56和63的最大公因数和最小公倍数_百度知道
56和63的最大公因数和最小公倍数
你好：56=7×2×2×263=7×3×356和63的最大公因数=756和63的最小公倍数=7×2×2×2×3×3=504
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最大公因数：7最小公倍数：504
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数学小升初
序言时代在发展，科学在进步。现在各优秀学校逐渐向自主招生靠拢，通过自 主考试来选拔想要的人才，从而升学考试的内容越来越广、越来越深。单是靠 课本知识只能应对毕业考试，如果想要去到一些优秀的学校则需要在课本知识 的基础上进行拓展。针对这一情况，学校的优秀教师团队根据多年的教学经验 和对广西各优秀学校自主招生模式的研究和学习，总结出了本书。虽然目前市 面上各类小升初的书籍琳琅满目，但是它们大多数是针对全国各个省市的小升 初，而我们的书籍，主要是针对广西特别是南宁的小升初考试。近几年参加小 升初辅导的学生人数越来越多，在家长的要求和学生的期望下，优秀的教师团 队经过几年的努力，对各自主招生学校的考试特点和考试范围进行了深入的研 究和学习，总结出一些常见的考点和题型录入本书。 本书主要从小学知识脉络和复习特点以及小考必考考点等方面分为数与代 数、空间与图形、解决问题三大模块进行阐述，涵盖了小升初考试所涉及的知 识点，每个模块的知识点都有相应的例题和详细的解析及解题技巧，并配有变 式训练，让学生在了解知识的同时能够进行应用拓展，训练自己的思维和培养 解题能力。除此之外，每个模块后还有配套的综合应用以及各名校的优题训练， 进一步提高学生的能力，让学生的的能力得到一个阶梯式的提升。 祝同学们，在小升初的道路上取得优异的成绩，成长为祖国的栋梁之材！目第一章：数与代数录1第一节：数的认识 ????????????????????? 3 第二节：式与方程 ????????????????????? 12 第三节：比和比例 ????????????????????? 22 第四节：数的运算 ????????????????????? 33 第五节：统计与可能性 ??????????????????? 49 第六节：探索规律 ????????????????????? 58第二章：空间与图形第一节：平面图形 ????????????????????? 71 第二节：立体图形 ????????????????????? 84第三章：解决问题第一节：分数的应用 ???????????????????? 95 第二节：行程问题 ????????????????????? 106 第三节：工程问题 ????????????????????? 119 第四节：利润问题 ????????????????????? 132 第五节：浓度问题 ????????????????????? 142 第六节：方案问题 ????????????????????? 151第一章：数与代数第一节 数的认识知识经纬1、掌握数的读法、改写；22、熟练的进行数的计算及数的互化； 3、灵活的运用数的计算、数的性质解决实际问题；知识要点一、数的改写与省略写1、整数改写成用&万&或&亿&作单位的数 把一个较大的多位数，改写成用&万&（或&亿&）作单位的数，只要在&万&位或（&亿&位） 的右下角点上小数点，再在这个数的末尾添上&万&字（或&亿&字） ． 2、省略一个数某一位后面的尾数，写成近似数 （1）用&四舍五入&法：看要保留的这一位后一位的数是否满 5，如果满 5 就向前一位进 一；否则，则舍去尾数． 如：4.62975≈ 4.63（保留两位小数） 4.62975≈ 4.6（保留一位小数） （2）进位法：一般用于在材料需求上，只要保留的数位后面还有别的数，就向前一位进 1．二、因数与倍数1、如果 a× b=c（a、b、c 是非 0 自然数） ，那么 a 和 b 是 c 的因数，c 是 a 和 b 的倍数。 2、因数的特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的是 1，最大的是它本身。 3、 倍数的特点： 一个数的倍数的个数是无限的， 其中最小的是它本身， 没有最大的倍数。 4、求最大公因数和最小公倍数的方法：①短除法；②分解质因数法。 两数关系 互质关系 因数倍数关系 最大公因数 1 较小数 最小公倍数 它们的乘积 较大数三、小数点的移动：1、向右移：小数点向右移动一位，这个数将扩大到原数的 10 倍； 小数点向右移动两位，这个数将扩大到原数的 100 倍；以此类推???? 2、向左移：小数点向左移动一位，这个数将缩小 10 倍； 小数点向左移动两位，这个数将缩小 100 倍；以此类推????四、数的互化：1、小数改写成分数：先改写成分母是 10，100，1000……的分数，再约分。如：0．25 =325 1 = 100 42、小数改写成百分数：先把小数点向右移动两位，添上&%&。如：0．725 = 72．5% 3、分数改写成小数： （1）用分数的分子去除以分母； （2）如果是带分数要先化成假分数，再用分数的分子去除以分母。 4、分数改成百分数：先改写成小数，再改写。 5、百分数改写成小数：先去掉&%&号，再把小数点向左移两位。 6、百分数改写成分数：先改写成小数，再改写成分数。五、负数的认识、应用：1、像+4、4、+8844．43 等这样的数叫做正数；像-4、-155 等这样的数我们叫做负数； 而 0 既不是正数，也不是负数； 2、负数比 0 小，正数比 0 大，负数比正数小。点睛题例 1： （数的改写与省略）我国第五次人口普查，全国总人数达到十二亿九千五百三十万人，写作（ ） ，这个数省略“亿”后面尾数约是（ ）亿人。考点：整 数 的 读 法 和 写 法 ；整 数 的 改 写 和 近 似 数 ． 分析： （1）整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写 0，据此写出； （2）省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，就是看亿位后的千万位上的数进行四舍五 入，再在数的后面写上“亿”字，据此写出．解答： （1）十二亿九千五百三十万写作：；（2）≈13 亿；点评：本题主要考查整数的写法、求近似数，注意改写和求近似数时要带计数单位． 变式训练 1：1 、
改写成以“万”为单位的数是 是 ． ，省略亿位后面的尾数 ，省略“亿”后面的尾数2 、
改 写 成 以 “ 亿 ” 作 单 位 的 数 是 ．4例 2： （因数倍数）有一个自然数，除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 3，除以 5 余 4，除以 6 余 5，则这个数最小是_________． 考点：求几个数的最小公倍数的方法． 分析：根据题意，可知：如果这个自然数添上 1 后再除以 2、3、4、5、6 就没有余数了，所 以这个数最小是比 2、3、4、5、6 的最小公倍数少 1 的数；据此解答．解答：解：因为 2、3、4、5、6 的最小公倍数是 60，所以这个数最小是：60-1=59； 故答案为：59．点评：本题关键是理解符合条件的这个数最小是比 2、3、4、5、6 的最小公倍数少 1 的数． 变式训练 2：1、同学们做操，不论是 6 人一行，8 人一行，10 人一行，最后都正好多 3 个，至少有 同学． 2、有一筐鸡蛋，当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时，筐内最后都是剩 一个鸡蛋；当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩．已知筐里的鸡蛋不足 400 个，那么筐 内原来共有 个鸡蛋． ，A 与 B 的 个3、A=2×3×a，B=2×a×7，已知 A 与 B 的最大公因数是 10， 那么 a= 最小公倍数是 ．例 3： （小数点的移动 ）甲乙两数的和是 171.6，乙数的小数点向右移动一位就等于甲数，甲数是_____________．考点：小数点位置的移动与小数大小的变化规律． 分析：根据小数点的位置的移动与小数的大小变化规律可知，乙数的小数点向右移动一位就等于甲数，就是乙数扩大 10 倍就等于甲数，那么甲乙两数的和是 171．6=乙数+乙数× 10=11× 乙数，则乙数=171．6÷ 11，然后用乙数× 10 即得到甲数．据此解答．解答：解：171．6÷（1+10） ，=171．6÷ 11， =15．6， 15．6× 10=156；5答：甲数是 156． 故答案为：156点评：解答本题关键是理解：乙数的小数点向右移动一位就等于甲数，就是乙数扩大 10 倍就等于甲数．变式训练 3：1 、甲数比乙数多 29 ． 7 ，如果把乙数的小数点向右移动两位，两数相等，乙数原来是 ___________． 2、一个正小数的小数点先向右移动两位，再向左移动三位，这个数和原数相比 A．扩大 10 倍 B．缩小 10 倍 C．扩大 100 倍 D．缩小 100 倍 ．例 4： （数的互化 ） （）%=4÷ 5=24 （ ）=（） ：40=()（填小数）考点：小 数 、 分 数 和 百 分 数 之 间 的 关 系 及 其 转 化 ． 分析：解答此题的关键是 4÷5，4÷5=乘 6 就是4 再根据分数的基本性质，分子、分母都 524 写成比是 4： 5=32： 40， 计算出结果是小数 0． 8， 小数点向右移动两位， 再加上%， 30 4 5 24 ==32：40=80%=0．8 30即可写成百分数是 80%，由此即可填空．解答：解：根据题干分析可得：4÷5= =故答案为：80；30；32；0．8．点评：本题考查比、分数与除法的关系和基本性质来解决问题． 变式训练 4：1、 （ 2、9÷( ）÷ （ )= ）＝30 （2 ＝（ 25）%＝ （ )=(8＝（ ） )成．） ： （）=75%=24÷ ( ）例 5： （分数、百分数）把一根长 2 米的木料平均锯成 9 段，每锯断一次所用的时间相等，每段长 （ ） ， 每段占这根木料总长的 （ ） ， 每锯断一次所用的时间是全部时间的 （ ） %。考点：分数、百分数的认识 分析：据题意，把一根长 2 米的木料平均锯成 9 段，由分数的意义可知，每段占这根木料总61 长的 ，就可求出每段的长度；根据锯的次数比段数少 1，可知锯的次数是 9-1=8（次） ，因 9为每锯断一次的时间相等，由分数的意义求出结果即可．解答： 米， ，12．5 点评：根据题意，由分数的意义进一步解答即可．用到的知识点：一个数乘分数的意义和百分数的意义．2 91 9变式训练 5：2 （ ） （ ） 1、把一根长 米长的木料平均锯成 7 段，每段长为 米，每段长度是这根木料的 ， 3 （ ） （ ） （ ） 锯每段所用时间是总时间的 （ ） 3 2、把一根绳子剪成两段，第一段长 米，第二段占全长的 60%，两段绳子长度相比较（ ） 5A．第一段长B．第二段长C．一样长D．无法确定例 6： （负数问题）某地冬天中午的气温是 3℃，傍晚的气温比中午下降了 6℃，傍晚的气温是（ A．-3℃ ） B．3℃ C．9℃考点：正 、 负 数 的 运 算 ． 分析：根据题意列出算式，计算即可得到结果． 解答：解：根据题意得，3-6=3+（-6）=-3℃．故选：A．点评：熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式训练 6：1、在 0，1，-2，3．5 这四个数中，是负整数的是（ A、0 B、1 C、-2 ）D、3．5 ；如果向南为正，那2、如果向东走 50 米记作+50 米，那么向西走 50 米记作-50 米 么走-50 米表示 向北走 50 米．7基础闯关（限时 20 分钟，满分：50 分）得分________一、填空题： （每小题 3 分、共 27 分）1、2008 年 北京奥运会我国总收入了人民币 ，这个数字改写成用“万”作单位的 数是______________________． 2、一个数的千位、十位、十分位上都是 9，百分位上是 6，其他各位上都是 0，这个数 是 ；保留一位小数是 ．1 ， 153、一个分数的分子与分母的和是 102，如果分子、分母都减去 19，得到的分数化简后是 那么原来的分数是___________．1 4、把一个最简分数的分子扩大 3 倍，分母缩小 3 倍，得 1 ，这个最简分数是_________． 55、A=3×5×7，B=3×C×2，已知 A、B 两数的最大公因数是 21，那么 C 是_____，A、B 的最 小公倍数是 ．6、a 和 b 是 非 0 自 然 数 ， 如 果 a-b=1 ， 那 么 a 和 b 的 最 大 公 因 数 是 ______________， 最 小 公 倍 数 是 ___________ ． 如 果 a ÷ b=3 ， 那 么 a 和 b 的 最 大 公 因 数 是 __________， 最 小 公 倍 数 是 _______． 7、有一个小数，先把它的小数点向左移动 2013 位后，再向右移动 2014 位，结果是 20.14， 原来的小数是_________．（ 8、把 5 米长的钢筋，锯成每段一样长的小段，共锯 6 次，每段占全长的 （ ） （ ，每段长 ） （ ） ）米．如果锯成两段需 2 分钟，锯成 6 段共需分钟． 米．