用向量解立体几何中的问题
高考中立体几何部分每年都有一个大题,对于新教材试卷,这个大题一般来说都可以用向量来解,那么怎么用向量来解立体几何问题,向量在立体几何中又有什么应用呢?我们举例说明. 1.求异面直线所成的角 设两异面直线的方向向量分别为不,不,那么这两条异面直线所成的角 8=, c。58一Ic。S}. 例1(2004北京春季高考17题)如图2四棱锥S一ABCD的底面是边长为1的正方形,SD土底面ABCD,SB一丫饭 (I)求证:BC土SC; (fl)求面ASD与面BSC所成的二面角的大小;图1图2 (班)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成的角的大小. 解(工)如图建立空间直角坐标系,由题设易知BD一涯,SD一1, S(O,0,1),B(1,1,0),C(0,l,O). SC=(O,1,一1),BC=(一1,O,0). SC·BC=0,…SC土BC. (11)很明显面ASD与面BSC所成的二面角是锐二面角,其大小设为0.又、设平面SBC的...&
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空间向量引入立体几何是数学课程改革的重点之一。其中改革的难点和焦点在于:空间向量应该放在一个什么样的位置?传统的立体几何又应该放在一个什么样的位置?如何在立体几何的教学和学习中,正确处理好空间向量的位置问题。本研究主要采用问卷调查法、访谈法、文献分析法和比较分析法,对东北地区三所学校的六个班级学生以及若干教师进行调查,集中研究空间向量对立体几何教与学产生的影响,包括对教学内容、教学方法、学生数学思维能力三方面的影响。自2007年3月开始,笔者查阅了有关空间向量与立体几何课程、教学方面的大量文献,在此基础上,对《全日制普通高级中学数学教学大纲》与《普通高中数学课程标准(实验)》关于空间向量内容的要求,进行了比较研究。同时,对《全日制普通高级中学教科书(必修)第二册下(B)》与《普通高中课程标准试验教科书》关于立体几何与空间向量的课程内容安排,进行了文本对比分析。2008年3月,对东北地区三所学校(辽宁省实验中学、黑龙江省实验中学、...&
(本文共51页)
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向量,具有代数和几何的双重属性,引入高中课程,对课程结构以及解决问题的方式和方法产生了很大的冲击和影响,通过这几年的教学实践,广大一线教育工作者体会得尤为深刻.本文首先通过文献综述的方式,归纳和总结出这些年来人们在认识向量和向量教学中取得的一些重要成果,为向量教学提供启迪和帮助.接着,本文试图通过新教材中向量编写的比较了解各个新教材中向量编写的特点,从中体会编写的意图,充分挖掘教材内涵,更好地开展向量教学.最后,根据分析、比较研究笔者就目前向量教学的现状,谈谈自己的意见,提出几点思考.希望能够为中学数学教育提供几点可行性的建议,为新课程的推广和实施尽一份绵薄之力.&
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随着新一轮的课程改革,高中数学教材中有关空间向量的内容得到了进一步的完善,现已发展到自成体系,独立成章的阶段。空间向量本身具有几何形式和代数形式的双重身份,是高中数学知识的一个交汇点,尤其是利用空间向量将一些立体几何元素的位置关系转化为数量关系,可以将一些形式逻辑证明转化为数值运算,达到化难为易,化复杂为简单,从而降低学生的学习难度。同时,在立体几何的学习过程中,要正确处理好空间向量法和传统综合法的关系。笔者在查阅大量相关文献的基础上,特别的对《全日制普通高级中学数学教学大纲》和《普通高中数学课程标准(实验)》；《全日制普通高级中学教科书(必修)第二册下(B)》和《普通高中课程标准实验教科书》中关于空间向量和立体几何的内容及教学要求进行了对比分析,并进一步通过对高三理科三个班209名学生进行问卷调查,还对部分学生进行了面对面的访谈调查,探寻空间向量的引入对学生学习立体几何的影响。最后,将调查得到的数据进行合理统计和分析,得知：第...&
(本文共57页)
