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考研数学(数学一)常考题型及其解题方法技巧归纳_毛纲源.pdf 802页
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考研 数学 ( 数 学一 )
常考 题 型及 其 解 题 方 法技 巧 归纳
华中科技大学出版社
图书在版编 目(CIP) 数据
考研数学( 数学一) 常考题型及其解题方法技巧归纳/
武汉 : 华中科技大学出版社 , 2 003 年 7 月
Ⅲ. 高等数学-研究生-入学考试-教学参考资料
考研数学( 数学一) 常考题型及其解题方法技巧归纳 毛纲源
策划编辑 :李立鹏
责任编辑 :吴锐涛
封面设计 :潘
责任校对 :朱
出版发行 :华 中科技大学出版社
武 昌喻家山
邮编 :4 300 74
电话: (02 7)
经销 :新华书店湖北发行所
开本 : 850 ×1168
印张 : 16 .875
版次 :2 004 年 5 月第 1 版
印次 :2 004 年 5 月第 1 次印刷
( 本书若有印装质量问题 , 请 向出版社发行科调换)
本人对历年数学一和其他各类数学试卷的统考试题、部分高
校理工类硕士研究生入学数学试题进 行了研究, 将其 归纳分类整
理, 在多年本科数学教学、考研辅导及评阅考研试卷经验 的基础
上 , 按照全 国硕士研究生入学统一考试数学一考试大纲要求编写
了这本 《考研数学( 数学一) 常考题型及其解题方法技巧归纳》。
本书有 以下几个显著特点。
本书按数学一常考题 型编排 ( 范 围较大题 型细分为 若干类
型) 。数学试题是无限的, 而题型是有限的。掌握好各类常考题型
及其解题思路、方法与技巧, 就能 以不变应万变 , 收到触类旁通 的
效果。由于本书例题多( 除含数学一的历届统考题外, 还选用了不
少其他数学试卷的考题 ) , 常考题型广泛 , 掌握好这些题型及其解
题思路、方法与技巧, 也就使你掌握了未来的大部分数学一试题的
题型及其解题思路、方法与技巧, 因而本书能起到领航 引路、预测
未来考 向的作用。
本书特别强调对考研大纲划定的基本概念、基本定理、基本公
式和基本方法的正确理解 , 全面系统地掌握 .
近些年来 , 相当一部分考生在解题 中的失误, 究其原因, 恰恰
是在对大纲中规定的基本概念、基本原理、基本方法的理解与掌握
上存在欠缺、偏废所致 。有鉴于此 , 本书结合数学一考生的实际,
对其普遍存在的问题针对性地进行讲解 。在不少例题后加写“注
意”一项, 望读者细心揣摩 , 有益于切实掌握这些基础知识 , 避免常
本书还注意培养提高综合运用多个知识点解题的能力。
近几年来的试题中常有综合应用题 型, 这些题 型有的要应用
同一数学学科的多个知识 点, 有的还要应用不 同数学学科 的多个
知识点, 这就要求我们在抓好基础的同时还要注意提高综合运用
知识的能力。本书十分注意综合应用题型的解题方法技巧归纳。
本书叙述 由浅入深 , 适于 自学, 尽量做 到例题精而 易懂 , 全而
当然 , 编写本书的最终 目的是提高考生的应试能力。基于此 ,
在讲解每一例题时既要强调解题思路和方法 , 又要提高计算能力,
提高计算的准确性。有时为激活思维,
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历年考研数学一真题及答案()
历年考研数学一真题
（经典珍藏版）1987 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把 答案填在题中横线上) (1)当 x =_____________时,函数 y ? x ? 2 x 取得极小值.(5) 已 知 三 维 向 量 空 间 的 基 底 为α1 ? (1,1, 0), α 2 ? (1, 0,1), α 3 ? (0,1,1), 则向量 β ? (2, 0, 0) 在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分 8 分) 求正的常数 a 与 b, 使等式 limx 1 t2 dt ? 1 成立. x ?0 bx ? sin x ?0 a ? t2三、(本题满分 7 分) (2) 由曲线 y ? ln x 与两直线 y ? e ? 1 ? x 及 y ? 0 所围成的平 (1) 设 f 、 g 为 连 续 可 微 函 数 , u ? 面图形的面积是_____________.1? x?u ?v , . ?x ?xf ( x, xy), v ? g ( x ? xy),求(3)与两直线 及y ? ?1 ? tz ? 2?t(2) 设 矩 阵A和B满 足关系 式AB = A ? 2B,其中x ?1 y ? 2 z ?1 ? ? 1 1 1都平行且过原点的平面方程为_____________.?3 0 1 ? ? A?? ?1 1 0 ? , 求矩阵 B. ? ?0 1 4 ? ?四、(本题满分 8 分) (4) 设LL为 取 正 向 的 圆 周 x ? y ? 9, 则 曲 线 积 分2 22? ? (2 xy ? 2 y)dx ? ( x? 4 x)dy =_____________.求微分方程 y??? ? 6 y?? ? (9 ? a 2 ) y? ? 1 的通解,其中常数 a ? 0.五、选择题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分.每 小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项 前的字母填在题后的括号内) (1)设 limx?a(C)条件收敛 性与 k 的取值有关(D) 散 敛(4)设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式 | A |? a ? 0, 而 A 是 A 的伴*f ( x) ? f (a ) ? ?1, 则在 x ? a 处 ( x ? a)2随矩阵，则 | A* | 等于 (B)f ( x) 取(A) f ( x) 的导数存在,且 f ?(a) ? 0 得极大值 (C) f ( x) 取得极小值 导数不存在 (2) 设 则 I 的值 (A)依赖于 s 和 tt和x(A) a (C) an ?1(B) 1an(D) a(D)f ( x) 的六、 （本题满分 10 分） 为已知连续函数 , I ? t ?0tsf ( x)f (tx)dx, 其中 t ? 0, s ? 0,求幂级数 ?1 n ?1 的收敛域，并求其和函数. x n ? 2n n ?1?(B)依赖于 s 、七、 （本题满分 10 分） 求曲面积分(C)依赖于 t 、 x ,不依赖于 s 于 s ,不依赖于 t (3)设常数 k ? 0, 则级数 ? (?1)n k ?2 n? n ?1(D) 依 赖I ? ?? x(8 y ? 1)dydz ? 2(1 ? y 2 )dzdx ? 4 yzdxdy,?n(A)发散(B) 绝 对 收 敛其中 ? 是由曲线 f ( x) ? ??z ? y ?1 1 ? y ? 3 ? 绕 y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与 y 轴正向的夹角恒大于 ? . 2 x?0 ? ?八、 （本题满分 10 分） 设函数 f ( x) 在闭区间 [0,1] 上可微,对于 [0,1] 上的每一个 x, 函数 f ( x) 的值都在开区间 (0,1) 内,且 f ?( x) ? 1,证明在 (0,1) 内有且仅有一 个 x, 使得 f ( x) ? x.九、 （本题满分 8 分） 问 a, b 为何值时,现线性方程组x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 x2 ? 2 x3 ? 2 x4 ? 1 ? x2 ? (a ? 3) x3 ? 2 x4 ? b 3 x1 ? 2 x2 ? x3 ? ax4 ? ?1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)设在一次实验中,事件 A 发生的概率为 p, 现进行 n 次独立试验,则 A 至少发生一次的概率为____________;而事件 A 至多发生 一次的概率为____________. (2)有两个箱子,第 1 个箱子有 3 个白球,2 个红球, 第 2 个箱子有 4 个白球,4 个红球.现从第 1 个箱子中随机地取 1 个球放到第 2 个箱子里,再从第 2 个箱子中取出 1 个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第 2 个箱子中取出的球是白球,则 从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) ?1?e? x2? 2 x ?1, 则 X 的数学期望为____________, X 的方差为____________.十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量 X , Y 相互独立,其概率密度函数分别为f X ( x) ?1 00 ? x ?1 其它, fY ( y ) ?e? y 0y?0 , y?0求 Z ? 2 X ? Y 的概率密度函数.
