的小方格数应是 3 的倍数，从而正方形的边长应是 3 的倍数。经试验， 不 可能拼成边长为 3 的正方形。 所以拼成的正方形的边长最少是 6 见右图） （ ， 需要用题目所示的图形 36÷3= 12（个）。第 79页，共 178页80分析与解：在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。左上图共 有 34 个小方格，17 个 1×2 的卡片也有 34 个小方格，好象能覆盖住。我 们将左上图黑白相间染色，得到右上图。细心观察会发现，右上图中黑格 有 16 个，白格有 18 个，而 1×2 的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白 格，所以 17 个 1×2 的卡片应当盖住黑、白格各 17 个，不可能盖住左上 图。 例 3 下图的七种图形都是由 4 个相同的小方格组成的。现在要用这 些图形拼成一个 4×7 的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多 可以用上几种不同的图形？分析与解： 先从简单的情形开始考虑。 显然， 只用 1 种图形是可以的， 例如用 7 个（7）；用 2 种图形也没问题，例如用 1 个（7），6 个（1）。 经试验，用 6 种图形也可以拼成 4×7 的长方形（见下图）。能否将 7 种图形都用上呢？7 个图形共有 4×7=28（个）小方格，从 小方格的数量看，如果每种图形用 1 个，那么有可能拼成 4×7 的长方形。 但事实上却拼不成。 为了说明， 我们将 4×7 的长方形黑、 白相间染色 （见 右图），图中黑、白格各有 14 个。在 7 种图形中，除第（2）种外，每种 图形都覆盖黑、白格各 2 个，共覆盖黑、白格各 12 个，还剩下黑、白格 各 2 个。第（2）种图形只能覆盖 3 个黑格 1 个白格或 3 个白格 1 个黑格， 因此不可能覆盖住另 6 种图形覆盖后剩下的 2 个黑格 2 个白格。综上所述，要拼成 4×7 的长方形，最多能用上 6 种图形。 例 4 用 1×1，2×2，3×3 的小正方形拼成一个 11×11 的大正方形， 最少要用 1×1 的正方形多少个？ 分析与解：用 3 个 2×2 正方形和 2 个 3×3 正方形可以拼成 1 个 5× 6 的长方形（见左下图）。用 4 个 5×6 的长方形和 1 个 1×1 的正方形 可以拼成 1 个 11×11 的大正形（见右下图）。第 80页，共 178页81上面说明用 1 个 1×1 的正方形和若干 2×2， 3×3 的正方形可以拼成 11×11 的大正方形。那么，不用 1×1 的正方形，只用 2×2，3×3 的正 方形可以拼成 11×11 的正方形吗？ 将 11×11 的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）。将 2×2 或 3×3 的正方形沿格线放置在任何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以 无论放置多少个 2×2 或 3×3 的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个。 但是，右图中的白格有 11×7=77（个），是奇数，矛盾。由此得到，不 用 1×1 的正方形不可能拼成 11×11 的正方形。综上所述， 要拼成 11×11 的正方形， 至少要用 1 个 1×1 的小正方形。 例 5 用七个 1×2 的小长方形覆盖下图，共有多少种不同的覆盖方 法？分析与解： 盲目无章的试验， 很难搞清楚。 我们采用分类讨论的方法。如下图所示，盖住 A 所在的小格只有两种情况，其中左下图中①②两 个小长方形只能如图覆盖，其余部分有 4 种覆盖方法：右下图中①②③三第 81页，共 178页82个小长方形只能如图覆盖，其余部分有 3 种覆盖方法。所以，共有 7 种不 同覆盖方法。 例 6 有许多边长为 1 厘米、2 厘米、3 厘米的正方形硬纸片。用这些 硬纸片拼成一个长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形的纸板，共有多少种不同的 拼法？