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小学奥数训练题 乘积的个位数
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小学奥数训练题 乘积的个位数
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数学心算法，极速心算，快点丢掉计算器 很有用!!!
&发表于& 06:38:29
请点击上面蓝色字　　免费订阅！2015最火微信号推荐1乘法速算一、乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。例：15×1715 + 7 = 225 × 7 = 35---------------255即15×17 = 255解释：15×17=15 ×（10 + 7）=15 × 10 + 15 × 7=150 + （10 + 5）× 7=150 + 70 + 5 × 7=（150 + 70）+（5 × 7）为了提高速度，熟练以后可以直接用“15 + 7”，而不用“150 + 70”。例：17 × 1917 + 9 = 267 × 9 = 63即260 + 63 = 323　　二、个位是1的两位数相乘方法：十位与十位相乘，得数为前积，十位与十位相加，得数接着写，满十进一，在最后添上1。例：51 × 3150 × 30 = 150050 + 30 = 80------------------1580因为1 × 1 = 1 ，所以后一位一定是1，在得数的后面添上1，即1581。数字“0”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了。例：81 × 9180 × 90 = 720080 + 90 = 170------------------7370------------------7371原理大家自己理解就可以了。　　三、十位相同个位不同的两位数相乘　　被乘数加上乘数个位，和与十位数整数相乘，积作为前积，个位数与个位数相乘作为后积加上去。例：43 × 46（43 + 6）× 40 = 19603 × 6 = 18----------------------1978例：89 × 87（89 + 7）× 80 = 76809 × 7 = 63----------------------7743　　四、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。例：56 × 54(5 + 1) × 5 = 30--6 × 4 = 24----------------------3024例: 73 × 77(7 + 1) × 7 = 56--3 × 7 = 21----------------------5621例: 21 × 29(2 + 1) × 2 = 6--1 × 9 = 9----------------------609“--”代表十位和个位，因为两位数的首位相乘得数的后面是两个零，请大家明白，不要忘了，这点是很容易被忽略的。　　五、首位相同，尾数和不等于10的两位数相乘　两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两尾数的和与首位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。例：56 × 585 × 5 = 25--（6 + 8 ）× 5 = 7--6 × 8 = 48----------------------3248得数的排序是右对齐，即向个位对齐。这个原则很重要。　　六、被乘数首尾相同，乘数首尾和是10的两位数相乘。乘数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补。例：66 × 37（3 + 1）× 6 = 24--6 × 7 = 42----------------------2442例：99 × 19（1 + 1）× 9 = 18--9 × 9 = 81----------------------1881　　七、被乘数首尾和是10，乘数首尾相同的两位数相乘与帮助6的方法相似。两首位相乘的积加上乘数的个位数，得数作为前积，两尾数相乘，得数作为后积，没有十位补0。例：46 × 994 × 9 + 9 = 45--6 × 9 = 54-------------------4554　　例:82 × 338 × 3 + 3 = 27--2 × 3 = 6-------------------2706　　八、两首位和是10，两尾数相同的两位数相乘。两首位相乘，积加上一个尾数，得数作为前积，两尾数相乘（即尾数的平方），得数作为后积，没有十位补0。　　例：78 × 387 × 3 + 8 = 29--8 × 8 = 64-------------------2964例：23 × 832 × 8 + 3 = 19--3 × 3 = 9--------------------1909　　2平方速算一、求11～19 的平方底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以个位相乘，得数为后积，满十前一。