1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)敛于_____________. (4) 设 4 阶 矩 阵 A ? [α, γ 2 , γ3 , γ 4 ], B ? [β, γ 2 , γ3 , γ 4 ], 其 中α, β, γ 2 , γ 3 , γ 4 均为4 维列向量,且已知行列式 A ? 4, B ? 1, 则行列式 A ? B = _____________. (1)求幂级数 ?2( x ? 3) 的收敛域. n3n n ?1? n(2) 设 f ( x) ? e x , f [? ( x)] ? 1 ? x 且 ? ( x) ? 0 , 求 ? ( x) 及其定 义域. (3) 设 ? 为 曲面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 的 外侧 , 计算曲 面积分3 3 3 I ?? ?? x dydz ? y dzdx ? z dxdy. ?三、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设 微分 dy 是f ( x ) 可导且 f ?( x0 ) ?1 , 则 ?x ? 0 时 , f ( x) 在 x0 处的 2二、填空题(本题共 4 小题,每小题 3 分,满分 12 分. 把答案填在题中横线上) (1)若 f (t ) ? lim t (1 ? 1 )2tx , 则 f ?(t ) = _____________.x ??(A)与 ?x 等价的无穷小 同阶的无穷小 (C)比 ?x 低阶的无穷小(B) 与?xx(D) 比?x(2)设f ( x)连续且?x3 ?10f (t )dt ? x,则高阶的无穷小 (2) 设y ? f ( x)f (7) =_____________.是方程y?? ? 2 y? ? 4 y ? 0的一个解且(3)设周期为 2 的周期函数,它在区间 (?1,1] 上定义为f ( x) ?f ( x0 ) ? 0, f ?( x0 ) ? 0, 则函数 f ( x) 在点 x0 处2 x2?1 ? x ? 0 0 ? x ?1,则的傅里叶 ( Fourier ) 级数在 x ? 1 处收(A)取得极大值(B) 取得极小值 (C)某邻域内单调增加 邻域内单调减少 (3) 设 空 间 区 域 (D) 某(A) 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 k1 , k2 ,?, ks , 使k1α1 ? k2α 2 ? ? ? ks α s ? 0(B) α1 , α 2 ,?, α s 中任意两个向量均线性无关?1 : x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 , z ? 0, ?2 : x 2 ? y 2 ? z 2 ? R 2 , x ? 0, y ? 0, z ? 0, 则(C) α1 , α 2 ,?, α s 中存在一个向量不能用其余向量线性 表示 (D) α1 , α 2 ,?, α s 中存在一个向量都不能用其余向量线 性表示(A) ??? xdv ? 4??? dv?1 ?2(B) ??? ydv ? 4??? ydv?1 ?2(C) ??? zdv ? 4??? zdv?1 ?2(D) ??? xyzdv ? 4??? xyzdv?1 ?2(4) 设幂级数 ? an ( x ? 1)n 在 x ? ?1 处收敛 , 则此级数在n ?1?四、(本题满分 6 分) 设 u ? yf ( x ) ? xg ( y ), 其中函数 f 、g 具有二阶连续导数,y xx ? 2处(A)条件收敛 收敛 (C)发散 性不能确定(B) 绝 对求x? 2u ? 2u ? y . ?x 2 ?x?y(D) 收 敛 五、(本题满分 8 分) 设函数 y ? y( x) 满足微分方程 y?? ? 3 y? ? 2 y ? 2e x , 其图形 在点 (0,1) 处的切线与曲线 y ? x 2 ? x ? 1 在该点处的切线重(5) n 维向量组 α1 , α 2 ,? , α s (3 ? s ? n) 线性无关的充要条 件是合,求函数 y ? y ( x). 九、 （本题满分 9 分） 六、 （本题满分 9 分） 设 位 于 点 (0,1) 的 质 点 A 对 质 点 M 的 引 力 大 小 为k (k ? 0 为常数 , r 为 A 质点与 M r2设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,且在 (a, b) 内有f ?( x ) ? 0, 证明:在 ( a, b) 内存在唯一的 ? , 使曲线 y ? f ( x) 与两之间的距离 ), 质点 M 沿直直线 y ?f (? ), x ? a 所围平面图形面积 S1 是曲线 y ? f ( x) 与 f (? ), x ? b 所围平面图形面积 S2 的线y?2x ? x2自 B(2, 0) 运动到 O(0, 0), 求在此运动过程中质两直线 y ?3 倍.点 A 对质点 M 的引力所作的功. 十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分. 七、 （本题满分 6 分）?1 0 0 ? ?1 0 0 ? ? ? ? 5 已知 AP ? BP, 其中 B ? ?0 0 0 ? , P ? ? ? 2 ?1 0 ? , 求 A, A . ? ? ?0 0 ?1? ? ?2 1 1? ?把答案填在题中横线上) (1)设在三次独立试验中,事件 A 出现的概率相等,若 已知 A 至少出现一次的概率等于 19 , 则事件 A 在一次试验27中出现的概率是____________. 八、 （本题满分 8 分）?2 0 0? ?2 0 0 ? ? ? ? 已知矩阵 A ? ?0 0 1 ? 与 B ? ? ?0 y 0 ? 相似. ? ? ?0 1 x ? ? ?0 0 ?1? ?(2)若在区间 (0,1) 内任取两个数,则事件”两数之和 小于 6 ”的概率为____________.5(3)设随机变量 X 服从均值为 10,均方差为 0.02 的正 态分布,已知(1)求 x 与 y. (2)求一个满足 P?1AP ? B的可逆阵 P.? ( x) ? ?x??1 ? u2 e du, ? (2.5) ? 0.9938, 2?2则 X 落在区间 (9.95,10.05) 内的概率为____________.十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量 X 的概率密度函数为f X ( x) ? 1 , 求随 ? (1 ? x 2 )机变量 Y ? 1 ? 3 X 的概率密度函数 fY ( y ).1989 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当 x ? 0 时,曲线 y ? x sin 1x(A)有且仅有水平渐近线 把答案填在题中横线上) (1)已知 f ?(3) ? 2, 则 limh ?0(B) 有f (3 ? h) ? f (3) = 2h_____________.1且仅有铅直渐近线 (C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线 (2)已知曲面 z ? 4 ? x 2 ? y 2 上点 P 处的切平面平行于平(2) 设f ( x)是 连 续 函 数 , 且 f ( x) ? x ? 2?0 f (t )dt , 则f ( x ) =_____________.(3) 设平面曲线 L 为下半圆周 y ? ?1 ? x 2 , 则曲线积分?L ( x ? y )ds =_____________.2 2面 2 x ? 2 y ? z ? 1 ? 0, 则点的坐标是 (A) (1, ?1, 2)P (1,1, 0)(B) (?1,1, 2) (D) (?1, ?1, 2)(4) 向 量 场div u在 点处 的 散 度 (C) (1,1, 2) (3) 设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的 解是任意常数,则该非齐次方程的通解是 (A) c1 y1 ? c2 y2 ? y3 (B) c1 y1 ? c2 y2 ? (c1 ? c2 ) y3div u =_____________.?3 0 0? ?1 0 0 ? ? ? ? (5) 设 矩 阵 A ? ?1 4 0 ? , I ? ? ?0 1 0 ? , 则 矩 阵 ? ? ?0 0 3? ? ?0 0 1 ? ?( A ? 2I)?1=_____________.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.(C) c1 y1 ? c2 y2 ? (1 ? c1 ? c2 ) y3 (D) c1 y1 ? c2 y2 ? (1 ? c1 ? c2 ) y3(4)? n ?1设函数f ( x) ? x 2 , 0 ? x ? 1,而?(1,1)(0,0)xy 2 dx ? y? ( x)dy 的值.S ( x) ? ? bn sin n? x, ? ? ? x ? ??, 其中(3) 计 算 三 重 积 分 ??? ( x ? z )dv, 其 中??是由曲面bn ? 2?10f ( x)sin n? xdx, n ? 1, 2,3,?, 则 S (? 1 ) 等于 2z ? x 2 ? y 2 与 z ? 1 ? x 2 ? y 2 所围成的区域.4(A) ? 1 (C) 142(B) ? 1 (D) 12四、(本题满分 6 分) 将函数 f ( x) ? arctan 1 ? x 展为 x 的幂级数.1? x(5)设 A 是 n 阶矩阵,且 A 的行列式 A ? 0, 则 A 中 (A)必有一列元素全为 0 两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合 任一列向量是其余列向量的线性组合 (D) (B) 必 有五、(本题满分 7 分) 设 f ( x) ? sin x ? ?0 ( x ? t ) f (t )dt , 其中 f 为连续函数,求 f ( x).x六、 （本题满分 7 分） 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1) 设z ? f (2 x ? y ) ? g ( x, xy ),证明方程 ln x ?? x ? ? 1 ? cos 2 xdx 在区间 (0, ??) 内有且 0 e其中函数?2 z . ?x?yf (t )二阶可导仅有两个不同实根., g (u , v) 具有连续二阶偏导数,求(2)设曲线积分 ?c xy 2 dx ? y? ( x)dy 与路径无关,其中 ? ( x) 具有连续的导数,且 ? (0) ? 0, 计算七、 （本题满分 6 分）问 ? 