（通过旋转及翻转能相互得到的拼法认为是相同的拼法） 解：有一个边长 3 厘米纸片有如下 3 种拼法：有两个边长 2 厘米纸片的有如下 4 种拼法：有一个边长 2 厘米及 11 个边长 1 厘米纸片的有 2 种拼法，边长全是 1 厘米纸片的有 1 种拼法。共有不同的拼法 3＋4＋2+1=10（种）。 答：共有 10 种不同的拼法。练习 15在不重叠的情形下，不能再在正方形中多放一个这样的卡片？（要求 卡片的边缘与格线重合）第 82页，共 178页834.小明有 8 张连在一起的电影票（如右图），他自己要留下 4 张连在 一起的票，其余的送给别人。他留下的四张票可以有多少种不同情况？5.有若干个边长为 1、边长为 2、边长为 3 的小正方形，从中选出一 些拼成一个边长为 4 的大正方形，共有多少种不同拼法？（只要选择的各 种小正方形的数目相同就算相同的拼法）7.能不能用 9 个 1×4 的长方形卡片拼成一个 6×6 的正方形？ 答案与提示 练习 151.3 个。提示：左下图是一种放法。2.图（2）。 提示：图（1）的小方格数不是 3 的倍数；图（3）的小方格数是 3 的倍数但拼不成；图（2）的拼法见右上图。 3.不能。 提示：右图中黑、白格各 18 个，每张卡片盖住的黑格数是奇数，9 张卡片盖住的黑格数之和仍是奇数，不可能盖住 18 个黑格。第 83页，共 178页844.25 种。 提示：形如图（A）（B）（C）（D）的依次有 3，10，6，6 种。5.6 种。 解：用小正方形拼成边长为 4 的大正方形有 6 种情形： （1）1 个 3×3，7 个 1×1；（2）1 个 2×2，12 个 1×1； （3）2 个 2×2，8 个 1×1；（4）3 个 2×2，4 个 1×1； （5）4 个 2×2；（6）16 个 1×1。 6.5 种。 提示：盖住 A 有下图所示的 5 种方法，其中左下图所示的 3 种都无法 覆盖；下中图中，①放好后，左下方和右上方各有 2 种放法，共有 4 种覆 盖方法；右下图只有 1 种覆盖方法。7.不能。 提示：用 1，2，3，4 对 6×6 棋盘中的小方格编号（见右图）。一个 1×4 的矩形一次只能覆盖 1，2，3，4 号各一个，而 1，2，3，4 号数目 不等，分别有 9，10，9，8 个。第 84页，共 178页85( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲找规律 同学们从三年级开始，就陆续接触过许多“找规律”的题目，例如发 现图形、数字或数表的变化规律，发现数列的变化规律，发现周期变化规 律等等。这一讲的内容是通过发现某一问题的规律，推导出该问题的计算 公式。 例 1 求 99 边形的内角和。 分析与解：三角形的内角和等于 180°，可是 99 边形的内角和怎样 求呢？我们把问题简化一下， 先求四边形、 五边形、 六边形……的内角和， 找一找其中的规律。如上图所示，将四边形 ABCD 分成两个三角形，每个三角形的内角和 等于 180°，所以四边形的内角和等于 180°×2= 360°；同理，将五边 形 ABCDE 分成三个三角形，得到五边形的内角和等于 180°×3＝540°； 将六边形 ABCDEF 分成四个三角形，得到六边形的内角和等于 180°×4＝ 720°。 通过上面的图形及分析可以发现，多边形被分成的三角形数，等于边 数减 2。由此得到多边形的内角和公式： n 边形的内角和=180°×（n-2）（n≥3）。 有了这个公式，再求 99 边形的内角和就太容易了。第 85页，共 178页8699 边形的内角和=180°×（99-2）＝17460°。 例 2 四边形内有 10 个点，以四边形的 4 个顶点和这 10 个点为三角 形的顶点，最多能剪出多少个小三角形？ 分析与解：在 10 个点中任取一点 A，连结 A 与四边形的四个顶点， 构成 4 个三角形。再在剩下的 9 个点中任取一点 B。如果 B 在某个三角形 中，那么连结 B 与 B 所在的三角形的三个顶点，此时三角形总数增加 2 个（见左下图）。如果 B 在某两个三角形的公共边上，那么连结 B 与 B 所在边相对的顶点，此时三角形总数也是增加 2 个（见右下图）。类似地，每增加一个点增加 2 个三角形。 所以，共可剪出三角形 4＋ 2× 9= 22（个）。 如果将例 2 的“10 个点”改为 n 个点，其它条件不变，那么由以上 的分析可知，最多能剪出三角形 4＋2×（n-1）=2n＋2=2×（n＋1）（个）。 