例：17 × 1717 ＋ 7 = 24-7 × 7 = 49---------------289参阅乘法速算中的“十位是1 的两位相乘”　　二、个位是1 的两位数的平方底数的十位乘以十位（即十位的平方），得为前积，底数的十位加十位（即十位乘以2），得数为后积，在个位加1。例：71 × 717 × 7 = 49--7 × 2 = 14------------------5041参阅乘法速算中的“个位数是1的两位数相乘”　　三、个位是5 的两位数的平方十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。例：35 × 35（3 + 1）× 3 = 12--25----------------------1225　　四、21～50 的两位数的平方在这个范围内有四个数字是个关键，在求25～50之间的两数的平方时，若把它们记住了，就可以很省事了。它们是：21 × 21 = 44122 × 22 = 48423 × 23 = 52924 × 24 = 576求25～50 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0。例：37 × 3737 - 25 = 12--（50 - 37）^2 = 169----------------------1369注意：底数减去25后，要记住在得数的后面留两个位置给十位和个位。例：26 × 2626 - 25 = 1--（50-26）^2 = 576-------------------676　　3加减法一、补数的概念与应用补数的概念：补数是指从10、100、1000……中减去某一数后所剩下的数。例如10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的补数是9。补数的应用：在速算方法中将很常用到补数。例如求两个接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。4除法速算一、某数除以5、25、125时1、 被除数 ÷ 5= 被除数 ÷ (10 ÷ 2)= 被除数 ÷ 10 × 2= 被除数 × 2 ÷ 10　　2、 被除数 ÷ 25= 被除数 × 4 ÷100= 被除数 × 2 × 2 ÷100　　3、 被除数 ÷ 125= 被除数 × 8 ÷100= 被除数 × 2 × 2 × 2 ÷100　　在加、减、乘、除四则运算中除法是最麻烦的一项，即使使用速算法很多时候也要加上笔算才能更快更准地算出答案。
声明：以上内容转载自微信公众号，并不代表本站观点及立场，且版权归属微信公众号。
微信公众号分析：通过试算可得：8=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，86=262144…，由此可发现，其乘积的个位数每8、4、2、6四个数为一组进行循环．…2，所以&8×8×8×8×…×8之积的个位数字是4．解答：解析：由于：8=8，82=64，83=512，84=4096，85=32768，86=262144…，即其乘积的个位数每8、4、2、6四个数为一组进行循环．…2，所以&8×8×8×8×…×8之积的个位数字与82=64的末尾相同是4．故答案为：4．点评：通过试算得出8的乘方个位数的循环规律是完成本题的关键．
练习册系列答案
科目：小学数学
我国某城市煤气收费规定：每月用量在8立方米或8立方米以下都一律收6.9元，用量超过8立方米的除交6.9元外，超过部分每立方米按一定费用交费，某饭店1月份煤气费是82.26元，8月份煤气费是40.02元，又知道8月份煤气用量相当于1月份的，那么超过8立方米后，每立方米煤气应收多少元？
科目：小学数学
500+320+80=
165-50-50=
273+35+65=
120+395+80=
90÷90×90=
100-23-77=
165+165-165=
65-（40-25）=
800+683-600=
（27+36）÷7=
650-599+250=
989-231+231=
53-（48+5）=
7×8×0×9+9×8=
1+2+3+4+5+6+7+8+9=
81-9-9-9-9-9-9=
15+15+15+15+15+15=
89+89-89+89-89=
64-5×8-2×8=
147+148+149+150+151+152+53=
1+2+3+4+5+6…+94+95+96+97+98+99=
科目：小学数学
来源：专项题
题型：解答题
分别求出下面两组数据的平均数、中位数和众数各是多少？&&&（1）8.8，8.2，8.4，8.5，8.6，8.4，8.1，8.3，8.5，8.6，8.7，8.3&&&&&（2）8.5，8.3，8.4，8.5，8.3，8.4，8.3，8.4，8.5，8.4，8.4，8.4
科目：小学数学
题型：解答题