9、一根绳子 10 米，增加 10％后，再减少 10％，结果是二、选择题： （每小题 3 分，共 15 分）1、 某 地 冬 天 中 午 的 气 温 是 3℃ ， 傍 晚 的 气 温 比 中 午 下 降 了 6℃ ， 傍晚的气温是 （ A ． -3 ℃ B． 3℃ C． 9℃ ） ）2 、 一个数由 3 个亿、6 个千、8 个十分之一组成的，这个数是（ A． C．36.08 3、一根绳子剪成两段，第一段长 A．第一段 B．第二段 B． D．4 4 m，第二段长占全长的 ，这两段绳子较长的是（ 9 9）C．不能确定 ）83 3 4、两根同样 8 米长的铁丝，从第一根上截去它的 ，从第二根上截去 米．余下部分（ 8 8A．无法比较B．第一根长C．第二根长D．长度相等 ）5、规定 10 吨记为 0 吨，11 吨记为+1 吨，则下列说法错误的是（ A．8 吨记为8 吨 C．6 吨记为4 吨 B．15 吨记为+5 吨 D．+3 吨表示重量为 13 吨三、应用题： （8 分）1、李阿姨说：“今天同时卖出两件毛衣，每件各得 30 元．其中一件红毛衣赚了 20%，另一件 黑毛衣亏本 20%．”你能算出李阿姨卖出的这两件毛衣是赚钱还是亏本？名校培优（限时 30 分钟，满分：50 分） 得分________一、填空题（每空 3 分，共 30 分）1、 （2012?西大附中）把 20 780 000 000 吨省略亿后面的尾数约是 亿吨。2、 （2011?西大附中）一个自然数与 4 的和是 6 的倍数，与 4 的差还有因数 8，则满足条件的 最小自然数是 。 ）=( 5 ) =（ ）G1 3、 （2013?西大附中）8 =0．5:（4、 （2013?桂林二附）明明数一捆小棒，4 根一数，6 根一数或 8 根一数，都正好数完，这捆 小棒至少有______根。 5、 （2012?三美中学）有甲乙两家商店：如果甲店的利润增加 20%，乙店的利润减少 20%，那 么两店的利润相等。原来甲店利润是乙店利润的__________%。91 6、 （2013?桂林二附）80 元增加 后，再减少 25%，结果是 5元。7、 （2012?某重点中学）一个数扩大 100 倍，再缩小 1000 倍，结果是 65．7，这个数原来是 __________________． 8、 （2011?桂林二附）甲、乙两种商品，成本共 2200 元，甲商品按 20%的利润定价，乙商品 按 15%的利润定价，后来都按定价的 90%打折出售，结果仍获利 131 元，甲商品的成本是 ________元．二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1、 （2012?桂林二附）唐山市某天的气温：最低温度-3℃，最高温度是 3℃，这天的温差是 （ A．3 ）℃ B．6 C．0 D．92、 （2013?十八中）加工一批零件，经检验有 100 个合格，不合格的有 25 个，这批零件的合 格率是（ A．75%8 A．△÷ 9） B．80%9 8C．100%8 C． × △ 9D．125% ）3、 （2012?十八中）如果用△代表同一个非零自然数，那么下面各式中，得数最大的是（ B．△÷ D．△-8 9 3 3 4、 （2013?西大附中）有甲、乙两根同样长的绳子，甲绳用去 米，乙绳用去它的 ，则两根 4 4绳剩下部分相比， （ A．甲）绳长． B．乙 C．同样长 D．不能确定5、 （2012?三美中学）古希腊认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之 和，那么这个数就是“完全数”．例如：6 有四个因数 1、2、3、6，除本身 6 以外，还有 1、2、 3 三个因数．6=1+2+3，恰好是所有因数之和，所以 6 就是“完全数”．下面的数中是“完全数” 的是（ A．12 ） B．15 C．28 D．36三、应用题： （共 5 分）1、 （2013?三美中学）一瓶饮料，一次喝掉一半饮料后，连瓶共重 700 克；如果喝掉饮料的 后，连瓶共重 800 克，求瓶子的重量。1 310第二节 式 与 方 程知识经纬1、掌握用含有字母的式子来表示数量的方法，能根据数量关系列出式子； 2、灵活运用等式及比例的基本性质解方程； 3、能正确理解定义的新运算符号的意义，并熟练的运用。知识要点一、用字母表示数1、用字母表示数的意义和作用：用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时 也可以表示运算的结果。 2、用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式 （1）常见的数量关系 总价用 a 表示，单价用 b 表示，数量用 c 表示，三者之间的关系： a ? bc ； 路程用 s 表示，速度用 v 表示，时间用 t 表示，三者之间的关系： s ? vt ； …… 3、用字母表示数的写法 （1）数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“?”，或者省略不写，数字要写在字 母的前面。 （2）当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。 （3）用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者 减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。二、解方程1、概念 （1）等式：表示相等关系的式子叫做等式。 （2）方程：含有未知数的等式叫做方程。 （3）方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 （4）解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 2、等式的性质：11（1）等式的两边都加上或减去同一个数，等式仍然成立。 （2）等式的两边都乘一个数或除以一个不为 0 的数， 等式仍然成立。 3、比例的性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积，这叫做比例的基本性 质。 4、方法 （1）对于只有一步运算的方程，可用加减乘除各部分之间的关系求解。对于含有二、三 步运算的方程，先根据方程的运算顺序，再根据四则运算各部分之间的关系求出方程的解。 （2）把求出的未知数的值，分别代入原方程两边计算（即求含有字母的式子的值） ，如 果原方程的等号左右两边相等，则所求得的未知数是原方程的解。三、定义新运算1、概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 2、解题思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算， 然后按照基本运算过程、规律进行运算。 （关键：正确理解定义的运算符号的意义。 ） 3、注意事项：① 新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ② 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。点睛题（a ? 27） 例 1： （年龄差不变）小明今年 a 岁，爸爸今年 岁，3 年后爸爸比小明大（ ）岁.考点：用字母表示数． 分析：爸爸今年比小明大 27 岁，3 年后小明年龄长大 3 岁，小明爸爸也长 3 岁，爸爸还是比小明大 27 岁，进而解答即可．（a ? 27） ? a ? 27 （岁） 解答： ；点评： 解答此题的关键： 应明确爸爸现在比小明大多少岁， 那么 3 年后还是比小明大多少岁，因为小明年龄增长多少岁，爸爸也增长同样的岁数．变式训练 1：1．天天今年 a 岁，爸爸今年 b 岁，爸爸比天天大 k 岁．m 年后爸爸比天天大多少岁？可列出 等式（ ） B． b ? a ? k C． b ? a ? k ? m ）岁．12A． a ? b ? k2．小明比小华大 2 岁，比小强小 4 岁．如果小华是 a 岁，小强是（A． a ? 2B． a ? 2C． a ? 4D． a ? 6例 2： （数量关系） 学校买来 15 个足球， 每个 a 元， 付出 b 元， 应找回________________元． （用式子表示） ．考点：用字母表示数． 分析： 先求出买 15 个足球所花的钱数，再用付出的钱数减去 15 个足球的钱数，就是应找回的钱数．解答：b ? a ? 15? b ? 15a （元） ，点评： 解答此题的关键是，把所给的字母当成已知数，利用基本的数量关系解答即可． 变式训练 2：1、商场有电视机 m 台，每台进价为 a 元，售价 b 元，若全部出售，共可获利 元．2、加工一批零件，甲单独做需要 a 小时，乙单独做需要 b 小时，甲、乙合做 1 小时能完成 任务的 。3、某同学练习百米赛跑，原来以 a 米/秒的速度练习，现在速度增加 b 米/秒，则每次练习时 间缩短了 秒。例3 ： （解方程）解下列方程：（1） 18 ?6 x ? 10 7 7 1 （x ? ） ?1 （2） ? 2 ? 5 52 x ? 3） ? 5 ?（ 3 x ?1 ） （3） （考点：解方程 分析：6 6 解法一：等号的两边同时加上 x ，再同时减去 10，最后同时除以 ，即可得解； 7 7 6 解法二：根据减法式子的关系，我们可以知道 减数=被减数-差 ，即 x ? 18 ? 10 ，最 7 6 后等式的两边同时除以 ，即可得解； 7（1）13（2）解法一：用乘法分配律将括号去掉（注意：当括号前面是减号的时候，括号里的“+”变成“-” ，“-”变成“+”） ，接下来根据第（1）题的方法即可得解；1 1 7 （x ? ） （x ? ） ? ?1 ， 解法二：将 2 ? 看做一个整体，利用 减数=被减数-差 可得： 2 ? 5 5 5 1 （x ? ） 再将 看成一个整体，等式的两边同时除以 2，最后根据简易方程的解法即可得解。 5（3） 先利用乘法分配律将括号去掉 （注意： 当括号前面是减号的时候， 括号里的“+”变成“-” ， “-”变成“+”） ，然后将减 3 x 移到等号的右边，变成加 3 x ，最后根据简易方程的解法即可得解。解答：（1）方法一 6 6 6 解： 18 ? x ? x ? 10 ? x 7 7 7 6 18 ? 10 ? x 7 6 x= 8 7x ? 28 3方法二 解： 6 x ? 18 ? 10 7 6 x= 8 7 28 x ? 3方法二（2）方法一 7 2 解： ? 2 x ? ? 1 5 5 9 ?2 x = 1 5 9 2 x= ? 1 5 2 x ? 5（3） 解： （ 2 x ? 3） ? 5 ?（ 3 x ?1 ） 2 x ? 6 ? 5 ? 3x ? 3 2 x ? 3x ? 6 = 5 ? 3 5x ? 2 ? 6 x? 8 51 7 解： 2 ? （x ? ） ? ?1 5 5 1 2 2（ ? x? ） = 5 5 1 2 x? = ?2 5 5 2 x ? 5点评：主要考查利用等式的性质解方程的方法的灵活应用．14变式训练 3：1、解下列方程 （1） 3 ?2 x?2 5 13 5 1 ? 2? （x ? ） ? 3 3 3（2）（x ? 2） ? 45 ? 13 （x ? 3） （3） 15例 4： （解比例） （1） 4.5 : x ? 5 : 考点：解比例．1 2 3 9（2）x?7 1 ? 6 3分析：先利用比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积，将原比例式变形为方程，再利用解方程的方法即可得解；解答：（ 1） 1 2 解： 5 x ? 4.5 ? 3 9 16 x ?1 3 3 x? 16（2） （ 3 x ? 7） ? 1? 6 3x ? 2 1 ? 6 3x ? 2 7 x?9点评：主要考查的是，利用比例的性质解方程的灵活应用。 变式训练 4：3 1 （1） : x ? : 5 8 4（2）12.5 x ? 4 5?3（3） 38 :16 ?5 x（4） 2 x ? 16 ?3? x 515（A ? 3B） ? （A ? B） 例 5： （1）若 A * B 表示 ，求 5*7 的值。（a ? 2） ? b ，例如 3 ? 4 ? （2）如果 a ? b ? （3 ? 2） ? 4 ? 4 ，那么，当 x ? 5 ? 30 时， x ?.考点：定义新运算 分析：（1）A*B 是这样结果这样计算出来：先计算 A＋3B 的结果，再计算 A＋B 的结果，最后两个 结果求乘积。（a ? 2） ? b ，可知 x ? 5 ? （x ? 2） ? 5 ? 30 ，解这个方程即可得 x 的值。 （2）根据 a ? b ?解答：（5 ? 3 ? 7） ? （5 ? 7） ? 5 ? 21?12 ? 26 ?12=312 ； （1） 5*7 ?（x ? 2） ? 5 ? 30 ，解得 x ? 8 ； （2） x ? 5 ?点评：理解掌握定义新运算的计算方法技巧 变式训练 5：1、定义新运算为 a△b＝（a＋1）÷ b，求 6△（3△4）的值。（5 ? 2）? 3= _____. 2、设 a?b ? a ? a ? 2 ? b ，那么， 5 ? 6 ? ______，3、规定新运算:a※ b=3a-2b.若 x※ (4※ 1)=7，则 x=.4、两个整数 a 和 b，a 除以 b 的余数记为 a☆ b.例如，13☆ 5=3，5☆ 13=5， 12☆ 4=0.根据这样定义的运算，(26☆ 9) ☆ 4= .