同学们都知道圆柱体，如果将圆柱体的底面换成三角形，那么便得到 了三棱柱（左下图） ；同理可以得到四棱柱（下中图） ，五棱柱（右下图） 。如果底面是正三角形、正四边形、正五边形……那么相应的柱体就是 正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱…… 例 3 n 棱柱有多少条棱？如果将不相交的两条棱称为一对，那么 n 棱柱共有多少对不相交的棱？ 分析与解： 棱柱的底面和顶面都是 n 边形， n 每个 n 边形有 n 个顶点， 所以 n 棱柱共有 2n 个顶点。观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的图形，可以 看出，每个顶点都与三条棱相连，而每条棱连接 2 个顶点，所以 n 棱柱 共有棱 2n×3÷2=3n（条）。第 86页，共 178页87进一步观察可以发现，n 棱柱中每条棱都与 4 条棱相交，与其余的 3n －4-1 = （3n－5 ）条棱不相交。 共有 3n 条棱， 所以不相交的棱有 3n×（ 3n5）（条），因为不相交的棱是成对出现的，各计算一遍就重复了一遍， 所以不相交的棱共有 3n×（3n-5）÷2（对）。 例 4 用四条直线最多能将一个圆分成几块？用 100 条直线呢？ 分析与解：4 条直线时，我们可以试着画，100 条直线就不可能再画 了，所以必须寻找到规律。如下图所示，一个圆是 1 块；1 条直线将圆分 为 2 块，即增加了 1 块；2 条直线时，当 2 条直线不相交时，增加了 1 块， 当 2 条直线相交时，增加了 2 块。由此看出，要想分成的块尽量多，应当 使后画的直线尽量与前面已画的直线相交。再画第 3 条直线时，应当与前面 2 条直线都相交，这样又增加了 3 块（见左下图）；画第 4 条直线时，应当与前面 3 条直线都相交，这样又 增加了 4 块（见右下图）。所以 4 条直线最多将一个圆分成 1＋1＋2＋3 ＋4=11（块）。由上面的分析可以看出，画第 n 条直线时应当与前面已画的（n―1） 条直线都相交，此时将增加 n 块。因为一开始的圆算 1 块，所以 n 条直线 最多将圆分成 1＋（1＋2＋3＋…＋n） =1＋n（n+1）÷2（块）。 当 n=100 时，可分成 1＋100×（100＋1）÷2=5051（块）。 例 5 用 3 个三角形最多可以把平面分成几部分？10 个三角形呢？第 87页，共 178页88分析与解：平面本身是 1 部分。一个三角形将平面分成三角形内、外 2 部分，即增加了 1 部分。两个三角形不相交时将平面分成 3 部分，相交 时，交点越多分成的部分越多（见下图）。由上图看出，新增加的部分数与增加的交点数相同。所以，再画第 3 个三角形时，应使每条边的交点尽量多。对于每个三角形，因为 1 条直线 最多与三角形的两条边相交，所以第 3 个三角形的每条边最多与前面 2 个三角形的各两条边相交，共可产生 3×（2×2）= 12（个）交点，即增 加 12 部分。因此， 3 个三角形最多可以把平面分成 1＋1＋6＋12= 20（部分）。 由上面的分析，当画第 n（n≥2）个三角形时，每条边最多与前面已 画的（n―1）个三角形的各两条边相交，共可产生交点 3×［（n―l）×2］=6（n―1）（个），能新增加 6（n－1）部分。 因为 1 个三角形时有 2 部分， 所以 n 个三角形最多将平面分成的部分数是 2＋6×［1＋2＋…＋（n―1）］当 n=10 时，可分成 2＋3×10×（10―1）=272（部分）。练习 16 1.求 12 边形的内角和。 2.五边形内有 8 个点。 以五边形的 5 个顶点和这 8 个点为三角形的顶 点，最多能剪出多少个小三角形？ 3.已知 n 棱柱有 14 个顶点，那么，它有多少条棱？ 4.n 条直线最多有多少个交点？ 5.6 条直线与 2 个圆最多形成多少个交点？第 88页，共 178页896.两个四边形最多把平面分成几部分？ 答案与提示练习 16 1.1800°。 2.19 个。 提示：与例 2 类似可得 5+2×（8-1）=19（个）。 3.21 条棱。提示：n 棱柱有 2n 个顶点，3n 条棱。 4.n（n-1）÷2。 解：1+2+3+…+（n-1）=n（n-1）÷2。 5.41 个。 