定积分定义的题目，答案附上了，希望给出详细的解题思路和过程！_百度知道
定积分定义的题目，答案附上了，希望给出详细的解题思路和过程！
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当n=无穷大时，1/n=dx，把i看成变量x从B和D中选择
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定积分复习题
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定积分典型例题20例答案
定积分典型例题 20 例答案例1 求 limn ??1 3 2 3 2 ( n ? 2n ? ? ? 3 n3 ) ． n2分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限． 若对题目中被积函 数难以想到，可采取如下方法：先对区间 [0, 1] n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来 找出被积函数与积分上下限． 解 将区间 [0, 1] n 等分， 则每个小区间长为 ?xi ?1 1 1 1 1 ， 然后把 2 ? ? 的一个因子 乘 n n n n n入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即limn ?? 1 1 1 2 n 1 3 2 3 2 3 ( n ? 2n ? ? ? 3 n3 ) = lim ( 3 ? 3 ? ? ? 3 ) = ? 3 xdx ? ． 2 n ?? 0 n n n n n 4例2?202 x ? x 2 dx =_________．2解法 1 由定积分的几何意义知， ? 与 x 轴所围成的图形的面积．故 ?2 002 x ? x 2 dx 等于上半圆周 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ( y ? 0 )2 x ? x 2 dx =? ． 2解法 2 本题也可直接用换元法求解．令 x ? 1 = sin t （ ??2?t ??2） ，则??例3202 x ? x 2 dx = ? 2? 1 ? sin 2 t cos tdt = 2? 2 1 ? sin 2 t cos tdt = 2? 2 cos2 tdt =? 2??00? 2（1）若 f ( x) ? ? e?t dt ，则 f ?( x) =___； （2）若 f ( x) ? ? xf (t )dt ，求 f ?( x) =___．2x2xx0分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可d v( x) f (t )dt ? f [v( x)]v?( x) ? f [u( x)]u?( x) ． dx ?u ( x)解（1） f ?( x) = 2 xe? x ? e? x ；4 2（2） 由于在被积函数中 x 不是积分变量，故可提到积分号外即 f ( x) ? x ? f (t )dt ，则0x可得f ?( x) = ? f (t )dt ? xf ( x) ．0 x例4设 f ( x) 连续，且 ? 解 对等式 ?x3 ?1 0x3 ?10f (t )dt ? x ，则 f (26) =_________．f (t )dt ? x 两边关于 x 求导得f ( x3 ? 1) ? 3x2 ? 1 ，1 1 ，令 x3 ? 1 ? 26 得 x ? 3 ，所以 f (26) ? ． 3x 2 27 x 1 例 5 函数 F ( x) ? ? (3 ? ) dt ( x ? 0) 的单调递减开区间为_________． 1 t 1 1 1 1 ? 3 ，解之得 0 ? x ? ，即 (0, ) 为所求． ? 解 F ?( x )? 3 ，令 F ?( x) ? 0 得 9 9 x x故 f ( x3 ? 1) ?例6求 f ( x) ? ? (1 ? t ) arctan tdt 的极值点．0x解 如下：由题意先求驻点．于是 f ?( x) = (1 ? x) arctan x ．令 f ?( x) = 0 ，得 x ? 1 ， x ? 0 ．列表xf ?( x)(??,0)00(0,1)10(1, ??)-＋－ 故 x ? 1 为 f ( x) 的 极 大 值点， x ? 0 为极小值点． 例7 已知两曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点 (0, 0) 处的切线相同，其中g ( x) ? ?arcsin x 0e?t dt ， x ? [?1,1] ，23 试求该切线的方程并求极限 lim nf ( ) ． n ?? n分析 解两曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点 (0, 0) 处的切线相同，隐含条件 f (0) ? g (0) ，f ?(0) ? g ?(0) ．由已知条件得f (0) ? g (0) ? ? e? t dt ? 0 ，200且由两曲线在 (0, 0) 处切线斜率相同知f ?(0) ? g ?(0) ? e? (arcsin x ) 1 ? x22x ?0?1．故所求切线方程为 y ? x ．而3 lim nf ( ) ? lim 3 ? n ?? n n??3 f ( ) ? f (0) n ? 3 f ?(0) ? 3 ． 3 ?0 n例8求 limx ?0? ?0 xx20sin 2 tdtt (t ? sin t )dt；分析 该极限属于0 型未定式，可用洛必达法则． 0解limx ?0? ?0 xx20sin 2 tdtt (t ? sin t )dt= lim2 x(sin x 2 ) 2 ( x 2 )2 4 x3 = (?2) ? lim = (?2) ? lim x ? 