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高中数学解题思路与技巧
名师辅导 http://hexun.com/ictor821《高中数学解题思维与思想》 一、高中数学解题思维策略第一讲数学思维的变通性一、概念 数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通 性――善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲 将着重进行以下几个方面的训练： （1）善于观察 心理学告诉我们：感觉和知觉是认识事物的最初级形式，而观察则是知觉的高级状态，是一种有目 的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径，它是了解问题、发现问题和解决问题的 前提。 任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题 目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路， 找到解题方法。 例如，求和1 1 1 1 ? ? ??? . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)这些分数相加，通分很困难，但每项都是两相邻自然数的积的倒数，且 原式等于 1 ?1 1 1 ? ? ，因此， n(n ? 1) n n ? 11 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1? 问题很快就解决了。 2 2 3 n n ?1 n ?1 （2）善于联想 联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因 此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想， 将问题打开缺口，不断深入。?x ? y ? 2 例如，解方程组 ? . ? xy ? ?3这个方程指明两个数的和为 2 ，这两个数的积为 ? 3 。由此联想到韦达定理， x 、 y 是一元二次方程t 2 ? 2t ? 3 ? 0 的两个根，? x ? ?1 ? x ? 3 所以 ? 或? .可见，联想可使问题变得简单。 ? y ? 3 ? y ? ?1（3）善于将问题进行转化名师辅导 http://hexun.com/ictor821数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问 题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是 把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观 察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。 1 1 1 1 例如，已知 ? ? ? , (abc ? 0, a ? b ? c ? 0) , a b c a?b?c 求证 a 、 b 、 c 三数中必有两个互为相反数。 恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为： (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 0 思维变通性的对立面是思维的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若 干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维 受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。 综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思 维变通性，必须作相应的思维训练。 二、思维训练实例 （1） 观察能力的训练 虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训 练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。 例1 已知 a, b, c, d 都是实数，求证 a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 .思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而 左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点， y 可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。 证明 不妨设 A(a, b), B(c, d ) 如图 1－2－1 所示，A(a, b)B (c, d )则 AB ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 .OA ? a 2 ? b 2 , OB ? c 2 ? d 2 ,O在 ?OAB 中，由三角形三边之间的关系知：图 1－2 －1xOA ? OB ? AB 当且仅当 O 在 AB 上时，等号成立。因此， a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? (a ? c) 2 ? (b ? d ) 2 . 思维障碍 很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方 法证明很繁。 学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因， 是对这个公式不熟， 进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。 例2 解 已知 3x 2 ? 2 y 2 ? 6 x ，试求 x 2 ? y 2 的最大值。 由3x 2 ? 2 y 2 ? 6 x 得名师辅导 http://hexun.com/ictor8213 y 2 ? ? x 2 ? 3x. 2 3 ? y 2 ? 0,? ? x 2 ? 3 x ? 0,? 0 ? x ? 2. 2又 x2 ? y2 ? x2 ?3 2 1 9 x ? 3x ? ? ( x ? 3) 2 ? , 2 2 21 9 ? 当 x ? 2 时， x 2 ? y 2 有最大值，最大值为 ? (2 ? 3) 2 ? ? 4. 2 2思路分析要 求 x2 ? y2 的 最 大 值 ， 由 已 知 条 件 很 快 将 x2 ? y2 变 为 一 元 二 次 函 数1 9 f ( x) ? ? ( x ? 3) 2 ? , 然后求极值点的 x 值，联系到 y 2 ? 0 ，这一条件，既快又准地求出最大值。上述 2 2 解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。 思维障碍 大部分学生的作法如下： 3 由 3x 2 ? 2 y 2 ? 6 x 得 y 2 ? ? x 2 ? 3 x , 2 3 1 9 ? x 2 ? y 2 ? x 2 ? x 2 ? 3x ? ? ( x ? 3) 2 ? , 2 2 2 9 ? 当 x ? 3 时， x 2 ? y 2 取最大值，最大值为 2这种解法由于忽略了 y 2 ? 0 这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意审题，不仅能从表面 形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件， 又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。 有些问题的观察要从相应的图像着手。 例3 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0), 满足关系f (2 ? x) ? f (2 ? x) ，试比较 f (0.5) 与 f (? ) 的大小。思路分析由已知条件 f (2 ? x) ? f (2 ? x) 可知，在与 x ? 2 左右等距离的点的函数值相等，说明该函y数的图像关于直线 x ? 2 对称，又由 已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致 图像简捷地解出此题。 解 （如图 1－2－2）由 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ，知 f ( x) 是以直线 x ? 2 为对称轴，开口向上的抛物线 它与 x ? 2 距离越近的点，函数值越小。O2x? 2 ? 0.5 ? 2 ? ? ? f (0.5) ? f (? )思维障碍图 1－2－2有些同学对比较 f (0.5) 与 f (? ) 的大小，只想到求出它们的值。而此题函数 f ( x) 的表达式不确定无法代值，所以无法比较。出现这种情况的原因，是没有充分挖掘已知条件的含义，因而思维受名师辅导 http://hexun.com/ictor821到阻碍，做题时要全面看问题，对每一个已知条件都要仔细推敲，找出它的真正含义，这样才能顺利解 题。提高思维的变通性。 （2） 联想能力的训练 例4 在 ?ABC 中，若 ?C 为钝角，则 tgA ? tgB 的值 (B)小于 1 (C) 大于 1 (D) 不能确定(A) 等于 1 思路分析tg ( A ? B) ?此题是在 ?ABC 中确定三角函数 tgA ? tgB 的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式tgA ? tgB 可得下面解法。 1 ? tgA ? tgB解 ? ?C 为钝角，? tgC ? 0 .在 ?ABC 中 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 且 A、B均为锐角，tgA ? tgB ? 0. 1 ? tgA ? tgB ? tgA ? 0, tgB ? 0,?1 ? tgA ? tgB ? 0.即tgA ? tgB ? 1. ? tgC ? tg ?? ? ( A ? B)? ? ?tg ( A ? B) ? ?故应选择（B） 思维障碍 有的学生可能觉得此题条件太少，难以下手，原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢 固，不能准确把握公式的特征，因而不能很快联想到运用基本公式。 例5 若 ( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z) ? 0, 证明： 2 y ? x ? z.思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一 元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。 证明 当 x ? y ? 0 时，等式 ( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z) ? 0可看作是关于 t 的一元二次方程 ( x ? y)t 2 ? ( z ? x)t ? ( y ? z) ? 0 有等根的条件，在进一步观察这个方 程，它的两个相等实根是 1 ，根据韦达定理就有：y?z ?1即 x? y2y ? x ? z若 x ? y ? 0 ，由已知条件易得 z ? x ? 0, 即 x ? y ? z ,显然也有 2 y ? x ? z . 例6 已 知 a、 b、 c 均 为 正 实 数 , 满 足 关 系 式 a 2 ? b 2 ? c 2 , 又 n 为 不 小 于 3 的 自 然 数 ， 求证: a n ? b n ? c n . 思路分析 由条件 a 2 ? b 2 ? c 2 联想到勾股定理, a、b、c 可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。 证明 设 a、b、c 所对的角分别为 A 、 B 、 C. 则 C 是直角， A 为锐角，于是名师辅导 http://hexun.com/ictor821sin A ? a b , cos A ? , 且 0 ? sin A ? 1, 0 ? cos A ? 1, c c当 n ? 3 时，有 sin n A ? sin 2 A , cosn A ? cos2 A 于是有 sin n A ? cosn A ? sin 2 A ? cos2 A ? 1 即 从而就有a b ( ) n ? ( ) n ? 1, c can ? bn ? cn .思维阻碍 由于这是一个关于自然数 n 的命题，一些学生都会想到用数学归纳法来证明，难以进行 数与形的联想，原因是平时不注意代数与几何之间的联系，单纯学代数，学几何，因而不能将题目条件 的数字或式子特征与直观图形联想起来。 （3） 问题转化的训练 我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时，不仅要先观察具体特征，联想有关知识， 而且要将其转化成我们比较熟悉的，简单的问题来解。恰当的转化，往往使问题很快得到解决，所以， 进行问题转化的训练是很必要的。 1 ○ 转化成容易解决的明显题目 已知 a ? b ? c ?1 1 1 ? ? ? 1, 求证 a 、 b 、 c 中至少有一个等于 1。 a b c 思路分析 结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟 悉的形式。 a 、 b 、 c 中至少有一个为 1，也就是说 a ? 1、b ? 1、c ? 1 中至少有一个为零，这样，问题就 容易解决了。 1 1 1 证明 ? ? ? ? 1, ? bc ? ac ? ab ? abc . a b c例 11于是(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) ? abc ? (ab ? ac ? bc ? 