解：6 条直线有交点 6×（6-1）÷2=15（个），每条直线与两个圆各 有 2 个交点，两个圆之间有 2 个交点，共有交点 15+6×4+2=41（个）。 6.10 部分。 提示：见右图。与例 5 类似，当画第 n（n≥2）个四边形时，每条边 应与已画的（n-1）个四边形的各 2 条边相交，共可产生交点4×[（n-1）×2]=8（n-1）（个），新增加 8（n-1）部分。因为 1 个四边形有 2 部分，所以 n 个四边形最多将平面分成 2+8×[1+2+…+ （n-1）]=2+4n（n-1）（部分）。( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲操作问题第 89页，共 178页90所谓操作问题，实际上是对某个事物按一定要求进行的一种变换， 这 种变换可以具体执行。例如，对任意一个自然数，是奇数就加 1，是偶数 就除以 2。这就是一次操作，是可以具体执行的。操作问题往往是求连续 进行这种操作后可能得到的结果。 例 1 对于任意一个自然数 n，当 n 为奇数时，加上 121；当 n 为偶 数时，除以 2。这算一次操作。现在对 231 连续进行这种操作，在操作过 程中是否可能出现 100？为什么？ 讨论：同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到 100，但也不能肯定得 不到 100。当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程 就进入循环，这时就可以肯定不会出现 100。因为这一过程很长，所以这 不是好方法。 解：因为 231 和 121 都是 11 的倍数，2 不是 11 的倍数，所以在操作 过程中产生的数也应当是 11 的倍数。100 不是 11 的倍数，所以不可能出 现。 由例 1 看出，操作问题不要一味地去“操作”，而要找到解决问题的 窍门。 例 2 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差， 称为一次变换。如对 18 和 42 可进行这样的连续变换： 18， 42―→ 18， 24―→ 18， 6―→ 12， 6―→ 6， 6。直到两 数相同为止。问：对 12345 和 54321 进行这样的连续变换，最后得到的两 个相同的数是几？ 分析与解：如果两个数的最大公约数是 a，那么这两个数之差与这两 个数中的任何一个的最大公约数也是 a。因此在每次变换的过程中，所得 两数的最大公约数始终不变， 所以最后得到的两个相同的数就是它们的最 大公约数。因为 12345 和 54321 的最大公约数是 3，所以最后得到的两个 相同的数是 3。 注：这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法。第 90页，共 178页91例 3 右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个 数字所对应的黑板处均写着 0。然后转动圆盘，每次可以转动 90°的任意 整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数 加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可 能都是 999？解：不可能。因为每次加上的数之和是 1＋2＋3＋4=10，所以黑板上 的四个数之和永远是 10 的整数倍。 999×4=3996，不是 10 的倍数，所以 黑板上的四个数不可都是 999。 例 4 在左下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加 1 或减 1，这算作一次操作。经过若干次操作后，左下图变为右下图。问： 右下图中 A 格中的数字是几？分析与解： 每次操作都是在相邻的两格， 我们将相邻的两格染上不同 的颜色（见右图）。因为每次操作总是一个黑格与一个白格的数字同时加 1 或减 1，所以所有黑格内的数字之和与所有白格内的数字之和的差保持 不变。因为原题左图的这个差是 13，所以原题右图的这个差也是 13。由 （A＋12）-12=13 解得 A=13。 例 5 将 1～10 十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的数 大于后面的数，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都 小于后面的数为止。