智力冲浪1、如图是由两个边长分别为 a、b 的正方形拼成的． （1）用字母式子表示图中阴影部分的面积_______________． （2） 当 a=5， b=4 时， 阴影大三角形的面积是 ____________________． 2、 m 千克油菜籽可以榨出 n 千克的菜籽油，每榨出 1 千克菜籽油需要 _________千克油菜 籽，1 千克菜籽可以榨出________________千克菜籽油． 3、若数 a 满足 a22a2013=0，则 a22a+1= _________ ．164、若 x=1 是方程 2+m=4+2x 的解，则 m=．基础闯关（限时 20 分钟，满分：50 分）得分一、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1、下列各式① 1+5=6;② 4a＝0.8;③ 0.17x＋2.5;④ 3x＋7&15；⑤ 2（x+1）=3x-4 中， 等式； 是方程。 。 。 是2、13＋5x＝28 变为 5x＝28－13 是根据 3、72÷ 3x＝6 变为 3x＝72÷ 6 是根据 4、当 x＝ 时，6x－5.5＝0.5。 。5、x 的 5 倍与 72 的差是 28，列方程是 二、计算题（每小题 3 分，共 15 分） 1、3x+1=9-x 2、79y+15=65+y3、 （x+5）× 3=x+214、75%x?2 39 x＝ 7 41 5、 ：0.5=3：x． 5三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 1、六年级同学春游，买了一些苹果和雪梨．买来苹果 180 个，比雪梨的 3 倍少 12 个．买了 雪梨多少个？（用方程解）2、甲、乙两辆汽车从相距 520 千米的 A、B 两地同时出发相向而行，经过 4 小时两车相遇，17甲车每小时行 62 千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解）名校培优（限时 30 分钟，满分：50 分） 得分一、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 1、 （2013?新民中学）学校买来 15 个足球，每个 x 元，又买来 y 个篮球，每个 62 元，买足球 和篮球共用去 元． 个座位，如2、 （2011?桂林二附）学校阶梯教室有 15 排，每排 a 个座位，一共有 果每排增加 2 个座位，这时一共 个座位．3、 （ 2012? 三美中学）六（ 1 ）班有 a 名同学，今天做早操有 b 名同学没有出勤，出勤率 是 ，如果 a=40，出勤率是 95%，那么 b 是 人． 千4、 （2011?西大附中） 食堂运来 200 千克煤， 烧了 a 天， 还剩 b 千克， 平均每天烧 克． 5、 （2012?新民中学）规定 ? 为一种运算，对任意两数 a、 b 有 a ? b ? 则x= ．a ? 2b 22 ，若 6 ? x ? ， 3 36、 （ 2012? 西 大 附 中 ） 规 定 运 算 x ? y ? A ? x ? 于 ．x? y ， 而 且 1? 2 ? 2 ? 3 ， 那 么 3 ? 4 等 x? y2 2 7、 （2013?三美中学）若 x 满足 x ? 2 x ? 2012 ? 0 ，则 2 x ? 4 x ? 2012 ?．8、 （2011?西大附中）一个数是 m，如果把 m 乘 10 后，得到的数比 m 多 324，m 原来 是 ．二、选择题（每小题 3 分，共 6 分） 1、 （2011?新民中学）当 x=（ A．1 B．1.5 ）时，2x-1 等于最小的合数． C．2 D．2.52、 （2013?新民中学）一个两位数，十位上的数字是 a，个位上的数字是 b，这个两位数用含18有字母的式子表示是（ A．ab B．10a+b） ． C． 10b+a D．10（a+b）三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 1.（2012?桂林二附）甲、乙两人原来身上的钱分别是丙身上钱的 6 倍和 5 倍，后来甲又收入 180 元，乙又收入 30 元，甲身上的钱就是乙的 1.5 倍，原来甲、乙、丙三人钱数之和是多少？2、 （2013?三美中学）甲、乙两车同时从 A 城去 B 城，甲车每小时行 35 千米，乙车每小时行 40 千米，结果乙比甲提前半小时到达 B 城．问 A、B 两城间的路程有多少千米？趣味&能力 1、下边横排有 12 个方格，每个方格都有一个数字，已知任何相邻三个数字的和都是 20，求 x 的值． 5 A B C D E F X G H E 102、规定 a @ b ? a ? ( a ? 1) ? (a ? 2) ?… ? (a ? b ? 1) ， （其中 a ， b 均为非零自然数， b ? a ） ，如 果 x @10 ? 65 ，那么 x 等于多少？19第三节 比 和 比 例知识经纬1、让学生掌握比和比例的意义、基本性质； 2、能够灵活运用正反比例、比例尺的相关知识解决实际问题； 3、比和比例的基本性质解决综合问题。知识要点一、比的意义和性质1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 （1）“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。 比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 （2）同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。 （3）比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。 （4）比的后项不能是零。 （5）根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于 分数值。 2、比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0 除外)，比值不变，这叫做 比的基本性质。二、求比值和化简比1、求比值：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分 数。 2、化简比：根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简 比，即前、后项是互质的数。三、比例的意义和性质1、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项； 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。 2、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。 3、解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例 中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。20四、正比例和反比例1、成正比例的量： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数 的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。 用字母表示 y ? x ? k (一定) 2、成反比例的量： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数 的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。 用字母表示 x ? y ? k (一定)五、比例尺图上距离：实际距离=比例尺 线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。点睛题例 1：如果 A×9=B×14，那么 A：B= 考点：比例的意义和基本性质． 分析：逆用比例的基本性质（在比例里，两个外项的积等于两个内项的积）作答． 解答：解：因为 A×9=B×14，所以 A：B=14：9 .点评：本题主要是灵活利用比例的基本性质解决问题． 变式训练 1：1、把 a?b=c?d 改写成比例式是（ A．a：b=c：d ） C．a：c=d：b 平方厘米．B．a：c=b：d2、如果一个圆的半径是 a 厘米，且 2：a=a：3，问这个圆的面积是例 2：车轮的直径一定，车轮转动的周数和所行路程成比例．21考点：正比例和反比例的意义． 分析：因为行驶的路程和转的圈数是两种相关联的量，转动周数越多，路程就越长．即所行路程与车轮转动的周数的比值一定．解答：解：转动周数越多，路程越长，车轮直径一定，所以路程和转动周数成正比． 点评：此题考查对正比例概念的理解以及判别方法的掌握． 变式训练 2：1、下列各题中，成反比例关系的是（ ）A．每公顷的产量一定，总产量和种的公顷数 B．一根绳子，剪去的一段和剩下的一段 C．平行四边形的面积一定，底和高 2、如果x 7 ? ，那么 x 和 y 成 4 y比例关系．例 3 ：甲、乙两包糖的重量比是 4：1，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为 7：8，那么两包糖重量的总和是 克。考点：比的应用 分析：本题有多种解决方法：（1） 从题目的条件可以看出， 两包糖的总和没有发生变化， 我们把两包糖的总和看作单位“1”， 那么分别求出甲包原来占总和的几分之几以及取出 10 克后占总和的几分之几， 用分数除法即 可求出两包糖重量的总和。 （2）因为总量相同，我们可以采用扩倍法来解答。原来共 5 份，后来共 15 份，取两个的最 小公倍数 15，即都看成 15 份，然后观察甲包的份数的变化，对应着取出的 10 克，求出一份 的重量，就可以求出两包糖重量的总和了，但是这里要注意的是两包的总重量是 15 份了，而 不是 5 份。 （3）根据甲、乙两包糖的重量比是 4：1，设乙包为 x 克，则甲包为 4x 克，两包重量的总和 为 4x+x（克） ，再根据从甲包取出 10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为 7：8 列方 程求解．（4 ? 1） = ， 解答： （1）解：甲包原来占 4 ? 4 5227 15 4 7 （ ? ） =30 （克） 两包糖重量的总和就是 10 ? 5 15 （7 ? 8） = 取出 10 克后，占 7 ?（2）原来甲乙两包的重量比是 4：1=12：3， 后来甲乙两包的重量比是 7：8， 可以看出甲包从 12 份变成了 7 份，少了 5 份，取出的 10 克就是 5 份， 由此，我们可以计算出 1 份的重量是 10 ? 5=2 （克） ， 所以，两包糖的重量和是 2 ?15=30 （克） （3）解：设乙包为 x 克，则甲包为 4x 克，两包重量的总和为 4x+x（克） ，根据题意得： （4x-10） ： （x+10）=7：8， 解得：x=6， 4x+x=4× 6+6=30（克） ．点评：完成本题的关健是分析出两包糖的总重量是没有变化的． 变式训练 3：1、小明读一本书，已读的和未读的页数比是 1 ：5,如果再读 30 页，则已读的和未读的页数 之比为 3 ：5,这本书共有多少页？2、甲、乙、丙三人的彩球数的比例为 9：4：2，甲给了丙 30 个彩球，乙也给了丙一些彩球， 比例变为 2 ：1 ：1。乙给了丙多少个彩球？3、学 校 有 足 球 蓝 球 共 65 个 ，其 中 足 球 和 蓝 球 数 量 比 是 1 ：4 ，今 年 又 买 回 一 些 足 球 ， 这 时 足 球 和 篮 球 数 量 比 是 3： 4， 今 年 买 回 足 球 多 少 个 ？23例 4：盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是 2：3，红球个数与白球个数的比是 4 ：5。已知三种颜色的球共 175 个，红、黄、白球各有多少个？考点：连比问题 分析：由“黄球个数与红球个数的比是 2：3，红球个数与白球个数的比是 4：5”可推出黄、红、白球之比为 8：12：15，然后求出三种球分别占总数的几分之几，再根据乘法的意义， 列式解答即可．（2 ? 4） （ : 3 ? 4） （ : 5 ? 3） ? 8 :12 :15 ， 解答：解：黄、红、白球之比：8+12+15=35， 8 175 ? =40 35 12 175 ? =60 35 15 175 ? =75 35 答：红球 60 个、黄球 40 个、白球 75 个．点评：解答此题的关键是推出黄、红、白球之比，找准对应量，根据数量关系，列式解答即可．变式训练 4：1、 盒子里有三种颜色的球， 黄球个数与红球个数的比是 2： 5， 红球个数与白球个数的比是 3： 5．已知黄球 24 个，白球有多少个？3 3 2、甲数是乙数的 ，乙数是丙数的 ，甲、乙、丙三数的比是（ 8 8） ： （） ： （） 。3、光明小学将五年级的 164 名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一小组和第二小组 人数的比是 3：7，第二小组和第三小组人数的比是 2：3。这三个小组各有多少人？例 5：小红家和小明家这个月收入的比是 8：5，两家这个月的支出比为 3：2，小红家结余2800 元，小明家结余 1700 元，求他们两家收入各是多少元？