地震力到底是怎么算出来的_百度知道
地震力到底是怎么算出来的
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因而一般只考虑水平振动。 地震力计算公式：地震力=自重×地震系数。从建筑物自重来说，与钢混结构相比，全钢结构具有自重轻，特点钢结构的自重一般约为钢混结构的三分之二或二分之一。按照上述计算法则地震荷载。结构物由于地震而受到的惯性力，土压力和水压力的总称：（di zhen he zai）earthquake load（seismic force）又称地震力。由于水平振动对建筑物的影响最大
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谁能告诉我。这个战斗力系统。到底怎么计算的。
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我为什么要82000才英杰
下面这个人56000就英杰了。
是什么意思呢 ？
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职业不同 需要的就不同
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头像被屏蔽
职业不同计算也不同
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那招你们这样说 红眼真是亲儿子。。这么简单就英杰。我忙活半天。最高一次才76000
就是这个意思&
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十一万都不是英杰的路过
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说什么都扯淡，想要战斗力？充钱刷ss套
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这垃圾系统不计算异界的战斗力
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娱乐用的，不必当真
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这垃圾系统不会算召唤
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作者：八毛鱼
你有新的消息理论力学二力杆到底是怎么判别的_百度知道
理论力学二力杆到底是怎么判别的
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长杆两端用铰链与其它构件相连接；除了铰链处可能有载荷作用外，杆上无任何载荷（力、力偶）作用叫二力杆
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。地震力到底是怎么算出来的？[Part.8]4 years ago56收藏分享举报文章被以下专栏收录关于土木工程的点滴趣事
关于结构工程的思考发现
…{&debug&:false,&apiRoot&:&&,&paySDK&:&https:\u002F\u002Fpay.zhihu.com\u002Fapi\u002Fjs&,&wechatConfigAPI&:&\u002Fapi\u002Fwechat\u002Fjssdkconfig&,&name&:&production&,&instance&:&column&,&tokens&:{&X-XSRF-TOKEN&:null,&X-UDID&:null,&Authorization&:&oauth c3cef7c66aa9e6a1e3160e20&}}{&database&:{&Post&:{&&:{&isPending&:false,&contributes&:[{&sourceColumn&:{&lastUpdated&:,&description&:&关于土木工程的点滴趣事\n关于结构工程的思考发现\n关于工程质量的科普讨论\n关于工程教育的期望憧憬\n\nby 猪小宝\n土木工程专业在读博士生\n中国一级注册结构工程师\n\nPS 我不是建筑师\n谁说我是建筑师我跟谁急\n专注黑建筑师事业三十年&,&permission&:&COLUMN_PRIVATE&,&memberId&:563540,&contributePermission&:&COLUMN_PUBLIC&,&translatedCommentPermission&:&all&,&canManage&:true,&intro&:&关于土木工程的点滴趣事\n关于结构工程的思考发现\n…&,&urlToken&:&zhuxiaobao&,&id&:158,&imagePath&:&8ed9da2a2&,&slug&:&zhuxiaobao&,&applyReason&:&&,&name&:&土木僧的写写画画&,&title&:&土木僧的写写画画&,&url&:&https:\u002F\u002Fzhuanlan.zhihu.com\u002Fzhuxiaobao&,&commentPermission&:&COLUMN_ALL_CAN_COMMENT&,&canPost&:true,&created&:,&state&:&COLUMN_NORMAL&,&followers&:30857,&avatar&:{&id&:&8ed9da2a2&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&activateAuthorRequested&:false,&following&:false,&imageUrl&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F8ed9da2a2_l.jpg&,&articlesCount&:69},&state&:&accepted&,&targetPost&:{&titleImage&:&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fe5b248c90f7a_r.jpg&,&lastUpdated&:,&imagePath&:&e5b248c90f7a&,&permission&:&ARTICLE_PUBLIC&,&topics&:[,2695],&summary&:&今天继续振型分解。上一篇我们通过特征矩阵和质量矩阵、刚度矩阵得到了 principal 质量矩阵和刚度矩阵。把这两个矩阵的三个数值分别一一对应起来，0.552质量对应72.933刚度、0.859质量对应890.34刚度……刚度除以质量，然后再开平方，得到的就是频率。发现…&,&copyPermission&:&ARTICLE_COPYABLE&,&translatedCommentPermission&:&all&,&likes&:0,&origAuthorId&:563540,&publishedTime&:&T06:41:30+08:00&,&sourceUrl&:&&,&urlToken&:,&id&:100277,&withContent&:false,&slug&:,&bigTitleImage&:false,&title&:&地震力到底是怎么算出来的？[Part.8]&,&url&:&\u002Fp\u002F&,&commentPermission&:&ARTICLE_ALL_CAN_COMMENT&,&snapshotUrl&:&&,&created&:,&comments&:0,&columnId&:158,&content&:&&,&parentId&:0,&state&:&ARTICLE_PUBLISHED&,&imageUrl&:&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fe5b248c90f7a_r.jpg&,&author&:{&bio&:&博士僧 | 一级注册结构工程师&,&isFollowing&:false,&hash&:&3ede752a3d53ff625a2bbb7&,&uid&:60,&isOrg&:false,&slug&:&zhuxiaobao&,&isFollowed&:false,&description&:&\u003Cp\u003E心胸狭隘中二深井冰。专注黑建筑师事业三十年。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E中年大叔一枚，老婆是传说中的生物医学女博士。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E家有肥猫三头，隶属于喵喵星攻占地球行动小组。\u003C\u002Fp\u003E&,&name&:&猪小宝&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fzhuxiaobao&,&avatar&:{&id&:&d73a58cd4&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},&memberId&:563540,&excerptTitle&:&&,&voteType&:&ARTICLE_VOTE_CLEAR&},&id&:248467}],&title&:&地震力到底是怎么算出来的？[Part.8]&,&author&:&zhuxiaobao&,&content&:&今天继续振型分解。上一篇我们通过特征矩阵和质量矩阵、刚度矩阵得到了 principal 质量矩阵和刚度矩阵。\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F08afe2e6a11e02f7bde980_b.jpg\& data-rawwidth=\&386\& data-rawheight=\&208\& class=\&content_image\& width=\&386\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='386'%20height='208'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&386\& data-rawheight=\&208\& class=\&content_image lazy\& width=\&386\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F08afe2e6a11e02f7bde980_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E把这两个矩阵的三个数值分别一一对应起来，0.552质量对应72.933刚度、0.859质量对应890.34刚度……刚度除以质量，然后再开平方，得到的就是频率。