当 1～10 十个数如下排列时，需交换多少次？ 8，5，2，6，10，7，9，1，4，3。 分析与解：为了不打乱仗，我们按照一定的方法来交换。例如，从最 大的数 10 开始交换，将 10 交换到它应在的位置后，再依次对 9，8，7，… 实施交换，直至按从小到大排列为止。 因为 10 后面有 5 个比它小的数，所以对 10 连续交换 5 次，10 到了 最右边，而其它各数的前后顺序没有改变；再看 9，9 后面有 3 个比它小 的数， 需交换 3 次， 到了右边第二位， 9 排在 10 前面； 再依次对 8， 6， 7， … 实施这样的交换。第 91页，共 178页9210 后面有 5 个比它小的数，我们说 10 有 5 个逆序；9 后面有 3 个比 它小的数，我们说 9 有 3 个逆序；类似地，8，7，6，5，4，3，2 依次有 7，3，3，4，1，0，1 个逆序。因为每个数要交换的次数就是它的逆序数， 所以需交换 5＋3＋7＋3＋3＋4＋1＋0＋1= 27（次）。 例 6 右图是一个 5×6 的方格盘。先将其中的任意 5 个方格染黑。然 后按以下规则继续染色： 如果某个格至少与两个黑格都有公共边，那么就将这个格染黑。 这样操作下去，能否将整个方格盘都染成黑色？分析与解：以一个方格的边长为 1，开始时 5 个黑格的总周长不会超 过 4×5=20。以后每染一个格，因为这个格至少与两个黑格都有公共边， 所以染黑后所有黑格的总周长不会增加。左下图中，A 与 4 个黑格有公共 边，染黑后，黑格的总周长将减少 4；下中图中，A 与 3 个黑格有公共边， 染黑后，黑格的总周长将减少 2；右下图中，A 与 2 个黑格有公共边，染 黑后，黑格的总周长不变。也就是说按照这种方法染色，所有黑格的总周 长永远不会超过 20，而 5×6 方格盘的周长是 22，所以不能将整个方格 盘染成黑色。练习 17 1.黑板上写着 1～15 共 15 个数，每次任意擦去两个数，再写上这两 个数的和减 1。例如，擦掉 5 和 11，要写上 15。经过若干次后，黑板上 就会只剩下一个数，这个数是几？ 2.在黑板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于 1 的最小自然数替换这个数，称为一次操作。问：最多经过多少次操作， 黑 板上就会出现 2？第 92页，共 178页933.口袋里装有 101 张小纸片，上面分别写着 1～101。每次从袋中任 意摸出 5 张小纸片， 然后算出这 5 张小纸片上各数的和，再将这个和的后 两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后，袋中还剩 下一张纸片，这张纸片上的数是几？ 4.在一个圆上标出一些数：第一次先把圆周二等分，在两个分点分别 标上 2 和 4。第二次把两段半圆弧分别二等分，在分点标上相邻两分点两 数的平均数 3（见右图）。第三次把四段弧再分别二等分，在四个分点分 别标上相邻两分点两数的平均数。如此下去，当第 8 次标完后，圆周上所 有标出的数的总和是多少？5.六个盘子中各放有一块糖， 每次从任选的两个盘子中各取一块放入 另一个盘子中，这样至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一个盘子 中？ 6.将 1～10 十个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的大于后 面的，那么就交换它们的位置。如此操作下去，直到前面的数都小于后面 的数为止。已知 10 在这列数的第 4 位，那么最少要交换多少次？最多要 交换多少次？ 7.在右图的方格表中，每次给同一行或同一列的两个数加 1，经过若 干次后，能否使表中的四个数同时都是 5 的倍数？为什么？答案与提示 1.106。练习 17提示：操作一次，黑板上的数减少 1 个，数字总和减少 1。经过 14 次操作，剩下的一个数是 （1+2+…+15）-14=106。 2.2 次。第 93页，共 178页94提示：若写的是奇数，则只需 1 次操作；若写的是大于 2 的偶数， 则 经过 1 次操作变为奇数，再操作 1 次变为 2。 3.51。 