考点：列方程解比例应用题24分析：由于题目给的条件是比，所以我们在设未知数的时候可以这么设：设小红家收入为 8x，小明家收入就是 5x， 那么小红家的支出是（8x－2800） ，小明家的支出是（5x－1700） ，支出的比是 3：2，则可列 出方程，这时候根据方程解出来的解并不是问题的最终答案，我们还要分别乘以 8 和 5 才是 两家各自的收入。解答：解：设小红家收入为 8x，小明家收入就是 5x，根据题意，我们可以列出方程：（8 x ? 2800） （ : 5 x ? 1700） ? 3: 2根据比例的性质解出方程得 x ? 500 则 8 x ? 8 ? 500 ? 4000 （元） ， 5 x ? 5 ? 500 ? 2500 （元）点评：注意：此类题设未知数时最好设每份为 x，便于计算． 变式训练 5：1、我国发射的科学实验人造地球卫星，在空中绕地球运行 6 周需要 10 小时 36 分，运行 15 周需要多少小时？2、某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是 4:3． 结果录取 91 人，其中男生与女生 人数之比是 8:5．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是 3:4． 问报考的共有多少人？例 6：在比例尺是 1：5000 的图纸上，量得一个长方形花园的长是 10cm，宽是 8cm，这个花园的实际面积是多少平方米？考点：比例尺应用题25分析：先依据“实际距离=图上距离÷比例尺”求出这个花园长和宽的实际长度，进而利用长方形的面积公式即可求出这个花园的面积．1 ? 50000 （cm） ? 500 （m） ? ? 40000 （cm） ? 400 （m） 5000解答：解：10 ?500 ? 400=200000 （m2）答：这个花园的实际面积是 200000 平方米．点评：此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，以及长方形的面积的计算方法． 变式训练 6：1、在比例尺是 1：4000000 的地图上，量得甲、乙两地相距 20 厘米，两列火车同时从甲、乙 两地相对开出、甲车每小时行 55 千米，乙车每小时行 45 千米，几小时后相遇？2、学校新建一座教学大楼，长是 150 米，画在平面设计图上的长是 25 厘米，宽是 15 厘米， 这幅平面图的比例尺是多少？新建教学大楼占地多少平方米？基础闯关（限时 20 分钟，满分：50 分）得分一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1、如果 3a=4b，那么 a：b=a b 2、 = 中，a 和 b 成 4 3： 比例。。263、做同样的一个零件，甲用1 1 小时，乙用 小时，甲与乙的工作效率的比为 4 6。4、4、6、9、15、10 五个数中，能组成比例： 5、在比例尺是 1:200000 的一幅地图上，量得甲乙两地相距 10 厘米，甲乙两地实际距离 是 。二、计算题（每小题 3 分，共 15 分）1、 x :5 ? 8:2 22、18 7.2 ? x 81 3、 1 : 0.4 ? 1.35 : x 24、 x : 8 ?3 1 :1 4 55、3 x = 28 15三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）1、一瓶盐水，盐和水的重量比是 1 ：24，如果再放入 75 克水，这时盐与水的重量比是 1 ：27，原来瓶内盐水重多少千克？2、农场用 3 辆拖拉机耕地，每天共耕 225 公顷，如果用 5 辆同样的拖拉机，每天共耕多少公 顷？（用比例解）名校培优（限时 30 分钟，满分：50 分） 得分一、填空题（每小题 3 分，共 24 分）273 1、 （2012?十八中）甲数× ＝乙数× 60%，甲：乙＝ 4：． 千米，它表示实际距2、 （2011?西大附中）一幅地图的线段比例尺是 离是图上距离的 倍．3、 （2013?西大附中）把一个比的前项增加 6 倍，要使比值不变，那么后项应该乘上．4、 （2013?三美中学）星期天，小丽看一本书用了 2 小时 15 分，小红同样一本书用了 2.15 小 时，小丽和小红看书用的时间比是 ．1 杯糖水后，又用水加满，这时 25、 （2012?新民中学）一杯糖水，糖与水的比是 1：4，喝去 糖与水的比是 ．6、 （2013?十八中）甲、乙、丙三个数的平均数是 15，甲、乙、丙三个数的比是 2：3：4，甲 数是 7、 （2013?桂林二附）圆柱的高一定，圆柱的底面积与体积 比例．8、 （2013?西大附中）两个相同的瓶子都装满了酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积比是 3： 1，另一个瓶中酒精与水的体积比是 4 ：1。如果把这两个瓶中酒精溶液混合，混合溶液中酒 精和水的体积比是 ．二、选择题（每小题 3 分，共 6 分）1、 （2011?十八中）10 克盐溶于 100 克水中，盐与盐水的比是（ A．1：10 B．1：11 ）C．9：10 ）三角2、 （2013?新民中学）一个三角形三个内角的度数比是 2：3：4，这个三角形是（ 形． A．直角 B．锐角 C．钝角三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）1.（2012?桂林二附）有甲、乙两块含铜率不同的合金，甲块重 6 千克，乙块重 4 千克，现在 从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分，将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一 起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块的剩余的部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜率 相同，求切下的重量为多少千克？282、 （2011?三美中学）孙悟空有仙桃、机器猫有甜饼、米老鼠有泡泡糖，他们按下面的比例互 换：仙桃与甜饼为 3：5，仙桃与泡泡糖为 3：8，甜饼与泡泡糖为 5：8。现在孙悟空共拿出 39 个仙桃分别与其他两位互换 ， 机器猫共拿出 90 个与其他两位互换， 米老鼠共拿出 88 个 泡泡糖与其他两位互换。请问米老鼠与孙悟空和机器猫各交换泡泡糖多少个？第四节知识经纬1、掌握数的四则运算法则； 2、灵活的运用乘法的运算定律；数的运算3、具备拆分、凑整等综合计算的能力。知识要点在小学数学计算问题中，有关分数巧算的题很常见，这就需要我们掌握分数运算的技巧， 养成速算、巧算的习惯，根据算式的结构特点，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式， 使算式化难为易。? ?交换律：a ? b ? b ? a ?加法 ? ?c ? a? （b ? c） ?结合律：（a ? b） ? ? 一、运算定律： ? ?交换律：a ? b ? b ? a ? ? ?c ? a? （b ? c） ?乘法 ?结合律：（a ? b） ? ? （b ? c） ? a?b ? a?c ?分配律：a ? ?29二、积不变原则：两个因数相乘，一个因数扩大多少倍，另一个因数就要缩小同样的倍数，才能使的原来 的积不变。如： a＋b－c＝a＋（b－c） 加、乘三、同级运算添去括号技巧：1、括号前是加号、乘号，添去括号不变号； 2、括号前是减号、除号，添去括号变反号（加号反号是减号， 乘号反号是除号） 。减、除a×b÷c＝a×（b÷c）a－（b＋c）＝a－b－c四、整体代数法巧解：代替，可以化繁为简，化难为易。a÷（b×c）＝a÷b÷c有些四则混合计算题步骤多而复杂，计算繁而难，把算式中相同的一部分式子，设字母五、裂项法1、裂差：对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 写在前面，即 a ? b ，那么有 关键特征： ① 分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x（x 为任意自然数）的， 但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。 ② 分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” ③ 分母上几个因数间的差是一个定值。 2、裂和：常见的裂和型运算主要有以下这种形式：a?b a b 1 1 ? ? ? ? a?b a?b a?b b a 1 1 1 1 ? ( ? ) a?b b ? a a b 1 形式的，这里我们把较小的数 a?b裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”， 裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目 的。六、熟记常用数据：1 ? 0.25 ， 4 3 ? 0.375 ， 8 3 ? 0 . 7， 5 4 5 ? 0 . 6 2， 5 8 1 ?0.2 ， 5 7 ? 0.875 ， 8 2 3 4 ?0.4 ?0.6 ?0.8 ， ， ， 5 5 5 1 3 1 ? 0.05 ， ? 0.15 ， ? 0.04 ， 20 20 251 ? 0 . 1 2， 5 8 2 ? 0.08 25七、计算中的注意事项：301、全面审题，先算哪一步，再算哪一步，最后算哪一步，运算顺序不能错； 2、 观察题目中的结构和特征， 分析题中数与数之间的运算关系， 判断是否用定律、 性质， 尽量选择简便方法计算； 3、掌握一定巧算方法和运算技巧，提高计算速度。点睛题例 1： （四则混合运算――易错题） [(5 ? 4.25) ? ] ? ? 3.3 ? 1 考点：分数乘除法的综合计算； 分析：我们首先把除法算式转化成乘法算式，把带分数转化成假分数数，然后运用乘法的运算顺序进行计算，先乘除后加减算的最后结果．1 5 3 5 4 8 8 6 1 1 5 3 3 5 = [(5 ? 4 ) ? ] ? ? 3 ? 1 4 4 8 8 10 6 5 3 3 5 = ? ? 3 ?1 8 8 10 6 5 8 33 6 = ? ? ? 8 3 10 11 5 9 = + 3 5 25 27 = ? 15 15 7 =3 15 1 4 5 8 3 8 5 6解答： [(5 ? 4.25) ? ] ? ? 3.3 ? 1点评：本题看上去不好计算，把式子整理后，再根据乘法的运算顺序进行计算，题目变得非常简单了变式训练 1：1、8.2÷ [21 -(2-1.05)]× 40% 504 4 2 15 14 2、 [4 ? (3 ? 2 ) ? ] ? 7 5 3 7 1531例 2： （找公因数――整数） 9999× × 3334 考点：简便运算 分析：简便运算需要相同的乘数、而此题的关键是发现 9999 和 3333 具有倍数关系，可把9999 改写成 3333× 3 那么，9999× × 6666，再利用乘法分配律解出最后结果；解答：+=3333× 3× × × × × （） =3333× 100点评：发现数与数之间的关系，转换成相同的乘数是这题的突破口 变式训练 2：1、 4444× × 8889 2、 × 13× 13例 3： （找公因数――小数）7.816×1.45+3.14×2.184+1.69×7.816 考点：小数的乘法分配律 分析：这一题主要用了两次乘法分配律，第一先寻找相同的乘数 7.816，将7.816× 1.45+1.69× 7.816 转换成 7.618× 3.14，再与 3.14× 2.184 用乘法分配律求得，解答：7.816×1.45+3.14×2.184+1.69×7.816=7.816× （1.45+1.69）+3.14× 2.184 =7.816× 3.14+3.14× 2.18432=（7.816+2.184）× 3.14 =10× 3.14 =31.4点评：此题是考查运用乘法分配律进行简便计算，要仔细观察算式的特点，灵活运用乘法分配律进行简便计算变式训练 3：1、 3.73 ? 2.63 ? 8.37 ? 3.73 ? 3.73 2、45× 0.025+4.5× 0.65+0.45例 4： （找公因数――分数） 考点：分数的乘法分配律7 3 6 7 3 7 ? ? ? ? ? 29 8 29 12 29 9分析：通过观察，我们发现这个式子是由三个积相加而成的，而且它们都有一个公分母 29，公分子 7，所以我们就可以根据分数乘法的法则以及乘法交换律，将式子进行变换，使得每7 ，再提公因数即可。 29 7 3 6 7 3 7 解答： ? ? ? ? ? 29 8 29 12 29 9 7 3 7 6 7 3 = ? ? ? ? ? 29 8 29 12 29 9 7 3 1 1 = ? （ ? ? ） 29 8 2 3 7 9 12 8 = ? （ ? ? ） 29 24 24 24 7 29 = ? 29 24 7 = 24个式子都出现一个点评： 此题是考查同学们的观察能力， 再结合运算律进行简便计算， 要仔细观察算式的特点，灵活运用乘法分配律进行简便计算。33变式训练 4：1、1 4 5 1 ? ? ? 17 9 17 92、7 3 1 7 1 1 ? ? ? ? ?3 15 8 15 16 15 2例 5： （找公因数――综合运用） 考点：乘法分配律的综合计算45 ? 4545 ? 454545 ?
