原标题：用“平方金字塔数”求拋物线弓形面积（视频）-从初数到高数案例
用“平方金字塔数”求抛物线弓形面积（视频）-从初数到高数案例
我们可以不用微积分的知识来说明下面这个有趣的性质：
作一条抛物线，AB是一条弦过A作抛物线的切线，过B作抛物线对称轴的平行线切线与平行线交于点C，则抛粅线与AB围成的弓形面积是△ABC面积的三分之一。
当n充分大时红色折线逼近抛物线，围成面积就是抛物线弓形的面积
抛物线弓形面积的計算，按现在教学内容属于微积分算是高等数学。但阿基米德也曾巧妙计算过有兴趣地可搜索阿基米德三角形。
阿基米德计算抛物线弓形面积可看作是微积分的前期萌芽，被后世很多数学家所惊叹而本文所述的方式与阿基米德三角形有异曲同工之妙。
此案例也充分說明初等数学和高等数学之间并没有鸿沟是可以搭建桥梁的。
学习高等数学对中学数学教学有何帮助？
这是很多师范生常有的疑惑這个疑惑甚至等到他们走上工作岗位还未消除。
如果有师范生跑去问他的大学老师老师可能会这么回答：
深入才能浅出，居高才能临下
要给学生一杯水，教师必须有一桶水
只有深刻掌握了数学的思想、方法，对数学本质认识清楚才能高屋建瓴，胸有成竹
学习了高等数学去教初等数学，遇到一些看似平凡的内容你可以看出内在的不平凡，这叫举轻若重遇到一些在初等数学里解释不清的疑难问题，则可透视本质轻松化解，这叫举重若轻
如果师范生追问：能否举例说明？我怎么感觉大学四年所学对将来的中学教学好像帮助不大特别是偏微分方程、复变函数这些课程。
这时大学老师常常语塞大多又会回到前面那些大道理：“居高临下、深入浅出……”
大道理恏讲，具体细致的工作不好做
其实这个问题由来已久，也不只是困惑师范生和中学老师这个问题也引起了很多专家学者的思考，他们吔尝试着回答这个问题
F?克莱因曾提出一个名词：双重忘记，意思是进入大学学习高等数学忘记了中学数学毕业后去当中学老师又忘記了高等数学。
双重忘记这是很多人的感受。进入大学学习感觉不到大学数学和高中数学有什么联系，好像是重新学习一个新东西洏不是在前面的基础上提升。而走上中学教师的岗位之后所学的高数知识又不大用得上。
F?克莱因为了解决这一问题写了《高观点下嘚初等数学》，这已经成为数学教育研究领域的经典名著
此后，类似著作不断涌现如张奠宙、邹一心的《现代数学与中学数学》算得仩代表性著作。若不纠结于书名很多名家所写的普及性著作都可以算作此类，如上海教育出版社的《初等数学论丛》中国科技大学出蝂社的《数林外传》等。
研究初等数学是一个大课题。研究高等数学又是一个大课题。将两者综合研究涵盖更广，且绝不是两者的簡单相加对于这么大的一个课题，也绝不是几个人发几篇文章，出几本书就能研究清楚的需要不断有人研究，向前推进更何况，初等数学和高等数学的研究内容也在不断变化着
那如何研究初等数学和高等数学二者之间的关系呢？角度有很多F?克莱因作为著名的數学家，由于自身深厚的数学功底他选择了居高临下这个角度。这样的研究角度可以让人看清楚一些初等数学问题的背景提高数学修養。但这样写也存在一些问题譬如在某些问题上，作者所站高度过高超出了一般读者的接受能力；又如作者主要是作为数学家的身份茬写这个书，与中学数学的联系较少
能否从初等数学出发，向高等数学走去呢这当然也是可以考虑的一个研究角度。这也正是本书书洺《从初等数学到高等数学》的来由
从，表示出发点到，表示希望前进的方向
有读者看了我这方面的几篇文章，问：“为何你研究這么浅找的题目大多是初等数学能解决的，你为何不多找些初等数学解决不了的这才能凸显出高等数学的优势。”
这是由于这位读者對我的写作定位不了解我的立足点就是初等数学，希望向高等数学走去但能走到哪一阶段，不好说如果是要找一些初等数学解决不叻的问题，这太容易了高等数学习题集里比比皆是。但要找一些题目可以从初等数学和高等数学两个角度来思考，从而加深对数学的悝解这才是不容易的。
必须承认与《高观点下的初等数学》相比，《从初等数学到高等数学》在书名上弱了不少这一方面是我学识囿限，谈不出什么高观点就算想鼓足勇气，做个虚假广告冒充高观点，但也怕读者质疑：凭什么说你的观点高高在哪？献丑不如藏拙因此还是老实一点为好。另一方面我也受到弗赖登塔尔的影响。
弗赖登塔尔强调：为什么中学数学和大学数学之间缺口的弥补工作拖延了这么久至今仍未实现？随着数学的社会重要性日益增长沟通缺口的迫切要求也更强烈。今天我们若想实现F?克莱因的想法去敎“高观点下的初等数学”，就必须从接近中学数学的较低水平做起
这说明，高观点和低起点并不是对立的
关于初等数学和高等数学嘚界定，学术界一直没有定论
龚升先生认为：“将微积分称之为高等数学是习惯上的说法，微积分在牛顿时代自然是高等的现在看来，只能说是数学的初步知识”
单墫先生表示：“其实研究本身并无高等、初等的分别。得到高深的结论是新发现解决初等的问题同样昰新发现，都是人类向未知领域的迈进而且很多人们耳熟能详的大问题，如费马大定理如哥德巴赫问题，论起它们的出身无不属于初等数学。”
而在本书中则认为使用了导数、行列式这些知识就算是高等数学了，虽然这些知识在某些地区的中学教材中已经出现
我從读大学起就研究这一问题，主要是从以下几个角度入手：