为何值时,线性方程组x1 ? x3 ? ?4 x1 ? x2 ? 2 x3 ? ? ? 2率 P( B) ? 0.6 及条件概率 P( B | A) ? 0.8, 则和事件 A ? B 的概率P ( A ? B ) =____________.6 x1 ? x2 ? 4 x3 ? 2? ? 3(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次 ,其命中 率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中 的概率为____________. (3) 若 随 机 变 量 ? 在 (1, 6) 上 服 从 均 匀 分 布 , 则 方 程x 2 ? ? x ? 1 ? 0 有实根的概率是____________.*有解,并求出解的一般形式. 八、 （本题满分 8 分） 假设 ? 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值,证明 (1) 1 为 A 的特征值.?1? (2) A ?为 A 的伴随矩阵 A 的特征值. 十一、 （本题满分 6 分）九、 （本题满分 9 分） 设半径为 R 的球面 ? 的球心在定球面x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 (a ? 0) 上,问当 R 为何值时,球面 ? 在定球面设随机变量 X 与 Y 独立,且 X 服从均值为 1、 标准差(均 方差)为 2 的正态分布,而 Y 服从标准正态分布 . 试求随 机变量 Z ? 2 X ? Y ? 3 的概率密度函数.内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分. 把答案填在题中横线上) (1) 已知随机事件 A 的概率 P( A) ? 0.5, 随机事件 B 的概1990 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 把答案填在题中横线上)x ? ?t ? 2二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 f ( x) 是连续函数,且 F ( x) ? ?x f (t )dt , 则 F ?( x) 等于 (A) ? e? x f (e? x ) ? f ( x) (B) ? e? x f (e? x ) ? f ( x) (C) e? x f (e? x ) ? f ( x)e? x(1)过点 M (1, 2 ? 1) 且与直线 是_____________.y ? 3t ? 4 垂直的平面方程z ? t ?1(2)设 a 为非零常数,则 lim( x ? a ) x =_____________. x ?? x ? a(D) e? x f (e? x ) ? f ( x) (2) 已知函数f ( x)具有任意阶导数 , 且 f ?( x) ? [ f ( x)]2 ,(3)设函数 f ( x) ?1 0x ?1 x ?1则当 n 为大于 2 的正整数时 , f ( x) 的 n 阶导数 f ( n ) ( x) 是 , 则 (A) n ![ f ( x)]n?1 (B) n[ f ( x)]n ?1 (C) [ f ( x)]2 n 组 (D) n ![ f ( x)]2 n) (3)设 a 为常数,则级数 ? [ sin(na ? 2n ?1 ?f [ f ( x)] =_____________.(4)积分 ?0 dx ?x e? y dy 的值等于_____________.222(5)已知向量α1 ? (1, 2,3, 4), α 2 ? (2,3, 4,5), α 3 ? (3, 4,5, 6), α 4 ? (4,5, 6, 7),n1 ] n则该向量组的秩是_____________.(A)绝对收敛 件收敛(B) 条(C)发散 性与 a 的取值有关 (4) 已 知f (0) ? 0, limx ?0(D) 收 敛(1)求 ? 1 ln(1 ? x2)dx.0(2 ? x)(2)设 z ? 在x?0f (2 x ? y, y sin x), 其中 f (u , v) 具有连续的二阶偏f ( x)的某个邻域内连续,且导数,求f ( x) ? 2, 则在点 x ? 0 处 f ( x) 1 ? cos x?2 z . ?x?y(3)求微分方程 y?? ? 4 y? ? 4 y ? e?2 x 的通解(一般解). (B) 可 导 , 四、(本题满分 6 分)(A)不可导 且 f ?(0) ? 0 (C)取得极大值 极小值(D) 取 得求幂级数 ? (2n ? 1) x n 的收敛域,并求其和函数.n ?0?(5)已知 β1 、β2 是非齐次线性方程组 AX ? b 的两个不同 的解 , α1 、α 2 是对应其次线性方程组 AX ? 0 的基础解析 , k1 、k2 为任意常数,则方程组 AX ? b 的通解(一般解)必是五、(本题满分 8 分) 求曲面积分I ? ?? yzdzdx ? 2dxdyS(A) k1α1 ? k2 (α1 ? α 2 ) ? β1 ? β 2 2 (B) k1α1 ? k2 (α1 ? α 2 ) ? β1 ? β 2 2 (C) k1α1 ? k2 (β1 ? β2 ) ? β1 ? β22 (D) k1α1 ? k2 (β1 ? β2 ) ? β1 ? β2 2其中 S 是球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 4 外侧在 z ? 0 的部分.六、 （本题满分 7 分） 设不恒为常数的函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续,在开 区间 (a, b) 内可导,且 f (a) ?f (b). 证明在 ( a, b) 内至少存在一三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)点 ? , 使得 f ?(? ) ? 0.质点 P 沿着以 AB 为直径的半 圆周,从点 A(1, 2) 运动到点 B(3, 4) 的七、 （本题满分 6 分） 设四阶矩阵?1 ?1 0 0 ? ?2 ?0 1 ?1 0 ? ? ? , C ? ?0 B?? ?0 0 1 ?1? ?0 ? ? ? ?0 0 0 1 ? ?0 1 3 4? 2 1 3? ? 0 2 1? ? 0 0 2?过程中受变力 F 作用(见图). F 的 大小等于点 P 与原点 O 之间的距 离,其方向垂直于线段 OP 且与 y 轴正向的夹角小于 ? . 求变力 F 对???2质点 P 所作的功.且矩阵 A 满足关系式A(E ? C?1B)?C? ? E其中 E 为四阶单位矩阵 , C?1 表示 C 的逆矩阵 , C? 表示 C 的转 十、填空题(本题共 3 小题,每小题 2 分,满分 6 分. 置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵 A. 把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量 X 的概率密度函数 八、 （本题满分 8 分）f ( x) ?求2 1一2 2个2 3正交变换化二次型1 ?x e , ?? ? x ? ?? 2f ? x ? 4 x ? 4 x ? 4 x1 x2 ? 4 x1 x3 ? 8 x2 x3 成标准型.则 X 的概率分布函数 F ( x) =____________. (2)设随机事件 A 、 B 及其和事件的概率分别是 0.4、 0.3 和 0.6,若 B 表示 B 的对立事件,那么积事件 AB 的概九、 （本题满分 8 分） 率 P( AB ) =____________.(3) 已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松( Poisson)分 布 , 即 P{ X? k} ?2k e ?2 , k ? 0,1, 2,? , k!则随机变量Z ? 3 X ? 2 的数学期望 E ( Z ) =____________.十一、 （本题满分 6 分） 设二维随机变量 ( X , Y ) 在区域 D : 0 ? x ? 1, y ? x 内服从 均匀分布 , 求关于 X 的边缘概率密度函数及随机变量Z ? 2X ?1的方差 D( Z ).1991 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 把答案填在题中横线上) (1)设2 x ? 1? t2 ,则 d y =_____________. dx 2 y ? cos t?5 ?2 (5) 设 4 阶 方 阵 A ? ? ?0 ? ?0A ?10? 1 0 0? ?, 则 0 1 ?2 ? ? 0 1 1? 2 0A的逆阵=_____________.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 所选项前的字母填在题后的括号内)(2) 由 方 程 xyz ? x ? y ? z ? 2 所 确 定 的 函 数2 2 2z ? z ( x, y ) 在点 (1, 0, ?1) 处的全微分 dz =_____________.(1)曲线 y ?1 ? e? x 1 ? e? x22(A)没有渐近线 (3)l1 :(B) 仅 有已知两条直线的方程是水平渐近线 (C)仅有铅直渐近线 有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 既x ?1 y ? 2 z ? 3 x ? 2 y ?1 z ? ? ; l2 : ? ? . 则过 l1 且平行于 l2 的 1 0 ?1 2 1 1平面方程是_____________. (4) 已知当 x ? 0 时 ,(1 ? ax 2 ) 3 ? 1 与 cos x ? 1 是等价无穷小, 则常数 a =_____________.1(2) 若连续函数 则 f ( x) 等于 (A) e (C) exf ( x)满足关系式f ( x) ? ?2?0t f ( )dt ? ln 2, 2ln 2? ln 2(B) e2xln 2x(D) e2x? ln 2? ?侧的法向量 , 求函数 u ??n ?1 n ?1(3)已知级数 ? (?1)n?1 an ? 2, ? a2 n?1 ? 5, 则级数 ? an 等于n ?16x2 ? 8 y 2 z? 在点 P 处沿方向 n 的方向导数. (3) ??? ( x 2 ? y 2 ? z )dv, 其中 ? 是由曲线?(A)3 (C)8(B)7 (D)9y 2 ? 2 z 绕 z 轴旋转 x?0一周而成的曲面与平面 z ? 