? 7878 ? 787878 ? 分析：本题根据分子分母的特点，分子可改写成 45×（1+101+1） ，分母改写成 78× （1+101+1）45 ? 4545 ? 454545 ?
? 7878 ? 787878 ?
? 45 ?101 ? 45 ?10101 ? 45 ?1010101 = 78 ? 78 ?101 ? 78 ?10101 ? 78 ?1010101=解答：45 ? (1 ? 101 ? 10101 ?
? (1 ? 101 ? 10101 ? 1010101)45 78=点评：此题的关键也是发现分子分母的特点、规律，利用乘法分配律求得； 变式训练 5：1、209 ? 209209 ? 5 ? 305305 ? 2、1 202 13 ? ? ? 21
例 6： （拆数）548 ? 361 ? 362 362 ? 548 ? 186考点：分 数 的 巧 算 ．34分析： 通过观察，我们发现分子和分母的大小很接近，都是由积来决定的，并且，它们有个共同的数 548，另一个因数相差 1，那么我们就可以考虑将大数拆成小数+1 的形式，再利 用乘法分配律求解即可。548 ? 361 ? 362 362 ? 548 ? 186解答：= =548 ? 361 ? 362 (361 ? 1) ? 548 ? 186548 ? 361 ? 362 361? 548 ? 362=1点评：此题考查的目的是灵活运用运算定律进行简便计算． 变式训练 6：1、193 ? 194 ? 1 193 ? 192 ? 1942、498 ? 381 ? 382 382 ? 498 ? 116例 7： 2013 ? 2013考点：分数的乘除法混合简便运算 分析：先把 20132013 化成假分数，保留乘法式子不去计算，我们就发现这时的分子有一个 2014公因数 2013 ，利用乘法分配律得到 ，进而根据分数除法的法则，即可计算得解．解答： 2013 ? 201313 ? 2014 ? 2013 = 2013 ?
= 2013 ? 2013 ? 2014 ? 2013= 2013 ? = ? (2014 ? 1)35点评： 解决此题关键是把算式中的带分数化成假分数， 假分数的分子再根据乘法分配律简算，进而根据分数除法的计算方法计算得解．变式训练 7：1、1998÷ 19982、1002÷(1002 ?1002 ) 1003例 8： （“裂差”型运算） 考点：分 数 的 巧 算 ．1 1 1 ? ? ?????? ? 4 ? 7 7 ? 10 100 ? 103分析：通过观察，我们发现这个算式满足我们的裂差公式：1 1 1 1 ? ( ? ) ，利用公式把 a?b b ? a a b1 每个分数变为分数相减的形式，将会出现一个公因数 ，提公因数后就可通过加、减相抵消 3的方法，简算出结果。解答：1 1 1 ? ? ?????? ? 4 ? 7 7 ?10 100 ?103 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )? = ( ? ) ? ? ( ? ) ? ? …… ( 4 7 3 7 10 3 100 103 3 1 1 1 1 1 1 1 ? =（ ? ? ? ）× ? …… ? 4 7 7 10 3 100 103 1 1 1 =（ ? ）× 4 103 3 107 1 = × 412 3 107 = 1236点评： 在解答计算题时，首先应仔细审题，巧妙灵活地运用运算定律，使复杂的计算简单化． 变式训练 8：1、2 2 2 2 ? ? ? ?????? ? 3? 5 5 ? 7 7 ? 9 99 ?101362、1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?????? ? 2 6 12 20 90例 9： （“裂和”型运算） 1 ? ?5 7 9 11 13 15 17 19 ? ? ? ? ? ? 6 12 20 30 42 56 72 90考点：运 算 定 律 与 简 便 运 算 ； 分 数 的 巧 算 分析：通过观察，我们发现这个算式满足我们的裂和公式： a ? b ?a?b a b 1 1 ? ? ? ，利用 a?b a?b b a公式把 每 个 分 数 变 为 分 数 相 加 的 形 式 ，这 里 一 定 要 注 意 加 上 括 号 ，然 后 再 去 括 号 就 可通过加、减相抵消的方法，简算出结果。解答： 1 ? ?5 7 9 11 13 15 17 19 ? ? ? ? ? ? 6 12 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ?( ? ) ? ( ? ) ?( ? ) ? ( ? ) ?( ? ) ?( ? ) 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 2 3 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 =1 ? ? 2 10 3 = 5点评：在解答此类题时，首先应仔细审题，发现分数的特点规律，将数拆分，利用相消的巧妙运算，使复杂的计算简单化．变式训练 9：4 7 9 11 13 15 1、 ? ? ? ? ? 3 12 20 30 42 5637例 10： （ 整体代换）( ? ?1 81 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )?( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? )?( ? ? ) 9 10 11 9 10 11 12 8 9 10 11 12 9 10 11考点：整体代换、乘法分配律 分析：通过观察，假如直接用分配律或者通分计算会显得非常复杂，而通过整体代换的思想1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 将 ? ? ? = A， ? ? =B， 则 ? ? ? ? 8 9 10 11 9 10 11 8 9 1 0 1 1 1 2= A+1 1 1 1 1 1 ， ? ? ? = B+ ， 12 9 10 11 12 12再利用乘法分配律求得最后结果；1 1 1 1 1 1 ? ，B= ? ? ； 9 10 11 9 10 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则： ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ) ? ( ? ? ) 8 9 10 11 9 10 11 12 8 9 10 11 12 9 10 11 1 1 =A ? ( B ? ) ? ( A ? ) ? B 12 12 1 1 ? A ? B ? B ? （这里要注意去括号，要变号） = A? B + A? 12 12 1 1 ?B ? = A? 12 12 1 = ( A ? B) ? 12 1 1 1 = ? = 8 12 96解答： 设 A= ? ?1 8点评：需要学生具备代数的思想，整体代换，用乘法分配律求解，讲复杂的计算简单化； 变式训练 10：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1、 （1＋ ＋ ＋ ）× （ ＋ ＋ ＋ ）－（1＋ ＋ ＋ ＋ ）× （ ＋ ＋ ） 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? ( ? ? ... ? ) ? (1 ? ? ? ... ? ) ? ( ? ? ... ? ) 2、 (1 ? ? ? ... ? 2 3
201238例 11： （斜着约分） （1+ ）× （1+ ）× （1+ ）× ……× （1+ 考点：分数的乘法，斜约分；1 21 31 41 1 ）× （1+ ） 99 100分析：通过观察，我们发现这其实是分数之间的乘法，那么我们就利用约分的方式去简便计算．3 1 4 2 10 8 ? 2 2 3 3 9 9 1 3 2 4 3 9 8 10 （ ? ） ? （ ? ） ? ……? （ ? ） ? = ? 2 2 3 3 4 8 9 9 1 10 = ? 2 9 5 = 9解答： ? ? ? ? ……?点评： 这一题的难度不大，需要将每个括号里的算式算出，发现分子分母的规律，利用约分，求得最后结果变式训练 11：1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1? ? 1、 ?1 ? ? ? ?1 - ? ? ?1 ? ? ? ?1 - ????1 ? ? ? ?1 - ? ? 2? ? 2? ? 3? ? 3? ? 99 ? ? 99 ?例 12： （其它） 1+ + + +1 1 1 1 1 1 + + 2 4 8 16 32 64考点：分数的加法简便计算； 分析：通过观察，我们发现分母是成倍数关系，则可以利用这个关系添上一个不变原则，我们需要再减去一个1 ，再根据加法结合律即可快速得解． 64 1 ，根据和 64解答： 1+ + + +1 1 1 1 1 1 + + 2 4 8 16 32 64 1 1 1 1 1 1 1 1 ? = 1+ + + + + +（ ? ） 2 4 8 16 32 64 64 64 1 1 1 1 1 1 1 ? = 1+ + + + +（ + ） 2 4 8 16 32 32 64391 1 1 1 1 1 ? = 1+ + + +（ + ） 2 4 8 16 16 64 1 1 1 1 1 （ ? ） ? = 1+ ? ? 2 4 8 8 64 1 1 1 1 （ ? ） ? = 1+ ? 2 4 4 64 1 1 1 ? = 1+（ ? ） 2 2 64 1 = 1+1 ? 64 63 = 1 64点评：解这类题型时，关键是要仔细审题，发现其特点规律，再利用我们所学的知识去快速解答。变式训练 12：2 2 2 2 2 1、 1+ + + + + 3 9 27 81 243 1 1 1 1 2、 + + + + 8 16 32 64 + 1 1 + 512 1024基础闯关（限时 20 分钟，满分：50 分）得分________2 4 1、(2.7-4.25× 2.8× 5 )÷ 7 1 2 2、[(0.05+4 )÷ 0.25-5 ]× 125%3、53.5 ? 35.3+53.5 ? 43.2+78.5 ? 46.54、139 ?137 1 ? 137 ? 138 138405 1 5 2 5 6 5、 ? ? ? ? ? 6 13 9 13 18 136、1 202 13 ? ? ? 21