0 ( ?1) ? x ? ( x ? sin x ) x ?0 x ? sin x x ?0 1 ? cos x12x2 =0 ． x ?0 sin x 注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．= (?2) ? lim 例9 试求正数 a 与 b ，使等式 limx ?0 x 1 t2 dt ? 1 成立． ? x ? b sin x 0 a ? t 2分析 易见该极限属于0 型的未定式，可用洛必达法则． 0x2解limx ?0 x 1 t2 1 x2 a ? x 2 = lim dt ? lim = lim x ?0 x ?0 1 ? b cos x x ? b sin x ?0 a ? t 2 a ? x 2 x ?0 1 ? b cos x?1x2 ?1， a x ?0 1 ? b cos x lim由此可知必有 lim(1 ? b cos x) ? 0 ，得 b ? 1 ．又由x?01x2 2 ? ?1， x ? 0 1 ? cos x a a lim得 a ? 4 ．即 a ? 4 ， b ? 1 为所求． 例 10 设 f ( x) ? ?sin x 0sin t 2 dt ， g ( x) ? x3 ? x4 ，则当 x ? 0 时， f ( x) 是 g ( x) 的（） ．A．等价无穷小． B．同阶但非等价的无穷小． C．高阶无穷小． D．低阶无穷小． f ( x) sin(sin 2 x) ? cos x ? lim 解法 1 由于 lim x ?0 g ( x) x ?0 3x 2 ? 4 x3cos x sin(sin 2 x) ? lim x ?0 3 ? 4 x x ?0 x2 1 x2 1 ? lim 2 ? ． 3 x ?0 x 3 ? lim故 f ( x) 是 g ( x) 同阶但非等价的无穷小．选 B． 解法 2 将 sin t 2 展成 t 的幂级数，再逐项积分，得到f ( x) ? ?sin x 0[t 2 ?1 2 3 1 1 (t ) ? ?]dt ? sin3 x ? sin 7 x ? ? ， 3! 3 421 1 1 1 sin 3 x( ? sin 4 x ? ?) ? sin 4 x ? ? 1 3 42 3 42 ? lim ? ． x ?0 x3 ? x 4 1? x 3则f ( x) lim ? lim x ?0 g ( x ) x ?0例 11计算 ? | x | dx ．?12分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．x2 0 x2 2 5 ] ? [ ]0 ＝ ． ? 1 ??1 ?1 0 2 2 2 注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 1 13 1 1 ??2 x2 dx ? [? x ]?2 ? 6 ，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数 x2 在 x ? 0 处间断且在被解2| x | dx ＝ ? (? x)dx ? ? xdx ＝ [?02积区间内无界. 例 12 设 f ( x) 是连续函数，且 f ( x) ? x ? 3? f (t )dt ，则 f ( x) ? ________ ．0 b a 1分析 本题只需要注意到定积分 ? f ( x )d x 是常数（ a , b 为常数） ． 解 因 f ( x) 连续， f ( x) 必可积，从而 ? f (t )dt 是常数，记 ? f (t )dt ? a ，则0 0 1 1f ( x) ? x ? 3a ，且 ? ( x ? 3a)dx ? ? f (t )dt ?a ．0 011所以1 1 ，即 ? 3a ? a ， [ x2 ? 3ax]1 0 ?a 2 21 3 从而 a ? ? ，所以 f ( x) ? x ? ． 4 4例 13计算 ?12 x2 ? x 1 ? 1 ? x2?1dx ．分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解x 1? 1? x2?12 x2 ? x 1 ? 1 ? x2?1dx = ?112 x2 1 ? 1 ? x2x?1dx ? ?1x 1 ? 1 ? x2?1dx ．由于2 x2 1 ? 1 ? x2是偶函数，而是奇函数，有 ?2 x2 ? x?11 ? 1 ? x2dx ? 0 , 于是11 1 x 2 (1 ? 1 ? x 2 ) dx = 4? dx ? 4? 1 ? x 2 dx 2 0 0 x?1?11 ? 1 ? x2dx = 4?1x2 1 ? 1 ? x20dx = 4?0由定积分的几何意义可知 ? 1 ? x2 dx ?01?4, 故1?例 14 计算12 x2 ? x 1? 1? x2?1dx ? 4? dx ? 4 ?0?4? 4 ?? ．d x tf ( x2 ? t 2 )dt ，其中 f ( x) 连续． dx ?0分析 要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有 x ，因此不能直接求导，必须先换 元使被积函数中不含 x ，然后再求导． 解 由于1 x f ( x2 ? t 2 )dt 2 ． 2 ?0?x0tf ( x 2 ? t 2 )dt =故令 x 2 ? t 2 ? u ，当 t ? 0 时 u ? x 2 ；当 t ? x 时 u ? 0 ，而 dt 2 ? ? du ，所以 x 1 0 1 x2 2 2 ?0 tf ( x ? t )dt = 2 ?x2 f (u)(?du) = 2 ?0 f (u)du ， 故d x d 1 x2 1 tf ( x2 ? t 2 )dt = [ ? f (u)du] = f ( x 2 ) ? 