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Feb099e472e5a395c65b8519_b.jpg\& data-rawwidth=\&542\& data-rawheight=\&265\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&542\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Feb099e472e5a395c65b8519_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='542'%20height='265'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&542\& data-rawheight=\&265\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&542\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Feb099e472e5a395c65b8519_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Feb099e472e5a395c65b8519_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E发现了什么没有？没错，我们得到的就是房子的三个自振频率。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fbf484fac2d309e8cfd924b_b.jpg\& data-rawwidth=\&133\& data-rawheight=\&99\& class=\&content_image\& width=\&133\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='133'%20height='99'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&133\& data-rawheight=\&99\& class=\&content_image lazy\& width=\&133\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fbf484fac2d309e8cfd924b_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E我们再回过来看我们的特征矩阵是如何得到的。\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fc834fccb51_b.jpg\& data-rawwidth=\&452\& data-rawheight=\&183\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&452\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fc834fccb51_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='452'%20height='183'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&452\& data-rawheight=\&183\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&452\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fc834fccb51_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fc834fccb51_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E注意到，我们人为规定了的特征矩阵的第三行等于1。事实上，这只是一个人为规定，并没有特别的意义。我们完全可以规定让第一行都等于1，或者第二行都等于1，或者某一行都等于0.5。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E比如说，我让第二行都等于1，此时特征矩阵和 principal 质量矩阵、刚度矩阵就变成了这样。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fdaebba76823d99_b.jpg\& data-rawwidth=\&453\& data-rawheight=\&176\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&453\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fdaebba76823d99_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='453'%20height='176'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&453\& data-rawheight=\&176\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&453\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fdaebba76823d99_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fdaebba76823d99_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F9c7b096dbe09b5fdd87958e_b.jpg\& data-rawwidth=\&396\& data-rawheight=\&183\& class=\&content_image\& width=\&396\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='396'%20height='183'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&396\& data-rawheight=\&183\& class=\&content_image lazy\& width=\&396\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F9c7b096dbe09b5fdd87958e_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E这时候，principal 矩阵还是只有主对角线上不为零，但与上面相比，数都变了。但是，数变了不要紧，把它们一一对应起来，得到的还是自振频率。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Ff9a7bacef67e5_b.jpg\& data-rawwidth=\&539\& data-rawheight=\&271\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&539\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Ff9a7bacef67e5_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='539'%20height='271'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&539\& data-rawheight=\&271\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&539\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Ff9a7bacef67e5_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Ff9a7bacef67e5_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E也就是说，单纯的缩放特征矩阵的某一列或者某几列，并不会影响到我们的结果。那问题就来了，对于特征矩阵来说，任意的缩放某一列或者某几列，可以得到无数的结果。我们如何给出一个相对统一的标准呢？换言之，我们 normalize 特征矩阵的时候，比较合理的目标是什么呢？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E比如说，我们可以让目标是主质量矩阵的对角线都是单位质量，也就是都是1。换言之，我们要让上面主质量矩阵里的 0.859、2.789、0.552 这些数都变成 1。怎么做到呢？其实也很简单，特征矩阵的第一列除以主质量矩阵的第一项的平方根，第二列除以主质量矩阵第二项的平方根……\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fab27fede2d36acaaec8c6c1_b.jpg\& data-rawwidth=\&508\& data-rawheight=\&109\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&508\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fab27fede2d36acaaec8c6c1_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='508'%20height='109'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&508\& data-rawheight=\&109\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&508\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fab27fede2d36acaaec8c6c1_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fab27fede2d36acaaec8c6c1_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E把特征矩阵的各列分别缩放，我们就得到了这个新的特征矩阵。