把27减20等于7,35除7等于5合成一个综合算式是什么_百度知道
把27减20等于7,35除7等于5合成一个综合算式是什么
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解：27-20=735÷7=5合成一个综合算式是35÷（27-20）=5=35÷7=5
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35÷（27-20）= 5
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1.4.3.7算24
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((3+1)*7)-43+(7*(4-1))((3*7)+4)-1(3*7)+(4-1)3-(7*(1-4))(3*7)-(1-4)((3*7)-1)+44+((3*7)-1)(4+(3*7))-14-(1-(3*7))(4-1)+(3*7)4-(1-(7*3))(4-1)+(7*3)((4-1)*7)+34+((7*3)-1)(4+(7*3))-1((4*7)-3)-1(4*7)-(3+1)((4*7)-1)-3(4*7)-(1+3)((1+3)*7)-4((7*3)+4)-1(7*3)+(4-1)(7*3)-(1-4)((7*3)-1)+4(7*(3+1))-4((7*4)-3)-1(7*4)-(3+1)((7*4)-1)-3(7*(4-1))+3(7*4)-(1+3)(7*(1+3))-4
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是：4×7-3-1=24
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把下面各组算式组成一个综合算式．12×4=48，6×7=42，48+42=90 综合算式______24÷3=8，108-8=100，100
把下面各组算式组成一个综合算式．12×4=48，6×7=42，48+42=90 综合算式______24÷3=8，108-8=100，100×5=500 综合算式______．
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1）12×4=48，100×5=500合成一个综合算式是：（108-24÷3）×5．故答案为：12×4+6×7，6×7=42，48+42=90合成一个综合算式是：12×4+6×7；（2）24÷3=8，108-8=100
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7年级数学上册教案新新
1.2.3 相反数教学目标 1．知识与技能 （1）借助数轴了解相反数的概念，知道两个互为相反数的位置关系． （2）给出一个数，能求出它的相反数． 2．过程与方法 借助数轴，通过观察特例，总结出相反数的概念．从数和形两个侧面理解相反数． 3．情感态度与价值观 鼓励学生积极进行归纳、比较交流等活动． 重、难点 1．重点：理解相反数的意义，会求一个数的相反数． 2．难点：理解和掌握双重符合的简化． 教学过程 一、复习提问 在数轴上，画出表示 6，-6，2 二、新授 请同学们观察后回答： 1．上述中 6 和-6；21 1 1 1 ，-2 ，4 ，-4 各数的点． 2 2 3 31 1 1 1 和-2 ，4 和-4 每对数有什么特点？ 2 2 3 32．每对数在数轴上所表示的点有什么特点？ 3． 再观察课本第 8 页的图 1． 2-1 中点 D 和点 B， 它们的位置关系如何？?它们各表示的数有什么特点？ 概括： （1）每一对数，只有符号不同． （2）在数轴上表示每一对数的两个点分别在原点的两边，?并且离开原点的距离相等． （3）点 D 和点 B 分别位于原点的两边，且与原点的距离相等，它们分别表示-3?和 3． 思考：数轴上与原点的距离是 2 的点有几个？这些点表示的数是什么？?与原点的距离是 5 的点呢？ 归纳： 一般地，设 a 是一个正数，数轴上与原点的距离是 a 的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a 和 a， 那么称这两个点关于原点对称，如下图：1-a-202a1 1 和-2 ，都是互为相反数，也就是 2 2像这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例如 6 和-6，2 说 6 的相反数是-6，-21 1 的相反数是 2 ． 2 2一般地，a 和-a 互为相反数，特别地，0 的相反数仍是 0． 问：数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？ 答：数轴上表示相反数的两个点是关于原点对称，是在原点的两旁（除 0?外） ，并且与原点的距离相 等． 注意相反数与倒数的区别，若两个数只有符号不同，那么这两个数叫做互为相反数；若两个数的乘积 等于 1，则这两个数叫互为倒数．任何有理数都有相反数，?零的相反数是零，而零没有倒数． 例 1：分别写出下列各数的相反数． 5，-7，-31 ，+11.2，0． 2解：5 的相反数是-5；-7 的相反数是 7；-3 的相反数是 3；+11.2 的相反数是-11.2；0 的相反数是 0． 强调书写格式，防止出现如“5=-5”的错误． 容易看出，在正数前面添上“－”号，就得到这个正数的相反数．在任意一个数的前面添上“－”号， 新的数就表示原数的相反数． 例如：-（+5）=-5，-（-7）=7，-（-31 1 ）=3 ，-（+11.2）=-11.2，-0=0． 2 2我们知道一个正数，前面的“＋”号可以写也可以不写，所以在一个数的前面添上“＋”号，表示这 个数没有变化，还是它本身． 例如：+（-4）=-4，+（+12）=12，+0=0 三、巩固练习 1．写出下列各数的相反数． +24 1 ，-2.5，0， 3 32．化简下列各数． -（-30） ，-（+3） ，-（-38.2） ，+（-5） ，+（+2 ） ． 73．指出下列各对数，哪些是相等的数？哪些是互为相反数？2+（-3）与-3，-（+3）与 3，-（-71 1 ）与-7 ． 2 24．如果 a=-a，那么表示 a 的点在数轴上的什么位置？ 5．你会化简下列各数吗？试试看． （本题可根据学生实际情况选用） -[+（-2）]，-[-（-6）]． 提示： 因为任意数 a 是-a 的相反数，所以表示 a 的点在数轴上与表示-a?的点关系原点对称，这两个点分别 在原点左、右两边且与原点距离相等． 四、课堂小结 本节课我们学习了相反数的概念、相反数的求法和双重符号的简化．理解相反数的意义，相反数总是 一正一反成对出现（零除外） ，从数轴上看，表示互为相反数的两个点，分别在原点的两边，且到原点距 离相等．要表示一个数的相反数，只要在这个数前面添“－”号，-a 表示 a 的相反数，当 a 是正数时，-a 表示一个负数；当 a 是负数时，则-a 表示正数．此外我们还应该注意相反数和倒数的区别． 五、作业布置 六、板书设计1.2.3 相反数新授 复习引入例题 1巩固练习作业课后反思31.2.4 绝对值教学目标 1．知识与技能 （1）借助数轴初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值． （2）通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 2．过程与方法 通过观察实例及绝对值的几何意义，探索一个数的绝对值与这个数之间的关系，培养学生语言描述能 力． 3．情感态度与价值观 培养学生积极参与探索活动，体会数形结合的方法． 重、难点、 1．重点：正确理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值． 2．难点：正确理解绝对值的几何意义和代数意义． 教学过程 一、复习提问 1．什么叫互为相反数？ 2．在数轴上表示互为相反数的两个点和原点的位置关系怎样？ 二、新授 在一些量的计算中，有时并不注意其方向，例如，为了计算汽车行驶所耗的油量，起作用的是汽车行 驶的路程而不是行驶的方向． 1．观察课本第 11 页图 1．2-6，回答： （1）两辆汽车行驶的路线相同吗？ （2）它们行驶路程的远近相同吗？ ? ?这两辆车行驶的路线不同（方向相反） ，?但行驶的路程的远近相同，?都是 10km． 课本图 1．2-6 中表示-10 的点 B 和表示 10 的点 A 离开原点的距离都是 10，?我们就把这个距离 10 叫 做数-10、10 的绝对值． 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作│a│． 这里的数 a 可以是正数、负数和 0．4例如上述的 10 和-10 的绝对值记作│10│=10，│-10│=10，?同样在数轴上表示+6 和-6 的两个点， 离开原点的距离都是 6，即 6 和-6 的绝对值都是 6，记作│6│=6，?│-6│=6．数轴上表示数 0 的点与原 点的距离是 0，所以│0│=0． 2．试一试： （1）│+2│=______，│ （2）│0│=_______． （3）│-12│=_______，│-20.8│=_______，│-32 3．你能从上面解答中发现什么规律吗？ 学生若有困难，教师可提示：所得的结果与绝对值符号内的数有什么关系？ 从而得出绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）零的绝对值是零； （3）一个负数的绝对值是它的相反数． 我们用 a 表示任意一个有理数，上述式子可以表示为： ①当 a 是正数时，│a│=_______； ②当 a 是负数时，│a│=_______； ③当 a=0 时，│a│=_______． 以上先让学生填空，然后让学生给 a?取一些具体数值检验所填写的结果是否正确． 教师问： （1）任何一个有理数都有绝对值吗？一个数的绝对值有几个？ （2）有没有一个数的绝对值等于-2？任何一个数的绝对值一定是怎样的数？ （3）绝对值等于 2 的数有几个？它们是什么？ 归纳： ①任何有理数都有唯一的绝对值，任意一个数的绝对值总是正数或 0，?不可能是负数，即对任意有理 数 a，总有│a│≥0． ②两个互为相反数的绝对值相等，即│a│=│-a│． ③因为 0 的绝对值是 0，而 0 的相反数是它本身 0，因此可知绝对值等于它本身的数是正数或者零， 绝对值等于它的相反数的数是负数或零． 三、巩固练习51 │=_____，│+10.6│=________． 5 1 │=_______． 71．课本第 12 页练习 1、2 题． 第 1 题强调书写格式，防止出现“-8=8”的错误． 第 2 题（1）错，如 3 与-2 的符号相反，但它们不是互为相反数，?应改为“只有大小相等符号相反的 数是互为相反数” ． （2）正确． （3）错，因为这个点也可能越靠左，应改为： “一个数的绝对值越大，表示 它的点离原点越远． ” （4）正确． 四、课堂小结 理解绝对值的几何意义和代数意义． 从几何意义可知， 一个数的绝对值是表示该数的点与原点的距离， 因为距离总是正数和零， 所以有理数的绝对值不可能是负数， 从绝对值的代数定义也可进一步理解这一点． 引入绝对值概念后，有理数可以理解为由性质符号和绝对值两部分组成的，如-5 就是由“－”号和它 的绝对值 5 两部分组成． 五、作业布置六、板书设计1.2.4 绝对值新授 巩固练习试一试小结作业课后反思61.2.4 绝对值教学目标 1．知识与技能 掌握有理数的大小比较的两种方法──利用数轴和绝对值． 2．过程与方法 经历利用绝对值以及利用数轴比较有理数的大小，进一步体会“数形结合”的数学方法，培养学生分 析、归纳的能力． 3.会把所学知识运用于解决实际问题，体会数学知识的应用价值． 重、难点 1．重点：会利用绝对值比较有理数的大小． 2．难点：两个负数的大小比较． 教学过程 一、复习提问 用“&” 、 “&”号填空．2 3 _____ ； 3．0.03_______0； 7 8 2 3 4．