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向量是高中数学课程的重要内容。向量作为一种不同于数的量，有自己独特的运算结构和系统，学习向量有助于发展学生对“数、量和运算”的认识。向量几何提供了一种认识空间和图形的新方法，使学生初步领略机械化的现代数学思想。向量是现代数学的基本概念之一，可以使师生从一种新的角度诠释许多初等数学知识，并为学习高等数学中线性代数理论奠定基础。近几年，从数学角度探索向量教与学的研究多是探讨技术进入数学课程后怎样影响学生数学概念的发展以及解题途径的产生。向量概念包括方向和大小两个维度，有几何图像和代数坐标等多种表征方式。这给教学和学生的概念理解都带来一定困难。向量进入我国高中数学课程后，引起广大师生的极大关注和兴趣。但国内数学教育研究领域对向量教学中许多重要而基础的问题一直缺少实证研究。例如普通高中数学课程标准中要求学生“理解平面向量概念”，“能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理。”，“体会向...&
(本文共209页)
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向量在近代数学的很多领域中都有广泛的应用,特别是二维、三维的向量,它们既有数组的表现形式,又有直观的几何意义,因此能成为研究中学几何问题的有效工具。将三维向量(也称空间向量)融入立体几何已成为当前立体几何改革的重要措施。空间向量引入立体几何,对传统的教育模式以及课程结构产生了很大的冲击和影响,对空间向量与立体几何结合的重要价值和作用得到了数学教育界的普遍关注,国内有不少人进行了大量的理论探索,但缺乏关注对一线教师与学生的实证研究。结合新课程改革背景,亲身深入教学一线中,将研究聚焦于师生对待向量观点下的立体几何课程的态度上具有重要的意义。本研究试图将认同感研究扩展到一线教师与学生对待向量法的态度上,从关注学生和教师的视角,对师生关于向量观点下立体几何课程认同感变量和影响因素进行调查和分析,旨在反映真实的课程实施情况和师生的态度和要求,希望对向量融入立体几何课程的改革提供一些借鉴。本文主要采用问卷调查法、访谈法以及文献法从师生两个维...&
(本文共51页)
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用向量法解立体几何问题
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6. ABCA1B1C1DAC
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&&& A1B1C1D1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& A. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.
&&& C. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
&&& A. &&&&&&&&&&&&&&&&&& B.
&&& C. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
3. MABC&&&
4. A110B010CABC&&&
&&& A. 101&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.
&&& C. 101&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.
5. A023B216C115S____________________
6. ABCA112B562C131ACBD___________
7. ____________
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&&& 1AA1BC
&&& 2B1A1BC
10. ABCPAABCPA2DEFBCDCACADPEF
11. ABCDBCD60BDABDC
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1. D&&&&&&&&&&&&&&&&& 2.
A&&&&&&&&&&&&&& 3.
C&&&&&&&&&&&&&& 4.