7、796 ? 976 ? 795 796 ? 976-1808、1 1 1 1 ? ? ? ....... ? 2? 4 4? 6 6?8 48 ? 503 3 3 3 3 3 3 3 9、 (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ...? (1 ? ) ? (1 ? ) 4 4 7 7 10 10 99 991 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10、 ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ? ) ? ( ? ? ) 11 21 31 41 21 31 41 51 11 21 31 41 51 21 31 41名校培优（限时 30 分钟，满分：50 分） 得分________1、 （2011?西大附中）[ （ 51 5 3 5 -4.25 ） × ]÷ +3.3÷1 4 8 8 641? 3? 2 ? 2 ? 2、 （2013?西大附中） ?14.8 ? ? 6 - 4.5 ? ? 1 ? ? 2 3 ? 7 ? 25? ?3、 （2012?西大附中） 37 ? 3 1 ? ? ?5 ? 4.5 ? (20% ? )? 20 ? 4 3?4、 （2012?西大附中）1 ? 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 6 ? ? ? ? ? 10 ? 20 3 ? 5 ? 6 ? 10 ? 9 ? 15 ? ? ? ? ? 30 ? 505、 （2011?西大附中）1+21 1 1 1 1 1 1 1 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 6 20 42 72 12 30 56 906、 （2011?西大附中） 20142 ? 2013 ? 2015427、 （2012?三美中学）151 ? 517 319? 517 ? 319 151? 319 ? 151 517 ? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ? 315 ? 751 537 ? 751 ? 537 315? 537 ? 315 751?1 1 1 1 1 1 8、 （2011?三美中学） + + + + + ?????? ? 5 10 20 40 80 12809、 （2012?十八中） (1 ?3 3 3 3 ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ……? （1） 2? 4 3? 5 4?6 7?910、 （2013?三十七中） 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? ?????? ?95 ? 96 ? 97 ? 98 ? 99 ? 100 ? 101第五节知识经纬统计与可能性1、理解掌握条形、折线和扇形统计图的特点；432、学会计算平均数、众数和中位数的相关题型； 3、能熟练计算简单事件的可能性。知识要点一、统计1、条形统计图（分为单式条形统计图和复式条形统计图） 特点：用一个单位长度表示一定的数量。用直条的长短表示数量的多少。 作用：从条形统计图中能清楚地看出数量的多少，便于比较。 2、折线统计图（分为单式折线统计图和复式折线统计图） 特点：用一个单位长度表示一定的数量。用折线的起伏表示数量的增减变化情况。 作用：从折线统计图中能清楚第看出数量的增减变化情况。也能看出数量的多少。 3、扇形统计图： 特点：用整个圆面积表示总数，用圆内的扇形面积表示各部分占总数的百分数。 作用：从扇形统计图中能清楚地看出个部分与总数的百分比，以及部分与部分之间的关 系。 4、平均数： 数量关系：总数量÷ 总份数=平均数 5、 中位数： 将一组数据按大小依次排列， 把中间的一个数据 （或中间两个数据的平均数） 叫作这组数据的中位数。 6、众数：一组数据中出现次数最多的数据，叫作这组数据的众数。二、可能性可能性大小 = 满足条件的总数÷ 出现的总数点睛题例 1： （条形统计图）右图是南宁某公司中三个小组男、女职工人数统计图：（1） 第一小组女工人数比男工人数 少百分之几？单位: 人 140 120 100 80 60 80 80 110 140 140 男 女（2）全公司男工人数比女工人数多40 20 030第一小组第二小组第三小组44百分之几？考点：两种不同形式的复式条形统计图；百分数的实际应用． 分析： （1）把男工人数看作单位“1”，用第一小组女工比男工少的人数除以男工人数．（2）把全公司女工人数看作单位“1”，用全公司男工比女工多的人数除以女工人数.解答： （1） （80-30）÷ 80=50÷ 80=0.625=62.5%答：第一小组女工人数比男工人数少 62.5%． （2）[（80+110+140）-（30+140+80）]÷ （30+140+80） =[330-250]÷ 250 =80÷ 250 =0.32 =32% 答：全公司男工人数比女工人数多 32%．点评：本题是考查从扇形统计图中获取信息，再根据所获取的信息进行有关计算． 变式训练 1：1．小刚就本班同学的上学方式进行了一次调查统计，左图和右图是他通过采集数据后，绘制 的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答以下问题： ① 该班共有多少名学生？ ② 在左图中，将表示“步行”的部分补充完整。 ③如果全年级共 500 名同学，请你估算全年级步行上学的学生人数。例 2： （折线统计图）小刚和小强赛跑情况如下图45（1）先到达终点； 后 ；（2）请用“快”、“慢”来描述他们的比赛情况：小刚是先 （3）开赛初 是 米； 领先，开赛 分后领先，比赛中两人相距最远约（4）两人的平均速度分别是每分多少米？（保留整数）考点：复式折线统计图 分析： 观察折线统计图可以得出每个时间阶段小刚和小强行驶的路程，由此可以解决问题．解答：解： （1）行驶 800 米小强用了 4.5 分钟，小刚用了 5.5分钟，所以小强先到达终点， 答：小强先到达终点． （2）根据观察折线统计图发现，比赛时小刚是先快后慢，答：比赛时小刚是先快后慢， （3）开赛初小刚领先，开赛 3 分钟后小强领先，当小强到达终点时，两人相距最远约为 800-700=100（米） 答：开赛初小刚领先，开赛 3 分后小强领先，比赛中两人相距最远约是 100 米． （4）800÷4.5≈178（米/分） 800÷5.5≈145（米/分） 答：小强的平均速度是 178 米/分，小刚的平均速度是 145 米/分．点评： 此题考查了利用折线统计图表达行驶路程与时间关系及利用统计图中数据解决实际问题的方法．变式训练 2：1、下面是某地区三至九月份水位情况折线统计图。 看图回答下列问题。 （1）记录员一共记录了 （2）水位最高是 的水位是 厘米； ； 次； 厘米，最低是 厘米。八月份（3）七月份以后水情的整个趋势是 （4） 月至月水位是在持续上涨。462、小明去 6 千米远的公园玩，请根据折线图回 答问题。 （1）小明在公园玩了多少时间？ （2）如果一直走不休息，几时几分到达公园？ （3）求出返回时小明骑自行车的速度。例 3： （扇形统计图）育才学校电视台每周的周二至周五分别播放特长展示、学法交流．音乐欣赏．校园新闻，共计 2 时．如图是各类节目的播 放时间统计图． （1）“校园新闻”“特长展示”各播放多少分钟？ （2）“学法交流”的播放时间是多少分钟？考点：统计图表的综合分析、解释和应用 分析： （1）用总时间分别乘“校园新闻”、“特长展示”占的百分数即可求解．（2）由图可知：把总时间看成单位“1”，其中特长展示占 20%，校园新闻占 30%，音乐欣赏 占 15%，剩下的时间是学法交流；用总时间减去特长展示、校园新闻、 ，音乐欣赏占的百分数 就是学法交流占总时间的百分之几；再用总时间乘这个百分数即可．解答： （1）2 小时=120 分120× 30%=36（分）120× 20%=24（分）答：“校园新闻”的播放时间是 36 分，“特长展示”播放的时间是 24 分． （2）120× （1-20%-15%-30%）=120× 35%=42（分） 答：“学法交流”的播放时间是 42 分．点评：此题主要考查的是如何观察扇形统计图并且从统计图中获取信息，然后找出单位“1”，已知单位“1”的量，求它的百分之几是多少用乘法．变式训练 3：1．英才小学开展丰富多彩的“阳光体育”锻炼活动，乐乐对六（1）班同学锻炼的情况做了统 计，并绘制了下面的两幅图． （1）从图中可以看出参加篮球锻炼的占锻炼总人数的 （2）六（1）班参加体育锻炼的共有 人． %，有 人．47（3）请把统计图 2“乒乓球”部分的条形补上． （4）参加足球锻炼的人数与参加篮球锻炼的人数的比是 .2．如图，根据某校男女生人数扇形统计图，已知有男生 100 名，则该校共有学生 人．例4 ： （众数、平均数、中位数）对于数据组 3，3，2，3，6，3，6，3，2，4 中，众数是_______；平均数是______；?中位数是______．考 点：众数、平均数、中位数． 分析：根据查众数、平均数与中位数的定义解答． 解答：众数是一组数据中出现次数最多的数，所以众数是 3；平均数是（3+3+2+3+6+3+6+3+2+4）÷ 10=3.5； 将这组数据从小到大的顺序排列 2，2，3，3，3，3，3，4，6，6． 处于中间位置的数是 3，3，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 3． 故填 3；3.5； 3点评：本题为统计题，考查众数、平均数与中位数的意义，解题的关键是准确理解各概念的含义．变式训练 4：1、有一组数据 85，x，80，90，如果这组数据的平均数是 85，那么 x 是 数据的众数是 80，那么 x 是 。 ，如果这组482、一个射手连续射靶 22 次，其中 3 次射中 10 环，7 次射中 9 环，9 次射中 8 环，3 次射中 7 环．则射中环数的中位数和众数分别为 、 。 ．3、数据 6，8，8，x 的众数有两个，则这组数据的中位数是例 5： （可能性）一个盒子里有 3 个白球和 5 个黑球，每次从里面任意拿出一个球，结果拿出白球的可能性是___________．如果要使拿出白球的可能性大于 ___________个白球．1 ，那么至少再添 2考点：简单事件发生的可能性求解3 ，据此可知，每次从 8 3 1 里面任意拿出一个球，结果拿出白球的可能性是 ；如果要使拿出白球的可能性大于 ， 8 2分析：3 个白球和 5 个黑球，一共有 3+5=8 个球，白球占总球数的就要让白球的个数大于 5，又因为要求至少，大于 5 的最小的数就是 6，原来有 3 个，再添 6-3=3 个即可．3 8解答：解：3+5=8（个） ；3÷ 8= ；6-3=3（个） ；3 1 答：拿出白球的可能性是 ．如果要使拿出白球的可能性大于 ，那么至少再添 3 个白球． 8 2点评：对于这类题目，求拿出白球的可能性是几分之几，就看白球占总数的几分之几就可以了．要求使拿出白球的可能性大于 个数，就是现在要添的个数．1 ，只要白球的个数比总球数的一半稍多点，减去原有的 2变式训练 5：1 1、为了使指针转动后，停在红色区域的可能性是 ，停在绿色区域的可能性是 8 1 ． 红色涂 份，绿色涂 份． 22、一个布袋里装有 6 只黑球，4 只红球，任意摸一只．摸到红球的可能性是_________，再 放________只黑球，摸到红球的可能性是1 ． 6基础闯关（限时 20 分钟，满分：50 分）得分________49一、填空题（每小题 3 分，共 21 分）1、能清楚地反映出各种数量的多少的统计图是 能反映数量增减变化情况的统计图是 。 。 。 ，不仅能反映数量的多少，还2、既 能 反 映 增 减 变 化 ， 又 能 反 映 数 据 多 少 的 统 计 图 是3、小 明 期 中 考 试 语 文 、 英 语 、 科 学 的 平 均 成 绩 是 91 分 ， 数 学 成 绩 公 布 后 ， 他 的 平 均 成 绩 提 高 了 2 分 ， 小 明 数 学 考 了 __________分 ． 4、 7.7、 8.4、 6.3、 7.0、 6.4、 7.0、 8.6、 9.1 这组数据的众数是 平均数是 。 ，这组数据的众数 ， 中位数是 ，5、已知一组数据 1，a，4，4，9，它的平均数是 4，则 a 等于 是 。6、在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“S”的可能 性是 。 ） ，摸到黑桃 A 的可 ） %。（ 7、一副扑克牌有 54 张，从中任意摸一张，摸到 4 的的可能性是 （ 能性是 （ （ ） ，如果去掉大、小王，摸到牌面是红桃的可能性是 ）二、选择题（每小题 3 分，共 9 分）1、下面是几位同学一学期内读书本数：5、5、8、9、10、13、30、40，用（ 位同学的读书水平比较合适． A．平均数 15 B．中位数 9.5 C．众数 5 ）代表这几2、如图是六、一班上期数学成绩统计图（学生分数都是整数分） ， 其中 80-100 分的人数占全班人数的（ A ． 50% B ． 67.5% ） C ． 92.5%3、一个正方体的六个面上，有 1 个面上写“1”，2 个面上写“2”，3 个面上写“3”．任意抛这个 正方体，数字“3”朝上的可能性是（ A．1 2） C．1 6B．