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F37f21bdecf0ccaef3105bf_b.jpg\& data-rawwidth=\&375\& data-rawheight=\&182\& class=\&content_image\& width=\&375\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='375'%20height='182'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&375\& data-rawheight=\&182\& class=\&content_image lazy\& width=\&375\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F37f21bdecf0ccaef3105bf_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E用这个新的特征矩阵，我们就得到了 normalize 之后的质量矩阵和刚度矩阵。这种 normalize 的方法，一般叫做 mass orthonormal set。注意到，得到的质量矩阵 Mn，主对角线都为1，而刚度矩阵 Kn，主对角线的值都是自振频率的平方，比如132.042是第一频率11.491的平方，是第二频率32.197的平方。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E接下来，我们还得再定义一个叫做 influence vector 的向量。什么意思呢？意思就是当地面发生静态的单位位移的时候，各个楼层会发生多少位移？有看官说了，这不是废话吗，地面发生1的单位位移，不就是整个房子平移了嘛，每一层都是1呗。不错，因为我们只考虑水平方向的地震，暂时还没有考虑竖直方向的地震，所以对于绝大多数房子来说都是如此。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E所以呢，我们这个三层房子的 influence vector 就是 1、1、1。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F487b69bfdb_b.jpg\& data-rawwidth=\&289\& data-rawheight=\&190\& class=\&content_image\& width=\&289\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='289'%20height='190'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&289\& data-rawheight=\&190\& class=\&content_image lazy\& width=\&289\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F487b69bfdb_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E把我们的初始的质量矩阵跟这个影响向量相乘，我们就得到了一个质量的向量。什么意思呢？这个向量表示的就是当房子整体平移的时候，每个楼层处发生平移的质量。对于绝大多数情况来说，其实很简单，得到的就是每一层的质量。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E说了半天，我们终于快说到振型分解了。我们上一篇说道，所谓的振型分解，就是把房子分解成三个基本振型的叠加。到底分解的是什么呢？答案就在这里，我们其实分解的是质量。也就是说，整个房子的质量是一层0.3、二层0.3、三层0.3。我把这些质量合理的分配到三个振型里去，比如对于一层来说，第一振型0.2、第二振型0.07、第三振型0.03，加起来等于总的0.3。对于二层也是如此，只不过可能分配的比例有所不同，三层也是一样。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E这样一来，我们就得到了每种振型对应的质量，进而我们就能知道每种振型在地震下的反应了。问题就又来了，到底如何分配呢？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E对于每个振型，我们定义两个参数，一个是 Lh，一个是 M。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F84aea7d2d601e710ff1301_b.jpg\& data-rawwidth=\&332\& data-rawheight=\&246\& class=\&content_image\& width=\&332\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='332'%20height='246'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&332\& data-rawheight=\&246\& class=\&content_image lazy\& width=\&332\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F84aea7d2d601e710ff1301_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E其实很简单，因为我们每一层的质量都一样，所谓的 Lh
就是把 normalize 之后的特征矩阵的每一列加起来，再乘以单层的质量 0.3。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F1d56d549dba185a16effb34a1a61f2ae_b.jpg\& data-rawwidth=\&301\& data-rawheight=\&101\& class=\&content_image\& width=\&301\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='301'%20height='101'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&301\& data-rawheight=\&101\& class=\&content_image lazy\& width=\&301\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F1d56d549dba185a16effb34a1a61f2ae_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E而参数M其实也就是 principal 的振型质量，也就是都是1。或者，也可以验证计算一下，跟上面的过程一样，只不过需要再平方一下。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F2b18d7a4dc6ff022d6efc_b.jpg\& data-rawwidth=\&331\& data-rawheight=\&103\& class=\&content_image\& width=\&331\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='331'%20height='103'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&331\& data-rawheight=\&103\& class=\&content_image lazy\& width=\&331\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F2b18d7a4dc6ff022d6efc_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E把这两个参数相除，我们就得到了各振型的地震参与系数。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F7dc8c442daf_b.jpg\& data-rawwidth=\&221\& data-rawheight=\&100\& class=\&content_image\& width=\&221\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='221'%20height='100'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&221\& data-rawheight=\&100\& class=\&content_image lazy\& width=\&221\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F7dc8c442daf_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E地震参与系数有什么用呢？根据这个参与系数，我们可以进一步得到各个振型对位移、地震力的贡献。换言之，也就是把每一层的有效质量 0.3 分配到每个振型。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F1ef08b2f95602c4dcfddd082c76dd6cb_b.jpg\& data-rawwidth=\&547\& data-rawheight=\&247\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&547\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F1ef08b2f95602c4dcfddd082c76dd6cb_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='547'%20height='247'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&547\& data-rawheight=\&247\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&547\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F1ef08b2f95602c4dcfddd082c76dd6cb_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F1ef08b2f95602c4dcfddd082c76dd6cb_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E虽然看上去很复杂，其实是这么算的：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fecfe8ed2c26f8c264bdd_b.jpg\& data-rawwidth=\&612\& data-rawheight=\&77\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&612\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fecfe8ed2c26f8c264bdd_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='612'%20height='77'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&612\& data-rawheight=\&77\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&612\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fecfe8ed2c26f8c264bdd_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fecfe8ed2c26f8c264bdd_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E也就是说，我们已经把每一层的质量分配到了各个振型。