4.7+2.3=4.5×2=6.9-2.5=7.2×0.8=6×3.4=0.62-0.32=1.4×0.5=0.75×100=0.02×0.5=3.6÷0.3=6.3÷7=5.6÷100=0.75÷0.25=0.125×8=4.8÷0.3=0.96÷2=0.56÷28=0.36÷0.4=0.64÷0.8=0.72÷3.6=3.6÷24=0.8×1.1=7.2+12.8=46.7-3.8=12.8÷4=5.2÷13=12.5÷5=1.64÷41=10÷20=24÷15=8.65×10=0.35×0.6=3.08×0.01=4.95×1000=6.9×0.1=0.4×0.5=2.4÷0.8=10.8÷9=9.6÷0.8=0.108÷2=4.95÷0.9=9.65÷0.1=0.325×100=2.5×8=0.56÷0.7=0.125×4=3.28×0.1=3.9÷0.13=7.2×0.1=0.01×0.1=0.25×0.4=1.6÷0.8=1÷2.5=1.25×0.8=3.2÷0.04=0÷1.7=0.22×102=9.6÷0.8=5×0.24=4.5-0.05=3.9÷0.1316.5÷0.5=5×0.12=24×0.5=4.8×0.5=2.8+4.2=0.84÷2.1=5÷0.25=7.8÷0.01=5.4÷0.6=3.2÷5=7×0.62=0.56÷0.8=7.4-2.8=0.18÷0.2=0.16÷8=4.5×0.02=8+7.2=1.2×30=0.012×0.2=7.3×0.3=9÷6=3.6÷0.12=7.8÷0.6=2÷5=4.5+5=0.3÷0.6=0.96÷0.2=10.5×0.4=7.3+0.27=8×0.125=0.54÷0.6=0.61+0.39=0.56÷28=10÷20=4.08÷0.4=11-9.4=0.8×0.11=0.72+12.8=5.6÷0.01=2.3×100=0.75×100=0.108÷2=10.8÷9=0.7÷0.8=16-5.07=4.2×0.4=0.72×6=12÷0.5=5.2×0.4=12.2÷0.2=5.6÷100=0.41+3.7=0.02×0.5=7.2-0.8=1.4×0.5=84÷0.21=0.75÷0.25=2.5×16=0.108÷2=1.75+32.5=16-5.07=5.2÷13=1.64÷41=1.02×0.2=0.26×0.3=8.4×0.02=1.29×6=0.8×0.05=12.6÷0.03=8.71÷0.1=21÷0.21=0.8×0.13=0.34÷17=8.08÷0.4=0.5×2.2=1.24÷4=3.27+0.63=5.02×0.3=0.3×0.5=6.4÷4=7.2÷1.8=0.7÷0.35=0.72÷1.44=0.48÷0.04=1.25÷2.5=5.5+55=16.8÷8=0.54+2.2=3.5-0.05=2÷0.02=0.25×40=1.5×0.6=0.32÷0.8=12.25÷0.5=73.5×0.1=46.5+52.5=0.45×102=1.25×88=2.64+3.85+1.54=8×1.25=5.6÷3.5=4.2÷0.7÷6=0.4×8.6×25=0.27÷0.3=2.5×101=0.65×101-0.65=2.6×7÷2.6×7=
科目：小学数学
题型：解答题
8×6=72+19=6÷1=180÷180=48÷8=45+37=4×7=550-550=500-370=25+75=55+88==69+24=350-80=77+66=790+130=87-29=800-330=99+11=257-257=65+35=69÷8=92+46=46÷7=50÷6=0÷8=39÷9=93-39=86-68==29+63=54-45=7×7=75÷9=81÷9=800-260=86×0=470-80=55÷7=38+52=250+630=77+33=380+70=500-490=66÷7=6÷6=95-68=0×9=27÷9=910-320=73+37=0÷9=680+220=550+260=25÷4=0+9=57-38=8×9=47÷8=126-126=42+42÷7=64÷8+70=500+320+80=60+60+60=8÷8×8=0=30-30÷6=165-50-50=273+35+65=120+395+80=90÷90×90=0=100-23-77=165+165-165=65-（40-25）=28÷7×6=800+683-600=45+36-45=5×8÷5=（27+36）÷7=650-599+250=58+97-58=989-231+231=53-（48+5）=7×8×0×9+9×8=1+2+3+4+5+6+7+8+9=81-9-9-9-9-9-9=15+15+15+15+15+15=89+89-89+89-89=64-5×8-2×8=147+148+149+150+151+152+53=1+2+3+4+5+6…+94+95+96+97+98+99=
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请输入姓名
请输入手机号题目描述：
输出两个不超过100位的大整数的乘积。
输入两个大整数，如
输出乘积，如：
样例输入：
样例输出：
注意：在oj上不能直接套用我的代码，需要将无关的输出去除才行
解这道题目最简单的方法就是模拟我们笔算乘法的过程，如：
只要把这个过程实现，无论多大的数我们都能解决了，是不是很简单。
程序实现：
首先，我们用两个字符串来保存我们的大整数，num1[100], num2[100]
scanf("%s%s", num1, num2);
然后，求num2的每一位与num1的乘积，保存到tempRes中。
过程为：res保存每位相乘的结果，carry用来保存进位，每位相乘之后还要加上进位才是真的结果。将res的个位保存到tempRes中，其他位则为下一位相乘的进位。
for(j = num2Len - 1; j &= 0; j--)
/*计算num1与num2各位相乘的结果，保存到tempRes中
