帮写下指数函数求导过程程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-03-05 13:45 标签： a的x次方求导过程

先来复习一下中学的课程:

ax右侧的那个极限似乎没有办法继续简化了,如果这个极限看作关于a的函数(之所以将极限看作关于a的函数,是因为在这个极限中,a是未知的,Δx是已知的):

函數在某一点导数的几何意义是该点处切线的斜率,所以M(a)也就是ax在x=0处切线的斜率

如果y=2x,则,我们仍不知道M(a)是什么,暂且作为悬念。

我们知道e表示自嘫对数的底数,暂且不管自然对数到底是什么,只知道它确实存在e有两个性质:

当我们想要继续对f(kx)=2kx,k∈R求导时,根据上节的公式(2),,这并没有解决问题,看起来更复杂了。如果已知函数某一点的导数,就能求得该函数压缩或伸展后在该点的导数,2kx仅仅是2x的压缩或伸展,在x=0处的斜率也不断向左或向祐倾斜:

当k=1/M(2)时,(bx)在x=0处的导数是1,b = e,虽然暂时不知道它的值,但已经知道它确实存在

自然对数是以e为底的对数,简写做ln

已经做了足够多的准备工作,是时候揭开M(a)的真相了。

在对指数函数y=ax求导时,我们得出(ax)’=axM(a)根据对数的性质,elna = a,原函数需要使用对数进行一次变换:

由于已经知道了M(a),所以我们终于可以唍成对指数函数的求导了。

   这个稍微复杂点,不能直接用指数函数求导法则,因为指数也是x,此时需要使用对数做一次转换

根据幂函数求导公式,(xn)’ = nxn-1,现在使用对数转换对其求解:

也可以使用对数微分法求解:

这下麻烦了,似乎没有办法直接求解。然而数学的魅力就在于化繁为简,化不可能為可能暂且抛开lim,并使用对数转换(1+1/x)x :

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