为了方便理解，我们可以把质量单位转化为吨。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F20e185a10e1ededc9c3c313bfc069149_b.jpg\& data-rawwidth=\&498\& data-rawheight=\&96\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&498\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F20e185a10e1ededc9c3c313bfc069149_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='498'%20height='96'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&498\& data-rawheight=\&96\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&498\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F20e185a10e1ededc9c3c313bfc069149_r.jpg\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F20e185a10e1ededc9c3c313bfc069149_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E一层的300吨，分配到第一振型163吨，第二振型105吨，第三振型32吨，加起来刚好300吨。同样，二层的300吨，第一振型294吨，第二振型47吨，第三振型-40吨。三层的300吨，第一振型366吨，第二振型-84吨，第三振型18吨。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E或者，我们以300吨为单位质量，把质量在振型中的分配也 normalize。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fa5b354be89abda116e0f9ad2af9997ca_b.jpg\& data-rawwidth=\&499\& data-rawheight=\&94\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&499\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fa5b354be89abda116e0f9ad2af9997ca_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='499'%20height='94'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&499\& data-rawheight=\&94\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb lazy\& width=\&499\& 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data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002Fef57f3db6e34dbbe5311aa3_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E把每个振型的各层有效质量加起来，就得到了每个振型的有效质量。比如对于第一振型，0.54加0.98加1.22等于2.74，对于第二振型，0.35加0.16加-0.28等于0.23，第三振型的0.11加-0.13加0.06等于0.04。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cnoscript\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F69ad14d3f_b.jpg\& data-rawwidth=\&324\& data-rawheight=\&230\& class=\&content_image\& width=\&324\&\u003E\u003C\u002Fnoscript\u003E\u003Cimg src=\&data:image\u002Fsvg+utf8,&svg%20xmlns='http:\u002F\u002Fwww.w3.org\u002FFsvg'%20width='324'%20height='230'&&\u002Fsvg&\& data-rawwidth=\&324\& data-rawheight=\&230\& class=\&content_image lazy\& width=\&324\& data-actualsrc=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F69ad14d3f_b.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E三层房子，每层质量为1，总质量为3。而我们的第一振型的有效质量是2.74，第二振型是0.22，第三振型是0.03，加起来等于总质量3。也就是说，第一振型占到了总质量的91.4%，第二振型占7.5%，第三振型只占1.1%。从上面的图像也能很直观的看出，第一振型占了绝大多数有效质量，第二振型所占很少，第三振型更是可以忽略。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E在我们 part.6 的底部剪力法里，我们说近似可以用第一周期来代表房子的自振特性。换言之，我们认为整个房子的有效质量都分配到第一振型，忽略第二振型和第三振型的存在。我们今天的振型分解结果表明，第一振型占到了91.4%，作为近似计算，可以近似认为约等于 100%。这也就是底部剪力法的合理性所在。尽管不够精确，但是底部剪力法可以快速的近似估算地震反应的大小，为设计和分析提供了一种合理的近似方法。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E得到各个振型的参与系数和有效质量之后，下一步我们就能确定地震下每种振型的反应情况了，进而将它们组合叠加成为整个房子的地震响应。欲知详情如何，且听下回分解。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E题图来源：Dynamics of Structures：Theory and Application to Earthquake Engineering，Anil K. Chopra\u003C\u002Fp\u003E&,&updated&:new Date(&T22:41:30.000Z&),&canComment&:false,&commentPermission&:&anyone&,&commentCount&:11,&collapsedCount&:0,&likeCount&:56,&state&:&published&,&isLiked&:false,&slug&:&&,&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&titleImage&:&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fe5b248c90f7a_r.jpg&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&reviewers&:[],&topics&:[{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&土木工程&},{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&结构工程&},{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&地震&}],&adminClosedComment&:false,&titleImageSize&:{&width&:651,&height&:231},&href&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F&,&excerptTitle&:&&,&column&:{&slug&:&zhuxiaobao&,&name&:&土木僧的写写画画&},&tipjarState&:&inactivated&,&annotationAction&:[],&sourceUrl&:&&,&pageCommentsCount&:11,&hasPublishingDraft&:false,&snapshotUrl&:&&,&publishedTime&:&T06:41:30+08:00&,&url&:&\u002Fp\u002F&,&lastestLikers&:[{&bio&:null,&isFollowing&:false,&hash&:&486ce426fc8d075cd12da600c1296154&,&uid&:00,&isOrg&:false,&slug&:&xi-xi-233&,&isFollowed&:false,&description&:&&,&name&:&嘻嘻&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