*每一位相乘后与之前的进位相加得出res，将res的个
*位(res%10)保存到tempRes里,然后将res的其余位数
*(res/10)则为进位carry*/
for(i = num1Len-1; i &= 0; i--)
res = Int(num1[i]) * Int(num2[j]) +
tempRes[tempResLen--] = Char(res % 10);
carry = res / 10;
//tempRes第一位为进位，刚刚的循环是没有算的，最后把进位算上
tempRes[tempResLen] = Char(carry);
tempResLen = num1L
carry = 0;
再然后，将tempRes与result求和，每求一次，向左偏移一位。res为每位之和再加上进位，这里很重要，然后保存到result里只是res的个位，res为下一位计算的进位。
//由result的末尾开始计算和，算完一次，向左偏移一位
for(k = resultLen- k & (resultLen-offset-num1Len); k--)
res = Int(result[k]) + Int(tempRes[tempResLen--]) +
result[k] = Char(res%10);
carry = res/10;
result[k] += Int(tempRes[tempResLen] + carry);
以上两步就是我程序最核心的部分。以下是程序的全部代码。
1 #include&stdio.h&
2 #include&string.h&
3 #include&malloc.h&
5 #define and &&
6 #define or ||
7 #define not !
8 #define Int(X) (X - '0')
9 #define Char(X) (X + '0')
11 char *multiBigInteger(const char *, const char *);
12 int checkNum(const char *);
14 int main(void)
char num1[100] = {'\0'}, num2[100] = {'\0'};
while(scanf("%s%s", num1, num2) != EOF)
char *result = "0";
if(strlen(num1) & 100 or strlen(num2) & 100)
printf("ERROR\n");
if(checkNum(num1) or checkNum(num2))
printf("ERROR: input must be an Integer\n");
printf("num1:\t%s\nnum2:\t%s\n", num1, num2);
result = multiBigInteger(num1, num2);
if(result[0] == '0')
printf("result:\t");
for(i = 1; (size_t)i & strlen(result); i++)
printf("%c", result[i]);
printf("\n");
printf("result:\t%s\n", result);
printf("\n");
51 int checkNum(const char *num)
for(i = 0; (size_t)i & strlen(num); i++)
if(num[i] & '0' or num[i] & '9')
64 char *multiBigInteger(const char *num1, const char *num2)
char *tempRes = NULL;
//用来保存每次相乘的结果
char *result = NULL;
//用来保存最终结果
int tempResL
//每次相乘结果的最大长度
int num1Len = strlen(num1);
//num1的长度
int num2Len = strlen(num2);
//num2的长度
int resultL
//结果的最大长度
//循环计数器
//每次一位相乘/相加的结果
int carry = 0;
int offset = 0;
//加法的偏移位
resultLen = num1Len + num2Len - 1; //结果长度最大为num1长度和num2长度之和，由于下标从0开始，所以要减一
tempResLen = num1L
//每次num1乘以num2每一位的结果最大长度是num1Len+1,由于下标从0开始，所以减一后约去1,只剩num1Len
//初始化result为0
result = (char *)malloc((resultLen+2)*sizeof(char));
memset(result, '0', (resultLen+1)*sizeof(char));
result[resultLen+1] = 0;
tempRes = (char *)malloc((tempResLen+2)*sizeof(char));
for(j = num2Len - 1; j &= 0; j--)
//初始化tempRes每位为0
memset(tempRes, '0', (tempResLen+1)*sizeof(char));