4 所围城的立体. (4) 设 D 是平面 xoy 上以 (1,1) 、 (?1,1) 和 (?1, ?1) 为顶点的 三角形区域 , D1 是 D 在第一象限的部分,则 四、(本题满分 6 分) (B) 2?? xydxdyD1?? ( xy ? cos x sin y)dxdy 等于D(A) 2?? cos x sin ydxdyD1过点 O(0, 0) 和 A(? , 0) 的曲线族 y ? a sin x(a ? 0) 中 , 求一 条曲线 L, 使沿该曲线 O 从到 A 的积分(C) 4?? ( xy ? cos x sin y)dxdyD1(D)0(5)设 n 阶方阵 A 、 B、 C 满足关系式 ABC ? E, 其中 E 是 n 阶单位阵,则必有? (1 ? y )dx ? (2 x ? y)dy 的值最小.3 L五、(本题满分 8 分) (A) ACB ? E (C) BAC ? E (B) CBA ? E (D) BCA ? E 将函数 f ( x) ? 2 ? x (?1 ? x ? 1) 展开成以 2 为周期的傅里 叶级数,并由此求级数 ?1 2 n ?1 n?的和.三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求 lim (cosx ? 0??六、 （本题满分 7 分） 设函数f ( x)x) .2在[0,1]上连续, (0,1)内可导,且? (2)设 n 是曲面 2 x 2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 6 在点 P(1,1,1) 处的指向外3?2 f ( x) dx ? f (0), 证明在 (0,1) 内存在一点 c, 使 f ?(c) ? 0.1 3是法线与 x 轴的交点 ), 且曲线在点 (1,1) 处的切线与 x 轴 平行. 知 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分. 把答案填在题中横线上) (1)若随机变量 X 服从均值为 2、 方差为 ? 的正态分布,2七、 （本题满分 8 分） 已α1 ? (1,0, 2,3), α2 ? (1,1,3,5), α3 ? (1, ?1, a ? 2,1), α4 ? (1, 2, 4, a ? 8) 及β ? (1,1, b ? 3, 5).(1) a 、 b 为何值时 , β 不能表示成 α1 , α 2 , α3 , α 4 的线性组 合?且 P{2 ? X (2) a 、b 为何值时 , β 有 α1 , α 2 , α3 , α 4 的唯一的线性表示式? 写出该表示式.? 4} ? 0.3, 则 P{ X ? 0} =____________.(2) 随机地向半圆 0 ? y ?2ax ? x 2 (a 为正常数 ) 内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比 , 则原点和该点的连线与 x 轴的夹角小于 ? 的概率为 八、 （本题满分 6 分） ____________. 设 A 是 n 阶正定阵 , E 是 n 阶单位阵,证明 A ? E 的行列式 大于 1. 十一、 （本题满分 6 分） 设二维随机变量 ( X , Y ) 的密度函数为 九、 （本题满分 8 分） 在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 P( x, y ) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数( Qf ( x, y ) ?42 e ? ( x ? 2 y ) x ? 0, y ? 0 0 其它求随机变量 Z ? X ? 2Y 的分布函数.dy =_____________. dx(2) 函 数 u ? ln( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 在 点grad uMM (1, 2, ?2)处的梯度=_____________.f ( x) ?(3) 设?1 1? x2?? ? x ? 0 , 则其以 2? 0? x ??为周期的傅里叶级数在点 x ? ? 处收敛于_____________. (4) 微 分 方 程yy? ? y tan x ? cos x的 通 解 为=_____________.? a1b1 ?a b A?? 2 1 ?? ? ? anb1 a1b2 a2b1 ? anb2 ? a1bn ? ? a2bn ? ?, ? ? ? ? ? anbn ?(5)设其中ai ? 0, bi ? 0, (i ? 1, 2,?, n).r ( A ) =_____________.则矩阵A的秩1992 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 把答案填在题中横线上) (1) 设 函 数y ? y ( x)二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 所选项前的字母填在题后的括号内)由 方 程 e ? cos( xy) ? 0 确 定 , 则x? y(1)当 x ? 1 时,函数 x? 1 x1 e ?1 的极限 x ?12(A)等于 2 (C)为 ? 在但不为 ? (2)级数 ? (?1)n (1 ? cos a )( 常数 a ? 0)n ?1 ?(B)等于 0 (D) 不 存?1? ?0? ? ? ? (5)要使 ξ1 ? ? 0 ? , ξ 2 ? ? ? 1 ? 都是线性方程组 AX ? 0 的解, ? 2? ? ?1? ? ? ? ?只要系数矩阵 A 为n(A) ? ?2 1 2? (B) 条 (C) ? ? (D) 收?1 0 2? 1 ?1? ?(B) ? ?(A)发散 件收敛 (C)绝对收敛 敛性与 a 有关2 0 ?1? ? ?0 1 1 ??0? 0 1 ?1? ? (D) ? ? 4 ?2 ?2 ? ? ?0 1 1 ? ?(3) 在 曲 线 x ? t , y ? ?t 2 , z ? t 3 的 所 有 切 线 中 , 与 平 面x ? 2 y ? z ? 4 平行的切线三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (B) 只x 1 (1)求 lim e ? sin x ? . 2 x ?0(A)只有 1 条 有2条 (C)至少有 3 条 在1? 1? x(2)设 z ? f (e x sin y, x 2 ? y 2 ), 其中 f 具有二阶连续偏导数, (D) 不 存 求 (4)设 f ( x) ? 3x3 ? x 2 x , 则使 f ( n ) (0) 存在的最高阶数 n 为 (A)0 (C)2 (B)1 (D)3?2 z . ?x?y(3)设 f ( x) ?3 1 ? x2 x ? 0 f ( x ? 2)dx. , 求 ? 1 x?0 e? x四、(本题满分 6 分) 求微分方程 y?? ? 2 y? ? 3 y ? e?3 x 的通解. 八、 （本题满分 7 分） 设向量组 α1 , α 2 , α3 线性相关,向量组 α 2 , α 3 , α 4 线性无关, 五、(本题满分 8 分) 计 算 曲 面 积 分 问: (1) α1 能否由 α 2 , α3 线性表出?证明你的结论. (2) α 4 能否由 α1 , α 2 , α3 线性表出?证明你的结论.?? ( x?3? az 2 )dydz ? ( y 3 ? ax 2 )dzdx ? ( z 3 ? ay 2 )dxdy,其中 ? 为上半球面 z ? a 2 ? x 2 ? y 2 的上侧. 九、 （本题满分 7 分） 六、 （本题满分 7 分） 设f ??( x ) ? 0, f (0) ? 0,设 3 阶矩阵 A 的特征值为 ?1 ? 1, ?2 ? 2, ?3 ? 3, 对应的特征 向量依次为证 明 对 任 何 x1 ? 0, x2 ? 0, 有f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ).七、 （本题满分 8 分） 在变力 F ? yzi2? 1? ?1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ξ1 ? ?1? , ξ 2 ? ? 2 ? , ξ 3 ? ? 3 ? , 又向量 β ? ? 2 ? . ? 1? ? 4? ?9? ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? zxj ? xyk 的作用下,质点由原点沿直线y2 z2 ? ? 1 上第一卦限的点 M (? ,? , ? ), 问 b2 c2?(1)将 β 用 ξ1 , ξ 2 , ξ 3 线性表出. (2)求 A nβ(n 为自然数).运动到椭球面 x 2 ?a当 ? 、? 、? 取何值时,力 F 所做的功 W 最大?并求出W 的最 大值. 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.把答案填在题中横线上) (1)P ( A) ? P ( B ) ? P (C ) ?A已1 1 , P ( AB ) ? 0, P( AC ) ? P( BC ) ? , 4 6知 则事件、 B 、 C 全不发生的概率为____________. (2)设随机变量 X 服从参数为 1 的指数分布,则数学期望 E{ X ? e?2 X } =____________.十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量 X 与 Y 独立 , X 服从正态分布 N ( ? , ? 2 ), Y 服 从 [?? , ? ] 上的均匀分布 , 试求 Z ? X ? Y 的概率分布密度 (计算结果用标准正态分布函数1 ? ( x) ? 2??表示,其中?x??e?t2 2dt ) .1993 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 所选项前的字母填在题后的括号内) 把答案填在题中横线上) (1) 函 数 F ( x) ? ? x (2 ?1二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把1 )dt ( x ? 0) t的单调减少区间为(1) 设 f ( x) ? ?0 sin(t 2 )dt , g ( x) ? x3 ? x 4 , 则当 x ? 0 时 , f ( x) 是 g ( x) 的 (A)等价无穷小 但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小 (D) 低 价 (B) 同 价sin x_____________. (2)由曲线 面在点3 x 2 ? 2 y 2 ? 