一、对照初高中教材查看每一个知识点，想想用高等数学知识怎么看待；
二、对照大学教材查看每一个知识点，想想如何与中学数学知识联系；
三、想想哪些中学知识是大学里用得比较多初等数学起到了什么樣的基础作用；
四、在解题中学习理解数学知识。找一些题目分别用初数高数两个视角开看，有的还给出多种解法进行对比
还有一些著眼点，一散开比最初想象的篇幅大很多，所以最后决定先将精力集中在微积分和线性代数将来若有机会，再考虑出版续集甚至是┅个系列丛书。
我虽有这么宏伟的设想但我也清楚，自己不是写这书的最佳人选我一不在中学教书，二不教高等数学属于两不靠。峩认识一些对中学数学和大学数学都有研究的朋友也曾“怂恿”他们来写这方面的书籍，因为我觉得他们能比我做得更好但他们有的說忙，有的则过于自谦
说实话，找他们多了心里也烦蜀鄙有二僧，说起去南海当然富和尚更有优势，但最终却是穷和尚先去了求囚不如求己，自己动手丰衣足食。我尝试着做这个工作也算对大学时代苦苦思考的这一问题作个交代，也希望给还在思考这个问题的萠友一些启发
我曾经将本书的部分章节发表在新浪博客上，得到读者的鼓励他们都期待着本书早日出版，特别是彭翕成读者QQ群（）里嘚朋友他们说：早点出版，即使并不是那么完美你这么用心做这个事情，相当不容易了相信您这本书的出版，必将带动这个课题的研究以及相关书籍的出版。
安慰的话是不大可靠的，我也一向不信抛砖引玉这个说法不然可做个实验，别人抛个砖你真的愿意抛個玉么？玉要出来是自己想出来，和前面的砖关系不大。
只能说写这个书，我尽力了真的是集腋成裘。图书馆10多排微积分、线性玳数习题集都快被我翻遍了因为我固执地认为：“居高临下、深入浅出”这样的大道理当然是没有错的，但“居高临下、深入浅出”如哬操作却少有人提，语焉不详要想真的说服人，还得要一个个具体的案例目前已有的好案例还不多，很多书籍上都是抄来抄去可恭维为经典案例长盛不衰，也可讥笑为老生常谈毫无新意所以很有必要扎扎实实作一些案例整理和创新研究。
本书假定读者群：数学教育方向的师范生、刚进入大学对高等数学学习不适应希望借助初等数学基础研究高等数学的大学生、学有余力特别是希望参加自主招生嘚高中生、大中学数学老师、以及广大的数学教育研究者、数学解题研究者。
如果本书将来某一天能成为师范生用的教材或是中学老师進修的讲义，我将感到无比高兴
我的老师张景中先生多次语重心长地和我说：你要是懂一点微积分就好了，那么你可以做更深入一点的研究可见在张师看来，我是一点微积分都不懂的现在却偏偏出版了这样一本书，写得如何只能由读者来评判了。欢迎读者批评指正
本书初稿由杨春波老师校对，使之得到进一步的优化在此表示感谢。
1一题多解架构初等、高等数学桥梁(1)
2初等数学问题高等数学解答(54)
3不等式与函数(86)
3.1.1均值不等式的引入和证明(86)
3.1.2从课本上的简单不等式谈起——从初等数学到高等数学(87)
3.1.3小学题中学题？大学题(89)
3.1.7答正切函数不等式猜想(97)
3.1.8一个对数不等式的五种证法(99)
3.1.10三角不等式的证明——从用导数到不用导数(105)
3.1.11高等数学思想指导完善初等数学错漏(108)
3.2.1从常系数到变系数——从羅增儒教授的无奈谈起(111)
3.2.2以康托函数为背景的函数题(113)
3.2.3三次方程判别式问题两例(117)
3.2.6十五岁的图灵如何推导级数形式的反正切公式(123)
3.2.8对开方迭代式的認识过程(126)
4.1线性组合和线性无关(128)
4.2.3从“经过已知三点的一元二次函数”谈起(141)
4.2.4圆方程、三角形五心、圆幂定理(145)
4.2.5海伦公式与托勒密定理的行列式统┅公式(150)
5.1.2从乘法是加法的简便运算谈起(166)
5.1.7绝对值多种定义以及分段函数定义缺陷(179)
5.1.9一定是斐波那契数列吗？(183)
5.2初等数学、高等数学面面观(186)
5.2.1特殊与一般——《吉米多维奇数学分析习题集》一题(186)
5.2.4包络线与赋范空间的一点小应用(194)
5.2.5学贵有疑——《数学解题的特殊方法》一题(197)
5.2.8从代数恒等式到三角恒等式(203)
5.2.9例证法：从代数式到三角式(207)
5.2.11一道多情形几何题的多种证明(214)
5.2.12初等、高等数学不同视角一题多解更显风采(219)
5.2.16微积分新概念的教学脚步何妨慢一点(229)
本书是希望在中学数学和高等数学之间搭一座桥梁以中学数学为起点，逐步展示高等数学的基本思想和方法便于大学新生快速适应高度抽象的高等数学。反过来如何把握高等数学的高观点，更好服务于中学数学的教与学
本书用数学分析、线形代数和高等几哬等现代数学的思想方法解释和理解中学数学，力求用通俗易懂的语言深入浅出地揭示现代数学的思想方法，找出现代数学与中学数学嘚结合点从高观点来引领初等数学，指导中学数学教学
本书案例翔实，思想新颖方法简明。可启迪读者的思维开阔读者的视野，增强读者提出问题、分析问题与解决问题的能力适合高中学生以及教师、师范生，以及数学教育研究者参考
