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量子态流形上的黎曼度规与拓扑刻画
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value="从量子绝热循环演化中的量子态的贝利(Berry)相、量子霍尔电导以及绝热泵浦(pumping)中的拓扑陈数(Chern number)发现以来，几何与拓扑性质的研究在量子物理中起到了越来越重要的作用。本文以量子态的绝热演化为基础，采用微分几何的途径来理解量子多体系统中的量子相变和拓扑量子相变。我们在U(1)定域规范结构下的希尔伯特(Hilbert)空间中定义了一个量子几何张量以刻画两个相邻量子态之间的距离。这个几何张量的实部给出了这个量子态流形上的黎曼度规张量，而虚部恰好对应为复线丛上的Berry曲率。　　量子系统基态的几何张量反映量子多体系统的集体行为，它是定义在基态流形上的，可以帮助我们更好的理解在多体系统中的量子相变。在量子系统的动量空间中，系统的基态形成了一个闭合的黎曼流形，我们将高斯-博内定理应用到量子系统的基态流形上，得到了基态的欧拉数，并以之特征了量子系统的拓扑相变。　　微分几何学给量子多体系统中的相变及拓扑量子计算的研究提供了一个非常有价值的工具。本文系统的介绍了如何应用几何上的一些概念来探求量子物理的一些拓扑性质。　　本论文的结构如下:　　第一章，简要的介绍了微分几何和规范场在数学及物理中的重要地位，及它们之间的联系;概括了量子几何相位、拓扑序，以及在研究中需要的关于纤维丛和量子几何张量的数学背景。　　第二章，讨论了量子绝热演化，Berry相及相因子的拓扑性质，平行输运的相关概念，讨论分析了量子相变的Berry相，还以磁场中自旋1/2粒子为例讨论了它的几何和拓扑性质。　　第三章，求出了量子几何张量，其实部和虚部分别代表的黎曼度规和Berry曲率，还讨论了量子几何张量的意义，以及在数学中，如何求出一个曲面的曲面张量。　　第四章，讨论了欧拉数的意义，以及算法。还探究了在2维两带晶格模型中的量子黎曼度规和欧拉数，显示了一个非常重要的从普通绝缘到陈绝缘体的拓扑相变的过程，最后还给出了用欧拉数以及第一陈数表示的相图。"/>
从量子绝热循环演化中的量子态的贝利(Berry)相、量子霍尔电导以及绝热泵浦(pumping)中的拓扑陈数(Chern number)发现以来，几何与拓扑性质的研究在量子物理中起到了越来越重要的作用。本文以量子态的绝热演化为基础，采用微分几何的途径来理解量子多体系统中的量子相变和拓扑量子相变。我们在U(1)定域规范结构下的希尔伯特(Hilbert)空间中定义了一个量子几何张量以刻画两个相邻量子态之间的距离。这个几何张量的实部给出了这个量子态流形上的黎曼度规张量，而虚部恰好对应为复线丛上的Berry曲率。　　量子系统基态的几何张量反映量子多体系统的集体行为，它是定义在基态流形上的，可以帮助我们更好的理解在多体系统中的量子相变。在量子系统的动量空间中，系统的基态形成了一个闭合的黎曼流形，我们将高斯-博内定理应用到量子系统的基态流形上，得到了基态的欧拉数，并以之特征了量子系统的拓扑相变。　　微分几何学给量子多体系统中的相变及拓扑量子计算的研究提供了一个非常有价值的工具。本文系统的介绍了如何应用几何上的一些概念来探求量子物理的一些拓扑性质。　　本论文的结构如下:　　第一章，简要的介绍了微分几何和规范场在数学及物理中的重要地位，及它们之间的联系;概括了量子几何相位、拓扑序，以及在研究中需要的关于纤维丛和量子几何张量的数学背景。　　第二章，讨论了量子绝热演化，Berry相及相因子的拓扑性质，平行输运的相关概念，讨论分析了量子相变的Berry相，还以磁场中自旋1/2粒子为例讨论了它的几何和拓扑性质。　　第三章，求出了量子几何张量，其实部和虚部分别代表的黎曼度规和Berry曲率，还讨论了量子几何张量的意义，以及在数学中，如何求出一个曲面的曲面张量。　　第四章，讨论了欧拉数的意义，以及算法。还探究了在2维两带晶格模型中的量子黎曼度规和欧拉数，显示了一个非常重要的从普通绝缘到陈绝缘体的拓扑相变的过程，最后还给出了用欧拉数以及第一陈数表示的相图。
摘要： 从量子绝热循环演化中的量子态的贝利(Berry)相、量子霍尔电导以及绝热泵浦(pumping)中的拓扑陈数(Chern number)发现以来，几何与拓扑性质的研究在量子物理中起到了越来越重要的作用。本文以量子态的绝热演化为基础，采用微分几何的途径来理解量子多体系统中的量子相变和拓扑量子相变。我们在U(1)定域规范结构下的希尔伯特(Hilbert)空间中定义...&&