│-3│_______│2│； 5．│- │_______│- │． 3 21．5.7______6.3； 2． 二、新授 引入负数后，如何比较两个有理数的大小呢？让我们从熟悉的温度来比较，大家观察课本第 12 页中 “未来一周天气预报” ． 1．课本图 1．2-7 中共有 14 个温度，其中最低的是多少？最高的是多少？ 2．请你将这 14 个温度按从低到高的顺序排列． 课本图 1．2-7 中的 14 个温度按从低到高排列为： -4℃，-3℃，-2℃，-1℃，0℃，1℃，2℃，3℃，4℃，5℃，6℃，7℃，8℃，9℃． 按照这个顺序排列的温度，在温度计上所对应的点是从下到上的，按照这个顺序把这些数表示在数轴 上，表示它们的各点的顺序是从左到右的，如课本图 1．2-?7，这就是说在数轴上表示有理数，它们从左 到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，因此，我们可以利用数轴比较有理数的大 小． 例如在数轴上表示-6 的点在表示-5 的点的左边，所以-6&-5．7同样-5&-4，-31 &-3，-2&0，-1&1，? 2从数轴上可知： 表示正数的点都在原点的右边；表示负数的点都在原点左边． 因此有正数大小 0，0 大于负数，正数大于负数． 两个正数的大小比较小学已学过，不画数轴你会比较两个负数的大小吗？ 探索： 我们知道，在数轴上越靠左边的点所表示的数越小，而这个点与原点的距离越大，即这个点所表示的 数的绝对值越大，因此，我们还可以利用绝对值比较两个负数的大小． 即两个负数，绝对值大的反而小． 例如：│-2│=2，│-5│=5，即│-2│&│-5│，因此-2&-5． 同样│-1│&│-3│，所以-1&-3． 例 1：比较下列各对数的大小： （1）-（-1）和-（+2） ； （2）-3 1 8 和- ； （3）-（-0.3）和│- │． 7 3 21解： （1）先化简，-（-1）=1，-（+2）=-2， 正数大于负数，1&-2． 即 -（-1）&-（+2） ． （2）这是两个负数比较大小，要比较它们的绝对值，绝对值大的反而小．3 3 9 8 8 │= ，│- │= = ． 7 7 21 21 21 3 8 9 8 因为 & ，即││&│- │， 7 21 21 21 3 8 所以&- ． 21 7 . 1 1 （3）先化简，-（-0.3）=0.3，│- │= = 0.3 ， 3 3 1 0.3&0.3，即-（-0.3）&│- │． 3│初学时，要求学生按以上步骤进行，能化简的要先化简，?然后按照有理数的大小比较法则：异号两 数比较大小，要考虑它们的正负，根据“正数大于负数” ，?同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值，特 别是两个负数大小比较，先各自求出它们的绝对值，然后依法则：两个负数，绝对值大的反而小，比较绝 对值大小后，即可得出结论． 三、巩固练习81．课本第 13 页练习． 四、全课小结（提问式） 比较有理数的大小有哪几种方法？ 有两种方法，方法一：利用数轴，把这些数用数轴上的点表示出来，然后根据“数轴上较左边的点所 表示的数比较右边的点所表示的数小”来比较． 方法二：利用比较法则： “正数大于零，负数小于零，两个负数比较绝对值大的反而小”来进行． 在比较有理数的大小前，要先化简，从而知道哪些是正数，哪些是负数． 五、作业布置六、板书设计1.2.4 绝对值新授 探索 例1小结巩固练习作业课后反思91.3.1 有理数的加法教学目标 1．知识与技能 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算． 2．过程与方法 引导学生观察符号及绝对值与两个加数的符号及其他绝对值的关系，培养学生的分类、归纳、概括能 力． 3．情感态度与价值观 培养学生主动探索的良好学习习惯． 重、难点 1．重点：掌握有理数加法法则，会进行有理数的加法运算． 2．难点：异号两数相加的法则． 教学过程 一、复习提问 1．有理数的绝对值是怎样定义的？如何计算一个数的绝对值？ 2．比较下列每对数的大小． （1）-3 和-2； （2）│-5│和│5│； （3）-2 与│-1│； （4）-（-7）和-│-7│． 二、新授 在小学里，我们已学习了加、减、乘、除四则运算，当时学习的运算是在正有理数和零的范围内．然 而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围，例如，足球循环赛中，可以把进球数记为正数，失球 数记为负数，它们的和叫做净胜球数．本章前言中，红队进 4 个球，失 2 个球；蓝队进 1 个球，失 1 个球， 那么哪个队的净胜球多呢？ 要解决这个问题，先要分别求出它们的净胜球数． 红队的净胜球数为：4+（-2） ； 蓝队的净胜球数为：1+（-1） ． 这里用到正数与负数的加法． 怎样计算 4+（-2）呢？ 下面借助数轴来讨论有理数的加法． 看下面的问题：10一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负、向右为正． （1）如果物体先向右运动 5m，再向右运动 3m，?那么两次运动后总的结果是什么？ 我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答． 这里两次都是向右运动，显然两次运动后物体从起点向右运动了 8m，写成算式就是： 5+3=8 ①这一运算在数轴上可表示，其中假设原点为运动的起点． （如下图）（2）如果物体先向左运动 5m，再向左运动 3m，?那么两次运动后总的结果是什么？ 显然，两次运动后物体从起点向左运动了 8m，写成算式就是： （-5）+（-3）=-8 这个运算在数轴上可表示为（如下图） ： ②（3）如果物体先向右运动 5m，再向左运动 3m，?那么两次运动后物体与起点的位置关系如何？ 在数轴上我们可知物体两次运动后位于原点的右边，即从起点向右运动了 2m．?（如下图）写成算式就是：5+（-3）=2 探究：③还有哪些可能情形？请同学们利用数轴，求以下情况时物体两次运动的结果： （4）先向右运动 3m，再向左运动 5m，物体从起点向______运动了______m． 要求学生画出数轴，仿照（3）画出示意图．写出算式是：3+（-5）=-2④（5）先向右运动 5m，再向左运动 5m，物体从起点向_____运动了_____m． 先向右运动 5m，再向左运动 5m，物体回到原来位置，即物体从起点向左（或向右）?运动了 0m，因为 +0=-0，所以写成算式是： 5+（-5）=0 ⑤11（6）先向左运动 5m，再向左运动 5m，物体从起点向________运动了_______m． 同样，先向左边运动 5m，再向右运动 5m，可写成算式是： （-5）+5=0 ⑥如果物体第 1 秒向右（或左）运动 5m，第 2 秒原地不动，两秒后物体从起点向右（?或左）运动了多 少呢？请你用算式表示它． 可写成算式是：5+0=5 或（-5）+0=-5 ⑦ 从以上写出的①～⑦个式子中，你能总结出有理数加法的运算法则吗？ 引导学生观察和的符号和绝对值，思考如何确定和的符号？如何计算和的绝对值？ 算式是小学已学过的两个正数相加．观察算式②，两个加数的符号相同，都是“－”号，和的符号也 是“－”号与加数符号相同；和的绝对值 8?等于两个加数绝对值的和，即│-5│+│-3│=│-8│． 由①②可归结为： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加． 例如（-4）+（-5）=-（4+5）=-9． 观察算式③、④是两个互为相反数相加，和为 0． 由算式③～⑥可归结为： 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值， 互为相反数相加得 0． 由算式⑦知，一个数同 0 相加，仍得这个数． 综合上述，我们发现有理数的加法法则，让学生朗读课本第 18 页中“有理数的加法法则” ． 一个有理数由符号与绝对值两部分组成，进行加法运算时，必先确定和的符号，再确定和的绝对值． 例 1：计算． （1） （-3）+（-5） ； （2） （-4.7）+2.9； （3）1 +（-0.125） ． 8分析：本题是有理数加法，所以应遵循加法法则，按判断类型，确定符号、计算绝对值的步骤进行计 算． （1）是同号两数相加，按法则 1，取原加数的符号“－” ，并把绝对值相加． （2）是绝对值不相等的异 号两数相加． （3）是绝对值相等的两数相加，根据法则 2 进行计算． 解： （1） （-3）+（-5）=-（3+5）=-8； （2） （-4.7）+2.9=-（4.7-2.9）=-1.8； （3）1 1 1 +（-0.125）= +（- ）=0． 8 8 8三、巩固练习12课本第 18 页练习 1、2 题． 四、课堂小结 有理数的加法法则指出进行有理数加法运算，首先应该先判断类型，然后确定和的符号，最后计算和 的绝对值．类型为异号两数相加，和的符号依法则取绝对值较大的加数的符号，并把绝对值相减，因为正 负互相抵消了一部分．有理数加法还打破了算术数加法中和一定大于加数的常规． 五、作业布置六、板书设计1.3.1 有理数的加法新授 复习引入巩固练习小结作业课后反思131.3.1 有理数的加法教学目标 1．知识与技能 （1）能运用加法运算律简化加法运算． （2）理解加法运算律在加法运算中的作用，培养学生的观察能力和思维能力． 2．过程与方法 经历探索有理数的加法运算律的过程，培养学生的观察能力和思维能力． 3．情感态度与价值观 体会有理数加法运算律的应用价值． 重、难点 1．重点：有理数加法运算律． 2．难点：灵活运用加法运算律． 教学过程 一、复习提问 1．叙述有理数的加法法则． 2．在小学里，数的加法有哪些运算律？ 二、新授 在小学里，数的加法满足交换律、结合律． 如：5+3.5=3.5+5， （5+3.5）+2.5=5+（3.5+2.5） ． 引进负数后，这些运算律还适用吗？ 探索： 例 1．计算：30+（-20） ， （-20）+30． 两次所得的和相同吗？ 换几个加数试一试，让学生自己得出：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置和不变，即 加法交换律：a+b=b+a． 例 2．计算：[8+（-5）]+（-4） ，8+[（-5）+（-4）]． 两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试． 从而得到：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即 加法结合律： （a+b）+c=a+（b+c） ．14上述 a、b、c 表示任意有理数，可以是正数，也可以是负数． 这样，多个有理数相加可以任意交换加数位置，也可以先把其中的几个数相加，使计算简化． 例 3．计算：16+（-25）+24+（-35） ． 分析：先观察题目中数据特点，根据运算律，选择合理途径． 本题采用正、负数分开相加的方法． 解：原式＝（16+24）+[（-25）+（-35）] =40+（-60） =-20 例 4．每袋小麦的标准重量为 90 千克，10 袋小麦称重记录如课本图 1．3-3 所示（?课本第 19 页） ， 与标准重量比较，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？10 袋小麦的总重量是多少？ 分析：怎样求这 10 袋小麦的总重量呢？这是有理数加法在实际中的应用，?本题有两种解法，教学时 可先让学生相互交流，提出自己的想法，对不同的解法进行比较． 解法 1：先计算 10 袋小麦的总重量． 91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4， 再计算标准重量：90?10=900． 所以这 10 袋小麦总计超过 905.4-900=5.4（千克） 解法 2：先计算总误差，然后再求 10 袋小麦的总重量． 将每袋小麦超过标准重量的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，10 袋小麦的对应的数为+1， +1，+1.5，-1，+1.2，+1.3，-1.3，-1.2，+1.8，+1.1. ???