12 绕 z?0y轴旋转一周得到的旋转(0, 3, 2)处的指向外侧的单位法向量为 无穷小_____________. (3) 设函数 f ( x) ? ? x ? x (?? ? x ? ? ) 的傅里叶级数展开2式为? a0 ? ? (an cos nx ? bn sin nx), 2 n ?1则 其 中 系 数 b3 的 值 为(2)双纽线 ( x 2 ? y 2 )2 ? x 2 ? y 2 所围成的区域面积可用定 积分表示为_____________. (4) 设 数 量 场u ? ln x 2 ? y 2 ? z 2 ,则(A) 2?04 cos 2? d? (B) 4?04 cos 2? d? (C) 2?04????div(grad u ) =_____________.cos 2? d?(5) 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零,且 A 的秩为n ? 1, 则线性方程组 AX ? 0 的通解为_____________.(D) 1 ?04 (cos 2? ) 2 d?2(3)设有直线 l1 : x ? 1 ?1y ?5 z ?8 与 l2 : ? ?2 1x? y ?6 2y ? z ? 3则 l1 与l2 的夹角为(A) ?6(B) ?x (2)求 ? x xe dx.e ?14(C) ? 3x(D) ? 2(3) 求微分方程 x 2 y? ? xy ? y 2 , 满足初始条件 y 特解.x ?1?1的(4)设曲线积分 ?L [ f (t ) ? e ]sin ydx ? f ( x) cos ydy 与路径无 关,其中 f ( x) 具有一阶连续导数,且 f (0) ? 0, 则 f ( x) 等于? ex 2 x ?x (C) e ? e ? 1 2(A) e?x? e? x 2 x ?x (D) 1 ? e ? e 2(B) ex四、(本题满分 6 分)2 计算 ? ?? 2 xzdydz ? yzdzdx ? z dxdy, 其 中 ??是由曲面?1 2 3? ? (5) 已 知 Q ? ? ?2 4 t ? , P 为 三 阶 非 零 矩 阵 , 且 满 足 ? ?3 6 9? ?PQ ? 0, 则z ? x 2 ? y 2 与 z ? 2 ? x 2 ? y 2 所围立体的表面外侧.五、(本题满分 7 分) 求级数 ?(?1) n (n 2 ? n ? 1) 的和. 2n n ?0?(A) t ? 6 时 P 的秩必为 1P(B) t ? 6 时的秩必为 2 (C) t ? 6 时 P 的秩必为 1 (D) t ? 6 时 六、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) (1) 设 在[0, ??)P的秩必为 2上函数f ( x)有连续导数,且f ?( x) ? k ? 0, f (0) ? 0, 证明 f ( x ) 在 (0, ??) 内有且仅有一个零三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1)求 lim(sin 2 ? cos 1 ) x .x ??点. (2)设 b ? a ? e, 证明 abxx? ba .把答案填在题中横线上) 七、 （本题满分 8 分） 已知二次型2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2 x12 ? 3 x2 ? 3 x3 ? 2ax2 x3 (a ? 0)(1)一批产品共有 10 个正品和 2 个次品,任意抽取两 通 次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次 品的概率为____________. (2) 设随机变量 X 服从 (0, 2) 上的均匀分布 , 则随机变 量 Y ? X 在 (0, 4) 内的概率分布密度 fY ( y) =____________.2过正交变换化成标准形 的正交变换矩阵.2 2 f ? y12 ? 2 y2 ? 5 y3 , 求参数 a 及所用八、 （本题满分 6 分） 设 A 是 n ? m 矩阵 , B 是 m ? n 矩阵,其中 n ? m, I 是 n 阶单位 矩阵,若 AB ? I, 证明 B 的列向量组线性无关. 十一、 （本题满分 6 分） 设 随 机 变 量f ( x) ? 1 ?x e , ?? ? x ? ??. 2X的 概 率 分 布 密 度 为九、 （本题满分 6 分） 设物体 A 从点 (0,1) 出发,以速度大小为常数 v 沿 y 轴正 向运动.物体 B 从点 (?1, 0) 与 A 同时出发,其速度大小为 2v, 方向始终指向 A, 试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分 方程,并写出初始条件.(1)求 X 的数学期望 EX 和方差 DX . (2)求 X 与 X 的协方差,并问 X 与 X 是否不相关? (3)问 X 与 X 是否相互独立?为什么?十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分.1994 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设把答案填在题中横线上) (1) lim cot ? (x ?01 1 ? )= sin x x_____________.M ? ? 2?? ? sin x 4 3 4 2 3 4 2 2 cos xdx , N ? (sin x ? cos x ) dx , P ? ? ? ( x sin x ? cos x)dx, ? ? ? 1 ? x2 ? ? 2 2 2?则有 (2) 曲面 z ? e x ? 2 xy ? 3 在点 (1, 2, 0) 处的切平面方程为 _____________. (3) 设x u ? e sin , y?x(A) N ? P ? M (B) M?P?N ?P? 2u 则 在 点 (2, 1 ) 处 的 值 为 ?x?y ?(C) N ? M (D) P ? M?N_____________. (2) 二 元 函 数 (4) 设2f ( x, y )区域D为x ?y ?R ,2 2 2则在 点 ( x0 , y0 ) 处 两 个 偏 导 数?? ( aDx2 2f x?( x0 , y0 ) 、 f y?( x0 , y0 ) 存在是 f ( x, y ) 在该点连续的?y )dxdy =_____________. b22 3(A)充分条件而非必要条件 必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 非充分条件又非必要条件(B)(5) 已知 α ? [1, 2,3], β ? [1, 1 , 1 ], 设 A ? α?β, 其中 α? 是 α 的转 置,则 A =_____________.n(D) 既(3) 设 常 数? ? 0,且 级 数 ? an2 收 敛 , 则 级 数n ?1?? (?1)nn ?1?an n2 ? ?(2) 曲面 z ? e x ? 2 xy ? 3 在点 (1, 2, 0) 处的切平面方程为 _____________. (B) 条 件 (3) 设u ? e? x sin x , y(A)发散 收敛 (C)绝对收敛 敛性与 ? 有关 (4) limx ?0则? 2u 在 点 (2, 1 ) 处 的 值 为 ?x?y ?(D) 收_____________. (4) 设 区 域D为x2 ? y 2 ? R2 ,则a tan x ? b(1 ? cos x) c ln(1 ? 2 x) ? d (1 ? e? x )2? 2, 其中 a 2 ? c 2 ? 0, 则必有?? (Dx2 y 2 ? )dxdy =_____________. a 2 b2(A) b ? 4d (C) a ? 4c(B) b ? ?4d (D) a ? ?4c(5) 已知 α ? [1, 2,3], β ? [1, 1 , 1 ], 设 A ? α?β, 其中 α? 是 α 的转2 3置,则 A =_____________.n(5)已知向量组 α1 , α 2 , α3 , α 4 线性无关,则向量组 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 1994 年全国硕士研究生入学统一考试 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 数学(一)试卷 所选项前的字母填在题后的括号内) 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 把答案填在题中横线上) (1) lim cot ? (x ?0(1)M ? ? 2??设1 1 ? )= sin x x_____________.? ? sin x 4 3 4 2 3 4 2 2 cos xdx , N ? (sin x ? cos x ) dx , P ? ? ? ( x sin x ? cos x)dx, ? ? ? 1 ? x2 ? ? 2 2 2则有 (A) N ? P ? M (B) M?P?N敛性与 ? 有关 (4) limx ?0a tan x ? b(1 ? cos x) c ln(1 ? 2 x) ? d (1 ? e? x2)? 2, 其中 a 2 ? c 2 ? 0, 则必有(A) b ? 4d (C) N ? M (D) P ? M?P(B) b ? ?4d (D) a ? ?4c(C) a ? 4c?N(2) 二 元 函 数f ( x, y )在 点 ( x0 , y0 ) 处 两 个 偏 导 数(5)已知向量组 α1 , α 2 , α3 , α 4 线性无关,则向量组 (A) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α 4 , α 4 ? α1 线性无关 (B) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α 4 , α 4 ? α1 线性无关 (C) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α 4 , α 4 ? α1 线性无关f x?( x0 , y0 ) 、 f y?( x0 , y0 ) 存在是 f ( x, y ) 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 必要条件而非充分条件 (C)充分必要条件 非充分条件又非必要条件 (3) 设 常 数? ? 0,(B)(D) 既(D) α1 ? α 2 , α 2 ? α3 , α3 ? α 4 , α 4 ? α1 线性无关且 级 数 ? an2 收 敛 , 则 级 数n ?1?三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分)x ? cos(t 2 )? (?1)n ?1?nan n2 ? ?