1) ? (a ? b ? c) ? 0.? a ? 1、b ? 1、c ? 1 中至少有一个为零，即 a 、 b 、 c 中至少有一个为 1。 思维障碍 很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为 1， 其原因是不能把要证的结论 “翻译” 成数学式子， 把陌生问题变为熟悉问题。 因此， 多练习这种 “翻译” ， 是提高转化能力的一种有效手段。 p p 例12 直线 L 的方程为 x ? ? ，其中 p ? 0 ；椭圆 E 的中心为 O ?(2 ? ,0) ，焦点在 X 轴上，长半轴 2 2 p 为 2，短半轴为 1，它的一个顶点为 A( ,0) ，问 p 在什么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们 2 A 中的每一点到点 的距离等于该点到直线 L 的距离。 思路分析 从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线y 2 ? 2 px是，又从已知条件可得椭圆 E 的方程为 （1）[ x ? (2 ? 4p 2 )] 2 ? y2 ? 1（2）因此，问题转化为当方程组（1）、 （2）有四个不同的实数解时，求 p 的取值范围。将（2）代入（1）名师辅导 http://hexun.com/ictor821得：x 2 ? (7 p ? 4) x ? p2 ? 2 p ? 0. 4（3）确定 p 的范围，实际上就是求（3）有两个不等正根的充要条件，解不等式组：? p2 2 ? 2 p) ? 0 ? (7 p ? 4) ? 4( 4 ? 2 ?p ? 2p ? 0 ? ? 4 ? ? ? 7p ?4 ? 0在 p ? 0 的条件下，得 0 ? p ? 13. 本题在解题过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。 2 ○ 逆向思维的训练逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面 考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。 例 13 已知函数 f ( x) ? 2x 2 ? mx ? n ，求证 f (1) 、 f (2) 、 f (3) 中至少有一个不小于 1.思路分析 反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证 结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法。 证明 （反证法）假设原命题不成立，即 f (1) 、 f (2) 、 f (3) 都小于 1。? f (1) ? 1 ?? 1 ? 2 ? m ? n ? 1 ?? 3 ? m ? n ? ?1 ? ? ? 则 ? f (2) ? 1 ? ?? 1 ? 8 ? 2m ? n ? 1 ? ?? 9 ? 2m ? n ? ?7 ? ?? 1 ? 18 ? 3m ? n ? 1 ?? 19 ? 3m ? n ? ?17 ? ? f (3) ? 1 ? ? 11 ? 2m ? n ? ?9 ， ①＋③得与②矛盾，所以假设不成立，即 f (1) 、 f (2) 、 f (3) 中至少有一个不小于 1。 3 ○ 一题多解训练① ② ③由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同 的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数 学思维的变通性。 例 14 已知复数 z 的模为 2，求 z ? i 的最大值。解法一（代数法）设 z ? x ? yi( x、y ? R)，则x 2 ? y 2＝4. z ? i ? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ? 2 y .? y ? 2, ? 当 y ? ?2 时， z ? i max ? 3.名师辅导 http://hexun.com/ictor821解法二（三角法）设 z ? 2(cos? ? i sin ? ), 则 z ? i ? 4 cos 2 ?＋（2 sin ? ? 1) 2 ? 5 ? 4 sin ? .?当sin ? ? ?1时， z ? i max ? 3.解法三（几何法）? z ? 2,? 点z是圆x 2 ? y 2 ? 4上的点， z ? i 表示z与i所对应的点之间的距离 。yO ．i ． -2i Zx如图 1－2－3 所示，可知当 z ? ?2i 时， z ? i max ? 3. 解法四（运用模的性质）? z ? i ? z ? ? i ? 2 ?1 ? 3而当 z ? ?2i 时， z ? i ? 3.? z ? i max ? 3. 解法五（运用模的性质）? z ? i ? ( z ? i )( z ? i ) ? zz ? ( z ? z )i ? 12图 1－2－3? 5 ? 2I ( z), ( I ( z)表z的虚部） .又? I ( z ) ? 2,? z ? i max ? 9,? z ? i max ? 3. 第二讲 数学思维的反思性 一、概述 数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解，精细地检查思维过程，不盲从、不轻信。在解 决问题时能不断地验证所拟定的假设，获得独特的解决问题的方法，它和创造性思维存在着高度相关。 本讲重点加强学生思维的严密性的训练，培养他们的创造性思维。 二、思维训练实例 (1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误。 x 例 1 已知 f ( x ) ? ax ? ，若 ? 3 ? f (1) ? 0, 3 ? f (2) ? 6, 求 f (3) 的范围。 b 错误解法 由条件得2?? 3 ? a ? b ? 0 ? ? b 3 ? 2a ? ? 6 ? 2 ?②×2－①得 6 ? a ? 15 ①×2－②得 ?③ +④ 得8 b 2 ? ?? 3 3 3 10 b 43 10 43 ? 3a ? ? , 即 ? f (3) ? . 3 3 3 3 3① ②③ ④名师辅导 http://hexun.com/ictor821x ，其值是同时 b 受 a和b 制约的。当 a 取最大（小）值时， b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数 f ( x ) ? ax ?? f (1) ? a ? b ? ? b f (2) ? 2a ? ? 2 ?1 2 解得： a ? [2 f (2) ? f (1)], b ? [2 f (1) ? f (2)], 3 3 b 16 5 ? f (3) ? 3a ? ? f (2) ? f (1). 3 9 9 16 37 ? f (3) ? . 把 f (1) 和 f (2) 的范围代入得 3 3 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握 基础知识，才能反思性地看问题。例2 证明勾股定理：已知在 ?ABC 中， ?C ? 90? ，求证 c 2 ? a 2 ? b 2 . 错误证法 在 Rt ?ABC 中， sin A ?a b , cos A ? , 而 sin 2 A ? cos2 A ? 1 ， c ca b ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 1，即 c 2 ? a 2 ? b 2 . c c错误分析在现行的中学体系中， sin 2 A ? cos2 A ? 1 这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论，作为推理的前提条件，叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的，而且 不易发觉。因此，在学习中对所学的每个公式、法则、定理，既要熟悉它们的内容，又要熟悉它们的证 明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误，正是思维具有 反思性的体现。 (2) 验算的训练 验算是解题后对结果进行检验的过程。通过验算，可以检查解题过程的正确性，增强思维的反思性。 例3 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2n ? 1 ，求 a n . 错误解法 错误分析an ? S n ? S n?1 ? (2n ? 1) ? (2n?1 ? 1) ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1.显然，当 n ? 1 时， a1 ? S1 ? 3 ? 21?1 ? 1 ，错误原因，没有注意公式 a n ? S n ? S n?1 成立的条?S1 (n ? 1) 件是 n ? 2 (n ? N ).因此在运用 an ? S n ? S n?1 时，必须检验 n ? 1 时的情形。即： a n ? ? ?S n (n ? 2, n ? N )例4 实数 a 为何值时，圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 错误解法 得 将圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ?1 x 有两个公共点。 21 x 联立，消去 y ， 21 x 2 ? (2a ? ) x ? a 2 ? 1 ? 0 ( x ? 0). 2①名师辅导 http://hexun.com/ictor821?? ? 0 ? 1 ? 因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得 ?2a ? ? 0 2 ? 2 ? ?a ? 1 ? 0.解之，得 a ?17 . 8 错误分析 （如图 2－2－1；2－2－2）显然，当 a ? 0 时，圆与抛物线有两个公共点。y yOxOx要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。图 2－2－1图 2－2－2?? ? 0 当方程①有一正根、一负根时，得 ? 2 解之，得 ? 1 ? a ? 1. ?a ? 1 ? 0.17 1 或 ? 1 ? a ? 1 时，圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? x 有两个公共点。 8 2 1 思考题：实数 a 为何值时，圆 x 2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? x ， 2 （1） 有一个公共点； （2） 有三个公共点； （3） 有四个公共点； （4） 没有公共点。 养成验算的习惯，可以有效地增强思维反思性。如：在解无理方程、无理不等式；对数方程、对数 不等式时，由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化，这样就有可能产生增根或失 根，因此必须进行检验，舍弃增根，找回失根。 (3) 独立思考，敢于发表不同见解 受思维定势或别人提示的影响，解题时盲目附和，不能提出自己的看法，这不利于增强思维的反思 性。因此，在解决问题时，应积极地独立思考，敢于对题目解法发表自己的见解，这样才能增强思维的 反思性，从而培养创造性思维。 例5 30 支足球队进行淘汰赛，决出一个冠军，问需要安排多少场比赛？ 解 因为每场要淘汰 1 个队，30 个队要淘汰 29 个队才能决出一个冠军。因此应安排 29 场比赛。 思 路 分 析 传统的思维方法是： 30 支队比赛， 每次出两支队， 应有 15＋7＋4＋2＋1＝29 场比赛。 而上面这个解法没有盲目附和，考虑到每场比赛淘汰 1 个队，要淘汰 29 支队，那么必有 29 场比赛。因此，当 a ?例6 解方程 x 2 ? 2 x ? 3 ? cos x. 考察方程两端相应的函数 y ? ( x ? 1) 2 ? 2, y ? cos x ，它们的图象无交点。名师辅导 http://hexun.com/ictor821所以此方程无解。 例7 设 ?、? 是方程 x 2 ? 2kx ? k ? 6 ? 0 的两个实根，则 (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 的最小值是（ ）49 ; ( B) 8; (C ) 18; ( D)不存在 4 思路分析 本例只有一个答案正确，设了 3 个陷阱，很容易上当。 ( A) ?利用一元二次方程根与系数的关系易得： ? ? ? ? 2k ,?? ? k ? 6,?(? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 ? ? 2 ? 2? ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? (? ? ? ) 2 ? 2?? ? 2(? ? ? ) ? 2 3 49 ? 4(k ? ) 2 ? . 4 449 ，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如 4 果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。有的学生一看到 ?? 原方程有两个实根 ?、? ，? ? ? 4k 2 ? 4(k ? 6) ? 0, ? k ? ?2 或 k ? 3.当 k ? 3 时， (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 的最小值是 8；当 k ? ?2 时， (? ? 1) 2 ? ( ? ? 1) 2 的最小值是 18； 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。