+1+1+1.5+（-1）+1.2+1.3+（1.3）+（-1.2）+1.8+1.1 =[1+（-1）]+[1.2+（-1.2）]+[1.3+（-1.3）]+（1+1.5+1.8+1.1） =5.4 90?10+5.4=905.4 所以 10 袋小麦总计超过标准 5.4 千克，总重量为 905.4 千克． 以上求 10 袋小麦的总误差时，运用了加法交换律和结合律，利用互为相反数的和为 0 的性质重新组 合加数． 比较两种方法，明显解法 2 计算简便． 三、巩固练习 1．课本第 20 页，练习 1、2．15四、课堂小结 本节课我们探索了有理数加法的运算律，灵活运用加法的运算律使运算简便．一般情况下，将互为相 反数的数结合相加；同分母的分数能凑整的数结合；正数、负数分别相加，以使计算简便． 五、作业布置六、板书设计1.3.1 有理数的加法例1 例2 例3 例4练习作业课后反思161.3.2 有理数的减法教学目标 1．知识与技能 （1）理解并掌握有理数的减法法则，能进行有理数的减法运算． （2）通过把减法运算转化为加法运算，让学生了解转化思想． 2．过程与方法 经历探索有理数的加法运算律的过程，培养学生的观察能力和思维能力． 3．情感态度与价值观 体会有理数加法运算律的应用价值． 重、难点 1．重点：掌握有理数减法法则，能进行有理数的减法运算． 2．难点：探索有理数减法法则，能正确完成减法到加法的转化． 教学过程 一、复习提问 1．计算． （1） （-5.2）+（-4.8） ； （3） （-13 2．填空． （1）_______+3=10； （2）30+_______=27；5 5 ）+13 ； 7 73 2 ）+5 ； 5 5 3 （4） （+4 ）+（-7.5） ． 4（2） （-4（3）______+（-3）=10； （4） （-13）+____=6． 二、新授 实际问题中有时还要涉及有理数的减法，例如，某地一天的气温是-3℃～4?℃，这天的温差（最高气 温减最低气温，单位：℃）就是 4-（-3） ，?这里用到正数与负数的减法，你会计算它吗？（鼓励学生探索） 可以先从温度计看出 4℃比-3℃高 7℃． 另外，我们知道减法和加法是互为逆运算．计算 4-（-3） ，?就是要求出一个数 x，使 x 与-3 的和等于 4，因为 7+（-3）=4，所以 4-（-3）=7 ①另外 4+（+3）=7， ②17比较①、②两式，你发现了什么？ 发现：4-（-3）=4+（+3） ． 这就是说减法可以转化为加法，如何转化呢？ 减-3 相当于加 3，即加上“-3”的相反数． 换几个数再试一试，把 4 换成 0，-1，-5，用上面的方法考虑． 0-（-3） ， （-1）-（-3） ， （-5）-（-3） ． 因为（+3）+（-3）=0，所以 0-（-3）=+3， 又 0+（+3）=+3，所以 0-（-3）=0+（+3） ， 同样，可得（-1）-（-3）=（-1）+（+3） ， （-5）-（-3）=（-5）+（+3） 这些数减-3 的结果与它们加+3 的结果仍然相同． 计算： （1）9-8，9+（-8） ； （2）15-7，15+（-7） ，从中又发现了什么？ 通过计算发现： 9-8=9+（-8） ，15-7=15+（-7） ． 归纳：通过上述讨论，得出： 有理数的减法可以转化为加法来进行． “相反数”是转化的桥梁． 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数． 用式子表示为：a-b=a+（-b） ． 例 5：计算： （1） （-3）-（-5） ； （3）7.2-（-4.8） ； （2）0-7； （4） （-31 1 ）-5 ． 2 4分析：以上是有理数的减法，按减法法则，把减法转化为加法．18（4） （-31 1 1 1 3 ）-5 =（-3 ）+（-5 ）=-8 2 4 2 4 4强调：减号变加号、减数变相反数，必须同时改变， （4）?题中减数的符号为“＋”号，省略没有定． 三、巩固练习 1．课本第 23 页练习 1、2 题 2．差数一定比被减数小吗？ 提示：不一定，例如（-7）-（-5）=（-7）+（+5）=-2，-2&-7． 四、课堂小结 引进负数后，任意两个有理数都可以求出它们的差，结果可能为正数（大数减去小数） ，也可能为负 数（小数减去大数） ，还可能为 0（相等的两数相减） ，?学习有理数减法，关键在于处理好两个“变”字； （1）?改变运算符号──即把减法转化为加法． （2）改变减数的符号──即减数变为它的相反数，?这两 个“变”要同时进行，而被减数不变． 五、作业布置六、板书设计1.3.2 有理数的减法新授例5练习作业课后反思191.3.2 有理数的减法教学目标 1．知识与技能 理解有理数加减法可以互相转化，能把有理数加减混合运算统一为加法运算，灵活应用运算律进行计 算． 2．过程与方法 经历综合运用有理数加减法解决实际问题的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力． 3．情感态度与价值观 体会数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣． 重、难点 1．重点：有理数加减法统一为加法运算，掌握有理数加减混合运算． 2．难点：省略括号和加号的加法算式的运算方法． 教学过程 一、复习提问 1．叙述有理数的加法、减法法则． 2．计算． （1） （-8）+（-6） ； （2） （-8）-（-6） ； （3）8-（-6） ； （4） （-8）-6； 二、新授 我们已学习了有理数加、减法的运算，今天我们来研究怎样进行有理数的加减混合运算． 例 6：计算： （-20）+（+3）-（-5）-（+7） ． 分析：这个式子中有加法，也有减法，可以按照运算顺序，从左到右逐一加以计算．也可以用有理数 的减法法则，则它改写为（-20）+（+3）+（+5）+（-7）使问题转化为几个有理数的加法． 解： （-20）+（+3）-（-5）-（+7） =（-20）+（+3）+（+5）+（-7） =[（-20）+（-7）]+[（+3）+（+5）] =-27+（+8） =-19 （5）5-14．20把有理数加减混合运算转化为加法后，常用加法交换律和结合律使计算简便． 归纳：加减混合运算可以统一为加法运算． 用式子表示为 a+b-c=a+b+（-c） ． 式子（-20）+（+3）+（+5）+（-7）是-20，+3，+5，-7 这四个数的和，为了书写简单，可以省略式 子中的括号和加号，把它写为：-20+3+5-7． 这个式子读作“负 20、正 3、正 5、负 7 的和”或读作“负 20 加 3 加 5 减 7” ． 例 6 的运算过程也可简写为： （-20）+（+3）-（-5）-（+7） =（-20）+（+3）+（+5）+（-7） （加减法统一为加法） =-20+3+5-7 （省略式子中的括号和括号前面的加号） =-20-7+3+5 （加法交换律交换时，要连同符号一起交换） =-19 （异号两数相减） 正确理解“－”号含义， “－”号具有双重含义：减号、负号．如 2-7?中“－”号可以理解为负数， 读作正 2、负 7 的和，也可以理解为减号，读作 2 减去 7，具体选用哪种含义，要结合具体情况而定，而 -2-7 中，前一个“－”号显然只能作负号，而后一个“－”号则可看作负号，也可看作减号，但“－”号 只能一用，即一个“－”号视为某种含义后，就不能再具备另一种含义，不能一号两用，如-2-5 理解为-2 减去-5，就犯了“一号两用”的错误． 三、巩固练习 1．课本第 24 页练习． （1）题是已写成省略加号的代数和，可运用加法交换律、结合律． 原式=1+3-4-0.5=0-0.5=-0.5 （2）题运用加减混合运算律，同号结合． 原式=-2.4-4.6+3.5+3.5=-7+7=0 （3）题先把加减混合运算统一为加法运算． 原式=（-7）+（-5）+（-4）+（+10） =-7-5-4+10 （省略括号和加号） =-16+10 =-6 （4）题先将加减混合运算统一为加法运算，再运用运算律．213 7 1 2 - - + -1 4 2 6 3 11 1 =- + -1 （易通分的分数相合） 4 2 9 =- -1 4 1 =-3 4原式= 四、课堂小结 有理数加减混合运算通常统一成加法运算，运算时常用交换律和结合律使计算简便，一般情况采用： （1）凡相加是整数的，可以先加； （2）分母相同或易于通分的分数相结合； （3）有互为相反数可以互相 抵消的，先相加； （4）正、负数分别相加．总之要认真观察，灵活运用运算律． 五、作业布置 六、板书设计1.3.2 有理数的减法例6 练习小结作业课后反思221.4.1 有理数的乘法教学目标 1．知识与技能 经历探索有理数乘法法则过程，掌握有理数的乘法法则，能用法则进行有理数的乘法． 2．过程与方法 经历探索有理数乘法法则的过程，发展学生归纳、猜想、验证等能力． 3．情感态度与价值观 培养学生积极探索精神，感受数学与实际生活的联系． 重、难点 1．重点：应用法则正确地进行有理数乘法运算． 2．难点：两负数相乘，?积的符号为正与两负数相加和的符号为负号容易混淆． 教学过程 一、引入新课 我们已经学习了有理数的加法运算和减法运算，今天我们开始学习有理数的乘法运算． 在小学，我们学习了正有理数有零的乘法运算，引入负数后，怎样进行有理数的乘法运算呢？ 下面仍然借助数轴来研究有理数的乘法． 二、新授 课本图 1．4-1，一只蜗牛沿直线 L 爬行，它现在的位置恰在 L 上的点 O．0l（1）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向右爬行，3 分后它在什么位置？ （2）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向左爬行，3 分后它在什么位置？ （3）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向右爬行，3 分前它在什么位置？ （4）如果蜗牛一直以每分 2cm 的速度向左爬行，3 分前它在什么位置？ 分析：以上 4 个问题涉及 2 组相反意义的量：向右和向左爬行，3 分钟后与 3 分钟前，为了区分方向， 我们规定：向左为负，向右为正；为区分时间，我们规定：现在前为负，现在后为正，那么（1）中“2cm” 记作“+2cm” ， “3 分后”记作“+3 分” ． （1）3 分后 蜗牛应在 L 上点 O 右边 （如课本图 1．4-2） ．． ．．6cm 处．23这可以表示为 （+2）?（+3）=+6 ①（2）3 分后 蜗牛应在 L 上点 O 左边 （如课本图 1．4-3） ．． ．．6cm 处．这可以表示为 （-2）?（+3）=-6 ②（3）3 分前 蜗牛应在 L 上点 O 左边 （如课本图 1．4-4） ．． ．．6cm 处．[讲问题（3）时可采用提问式：已知现在蜗牛在点 O 处，?而蜗牛是一直向右爬行的，那么 3 分前蜗 牛应在什么位置？] 这可以表示为（+2）?（-3）=-6 ③（4） 蜗牛是向左爬行的， 现在在 O 点， 所以 3 分前 蜗牛应在 L 上点 O 右边 （?如课本图 1． 4-5） ． ．． ．．6cm 处这可以表示为（-2）?（-3）=+6④观察①～④，根据你对有理数乘法的思考，完成课本第 39 页填空． 归纳： 两个有理数相乘，积仍然由符号和绝对值两部分组成，①、④式都是同号两数相乘，积为正，②、③ 式是异号两数相乘，积为负，①～④式中的积的绝对值都是这两个因数绝对值的积． 也就是两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 此外，我们知道 2?0=0，那么（-2）?0=？ 显然（-2）?0=0． 这就是说：任何数同 0 相乘，都得 0． 综上所述，得有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同 0 相乘， 都得 0． 进行有理数的乘法运算，关键是积的符号的确定，计算时分为两步进行： ?第一步是确定积的符号，24在确定积的符号时要准确运用法则；第二步是求绝对值的积． 如： （-5）?（-3） ，??（同号两数相乘） （-5）?（-3）=+（ ） ，??