1 3三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）1、下图表示的是某人骑自行车所走的路程和花费的时间。 （1）他一共骑了 了 千米。50千米，旅途的最后半小时他骑（2）他在途中停留了小时，因为图中。2、5 个裁判员给一名体操运动员评分，去掉一个最高分和一个最低分平均得分 9.58 分。如果 只去掉一个最高分，平均得分为 9.46 分，如果只去掉一个最低分，平均得分 9.66 分。最高分 和最低分各是多少分？名校培优（ 限 时 30 分 钟 ， 满 分 ： 50 分 ） 得分________一、填空题（每小题 3 分，共 24 分）1、 （2013?西大附中）若干个数的平均数是 2013，增加一个数后，平均数仍为 2013，则增加 的这个数是 ．2、 （2013?新民中学）A 、 B 、 C 、 D 四 个 同 学 在 一 次 数 学 考 试 中 成 绩 分 别 为 97 分 、 92 分 、 88 分 和 90 分 ． 这 四 个 同 学 的 平 均 分 是 分；若每个同学增加 1 分，平均 分是 分 ；若 每 个 同 学 增 加 Χ 分 ，那 么 这 四 人 的 平 均 分 是 分 ；四 个 同 学 成绩增加相同分数，平均成绩最多是 分． 3、 （2013?三美中学）全班女生和男生的人数比是 1：3 一次考试，男生平均分是 80，全班的 平均分是 82，女生平均分是 分．4、 （2013?桂林二附）张老师把 2014 张号码是 1-2014 的卡片，依次发给 A、B、C、D 四个同 学，最后一张卡片发给了同学 ．5、 （2012?新民中学）如图是牛肉的成分统计图．如果这块牛肉重 500 克，脂肪占这块牛肉 的 %，蛋白质的重量比脂肪多 克．6、 （2012?三美中学）由三张数字卡片 0 2 4 可以组成个能被 4 整除的不同整数．7、 （2011?十八中）小明外出游玩时，带了 2 件上衣和 3 条长裤，上衣颜色有白色、蓝色，长 裤有白色、黑色、蓝色，他任意拿出一件上衣和一条长裤穿上的颜色正好相同的可能性51是．8、 （2012?桂林二附）一个正方体的六个面上分别写有 1-6 共 6 个自然数．把这个正方体任意 上抛，落下后，朝上的数是质数的可能性是 ，二、选择题（每小题 3 分，共 6 分）1、 （2012?十八中）若干名工人某天生产同一种零件，生产的零件数整理 成条形图(如图所示)．设他们生产零件的平均数为 a，中位数为 b，众数 为 c，则有( A、b＞a＞c． ) B、c＞a＞b． C、a＞b＞c． D、b＞c＞a．人数 4 3 2 1 0 4 5 6 零件数第 10 题 图2、 （2013?师大附中） 两人在玩“石头”、 “剪刀”、 “布”的游戏中， 那么石头获胜的概率为 （ A、1 8）B、2 9C、1 4D、1 3三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 1． （2011?新民中学）一段上坡路，小林骑车上坡每小时行 10 千米，下坡每小时行 15 千米，求自行车往返的平均速度。2、 （2012?三十七中）下面是某汽车厂两款新车销售情况统计图． 根据图中数据，回答下面的问题： （1）统计图中显示了这两款新车在什么时间内的销售情况？ （2）哪个月两款车的销售量差距最大？ （3） A 款车在 6 月份的销售量比 5 月份提高了百分之几？ （4）B 款车在 6 个月内平均每个月销售大约多少辆？ （四舍五入，取整数）52第六节知识经纬规 律 探 索1、学会数列、图形、周期等规律的解决方法； 2、灵活运用数形结合思想解决规律问题； 3、培养学生的观察――探索――归纳――总结的能力知识要点一、数列中的规律:找规律是解决数学问题的一种重要手段；找规律既需要敏锐的观察力，又需要一定的逻 辑推理能力。 寻找数字的排列规律要从多个角度去分析，注意认真观察与前后对比。 1、数字的规律一般隐藏在相邻两数的和、差或倍数中； 2、前后几项为一组，以组为单位找它们的关系、规律； 3、需要将数列本身分解，通过对比发现其规律。二、图形中的规律解答图形的规律题时，我们一般将图形的规律转化成数列的规律。 解答数图形的题目，要按一定的顺序去数，做到不遗漏、不重复。数线段的一般公式是：（n ? 1 ） ? （n ? 2） ? ??? ??? ?2 ? 1 （n 为线段的总端点数） 。在数角、三角形、长方形等图形的个数时，有时可以与数线段的方法联系起来思考。三、方阵中的规律日常生活中，我们经常会遇到一些有关正方形的问题，如运动会上大型体操表演的正方 形队列、正方形的池塘边植树等，我们称为方阵问题； 方阵问题一般分为实心方阵和空心方阵两种；方阵问题的特点是：方阵每边数量相等，相邻 两层，每边上的数量相差 2。 1、 四周数=（每边数－1）× 4532、实心方阵的数量关系为：总数=外层每边数× 外层每边数 3、空心方阵的数量关系为：总数=（外层每边数－层数）× 层数× 4四、周期中的规律解答周期问题的关键是找出周期。确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周 期，结果为周期里的最后一个；如果比整数个周期多 n 个，那么结果为下一个周期里的第 n 个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，在继续算。 如每个星期总是以七天为一个周期一次又一次地循环着；又如一串数 9，5，2，7，9，5， 2，7，9，5，2，7， ??? ??? 中，9，5，2，7 四个数有规律地循环出现。五、搭配中的规律1、加法原理：完成某一项任务共有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同的方法，在 第二类方法中有 m2 种不同的方法， ??? ??? ，在第 n 类方法中有 mn 种不同的方法，那么完成这 件事有 N ? m1 ? m2 ???? ??? ?mn 种不同的方法。 2、乘法原理：完成某一项任务有 n 个步骤，完成第一步有 m1 种不同的方法，完成第二? 完 成 第 n 步 有 mn 种 不 同 的 方 法 ， 那 么 完成 这 件 事 有 步 有 m2 种 不 同 的 方 法 ， ? ? ? ? ? ，N ? m1 ? m2 ???? ????mn 种不同的方法。点睛题例 1： （数列）找规律填空：（1）1，4，7，10，13， （2）1，3，7，15，31， （3）1，1，2，3，5，8， （4）1，3，2，6，4， ， ， ，19……； ，127……； ，21……； ，12，16……；13 ……； 211 1 5 7 3 （5） , , , , ， 3 2 9 12 5考点：数列中的规律． 分析：找数列中的规律，一般我们都采用作差法，通过作差，我们发现：54（1）中 4-1=3，7-4=3，10-7=3；19-16=3；后一个数比前一个数大 3； （2）中 3-1=2，7-3=4，15-7=8，31-15=16，后一个数减前一个数的差成倍增长； （3）这是一个著名的数列，叫作斐波那契数列，它的规律是从第三个数开始，后一个数都是 前两个数之和； （4）观察所给出的数列，将该数列分为两部分，奇数项和偶数项；每一个偶数项上的数是它 前面的偶数项上的数加 3 所得，奇数项上的数是它前面的奇数项上的数乘 2 所得，由此即可 求出答案． （5）对于分数数列的规律，我们一般将分子和分母单独分开寻找规律，通过观察，这个数列1 3 5 7 9 可以还原成： , , , , ， 3 6 9 12 15，解答： （1）16；（2）63；13 ……，发现分子全是奇数，分母全是 3 的倍数。 21 11 （3）13； （4）9、8 （5） 18点评：通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 变式训练 1：1． （2013?师大附中） （1）29， ， ，11，7，4，2，1； ； ，18； ；14 ． 49（2）1，2，5，10，17， （3）1，3，4，7，（4）2，3，4，6，6，9，8，12，10，15， （5）2 4 6 10 8 ， ， ， ， ， 1 4 9 16 25，例2 ： （图形）如图是小朋友用火柴搭的 1 条 2 条 3 条?“金鱼”，那么搭 n 条“金鱼”需要火柴_______________根考点：数与形结合的规律 分析：根据题干可知一条鱼需要 8 根火柴，两条鱼需要 8+6=14 根火柴，三条鱼需要 8+6+6=20 根火柴，…，由此即可进行推理得出正确答案．解答：根据题意分析可得：这里 8 可看做 2+6， 所以 1 条鱼需要 2+6× 1=8 根； 2 条鱼需要 2+6× 2=14 根； 3 条鱼需要 2+6× 3=20 根，…则 n 条鱼需要 2+6n 根火柴， 答：搭 n 条“金鱼”需要火柴 2+6n 根．55故答案为：2+6n．点评：此题考查了学生利用特殊事例推理得出一般结论的能力，这里要抓住鱼数目的增加和火柴根数的增加的特点进行分析推理．变式训练 2：1、如右图，摆 1 个梯形需要 4 根小棒，摆 2 个梯形需要 7 根小棒?照这样摆下去，摆 10 个 梯形， 需要______根小棒； 46 根小棒可以摆___________个这样的梯形． 2、小朋友们用小木棒摆图形，如图：摆 1 个用 6 根，摆 2 个用 11 根， 摆 3 个用 16 根…摆 10 个用 个用小棒 101 根． 3、把边长为 1 厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方形： _________ 根，摆 _________（1）用 5 个正方形拼成的长方形的周长是____________________厘米； （2）用 m 个正方形拼成的长方形的周长是_____________________厘米．例 3： （数表）一个自然数表如下（零除外，表中下一行数的个数是上一行的 2 倍） ，第六行最后一个数是（ ） 第一行 第二行 第三行 … 1 2 4 … 3 5 6 7考点：数表中的规律 分析：通过观察分析可知，表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍，所以第 n 行的数字的个数为 2 n ?1 个，又每一行中最后一个数为前边为从第一行到这一行中所有字的个数，如第三 行中最后一个数为 7，则一至三行中共有 7 个数字．由此可知，到第 n 行中最后一个数字为 1+2+4+…+ 2 n ?1 ．解答：第 6 行的最后一个数为：1+2+4+8+16+32=63． 点评：通过观察发现数表中数的排列规律并据此进行分析是完成本题的关键． 变式训练 3：1、自然数按一定的规律排列如下：56从排列规律可知，99 排在第行第列．2、如 图 是 一 个 三 角 形 数 垒 ， a ， b 是 某 行 的 前 两 个 数 ， 当 a=7 时 ， b=．例 4： （方阵）在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是 。 0 2 4 8 2 4 6 22 4 6 8 44 6m考点：数字的变化规律 分析：分析前三个正方形可知，规律为右上和左下两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数．因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是 12，右 上是 14．解答：解：分析可得图中阴影部分的两个数分别是左下是 12，右上是 14，则 m=12× 14-10=158． 故答案为：158．点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找出阴影部分的数．57变式训练 4： 1、填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C =．1 53 203 75 565 BA C2、根据下图中前三组图形中的三个数的关系，填出最后一组图形中？所代表的数，那么这个 数是 ．