fxi-xi-233&,&avatar&:{&id&:&&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},{&bio&:&结构工程&,&isFollowing&:false,&hash&:&92a5edc3af3eebfa&,&uid&:876200,&isOrg&:false,&slug&:&chun-feng-shi-li-94-40&,&isFollowed&:false,&description&:&&,&name&:&春风十里&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fchun-feng-shi-li-94-40&,&avatar&:{&id&:&cd76a8aca690c058b4b03c2&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},{&bio&:null,&isFollowing&:false,&hash&:&7cf80d0b2d9d45b9c54b360d39591efb&,&uid&:356160,&isOrg&:false,&slug&:&zhang-yin-ke&,&isFollowed&:false,&description&:&&,&name&:&张寅科&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fzhang-yin-ke&,&avatar&:{&id&:&afd230d973d1afcca50f8b&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},{&bio&:&&,&isFollowing&:false,&hash&:&bb89defc3d6a&,&uid&:641500,&isOrg&:false,&slug&:&chen-ke-xu-27&,&isFollowed&:false,&description&:&&,&name&:&科旭学结构&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fchen-ke-xu-27&,&avatar&:{&id&:&da8e974dc&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},{&bio&:&造桥的老司机&,&isFollowing&:false,&hash&:&2e36feb17&,&uid&:359400,&isOrg&:false,&slug&:&fenglei-35&,&isFollowed&:false,&description&:&装逼是人类进步的阶梯&,&name&:&flxauat&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Ffenglei-35&,&avatar&:{&id&:&09e1c1b603ba174b6b61f&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false}],&summary&:&\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F08afe2e6a11e02f7bde980_200x112.jpg\& data-rawwidth=\&386\& data-rawheight=\&208\& class=\&origin_image inline-img zh-lightbox-thumb\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F08afe2e6a11e02f7bde980_r.jpg\&\u003E今天继续振型分解。上一篇我们通过特征矩阵和质量矩阵、刚度矩阵得到了 principal 质量矩阵和刚度矩阵。把这两个矩阵的三个数值分别一一对应起来，0.552质量对应72.933刚度、0.859质量对应890.34刚度……刚度除以质量，然后再开平方，得到的就是频率。发现…&,&reviewingCommentsCount&:0,&meta&:{&previous&:{&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&titleImage&:&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F50\u002F50dcdf7e185_xl.jpg&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&topics&:[{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&土木工程&},{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&结构工程&},{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&地震&}],&adminClosedComment&:false,&href&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F&,&excerptTitle&:&&,&author&:{&bio&:&博士僧 | 一级注册结构工程师&,&isFollowing&:false,&hash&:&3ede752a3d53ff625a2bbb7&,&uid&:60,&isOrg&:false,&slug&:&zhuxiaobao&,&isFollowed&:false,&description&:&\u003Cp\u003E心胸狭隘中二深井冰。专注黑建筑师事业三十年。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E中年大叔一枚，老婆是传说中的生物医学女博士。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E家有肥猫三头，隶属于喵喵星攻占地球行动小组。\u003C\u002Fp\u003E&,&name&:&猪小宝&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fzhuxiaobao&,&avatar&:{&id&:&d73a58cd4&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},&column&:{&slug&:&zhuxiaobao&,&name&:&土木僧的写写画画&},&content&:&对于我们的三层房子，我们用求质量矩阵和刚度矩阵的特征值的方法得出了房子的自振频率，进而确定了房子的自振周期。\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002Fa1ed297ef1b4_b.jpg\& data-rawwidth=\&688\& data-rawheight=\&374\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&688\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002Fa1ed297ef1b4_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E质量矩阵和刚度矩阵的意思，我们前面已经说过了。这两个矩阵的特征值再开方，就是自振频率。同时，我们还得出了这两个矩阵的特征矩阵。那么自振周期和特征矩阵有什么进一步的用处呢？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E注意到，通过等比例缩放特征矩阵的列，我们使得特征矩阵的第三行值都是1。这个特征矩阵是什么意思呢？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E如果我们取特征矩阵的任意不相同的两列，比如第一列和第二列，第二列和第三列，其中之一转置之后，乘以质量矩阵或者刚度矩阵，再乘以剩下的那一列，那么结果都是0。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F86e50a607b27d30ac79c4c61c1ddd1c8_b.jpg\& data-rawwidth=\&428\& data-rawheight=\&286\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&428\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F86e50a607b27d30ac79c4c61c1ddd1c8_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E只有当我们取同样的列的时候，比如第一列的转置，乘以质量矩阵，再乘以第一列，这时候结果才不为0。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F6b777c99b2bfe7b47aa8a1b_b.jpg\& data-rawwidth=\&528\& data-rawheight=\&275\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&528\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F6b777c99b2bfe7b47aa8a1b_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E这也就是正交的概念，所谓的 orthogonality。把特征矩阵的转置，乘以质量矩阵或者刚度矩阵，再乘以特征矩阵，我们就能得到 principal 质量矩阵或者刚度矩阵。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fb727a84d61f5c138dcd50_b.jpg\& data-rawwidth=\&386\& data-rawheight=\&208\& class=\&content_image\& width=\&386\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E换言之，特征矩阵可以帮助我们把这个三层房子的各种可能的位移模式，变成三个基本位移模式的叠加，这三个基本的位移模式，也就是所谓的振型。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E三乘以三的特征矩阵，第一行代表第一层，第二行代表第二层……而第一列代表第一振型，第二列代表第二振型……\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002Ffd655f0d7c0fe8b8c84d_b.jpg\& data-rawwidth=\&230\& data-rawheight=\&90\& class=\&content_image\& width=\&230\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E对应于特征矩阵，我们就得到了三层房子的三种振型。