得正5?3=15，??把绝对值相乘 所以 （-5）?（-3）=15 又如： （-7）?4??________ （-7）?4=-（ ） ，??_________7?4=28，??__________ 所以 （-7）?4=-28 例 1：计算：1 ）?（-2） ； 2 1 2 1 （3）0?（-53 ）?（+25．3） ； （4）1 ?（-1 ） ． 7 3 5（1） （-3）?9； （2） （例 1 可以由学生自己完成， 计算时， 按判定类型、 确定积的符号， ?求积的绝对值． （3） 题直接得 0． （4） 题化带分数为假分数，以便约分． 小学里，两数乘积为 1，这两个数叫互为倒数． 在有理数中仍然有：乘积是 1 的两数互为倒数． 例如：-1 3 5 与-2 是互为倒数，- 与- 是互为倒数． 2 5 3注意倒数与相反数的区别：两数互为倒数，积为 1，它们一定同号；?两数互为相反数，和为零，它们 是异号（0 除外） ，另外 0 没有倒数，而 0 的相反数为 0． 数 a（a≠0）的倒数是什么？ 1 除以一个数（0 除外）得这个数的倒数，所以 a（a≠0）的倒数为1 ． a例 2：用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，?登山队攀登一座山峰，每登高 1km 气温的 变化量为-6℃，攀登 3km 后，气温有什么变化？ 解：本题是关于有理数的乘法问题，根据题意， （-6）?3=-18 由于规定下降为负，所以气温下降 18℃． 三、巩固练习 课本第 30 页练习．251．第 2 题：降 5 元记为-5 元，那么-5?60=-300（元） 与按原价销售的 60 件商品相比，销售额减少了 300 元．1 1 的倒数分别为 3，-3；5，-5?的倒数分别为 ， 3 5 1 2 2 3 3 1 1 2 2 - ； ，- 的倒数分别是 ，- ；此外，1 与-1， 与- ，5 与-5， 与- 是互为相反数． 5 3 3 2 2 3 3 3 32．第 3 题：1 和-1 的倒数分别是它们的本身； ，四、课堂小结 1．强调运用法则进行有理数乘法的步骤． 2．比较有理数乘法的符号法则与有理数加法的符号法则的区别，?以达到进一步巩固有理数乘法法则 的目的． 五、作业布置 六、板书设计1 31.4.1 有理数的乘法新授 例1例2练习课后反思261.4.1 有理数的乘法教学目标 1．知识与技能 （1）能确定多个因数相乘时，积的符号，?并能用法则进行多个因数的乘积运算． （2）能利用计算器进行有理数的乘法运算． 2．过程与方法 经历探索几个不为 0 的数相乘，积的符号问题的过程，发展观察、归纳、?验证等能力． 3．情感态度与价值观 培养学生主动探索，积极思考的学习兴趣． 重、难点 1．重点：能用法则进行多个因数的乘积运算． 2．难点：积的符号的确定． 教学过程 一、复习提问 1．计算： （1）│-5│（-2） ； （2） （二、新授 1．多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘．1 ）?（-9） ； （3）0?（-99．9） ． 72 1 5 6 ?（-1 ）?（-7）= ?- ?（-7）=-2?（-7）=14； 3 5 3 5 1 又如： （+2）?[（-78）? ]=（+2）?（-26）=-52． 3例如：计算：1 我们知道计算有理数的乘法，关键是确定积的符号． 观察： 下列各式的积是正的还是负的？ （1）2?3?4?（-5） ； （2）2?3?4?（-4）?（-5） ；（3）2?（-3）?（-4）?（-5） ； （4） （-2）?（-3）?（-4）?（-5） ． 易得出： （1） 、 （3）式积为负， （2） 、 （4）式积为正，积的符号与负因数的个数有关． 教师问：几个不是 0 的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？ 学生完成思考后，教师指出：几个不是 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，与正因数的个数 无关，当负因数的个数为负数时，积为负数；当负因数的个数为偶数时，积为正数．272．多个不是 0 的有理数相乘，先由负因数的个数确定积的符号，?再求各个绝对值的积． 例 3：计算：5 9 1 ?（- ）?（- ） ； 6 5 4 4 1 （2） （-5）?6?（- ）? ． 5 4（1） （-3）? 解： （1） （负因数的个数为奇数 3，因此积为负） 原式=-3? =-5 9 1 ? ? 6 5 49 8 4 1 ? =6 5 4（2） （负因数的个数是偶数 2，所以积为正） 原式=5?6?观察下式，你能看出它的结果吗？如果能，说明理由？ 7.8?（-5.1）?0?（-19.6） 归纳：几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于 0，这是因为任何数同 0 相乘，都得 0． 三、巩固练习 课本第 32 页练习． 思路点拨：先观察题目是什么类型，然后按有理数的乘法法则进行， （1） 、 （2）题都是多个不是 0 的 数相乘，要先确定积的符号，再求积的绝对值， （3）?题是几个数相乘，且其中有一个因数为 0，所以直接 得结果 0． 四、课堂小结 本节课我们通过观察实例，归纳出几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数 的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正；几个不等于零的数相乘，先确定积的符号， 再把各个数的绝对值相乘；几个数相乘，有一个因数是 0，积就为零． 在进行有理数运算时，首先要分清类型，然后准确地运用法则． 五、作业布置 六、板书设计1.4.1 有理数的乘法新授 小结 例3 练习课后反思28291.4.1 有理数的乘法第 3 课时 有理数乘法的运算律 教学目标 1．知识与技能 （1）能用乘法的三个运算律来进行乘法的简化运算． （2）能进行乘法及加减法的混合运算． 2．过程与方法 经历探索有理数乘法运算律的过程，发展学生观察、归纳、验证等能力． 3．情感态度与价值观 鼓励学生积极思考，并与同伴进行交流的思想，体会运算律对简化运算的作用． 重、难点与关键 1．重点：能运用乘法运算律进行乘法运算． 2．难点：灵活运用运算律进行乘法运算． 3．关键：掌握乘法运算律以及运算法则． 教学过程 一、复习提问 1．有理数的乘法法则是什么？ 2．在小学里学过正有理数乘法有哪些运算律？ 二、新授 在小学里，数的乘法满足交换律，例如 8?3=3?8． 还满足结合律，例如（4?6）?3=4?（6?3） ． 引入负数后，乘法交换律、结合律是否还成立？ 规定有理数乘法法则后，显然乘法交换律、结合律仍然成立． 例如：5?（-6）=-30， （-6）?5=-30 即 5?（-6）=（-6）?5 [3?（-4）]?（-5）=（-12）?（-5）=60 3?[（-4）?（-5）]=3?（+20）=60 即 [3?（-4）]?（-5）=3?[（-4）?（-5）]30大家可以再任意取一些数，试一试． 一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等． 乘法交换律：ab=ba． 说明：a?b 可以写成 a?b 或 ab．当用字母表示乘法时“?”号可写成“? ”或省略． 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． 乘法结合律： （ab）c=a（bc） ． 在小学里，乘法还满足分配律，例如 6?（1 1 1 1 + ）=6? +6? ． 2 3 2 3任意选取三个有理数（至少有一个负数）分别填入下列□、○和△内，并比较两个运算结果，你能发 现什么？所以：-5?[1 1 +（-2）]=-5? +（-5）?（-2） 5 5这就是说，有理数的乘法仍满足分配律． 一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 分配律：a（b+c）=ab+ac． 以上表示乘法运算律的式子中，a、b、c 表示任意有理数． 乘法的运算律与加法运算律类似，也可以推广到多个数的情况． 在代数学的研究中，运算律是很重要的内容．在计算时运用运算律，往往能使计算简便． 例 4：用两种方法计算（1 1 1 ＋ － ）?12． 4 6 2解法 1：按运算顺序，先计算小括号内的数．1 1 1 ＋ － ）?12 4 6 2 3 2 6 =（ ? ? ）?12 12 12 12 1 =- ?12=-1 12（ 解法 2：运用分配律． （1 1 1 ＋ － ）?12 4 6 231=1 1 1 ?12+ ?12- ?12 4 6 2=3+2-6=-1 思考：比较以上两种方法，哪种解法运算量小？ 显然解法 2 运算量小，它不需要通分． 三、巩固练习 1．课本第 33 页练习． （1）-8500，运用结合律，先算（-25）?（-4） ． （2）15，运用乘法交换律和结合律． （3）25，运用分配律． 2．补充练习． 计算： （1） （-98）?（-0.125）+（-98）? （2）4.98?（-5） ． 思考点拨：可以运用不同的方法进行计算，寻找最佳的解题方法． 四、课堂小结 运算律的运用十分灵活，在有理数的混合运算中，各种运算律常常是混合运用的，这就要求我们要有 较好的掌握运算律进行计算的能力，在平时的练习中，要观察题目特点，寻找最佳解题方法，这样往往可 以减少计算量． 五、板书设计 一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等． 乘法交换律：ab=ba． 在代数学的研究中，运算律是很重要的内容．在计算时运用运算律，往往能使计算简便． 一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． 分配律：a（b+c）=ab+ac． 六、作业布置 课本第 39 页，习题 1．4 第 7 题第（1） 、 （2） 、 （3）小题．1 4 -98?（- ） ； 8 7321.4.2 有理数的除法第 1 课时 有理数的除法 教学目标 1．知识与技能 掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算以及分数的化简． 2．过程与方法 通过学习有理数除法法则，体会转化思想，会将乘除混合运算统一为乘法运算． 3．情感态度与价值观 培养学生勇于探索积极思考的良好学习习惯． 重、难点与关键 1．重点：正确应用法则进行有理数的除法运算． 2．难点：灵活运用有理数除法的两种法则． 3．关键：会将有理数的除法转化为乘法． 教学过程 一、复习提问 1．小学里，除法的意义是什么？它与乘法有什么关系？ 已知两数的积与一个因数，求另一个因数，用除法，乘法与除法互为逆运算除以一个数等于乘以这个 数的倒数． 2．求下列各数的倒数： （1）-2 3 ； （2）-0.125； （3）-1 ． 5 7二、新授 引入负数后，如何计算有理数的除法呢？ 例如 8÷（-4） ． 根据除法意义，这就是要求一个数，使它与-4 相乘得 8． 因为 （-2）?（-4）=8 所以 8÷（-4）=-2 另外，我们知道，8?（-）=-2 ① ②由①、②得 8÷（-4）=8?（-） ③331 1 来进行，即一个数除以-4，?等于乘以-4 的倒数- ． 4 4 1 探索：换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以 a（a≠0）可以转化为乘以 呢？[例如（-10） a③式表明，一个数除以-4 可以转化为乘以÷（-4）] 从而得出有理数除法法则： 除以一个不等于 0 的数，等于乘以这个数的倒数． 这个法则也可以表示成： a÷b=a?1 （b≠0） ， b其中 a、b 表示任意有理数（b≠0）例如：两数相除的商仍有符号和绝对值两部分组成，由于除法可转化为乘法，因此商的符号确定与有理数乘 法类似，你能否得到与有理数乘法法则类似的除法法则吗？ 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 零除以任何一个不等于零的数，都得零． 