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|系统分类:|关键词:双曲几何,立方复形,Haken流形|
走近三维流形：从双曲几何到立方复形的双向之旅& （三：第三维） ------三维流形中一个划时代证明的故事作者： 发表：SimonsFoundation.Org 时间： 翻译：杨文元
【译者注】这是翻译自Erica Klarreich发表在SimonsFoundation的一篇科普文章“”。这篇文章通俗地详细讲述了近10多年来三维流形的研究背景和重大的进展，和一大批数学家为完善Thurston的研究纲领而所发生有趣的激动人心的故事。译文较长，计划分六次贴出，方便阅读。第一次做翻译，限于文字水平有限，这已是我竭尽所能译出，敬请方家指正。【目录】
三维流形远比二维流形丰富，因而相应问题也就更加困难。庞加莱于1904年提出一个看上去很简单的问题，却在提出近一个世纪都没有解决，这就是著名的庞加莱 猜想。该猜想声称三维的球面是唯一的紧致的三维流形使得上面的每个闭曲线都可以连续收缩成一个点，即流形上没有“洞”。
但是，Thurston更大胆地猜测我们应该也可以像二维流形一样对三维流形进行分类。
二维的欧氏几何，球面几何和双曲几何在三维都有对应类型的几何。但是在三维空间，还不仅仅只有这些性质良好的几何存在。例如存在一些混合型的几何使得空间在某些 方向是双曲的或球面的， 而其他方向是欧式的。总而言之，三维空间存在着8种不同的几何类型，它们是一致的：意味着这些几何在空间的每一点处看来都是一样的。
如同果曲面一样，Thurston猜想三维流形也可以被赋予一些自然的几何结构。更具体地说，他提议如果我们以一种特别的方式去把紧致的三维流形割成若干部 分，那么每一部分都可以赋予这八种几何中的一种。”目的就是在三维流形上把几何和拓扑完整地统一起来“, Minsky这样解释道。一个自然的途径去证明几何化猜想是去做类似于我们在二维曲面上做的事情：沿着闭圆圈去剪开曲面直到所有的有趣的拓扑性质都被简化 掉而成为一个平面多边形。对于三维流形，因而相应的途径是去沿着曲面去割开它希望最终它也可以变成一个多面体。然后，如果可以赋予这个多面体以正确的几何 的话，我们就可以把这个几何传递到原来的三维流形上。这正是我们对曲面所成功做到的事情。
让我们回忆一下曲面上的情形：为了使曲面上的分割程序能顺利继续下去，我们切开的每条闭曲线必须满足如下两个性质：该曲线不能自我相交（用数学语言说，就是” 嵌入的“），而且它必须具备我们所称呼的”有趣的拓扑性质“, 即它其中蕴含了这个曲面的一些拓扑特征从而不能收缩成一点（这些要求确保了沿这样的闭曲线割开确实会从拓扑的角度上简化该曲面）。
在1962年，数学家Wolfgang Haken在如下的特定情况下找到了简化三维流形为多面体的方法：假定该三维流形中存在着一个可以沿着它割开曲面。这样的曲面需要满足下面的两个条件：它 必须是嵌入的，并且是不可压缩的，意味着该曲面上的每个“拓扑有趣”的闭曲线在它所在的更大的三维流形中也是“拓扑有趣”的。（译者注：即曲面上闭曲线如 果在曲面上不可收缩成一点的，那么同样即使在流形中变形也不能收缩成一个点。）
因而，比如一个环面在我们的三维空间中就不是不可压缩的，因为每条绕着环面的闭曲线在环面上是“拓扑有趣”的，但它却可以在三维空间中压缩为一个点。相反 地，这个环面在如下的三维流形中就是不可压缩的：即由该曲面加厚而得到的三维流形。为了具有不可压缩性，该曲面的每个拓扑的特征都必须反映出更大的三维流 形上的拓扑的一些性质。这样的含有嵌入的不可压缩的曲面的三维流形现在被称为Haken流形。
如果我们的三维流形中有一个嵌入的不可压缩的曲面，那么沿着它割开便会简化一些拓扑有趣的性质，从而会得到更简单的三维流形。更重要地是，Hakan证明了 只要该流形包含一个这样的曲面，那么割开以后得到的新的流形仍然是Haken的：也就是说新流形中仍然包含一个嵌入的不可压缩的曲面，从而可以去继续分割 它。这样经过有限步以后，Haken证明了原流形上有趣的拓扑性质就完全被简化完了，而得到了一个多面体。
