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66数学分析.doc中科院研究生院硕士研究生入学考试
《数学分析》考试大纲
本《数学分析》考试大纲适用于中国科学院研究生院数学和系统科学等学科各专业硕士研究生入学考试.数学分析是一门具有公共性质的重要的数学基础课程,由分析基础、一元微分学和积分学、级数、多元微分学和积分学等部分组成.要求考生能准确理解基本概念,熟练掌握各种运算和基本的计算、论证技巧,具有综合运用所学知识分析和解决问题的能力.
一、考试基本要求
要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论,掌握数学分析的基本思想和方法.要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力.
二、考试方法和考试时间
数学分析考试采用闭卷笔试形式,试卷满分为150分,考试时间为180分钟.
三、考试内容和考试要求
(一)考试内容
1. 分析基础
(1) 实数概念、确界
(3) 序列极限与函数极限
(4) 无穷大与无穷小
上极限与下极限
(6) 连续概念及基本性质,一致连续性
(7)收敛原理
2. 一元微分学
(1) 导数概念及几何意义
(2) 求导公式求导法则
(3) 高阶导数
(5) 微分中值定理
(6) L’Hospital法则
(7) Taylor公式
(8) 应用导数研究函数
3. 一元积分学
(1) 不定积分法与可积函数类
(2) 定积分的概念、性质与计算
(3) 定积分的应用
(4) 广义积分
(1) 数项级数的敛散判别与性质
(2) 函数项级数与一致收敛性
(3) 幂级数
(4) Fourier级数
5. 多元微分学
(1) 欧氏空间
(2) 多元函数的极限
(3) 多元连续函数
(4) 偏导数与微分
(5) 隐函数定理
(6) Taylor公式
(7) 多元微分学的几何应用
(8) 多元函数的极值
6. 多元积分学
(1) 重积分的概念与性质
(2)重积分的计算
(3)二重、三重广义积分
(4)含参变量的正常积分和广义积分
(5)曲线积分与Green公式
(6)曲面积分
(7)Gauss公式、Stokes公式及线积分与路径无关
(8)场论初步
(二)考试要求
1.分析基础
了解实数公理,理解上确界和下确界的意义.掌握绝对值不等式及平均值不等式.
熟练掌握函数概念(如定义域、值域、反函数等).
掌握序列极限的意义、性质(特别,单调序列的极限存在性定理)和运算法则,熟练掌握求序列极限的方法.
掌握函数极限的意义、性质和运算法则(自变量趋于有限数和趋于无限两种情形),熟练掌握求函数极限的方法,了解广义极限和单侧极限的意义.
熟练掌握求序列极限和函数极限的常用方法(如初等变形、变量代换、两边夹法则等),掌握由递推公式给出的序列求极限的基本技巧,以及应用Stolz公式求序列极限的方法.
理解无穷大量和无穷小量的意义,了解同阶和高(低)阶无穷大(小)量的意义.
了解上极限和下极限的意义和性质.
熟练掌握函数在一点及在一个区间上连续的概念,理解函数两类间断点的意义,掌握初等函数的连续性,理解区间套定理和介值定理.理解一致连续和不一致连续的概念.
掌握序列收敛的充分必要条件及函数极限(当自变量趋于有限数及趋于无穷两种情形)存在的充分必要条件.
2.一元微分学
掌握导数的概念和几何意义,了解单侧导数的意义,解依据定义求函数在给定点的导数.
解应用求导公式和法则熟练计算函数导数(包括用参数式给出的函数的导数)、隐函数的导数以及函数的高阶导数.
理解函数微分的概念和函数可微的充分必要条件,了解一阶微分的不变性,能利用微分作近似计算.
理解并掌握微分中值定理(Rolle定理,Lagrange定理和Cauchy中值定理),并能应用它们解决函数零点存在性及不等式证明等问题.
熟练掌握应用L’Hospital法则求函数极限的方法.
理解Taylor公式(Lagrange余项和Peano余项)的意义,并熟记五个基本公式(在x=0点的带有Peano余项的Taylor公式),能将给定函数在指定点展成Taylor级数,掌握应用Taylor公式解决不等式证明、求函数极限等问题的基本技巧.