这是有理数除法法则的另一种说法，具体采用哪一种方法，灵活选用． 例 5：计算： （1） （-36）÷9； （2） （-3 12 ）÷（- ） ． 5 25分析： （1）题，36 能被 9 整除，可以用方法二，直接除； （2）题是分数除法，?可转化为乘法． 解： （1） （-36）÷9=-（36÷9）=-4（先确定符号，再求绝对值） ； （2） （-3 5 4 12 12 ）÷（- ）=（）?（- ）= ． 5 3 5 25 25例 6：化简下列分数： （1）?12 ?45 ； （2） ． 3 ?12分析：分数可以理解为除法，所以要按除法法则进行，可以直接除，也可以转化为乘法，利用乘法的 运算性质简化分数．?12 =（-12）÷3=-4； 3 1 15 ?45 （2） =（-45）÷（-12）=（-45）?（）= ． 12 4 ?12解： （1）34例 7：计算：5 5 1 ）÷（-5） ； （2）-2.5÷ ?（- ） ． 7 8 4 5 5 5 分析： （1） 题是分数除法， 应转化为乘法， 由于 125 化为假分数， 计算量大， 可以把 125 写成 125+ 7 7 7（1） （-125 后用分配律． （2）题是乘除混合运算，应将它统一为乘法，以便约分． 解： （1） （-125 =1255 ）÷（-5） 75 ÷5 （先确定符号） 7 5 1 5 5 =（125+ ）? （除转化为乘，同时将 125 写成 125+ ） 7 5 7 7 1 5 1 =125? + ? （运用分配律） 5 7 5 1 1 =25+ =25 7 7 5 1 5 8 1 （2）-2.5÷ ?（- ）= ? ? =1 8 4 2 5 4遇到乘除混合运算时，可先确定结果的符号，再将它统一为乘法，另外，既有小数，也有分数时，通 常把小数化为分数，以便约分． 三、巩固练习 课本第 36 页练习 1． （1）原式=（-72）÷9=-8；2 ； （3）0． 3 9 1 1 9 1 2． （1）原式=-（36+ ）? =-（36? + ? ） 11 9 9 11 9 1 1 =-（4+ ）=-4 ； 11 11 1 5 5 （2）原式=-12? ? =- ； 4 6 2 2 8 64 （3）原式=- ? ?4=． 3 5 15（2）原式=（-30）÷（-45）=30÷45= 四、课堂小结 本节课学习了有理数的除法法则，有理数的除法有两种方法．一是根据“除以一个数，等于乘以这个 数的倒数” ，转化为乘法，按乘法法则进行．二是根据“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相 除．一般能整除时用第二种方法．乘除混合运算，先统一为乘法，再按几个不等于 0 的数相乘的法则计算． 五、作业布置课本第 38 页习题 1．4 第 4、6、7（4）～（8）351.4.2 有理数的除法第 2 课时 有理数的加减乘除混合运算 教学目标 1．知识与技能 （1）会用计算器计算有理数的除法运算． （2）掌握有理数的加减乘除混合运算． 2．过程与方法 通过本节课的数学活动，培养学生分析问题，综合应用知识解决实际问题的能力． 3．情感态度与价值观 培养学生动手操作能力，体会数学知识的应用价值． 重、难点与关键 1．重点：掌握有理数的加减乘除混合运算． 2．难点：符号的确定． 3．关键：掌握运算顺序以及运算法则． 教学过程 一、复习提问 在小学里，加减乘除四则运算的顺序是怎样的？ 答：先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行，有括号的，先算括号内的，另外还要注意灵活应用 运算律． 有理数加减、乘除混合运算顺序与数的运算顺序一样． 二、范例学习 例 8．计算： （1）-8+4÷（-2） ； （2） （-7）?（-5）-90÷（-15） ． 分析： （1）按运算顺序，先做除法，再做加法． （2）先算乘、除法，然后做减法． 解： （1）-8+4÷（-2） =-8+（-2） =-10 （2） （-7）?（-5）-90÷（-15） =35-（-6）36=35+6 =41 思路点拨： （2）题，也可以看作（-7）?（-5）+（-90）÷（-15） ，所以原式=35+6=41． 学生完成课本第 36 页． 例 9：某公司去年 1～3 月平均每月亏损 1.5 万元，4～6 月平均每月盈利 2 万元，7?～10 月平均每月 盈利 1.7 万元，11～12 月平均每月亏损 2.3 万元，这个公司去年总的盈利情况如何？ 分析：盈利与亏损是具有相反意义的量，我们把盈利额记为正数，?亏损额记为负数，那么公司去年 全年亏盈额就是去年 1～12 月的所亏损额和盈利额的和． 解： （-1.5）?3+2?3+1.7?4+（-2.3）?2 =-4.5+6+6.8-4.6=3.7（万元） ． 答：这个公司去年全年盈利 3.7 万元．1 1 1 1 1 -[（+ ）-（- ）-（+ ）]÷（） ． 3 7 3 5 105 1 1 1 1 1 解：原式=36? ? -（ + - ）?（-105） 3 3 7 3 5 1 1 1 =4+（ + - ）?105 7 3 5 1 1 1 =4+ ?105+ ?105- ?105 7 3 5例 10：计算 36÷3? =4+15+35-21=33 思路点拨：先将题中的除法转化为乘法运算，中括号内的加减法，统一为加减，注意应用分配律可使1 1 1 1 1 1 + - ）?（-105）时，先把-（ + - ）看作一个数，根 7 3 5 7 3 5 1 1 1 1 1 据同号两数相乘得正，得+（ + - ）?105，计算 36÷3? 时，可以先直接得 12? ，但不能先计算 7 3 5 3 3 1 3? ．同级运算，应按从左往右顺序进行． 3运算简便，为了防止符号出错，计算-（ 计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比笔算要快捷得多． 教师操作多媒体，展示课本第 37 页图 1．4-6 两种电子计算器面板示意图，?介绍计算器的简单使用 方法． 例如：用计算器计算例 9 中的： （-1.5）?3+2?3+1.7?4+（-2.3）?2 学生阅读课本第 37 页有关内容，按课本介绍的方法操作．教师巡视，?关注学习有困难的学生，给予 指导．37不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同，具体用法参见说明书． 学生完成课本第 37 页练习． 三、巩固练习 1．计算．1 ?（-100） ； 2 3 2 1 3 7 7 （3）0÷（- ）?（- - ） ； （4） （ - ）÷（- ） ； 4 3 3 4 8 8 1 7 3 2 1 （5） （-2-1 ）?（-1 ）÷（-2 ） ； （6） （-3）÷[（- ）÷（- ）]． 3 8 4 5 4（1）11+（-22）-3?（-11） ； （2） （-0.1）÷ 2．一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶侧得温度是-1℃，小莉此时在山脚测得 温度是 5℃，已知该地区高度每增加 100 米，气温大约降低 0.8℃，这个山峰的高度大约是多少米？ 四、课堂小结 对于有理数的加减乘除四则运算，首先确定运算顺序，先乘除，后加减，同级运算谁在前先算谁，一 般情况将除法转化为乘法，减法转化为加法，灵活应用运算律，有括号的应先算括号，计算时特别注意符 号的确定，注意检查，使结果正确无误． 五、作业布置 课本第 39 页至第 40 页习题 1．4 第 8、11、12、13、14、15 题．381.5.1 有理数的乘方第 1 课时 乘方 教学目标 1．知识与技能 （1）正确理解乘方、幂、指数、底数等概念． （2）会进行有理数乘方的运算． 2．过程与方法 通过对乘方意义的理解，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，渗透转化思想． 3．情感态度与价值观 培养探索精神，体验小组交流、合作学习的重要性． 重、难点与关键 1．重点：正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法则． 2．难点：正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算． 3．关键：弄清底数、指数、幂等概念，注意区别－a 与（－a） 的意义． 教学过程 一、复习提问 1．几个不等于零的有理数相乘，积的符号是怎样确定的？ 答：几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为奇数时，积为负； 当负因数的个数为偶数时，积为正． 2．正方形的边长为 2，则面积是多少？棱长为 2 的正方体，则体积为多少？ 答：边长为 2 时，正方形的面积为 2?2=2 =4，棱长为 2 的正方体的体积为 2?2?2=2 =8． 二、新授 边长为 a 的正方形的面积是 a?a，棱长为 a 的正方体的体积是 a?a?a． a?a 简记作 a ，读作 a 的平方（或二次方） ． a?a?a 简记作 a ，读作 a 的立方（或三次方） ． 让我们再看一个例子，某种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个，经过 5 个时，这种细胞由 1 个分 裂成多少个？3 2 2 3 n n391 个细胞 30 分钟分裂成 2 个，1 小时后分裂成 2?2，1.5 小时后分裂成 2?2?2，?，5 小时后要 分裂 10 次，分裂成2 ?2 ???? 2 ?? ? ? ? 2 =1024（个） ?? ? ?10个 2为了简便，可将 2 ?2 ???? 2 ?? ? ? ? 2 记作 2 ． ?? ? ?1010个 2一般地，几个相同的因数 a 相乘，记作 a ．即 a ? a?? ?a? ? ?a =a ? ? ?n个ann这种求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂． 在 a 中，a 叫底数，n 叫做指数，当 a 看作 a 的 n 次方的结果时，也可以读作 a 的 n 次幂．n n例如， 在 9 中， 底数是 9， 指数是 4， 9 读作 9 的 4 次方， 或 9 的 4 次幂， 它表示 4 个 9 相乘， ?即 9?9?9?； 又如（－2） 的底数是－2，指数是 4，读作－2 的 4 次方（或－2 的 4 次幂） ，它表示（－2）?（－2）? （－2）?（－2） ． 思考：3 与 2 有什么不同？（－2） 与－2 的意义是否相同？其中结果是否一样？（－2） 与－2 呢？ （2 3 3 3 4 4 4443 2 32 ） 与 呢？ 5 5答：3 的底数是 3，指数是 2，读作 3 的 2 次幂，表示 3?3，结果是 9；2 的底数是 2，?指数是 3，读2 3作 2 的 3 次幂，表示 2?2?2，结果是 8． （－2） 的底数是－2，指数是 3，读作－2 的 3 次幂，表示（－2）?（－2）?（－2） ，结果是－8； －2 的底数是 2，指数是 3，读作 2 的 3 次幂的相反数，表示为－（2?2?2） ，结果是－8． （－2） 与－2 的意义不相同，其结果一样． （－2） 的底数是－2，指数是 4，读作－2 的四次幂，表示 （－2）?（－2）?（－2）?（－2） ，? 结果是 16；－2 的底数是 2，指数是 4，读作 2 的 4 次幂的相反数，表示为 －（2?2?2?2） ，其结果为－16． （－2） 与－2 的意义不同，其结果也不同．4 4 4 4 3 3 3 340（32 3 2 3 3 3 3 9 2 ） 的底数是 ，指数是 2，读作 的二次幂，表示 ? ，结果是 ； 表示 3 与 5 的商， 5 5 5 5 5 25 5即9 3? 3 ，结果是 ． 5 5因此，当底数是负数或分数时，一定要用括号把底数括起来． 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如 5 就是 5 ，指数 1 通常省略不写． 因为 a 就是 n 个 a 相乘，所以可以利用有理数的乘方运算来进行有理数的乘方运算． 