/*计算num1与num2各位相乘的结果，保存到tempRes中
*每一位相乘后与之前的进位相加得出res，将res的个
*位(res%10)保存到tempRes里,然后将res的其余位数
*(res/10)则为进位carry*/
for(i = num1Len-1; i &= 0; i--)
res = Int(num1[i]) * Int(num2[j]) +
tempRes[tempResLen--] = Char(res % 10);
carry = res / 10;
//tempRes第一位为进位，刚刚的循环是没有算的，最后把进位算上
tempRes[tempResLen] = Char(carry);
tempResLen = num1L
carry = 0;
//由result的末尾开始计算和，算完一次，向左偏移一位
for(k = resultLen- k & (resultLen-offset-num1Len); k--)
res = Int(result[k]) + Int(tempRes[tempResLen--]) +
result[k] = Char(res%10);
carry = res/10;
result[k] += Int(tempRes[tempResLen] + carry);
carry = 0;
tempResLen = num1L
printf("num1Len:%d\nnum2Len:%d\n", num1Len, num2Len);
大整数相乘完整代码
以下是程序执行的结果：
看了以上的代码，感觉思路虽然很简单，但是实现起来却很麻烦，那么我们有没有别的方法来实现这个程序呢？答案是有的，接下来我来介绍第二种方法。
简单来说，方法二就是先不算任何的进位，也就是说，将每一位相乘，相加的结果保存到同一个位置，到最后才计算进位。
例如：result[200]用来保存结果，计算98&21,步骤如下
由上面可以看出，result的数据为result[100] = {0, 18, 27, 9}
接下来就处理进位，注意看，巧妙的地方来了：
有result末尾到首位计算：
第一次：result[3] = 9; result[2] = 27;
A.先将result[3]除个位以外的数加给前一位，也就是result[2]：result[2] = result[2]+result[3]/10 = 27 + [9/10]=27; 注：数学里面的[]为取整符。如[0.9] = 0
B.然后把result[3]的个位保存到result[3]：
&& result[3] = result[3]%10 = 9;
第二次，向前一位，result[2] = 27, result[1] = 18;
重复第一次的A、B步骤，求得result[1] = result[1]+result[2] / 10=18+[27/10] = 20;
&& result[2] = result[2] % 10 = 7
第三次，再向前一位，result[1] = 20, result[0] = 0
重复之前的步骤,
&& result[0] = result[0]+result[1]/10=0+[20]/10=2
&& result[1] = result[1] % 10 = 0;
至此，已经算到首位，result此时的结果为：result[100] = {2, 0, 7, 9}可以知道这就是结果：99&21=2079;
核心代码：
先是不进位的各位之和：
for(j = 0; j & num2L j++)
for(i = 0; i & num1L i++)
/* result第一位是用来保存result长度的，而第二位是保存结果最后的进位的
* 没有进位，则result[1]为0，所以每位相乘之和是从第三位（即result[2]）
* 开始。这里是本程序的比较巧妙的地方，需要仔细想想。
result[i+j+2] += Int(num1[i]) * Int(num2[j]);
接下来是处理进位的代码：
/* 这个循环用来处理进位的，所以要从result的最后一位一直处理到首位。
* 要注意result的总长度是resultLen+1,有一位是保存result的长度，而
* C语言下标是从0开始，所以result的最后一位的下标就是resultLen，而
* 第一位就是1。*/
for(i = resultL i & 1; i--)
result[i-1] += result[i]/10;
result[i] = result[i]%10;
注意：这个方法有一个大坑，就是保存结果的result的数据类型必须至少是int，而不能是char，为什么呢？先想想再打开答案。
/* 因为char类型的数据每个只有1个字节
* 也就是8位，所以保存的最大数值为256
* 而我们这个程序，每位最大为100个9&9=81
* 之和，也就是每个数据必须最大要能保存的数
* 值为8100, 所以char数据类型就不够保存了。
* good luck :-)*/
接下来程序的完整代码：
1 #include&stdio.h&
2 #include&string.h&
3 #include&malloc.h&
5 #define and &&
/**************/
6 #define or ||
/* python风格 */
7 #define not !