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic7.zhimg.com\u002F5dc6dd6be354d553bc5ef75_b.jpg\& data-rawwidth=\&780\& data-rawheight=\&365\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&780\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic7.zhimg.com\u002F5dc6dd6be354d553bc5ef75_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E三种振型下三个楼层的相对位移，就对应着三乘三的特征矩阵里的九个数值。这就是这个三层房子的三种基本振动模式，任何可能的变形模式都能表示成这三种振型的叠加。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fdf88991bfb9e6783605dad24d3b48c77_b.jpg\& data-rawwidth=\&269\& data-rawheight=\&192\& class=\&content_image\& width=\&269\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E比如说，房子的振动模式是一层位移0.3、二层位移0.5、三层位移1，换言之，还是变形金刚推房子，一层推到位移为0.3，二层的位移为0.5，三层的位移为1，然后三个变形金刚一起松手，让房子自由振动。那么这种变形其实等于0.833倍的第一振型，加上0.122倍的第二振型，再加上0.045倍的第三振型。\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fbe1b7b7ea73cb8663be91c_b.jpg\& data-rawwidth=\&580\& data-rawheight=\&379\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&580\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fbe1b7b7ea73cb8663be91c_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E第一振型的0.445、0.802、1，乘以0.833后等于0.371、0.668、0.833；同样，第二振型乘以0.122，得到-0.152、-0.068、0.122；第三振型乘以0.045，得到0.081、-0.101、0.081。把每个振型的第一层加起来，也就是0.371加-0.152加0.081，就等于0.3。同样，三个振型的二层加起来，等于0.5；三个振型的三层加起来，等于1。\u003Cbr\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002Fff3bd25cb1b5ebb_b.jpg\& data-rawwidth=\&516\& data-rawheight=\&180\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&516\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002Fff3bd25cb1b5ebb_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E也就是说，这其实是一个三元一次方程组。我们把0.3、0.5、1这组值转化成了三个基本振型的线性叠加。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E同样的道理，任意的位移模式都可以转化为三个振型的叠加。比如-1、-0.5、1这组位移，其实等于0.084倍第一振型，加0.882倍第二振型，再加上0.035倍第三振型。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002Fddfe7c36d1ffdb7c3934c_b.jpg\& data-rawwidth=\&511\& data-rawheight=\&280\& 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data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fbab8f079fd671f40f9aa0cb97ebc5947_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F529fc3fb6dca_b.jpg\& data-rawwidth=\&561\& data-rawheight=\&347\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&561\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F529fc3fb6dca_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E到现在为止，通过特征矩阵和基本振型，我们已经可以把三个楼层任意的位移分解成三种振型的叠加了。这又有什么用呢？和地震有什么关系呢？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E现在我们需要一点逆向思维了。已知房子的位移，我可以用这种方法转化成三种振型的叠加。但我们实际上并不知道地震下房子的位移。反过来想，如果我们能求出地震下每一种基本振型的位移，再把它们按一定的系数合理的叠加起来，不就能得到地震下整个房子的位移情况吗？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F6ca5f733ac9a90bb4b74b_b.jpg\& data-rawwidth=\&583\& data-rawheight=\&363\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&583\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F6ca5f733ac9a90bb4b74b_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E比如说，如果我知道某个地震作用下，第一振型对应的位移是0.371、0.668、0.833，第二振型对应的是……那我把这三种振型叠加起来，我就能知道房子在地震下的位移是0.3、0.5、1。换言之，只要我知道 0.833、0.122、0.045 这一组叠加系数，我就能求出 0.3、0.5、1 这一组位移模式。这也就是振型分解法的基本思路。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E问题又来了，如何知道这三种振型在地震下的位移是多少呢？如何知道每种振型占多大的份额呢？怎么确定振型的叠加系数呢？众位看官，且听我们下回分解。\u003C\u002Fp\u003E&,&state&:&published&,&sourceUrl&:&&,&pageCommentsCount&:0,&canComment&:false,&snapshotUrl&:&&,&slug&:,&publishedTime&:&T00:36:50+08:00&,&url&:&\u002Fp\u002F&,&title&:&地震力到底是怎么算出来的？[Part.7]&,&summary&:&对于我们的三层房子，我们用求质量矩阵和刚度矩阵的特征值的方法得出了房子的自振频率，进而确定了房子的自振周期。质量矩阵和刚度矩阵的意思，我们前面已经说过了。这两个矩阵的特征值再开方，就是自振频率。同时，我们还得出了这两个矩阵的特征矩阵。那么…&,&reviewingCommentsCount&:0,&meta&:{&previous&:null,&next&:null},&commentPermission&:&anyone&,&commentsCount&:12,&likesCount&:81},&next&:{&isTitleImageFullScreen&:false,&rating&:&none&,&titleImage&:&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F50\u002F475eaecfb24e_xl.jpg&,&links&:{&comments&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F2Fcomments&},&topics&:[{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&土木工程&},{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&结构工程&},{&url&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Ftopic\u002F&,&id&:&&,&name&:&地震&}],&adminClosedComment&:false,&href&:&\u002Fapi\u002Fposts\u002F&,&excerptTitle&:&&,&author&:{&bio&:&博士僧 | 一级注册结构工程师&,&isFollowing&:false,&hash&:&3ede752a3d53ff625a2bbb7&,&uid&:60,&isOrg&:false,&slug&:&zhuxiaobao&,&isFollowed&:false,&description&:&\u003Cp\u003E心胸狭隘中二深井冰。专注黑建筑师事业三十年。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E中年大叔一枚，老婆是传说中的生物医学女博士。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E家有肥猫三头，隶属于喵喵星攻占地球行动小组。