例 1：计算： （1） （－4） ； （2） （－2） ； （3） （－ （4）3 ； （5）2 ； （6） （－3 3 4 3 4 n 11 5 ）； 21 2 ）． 3解： （1） （－4） =（－4）?（－4）?（－4）=－64 （2） （－2） =（－2）?（－2）?（－2）?（－2）=16 （3） （－3 41 5 1 1 1 1 1 1 ） =（－ ）?（－ ）?（－ ）?（－ ）?（－ ）=－ 2 2 2 2 2 2 32（4）3 =3?3?3=27 （5）2 =2?2?2?2=16 （6） （－41 2 1 1 1 ） =（－ ）?（－ ）= 3 3 3 95 6例 2：用计算器计算（－8） 和（－3） ． 解：用带符号键（－）的计算器． 开启计算器后按照下列步骤进行： （ （－） 8 ） ∧ 5 =显示： （－8）^ 5 －32768 即（－8） =－32768 （ （－） 3 ） 66 5∧6=显示： （－3）^729 即（－3） =729 用带符号转换键 +/－ 的计算器： 8 +/－ ∧ 5 =显示：－32768413+/－∧6=显示：729 所以（－8） =－327685（－3） =7296从例 1 和例 2，你能发现正数的幂、负数的幂的正负有什么规律？ 底数为正数时，不论指数是偶数还是奇数，其结果都是正数． 若底数为负数，当指数是偶数时，其结果是正数，当指数是奇数时其结果为负数． 实际上这可以根据有理数的乘法法则，积的符号由负因数的个数来确定，负因数是奇数个时，积为负 数，负因数个数为偶数时，积为正． 因此，可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何非零次幂都是正数；0 的 任何非零次幂都是 0． 三、巩固练习 1．课本第 52 页练习 1、2． 2．补充练习． （1）下面各式计算正确的是（ ） ． A．－2 =－42B．－（－2） =42C． （－3） =62D． （－3） =13（2）下列各式是否正确，若有错误，请改正过来． ①∵4 =4?3=13，3 =3?4=12，∴4 =32 2 3 4 3 4②∵（－3） =－3?3=－9，－3 =－3?3=－9，∴（－3） =－9 （3）如果（－2） &0，则（－1） =_______；如果（－ 四、课堂小结m m221 n n ） &0，则（－1） =_____． 3n n正确理解乘方的意义，a 表示 n 个 a 相乘的积．注意（－a） 与－a ?两者的区别及相互关系： （－a）nn的底数是－a， 表示 n 个－a 相乘的积； －a 底数是 a， 表示 n 个 a 相乘的积的相反数． 当 n 为偶数时， （－n n n nna） 与－a 互为相反数，当 n 为奇数时， （－a） 与－a 相等． 五、作业布置 课本第 47 页习题 1．5 第 1 题，第 48 页第 11、12 题．421.5.1 有理数的乘方第 2 课时 有理数的混合运算 教学目标 1．知识与技能 掌握有理数混合运算的顺序，能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算． 2．过程与方法 通过例题学习，发展学生观察、归纳、猜想、推理等能力． 3．情感态度与价值观 体验获得成功的感受、增加学习自信心． 重、难点与关键 1．重点：能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算． 2．难点：灵活应用运算律，使计算简单、准确． 3．关键：明确题目中各个符号的意义，正确运用运算法则． 教学过程 一、复习提问 1．我们已经学习了哪几种有理数的运算？ 2．有理数的乘方法则是什么？ 二、新授 下面的算式里有哪几种运算？ 3+50÷2 ?（－21 ）－1 5①这个算式里，含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，按怎样的顺序进行运算？ 有理数的混合运算，应按以下运算顺序进行： 1．先乘方，再乘除，最后加减； 2．同级运算，从左往右进行； 3．如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 例如上面①式1 ）－1 5 1 =3+50÷4?（－ ）－1 53+50÷2 ?（－243=3+50? =3－1 1 ?（－ ）－1 4 55 －1 2 1 =－ 2例 3：计算： （1）2?（－3） －4?（－3）+15； （2） （－2） +（－3）?[（－4） +2]－（－3） ÷（－2） ． 分析：分清运算顺序，先乘方，再做中括号内的运算，接着做乘除，最后做加减．计算时，特别注意 符号问题． 解： （1）原式=2?（－27）－（－12）+15 =－54+12+15 =－27 （2）原式=－8+（－3）?（16+2）－9÷（－2） =－8+（－3）?18－（－4.5） =－8－54+4.5=－57.5 例 4：观察下面三行数： －2，4，－8，16，－32，64，?① 0，6，－6，18，－30，66，? ② －1，2，－4，8，－16，32，? ③ （1）第①行数按什么规律排列？ （2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ （3）取每行数的第 10 个数，计算这三个数的和． 分析： （1）第行数，从符号看负、正相隔，奇数项为负数，偶数项为正数，?从绝对值看，它们都是 2 的乘方． 解： （1）第①行数是 －2， （－2） ， （－2） ， （－2） ， （－2） ， （－2） ，? （2）对比①②两行中位置对应的数，你有什么发现？?2 ?2 ?2 ?2 ?2 ?? ? 0, 4 ?? ? 6, ? 8 ?? ??6, 16 ?? ?18, ..2 3 4 5 6 3 2 2 3第②行数是第①行相应的数加 2． 即 －2+2， （－2） +2， （－2） +2， （－2） +2，?2 3 444对比①③两行中位置对应的数，你有什么发现？ 第③行数是第①行相应的数的一半，即 －2?0.5， （－2） ?0.5， （－2） ?0.5， （－2） ?0.5，? （3）根据第①行数的规律，得第 10 个数为（－2） ，那么第②行的第 10 个数为（－2） +2，第③ 行中的第 10 个数是（－2） ?0.5． 所以每行数中的第 10 个数的和是： （－2） +[（－2） +2]+[（－2） ?0.5] =1024+（1024+2）+ =2=2562 三、巩固练习 课本第 44 页练习． （1）原式=1?2+（－8）÷4=2+（－2）=0 （2）原式=－125－3?10 10 10 10 10 10 2 3 41 3 =－125 16 1611 1 3 1 3 4 11 1 3 4 ?( ? ? ? )? ? ?( ? )? ? 5 3 11 2 11 5 5 11 22 5 1 3 4 4 6 2 ( ? )? ? ? ?? 5 10 5 25 25 25 (3)原式 ?（4）原式=10000+[16－（3+9）?2] =10000+（16－12?2） =10000+（16－24）=10000+（－8） =9992 四、课堂小结 在进行有理数混合运算时，一般按运算顺序进行，但有时根据运算律会使运算更简便，因此要在遵守 运算顺序外，还要注意灵活运用运算律，使运算快捷、准确． 五、作业布置 课本第 47 页至第 48 页习题 1．5 第 3、8 题．451.5.2 科学记数法教学目标 1．知识与技能 借助身边熟悉的事物体会大数和小数，并会用科学记数法表示大数和小数． 2．过程与方法 通过学生回顾 10 的 n 次幂的意义和规律，以帮助理解科学记数法． 3．情感态度与价值观 培养学生自主探索交流、尝试出表示大数和较小的数的简单方法． 重、难点与关键 1．重点：会用科学记数法表示较大的数． 2．难点：用科学记数法表示较小的数． 3．关键：理解乘方意义和负指数的概率． 教学过程 一、复习提问 1．乘方的意义，a 表示什么意义？底数是什么？指数是什么？ 2．计算： （1）10 ； （2）10 ； （3）10 ； （4）10 ； （5） （0.1） ； （6） （0.1） ； （7） （0.1） ． 二、新授 现实中，我们常常遇到比 100 万更大的数． ? ?例如第五次人口普查时，??中国人口约为 ?人，??太阳半径约为 ，光的速度约 为
米/秒．读、写这样大的数有一定困难，那么有简单的表示方法吗？ 让我们先观察 10 的乘方有什么特点？ 10 =100，10 =000，?n个0 ??? 10 = 100? ? ? 0n 2 3 4 4 2 3 4 5 2 3即 10 的 n 次幂等于 10?0（在 1 的后面有 n 个 0） ，所以可以利用 10 的乘方表示一些大数，例如 .67?.67?108读作：“5.67 乘 10 的 8 次方（幂）”． 这样不仅可以使书写简短，同时还便于读数．46像上面这样，把一个大于 10 的数表示成 a?10 的形式，其中 a?是整数数位只有一位的数（1≤a&10） ， n 是正整数，这种记数方法叫科学记数法． 例如用科学记数法表示中国人口约为 1.3?10 人，太阳半径约为 6.96?10 米，光的速度约为 3?10 米/秒． 例 5：用科学记数法表示下列各数． ． 解： （这里 a=1 省略不写） .7?.7?107 6 9 8 8n=1.23?=1.23?1011观察上面的式子，等号左边整数的位数与右边 10 的指数有什么关系？ 1000000 是 7 位整数，而 10 的指数是 6， 是 8 位整数，而 10 的指数为 7． 即等号右边 10 的指数比左边整数的位数小 1． 问：如果一个数是 6 位整数，用科学记数法表示时，10 的指数是多少？?如果一个数有 8 位整数呢？ 用科学记数法表示一个 n 位整数，其中 10 的指数是 n－1． 注意：“n 位整数”是指这个数的整数部分的位数． 例如：831.5 的整数部分是 3 位，用科学记数法表示为 8.315?10 ． 另外，用科学记数法表示一个数时，规定 a 必须是大于或等于 1 且小于 10． 练习（课本第 45 页） 解：1．10000=10 ，?10 ， .6?10 ，.4?10 ． 2.1?10 =?10 =?10 =8500000， 7.04?10 =.96?10 =39600． （原数的整数部分的位数比 10 的指数大 1） 在生活中，我们还常常遇到一些较小的数据．例如存在于生物体内在某种细胞的直径约为百万分之一 米，?即 1?微米，??本次中特等奖的概率只有百万分之一，??即 0．000001，它们也能用科学记数法表示 吗？ 本章引言中有 1 纳米=10 米，这是什么意思呢？ 1 纳米是非常小的长度单位，1 米是 1 纳米的 10 亿倍，也就是说 1 纳米是 1?米的十亿分之一，两者之 间的单位换算关系可以表示为：5 4 7 3 6 7 6 4 5 2471 米=10 纳米，或 1 纳米=91 米 109－9在科学记数法中，后一式子表示为 1 纳米=10 米 一般地，当 a≠0，n 是正整数时，a = 例如 1 米=10 厘米，或 1 厘米= 即 0.01=10－2 2 －n1 an1 －2 米=10 米． 2 10三、巩固练习 1．课本第 47 页习题 1．5 第 1、2 题． 2．下列用科学记数法表示的数，原数各是什么数？ （1）北京故宫的占地面积约为 7.2?10 米 ． （2）人体中约有 2.5?10 个红细胞． （3）全班每年大约有 5.77?10 米 的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． （4）10 米又称 1 微米． 四、课堂小结 用科学记数法表示较大的数时，注意 a?10 中 a 的范围是 1≤a&10，n 是正整数，n 与原数的整数部分 的位数 m 的关系是 m－1=n，?反过来由用科学记数法表示的数写出原数时，原数的整数部分的数位 m 比 10 的指数大 1． （即 m=n+1） 另外，对于绝对值较大的负数，如－729000，它可表示为－7.29?10 ，它的意义是 7.29?10 的相反 数，这里的 a 仍然是 1≤a&10． 对于较小的数，如 0.00012，因为 0.÷÷10 =1.2? 五、作业布置 课本第 47 页习题 1．