熟练掌握应用导数判断函数升降、凹凸性以及画出函数图像的方法,以及求一元函数极值和最值的方法.
3.一元积分学
理解不定积分概念和基本性质,熟记基本积分表,理解并掌握换元法和分部积分法的意义和方法,解应用他们熟练计算不复杂的不定积分.
了解可积分函数类的意义及其积分法,熟练掌握有理函数、三角函数有理式及简单的根式的有理式的积分方法.
理解定积分的概念,掌握定积分的基本性质及函数在有限区间上可积的充分必要条件,熟练掌握定积分的计算方法.了解变限定积分的性质,掌握积分中值定理.
熟练应用定积分计算平面曲线弧长、平面图形面积、立体体积、旋转曲面表面积,并解应用于求均匀平面图形重心坐标等简单物理、力学问题.
理解广义积分及其收敛、绝对收敛和发散的意义,掌握广义积分收敛的判定法则.
掌握数项级数收敛、发散和绝对收敛的概念、级数收敛的充分必要条件(Cauchy准则),收敛和绝对收敛级数的性质以及级数加法和乘法的运算法则.
熟练掌握正项级数敛散判别法(比较判别法、D’Alembert判别法、Cauchy根式判别法以及Cauchy积分判别法),掌握一般项级数敛散判别方法.能计算一些特殊数项级数的和.
理解函数项级数收敛的意义并能确定其收敛域.理解函数序列一致收敛以及函数项级数一致收敛的意义,掌握函数项级数一致收敛的判别法则(Cauchy一致收敛准则,Weierstrass判别法,Abel判别法,Dirichlet判别法)及一致收敛级数的性质
理解幂级数的概念并能确定其收敛半径.掌握幂级数的基本性质和运算法则,熟记五个基本幂级数展开式().能求出给定函数在指定点的幂级数展开式及应用幂级数运算求一些级数的和.
理解函数Fourier展开式的意义,掌握求Fourier展开式的基本方法.了解Fourier级数的收敛性定理、逐项积分和逐项求导定理以
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to find out more about this error.分析学中最古老、最基本的分支，一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础的一个较为完整的数学学科。它…阅读全文关注话题分享阅读全文4K217 条评论分享收藏感谢阅读全文3.7K331 条评论分享收藏感谢msdn.microsoft.com/en-us/library/windows/desktop/dd692972(v=vs.85).aspx阅读全文2.4K116 条评论分享收藏感谢阅读全文2.4K160 条评论分享收藏感谢阅读全文1.7K156 条评论分享收藏感谢52,682数学分析教案_优秀范文网
数学分析教案
一、课程的性质、目的和任务
本课程是高等师范院校数学专业的一门必修的重要基础课和主干课。它的教育目标是使学生获得极限论，一元和多元微分学、积分学和无穷级数等方面的系统知识。是进一步学习复变函数、实变函数、泛函分析、微分方程，微分几何、概率论、点集拓扑等课程的基础，同时对中学数学起着居高临下的指导作用。培养从事数学基础理论研究人员及中学合格数学教师。
二、课程教学内容及教学基本要求&
通过本课程的讲授和学习，要求达到：
1、使学生理解和掌握极限的思想与方法。
2、正确理解数学分析基本概念，基本上掌握数学分析的论证方法，具备较熟练的演算技能和初步地应用能力。
3、能满足新世纪新科技发展的需求，能胜任自己的工作，并能运用自己所学得的数学分析思想方法去解决工作中所遇到的实际问题。
第一章 &&&实数集与函数(8学时)
1、教学内容
实数，数集，确界原理，函数概念，具有某些特征的函数。
2、教学目的及要求
了解实数的小数表示形式，理解实数的有序性、稠密性与封闭性，实数集确界原理，函数的定义及复合函数、有界函数、反函数、单调函数和初等函数的定义，掌握邻域的概念，实数绝对值的有关性质，基本初等函数的定义、性质及其图象。
第二章　　数列极限(16学时)
1、教学内容
数列极限的概念，收剑数列的性质，数列极限存在的条件。