(1)设 (B) 条 件 的值.y ? t cos(t ) ? ?2t21 2 u1cos udud ,求 dy 、dx2y2dx在t ??2(A)发散 收敛 (C)绝对收敛(2) 将函数 (D) 收 数.f ( x) ?1 1? x 1 ln ? arctan x ? x 展开成 x 的幂级 4 1? x 2(3)求 ?dx . sin(2 x) ? 2sin x七、 （本题满分 6 分） 已知点 A 与 B 的直角坐标分别为 (1, 0, 0) 与 (0,1,1). 线段四、(本题满分 6 分) 计算曲面积分xdydz ? z 2 dxdy , 其中 2 2 2 ?? x ? y ? z SSAB绕 x 轴旋转一周所成的旋转曲面为 S. 求由 S 及两平面是由曲面z ? 0, z ? 1 所围成的立体体积.x 2 ? y 2 ? R 2 及 z ? R, z ? ? R( R ? 0) 两平面所围成立体表面的八、 （本题满分 8 分） 外侧. 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 五、(本题满分 9 分) 设f ( x)x1 ? x2 ? 0 x2 ? x4 ? 0,又 已 知 某 线 性 齐 次 方 程 组 ( Ⅱ ) 的 通 解 为, f (0) ? 0, f ?(0) ? 1,具有二阶连续函数且k1 (0,1,1, 0) ? k2 (?1, 2, 2,1).[ xy ( x ? y ) ? f ( x) y ]dx ? [ f ?( x) ? x 2 y ]dy ? 0 为一全微分方程 , 求f ( x ) 及此全微分方程的通解.(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若 有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.六、(本题满分 8 分) 设 f ( x) 在点 x ? 0 的某一邻域内具有二阶连续导数,且limx ?0? f ( x) 1 ? 0, 证明级数 ? f ( ) 绝对收敛. x n n ?1九、 （本题满分 6 分） 设 A 为 n 阶非零方阵 , A* 是 A 的伴随矩阵 , A? 是 A 的转置 矩阵,当 A*? A?时,证明 A ? 0.十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分. 把答案填在题中横线上) (1) 已 知 A 、 B 两 个 事 件 满 足 条 件 P( AB) ? P( AB), 且P( A) ? p, 则 P ( B ) =____________.(2)设相互独立的两个随机变量 X , Y 具有同一分布率, 且 X 的分布率为X01 211 2P则随机变量 Z ? max{ X , Y } 的分布率为____________.十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量X和 Y 分 别 服 从 正 态 分 布 N (1,32 ) 和23 21 N (0, 42 ), 且 X 与 Y 的相关系数 ? xy ? ? , 设 Z ? X ? Y ,(1)求 Z 的数学期望 EZ 和 DZ 方差. (2)求 X 与 Z 的相关系数 ? xz . (3)问 X 与 Y 是否相互独立?为什么?1995 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 把答案填在题中横线上) (1) lim(1 ? 3x)x ?0 2 sin x二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设 有 直 线L:x ? 3y ? 2z ?1 ? 0 2 x ? y ? 10 z ? 3 ? 0, 及 平 面=_____________.? : 4 x ? 2 y ? z ? 2 ? 0, 则直线 L(A)平行于 ? _____________. 交(a ? b)? c ? 2,(B)在 ? 上 (D) 与 ? 斜(2) (3)d 0 x cos t 2 dt = dx ?x2(C)垂直于 ? 则 (2) 设 在[0,1]设上f ??( x) ? 0,则f ?(0), f ?(1), f (1) ? f (0)或[(a ? b) ? (b ? c)]? (c ? a) =_____________.(4) 幂 级 数 ? n n n x 2 n?1 的 收 敛 半 径 2 ? (?3)n ?1?f (0) ? f (1) 的大小顺序是(A) f ?(1) ? (B) f ?(1) ?f ?(0) ? f (1) ? f (0)R=_____________.f (1) ? f (0) ? f ?(0) f ?(1) ? f ?(0)(5) 设 三 阶 方 阵 A, B 满 足 关 系 式 A BA ? 6A ? BA, 且?1?1 ?3 ? A ? ?0 ? ? ?0 ? ?0 1 4 0? 0? ? 0 ? , 则 B =_____________. ? ? 1? 7? ?(C) f (1) ? f (0) ? (D) f ?(1) ? (3) 设f (0) ? f (1) ? f ?(0)f ( x)可导 , F ( x) ? f ( x)(1 ? sin x ), 则f (0) ? 0是 F ( x)在 x ? 0 处可导的 (A)充分必要条件 (B) 充分条件但非必要条件 (C)必要条件但非充分条件 既非充分条件又非必要条件 (4)设 un ? (?1)n ln(1 ?? ? n ?1 n ?1n有一阶连续偏导数,且 ???z? 0. 求du . dx1(D)(2) 设函数1 1f ( x)在区间 [0,1] 上连续 , 并设 ?0 f ( x)dx ? A,求 ?0 dx ?x f ( x) f ( y)dy.1 ), 则级数 n(A) ? un 与 ? u 2 都收敛(B) ? un 与n ?1?四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分) (1)计算曲面积分 ??? zdS , 其中 ? 为锥面 z ? x 2 ? y 2 在柱? u 都发散2 n ?1n?(C) ? un 收敛,而 ? u 2 发散n ?1 n ?1n??(D) ? un 收n ?1?体 x 2 ? y 2 ? 2 x 内的部分. (2)将函数 f ( x) ? x ? 1(0 ? x ? 2) 展开成周期为 4 的余弦敛,而 ? u 2 发散n ?1n?(5)? a11 a12 A?? ? a21 a22 ? ? a31 a32 a13 ? ? a11 a12 ? a23 ? , B ? ? ? a21 a22 ? a33 ? ? ? a31 a32设a13 ? ?0 1 0 ? ?1 0 0 ? ? ? ? ? a23 ? , P1 ? ?1 0 0? , P2 ? ? ?0 1 0 ? , ? ? a33 ? ? ?0 0 1 ? ? ?1 0 1 ? ?函数.五、(本题满分 7 分) 设曲线 L 位于平面 xOy 的第一象限内 , L 上任一点 M 处则必有 (A) AP1P2 = B (C) P1P2 A = B (B) AP2 P1 = B (D) P2 P1A = B的切线与 y 轴总相交,交点记为 A. 已知 MA ? OA , 且 L 过点3 3 ( , ), 求 L 的方程. 2 2三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) (1) 设 u ? f ( x, y, z ), ? ( x 2 , e y , z ) ? 0, y ? sin x, 其 中f ,?六、(本题满分 8 分) 都具 设函数 Q( x, y ) 在平面 xOy 上具有一阶连续偏导数 , 曲线积分 ?L 2 xydx ? Q( x, y )dy 与路径无关 , 并且对任意 t 恒有?( t ,1)(0,0)2 xydx ? Q( x, y )dy ? ?(1,t )(0,0)2 xydx ? Q( x, y )dy, 求 Q( x, y ).十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分. 把答案填在题中横线上)七、 （本题满分 8 分） 假设函数f ( x)(1)设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每 次射中目标的概率为 0.4, 则 X 的数学期望 E ( X 2 ) =____________.2和 g ( x) 在 [a, b] 上存在二阶导数 , 并且g ??( x) ? 0, f ( a ) ? f (b) ? g ( a ) ? g (b) ? 0, 试证:(1)在开区间 (a, b) 内 g ( x) ? 0. (2)在开区间 (a, b) 内至少存在一点 ? , 使f (? ) f ??(? ) ? . g (? ) g ??(? )(2)设 X 和 Y 为两个随机变量,且P{ X ? 0, Y ? 0} ? 3 4 , P{ X ? 0} ? P{Y ? 0} ? , 7 7则 P{max( X , Y ) ? 0} ? ____________. 八、 （本题满分 7 分） 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 ?1 ? ?1, ?2 ? ?3 ? 1, 对应?0 ? ? 于 ?1 的特征向量为 ξ1 ? ? ?1 ? , 求 A. ? ?1 ? ?十一、 （本题满分 6 分） 设随机变量 X 的概率密度为f X ( x) ?Xe? x 0x?0, x?0求随机变量 Y ? e 的概率密度 fY ( y ). 九、 （本题满分 6 分） 设 A 为 n 阶矩阵 ,满足 AA? ? I(I 是 n 阶单位矩阵 , A? 是 A 的转置矩阵 ), A ? 0, 求 A ? I .1996 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 把答案填在题中横线上) (1)设 lim( x ? 2a ) x ? 8, 则 a =_____________.x ??ydy (1)已知 ( x ? ay )dx ? 为某函数的全微分, a 则等于 2 ( x ? y)(A)-1 (C)1 (2)设 则 且与平面 (A) f (0) 是 f ( x) 的极大值 (B) f (0) 是 f ( x) 的极小值 (C) (0, f (0)) 是曲线 y ? (D) 的拐点f ( x) 的拐点f ( x ) 具有二阶连续导数 , 且(B)0 (D)2f ?(0) ? 0, limx ?0f ??( x) ? 1, xx?a(2) 设 一 平 面 经 过 原 点 及 点(6, ?3, 2),4 x ? y ? 2 z ? 8 垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程 y?? ? 2 y? ? 