在1970年代后期，Thurston证明了我们可以在最后得到的多面体上赋予八种三维几何中的一种，使得多面体上的几何可以自然地传递到再粘合回去的流形 上，也即多面体的顶点和面可以"恰如其分"地粘合在一起。换句话说，Thurston对通过由“标准分解”得到的每部分都是Haken流形的三维流形证明 了他的几何化猜想。（译者注：所谓标准分解，作者本文中并没有论述，读者应避免与所述的Haken流形的切割程序相混淆。）
不幸地是，任意给定一个紧致的三维流形上并没有保证一定会存在有这样的曲面。事实上，1970年代末到1980年代初，Thurston促使三维流形的研究者们意识到三维流形中包含有嵌入的不可用压缩的曲面（即Haken流形）只是特例，远非一般的规则。
为了弄清楚对非Haken流形如何证明几何化猜想，数学家们被整整难住了有20多年。最终，Perelman于2002年宣布了一个证明，但该证明所依赖的 工具远远不同于Thurston的大多数追随者的所使用的工具。（Perelman的证明解决了这个有一个世纪之久的庞加莱猜想，这项成就使得克莱研究所 于2010年决定颁发给他一个一百万奖金的数学奖---但是他由于各种复杂的原因马上予以拒绝了。）
Perelman证明标志性地完成了Thurston的把拓扑和几何统一起来的梦想。现在每个三维流形的拓扑问题都有一个对应的几何问题，或者相反。但是Perelman的定理并没有解答像“什么样的三维流形可以存在的”这样重要的问题。
在对分类紧致的二维流形过程中，数学家们不仅证明了每个曲面上都可以赋予一个几何结构，而且还能列出来了所有可能的二维流形。但是在三维，这样完整的列表一直缺失着。
八种三维几何中的7种，除去双曲几何，都已经得到了完整地理解。甚至在Perelman的工作之前，三维拓扑学家已经把可以赋予这7种几何中的一种的三维流形研究地很清楚了。这样的流形是相对比较简单，并且数量上也比较少。
正如同曲面的情形一样，大多数三维流形事实上是双曲的。数学家们对三维的双曲流形的理解远远贫乏于其上可以赋予其他7种几何的三维流形。“在八种几何中，双曲流形是最神秘而且也是最丰富的一类”，巴黎六大的Nicolas Bergeron这样说。
Perelman的结果也告诉数学家们双曲流形确实是最后的堡垒---唯一的还需要透彻地理解的一类三维流形。但是他的结果并没有告诉大家这些三维流形具体是什么样子的。
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Copyright & 2007-微分几何:&流的概念需要建立在流形和单参数子群或者积分曲线的基础上
千里积于跬步——流，向量场，和微分方程
在很多不同的科学领域里面，对于运动或者变化的描述和建模，都具有非常根本性的地位——我个人认为，在计算机视觉里面，这也是非常重要的。
什么是“流”？
在我接触过的各种数学体系中，对于运动和变化的描述，我感觉最为适合的有两种不同的perspective：流和变换群。前者以被作用的对象为中心，运动就是这个东西随时间变化的函数；后者以变换本身为中心，研究的是各种变换所组成的空间的代数和拓扑结构。我想，相对来说，前者对于多数人而言似乎更为直观。在这篇文章里，就以“流”(Flow)的角度展开了。其实，这两种思路有着根本的联系——这种联系体现在李群论的一个基础概念——李群作用(Lie
Group Action)，以及由它所延伸出来的丰富的理论。
流(Flow)是什么呢？很通俗的说，表示了一种运动规则。给定一个点的初始位置 x，让它运动一段时间 t，那么之后到达另一个位置
y，那么 y 就是初始位置 x 和运动时间 t 的函数：
y = S( t, x )
S，如果符合一些合理的性质，就叫做一个流(Flow)。学过微分几何的同学可能会觉得这个定义与数学中的严格定义有点差距——确实如此。在微分几何中，流的概念需要建立在流形和单参数子群或者积分曲线的基础上，在一篇Blog文章中很难按照这样的方式阐述。只好在一定程度上放弃严密性，从直观出发，希望能传递出最基本的思想。
我们想想， 一个合理的运动函数应该具有什么性质呢？我想，最起码应该有三点：
运动是连续的。物理学告诉我们，现实中没有所谓的“瞬间转移”。在上面的式子中，如果固定 x，那么 y( t ) = S(t,
x) 就是这个初始位置在 x 的点的运动过程。在数学上，没有“瞬间转移”就是说对于任何 x，它的运动过程 y( t )
都是连续的。
变形是连续的。现在假设我们不考虑一个点，而是考虑一个物体。那么，本来是邻居的点，后来还是邻居——严格一点，在拓扑学上就是说，x
和它的一个邻域各自都运动了时间