2、教学目的及要求
理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念和收敛数列性质，掌握数列极限的 定义及收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理、单调有界定理和柯西准则。
第三章　函数的极限(14学时)
1、教学内容
函数极限的概念，函数极限的性质，函数极限存在的条件，两个重要极限，无穷小量与无穷大
量，阶的比较。
2、教学目的及要求
了解函数极限的几何意义，理解函数极限的定义，掌握函数极限的基本性质、海涅定理与柯西
准则、两个重要极限、无穷小（大）量及其阶的比较。
第四章　函数的连续性(14学时)
1、教学内容
函数连续的概念，连续函数的性质，初等函数的连续性。
2、教学目的及要求
了解函数的间断点及其种类、初等函数的连续性，理解函数在一点连续和在某区间上一致连续
的概念，掌握连续函数的局部性质、运算性质、复合函数和反函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
第五章& 导数与微分(16学时)
1、教学内容
导数概念，求导法则，微分，高阶导数与高阶微分。
2、教学目的及要求
了解导数的物理意义和导数、微分的几何意义，理解导数、微分的定义和一阶微分形式的不变
性，掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、高阶导数与高阶微分的计算方法。
第六章　　微分中值定理及其应用(14学时)
1、教学内容
中值定理，几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则，泰勒公式，函数的单调性与极值，
函数的凸性与拐点，函数作图，方程的近似解。
2、教学目的及要求
了解导函数的极限定理与导函数的介值性定理、求方程近似解的牛顿切线法并估计误差、
函数凸性的概念，理解中值定理及其分析意义与几何意义、泰勒定理、函数在某一区间上单调以及严格单调的意义和条件，掌握中值定理的证明方法、罗比塔法则及其应用、泰勒公式、函数单调性与单调区间的判别法、极值的判别法、描绘函数图象的一般方法和步骤。
第七章　　实数完备性 (12学时)
1、教学内容
实数完备性六个等价定理，闭区间上连续函数整体性质的证明，上、下极限。
2、教学目的及要求
了解数列上极限、下极限的概念及其与数列极限的关系，理解六个基本定理的实质意义和相互
等价性，掌握区间套、聚点、开覆盖等概念、六个基本定理的条件与结论及证明的基本思想方法和应用。
第八章　　不定积分(16学时)
1、教学内容
不定积分概念与基本积分公式，换元积分法与分部积分法，几类可化为有理函数的积分。
2、教学目的及要求
了解积分与微分的互逆关系，理解原函数与不定积分的关系及其几何意义，掌握不定积分的线性运算法则、基本积分公式、换元积分法、分部积分法、有理函数的积分、三角函数有理式的积分、简单无理函数的积分。
第九章　　定积分 (16学时)
1、教学内容
定积分的概念，定积分条件，微积分学基本定理。
2、教学目的及要求
了解可积的必要条件及上和、下和的性质，理解并掌握定积分的思想、定积分的性质、微积分学基本定理，掌握换元积分法和分部积分法并能解决计算问题。
第十章&&&& 定积分应用（12学时）
1、教学内容
平面图形面积计算，已知截面面积求体积，曲线弧长与曲率，重心坐标、平均值、变力作功。
2、教学目的及要求
掌握各种平面图形面积的计算方法、曲线弧长的各种表达形式及其计算方法、定积分在物理学上的应用，理解并掌握由截面面积函数求空间立体体积的计算公式的应用、利用微元法计算旋转曲面的面积。
第十一章&& 反常积分（10学时）
1、教学内容
反常积分概念，无穷积分的性质与收敛判别，瑕积分的性质与收敛判别。
2、教学目的及要求
了解无穷积分、瑕积分的性质与收敛性判别法，理解非正常积分的概念，掌握无穷积分与瑕积分的计算方法。
第十二章　　数项级数(12学时)
1、教学内容