2 x = xf ( x2 ) ． ? dx 0 dx 2 0 2错误解答d x tf ( x2 ? t 2 )dt ? xf ( x2 ? x2 ) ? xf (0) ． dx ?0错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式 d x ??( x) ? ? f (t )dt ? f ( x) dx a 中要求被积函数 f (t ) 中不含有变限函数的自变量 x ，而 f ( x 2 ? t 2 ) 含有 x ，因此不能直接求 导，而应先换元． 例 15 计算 ? 3 x sin xdx ．0?分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法． 解??3 03 x s i nx d x ? ? 3 x d(? c o sx ? ) [x ? ( ? c ox s0 ) ]? ?3 0 0????( c x odsx )???6? ? 3 cos xdx ?0?3 ? ? ． 2 6例 16计算 ?01ln(1 ? x) dx ． (3 ? x ) 2分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法． 1 ln(1 ? x ) 1 1 1 1 1 1 dx = ? ln(1 ? x)d ( ln(1 ? x)]1 ? dx 解 ?0 ) =[ 0 ? ?0 2 0 (3 ? x ) 3? x (3 ? x) (1 ? x) 3? x1 1 1 1 1 = ln 2 ? ? ( ? )dx 2 4 0 1? x 3 ? x 1 1 ? ln 2 ? ln 3 ． 2 4例 17计算 ? 2 e x sin xdx ．0?分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法． 解2 由于 ? 2 e x sin xdx ? ? 2 sin xde x ? [e x sin x]0 ? ? 2 e x cos xdx 0 0 0????? e 2 ? ? 2 e x cos xdx ，0??（1）而??2 02 e x cos xdx ? ? 2 cos xde x ? [e x cos x]0 ? ? 2 e x ? (? sin x)dx 0 0???? ? 2 e x sin xdx ? 1 ，0?（2）将（2）式代入（1）式可得?故?2 0e x sin xdx ? e 2 ? [? 2 e x sin xdx ? 1] ,0???例 18 计算 ? x arcsin xdx ．0 1?2 01 ? e x sin xdx ? (e 2 ? 1) ． 2分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法． 解?0 x arcsin xdx ? ? arcsin xd (0112 1x x2 x2 ) ? [ ? arcsin x]1 ? 0 ?0 2 d (arcsin x) 2 2??4?1 1 x2 dx ． 2 ?0 1 ? x 2（1）令 x ? sin t ，则?1x2 1 ? x20dx ? ? 20?sin 2 t 1 ? sin 2 td sin t ? ? 20?? sin 2 t ? cos tdt ? ? 2 sin 2 tdt 0 cos t1 ? cos 2t t sin 2t ? ? dt ? [ ? ]02 ? ． 0 2 2 4 4 将（2）式代入（1）式中得 ??2?（2）?10x arcsin xdx ?? ． 8?0例 19 设 f ( x) [0, ? ] 上具有二阶连续导数， f ?(? ) ? 3 且 ? [ f ( x) ? f ??( x)]cos xdx ? 2 ，求 f ?(0) ． 分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于 ? [ f ( x) ? f ??( x)]cos xdx ? ? f ( x)d sin x ? ? cos xdf ?( x)0 0 0???? ? {? f ( x)sin x ?0 ? ? f ?( x)sin xdx} ? {[ f ?( x) cos x]? 0 ? ? f ( x)sin xdx}?0 0??? ? f ?(? ) ? f ?(0) ? 2 ．故 f ?(0) ? ?2 ? f ?(? ) ? ?2 ? 3 ? ?5 ． 例 20 计算 ??? ?? 0dx ． x2 ? 4 x ? 3分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算． 解?0t dx dx 1 t 1 1 = lim ? 2 = lim ? ( ? )dx 0 0 t ??? t ??? x ? 4x ? 3 x ? 4x ? 3 2 x ?1 x ? 3 21 x ?1 t 1 t ?1 1 = lim [ln ]0 = lim (ln ? ln ) t ??? 2 t ??? x?3 2 t ?3 3=ln 3 ． 2
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$\int_{0}^{2\pi}$$\cfrac{d\theta}{a+cos\theta}$ （a$&$1）
$\int_{0}^{\infty}$$\cfrac{{x}^{\alpha-1}dx}{x+1}$ (0$&$$\alpha$$&$1)
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关注: 1 人已知定积分的原函数如何求被积函数?如此题如何解?