5 第 4、5、9、10 题．4 5 5 n －6 14 3 13 5 21 －4 =1.2?10 ． 4 10481.5.3 近似数教学目标 1．知识与技能 （1）给了一个近似数，你能说出它精确到哪一位，有几个有效数字． （2）给了一个数，会按照精确到哪一位或保留几个有效数字的要求，?四舍五入取近似数． 2．过程与方法 从测量引入近似数，使学生体会近似数的意义和生活中的应用． 3．情感态度与价值观 培养学生认真细致的学习态度，合作交流的意识． 重、难点与关键 1．重点：近似数，精确度，有效数字概念． 2．难点：由给出的近似数求其精确度及有效数字． 3．关键：理解有效数字的概念和小数点末尾的零的意义． 教学过程 一、新授 1．准确数和近似数． 在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数．例如：对于参加同一个会议的人数，有两种报 道，?一种报道说：“会议秘书处宣布，?参加今天会议的有 513 人”．这里数字 513 确切地反映了实际人 数， 它是一个准确数， 另一种报道说： “约有 500 人参加了今天的会议”， 500 这个数只能接近实际人数， 但与实际人数还有差别，它是一个近似数． 例如，统计班上喜欢看球赛同学的人数是 35，这个数是与实际完全符合的准确数，一个也不多，一个 也不少，又如，初一（1）班有 55 个学生，某工厂有 126 台机床，?我有 8 本练习本，这些数都是与实际 完全符合的准确数． 如果量得语文课本的宽为 13.5cm， 由于所用尺的刻度有精确度限制， 而且用眼观察时不可能非常细致， 因此与实际宽度有一点偏差，这里的 13.5cm 只是一个与实际宽度非常接近的数，又如，宇宙现在的年龄 约为 200 亿年，长江长约 6300 千米，?圆周率 ? 约为 3.14，这些数都是近似数． 在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数． 你还能举出一些日常遇到的近似数吗？ 2．关于精确度问题49近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，例如，前面的 500 是精确到百位的近似数，它与准 确数 513 的误差为 13． 我们都知道圆周率 ? =3.141592? 计算时我们需按照要求取近似数． 如果要求按四舍五入精确到个位，那么≈3； 如果要求按四舍五入精确到 0.1（或精确到十分位） ，那么 ? ≈3.1； 如果要求按四舍五入精确到 0.01（或精确到百分位） ，那么 ? ≈3.14； 如果要求按四舍五入精确到 0.001（或精确到千分位） ，那么 ? ≈_______； 反过来，若 ? ≈3.1416，那么精确到________，或叫精确到_______． ?? 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位． 3．近似数的有效数字． 一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，?所有数字都是这个数的有效数字，一 共包含的有效数字的个数，叫这个近似数的有效数字的个数． 例如近似数 0.025 有两个有效数字：2，5；1500 有 4 个有效数字：1，5，0，0；0.103?有有 3 个有效 数字：1，0，3． 对于用科学记数法表示的数 a?10 ，规定它的有效数字就是 a 中的有效数字，例如近似数 5.104?10 有 4 个有效数字：5，1，0，4． 规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求． 一般说，对于同一个数取近似数时，有效数字个数越多，精确程度越高．如果四舍五入法对 ? 取近似 数时，若要求保留 1 个有效数字，则 ? ≈3；若要求保留 3 个有效数字，?则 ? ≈3.14． 例 6：按括号内的要求，用四舍五入法对下列数取近似数． （1）0.0158（保留 2 个有效数字） ； （2）30435（保留 2 个有效数字） ； （3）1.804（保留 2 个有效数字） ； （4）1.804（保留 3 个有效数字） ； （5）3.5046（精确到百分位） ； （6）2.971?10 （保留 2 个有效数字） ． 解： （1）0.； （2）5≈10 ≈3.04≈10 （或 3.04 万） ；504 4 4 n 6（3）1.804≈1.8； （4）1.804≈1.80； （5）3.； （6）2.971?10 ≈3.0?10 ． 思路点拨： （2）题，不能写成 3，如果这样写，?那就看不出哪些是保留的有效数字，而 近似数 30400 是有 5 个有效数字，所以做这类题，?先将它用科学记数法表示，再按照规定保留有效数字， 或者写成 3.04 万． （4）题中，1.80，这里的 0 不能去掉，由四舍五入得到的 1.8 与 1.80 的精确度是不同 的，前者是精确到 0.1，是保留 2 个有效数字，而后者是精确到 0.01，保留 3 个有效数字，同理（6）题 中 3.0?10 的 0 也不能丢了． （5）题，不能先约等于 3.505，再约等于 3.51，四舍五入精确到百分位，? 是将千分位四舍五入，与千分位后面的数字无关． 例 7：下列是由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？保留几个有效数字？ （1）132.4； （2）0.0572； （3）2.40 万； （4）3000． 解： （1）132.4 是精确到 0.1，保留 4 个有效数字． （2）0.0572 是精确到 0.0001，保留 3 个有效数字． （3）2.40 万是精确到百位，保留 3 个有效数字． （4）3000 是精确到个位，保留 4 个有效数字． 二、巩固练习 1．课本第 46 页练习． 2．补充练习： 下列由四舍五入得到的近似数，分别精确到哪一位，有几个有效数字． （1）25.7； （2）0.407； （3）103 万； （4）1.60； （5）10 亿． 思路点拨： （1）精确到 0.1（或十分位） ，有 3 个有效数字． （2）精确到 0.001（或千分位）有 3 个有效数字． （3）精确到万位，有 3 个有效数字． （4）精确到 0.01（或百分位） ，有 3 个有效数字． （5）精确到千万位，有 2 个有效数字． 三、课堂小结 正确理解和掌握近似数、 准确数和有效数字的概念， 给出一个近似数， 能准确地确定它精确到哪一位， 有哪几个有效数字，并能按要求求一个数的近似数． 四、作业布置 课本第 47 页至第 48 页习题 1．5 第 6、7、11 题514 4 42.1.1 整式――单项式 教学目标1．能用代数式表示实际问题中的数量关系． 2.理解单项式、单项式的次数，系数等概念，会指出单项式的次数和系数． 3.重点：单项式的有关概念． 4.难点：负系数的确定以及准确确定一个单项式的次数．教学方法引导观察，发现，归纳法；鼓励法教具准备教科书导入新课1．青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地 段的行驶速度是 100 千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到 120 千米/时， 请根据这些数据回答下列问题： 列车在冻土地段行驶时，2 小时能行驶多少千米？3 小时呢？t 小时呢？ 分析：根据速度、时间和路程之间的关系：路程=速度?时间．?列车在冻土地 段 2 小时行驶的路程是 100?2=200（千米） ，3 小时行驶的路程为 100?3=300 （千米） ，?t 小时行驶的路程为 100?t=100t（千米） ． 2．下面，我们再来看几个用含字母的式子表示数量关系的问题． 用含有字母的式子填空，看看列出的式子有什么特点． （1）边长为 a 的正方体的表面积为______，体积为_______． （2）铅笔的单价是 x 元，圆珠笔的单价是铅笔的单价的 2.5?倍，圆珠笔的单价52是_______元． （3）一辆汽车的速度是 v 千米/时，它 t 小时行驶的路程为_______千米． （4）数 n 的相反数是_______． 教师课堂巡视，关注中下程度的学生，及时引导，学生探究交流． 上面各问题的代数式分别是：6a2，a3，2.5x，vt，-n． 上面的各代数式有什么共同的特点？教学过程一、新授上面各式中，数字与字母之间，字母与字母之间都是乘法运算，?它们都是数字 与字母的积，例如：6a2 表示 6?a2，a3 表示 1?a3，2.5x 表示 2.5?x，vt 表示 1 ?v?t，-n?表示-1?n． 像上面这样，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字 母也是单项式．如：-2，a， ，都是单项式，而 ，1+x 都不是单项． 单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：6a2 的系数是 6，a3 的系数 是 1，-n 的系数是-1，ab 1 的系数是- ． 5 5 1 3 1 a单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写成前面，?当一个单项式的系数是 1 或-1 时通常省略不写． 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．例如，2.5x?中字 母 x 的指数是 1，2.5x 是一次单项式；vt 中字母 v 与 t 的指数和是 2，vt 是二 次单项式，-ab2c 中字母 a、b、c 的指数和是 4，-ab2c 是 4 次单项式． 二、范例学习 例 1．用单项式填空，并指出它们的系数和次数．53（1）每包书有 12 册，n 包书有_______册． （2）底边长为 a，高为 h 的三角形的面积是______． （3）一个长方体的长和宽都是 a，高是 h，它的体积是_______． （4）一台电视机原价 a 元，现按原价的 9 折出售，这台电视机现在售价为_____ 元． （5）一个长方形的长为 0.9，宽是 a，这个长方形的面积是_________． 教师操作投影仪，展示例 1，学生思考、交流．师生互动． 思路点拨： （1）12n，它的系数是 12，次数是 1； （2）根据三角形的面积公式，得 ah，它的系数是 ，次数是 2； （3）根据长方体的体积公式=长?宽?高，得 a2h，它的系数是 1，次数是 3； （4）0.9a，它的系数是 0.9，次数是 1； （5）0.9a，系数为 0.9，次数为 1． 教学时，以师生互动方式进行，由学生口述，教师板书． 强调：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不写的，表示 这个字母的指数是 1，不是“没有” ． 用字母表示数后，同一个式子在不同的问题中可以表示不同的含义．例如，在 问题（4） 、 （5）中，所填的结果都是 0.9a，一个是表示电视机的售价，一个是 表示长方形的面积，你还能赋予 0. 9a 一个含义吗？ 让学生交流各自想法，加深对字母表示数的理解．1 2 1 2三、巩固练习1．下列各式是不是单项式？为什么？ （1）x-2y； （2）- ;x 5 (3) 4 ; m (4) a?b ； （5）-1． 5542．判断下列各说法是否正确，错误的改正过来． （1）单项式-xy2 的系数是 0，次数是 2． （2）单项式 27a2 的系数是 2，次数是 9． （3）单项式2xn y 2 的系数是- ，次数是 n+1． 3 33．请你写出系数为-，含有 x、y，次数为 4 的所有单项式． 教师操作投影仪，出示上述练习题，独立思考，然后进行交流． 4．课本第 56 页练习 1、2 题． 教师巡视，关注中下程度的学生，适时给予指导，学生独立完成后，相互交流． 思路点拨：1． （2 ） 、 （5）是单项式， （1） 、 （ 3） 、 （4）都不是单项式，因为它们 不是数字与字母的乘积． 2． （1） 、 （2）错误，订正：-xy2 的系数是-1，次数是 3，27a2 的系数是 a7，次数 是 2， （3）正确．3．- xy3，- x2y2，- x3y．