t，那么运动后，这个邻域关系还是保持的——这等价于不改变这个物体的拓扑结构（比如，不把它撕开，但是连续变形是肯定允许的）。当然，在现实中物体被撕开不是没有可能，但是这会导致拓扑结构的改变，这就不是一般的数学工具所用表达的了。
时间上的一致性。简单的说，如果我先让它运动时间 t1，在运动时间 t2，那么和让它运动时间 (t1 +
t2)是一样的。用上面这个表达式写，就是：S( t2,& S( t1, x) ) = S(t2 +
x)。这个性质在物理上似乎理所当然，但是在数学上，你随便给一个二元函数S，可就未必符合这个属性了。这个规定保证了，我们定义出来的 S
最起码在物理上不会出现错乱。但是，它的意义不止于此，后面我们会看到，它在代数上，表示了一个群同构映射(Group
homomorphism)——这种映射在李代数中有着核心作用。
总结起来，S(x, t) 是对于 x 和 t 的连续函数（实际上，在一般的定义中更严格一些，通常要求 S
是光滑函数，就是无限阶可微的函数。光滑性其实不是很强的条件，我们学过的全部初等函数都是光滑的）。还有就是关于时间的一致性条件。这里特别强调一点，我们允许
是可正可负的：时间取负数，就是让这个点沿着原路径倒回去走——怎么来的，就怎么回去。这里面隐含了一个条件：在某一时刻分开的两点是永远走不到一起成为一点的——否则倒回去就不知道往哪走了——这拓扑上，拓扑结构不发生改变就保证了这一点：物体既不能撕开，也不能粘在一起。
流——变换群和运动曲线的统一
这个S(t, x)呢，可以从两个方面去看，就得到两种不同的理解。首先，固定 t，
T_t ( x ) = S(t, x)
它就变成了一个关于x的变换函数：把一个点从一个位置变换到时间 t 后的另外一个位置。那么 T_t 就是一个变换。然后，不同的时间
t，对应着一个不同的变换。而且基于时间的一致性，先做 T_(t1) 变换 （走时间 t1），再做 T_(t2) 变换（再走时间
t2），相当于另一个变换 T_(t2 + t1)。数学上就是：T_(t2) * T_(t1) = T_(t2 +
t1)。如果你对群的概念有基本的了解，这里就可以看出来，从全部的不同时间的T_t 构成了一个变换群，从 t 到 T_t
的映射，就是从实数R上的加法群到这个变换群的同构映射。因为 T_t 是由一个参数 t
控制的，有个专门的名词，叫做“单参数群”(one-parameter
group)。由于加法群的可交换性，这个单参数变换群也是可交换的——这个可交换性的物理意义很明显:
先走t1，再走t2；还是先走t2，再走t1，是一样的。
因此，我们得到了第一种理解：流，就是连续作用在一个物体上的可交换单参数变换群。（这里所谓“物体”，在数学上有专门的名字“流形”，对于这点我不想展开太多了。）其实，这才是关于流的比较正规的定义。
从另外一个角度上看，固定 x，我们追踪这一个点的运动，
y_x ( t ) = S(t, x)
那么 y_x 就是初始位置（t=0时的位置）为 x 的点的运动过程——也叫做运动曲线(curve)
或者运动轨迹(orbit)。每个点都有自己的运动曲线，所谓流，就是这所有的这些运动曲线的共同体，或者说，流就是由这些运动曲线刻画的——这和我们一些直观的想法是一样的——我们在画画时喜欢在河上画几条曲线来表示流动。
这个函数S(t,
x)，把变换群和运动曲线同一起来了——它们就是一个东西的两个不同侧面。到这里，我们向我们的目标迈出了第一步——最终，我们是要把变换群和向量场联系在一起——这就是李群和李代数的核心所在。
流与向量场
继续我们的故事。现在，我们有了y_x( t
)，那么对它求导，我们就可以得到这个点在各个时刻的速度。整个流行就是所有这些曲线的集合，这样，在流形上的每个点，我们都能找到经过它的一条曲线，从而标出这点的速度。（这里强调一点，对于一个给定的流，经过某点的曲线是唯一的，你可以想想为什么？）于是，我们给每个点都赋予了一个速度，这就是“速度场”(velocity
field)。每个速度就是曲线上的一个切向量，所以更一般的说，我们把它叫做“向量场”。这里，我们看到，任意一个流都可以通过运动曲线的速度来建立一个对应的向量场。而且可以证明，这个向量场是连续的。
那么反过来呢？我们给定一个连续的向量场，能不能找到一个流和它对应呢？这里面有三个方面
（存在性），能不能找到一个流，它的速度场等于给定的向量场。
（唯一性），如果存在，这个流是不是唯一的。
（连续性），这个流 S(t, x) 是不是关于 x 和 t 的连续函数（或者光滑函数）。