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9. 1CCACBCC1xyz
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&&& BHDEHBHACD
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细微之处显善良
男青年把这种感激化作了更多小小的善，带到了社会的角角落落。立体几何中的向量方法
我的图书馆
立体几何中的向量方法
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
&&& 立体几何中的向量方法
二. 重点、难点：
直线，m的方向向量为
平面的法向量为
【典型例题】
[例1] 已知，若且，求x+y的值。
又&&&& 即②
由①②有：或
[例2] 设向量，计算，并确定的关系，使与z轴垂直。
即当满足即使与z轴垂直
[例3] 如图，在空间四边形ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，且AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD和BE所成的角为，求BD的长度。
解：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意有A（0，2，0），C（2，0，0），则E（1，1，0），设D（0，0，z），（z&0），则
∵ &&&&&&∴
[例4] 在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成的角的余弦；
（3）求FH的长。
解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，）
F（）C（0，1，0）B1（1，1，1）C1（0，1，1），G（0，，0）
（2）&&&& ∴
故EF与所成角的余弦值为
（3）∵ H为C1G1的中点&&& ∴ H（0，），又F（）
[例5] 如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。
（1）写出A、B1、E、D1的坐标；
（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。
解：（1）A（2，2，0）B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2）
∴ 与所成的角的余弦值为
[例6] 如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。
（1）求证：EF//平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。
证：如图，建立空间直角坐标系，设，，则：
A（0，0，0），B（），C（），D（），P（）
∵ E为AB的中点，F为PC的中点&&& ∴ E（），F（）
∴ &&&&&∴ 与、共面
又∵ 平面PAD&&& ∴ EF//平面PAD
（2）∵ &&&&∴
（3）若，则有，即&&&& ∴
&& ∴ &&&&&∴
∵ 平面AC&& ∴ 是平面AC的法向量
∴ EF与平面AC所成的角为：
[例7] 在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，
（1）求证：平面ADE；
解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），
A（1，0，0，），D1（0，0，1），E（1，1，），F（0，，0）
&&&& ∴ &&&&&∴ 平面ADE
（2）B1（1，1，1），C（0，1，0），故
[例8] 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。
（1）证明PA//平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C—PB—D的大小。
解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=。
（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG
依题意得A（），P（0，0，a），E（）
∵ 底面ABCD是正方形&&&& ∴ G是此正方形的中心
故点G的坐标为（）且，
∴ ，这表明PA//EG，而平面EDB且PA平面EDB
∴ PA//平面EDB
（2）证明：依题意得B（），
∴ PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD
（3）解：设点F的坐标为（），，则
从而，所以
由条件EF⊥PB知，即
解得&& ∴ 点F的坐标为（）
，即，故是二面角C—PB—D的平面角
∴ ，所以，二面角C—PC—D的大小为
[例9] 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是的垂心G。
（1）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求点A1到平面AED的距离。
解：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即是与平面ABD所成的角，如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=，则A（），B（），D（0，0，1），A1（，0，2），E（），G（）
∴ &&&&&∴ ，解得
A1B与平面ABD所成角是
（2）由（1）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）
∴ 平面AA1E，又 ED平面AED
∴ 平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E=AE
∴ 点A在平面AED的射影K在AE上
由，即，解得
即点A1到平面AED的距离为
[例10] 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
解：如图，设，以为坐标向量建立空间直角坐标系C—xyz
由题设C（0，0，0），A（4，4，0），B（0，4，0），D（4，0，0），E（2，4，0），
F（4，2，0），G（0，0，2）
设BM⊥平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数，使得
由BM⊥平面EFG，得BM⊥GE， BM⊥EF，于是
整理得：&& 解得
故点B到平面EFG的距离为
[例11] 已知正方体的棱长为1，求直线与AC的距离。
解：如图，设，以为坐标向量建立空间直角坐标系，则有
设是直线方向上的单位向量，则
∵ &&&&&&∴
取，则向量在直线上的投影为
由两个向量的数量积的几何意义知，直线与AC的距离为
[例12] 如图，在直四棱柱中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB//DC。
（1）设E是DC的中点，求证：D1E//平面A1BD；
（2）求二面角的余弦值。
（1）证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系。
设DA=a，由题意知：D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，2a，0），
C1（0，2a，2a），A&1（a，0，2a），D1（0，0，2a），E（0，a，0）
∵ 平面平面
∴ 平面A1BD
（2）取DB的中点F，DC1的中点M，连结A1F、FM，由（1）及题意得知：
∴ &&&&∴ 为所求二面角的平面角
∴ 二面角的余弦值为
【模拟试题】
1. 在空间直角坐标系中，已知点P（），那么下列说法正确的是（&&& ）
A. 点p关于x轴对称的坐标是
B. 点p关于yoz平面对称的坐标是
C. 点p关于y轴对称点的坐标是
D. 点p关于原点对称点的坐标是（）
2. 下列命题是真命题的是（&&& ）
A. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B. 若，则的长度相等而方向相同或相反
C. 若向量满足，且与同向，则
D. 若两个非零向量与满足，则
3. 已知点，且该点在三个坐标平面yoz平面，zox平面，xoy平面上的射影的坐标依次为和则（&&& ）
A. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B.
C. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D. 以上结论都不对
4. 到定点（1，0，0）的距离小于或等于1的点集合为（&&& ）
5. 已知和，则的取值范围是（&&& ）
&&& A. [0，5]&&& B. [0，25]&&& C. [1，5]&&& D.（1，5）
6. 已知，则向量与的夹角为（&&& ）
&&& A. 30°&&& B. 45°&&& C. 60°&&& D. 90°
7. 已知为单位正交基，且，则向量与向量的坐标分别是&&&&&&&&&&&&& 。
8. 若，则同方向的单位向量是&&&&&&&&&& 。
9. 已知，则的最小值是&&&&&&& 。
10. 若向量，夹角的余弦值为，则等于&&&&&&& 。
11. 已知，则向量与的夹角是&&&&& 。
12. 且两两垂直，则&&& &&&，&&
&&&&&& ，&&&&&&& 。
13. 设，且的夹角为120°，则等于&&&&&&&&&& 。
14. 已知长方体，OA=OC=2，OO1&=4，D为BC&1&与B1C交点E为A1C1与O1B1的交点，则DE的长度为&&&&&&&& 。
15. 设向量与互相垂直，向量与它们构成的角都是60°，且，那么&&&&&& ，&&&&&&&&& 。
16. 已知，则向量的关系分别是&&&&& ，&&& ，
&&&&&&&& 。
【试题答案】
1. D&&& 2. D&&&& 3. A&&&& 4. A&&&& 5. C&&&& 6. C&&&& 7. ；
8. &&&&9. &&&&10. &&&&11. 90°&& 12. －64；－26；－17
13. 2&&& 14. &&&15. －62；373&&& 16.
馆藏&45303
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谈“基向量法”解立体几何题
甘肃省秦安县第二中学,741600
摘　要:向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一．向量的四种运算即加法、减法、数乘向量、数量积运算（运算律）沟通了几何图形中线段的相等、平行、垂直、角的大小等几何图形的性质，并与代数、三角函数等数学知识有着密切联系，为解决几何问题提供了强有力的工具．教学实践表明：建立直角坐标系，把向量坐标化和灵活选择一组基底向量（即基向量）是用向量解几何题的基本策略和方法。我们不妨把前者称为“建系法”，后者称为“基向量法”，本文主要介绍“基向量法”．
特别说明：本文献摘要信息，由维普资讯网提供，本站只提供索引，不对该文献的全文内容负责，不提供免费的全文下载服务。
金月芽期刊网 2018浅析向量在立体几何中的应用
潘龙康摘 要：我们从中学开始就接触和学习了与向量有关的一些内容，它是作为现代数学的一个标志进入到我们的教学进程中的。向量给我们学习几何问题提供了一种程序性和代数化的方法，将复杂以及抽象化的几何问题转化为较简单、易理解的代数问题，是我们研究和分析几何问题的强有力的工具。有利于我们在高中学习数学时更便利，更容易接受，因为在高中的数学学习中几何占据了很重要的地位，是我们学习高中数学不可或缺的一部分。因为刚刚接触空间几何是很难一步到位，做到融汇贯通的，这就需要我们运用向量作为转换的工具，简化解题程序。充分的利用向量来解决几何问题中常见的证明和计算这两大类问题，使得解题的步骤变得更加具有程序化和可推理化。关键词：向量;立体几何;运用一、向量在几何问题中的作用自从在高中的数学教材中增添了向量这一模块后，复数在高中教材中的内容和作用被向量逐渐代替和取代。这就充分证明了向量的重要性和其广大的发展前景。