级数的敛散性，正项级数，一般项级数。
2、教学目的及要求
理解并掌握级数、部分和、收敛、发散的概念，理解级数的收敛准则及其性质，熟练掌握正项级数敛散性判别法的比较原则、比式、根式判别法，牢记并熟练掌握等比级数、调和级数、P级数的敛散性，且能灵活应用，理解交错级数的概念，进而掌握其敛散性判别法，弄清绝对收敛的含义并掌握其有关的性质及一般项级数的敛散性判别法。
第十三章　　函数列与函数项级数(12学时)
1、教学内容
一致收敛性，一致收敛的函数列与函数项级数的性质。
2、教学目的及要求
理解并掌握函数列（或函数项级数）及一致收敛的概念和性质，掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别，掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性、可积性、可微性，并能解决实际问题。
第十四章　　幂级数(12学时)
1、教学内容
幂级数，函数的幂级数展开。
2、教学目的及要求
掌握幂级数的概念、性质、收敛域、一致收敛性，理解并会求幂级数的收敛区间及半径，理解和函数的性质，掌握幂级数的有关运算，理解并掌握函数的幂级数展开并会计算函数值。
第十五章　　傅里叶级数(12学时)
1、教学内容
傅里叶级数，以 为周期的傅里叶级数，收敛定理的证明。
2、教学目的及要求
正确理解三角级数，正交函数系等概念，掌握傅里叶级数的定义及收敛定理，理解以 为周期的函数的傅里叶级数与其周期延拓函数的傅里叶级数的关系，理解并掌握一个其图形由有限段光滑弧线构成的函数，都可以用傅里叶级数表示，掌握并区别奇、偶函数的傅里叶展开式，理解并会应用傅里叶级数的收敛性定理。
第十六章　　多元函数极限与连续(14学时)
1、教学内容
平面点集与多元函数的概念，二元函数的极限，二元函数的连续性，
2、教学目的及要求
掌握平面点集的有关概念，并能求出函数的定义域，绘出其图形，理解并掌握二元函数的极限，能利用累次极限解决问题，搞清重极限与累次极限的关系，理解二元函数的连续性，掌握有界域上连续函数的性质。
第十七章　　多元函数的微分学(12学时)
1、教学内容
可微性，复合函数的微分法，方向导数与梯度，泰勒定理与极值。
2、教学目的及要求
理解偏导数、全微分、方向导数、梯度等概念。弄清可微、连续、偏导数存在、偏导数连续之间的关系，熟练掌握求偏导数，特别是求复合函数偏导数的运算，会求空间曲线的切线方程，法平面方程；空间曲面的切平面方程，法线方程；掌握泰勒公式的意义和用途，并能写出简单二元函数的泰勒公式或马克劳林公式；掌握求二元函数的局部极值和最大（小）值的方法，并能解决一些简单的应用问题。
第十八章　　隐函数定理及其应用(16学时)
1、教学内容
隐函数，隐函数组，几何应用，条件极值。
2、教学目的及要求
理解隐函数概念，掌握隐函数（组）定理及反函数组定理，要求能运用定理验证方程（或方程组）确定隐函数（或隐函数组），能熟练而准确地求隐函数（或隐函数组）与反函数组的偏导数，了解隐函数存在的几何意义以及坐标变换的一些结果，会求平面曲线的切线方程和法线方程，空间曲线的切线方程与法平面方程，空间曲面的切平面方程与法线方程，熟练掌握求条件极值的拉格朗日乘数法，并能把实际中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。
第十九章　　含参量积分（12学时）
1、教学内容
参量正常积分，含参量反常积分，欧拉积分。
2、教学目的及要求
理解含参量正常积分的概念，掌握含参量正常积分的连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换并熟练掌握它们的应用，理解含参量反常积分一致收敛的概念，掌握其判别的方法，掌握含参量反常积分的分析性质，并能应用其计算积分，了解欧拉积分。
第二十章 　　曲线积分 (8学时)
1、教学内容
第一型曲线积分，第二型曲线积分。
2、教学目的及要求