这个问题是一个很深刻的问题，它的回答直接联系到一般意义的常微分方程的解的存在性，唯一性，和连续性。答案是，这在局部上是成立的。就是任意一个定义于流形上的向量场，对于流形上的任何一点，总能找到包含它的一个“局部流形”（开子流形），以及定义在这个局部上的流，使得流的速度场和给定的向量场在这个局部相等。简洁一点说，符合条件的流在处处“局部存在”。而且，它们在某种意义上是唯一的，就是两个符合条件的“局部流”，它们在定义域重合的部分是相等的。如果给定向量场是连续（光滑）的话，那么导出的流也是连续（光滑）的。
我不打算给出严格的证明，这可以在很多微分流形的相关资料中找到。这里，我希望用一个通俗的过程来介绍，怎么构造出这个流。我们把向量场看成是在一个大地图上标了很多很密的指示牌——告诉你到了这点后应该用多大的速度往什么方向开车。于是，你从某个地方出发，你先看看附近的指示牌，把车子调整到指示的速度和方向，往前开一小段后看到下一个指示，继续调整速度和方向，一直这样下去，你开车的过程就形成了一个运动轨迹，而且在各点上的速度，都和该点的指示一致。设想一个极限过程，指示牌无限密集，开车的人每个时刻都在连续地调节速度，那么就得到了一个和向量场一致的运动曲线。我们上面说过，流是所有这些运动曲线的集体，于是我们从不同的地方开始开车，最后就能把整个流构造出来了。
有些时候，向量场的定义域可能不是很完整，那么车子不能无限开下去（不然可能开出去了），这时候只能给出“局部的流”。如果一个向量场存在一个全局的流，就叫做完备的向量场(Complete
Vector Field)。
从这个故事，我们知道一个变换是怎么炼成的：就是按照指示，一步步的做，这些小步积累起来，就形成最后的变换效果。有什么样的指示，就会有什么样的变换。在李群论中，数学家给向量场起了个名字：infinitestimal
generator——寓意是，千里变换，生于跬步。数学上，“千里”与“跬步”的关系，就是李群和李代数的联系。
为什么我们不直接描述变换，而言描述生成它的向量场呢？很简单，很多时候全局的演化不容易直接描述，而小步的前进则是很容易把握的。在很多问题中，我们知道“divide
conquer“的策略能够大大简化问题，从变换群到向量场正是这种策略的极限体现。一个简单的例子，比如我们要表示一个不会改变物体大小的变换过程，所谓“不可压缩性”如果用变换矩阵直接表达，那是一个颇为复杂的非线性约束，而如果使用向量场表达，我们只需要把向量场限制在某个有限维子空间里——这就是一个简单得多的线性约束。这样的例子还有很多很多。
和微分方程的联系
最后，我们再回头看看上面这个“从向量场推导流”的问题。我们知道所谓速度场，就是对 t
的导数，所以这个问题，可以写成：
给定向量场 V(x)， 求 S(t, x) 使得 d S(t, x) / dt = V(x)， 并且 S(0, x) =
这就是一般意义的常微分方程的初值问题。对这个问题的回答，和对于常微分方程的解得存在性，唯一性和连续性的回答，是联系在一起的。给定一个向量场，就相当于给出一个常微分方程。如果给定
x, 那么所形成的曲线 y_x ( t )，就是上述微分方程的解，而流 S(t, x)
就是所有这些解的整体。我们知道微分方程的解通常以积分形式给出，所以上面说的“运动曲线”，在数学上有个正式的学名叫“积分曲线”(Integral
在物理上，“积分曲线”也是很容易理解的，就是把“速度指示牌”的指示积累起来形成的路径，积分曲线生成的过程就是“积跬步而致千里”的过程。而且，这不仅仅是一种形象思考，在实际问题中微分方程的数值解法正好就是这种过程的最好体现。
Wax on Wax off——法线变换矩阵的推导
6 months ago
居然一个礼拜中有两个妹子问了这个问题，这必须要写个博客了，说不定什么时候师妹还有问题然后就进来了呢……
——左君博
习惯写Shader的人都知道，在将顶点Position由本地坐标转化到世界坐标中，需要将其与世界变换矩阵相乘。但是如果想进行光照渲染神马的操作时，往往还需要提取顶点的切线和法线信息。那么如果需要将其法线信息转化到世界坐标系，与之相乘的不是世界变换矩阵而是世界变换矩阵的转置逆矩阵，今天对其涉及到的数学原理进行了剖析，写写公式练练手。
切向量(Tanget vector)
切向量经常可以通过两个顶点位置的差来求得。令M为该世界变换的矩阵，T为原来的切向量，T'为变换后的切向量，可以很容易的就获得以下公式：