2 y ? e x 的通解为_____________. (4) 函数 u ? ln( x ? y 2 ? z 2 ) 在点 A(1, 0,1) 处沿点 A 指向点B (3, ?2, 2) 方向的方向导数为_____________.f (0) 不是 f ( x ) 的极值 , (0, f (0)) 也不是曲线 y ? f ( x )? 1 0 2? ? (5) 设 A 是 4 ? 3 矩阵 , 且 A 的秩 r ( A) ? 2, 而 B ? ? ? 0 2 0? , ? ? ?1 0 3 ? ?(3) 设 an ? 0(n ? 1, 2,?), 且 ? an 收敛 , 常数 ? ? (0, ? ), 则级? n ?12数 ? (?1)n (n tan ? )a2 n? n ?1n则 r ( AB) =_____________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 所选项前的字母填在题后的括号内)(A)绝对收敛 (C)发散 (4) 设 有(B)条件收敛 (D)散敛性与 ? 有关f ( x)x连续的导数, f (0) ? 0, f ?(0) ? 0, F ( x) ? ? ( x 2 ? t 2 ) f (t ) dt , 且当 x ? 0 时 , F ?( x) 与0x k 是同阶无穷小,则 k 等于角. (B)2 (D)4b1 0 的值等于 0 a4(A)1 (C)3a1 0 0 0 a2 b2 (5)四阶行列式 0 a3 b3 b4 0 0(2) 设变换 化为? z ? z ? z u ? x ? 2y 可把方程 6 2 ? ? ?0简 ?x ?x?y ?y 2 v ? x ? ay2 2 2?2 z ? 0, 求常数 a. ?u?v五、(本题满分 7 分) 求级数 ?1 2 ( n ? 1)2n n ?1?的和.(A) a1a2 a3a4 ? b1b2b3b4 (B) a1a2 a3a4 ? b1b2b3b4 (C) (a1a2 ? b1b2 )(a3a4 ? b3b4 ) (D) (a2 a3 ? b2b3 )(a1a4 ? b1b4 ) 三、(本题共 2 小题,每小题 5 分,满分 10 分) (1)求心形线 r ? a(1 ? cos ? ) 的全长,其中 a ? 0 是常数. (2) 设 x1 ? 10, xn?1 ? 存在,并求此极限. 四、(本题共 2 小题,每小题 6 分,满分 12 分) (1) 计算曲面积分 ?? (2 x ? z )dydz ? zdxdy, 其中 S 为有向S六、(本题满分 7 分) 设对任意 x ? 0, 曲线 y ?x0f ( x) 上点 ( x, f ( x)) 处的切线在 y轴上的截距等于 1 ? x f (t )dt , 求 f ( x) 的一般表达式. 七、 （本题满分 8 分） 设f ( x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件f ( x) ? a, f ??( x) ? b, 其中 a, b 都是非负常数 , c 是 (0,1) 内任意6 ? xn (n ? 1, 2,?), 试证数列 {xn } 极限一点.证明b f ?(c) ? 2a ? . 2八、 （本题满分 6 分） 设 A ? I ? ξξT , 其中 I 是 n 阶单位矩阵 , ξ 是 n 维非零列向 量 , ξT 是 ξ 的转置.证明 (1) A2曲面 z ? x 2 ? y 2 (0 ? x ? 1), 其法向量与 z 轴正向的夹角为锐?A的充分条件是 ξT ξ ? 1.(2)当 ξT ξ ? 1 时 , A 是不可逆矩阵. 九、 （本题满分 8 分） 已知二次型2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 5x12 ? 5x2 ? cx3 ? 2 x1 x2 ? 6 x1 x3 ? 6 x2 x3 的秩为变量,已知 ? 的分布率为 P(? ? i) ? 1 , i ? 1, 2, 3.3又设 X? max(? ,? ), Y ? min(? ,? ).(1)写出二维随机变量的分布率: 2,XY123(1)求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 1 表示何种二次曲面. 十、填空题(本题共 2 小题,每小题 3 分,满分 6 分. 把答案填在题中横线上) (1)设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%, 现从由 A 和 B 的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机 抽取一件,发现是次品,则该次品属 A 生产的概率是 ____________. (2) 设 ? ,? 是 两 个 相 互 独 立 且 均 服 从 正 态 分 布N (0, ( 1 2 ) ) 21 2 3 (2)求随机变量 X 的数学期望 E ( X ).的 随 机 变 量 , 则 随 机 变 量 ? ?? 的 数 学 期 望E ( ? ? ? ) =____________.十一、 （本题满分 6 分） 设 ? ,? 是两个相互独立且服从同一分布的两个随机1997 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 把答案填在题中横线上)1 x =_____________. (1) lim x ?0 (1 ? cos x ) ln(1 ? x ) 3sin x ? x 2 cos?每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 二元函数 处 (A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在 (D)连续,偏导数不存在 (2)设在区间 [a, b] 上 f ( x) ? 0, f ?( x) ? 0, f ??( x) ? 0. 令S1 ? ? f ( x)dx, S2 ? f (b)(b ? a), S3 ?a bf ( x, y ) ?xy ( x, y ) ? (0, 0) x ? y2 , 在点 (0, 0) 0 ( x, y ) ? (0, 0)2(2) 设 幂 级 数 ? an x n 的 收 敛 半 径 为 3, 则 幂 级 数n ?1? na ( x ? 1) 的收敛区间为_____________.n ?1 n ?1 n?(3) 对数螺线 ? ? e? 在点 ( ? ,? ) ? (e 2 , ? ) 处切线的直角坐2?1 [ f (a) ? f (b)](b ? a), 2标方程为_____________.?1 2 ?2 ? 3? (4) 设 A ? ? ?4 t ? , B 为三阶非零矩阵 , 且 AB ? O, 则 ? ? 3 ?1 1 ? ?t =_____________.则 (A) S1 ? S2 ? S3 (B) S2 ? S1 ? S3 (C) S3 ? S1 ? S2 (D) S2 ? S3 ? S1 (3)设 F ( x) ? ?xx ? 2?(5)袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个是白 球,今有两人依次随机地从袋中各取一球 ,取后不放回, 则第二个人取得黄球的概率是_____________. 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.esin t sin tdt , 则 F ( x)(A)为正常数 (C)恒为零(B)为负常数 (D)不为常数? a1 ? ? b1 ? ? c1 ? ? ? ? ? ? (4)设 α1 ? ? a2 ? , α 2 ? ?b2 ? , α3 ? ? ?c2 ? , 则三条直线 ? ? ? ? a3 ? ? ?b3 ? ? ? c3 ? ?a1 x ? b1 y ? c1 ? 0, a2 x ? b2 y ? c2 ? 0, a3 x ? b3 y ? c3 ? 02 2 是曲线 x ? y ? 1 从 z 轴正向往 z 轴负向看 c 的方向是顺x? y?z ?2时针的. (3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术 的人进行的,设该人群的总人数为 N , 在 t ? 0 时刻已掌握新 技术的人数为 x0 , 在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为x (t )( 将 x (t ) 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技(其中 a2 i? b ? 0, i ? 1, 2,3 )交于一点的充要条件是2 i(A) α1 , α 2 , α3 线性相关 (B) α1 , α 2 , α3 线性无关 (C)秩 r (α1 , α 2 , α3 ) ? 秩 r (α1 , α 2 ) 性相关 , α1 , α 2 线性无关 (5) 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 (D) α1 , α 2 , α3 线术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数 k ? 0, 求 x(t ). 四、 (本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 7 分, 满分 13 分)4 和 2,则随机变量 3 X ? 2Y 的方差是 (A)8 (C)28 (B)16 (D)44(1) 设直线 l :x? y ?b ? 0 x ? ay ? z ? 3 ? 0在平面 ? 上 , 而平面 ? 与曲面 z ? x 2 ? y 2 相切于点 (1, ?2, 5), 求 a, b 之值. (2)设函数 三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) (1) 计算 I ? ??? ( x 2 ? y 2 )dv, 其中 ? 为平面曲线?f (u ) 具有二阶连续导数 , 而 z? f (e x sin y ) 满y ? 2z x?02?2 z ?2 z 足方程 2 ? 2 ? e2 x z, 求 f (u ). ?x ?y绕 z 轴旋转一周所成的曲面与平面 z ? 8 所围成的区域. (2) 计算曲线积分 ? ? ( z ? y)dx ? ( x ? z )dy ? ( x ? y)dz, 其中 cc五、(本题满分 6 分) 设f ( x)连续 , ? ( x) ? ?0 f ( xt )dt , 且 limx ?01f ( x) ? A( A 为常数 ), x求 ? ?( x) 并讨论 ? ?( x) 在 x ? 0 处的连续性. 六、(本题满分 8 分) 设 a1 ? 0, an?1 ? 1 (an ?2 1 )(n ? 