第三讲数学思维的严密性二、概述 在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运 算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特 点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要 表现在以下几个方面： 概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概 念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。 判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判 1 断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。例如， “函数 y ? ( ) ? x 是一个减函 3 数”就是一个错误判断。 推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证 都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。 1 例如，解不等式 x ? . x 1 ?x ? , ? x 2 ? 1, 解 x名师辅导 http://hexun.com/ictor821? x ? 1, 或 x ? ?1. 这个推理是错误的。在由 x ?1 推导 x 2 ? 1 时，没有讨论 x 的正、负，理由不 x充分，所以出错。 二、思维训练实例 思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。 (1) 有关概念的训练 概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。 “正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。 ” 《中 学数学教学大纲》 （试行草案） 例1、 错误解法 不等式log ( x 2 ? 2) (3x 2 ? 2 x ? 4) ? log ( x 2 ? 2 ) ( x 2 ? 3x ? 2).? x 2 ? 2 ? 1,?3x 2 ? 2x ? 4 ? x 2 ? 3x ? 2,? 2 x 2 ? x ? 6 ? 0, ? x ? 3 或x ? ?2. 23 ） ，说明解法错误。原因 2 是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密 性。错误分析当 x ? 2 时，真数 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 且 x ? 2 在所求的范围内（因 2 ?正确解法? x2 ? 2 ? 1?3x 2 ? 2 x ? 4 ? 0 ? ? ? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ?3x 2 ? 2 x ? 4 ? x 2 ? 3x ? 2 ?? x ? 2或x ? ?2.例2、 错误解法? 1 ? 13 1 ? 13 或x ? ?x ? 3 3 ? ? ? ? x ? 2或x ? 1 ? 3 ? x ? 或x ? ?2 ? 2 ?求过点 (0,1) 的直线，使它与抛物线 y 2 ? 2 x 仅有一个交点。设所求的过点 (0,1) 的直线为 y ? kx ? 1 ，则它与抛物线的交点为? y ? kx ? 1 ，消去 y 得： (kx ? 1) 2 ? 2x ? 0. ? 2 ? y ? 2x整理得k 2 x 2 ? (2k ? 2) x ? 1 ? 0. ? 直线与抛物线仅有一个交点，1 1 . ?所求直线为 y ? x ? 1. 2 2 此处解法共有三处错误：? ? ? 0, 解得 k ?错误分析第一，设所求直线为 y ? kx ? 1 时，没有考虑 k ? 0 与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜 率是存在的，且不为零，这是不严密的。名师辅导 http://hexun.com/ictor821第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的 情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。 第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数 不能为零，即 k ? 0, 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。 正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 x 轴，因为过点 (0,1) ，所以 x ? 0, 即 y 轴，它正好与抛物线 y 2 ? 2 x 相切。 当所求直线斜率为零时，直线为 y ? 1, 平行 x 轴，它正好与抛物线 y 2 ? 2 x 只有一个交点。 设所求的过点 (0,1) 的直线为 y ? kx ? 1 (k ? 0) 则? y ? kx ? 1 ，? ? 2 ? y ? 2x1 1 k 2 x 2 ? (2k ? 2) x ? 1 ? 0. 令 ? ? 0, 解得 k ? . ?所求直线为 y ? x ? 1. 2 2综上，满足条件的直线为： 1 y ? 1, x ? 0, y ? x ? 1. 2 (2) 判断的训练 造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。 ①注意定理、公式成立的条件 数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。 例3、 错误解法 实数 m ，使方程 x 2 ? (m ? 4i) x ? 1 ? 2mi ? 0 至少有一个实根。? 方程至少有一个实根，? ? ? (m ? 4i) 2 ? 4(1 ? 2mi) ? m2 ? 20 ? 0.? m ? 2 5, 或 m ? ?2 5.错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定 成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此 题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。 正确解法 设 a 是方程的实数根，则a 2 ? (m ? 4i)a ? 1 ? 2m i ? 0, ? a 2 ? m a ? 1 ? (4a ? 2m)i ? 0.由于 a、m 都是实数，? ?a 2 ? ma ? 1 ? 0 ? ?4 a ? 2 m ? 0m ? ?2.解得 例4已知双曲线的右准线为 x ? 4 ，右焦点 F (10,0) ,离心率 e ? 2 ,求双曲线方程。名师辅导 http://hexun.com/ictor821错解 1?x ? a2 ? 4, c ? 10,? a 2 ? 40,? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 60. c故所求的双曲线方程为x2 y2 ? ? 1. 40 60错解 2?e ?由焦点 F (10,0) 知 c ? 10,c ? 2,? a ? 5, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 75. a 故所求的双曲线方程为x2 y2 ? ? 1. 25 75错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。 由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。 正解 1 设 P( x, y) 为双曲线上任意一点， 因为双曲线的右准线为 x ? 4 ， 右焦点 F (10,0) ， 离心率 e ? 2 ，由双曲线的定义知( x ? 10 ) 2 ? y 2 ? 2. | x?4|整理得 正解 2( x ? 2) 2 y 2 ? ? 1. 16 48依题意，设双曲线的中心为 (m,0)则?a2 ? ?m?4 c ? ? ?c ? m ? 10 ?c ? ? 2. ? ?a解得?a ? 4 ? ?c ? 8 ? m ? 2. ?所以b 2 ? c 2 ? a 2 ? 64 ? 16 ? 48,( x ? 2) 2 y 2 ? ? 1. 16 48故所求双曲线方程为②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用 我们知道： 如果 A 成立，那么 B 成立，即 A ? B ，则称 A 是 B 的充分条件。 如果 B 成立，那么 A 成立，即 B ? A ，则称 A 是 B 的必要条件。 如果 A ? B ，则称 A 是 B 的充分必要条件。 充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充名师辅导 http://hexun.com/ictor821分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。 例5 错误解法 解不等式 x ? 1 ? x ? 3. 要使原不等式成立，只需 解得 3 ? x ? 5.?x ? 1 ? 0 ? , ?x ? 3 ? 0 ? x ? 1 ? ( x ? 3) 2 ?错误分析?A ? 0 ?A ? 0 ? 不等式 A ? B 成立的充分必要条件是： ? B ? 0 或 ? ?B ? 0 ?A ? B2 ??x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ? 原不等式的解法只考虑了一种情况 ? x ? 3 ? 0 ，而忽视了另一种情况 ? ，所考虑的情况只是 x ? 3 ? 0 ? ? x ? 1 ? ( x ? 3) 2 ?原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的实质，是把充分条件当成了充分必要条 件。 正确解法 要使原不等式成立，则?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 ? 或? ?x ? 3 ? 0 ? x ? 1 ? ( x ? 3) 2 ? x ? 3 ? 0 ? ? 3 ? x ? 5 ，或 1 ? x ? 3.y? 原不等式的解集为 {x | 1 ? x ? 5}例 6（轨迹问题）求与 y 轴相切于右侧，并与 ⊙ C : x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 也相切的圆的圆心 的轨迹方程。 错误解法 如图 3－2－1 所示， 已知⊙C 的方程为 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9.M?P N ? C(3,0)Ox图 3－2－1设点 P( x, y)(x ? 0) 为所求轨迹上任意一点，并且⊙P 与 y 轴相切于 M 点， 与⊙C 相切于 N 点。根据已知条件得| CP |?| PM | ?3 ，即 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? x ? 3.化简得y 2 ? 12x ( x ? 0).错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求 轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所 求的方程。 从动圆与已知圆内切， 可以发现以 x 轴正半轴上任一点为圆心， 此点到原点的距离为半径 （不 等 于 3 ）的圆也符合条件，所以 y ? 0 ( x ? 0且x ? 3) 也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹 方 程 是名师辅导 http://hexun.com/ictor821y 2 ? 12x ( x ? 0)和y ? 0 ( x ? 0且x ? 3) 。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。 ③防止以偏概全的错误 以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现 出思维的不严密性。 例7 设等比数列 ?an ?的全 n 项和为 S n .若 S 3 ? S 6 ? 2S 9 ，求数列的公比 q .错误解法? S3 ? S6 ? 2S9 ,a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a1 (1 ? q 9 ) ? ? ? 2? 1? q 1? q 1? q整理得q 3 (2q 6 ? q 3 ? 1 ）＝ 0.由q ? 0得方程 2q 6 ? q 3 ? 1 ? 0. ? (2q 3 ? 1)(q 3 ? 1) ? 0, ? q??34 或 q ?1 2错误分析a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a1 (1 ? q 9 ) 在错解中，由 ? ? 2? 1? q 1? q 1? q整理得 q 3 (2q 6 ? q 3 ? 1 ）＝ 0. 时，应有 a1 ? 0 和 q ? 1. 在等比数列中， a1 ? 0 是显然的，但公比 q 完全可能为 1，因此，在解题时应先讨论公比 q ? 1 的情况，再在 q ? 1 的情况下，对式子进行整理变形。 正确解法 若 q ? 1 ，则有 S3 ? 3a1 , S 6 ? 6a1 , S9 ? 9a1 .但 a1 ? 0 ，即得 S3 ? S6 ? 2S9 , 与题设矛盾，故 q ? 1 . 又依题意 可得S3 ? S6 ? 2S9 ,a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) ? ? 