\u003C\u002Fp\u003E&,&name&:&猪小宝&,&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fzhuxiaobao&,&avatar&:{&id&:&d73a58cd4&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false},&column&:{&slug&:&zhuxiaobao&,&name&:&土木僧的写写画画&},&content&:&上一篇里，我们把三层房子的质量分配到了三个振型里。第一振型分得了91.4%，第二振型分得了7.5%，第三振型只分得了可怜的1.1%。\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F09ddc30b0bde4fb8868a16_b.jpg\& data-rawwidth=\&324\& data-rawheight=\&230\& class=\&content_image\& width=\&324\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E我们在 part.6 里提到了，对于多层房子来说，影响地震作用有两个因素：一个是质量，我们已经得到了每个振型的质量；另一个则是高度，也是我们接下去要处理的内容。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fbef581d5fb58e290ded38ef009f38f65_b.jpg\& data-rawwidth=\&606\& data-rawheight=\&289\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&606\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002Fbef581d5fb58e290ded38ef009f38f65_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E对于每个振型，我们得到 Lθ 这个参数。看上去挺复杂，其实是这么算的：\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F6e0ffc38e5fcf_b.jpg\& data-rawwidth=\&364\& data-rawheight=\&89\& class=\&content_image\& width=\&364\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E然后，我们上一篇得到了另一个参数 Lh。每个振型的 Lθ 除以 Lh，我们就得到了每个振型的有效高度。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002F31a617bad86bc_b.jpg\& data-rawwidth=\&259\& data-rawheight=\&173\& class=\&content_image\& width=\&259\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E层高都是4米，以层高为单位高度，把每个振型的有效高度也 normalize，我们就得到了 2.25、-0.80、0.55 这一组振型有效高度。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E至此，我们已经得到了每个振型的有效质量和有效高度，这些又有什么用呢？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fcfae7ba5ffdad1d524e46_b.jpg\& data-rawwidth=\&809\& data-rawheight=\&362\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&809\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fcfae7ba5ffdad1d524e46_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fdd8da8ccdbdeba_b.jpg\& data-rawwidth=\&170\& data-rawheight=\&105\& class=\&content_image\& width=\&170\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E事实上，这相当于把这个三层房子拆成了三个一层房子。三层房子每层的层高是h，质量是m。而拆分之后的第一个房子，对应于第一振型，质量 2.74m，高度 2.25h，周期 0.547 秒；第二个房子对应第二振型，质量 0.22m，高度-0.80h，周期 0.195 秒；第三个房子对应第三振型，质量 0.03m，高度 0.55h，周期 0.135 秒。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E注意到，对于三层房子，质量与高度的乘积之和等于\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F0bbcfc7a5e8c1a8a1a92bf8d3d635209_b.jpg\& data-rawwidth=\&138\& data-rawheight=\&32\& class=\&content_image\& width=\&138\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E而对于三个单层房子，它们的质量与高度的乘积之和为\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F04a5f4d62f4a386d771de_b.jpg\& data-rawwidth=\&266\& data-rawheight=\&28\& class=\&content_image\& width=\&266\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E单层房子在地震下的反应，我们前面已经讨论了很多了。现在，我们有了三个单层房子，假设它们经受阪神地震的地震波，它们的地震响应是什么样的呢？\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E总结一下，我们这三个小房子的质量和周期，以及换算之后的刚度。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fc723d2bf0d097c4baec6ff_b.jpg\& data-rawwidth=\&450\& data-rawheight=\&188\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&450\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic3.zhimg.com\u002Fc723d2bf0d097c4baec6ff_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E我们在 part.2 里，用下面这样的 Matlab 代码，通过 Newmark’s Average Acceleration Method，计算了单层房子在某个地震作用下的位移响应。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F6db3e64d583fcd69fd09b_b.jpg\& data-rawwidth=\&199\& data-rawheight=\&164\& class=\&content_image\& width=\&199\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E\u003Cp\u003E在 part.2 的例子里，单层房子的质量是 0.3，刚度是200。而对于我们这里的例子，第一振型对应的单层房子，质量是 0.8226715，刚度是 108.6267925。把这两个数值放进代码里，我们就能得到代表第一振型的单层房子在阪神地震下的位移和加速度响应了。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F8eace14f7ccbb_b.jpg\& data-rawwidth=\&683\& data-rawheight=\&552\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&683\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic4.zhimg.com\u002F8eace14f7ccbb_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E跟我们 part.3 对单层房子的分析一样。红色的曲线是位移，也就是每个时刻这个质量0.823、刚度108.627 的一层房子的房顶位移；蓝色的曲线是加速度，也就是每个时刻房子所受的地震力与自身重力的比值。因为这代表了第一振型的情况，所以我们把红色曲线叫做 D1，蓝色曲线叫做 A1。D1 和 A1 实际上都是关于时间 t 的函数。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E同样的方法，对应第二振型的小房子，质量为0.0673893，刚度为69.8583391，把这两个数带进去，我们就得到了 D2 和 A2。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F79bcbcec6a_b.jpg\& data-rawwidth=\&677\& data-rawheight=\&542\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&677\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F79bcbcec6a_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E再重复一次，代表第三振型的小房子，质量 0.0099392，刚度 21.5148685，带进 Matlab 里，就可以得到第三振型的 D3 和 A3。\u003Cbr\u003E\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E\u003Cfigure\u003E\u003Cimg src=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F2f82eaec2bdfed8ce99f3_b.jpg\& data-rawwidth=\&675\& data-rawheight=\&542\& class=\&origin_image zh-lightbox-thumb\& width=\&675\& data-original=\&https:\u002F\u002Fpic2.zhimg.com\u002F2f82eaec2bdfed8ce99f3_r.jpg\&\u003E\u003C\u002Ffigure\u003E这位看官说了，我们要的是三层房子的位移和地震力，你整了半天，都是在弄这三个一层房子，有啥用啊？