提示：口袋中所有纸片的数字之和的后两位数保持不变。 4.758。 提示：第一次标完数后，以后每次标上的数字之和都等于上次圆周上 的所有数字之和，即每次标完数后，圆周上的所有数字之和是原来的 2 倍。第 8 次标完后的总和是 6×28-1=6×27=768。 5.4 次。 提示：将各次操作表示如下： （1，1，1，1，1，1）―→（0，3，1，1，1，0）―→（2，2，1，1， 0，0） ―→（4，1，1，0，0，0）―→（6，0，0，0，0，0）。 6.6 次；42 次。 提示：与例 5 类似，当十个数按 1，2，3，10，4，5，6，7，8，9 排列时，交换的次数最少，要交换 6 次；当十个数按 9，8，7，10，6，5， 4，3，2，1 排列时，交换的次数最多，要交换 42 次。 7.不能。 解：要使第一列的两个数 1，4 都变成 5 的倍数，第一行应比第二行 多变（3+5n）次；要使第二列的两个数 2，3 都变成 5 的倍数，第一行应 比第二行多变（1+5m）次。 因为（3+5n）除以 5 余 3，（1+5m）除以 5 余 1，所以上述两个结论 矛盾，不能同时实现。 注：m，n 可以是 0 或负数。第 94页，共 178页95( ) 小学数学奥数基础教程(六年级)本教程共 30 讲取整计算 任何一个小数（或分数）都可以分成整数和纯小数（或真分数）两部 分。在数学计算中，有时会略去数字的小数部分，而只取它的整数部分。 比如，做得到正确答案是 2 件。为了方便，我们引进符号［ ］： ［a］表示不超过数 a 的最大整数，称为 a 的整数部分。与+，-，×，÷符号一样，符号［］也是一种运算，叫取整运算。 显 然，取整运算具有以下性质：对于任意的数字 a，b， （1）［a］≤a； （2）a≤［a］＋1； （3）［a］＋［b］≤［a＋b］； （4）若 a≤b，则［a］≤［b］； （ 5）若 n 是整数，则［ a＋n］=［a］＋n。 同学们可以自己举些例子来验证这五条性质。 例 1 计算［13÷［π］×4］。 解：［13÷［π］×4］ ［13÷3×4］例 2 1000 以内有多少个数能被 7 整除？第 95页，共 178页96分析与解：同学们在三年级“包含与排除”一节中就见过这类题目， 现在我们用取整运算来重新计算。1000 以内能被 7 整除的数，从 1 开始 每 7 个数有 1 个，所以共有例 3 求 1～1000 中能被 2 或 3 或 5 整除的数的个数。都被重复计算了，应当减去。另外，同时能被 2，3，5 整除的数，开始被 加了三遍，后来又被减了三遍，所以还应当补上。例 4 1000 以内有多少个数既不是 3 也不是 7 的倍数？ 分析：在 1～1000 中，除去“既不是 3 也不是 7 的倍数”的数，剩下 的数或者是 3 的倍数，或者是 7 的倍数。用例 3 的方法可求出这部分数的 个数。1000 与这部分数的个数之差即为所求。例 5 求下式约简后的分母：第 96页，共 178页97分析与解： 因为 6=2×3， 所以分母中的 500 个 6 相乘， 等于 。 只要我们求出分子中有多少个因子 2、多少个因子 3，就可以与分母中的 因子 2 和因子 3 约分了。因为分子的 1000 个因数中有 500 个偶数，所以 至少有 500 个因子 2，这样分母中的 500 个因子 2 将被全部约掉。分子中 有因子 3 的数，有的只有 1 个因子 3，有的有 2 个因子 3，等等。因为 36=729＜87，所以分子的每个因数最多有 6 个因子 3。与分母约分后，分母还剩两个因子 3。 所以，约简后的分母是 9。 注意：在上面的计算中，并不需要真的这样计算。因为式中的分子都 是 1000，分母依次是 3，32，33，…后面一个是前面一个的 3 倍，所以在 取整运算中，只需口算：1000 除以 3 等于 333（小数部分舍掉，下同）， 333 除以 3 等于 111，111 除以 3 等于 37，37 除以 3 等于 12，12 除以 3 等于 4，4 除以 3 等于 1。于是得到 333＋111＋37＋12＋4＋1=498（个）。 在上面的运算中，当得数小于 3 时就自然停止，事先不必求出分母最 大是 3 的几次方。 例 6 在下面的等式中，M，n 都是自然数，n 最大可以取几？ 1×2×3×…×99×100＝12n×M。第 97页，共 178页98分析与解：因为 12=22×3，