8 #define Int(X) (X - '0') /**************/
10 int *multiBigInteger(const char *, const char *);
11 int checkNum(const char *);
13 int main(void)
char num1[100] = {'\0'}, num2[100] = {'\0'};
printf("Please input two nunber(less than 100 digits):\n& ");
while(scanf("%s%s", num1, num2) != EOF)
int *result = NULL;
int i, change = 0;
//对输入的数据进行检验
if(strlen(num1) & 100 or strlen(num2) & 100)
printf("per number must less than 100 digits\n");
if(checkNum(num1) or checkNum(num2))
printf("ERROR: input must be an Integer\n");
printf("num1:\t%s\nnum2:\t%s\n", num1, num2);
result = multiBigInteger(num1, num2);
/* 输出结果result，result[0]保存着result的长度，
* 所以下标要从1开始 */
printf("result:\t");
for(i = 1; i &= result[0]; i++)
if(result[i] != 0) //这一步用来去掉前导0,第一位为0跳过不输出
change = 1;
if(not change)
//这一步用来判断结果是否为0,
//如果结果第二位还是0,就判断为0
printf("0");
printf("%d", result[i]);
printf("\n");
printf("\nPlease input two nunber(less than 100 digits):\n& ");
62 //用于检测输入的是否是数字，如果是就返回0,不是就返回1
63 int checkNum(const char *num)
for(i = 0; (size_t)i & strlen(num); i++)
if(num[i] & '0' or num[i] & '9')
76 //返回结果result，为一片内存块，类似数组
77 int *multiBigInteger(const char *num1, const char *num2)
int *result = NULL;
//用来保存最终结果
int num1Len = strlen(num1);
//num1的长度
int num2Len = strlen(num2);
//num2的长度
int resultL
//结果的最大长度
//循环计数器
resultLen = num1Len + num2L
//结果长度最大为num1长度和num2长度之和
//初始化result为0
result = (int *)malloc((resultLen+1)*sizeof(int));
memset(result, 0, (resultLen+1)*sizeof(int));
result[0] = resultL //result的第一位是用来保存result的长度的。
/* num1乘以num2,由于这里采用先不进位的算法，所以算法是按从左到右
* 按顺序来乘，然后将每位的结果保存到result的每一位中，循环一次
* reult就从下一位开始求和。如下：(左边为正常算法，右边为本程序算法)
for(j = 0; j & num2L j++)
for(i = 0; i & num1L i++)
/* result第一位是用来保存result长度的，而第二位是保存结果最后的进位的
* 没有进位，则result[1]为0，所以每位相乘之和是从第三位（即result[2]）
* 开始。这里是本程序的比较巧妙的地方，需要仔细想想。
result[i+j+2] += Int(num1[i]) * Int(num2[j]);
/* 这个循环用来处理进位的，所以要从result的最后一位一直处理到首位。
* 要注意result的总长度是resultLen+1,有一位是保存result的长度，而
* C语言下标是从0开始，所以result的最后一位的下标就是resultLen，而
* 第一位就是1。*/
for(i = resultL i & 1; i--)
result[i-1] += result[i]/10;
result[i] = result[i]%10;
printf("num1Len:%d\nnum2Len:%d\n", num1Len, num2Len);
大整数相乘2完整代码
程序运行结果：
这是一道非常经典而且必须要掌握的题目，所以看到这篇文章的你最好能认真理解一下。
作者：陈栋权
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