理解并掌握第一型曲线积分的概念、性质、计算，理解并掌握第二型曲线积分及其性质、计算方法，了解两类曲线积分之间的联系。
第二十一章&&& 重积分(18学时)
1、教学内容
二重积分概念，二重积分的计算，格林公式和曲线积分与路线的无关性，二重积分的变量变换，三重积分，重积分的应用。
2、教学目的及要求
掌握重积分的概念、可积条件、性质，会用累次积分的方法计算二重积分，能够根据积分区域和被积函数的特征进行适当的变量替换，熟练掌握极坐标替换，一般坐标替换。理解并掌握格林公式及曲线积分与路线的无关性，并能解决有关计算问题。会用累次积分的方法计算三重积分，能够根据三维空间中积分区域的特征和被积函数的特点选取适当的累次积分次序，即“先二重后一重”或“先一重后二重”的方法，从而简化三重积分的计算。会用柱面坐标、球面坐标与广义柱、球面坐标变换计算三重积分；会用二重积分计算光滑曲面的面积，用二、三重积分计算物体重心坐标和物体的转动惯量以及平面图形的面积、立体的体积。通过练习应学到各种技巧，以便快速、准确、简洁地解决这类问题。
第二十二章　　曲面积分（14学时）
1、教学内容
第一型曲面积分，第二型曲面积分，*场论初步。
2、教学目的及要求
理解并掌握第一型曲面积分的概念、性质、计算，理解并掌握曲面侧的概念，掌握第二型曲面积分的概念、性质及计算方法，了解两类曲面积分之间的联系，理解并掌握高斯公式和斯托克斯公式，并能运用它们解决某些计算问题，了解场论的有关概念及各种场的有关性质和计算方法。
三、课程教学环节
《数学分析》是数学专业的一门重要的基础课，其特点是计算繁琐且又有一定的技巧性，概念多、内容抽象，所以在教学中以课堂讲授为主，讲清概念及相关的论证，同时作业是反馈学生掌握知识的实际程度的渠道之一，因而任课教师必须做到充分重视，量能适中，及时交流。
本课程应配置足够的习题，习题分基本题和补充题两部分。基本题一般要求学生必须熟练的独立完成；补充题根据实际情况作不同选取，使之保证教学大纲的实施，又有利于学生的学习水平的进一步提高巩固。
每次课后都应布置足够的习题，内容包括一般题和证明题。每次作业及时全部批改，并将作业情况作详细的记录。
合理、适时安排习题课时间作为教师与学生互相交流、讨论、小结的机会和场所，立足与启迪思维，培养能力。
四、课时分配及教学方式和手段
课内实践教学
课 时 小 计
备&&&&&& 注
教 学 方 式
教 学 方 式
实数集与函数
函数的连续性
导数与微分
微分中值定理及其应用
实数完备性
定积分的应用
函数列与函数级数
傅里叶级数
多元函数极限与连续
多元函数的微分学
隐函数定理极其应用
含参量积分
第二十一章
第二十二章
合&&&&&&&&&& 计
五、本课程与其它课程的联系
《数学分析》是一门重要的专业基础课，它在数学的各们课程中都有应用，尤其是复变函数、实变函数、常微分方程、概率论与数理统计、泛函分析等课程联系密切。
六、建议教材及教学参考书
教材：华东师大编《数学分析》，高等教育出版社。
教学参考书：
(1)F.M.菲赫金歌菲《微积分学教程》(三卷八分册)，路见可等译，人民教育出版社，1980年。
(2)Gabriel,Klambauer,Problems and Propositions in analysis,University of Ottawa, Canada.
(3) 《数学分析简明教程》&& 邓东皋等编
(4)复旦大学编《数学分析》，高等教育出版社。
(5)郝涌，卢士堂等编《考研数学精解》，华中理工大学出版社，1999.3。
七、几点说明
1、本大纲是在国家科委1980年颁发的“数学分析”教学大纲的基础上，根据国家面向21世纪高等教育改革大政方针，结合面向21世纪高等师范院校的数学专业人才培养的目标，三个面向未来，面向中学教育，加强基础，注重应用的原则，经过教改实验，反复和讨论修改后而制度定的。
2、本大纲内容括号内所注学时数为讲授学时数；凡是加有*的内容仅供选用。
[数学分析教案]相关文章：
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