2? 1 1? q 1? q 1? q整理得q 3 (2q 6 ? q 3 ? 1 ）＝ 0. 即 (2q 3 ? 1)(q 3 ? 1) ? 0,因为 q ? 1 ，所以 q 3 ? 1 ? 0, 所以 2q 3 ? 1 ? 0. 所以 说明q??34 . 2此题为 1996 年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分名师辅导 http://hexun.com/ictor821标准而痛失 2 分。 ④避免直观代替论证 我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。 但是， 如果完全以图形的直观联系为依据来进行推理， 这就会使思维出现不严密现象。 例 8 （如图 3－2－2） ， 具有公共 y 轴的两个直角坐标平面 ? 和 ? 所成的二面角 ? ? y轴－? 等于 60 ? . 已知 ? 内的曲线 C ? 的方程是 y 2 ? 2 px? ( p ? 0) ，求曲线 C ? 在 ? 内的射影的曲线方程。 错误解法 依题意，可知曲线 C ? 是抛物线， p 在 ? 内的焦点坐标是 F ?( ,0), p ? 0. 2y F?O ??x?因为二面角 ? ? y轴－? 等于 60 ? ， 且 x?轴 ? y轴，x轴 ? y轴， 所以 ?xo x ? ? 60?.x图 3 － 2 －2?设焦点 F ? 在 ? 内的射影是 F ( x, y) ，那么， F 位于 x 轴上， 从而 y ? 0, ?F ?OF ? 60?, ?F ?FO ? 90?, 所以 OF ? OF ? ? cos 60? ? 口向右，顶点在原点。 所以曲线 C ? 在 ? 内的射影的曲线方程是 y 2 ? px. 错误分析p 1 p p ? ? . 所以点 F ( ,0) 是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开 2 2 4 4上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为 F是射影(曲线）的焦点，其次，未经证明默认C ? 在?内的射影（曲线）是一 条抛物线。正确解法在 ? 内，设点 M ( x?, y ?) 是曲线上任意一点（如图 3－2－3）过点 M 作 MN ? ? ，垂足为 N ， 过 N 作 NH ? y 轴，垂足为 H . 连接 MH ， 则 MH ? y 轴。所以 ?MHN 是二面角y F?M O? N H?x?? ? y轴－? 的平面角，依题意， ?MHN ? 60? .在 Rt ?MNH 中, HN ? HM ? cos 60? ? 又知 HM // x ? 轴（或 M 与 O 重合），HN // x 轴（或 H 与 O 重合），设 N ( x, y) ，x?1 x ?. 2图 3 － 2 －3则1 ? ? x ? x? 2 ? ? ? y ? y?? x? ? 2 x ?? ? y ? ? y.名师辅导 http://hexun.com/ictor821因为点 M ( x?, y ?) 在曲线 y 2 ? 2 px? ( p ? 0) 上，所以 y 2 ? 2 p(2 x). 即所求射影的方程为y 2 ? 4 px( p ? 0).(3) 推理的训练 数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数 学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系 列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等） ， 做到思考缜密、推理严密。 例 9 设椭圆的中心是坐标原点，长轴 x 在轴上，离心率 e ?3 3 ，已知点 P(0, ) 到这个椭圆上的最 2 2远距离是 7 ，求这个椭圆的方程。 错误解法x2 y2 依题意可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b则e2 ?c2 a2 ? b2 b2 3 ? ? 1 ? ? ， a2 a2 a2 4a ? 2b.所以b2 1 ? ，即 a2 4设椭圆上的点 ( x, y ) 到点 P 的距离为 d ， 则3 d 2 ? x2 ? ( y ? )2 2y2 9 ) ? y 2 ? 3y ? 2 4 b 1 2 ? ?3( y ? ) ? 4b 2 ? 3. 2 ? a 2 (1 ?所以当 y ? ? 所以1 时， d 2 有最大值，从而 d 也有最大值。 24b 2 ?3 ? ( 7 ) 2 ，由此解得： b 2 ? 1, a 2 ? 4.x2 ? y 2 ? 1. 4于是所求椭圆的方程为错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。 1 由当 y ? ? 时， d 2 有最大值，这步推理是错误的，没有考虑 y 到的取值范围。事实上，由于点 ( x, y ) 在 2 椭圆上，所以有 ? b ? y ? b ，因此在求 d 2 的最大值时，应分类讨论。即：名师辅导 http://hexun.com/ictor8211 ，则当 y ? ?b 时， d 2 （从而 d ）有最大值。 2 3 3 1 1 于是 ( 7 ) 2 ? (b ? ) 2 , 从而解得 b ? 7 ? ? , 与b ? 矛盾。 2 2 2 2 1 1 所以必有 b ? ，此时当 y ? ? 时， d 2 （从而 d ）有最大值， 2 2若b ?所以 4b 2 ?3 ? ( 7 ) 2 ，解得 b 2 ? 1, a 2 ? 4. 于是所求椭圆的方程为 例 10 错解 1 求y?x2 ? y 2 ? 1. 42 8 ? 的最小值 2 sin x cos 2 xy?2 8 2 8 8 ? ? 2? ? ? 2 2 2 2 sin x cos x sin x cos x | sin x cos x |16 ? 16,. ? y min ? 16. | sin 2 x |?2 8 ? sin 2 x) ? ( ? cos 2 x) ? 1 ? 2 2 ? 2 8 ? 1 ? ?1 ? 6 2 . 2 sin x cos 2 x 2 8 且 | sin 2 x |? 1. 错误分析 在解法 1 中， y ? 16 的充要条件是 2 ? sin x cos 2 x 1 即 | tgx |? 且 | sin x |? 1. 这是自相矛盾的。? y min ? 16. 2错解 2y?(在解法 2 中， y ? ?1 ? 6 2 的充要条件是2 8 ? sin 2 x且 ? cos 2 x，即 sin 2 x ? 2， cos 2 x ? 2 2 , 这是不可能的。 2 sin x cos 2 x正确解法 1 y ? 2 csc2 x ? 8 sec2 x? 2(1 ? ctg 2 x) ? 8(1 ? tg 2 x) ? 10 ? 2(ctg 2 x ? 4tg 2 x) ? 10 ? 2 ? 2 ctg 2 x ? 4tg 2 x ? 18.其中，当 ctg 2 x ? 4tg 2 x，即ctg 2 x ? 2时，y ? 18. ? y min ? 18. 正 确 解 法 2 取正常数 k ，易得 2 8 y ? ( 2 ? k sin 2 x) ? ( ? k cos 2 x) ? k sin x cos 2 x? 2 ? 2k ? 2 ? 8k ? k ? 6 ? 2k ? k.其中“ ? ”取“＝”的充要条件是名师辅导 http://hexun.com/ictor8212 8 1 ? k sin 2 x且 ? k cos 2 x，即 tg 2 x ? 且k ? 18. 2 2 2 sin x cos x 1 因此，当 tg 2 x ? 时， y ? 6 ? 2k ? k ? 18, ? y min ? 18. 2第四讲数学思维的开拓性一、概述 数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出 多种不同的解法，即一题多解。 “数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意 了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主 要是靠一题多解来完成的。 通过用不同的方法解决同一道数学题， 既可以开拓解题思路， 巩固所学知识； 又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和 创造能力。 在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的 简捷解法。 数学思维的开拓性主要体现在： (1) 一题的多种解法 例如 已知复数 z 满足 | z |? 1 ，求 | z ? i | 的最大值。我们可以考虑用下面几种方法来解决： ①运用复数的代数形式； ②运用复数的三角形式； ③运用复数的几何意义； ④运用复数模的性质（三角不等式） || z1 | ? | z 2 ||?| z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 | ； ⑤运用复数的模与共轭复数的关系 | z |2 ? z ? z ； ⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆 | z |? 1 与 | z ? i |? r 有公共点时， r 的最大 值。 (2) 一题的多种解释 1 例如，函数式 y ? ax 2 可以有以下几种解释： 2 1 ①可以看成自由落体公式 s ? gt 2 . 2 1 2 ②可以看成动能公式 E ? mv . 2 1 ③可以看成热量公式 Q ? RI 2 . 2 又如“ 1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“ 1 ”可以变换为： x log a a, , sin 2 x ? cos 2 x, (log a b) ? (log b a), sec 2 x ? tg 2 x ，等等。 x 1． 思维训练实例名师辅导 http://hexun.com/ictor821例1 已知 a 2 ? b 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? 1. 求证： ax ? by ? 1. 用比较法。本题只要证 1 ? (ax ? by) ? 0. 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相1 (1 ? 1) ? (ax ? by ) 2分析 1加等于 2 便不难解决。 证法 1 ?1 ? (ax ? by ) ??1 2 (a ? b 2 ? x 2 ? y 2 ) ? (ax ? by ) 21 ? [(a 2 ? 2ax ? x 2 ) ? (b 2 ? 2by ? y 2 )] 2 1 ? [(a ? x) 2 ? (b ? y ) 2 ] ? 0, 2所以ax ? by ? 1.分析 2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结 论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆 ， ．．．． 并注意书写规范。 证法 2 要证 只需证 即 因为 所以只需证 即ax ? by ? 1. 1 ? (ax ? by) ? 0, 2 ? 2(ax ? by) ? 0,ly M? d O xa 2 ? b 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? 1. (a 2 ? b 2 ? x 2 ? y 2 ) ? 2(ax ? by) ? 0, (a ? x) 2 ? (b ? y) 2 ? 0.因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。 分析 3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进 行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法） 证法 3 即a2 ? x2 b2 ? y 2 a2 ? x2 b2 ? y 2 ? ax ? , by ? . ? ax ? by ? ? ? 1. 2 2 2 2ax ? by ? 1.图 4－2－1分析 4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于 1 的形式，符合三角函数同角关系中的平方 关系条件， 具有进行三角代换的可能， 从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系， 给证明带来方便。 证法 4 ? a 2 ? b 2 ? 1, x 2 ? y 2 ? 1, ? 可设? a ? sin ? , b ? cos?. x ? sin ? , y ? cos ?名师辅导 http://hexun.com/ictor821? ax ? by ? sin ? sin ? ? cos? cos ? ? cos(? ? ? ) ? 1,分析 5 数形结合法：由于条件 x 2 ? y 2 ? 1 可看作是以原点为圆心，半径为 1 的单位圆，而ax ? by ?证法 5ax ? by a2 ? b2. 联系到点到直线距离公式，可得下面证法。（如图 4-2-1）因为直线 l : ax ? by ? 0 经过圆 x 2 ? y 2 ? 1 的圆心 O，所以圆上任意一点 M ( x, y) 到直线 ax ? by ? 0 的距离都小于或等于圆半径 1， 即d?| ax ? by | a2 ? b2?| ax ? by |? 1 ? ax ? by ? 1.简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法 4、证法 5 的方 法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需 要适当进行选择。 