分类：数学
这是定积分好不好?回答：我当然知道这是定积分,这是变上限定积分,上限是变量x,所以这样的题利用变上限定积分的性质,就是变上限定积分的导数等于被积函数,故两边求导,就可求出f(x).
原式等于8^2/3-(-1)+9*log的底数3(1/9)*log的底数8(16)等于4+1+9*(-2)*4/3=5-24=-19
怎么证明三角形的中位线定理特别是平行的那条
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.已知△ABC中,D,E分别是AB,AC两边中点.求证DE平行且等于BC/2.法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于F点.∵CF∥AD∴∠A=∠ACF∵AE=CE、∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE∴AD=CF∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CF∴BCFD是平行四边形∴DF∥BC且DF=BC∴DE=BC/2∴三角形的中位线定理成立.法二：利用相似证∵D,E分别是AB,AC两边中点∴AD=AB/2 AE=AC/2∴AD/AE=AB/AC又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC∴DE/BC=AD/AB=1/2∴∠ADE=∠ABC∴DF∥BC且DE=BC/2法三：坐标法：设三角形三点分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)则一条边长为 :根号(x2-x1)^2+(y2-y1)^2另两边中点为((x1+x3)/2,(y1+y3)/2),和((x2+x3)/2,(y2+y3)/2) 这两中点距离为:根号((x2+x3)/2-(x1+x3)/2)^2+((y2+y3)/2-(y1+y3)/2)^2最后化简时将x3,y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半
首先满足定义域：-x方-2x+3≧0,即x^2+2x-3≦0,十字相乘：(x+3)(x-1)≦0,所以,定义域为：-3≦x≦1；根号下是一个开口向下的二次抛物线,在对称轴左边增,右边减,对称轴是x=-b/2a=-1,（开根不改变单调性）结合定义域：递增区间是【-3,-1】；递减区间是【-1,1】如果不懂,请Hi我,
角A+角B+角C=3角C+1.5角C+角C=5.5角C=180°故角C=180°÷5.5=360°/11
已知函数f(x)=x3+x(x∈R)(1)判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并证明.2）求使不等式f（x）＜2成立的所有实数x的取值集合
f(x)在R上是增函数.
设a ,b∈R. 且a＞b∴f(a)=a3+a
, f(b)=b3+b
f(a)-f(b)=a3+a-b3-b
=a(a2+1)-b(b2+1）
a2+1＞b2+1＞0
a(a2+1)-b(b2+1)＞0
即f(a)〉f(b)
∴f(x)在R上是增函数
观察下列不等式：①x^2＞4；②x^2-3x+2小于等于0；③（x-1）（x+1）＞2根号2x.回答下列问题.（1）这些不等式除了不等号的两边都是整式外,还有哪些共同特征?（2）请比类一元二次不等式的定义给这些不等式命名,并写出它的定义.
这些不等式最高次项都是2次,未知数都是1个所以可以命名为一元二次不等式定义：含有一个未知数,且最高次项是2次的不等式叫一元二次不等式
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