例 5： （周期问题）（1）六一儿童节用彩色小灯泡布置教室，按“三红、二黄、二绿”的规律连接起来，第 37 个 小灯泡是 ． ？（2）2012 年的元旦是星期日，那么 2013 年的国庆节是星期考点：周期问题； 分析： （1）“三红、二黄、二绿”一共是 7 个灯泡，把这 7 个灯泡看成一组，求出 37 里面有几个这样的一组，再根据余数判断； （2） 首先， 我们要算出从 2012 年的元旦到 2013 年的国庆节有多少天： 2012 年的元旦到 2014 年元旦有 366+365=731（天） ，从 2013 年的国庆节到 2014 年元旦有 31+30+31=92（天） ，所 以 2012 年的元旦到 2013 年国庆有 731-92=639（天） 。然后我们以一个星期 7 天为一个周期， 算出余数即可。解答： （1）解：37÷ （3+2+2）=37÷ 7=5（组）……2（个） ；余数是 2，第二个灯泡是红色的； 答：第 37 个灯泡就是红色的． （2）366+365=731（天） ； 31+30+31=92（天） ； 731-92=639（天） ； 639÷ 7=91（周）……2（天）58因为，2012 年元旦是星期日， 所以，2013 年的国庆节是星期二。点评：解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解．变式训练 5：1、元旦晚会上，教室里用红气球和黄气球装饰，按“三红两黄”的顺序把气球串起来那么第 39 个气球是 色。 。2、2010 年的劳动节是星期六，那么 2012 年的教师节是星期 3、把 是3 化成循环小数是 0．…，这个循环小数的小数部分第 50 位上的数字 7．4、如果有 2009 名学生排成一列，按 1，2，3，4，5，4，3，2，1，2，3，4，5，4，3，2， 1，2，……的规律报数，那么第 2009 名学生所报的数是_______．例 6： （搭配问题）从甲地到乙地有 3 条直达公路，从乙地到丙地有 4 条直达公路，那么从甲地经乙地到丙地有 种走法。考点：搭配问题 分析：从甲地到乙地的每条公路都可以配从乙地到丙地的 4 条公路，用乘法原理即可。 解答：3×4=12（种） 点评：本 题 考 查 了 加 法 原 理 即 完成某一项任务有 n 个步骤，完成第一步有 m1 种不同的方法，完成第二步有 m2 种不同的方法， ??? ??? ，完成第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件 事有 N ? m1 ? m2 ???? ????mn 种不同的方法。变式训练 6：1、甲、乙两个城市之间（包括甲、乙两城）共 8 个车站，试问车站应该准备 票价， 种不同的车票。 种不同的2、一个篮球队，五名队员 A，B，C，D，E，由于某种原因，C 不能做中锋，D 不能做控球 后卫，而其余 3 个可以分配到五个位置的任何一个上，共有___________种不同的站法．59例 7： （植树问题）用 15 秒钟，可以将一根木料锯成 4 段，问用同样的速度将这根木料锯成 8 段需要 秒。考点：变形的植树问题 分析：第一眼看到这题时，多数人想的是用 15 秒钟，可以将一根木料锯成 4 段，那么锯成8 段就要用 30 秒钟， 这就陷入了出题人的陷阱中了。 由“用 15 秒钟可以将一根木料锯成 4 段” 知道的是将木料锯断一次需 5 秒，锯成 4 段需要锯 3 次．所以，将这根木料锯成 8 段的话， 需要锯断 7 次．解答：锯的次数为 4-1=3（次） ，每锯一次需要 15÷ 3=5（秒） ， 锯 8 段需要锯的次数为 8-1=7（次） ， 需要的时间为 5× 7=35（秒） 。点评：理解“将一根木料锯成 n 段，需将木料锯断（n-1）次”是解答本题的关键． 变式训练 7：1、将一根木棒锯成 6 段需要 20 分钟，则将这根木棒锯成 12 段需要 分钟。2、有一高楼，每上一层楼需 2 分钟，每下一层楼需 1 分 30 秒，小明家住底层，他从底层于 12 点 25 分开始上楼送信给住最高层的王老师，交信时用了 1 分钟，立即返回底层家中，此 时时间是 13 点 15 分，这座高楼一共有 层．3、街道上有一排路灯，共 40 根，每相邻两根距离原来是 45 米，现在要改成 30 米，可以有 根路灯不需要移动．基础闯关（ 限时 20 分 钟 ， 满 分 ： 50 分 ）得分________一、填空题（每小题 3 分，共 24 分）1、找出下列数列的排列规律，并填上合适的数。 15、3、20、5、 （ ） 、 （ ） 、……2、有一串黑白相间的珠子按下图排列：第 20 个珠子是()颜色，第 45 个珠子是()颜色。601 1 2 3 5 21 、 、 、 、 、_______、_________、 ． 2 3 5 8 13 55 4、如 图 ， 用 同 样 的 小 棒 摆 三 角 形 ， 像 这 样 摆 10 个 同 样 的 三 角 形 需 要 ____________________ 根 小 棒 ．3、按规律填一填：5、2011 年的国庆节是星期六，那么 2012 年的国庆节是星期_________ ． 6、数一数共有 个角．7、先观察，再按规律填空8、有红、黄、绿三种颜色的灯光依次闪烁，当闪烁 2014 次时是（）色二、选择题（每小题 3 分，共 6 分）1、桃李园教育的电话号码是 323453□．如果拨通该电话，此人最多需试打（ A．1 B．9 C．10 D．12 ）次．2、古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1、3、6、10 ……这样的数称为“三角形数”，而把 1、4、 9、16……这样的数称为“正方形数”，从图 6 中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可 以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是( A．13 = 3+10 B．25 = 9+16 C．36=15 +21 D．49 =18 + 31 )三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）1、仔细的观察下边的算式： 22-12=（2+1）× （2-1）=2+1 42-32=（4+3）× （4-3）=4+3 122-112=（12+11）× （12-11）=12+11 （1）根据你发现的规律，在横线上再写一道这样的算式：61（2）运用这个规律计算 102-92+82-72+…+22-12=．2、陈庄小学有一个长 60 米、宽 40 米的小操场，四个顶点都种有一棵树，长边上每隔 10 米 种一棵，宽边上每隔 8 米种一棵。操场四周一共种树多少棵？名校培优（ 限 时 30 分 钟 ， 满 分 ： 50 分 ） 得分________一、填空题（每小题 3 分，共 24 分）3 5 11 8 1、 （2012 年?西大附中）“ ， ， ， ”这四个数中最大数与最小数的差为 4 6 12 9．2、 （2011 年?西大附中）用火柴棒连续这个图形，摆一个这样的图形需要 4 根火柴棒，如果像 这样一直摆下去 火柴棒可以摆成 ……连续排 20 个图形需要 个这样的图形．1 1 后，再减少 ，结果重 10 10根火柴棒，用 100 根3、 （2012 年?三美中学）现有 100 千克的物品，增加它的 克．千4、 （2008 年?西大附中）张老师把 72 张号码是 1-72 的卡片，依次发给 A、B、C、D 四个同学， 第 68 号卡片发给了同学 ．5、 （2012 年?新民中学）有一列数，按照下列规律排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5， 5，5，5，5，6，6，6，6，6，6，7，?这列数的第 200 个数是_____________________．626、 （2010 年?西大附中）一刀最多可以把一个平面切成 2 块，两刀最多可以切成 4 块，那三 刀最多可以切成________块；8 刀最多可以切成________块． 7、 （2011 年?西大附中）一个圆形花坛周围长 30 米，沿周围每隔 3 米插 一面红旗，每两面红旗中间插两面黄旗，花坛周围共插了 面黄旗．8、 （2008 年?西大附中）如图，不同的图形代表不同的数，方格外的数分 别表示所在的这一行或这一列中全体图形所代表的数之和， 比如第二行中 “7=○+◇”，根据图示所表示的关系，可以推算出？= ．二、选择题（每小题 3 分，共 6 分）1、 （2009 年?西大附中）小强观察一个建筑物模型（由若干个相同的小正方体拼成） ，分别从 前面，右面，上面观察，看到的图案如图所示，那么该模型共由（ ）个小正方体拼成．A． 8B． 9C ． 10D ． 112、 （2010 年?西大附中）在 1，4，7，l0，13，…，97，100 中，每个数的小数点向左移动一 位后，它们的和是（ A．171．7 ） B．1717 C．17．17 D．17170三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）1． （2012 年?桂林二附）我们知道 1+2+3+1 +n= n(n ? 1) ，期中 n 是自然数．现在来研究一 2个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？观察下面三个特殊等式：1 1? 2= ? (1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2) ； 3 1 2 ? 3= ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3) 3 1 3 ? 4= ? (3 ? 4 ? 5 ? 2 ? 3 ? 4) 3 1 将这三个等式的两边相加，可以得到 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? ? (3 ? 4 ? 5) ? 20 ， 3读完这段材料，请完成下面各空： （1）1×2+2×3+…+n（n+1）= （2）1×2×3+2×3×4+…+n（n+1） （n+2）= ． ．632、 （2008 年?三十七中）鲁班路边等距地立着一排电线杆．小明用均匀的速度从第 1 根电线 杆走到第 15 根电线杆用了 7 分钟时间，接着他继续往前走，又走了若干根电线杆后就往回 走．当他走回到第 5 根电线杆时一共用了 30 分钟．那么小明是走到第多少根电线杆是开始 往回走的？第二章：空间与图形第一节知识经纬1、掌握平面图形的周长、面积公式； 2、灵活的运用公式解决组合图形的面积问题。平 面 图 形知识要点一、单位换算高级单位的名数转化成低级单位的名数，就乘单位间的进率；反之，就除以进率．二、部分平面图形的周长、面积公式名称 长方形 正方形 图形 周长公式 2（a＋b） 4a 面积公式 ab a?1 ah 2三角形a＋b＋c64平行四边形2（a＋b）ah梯形a＋b＋c＋d1 （a＋b）h 2圆2?r?r ?三、组合图形有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合，拼凑成的，它们的面 积及周长无法应用公式直接计算。一般我们称这样的图形为不规则图形。 本专题介绍一些较复杂、不规则图形的面积的求法，主要通过将复杂图形分解成熟悉的 基本图形，或将不规则图形进行划归为基本图形，或者用等积变换等方法进行转化。点 睛 题例 1：在________里填上合适的数．2 时= 5000 千克= 分；8 米= 80 分米= 厘米； 厘米．吨；60 毫米=考点：单位换算 分析：2 时换算成分数，用 2 乘进率 60；8 米换算成分米和厘米数，先用 8 乘进率 10 得分米数，再用 8 乘进率 100 得厘米数； 5000 千克换算成吨数，用 5000 除以进率 1000； 60 毫米换算成厘米数，用 60 除以进率 10．解答：解：2×60=120（分） ；8× 10=80（分米） ， 8× 100=800（厘米） ； 5000÷ 1000=5（吨） ； 60÷ 10=6（厘米） ．