2 3 2 3 2 34．略．四、课堂小结师生互动，共同学习小结本节课内容． 1．什么叫单项式？举例说明． 2．单独的一个数或一个字母是单项式吗？ 是单项式吗？为什么？ 3．什么叫单项式的系数？什么叫单项式的次数？举例说明．x a五、黑板设计：1.问题 1 ―――――――――――――――――――――― 2.问题 2 -------------------------------------------3.单项式的概念:-------------------------------------4.巩固练习：555.例题 1： （1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） 、 （5）六、作业布置习题 2．1 第 1、2、8 题．562.1.2 整式――多项式教学目标1．知识与技能 使学生理解多项式、整式的概念，会准确确定一个多项式的项数和次数． 2．过程与方法 通过实例列整式，培养学生分析问题、解决问题的能力． 3．情感态度与价值观 培养学生积极思考的学习态度，合作交流意识，了解整式的实际背景，进 一步感受字母表示数的意义．重、难点与关键1．重点：多项式以及有关概念． 2．难点：准确确定多项式的次数和项． 3．关键：掌握单项式和多项式次数之间的区别和联系．教具准备：教科书 教学过程 一、复习提问1．什么叫单项式？举例说明． 2．怎样确定一个单项式的系数和次数？3．列式表示下列问题： （1）一个数比数 x 的 2 倍小 3，则这个数为________． （2）买一个篮球需要 x（元） ，买一个排球需要 y（元） ，买一个足球需要 z （元） ，买 3 个篮球，5 个排球，2 个足球共需________元．573ab 2 c 的系数、次数分别是多少？ 7（3）如图 1，三角尺的面积为________．(1)(2)（4）如图 2 是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是________平 方米． 老师操作投影仪，展示上述问题，关注学生列式情况，学生小组交流、合 作学习． 思路点拨： （1）数 x 的 2 倍表示为 2x，因此比 x 的 2 倍小 3 的数为 2x-3； （2）一个篮球 x（元） ，3 个篮球为 3x 元；一个排球 y（元） ，5 个排球要 5y 元；?一个足球 z（元） ，2 个足球要 2z 元，因此一共需（3x+5x+2z）元； （3） 三角尺的面积等于三角形的面积减去圆的面积， 三角形的面积为 ab， ?圆面积为 ? r2，因此三角尺的面积为 ab- ? r2； （4）每个房间的建筑面积分别为 x2 平方米，2x 平方米，6 平方米，12 平方 米，?因此这所住宅的建筑面积为（x2+2x+18）平方米． 上面列出的式子 2x-3，3x+5y+2z， ab- ? r2，x2+2x+18，它们是单项式吗？ 这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？ 2x-3 可看作 2x 与-3 的和：3x+5y+2z 可以看作单项式 3x、5y 与 2z 的和； 同样 ab- ? r2 看作 ab 与- ? r2 的和，x2+2x+18 可以 x2、2x、18 的和．1 2 1 2 1 2 1 2 1 2二、新授请同学们阅读课本第 57 页有关内容，并回答下列问题．581．几个单项式的和叫做_________； 2．在多项式中，每个单项式叫做_________； 3．在多项式中，不含字母的项叫做_________； 4．在多项式中，_____________________，叫做这个多项式的次数． 5．多项式的次数与单项式的次数有什么区别？ 6．请说出上面各多项式的次数和项． 思路点拨： （1） 多项式的各项应包括它前面的符号， 比如， 多项式 6x2- x-3 中第二项是- x，而不是 x，常数项是-3，不是 3．多项式没有系数概念，但 其每一项均有系数，每一项的系数应包括自己的符号． （2）多项式的次数与单项式的次数概念不同，但又有联系， ?首先求出此 多项式各项（单项式）的次数，次数最高的就是这个多项式的次数． （3）一个多项式的最高次项可以不唯一，次高项也可以不唯一，?如，?多 项式 3x2y- xy2+x2-xy-5 中，最高次项为 3x2y 和- xy2，二次项也有 2 项，x2 和 -xy，?这个多项式为二次五项式． 单项式和多项式统称为整式，例如：100t，6a3，vt，-n，2x-3，3x+5y+2z 等都是整式．1 2 1 2 1 2 1 2 1 2三、范例学习例 1．用多项式填空，并指出它们的项和次数． （1）温度由 t℃下降 5℃后是_______℃． （2）甲数 x 的 与乙数 y 的 的差可以表示为_________． （3）如课本图 2．1-3，圆环的面积为________． （4）如课本图 2．1-4，钢管的体积是________．591 31 2思路点拨： （1） t-5， 它的项为 t 和-5， 次数是 1； （2） 甲数 x 的 表示为 x， 乙数 y?的 表示为 y， 它们的差为 x- y， 它的项为 x 和- y， 次数为 1； （3） ? 圆环面积等于大圆面积减去小圆面积，因此圆环面积为 ? R2- ? r2 ，它的项是 ． （4）?钢管的体积等于大圆柱的体 ? R - ? r ，次数是 2（ ? 是常数是 R 的系数） 积减去小圆柱的体积，即 ? R2a- ? r2a，它的项是 ? R2a 和- ? r2a，次数是 3． 例 2．一条河流的水流速度为 2.5 千米/时，如果已知船在静水中的速度， 那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？如果甲、?乙两 条船在静水中的速度分别是 20 千米/时和 35 千米/时，?则它们在这条河流中的 顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少？ 教师操作投影仪，展示例 2，并引导学生进行分析： 顺水行驶时船的速度=船在静水中的速度+水流速度 逆水行驶时船的速度=船在静水中的速度-水流速度 这里水流速度为 2.5 千米/时，如果，我们设船在静水中的速度为 v 千米/ 时，?那么船在顺水行驶时的速度表示为（v+2.5）千米/时，船在逆水行驶时的 速度为（v-2.5）千米/时． 当 v=20 时，则 v+2.5=20+2.5=22.5，v-2.4=20-2.5=17.5；当 v=35 时，则 v+2.5=35+2.5=37.5，v-2.5=35-2.5=32.5．因此，甲船顺水行驶的速度是 22.5 千米/时，逆水行驶的速度为 17.5 千米/时；乙船顺水行驶的速度是 37.5 千米 /?时，?逆水行驶的速度为 32.5 千米/时． 思路点拨：从例 2 可以看到：用整式表示实际问题中的数量关系，然后再 将整式中的字母所表示的不同数代入计算，从而可求出相应的值，这给问题的 解决带来方便．?代入时，要将整式中省略掉的乘号添上．例如，当 x=-1 时，602 2 21 31 31 21 21 31 21 31 2整式 2x23x+1 的值为 2?（-1）2-3?（-1）+1=2?1+3+1=6． 四、巩固练习 1．下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？m ?1 2 ，-ab，-5， -1，3m-4n+m2n． 3 x m ?1 （3x，-ab，-5 都是单项式；2x-1， ，3m-4n+m2n 都是多项式；题目中 33x，2x-1，除 -1 以外都是整式） 思路点拨：m ?1 m 1 2 2 = + ，是一次二次项，因为 不是单项式，所以 -1 不是 3 x x 3 32 x多项式，?当然也不是整式． 2．判别正误： （1）多项式-x2y+2x2-y 的次数 2． （ ） （2）多项式- -a+3a2 的一次项系数是 1． （ （3）-x-y-z 是三次三项式． （ ）1 2）思路点拨：要求学生说明错误原因，并加以改正． （1）次数是 3； （2）一次项系数是-1， （3）是一次三项式． 3．课本第 59 页练习． 4．课本第 61 页第 10 题． 点拨：观察图形易知每增加一个梯形，图形的周长就增加 3a，因此梯形个 数为 5 时，周长为 17a，梯形个数为 6 时，周长为 20a．因为梯形的长、下底之 和为 3a，所以 n 个梯形按课本所示拼在一起所得图形较长两边长之和为 3a?n， ?另外两边之和为 2a，所以 n 个梯形拼成的图形周长为 3an+2a． 根据这个整式 3an+2a，我们很容易计算出 n 为任意正整数时，图形的周长， ?例如当 n=10 时，周长为 32a，当 n=56 时，周长为 170a．?用整式表示实际问61题中的数量关系，它比具体数字表达的式子更具有一般性，这给实际问题的解 决带来很大方便． 教师引导，关注学生思路，指导学生合作交流，探索规律． 五、课堂小结 师生互动，共同小结本节课内容． 1．什么叫做多项式？多项式是整式吗？整式是多项式吗？ 2．什么叫多项式的基？什么叫做常数项？举例说明？ 3．什么叫做多项式的次数？ 六、作业布置 习题 2．1 第 2、3、4、5、6、7 题．622.2 整式的加减(1)教学目标1．知识与技能 （1）了解同类项、合并同类项的概念，掌握合并同类项法则， ?能正确合 并同类项． （2）能先合并同类项化简后求值． 2．过程与方法 经历类比有理数的运算律，探究合并同类项法则，培养学生观察、探索、 分类、归纳等能力． 3．情感态度与价值观 掌握规范的解题步骤，养成良好的学习习惯，通过比较两种求代数式值的 方法，体会合并同类项的作用．重、难点与关键1．重点：掌握合并同类项法则，熟练地合并同类项． 2．难点：多字母同类项的合并． 3．关键：正确理解同类项概念和合并同类项法则．教具准备：教科书 教学过程 一、新授有理数可以进行加减计算，那么整式能否可以加减运算呢？怎样化简呢？ 我们来看本章引言中的问题（2） ． 在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是 t 小时，那么它通过63非冻土地段所需的时间就是 2.1t 小时，则这段铁路的全长是 100t+120?2.1t， 即 100t+252t 1．类比数的运算，我们应如何化简式子 100t+252t 呢？ （1）运用有理数的运算律计算： 100?2+252?2=______； 100?（-2）+252?（-2）=________． （2）根据（1）中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理． 思路点拨：根据逆用乘法对加法的分配律可得： 100t+252t=________． 思路点拨：逆用乘法对加法的分配律可得： 100?2+252?2=（100+252）?2=352?2 100?（-2）+252?（-2）=（100+252）?（-2）=352?（-2） 我们知道字母可以表示数， 如果用 t 表示上述算术中的数 2 （或-?2） ?就有， ?100t+252t=（100+252）?t=352t． 事实上，100t+252t 与 100?2+252?2 和 100?（-2）+252?（-2）有相同 的结构，?都是两个数分别与同一个数乘积的和，这里 t 表示同一个因数，?因 此根据分配律也应该有：100t+252t=（100+252）t=352t 2．填空: （1）100t-252t=（ （3）3ab24ab2=（ ）t； ）ab2． （2）3x2+2x2=（ ）x2；上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？ 思路点拨：上述两个探究，教师组织学生分四人小组进行讨论，引导学生64观察、?类比，从而发现规律，鼓励学生用自己的语言表达． 对于上面的（1） 、 （2） 、 （3） ，利用分配律可得 100t-252t=（100-252）t=-152t 3x2+2x2=（3+2）x2=5x2 3ab2-4ab2=（3-4）ab2=-ab2 这就是说，上面的三个多项式都可以合并为一个单项式． 具备什么特点的多项式可以合