例2 如果 ( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z) ? 0, 求证： x、y、z 成等差数列。 要证 x、y、z ，必须有 x ? y ? y ? z 成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接分析 1的想法是展开已知条件去寻找转换。 证法 1 ? ( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z) ? 0,? z 2 ? 2 xz ? x 2 ? 4 xy ? 4 xz ? 4 y 2 ? 4 yz ? 0, ( x ? z ) 2 ? 2 ? 2 y ( x ? z ) ? (2 y ) 2 ? 0, ? ( x ? z ? 2 y ) 2 ? 0, x ? z ? 2 y ? 0,x ? y ? y ? z ，即 x、y、 z 成等差数列。故 分析 2由于已知条件具有 x ? y, y ? z , z ? x 轮换对称特点， 此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。 证法 2 设 x ? y ? a, y ? z ? b, 则 x ? z ? a ? b.于是，已知条件可化为：(a ? b) 2 ? 4ab ? 0 ? (a ? b) 2 ? 0 ? a ? b ? x ? y ? y ? z.所以 x、y、z 成等差数列。 分析 3 已知条件呈现二次方程判别式 ? ? b 2 ? 4ac 的结构特点引人注目，提供了构造一个适合上述名师辅导 http://hexun.com/ictor821条件的二次方程的求解的试探的机会。 证法 3 当 x ? y ? 0 时，由已知条件知 z ? x ? 0,? x ? y ? z, 即 x、y、z 成等差数列。当 x ? y ? 0 时，关于 t 的一元二次方程： ( x ? y)t 2 ? ( z ? x)t ? ( y ? z) ? 0, 其判别式 ? ? ( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z) ? 0, 故方程有等根，显然 t ＝1 为方程的一个根，从而方程的两根均 为 1， 由韦达定理知t1 ? t 2 ? y?z ? 1 ? x ? y ? y ? z. 即 x? yx、y、 z 成等差数列。简评：证法 1 是常用方法，略嫌呆板，但稳妥可靠。证法 2 简单明了，是最好的解法，其换元的技 巧有较大的参考价值。证法 3 引入辅助方程的方法，技巧性强，给人以新鲜的感受和启发。 例3 已知 x ? y ? 1 ，求 x 2 ? y 2 的最小值。 分析 1 虽然所求函数的结构式具有两个字母 x、 y ，但已知条件恰有 x、 y 的关系式，可用代入法消掉一个字母，从而转换为普通的二次函数求最值问题。 解法 1 ? x ? y ? 1, ? y ? 1 ? x. 设 z ? x 2 ? y 2 ，则 z ? x 2 ? (1 ? x) 2 ? 2x 2 ? 2 x ? 1.? 二次项系数为 2 ? 0, 故 z 有最小值。2 ?2 1 4 ? 2 ? 1－（－2） 1 ? 时， z 最小值＝ ＝ . ? 当x ? ? 2? 2 2 4? 2 2?分析 21 x 2 ? y 2 的最小值为 . 2已知的一次式 x ? y ? 1 两边平方后与所求的二次式 x 2 ? y 2 有密切关联， 于是所求的最小值可由等式转换成不等式而求得。 解法 2 ? x ? y ? 1,? ( x ? y) 2 ? 1, 即 x 2 ? y 2 ? 1 ? 2 xy.?即2xy ? x 2 ? y 2 ,? x 2 ? y 2 ? 1 ? ( x 2 ? y 2 ).x2 ? y2 ?1 1 1 , 当且仅当 x ? y ? 时取等号。? x 2 ? y 2 的最小值为 . 2 2 2 分析 3 配方法是解决求最值问题的一种常用手段， 利用已知条件结合所求式子， 配方后得两个实数 平方和的形式，从而达到求最值的目的。解法 3设 z ? x2 ? y2.1 1 1 1 ? x ? y ? 1, ? z ? x 2 ? y 2 ? x ? y ? 1 ? ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ? . 2 2 2 2名师辅导 http://hexun.com/ictor821?当x ? y ?1 1 1 时， z 最小＝ . 即 x 2 ? y 2 的最小值为 . 2 2 2 因为已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点，故可得到用解析法求解的启y分析 4 发。 解法 4如图 4－2－2， x ? y ? 1 表示直线 l , x 2 ? y 2l表示原点到直线 l 上的点 P( x, y) 的距离的平方。 显然其中以原点到直线 l 的距离最短。 此时， d ?21P( x, y)O 1 x| 0 ? 0 ?1| 22?2 2 , 即 ( x 2 ? y 2 ) 最小＝ . 2 21 所以 x ? y 的最小值为 . 2图 4－2－2注如果设 x 2 ? y 2 ? z, 则问题还可转化为直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? z 有交点时，半径 z 的最小值。 简评 几种解法都有特点和代表性。解法 1 是基本方法，解法 2、3、4 都紧紧地抓住题设条件的特点， 与相关知识联系起来，所以具有灵巧简捷的优点，特别是解法 4，形象直观，值得效仿。 z ? R. 求证： | z |? 1. 例4 设 z ? R , 1? z2 z 分析 1 由已知条件 为实数这一特点， 可提供设实系数二次方程的可能， 在该二次方程有两个 1? z2 虚根的条件下，它们是一对共轭虚根，运用韦达定理可以探求证题途径。 z ? a(a ? R), 当 a ? 0 时，可得 z ? 0 与 z ? R 条件不合。 证法 1 设 1? z2? a ? 0. 于是有az 2 ? z ? a ? 0.? z ? R, ?该方程有一对共轭虚根，设为 z1 , z 2 ，于是 z1 ? z 2 , ? | z1 | 2 ?| z 2 |2 .又由韦达定理知 z1 ? z 2 ? 分析 2a ? 1, ? z1 ? z1 ? z 2 ? z 2 ?| z1 | 2 ?| z 2 | 2 ? 1. ? | z |? 1. a由于实数的共轭复数仍然是这个实数，利用这一关系可以建立复数方程，注意到 z z ?| z | 2 这一重要性质，即可求出 | z | 的值。 证法 2 则有 即 但 而z ? a(a ? R), 当 a ? 0 时，可得 z ? 0 与 z ? R 条件不合，? a ? 0. 1? z2 z z z a? ? . ，? a ? a , ? 2 2 1? z 1? z 1? z 2设z(1 ? z 2 ) ? z (1 ? z 2 ) ? z ? z ( z ? z ) ? z ? z( z ? z ). z ? z ?| z |2 , ? z ? z? | z |2 ? z ? z? | z |2 , ? ( z ? z)(1? | z |2 ) ? 0. z ? z ? R, ? | z |2 ? 1. 即 | z |? 1.名师辅导 http://hexun.com/ictor821分析 3 因为实数的倒数仍为实数，若对原式取倒数，可变换化简为易于进行运算的形式。再运用 共轭复数的性质，建立复数方程，具有更加简捷的特点。 证法 31 1 z 1? z2 ? z ? R. ? R , ? ? R, 即 z ? ? z ? 2 z z?z z 1? z从而必有 z ? z ? 1. ? | z |? 1. 简评 设出复数的代数形式或三角形式，代入已知条件化简求证，一般也能够证明，它是解决复数 问题的基本方法。但这些方法通常运算量大，较繁。现在的三种证法都应用复数的性质去证，技巧性较 强，思路都建立在方程的观点上，这是需要体会的关键之处。证法 3 利用倒数的变换，十分巧妙是最好 的方法。 例5 由圆 x 2 ? y 2 ? 9 外一点 P(5,12) 引圆的割线交圆于 A、B 两点，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程。分析 1 （直接法）根据题设条件列出几何等式，运用解析几何基本公式转化为代数等式，从而求 出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质，圆心和弦中点的连线垂直于弦，可得下面解 法。 解法 1 如图 4－2－3，设弦 AB 的中点 M 的坐标为 M ( x, y) ，连接 OP 、OM ，则 OM ? AB ，在 ?OMP 中，由两点间的距离公式和勾股定理有x 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? ( y ? 12) 2 ? 169.整理，得x 2 ? y 2 ? 5x ? 12y ? 0. 其中 ? 3 ? x ? 3.y P分析 2 （定义法）根据题设条件，判断并确定轨迹的 曲线类型，运用待定系数法求出曲线方程。 解法 2 因为 M 是 AB 的中点，所以 OM ? AB ， 5 所以点 M 的轨迹是以 | OP | 为直径的圆，圆心为 ( ,6) , 2 | OP | 13 ? ,? 该圆的方程为： 半径为 2 2 5 13 ( x ? ) 2 ? ( y ? 6) 2 ? ( ) 2 2 2 化简，得A O B M xx 2 ? y 2 ? 5x ? 12y ? 0. 其中 ? 3 ? x ? 3.图 4 － 2－3 M 可看作直线 OM 与割线 PM 分析 3 （交轨法） 将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。 因为动点 的交点，而由于它们的垂直关系，从而获得解法。解法 3设过 P 点的割线的斜率为 k , 则过 P 点的割线方程为： y ? 12 ? k ( x ? 5) .1 ? OM ? AB 且过原点，? OM 的方程为 y ? ? x. 这两条直线的交点就是 M 点的轨迹。两方程相 k乘消去 k , 化简，得： x 2 ? y 2 ? 5x ? 12y ? 0. 其中 ? 3 ? x ? 3. 分析 4 （参数法） 将动点坐标表示成某一中间变量 （参数） 的函数， 再设法消去参数。 由于动点 M 随直线的斜率变化而发生变化，所以动点 M 的坐标是直线斜率的函数，从而可得如下解法。 解法 4 设过 P 点的割线方程为： y ? 12 ? k ( x ? 5)名师辅导 http://hexun.com/ictor821它与圆 x 2 ? y 2 ? 9 的两个交点为 A、B ， AB 的中点为 M . 解方程组? y ? k ( x ? 5) ? 12 ? 2 2 ? x ? y ? 9,利用韦达定理和中点坐标公式，可求得 M 点的轨迹方程为：x 2 ? y 2 ? 5x ? 12y ? 0. 其中 ? 3 ? x ? 3.分析 5 （代点法）根据曲线和方程的对应关系：点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求，代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点 M 的坐标 ( x, y ) 与两交点 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 通过中点公A、B 构成 4 点共线的和谐关系，根据它们的斜率相等，可求得轨迹方程。 式联系起来，又点 P、M、解法 5设 M ( x, y), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 x1 ? x2 ? 2 x, y1 ? y 2 ? 2 y.2 2 ? x12 ? y12 ? 9, x2 ? y2 ? 9.两式相减，整理，得 所以( x2 ? x1 )(x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( y1 ? y2 ) ? 0.y 2 ? y1 x ? x2 x ?? 1 ?? , x2 ? x1 y1 ? y 2 y12 ? y 12 ? y x ,? ?? , 5? x 5? x y即为 AB 的斜率，而 AB 对斜率又可表示为 化简并整理，得x 2 ? y 2 ? 5x ? 12y ? 0. 其中 ? 3 ? x ? 3.简评 上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法 1、2、3 局限于曲线是圆的条件，而解 法 4、5 适用于一般的过定点 P 且与二次曲线 C 交于 A、B 两点，求 AB 中点 M 的轨迹问题。具有普遍意 义，值得重视。对于解法 5 通常利用 k PM ? k AB 可较简捷地求出轨迹方程，比解法 4 计算量要小，要简捷 得多。二、《解密数学思维的内核》数学解题的思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全 过程的思维活动。 对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计 划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。 第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策名师辅导 http://hexun.com/ictor821略的选择和调整过程。 第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过 程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程 的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。