而且通过近几年的学生的成绩和学习效果来看，向量的课堂引入所起到的作用远远高于复数的作用，因为复数只能在在平面上应用以解决平面上的问题，没有办法解决空间几何的问题。而向量有平面向量和空间向量之分，不仅有利于解决平面上的问题，而且对空间几何的帮助也是非常大的。其给学习空间几何的初学者提供了更易理解的渠道和方法，是促进高中几何代数化的强有力的媒介。现在数学教材的编制都引入了向量模块，用向量法去解决几何问题具有步骤简化、思路清楚的好处。这也表明了转变方式恰当的情况下往往会产生出乎意料的结果。用向量代替复数在数学教程中就是一种正确的方式转化，更容易提高学生的学习兴趣，减轻学生的学习压力。向量法有平面向量和空间向量之分，一方面，平面向量不仅可以解决不等式、测量、以及三角等问题，还可以解决很多常见的证明问题，例如：平行、垂直、共线、相切等问题;还可以解决一部分的求值问题，例如：比值、距离等问题。由此可以看出，向量在解决平面问题中的用途还是非常广泛的。另一方面，空间向量对涉及立体几何的证明与计算中主要处理以下两类问题：即位置关系和度量问题。位置关系主要包括线线平行、线线垂直、线面平行以。度量问题主要包括点到线、到面的距离，线线以及线面所成的角，面面所成的角等.其在解决空间几何问题中是占据很大的优势的，会使复杂的空间几何问题变得更具程序化，解决起来也更加的简化方便易理解。用空间向量解决立体几何中的这些问题，其独到之处，在于用向量来处理空间问题。引入向量法之后，体现了数学中数与形的完美结合，充分显示了它的优越性。二、向量在立体几何中的应用现状向量法的运算工具是以向量和向量运算为解题工具的，通过对几何的各个元素以及元素之间的联系进行探究，其优点是有目共睹的，可以使学生以最简单的方法去更高效的学习。可以培养学生的转化以及数形结合的思维和能力，同时可以使复杂的立体几何问题的繁琐的解题过程变得简单化、程序化、代数化。但是向量法是不能解决所有的空间几何问题的，因为世界上不可能存在一种方法就能解决所有的问题的，我们所能选择的就是从众多的方法中去选择一种合适和恰当的方法。因此我们在用向量的方法解决立体几何问题时要注重将向量和其他的综合方法一起使用。因为向量法也是存在一定的缺点的，例如：计算量相对较大，这就造成了对一些计算能力较弱的学生来说是一种很大的挑战，是比较容易出错的。并且在解决问题的过程中会存在技巧性过强，且很难把握解题过程中的规律，对学生的基础知识和理解能力的要求是比较高。三、向量法解决立体几何的步骤用向量坐标运算解题步骤：（1）建立空间直角坐标系.注意尽可能用已经存在的过同一个点的两两垂直的三线，如果没有三线，也尽量找两线垂直，然后作出第三线和两线垂直，按右手系建立坐标系.注意所写点的坐标要与所建立的坐标系相一致.（2）写出需要用到的点的坐标.注意要仔细再仔细，此步若错，全题皆错.（3）写出所要用到的向量坐标.注意必须终点坐标减始点坐标.（4）通过计算解决具体问题.注意公式要记对，运算要仔细.综上所述，向量法在立体几何中的引入对于我们解决复杂的空间几何问题是非常有效的。给我们提供了全新的解题思路和解题方法，这是对我们传统的解题方法的一种突破，也促使我们在今后解决问题是要敢于寻求新的方式方法，相信会给我们带来意想不到的效果。参考文献：[1] 孙晓雄.向量在立体几何中的应用[J].考试周刊，2008（6）：20-21.[2]李雪霞.空间向量在立体几何中的应用[J].高中数学教与学：2004（8）：96-98.[3] 张萍.浅谈用向量法解立体几何题[J].中学数学研究，2004（4）：37..
2016年20期
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