\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E别忙别忙，我们在 part.7 里说过了，有了各个振型的地震响应，把它们按一定的系数组合起来，我们就得到整个房子的地震响应了。具体怎么组合呢？且待我们下回继续。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E题图来源：Dynamics of Structures：Theory and Application to Earthquake Engineering，Anil K. Chopra\u003C\u002Fp\u003E&,&state&:&published&,&sourceUrl&:&&,&pageCommentsCount&:0,&canComment&:false,&snapshotUrl&:&&,&slug&:,&publishedTime&:&T12:00:54+08:00&,&url&:&\u002Fp\u002F&,&title&:&地震力到底是怎么算出来的？[Part.9]&,&summary&:&上一篇里，我们把三层房子的质量分配到了三个振型里。第一振型分得了91.4%，第二振型分得了7.5%，第三振型只分得了可怜的1.1%。我们在 part.6 里提到了，对于多层房子来说，影响地震作用有两个因素：一个是质量，我们已经得到了每个振型的质量；另一个则是…&,&reviewingCommentsCount&:0,&meta&:{&previous&:null,&next&:null},&commentPermission&:&anyone&,&commentsCount&:10,&likesCount&:52}},&annotationDetail&:null,&commentsCount&:11,&likesCount&:56,&FULLINFO&:true}},&User&:{&zhuxiaobao&:{&isFollowed&:false,&name&:&猪小宝&,&headline&:&\u003Cp\u003E心胸狭隘中二深井冰。专注黑建筑师事业三十年。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E中年大叔一枚，老婆是传说中的生物医学女博士。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E家有肥猫三头，隶属于喵喵星攻占地球行动小组。\u003C\u002Fp\u003E&,&avatarUrl&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002Fd73a58cd4_s.jpg&,&isFollowing&:false,&type&:&people&,&slug&:&zhuxiaobao&,&bio&:&博士僧 | 一级注册结构工程师&,&hash&:&3ede752a3d53ff625a2bbb7&,&uid&:60,&isOrg&:false,&description&:&\u003Cp\u003E心胸狭隘中二深井冰。专注黑建筑师事业三十年。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E中年大叔一枚，老婆是传说中的生物医学女博士。\u003C\u002Fp\u003E\u003Cp\u003E家有肥猫三头，隶属于喵喵星攻占地球行动小组。\u003C\u002Fp\u003E&,&badge&:{&identity&:null,&bestAnswerer&:{&topics&:[{&type&:&topic&,&id&:&&,&name&:&土木工程&},{&type&:&topic&,&id&:&&,&name&:&结构工程&},{&type&:&topic&,&id&:&&,&name&:&建筑工程&},{&type&:&topic&,&id&:&&,&name&:&建筑结构&},{&type&:&topic&,&id&:&&,&name&:&结构设计&},{&type&:&topic&,&id&:&&,&name&:&桥梁&},{&type&:&topic&,&id&:&&,&name&:&结构力学&}],&description&:&优秀回答者&}},&profileUrl&:&https:\u002F\u002Fwww.zhihu.com\u002Fpeople\u002Fzhuxiaobao&,&avatar&:{&id&:&d73a58cd4&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&},&isOrgWhiteList&:false,&isBanned&:false}},&Comment&:{},&favlists&:{}},&me&:{},&global&:{&experimentFeatures&:{&ge3&:&ge3_9&,&ge2&:&ge2_1&,&navi&:&1&,&growthSearch&:&s2&,&nwebQAGrowth&:&experiment&,&qawebRelatedReadingsContentControl&:&close&,&liveStore&:&ls_a2_b2_c1_f2&,&nwebSearch&:&nweb_search_heifetz&,&vdlc&:&e&,&rt&:&y&,&isOffice&:&false&,&enableTtsPlay&:&post&,&newLiveFeedMediacard&:&new&,&newMobileAppHeader&:&true&,&androidPassThroughPush&:&all&,&hybridZhmoreVideo&:&yes&,&nwebGrowthPeople&:&default&,&nwebSearchSuggest&:&default&,&qrcodeLogin&:&qrcode&,&enableVoteDownReasonMenu&:&enable&,&isShowUnicomFreeEntry&:&unicom_free_entry_off&,&newMobileColumnAppheader&:&new_header&,&androidDbRecommendAction&:&open&,&biu&:&1&,&info&:&1&,&androidDbFeedHashTagStyle&:&button&,&appStoreRateDialog&:&close&,&default&:&None&,&isNewNotiPanel&:&no&,&biua&:&1&,&zcmLighting&:&zcm&,&adR&:&b&,&wechatShareModal&:&wechat_share_modal_show&,&growthBanner&:&default&,&androidProfilePanel&:&panel_b&}},&columns&:{&next&:{},&zhuxiaobao&:{&following&:false,&canManage&:false,&href&:&\u002Fapi\u002Fcolumns\u002Fzhuxiaobao&,&name&:&土木僧的写写画画&,&creator&:{&slug&:&zhuxiaobao&},&url&:&\u002Fzhuxiaobao&,&slug&:&zhuxiaobao&,&avatar&:{&id&:&8ed9da2a2&,&template&:&https:\u002F\u002Fpic1.zhimg.com\u002F{id}_{size}.jpg&}}},&columnPosts&:{},&columnSettings&:{&colomnAuthor&:[],&uploadAvatarDetails&:&&,&contributeRequests&:[],&contributeRequestsTotalCount&:0,&inviteAuthor&:&&},&postComments&:{},&postReviewComments&:{&comments&:[],&newComments&:[],&hasMore&:true},&favlistsByUser&:{},&favlistRelations&:{},&promotions&:{},&switches&:{&couldSetPoster&:false},&draft&:{&titleImage&:&&,&titleImageSize&:{},&isTitleImageFullScreen&:false,&canTitleImageFullScreen&:false,&title&:&&,&titleImageUploading&:false,&error&:&&,&content&:&&,&draftLoading&:false,&globalLoading&:false,&pendingVideo&:{&resource&:null,&error&:null}},&drafts&:{&draftsList&:[],&next&:{}},&config&:{&userNotBindPhoneTipString&:{}},&recommendPosts&:{&articleRecommendations&:[],&columnRecommendations&:[]},&env&:{&edition&:{&baidu&:false,&yidianzixun&:false,&qqnews&:false},&isAppView&:false,&appViewConfig&:{&content_padding_top&:128,&content_padding_bottom&:56,&content_padding_left&:16,&content_padding_right&:16,&title_font_size&:22,&body_font_size&:16,&is_dark_theme&:false,&can_auto_load_image&:true,&app_info&:&OS=iOS&},&isApp&:false,&userAgent&:{&ua&:&Mozilla\u002F5.0 (compatible, MSIE 11, Windows NT 6.3; Trident\u002F7.0; rv:11.0) like Gecko&,&browser&:{&name&:&IE&,&version&:&11&,&major&:&11&},&engine&:{&version&:&7.0&,&name&:&Trident&},&os&:{&name&:&Windows&,&version&:&8.1&},&device&:{},&cpu&:{}}},&message&:{&newCount&:0},&pushNotification&:{&newCount&:0}}