数学解题的技巧为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一 些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题， 以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接 化等。一、 熟悉化策略所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解 过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。 一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一 道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目 的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。 常用的途径有： （一）、充分联想回忆基本知识和题型： 按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和 题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。 （二）、全方位、多角度分析题意： 对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调 整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。 （三）恰当构造辅助元素： 数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间，也存在着 多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论（或条件与问题） 的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。 数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法， 构造多项式，构造方程（组），构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构 造数学模型等等。二、简单化策略所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或 几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。 简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。 因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。 解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知 条件，恰当分解结论等。 1、寻求中间环节，挖掘隐含条件： 在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去 中间环节而构成的。名师辅导 http://hexun.com/ictor821因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系 列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。 2、分类考察讨论： 在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识别的可能情形。 对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。 3、简单化已知条件： 有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时 撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。 4、恰当分解结论： 有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨猜想一 下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。三、直观化策略：所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象 鲜明、 直观具体的问题， 以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系， 找到原题的解题思路。 （一）、图表直观： 有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性， 使正常的思维难以进行到底。 对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂关系条 理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。 （二）、图形直观： 有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直 观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。 （三）、图象直观： 不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观性，常常能以简驭繁，获 取简便，巧妙的解法。四、特殊化策略所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先 考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解 答原题的方向或途径。五、一般化策略所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把 特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题。六、整体化策略所谓整体化策略， 就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时， 要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造， 以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。七、间接化策略所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依 据的题目时，要随时改变思维方向，从结论（或问题）的反面进行思考，以便化难为易解出原题。名师辅导 http://hexun.com/ictor821数学解题思维过程数学解题的思维过程是指从理解问题开始，从经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的 全过程的思维活动。 在数学中，通常可将解题过程分为四个阶段： 第一阶段是审题。包括认清习题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中 找出需要的知识信息，建立习题的条件、结论与知识和经验之间的联系，为解题作好知识上的准备。 第二阶段是寻求解题途径。有目的地进行各种组合的试验，尽可能将习题化为已知类型，选择最优 解法，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划。 第三阶段是实施计划。 将计划的所有细节实际地付诸实现， 通过与已知条件所选择的根据作对比后 修正计划，然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果。 第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后，检查并分析结果。探讨实现解题的各种方法，研究特 殊情况与局部情况，找出最重要的知识。将新知识和经验加以整理使之系统化。 所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程， 是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用 和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维 活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 通过以下探索途径来提高解题能力： （1）研究问题的条件时，在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思考。因为这意味着 你对题的整个情境有了清晰的具体的了解。 （2）清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的，即已知的，哪些是所求 的，即未知的。 （3）深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义，从中找出习题的重要元素，要图中标 出（用直观符号）已知元素和未知元素，并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位Z，看看 能否有重要发现。 （4）尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点，联想以前是否遇到过类似题目。 （5）仔细考虑题意是否有其他不同理解。 题目的条件有无多余的、 互相矛盾的内容？是否还缺少条件？ （6）认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他元素有联系。 （7）如果在解题中发现有你熟悉的一般数学方法，就尽可能用这种方法的语言表示题的元素，以利于 解题思路的展开。 以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”，找到解题的起步点。在制定计划寻求解法 阶段，最好利用下面这套探索方法： （1）设法将题目与你会解的某一类题联系起来。或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件的解题方 法。 （2）记住：题的目标是寻求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方法去解题。 （3）解了几步后可将所得的局部结果与问题的条件、结论作比较。用这种办法检查解题途径是否合理， 以便及时进行修正或调整。 （4）尝试能否局部地改变题目，换种方法叙述条件，故意简化题的条件（也就是编拟条件简化了的同 类题）再求其解。再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与题有关的概念用它 的定义加以替代。 （5）分解条件，尽可能将分成部分重新组合，扩大骒条件的理解。 （6）尝试将题分解成一串辅助问题，依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解。名师辅导 http://hexun.com/ictor821（7）研究题的某些部分的极限情况，考察这样会对基本目标产生什么影响。 （8）改变题的一部分，看对其他部分有何影响；依据上面的“影响”改变题的某些部分所出现的结果， 尝试能否对题的目标作出一个“展望”。 （9）万一用尽方法还是解不出来，你就从课本中或科普数学小册子中找一个同类题，研究分析其现成 答案，从中找出解题的有益启示。 ************************************************************* 附录： 波利亚给出了详细的“怎样解题”表，在这张表中启发你找到解题途径的一连串问句与建议，来表示思 维过程的正确搜索程序，其解题思想的核心在于不断地变换问题，连续地简化问题，把数学解题看成为 问题化归的过程，即最终归结为熟悉的基本问题加以解决。怎样解题G . 波 利 亚 第一：你必须弄清问题 弄清问题： 未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或 者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？把条件的各部分分开。你能否把它们写下来？ 第二：找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题，你 应该最终得出一个求解的计划。 拟订计划： 你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？ 你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？ 看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。 这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。 你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了利用它， 你是否应该引入某些 辅助元素？ 你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？ 回到定义去。 如果你不能解决所提出的问题， 可先解决一个与此有关的问题。 你能不能想出一个更容易着手的有 关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？ 仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能 从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能 改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？ 你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要 的概念？ 第三：实现你的计划 实现计划： 实现你的求解计划，检验每一步骤。 你能否清楚地看出这一步骤是否正确的？你能否证明这一步骤是正确的？ 第四：验证所得的解 回顾：名师辅导 http://hexun.com/ictor821你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出来？你能不能把这 个结果或方法用于其它的问题？数学解题方法 一、换元法“换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化， 变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。 在解题过程中，把题中某一式子如 f(x)，作为新的变量 y 或者把题中某一变量如 x，用新变量 t 的 式子如 g(t)替换，即通过令 f(x)=y 或 x=g(t)进行变量代换，得到结构简单便于求解的新解题方法，通 常称为换元法或变量代换法。 用换元法解题， 关键在于根据问题的结构特征， 选择能以简驭繁， 化难为易的代换 f(x)=y 或 x=g(t)。 就换元的具体形式而论，是多种多样的，常用的有有理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换， 三角式代换，反三角式代换，复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。 例如，用于求解代数问题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）全面考虑三角函数 的定义域、值域和有关的公式、性质；（2）力求减少变量的个数，使问题结构简单化；（3）便于借助 已知三角公式，建立变量间的内在联系。只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。 换元法是一种重要的数学方法，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，恒等式、条件等式或不 等式的证明，方程、方程组、不等式、不等式组或混合组的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的 推求，以及解析几何中的坐标替换，普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的 应用。二、消元法对于含有多个变数的问题， 有时可以利用题设条件和某些已知恒等式 （代数恒等式或三角恒等式） ， 通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法。 消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程等问题中，也有着重要 的应用。 用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合适的消元方法。三、待定系数法按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有若干尚待 确定的未知系数的值，从而得到问题的解。这种解题方法，通常称为待定系数法；其中尚待确定的未知 系数，称为待定系数。 确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。 （一）比较系数法 比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定系数的若干关系式（通 常是多元方程组），由此求得待定系数的值。 比较系数法的理论根据， 是多项式的恒等定理： 两个多项式恒等的充分必要条件是对应项系数相等， n n-1 n n-1 即 a0x +a1x + …+an≡b0x +b1x +… +bn 的充分必要条件是 a0=b0, a1=b1,…… an=bn 。 （二）特殊值法 特殊值法，是指通过取字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数 的若干关系式，由此求得待定系数的值。 特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母容许值集内的任意值代名师辅导 http://hexun.com/ictor821替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。 待定系数法是一种常用的数学方法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，如分解因式、证明恒 等式、解方程、将分式表示为部分分式、确定函数的解析式和圆锥曲线的方程等。四、判别式法实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) ① 2 的判别式△=b -4ac 具有以下性质： ＞0，当且仅当方程①有两个不相等的实数根 △ ＝0，当且仅当方程①有两个相等的实数根； ＜0，当且仅当方程②没有实数根。 对于二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)②它的判别式△=b2-4ac 具有以下性质： ＞0，当且仅当抛物线②与 x 轴有两个公共点； △ ＝0，当且仅当抛物线②与 x 轴有一个公共点； ＜0，当且仅当抛物线②与 x 轴没有公共点。 利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性 质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用。 在具体运用判别式时，①②中的系数都可以是含有参数的代数式。 从总体上说，解答数学题，即需要富有普适性的策略作宏观指导，也需要各种具体的方法和技巧进 行微观处理，只有把策略、方法、技巧和谐地结合起来，创造性地加以运用，才能成功地解决面临的问 题，获取良好的效果。五、 分析法与综合法分析法和综合法源于分析和综合，是思维方向相反的两种思考方法，在解题过程中具有十分重要的 作用。 在数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因的一种思维方法，而综合被看成是从原 因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。通常把前者称为分析法，后者称为综合法。 具体的说，分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的探索下去，最后达到题设的已 知条件；综合法则是从题目的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证的结论或需求问题。六、 数学模型法数学模型法，是指把所考察的实际问题，进行数学抽象，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究， 使实际问题得以解决的一种数学方法。 利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面的工作： （1） 建模。根据实际问题的特点，建立恰当的数学模型。从总体上说，建模的基本手段，是数学抽象 方法。建模的具体过程，大体包括以下几个步骤： 1o 考察实际问题的基本情形。 分析问题所及的量的关系， 弄清哪些是常量， 哪些是变量， 哪些是已知量， 哪些是未知量；了解其对象与关系结构的本质属性，确定问题所及的具体系统。 2o 分析系统的矛盾关系。从实际问题的特定关系和具体要求出发，根据有关学科理论，抓住主要矛盾， 考察主要因素和量的关系。 3o 进行数学抽象。对事物对象及诸对象间的关系进行抽象，并用有关的数学概念、符号和表达式去刻画 事物对象及其关系。如果现有的数学工具不够用，可以根据实际情况，建立新的数学概念和数学方法去 表现数学模型。 （2）推理、演算。在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出相应的数学结果。 （3） 评价、解释。对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，名师辅导 http://hexun.com/ictor821形成最终的解答。七、试验法解答数学题，需要多方面的信息。数学中的各种试验，常常能给人以有益的信息，为分析问题和 解决问题提供必要的依据。 用试验法处理数学问题时，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知识，恰当选择试验的 对象和范围；在制定试验方案时，要全面考虑试验的各种可能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时， 要讲究试验技巧，充分利用各次试验所提供的信息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出原题的 解答。 任何试验都和观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因此，要用好试验法，必须勤于观 察，善于观察，有目的、有计划、有条理地进行观察。八、分类法分类法是数学中的一种基本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，具有十分重要的意义。 不少数学问题，在解题过程中，常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条件所确定的集合，分成 若干个便于讨论的非空真子集，然后在各个非空真子集内进行求解，直到获得完满的结果。这种把逻辑 分类思想移植到数学中来，用以指导解题的方法，通常称为分类或分域法。 用分类法解题，大体包含以下几个步骤： 第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合 A； 第二步：寻求恰当的分类根据，按照分类的规则，把集合 A 分为若干个便于求解的非空真子集 A1， A2，?An; 第三步：在子集 A1，A2，?An 内逐类讨论； 第四步：综合子集内的解答，归纳结论。 以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根据，是其中的一项关键性的工作。从总体上说，分类的 主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位Z关系的几何图形，题目中含有某 些特殊的或隐含的分类讨论条件等。在实际解题时，仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要 思维的灵活性和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分类条件。九、数形结合法数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数、三角与几何的内在联系，具有重要的指 导意义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。 数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。数学就是围绕这两个概念发展起来的。在数学发展 的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转 化。 数形结合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情 形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂 问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案。 中学数学中，数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，通过对数量关系的讨 论，去处理几何图形问题；二是运用几何知识，通过对图形性质的研究，去解决数量关系的问题。就具 体方法而论，前者常用的方法有解析法、三角法、复数法、向量法等；后者常用的方法主要是图解法。十、反证法与同一法反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。 （一）反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解题步骤和适用范围。 反证法的解题步骤：名师辅导 http://hexun.com/ictor821第一步：反设。假设命题结论不成立，即假设原结论的反面为真。 第二步：归谬。由反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果。这里所说的 矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、公式矛盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛 盾，以及自相矛盾等各种情形。 第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。 反证法的三个步骤是互相联系的。反设是前提，归谬是关键，存真是目的。只有正确地作出反设，合乎 逻辑地进行推导，才能间接地证出原题。十一、同一法互逆的两个命题未必等效。但是，当一个命题条件和结论都唯一存在，它们所指的概念是同一概念 时，这个命题和它的逆命题等效。这个道理通常称为同一原理。 