<img ALT="Image.png" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://noahzuo-attachment.stor.sinaapp.com/.png"
TITLE="微分几何:&流的概念需要建立在流形和单参数子群或者积分曲线的基础上" />
这个公式表示了切向量的变换与顶点位置变换的原理相同，可以使用同样的一个矩阵来进行操作。
法向量(Normal Vector)
法向量的矩阵可就不一样了，如果说矩阵M是一个非正交矩阵，那么如果对法向量变换使用与顶点位置变换同样的矩阵的话，会出事的，真的会出事的。
下图是一个将X分量缩小一倍的效果图，可以看到，如果使用同样的矩阵，那么法向量的X轴也缩小了一倍，这样一来明显就不垂直了，还谈什么法线！(╯&#8245;&#9633;&)╯︵┻━┻
<img ALT="Image.png" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://noahzuo-attachment.stor.sinaapp.com/.png"
TITLE="微分几何:&流的概念需要建立在流形和单参数子群或者积分曲线的基础上" />
先上结论吧，如果对于世界变换矩阵是M的话，那么对于法线变换，该矩阵为<img ALT="QQ截图19.png" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://noahzuo-attachment.stor.sinaapp.com/.png"
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开始推导过程了，先提示一下，接下来都是极度无聊的数学推算，未满十八岁禁止观看。
由于切向量和法向量肯定是垂直的，令变换前切向量为T，法向量为N。那么有以下公式：
<img ALT="Ima.png" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://noahzuo-attachment.stor.sinaapp.com/.png"
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令变换后的切向量为T'，法向量为N'。有前面的推测，容易得到:
<img ALT="Image.png" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://noahzuo-attachment.stor.sinaapp.com/.png"
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令G为法线变换的矩阵，可以得到：
<img ALT="Image.png" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://noahzuo-attachment.stor.sinaapp.com/.png"
TITLE="微分几何:&流的概念需要建立在流形和单参数子群或者积分曲线的基础上" />
进行一下线性代数里面的基本操作吧，点乘的操作可以变换成为：
<img ALT="Image.png" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://noahzuo-attachment.stor.sinaapp.com/.png"
TITLE="微分几何:&流的概念需要建立在流形和单参数子群或者积分曲线的基础上" />
由于N·T = 0，所以上面的等式只有在G·M = I的时候才成立，因此可以得到：
<img ALT="Image.png" src="http://simg.sinajs.cn/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://noahzuo-attachment.stor.sinaapp.com/.png"
TITLE="微分几何:&流的概念需要建立在流形和单参数子群或者积分曲线的基础上" />
当然，如果M矩阵是正交矩阵，根据线性代数中正交矩阵的概念有逆与转置矩阵相同，此时矩阵可以互用……
数学还是很重要滴……
——全文完——
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