对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证和它等效的逆命题，只要它的逆命题正 确，这个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。 同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。应用同一法解题，一般包括下面几个步骤： 第一步：作出符合命题结论的图形。 第二步：证明所作图形符合已知条件。 第三步：根据唯一性，确定所作的图形与已知图形重合。 第四步：断定原命题的真实性。三、《高考数学解题专项训练》（选择题） （一）数学选择题的解题思路要想确保在有限的时间内，对 10 多条选择题作出有效的抉择，明晰解题思路是十分必要的。一 般说来， 数学选择题有着特定的解题思路，具体概括如下： 1、仔细审题，吃透题意 审题是正确解题的前题条件，通过审题，可以掌握用于解题的第一手资料――已知条件，弄清 题目要求。 审题的第一个关键在于：将有关概念、公式、定理等基础知识加以集中整理。凡在题中出现的 概念、公式、性质等内容都是平时理解、记忆、运用的重点，也是我们在解选择题时首先需要回忆 的对象。 审题的第二个关键在于： 发现题材中的 “机关” ――― 题目中的一些隐含条件， 往往是该题 “价 值”之所在，也是我们失分的“隐患” 。 除此而外，审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适 宜的解题方法则帮助我们事半功倍。 2、反复析题，去伪存真 析题就是剖析题意。在认真审题的基础上，对全题进行反复的分析和解剖，从而为正确解题寻 得路径。因此，析题的过程就是根据题意，联系知识，形成思路的过程。由于选择题具有相近、相 关的特点，有时“真作假时假亦真”，对于一些似是而非的选项，我们可以结合题目，将选项逐一 比较，用一些“虚拟式”的“如果”，加以分析与验证，从而提高解题的正确率。 3、抓往关键，全面分析 在解题过程中，通过审题、析题后找到题目的关键所在是十分重要的，从关键处入手，找突破 口，联系知识进行全面的分析形成正确的解题思路，就可以化难为易，化繁为简，从而解出正确的名师辅导 http://hexun.com/ictor821答案。 4、反复检查，认真核对 在审题、析题的过程中，由于思考问题不全面，往往会导致“失根”、“增根”等错误，因而， 反复地检查，认真地进行核对，也是解选择题必不可少的步骤之一。（二）数学选择题的解题方法当然，仅仅有思路还是不够的，“解题思路”在某种程度上来说，属于理论上的“定性”，要 想解具体的题目，还得有科学、合理、简便的方法。 有关选择题的解法的研究，可谓是仁者见仁，智者见智。其中不乏真知灼见，现选择部分实用 性较强的方法，供参考： 1、 直接法 有些选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的。这类题型可直接从题设的条 件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则，通过准确的运算、严谨的推理、合理的 验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法。 2、 筛选法 数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的错误答案，找到符合题意的正 确结论。可通过筛除一些较易判定的的、不合题意的结论，以缩小选择的范围，再从其余的结论 中求得正确的答案。如筛去不合题意的以后，结论只有一个，则为应选项。 3、 特殊值法 有些选择题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情 况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，或将字母参数换成具体数值代入，把一般形式变为特 殊形式，再进行判断往往十分简单。 4、 验证法 通过对试题的观察、分析、确定，将各选择支逐个代入题干中，进行验证、或适当选取特殊 值进行检验、或采取其他验证手段，以判断选择支正误的方法。 5、 图象法 在解答选择题的过程中，可先根椐题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位Z、性 质，综合图象的特征，得出结论。 6、 试探法 对于综合性较强、选择对象比较多的试题，要想条理清楚，可以根据题意建立一个几何模型、 代数构造，然后通过试探法来选择，并注意灵活地运用上述多种方法。（三）数学经典选择题点评1、同时满足① M ? {1, 2, 3, 4, 5}; ② 若 a∈M，则(6-a)∈M, 的非空集合 M 有（C）。 （A）16 个 （B）15 个 （C）7 个 （D）8 个 点评：着重理解“∈”的意义，对 M 中元素的情况进行讨论，一定要强调如果“a 在 M 中，那么(6-a) 也在 M 中”这一特点，分别讨论“一个、两个、三个、四个、五个元素”等几种情况，得出相应结论。 2、函数 y=f (x)是 R 上的增函数，则 a+b&0 是 f (a)+f (b)&f (-a)+f (-b)的（ C ）条件。 （A）充分不必要 （B）必要不充分 （C）充要 （D）不充分不必要 点评：由 a+b&0 可知，a& -b ，b &-a， 又 y = f ( x )在 R 上为增函数，故 f ( a ) & f ( b ) ， f ( b ) & f ( - a )，反过来，由增函数的概念也可推出，a+b&（-a）+（-b）。1? ? 1 3、函数 g(x)=x2 ? x ? ? ，若 a≠0 且 a∈R, 则下列点一定在函数 y=g(x)的图象上的是（ D ）。 ? 2 ?1 2 ?（A）(-a, -g(-a))（B）(a, g(-a))（C）(a, -g(a))（D）(-a, -g(a))名师辅导 http://hexun.com/ictor821点评：本题从函数的奇偶性入手，先看括号内函数的奇偶性为奇函数，得到该复合函数为奇函数，再 根据 g(-x)=-g(x)，取 x=a 和 x=-a 加以验证。 4、数列{an}满足 a1=1, a2=2 n ?12 1 1 2 ，且 (n≥2)，则 an 等于（ A ）。 ? ? 3 an?1 an?1 an（A）（B）(2 3)n-1（C）(2 n ) 3（D）2 n?2点评：先代入求得 a3 的值，再对照给出的选择支，用验证法即可得出结论。 5、 由 1， 2， 3， 4 组成的没有重复数字的四位数， 按从小到大的顺序排成一个数列{an}， 其中 a18 等于 （B （A）1243 （B）3421 （C）4123 （D）3412 点评：先写出以 1 开头、2 开头、3 开头的各 6 个数，再按由小到大顺序排列。） 。? 4 4a 4a n ?1 ? ? ? lim 6、若 ? ? ?? ? ? =9，则实数 a 等于（ B ）。 n? ? ? 1 ? a 1 ? a 1 ? a ? ?（A）5 5 1 1 （B） （C）（D）3 3 3 3 点评：通过观察可知 a&1（如 a&1，则数值为负），且求和的各项成等比，因此可以运用无穷递缩等比数列求和公式（其中 q=a，a1=4）。 7、已知圆锥内有一个内接圆柱，若圆柱的侧面积最大，则此圆柱的上底面将已知圆锥的体积分成小、 大两部分的比是（ D ）。 （A）1:1 （B）1:2 （C）1:8 （D）1:7 点评：通过平面展开图，达到“降维”之目的，促使立体图形平面化，再在相似等腰三角形中，求 得小、大三角形的高的比为 1：2，由此可见，小的与全体体积之比为 1：8，从而得出小、大两部分之 比（特别提醒：小、大之比并非高之比的立方）。 8、下列命题中，正确的是（ D ）。 （A）y=arccosx 是偶函数 （B）arcsin(sinx)=x, x∈R ? ? ? （C）sin(arcsin )= （D）若-1&x&0, 则- &arcsinx&0 3 3 2 点评：反三角函数的概念、公式的理解与运用。注意：arccos（-x）=Π ? ? x (当 &x &- 时) 2 2 -arccosx，arcsin(sinx)= ? ? x’ 且 sinx =sinx’ ( 当&x ’&- 时) 2 2 1 ? 2 x 9、函数 y=f (x)的反函数 f -1(x)= (x∈R 且 x≠-3)，则 y=f (x)的图象（ B ）。 3? x （A）关于点(2, 3)对称 （B）关于点(-2, -3)对称 （C）关于直线 y=3 对称 （D）关于直线 x=-2 对称 点评：主要考核反函数的概念与对称性的知识。 10、两条曲线|y|= ? x 与 x = - ? y 的交点坐标是（ B ）。 （A）(-1, -1) （B）(0, 0)和(-1, -1) （C）(-1, 1)和(0, 0) （D）(1, -1)和(0, 0)名师辅导 http://hexun.com/ictor821点评：从定义域、值域、特殊值等角度加以验证。 11、已知 a, b∈R, m= （A）m&n6a 36a ?1?1, n=5 1 -b+ b2，则下列结论正确的是（ D ）。 3 6（B）m≥n （C）m&n （D）m≤n 1 1 1 点评：由题意可知 m≤ 、 n= (b-1) 2 + 。 3 2 2 12、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，EF 是异面直线 AC、A1D 的公垂线，则 EF 和 BD1 的关系是（ B ）。 （A）垂直 （B）平行 （C） 异面 （D）相交但不垂直 点评：理解公垂线的概念，通过平行作图可知。 13、直线 4x+6y-9=0 夹在两坐标轴之间的线段的垂直平分线是 l，则 l 的方程是（ B ）。 （A）24x-16y+15=0 （B）24x-16y-15=0 （C）24x+16y+15=0 （D）24x+16y-15=0 点评：通过两线垂直与斜率的关系，以及中点坐标公式。 14、函数 f (x)=loga(ax2-x)在 x∈[2, 4]上是增函数，则 a 的取值范围是（ A ）。 （A）a&1 （B）a&0 且 a≠1 （C）0&a&1 （D）a∈ ? ?点评：分类讨论，考虑对称轴与单调区间的位Z关系，运用特殊值进行验证。 ? ? 15、函数 y=cos2(x- )+sin2(x+ )-1 是（ C ）。 12 12 （A）周期为 2π的奇函数 （B）周期为π的偶函数 （C）周期为π的奇函数 （D）周期为 2π的偶函数 点评：用倍角公式降次，判断周期性，根据和差化积的结果来求奇偶性。 1 1 16、若 a, b∈R，那么 ? 成立的一个充分非必要条件是（ C ）。 a b （A）a&b （B）ab(a-b)&0 （C）a&b&0 （D）a&b 点评：理解条件语句，用不等式的性质解题。 17、函数 y=cos4x-sin4x 图象的一条对称轴方程是（ A ）。 ? ? ? ? （A）x=（B）x=（C）x= （D）x= 2 4 4 8 点评：先降次，后找最值点。 18、已知 l、m、n 为两两垂直且异面的三条直线，过 l 作平面α与 m 垂直，则直线 n 与平面α的关系是 （ A ）。 （A）n//α （B）n//α或 n ? α （C）n ? α或 n 不平行于α （D）n ? α 点评：画草图，运用线面垂直的有关知识。 19、若 z1, z2∈C，|z1|=|z2|=1 且 arg(z1)=150°, arg(z2)=300°，那么 arg(z1+z2)为（ B ）。 （A）450° （B）225° （C）150° （D）45° 点评：旋转与辐角主值的概念。 20、已知 a、b、c 成等比数列，a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列，且 xy≠0，那么 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 点评：运用等比、差中项概念，通分求解。 21、如果在区间[1, 3]上，函数 f (x)=x2+px+q 与 g(x)=x+1 在同一点取得相同的最小值，那么下列说 x2a c ? 的值为（ B ）。 x y名师辅导 http://hexun.com/ictor821法不对 的是（ C ）。 ．． （A）f (x)≥3 (x∈[1, 2]) （B）f (x)≤4 (x∈[1, 2]) （C）f (x)在 x∈[1, 2]上单调递增 （D）f (x)在 x∈[1, 2]上是减函数 点评：通过最值定理、二次函数的对称轴与最值等求出 p 、q，再行分析。 22、在(2+ 4 3 )100 展开式中，有理数的项共有（ D ）。 （A）4 项 （B）6 项 （C）25 项 （D）26 项 点评：借助二项式展开的通项公式来分析。 23、在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 AD 中点，O 为侧面 AA1B1B 的中心，P 为侧棱 CC1 上任意一点，那 么异面直线 OP 与 BM 所成的角是（ A ）。 （A）90° （B）60° （C）45° （D）30° 点评：运用平行和垂直的有关知识。 24、等比数列{an}的公比 q&0，前 n 项和为 Sn, Tn=Sn ，则有（ A ）。 an（A）T1&T9 （B）T1=T9 （C）T1&T9 （D）大小不定 点评：T1=1，用等比数列前 n 项和公式求 T9 25、设集合 A＝ ? ? ，集合 B＝{0}，则下列关系中正确的是（ C ） （A）A＝B （B）A ? B （C）A ? B （D）A ? B点评：主要考核空集的概念、以及集合与集合的关系。 26、已知直线 l 过点 M（－1，0），并且斜率为 1，则直线 l 的方程是（ B ） （A） x＋y＋1＝0 （B）x－y＋1＝0 （C）x＋y－1＝0 （D）xDyD1＝0 点评：直线方程的点斜式。 ? 27、已知α－β＝ ,tgα=3m, tgβ=3－m, 则 m 的值是（ D ）。 6 1 1 （A）2 （B）－ （C）－2 （D） 3 2 点评：通过 tanαtanβ= 1，以及 tan（α－β）的公式进行求解。 28、已知集合 A＝{整数}，B＝{非负整数}，f 是从集合 A 到集合 B 的映射，且 f：x ? y＝x2