1, 2,?), 证明 an设 A 是 n 阶可逆方阵 , 将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得 到的矩阵记为 B. (1)证明 B 可逆. (2)求 AB?1(1) lim an 存在. x ?? (2)级数 ? (n ?1 ?.an ? 1) 收敛. an ?1九、 （本题满分 7 分） 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗,假设再七、 (本题共 2 小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分, 各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的 ,并且概率都 满分 11 分) (1)设 B 是秩为2的 5 ? 4 矩阵, α1 ? [1,1, 2,3] , α 2 ? [?1,1, 4, ?1] , α3 ? [5, ?1, ?8,9]T T T是 2 . 设 X 为途中遇到红灯的次数 , 求随机变量 X 的分布5律、分布函数和数学期望. 是齐次线性方程 十、 （本题满分 5 分） 设总体 X 的概率密度为f ( x) ?组 Bx ? 0 的解向量,求 Bx ? 0 的解空间的一个标准正交基.? 2 ?1 2 ? ?1? ? ? ? (2)已知 ξ ? ? 1 ? 是矩阵 A ? ? ? 5 a 3 ? 的一个特征向 ? ? ? ?1? ? ? ?1 b ?2 ? ?(? ? 1) x? 00 ? x ?1 其它量. 1)试确定 a, b 参数及特征向量 ξ 所对应的特征值.其中 ? ? ?1 是未知参数 , X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的一个容 量为 n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计 法求 ? 的估计量.2)问 A 能否相似于对角阵?说明理由. 八、 （本题满分 5 分）1998 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 把答案填在题中横线上) (1) lim 1 ? x ? 21 ? x ? 2 =_____________. x ?0 x 1 (2) 设 z ? f ( xy) ? y? ( x ? y), f , ? 具有二阶连续导数 , 则 x?2 z =_____________. ?x?y二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 f ( x) 连续,则 (A) xf ( x 2 ) (C) 2 xf ( x 2 )d x tf ( x 2 ? t 2 )dt = ? 0 dx(B) ? xf ( x 2 ) (D) ?2 xf ( x 2 )(2)函数 f ( x) ? ( x 2 ? x ? 2) x3 ? x 不可导点的个数是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0y ? y ( x)?x ? 0(3) 设l为 椭 圆x2 y 2 ? ? 1, 4 3其 周 长 记 为a,则(3) 已 知 函 数?y ? y?x ??, 1 ? x2在任意点,?x处的增量? ? (2 xy ? 3xL2? 4 y 2 )ds =_____________.且当时是?x的高阶无穷(4) 设 A 为 n 阶矩阵 , A ? 0, A* 为 A 的伴随矩阵 , E 为 n 阶 单位矩阵.若A小, y (0) ? ? ,则 y (1) 等于 (A) 2? (B) ? (C) e 4 (D) ? e 4?有特征值?,则 ( A* ) 2 ? E 必 有 特 征 值?_____________. (5) 设平面区域 D 由曲线 y ? 1 及直线 y ? 0, x ? 1, x ? e2 所x(4)设矩阵? a1 b1 c1 ? ? a b c ? 是满秩的 , 则直线 x ? a3 y ? b3 z ? c3 与 ? ? ? 2 2 2? a1 ? a2 b1 ? b2 c1 ? c2 ? ? a3 b3 c3 ? ?围成 , 二维随机变量 ( X , Y ) 在区域 D 上服从均匀分布 , 则( X ,Y )关于X的边缘概率密度在x?2处的值为直线x ? a1 y ? b1 z ? c1 ? ? a2 ? a3 b2 ? b3 c2 ? c3_____________.(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合 (5) 设A, B(D)异面函数关系 . 设仪器在重力作用下 , 从海平面由静止开始 铅直下沉 , 在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用 . 设 仪器的质量为 m, 体积为 B, 海水密度为 ? , 仪器所受的阻力 与下沉速度成正比,比例系数为 k (k ? 0). 试建立 y 与 v 所满 足的微分方程,并求出函数关系式 y ? y (v). 六、(本题满分 7 分) 计算axdydz ? ( z ? a ) 2 dxdy , ?? ( x 2 ? y 2 ? z 2 )1 2 ?是 两 个 随 机 事 件 , 且0 ? P( A) ? 1, P( B) ? 0, P( B | A) ? P( B | A), 则必有(A) P( A | B) ? P( A | B) (B) P( A | B) ? P( A | B) (C) P( AB) ? P( A) P( B) (D) P( AB) ? P( A) P( B) 三、(本题满分 5 分) 求直线 l : x ? 1 ? y ? z ? 1 在平面 ? : x ? y ? 2 z ? 1 ? 0 上的投 1 1 ?1 影直线 l0 的方程,并求 l0 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程 四、(本题满分 6 分) 确定常数4其中?为下半平面z ? ? a 2 ? x 2 ? y 2 的上侧 , a 为大于零的常数.七、(本题满分 6 分)2? ? ? ? ? sin n sin n sin ? ? 求 lim ? ? ?? ? . x ?? 1 1? n ? 1 ? n? n? ? 2 n? ??,2 ?使在右半平面2 4 2 ?x?0上的向量八、 （本题满分 5 分）A( x, y) ? 2 xy( x ? y ) i ? x ( x ? y ) j为某二元函数 u ( x, y ) 的?梯度,并求 u ( x, y ). 五、(本题满分 6 分) 从船上向海中沉放某种探测仪器 ,按探测要求,需确 定仪器的下沉深度 y( 从海平面算起)与下沉速度 v 之间的设正向数列 {an } 单调减少,且 ? (?1) n an 发散,试问级数n ?1??(an ?11 n ) 是否收敛?并说明理由. n ?1九、 （本题满分 6 分） 设y?f ( x) 是区间 [0,1] 上的任一非负连续函数.(1) 试证存在 x0 ? (0,1), 使得在区间 [0, x0 ] 上以 f ( x0 ) 为高 的矩形面积 ,等于在区间 [ x0 ,1] 上以 y ? 梯形面积. (2) 又设f ( x ) 在区间 (0,1) 内可导 , 且a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1,2 n x2 n ? 0f ( x) 为曲边的曲边(Ⅰ)a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? a2,2 n x2 n ? 0 ? an1 x1 ? an 2 x2 ? ? ? an ,2 n x2 n ? 02 f ( x) f ?( x) ? ? ,证 x的一个基础解析为(b11 , b12 ,? , b1,2 n )T , (b21 , b22 ,?, b2,2 n )T ,?, (bn1 , bn 2 ,?, bn ,2 n )T . 试写出线明(1)中的 x0 是唯一的. 十、 （本题满分 6 分） 已知二次曲面方程 x 2 ? ay 2 ? z 2 ? 2bxy ? 2 xz ? 2 yz ? 4 可以? x? ?? ? ? ? ? 2 2 经过正交变换 ? y ? ? P ? ?? ? 化为椭圆柱面方程? ? 4? ? 4, 求 ? ? ?z? ? ?? ? ?a, b 的值和正交矩阵 P.性方程组b11 y1 ? b12 y2 ? ? ? b1,2 n y2 n ? 0 b21 y1 ? b22 y2 ? ? ? b2,2 n y2 n ? 0 ? bn1 y1 ? bn 2 y2 ? ? ? bn ,2 n y2 n ? 0(Ⅱ)的通解,并说明理由. 十三、 （本题满分 6 分） 设两个随机变量 X , Y 相互独立,且都服从均值为0、方十一、 （本题满分 4 分） 设 A 是 n 阶矩阵,若存在正整数 k , 使线性方程组 A 有解向量 α, 且 Ak ?1kx?0差为 1 的正态分布,求随机变量 X ? Y 的方差.2α ? 0.十四、 （本题满分 4 分） 从正态总体 N (3.4, 62 ) 中抽取容量为 n 的样本,如果要求 其样本均值位于区间 (1.4, 5.4) 内的概率不小于0.95,问样 本容量 n 至少应取多大? 附:标准正态分布表证明:向量组 α, Aα,? , A k ?1α 是线性无关的. 十二、 （本题满分 5 分） 已知方程组? ( x) ? ?z? ( x)z??1 ? t2 e dt 2?21.281.6451.962.330.900 0.950 0.975 0.990十五、 （本题满分 4 分） 设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽 取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15 分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体 考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附: t 分布表P{t (n) ? t p (n)} ? p0.95 35 36 1.30.975 2.11999 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.(A)当 f ( x) 是奇函数时 , F ( x) 必是偶函数f ( x ) 是偶函数时 , F ( x) 必是奇函数(B) 当(C)当 f ( x) 是周期函数时 , F ( x) 必是周期函数 (D) 当f ( x ) 是单调增函数时 , F ( x) 必是单调增函数把答案填在题中横线上) (1) lim( 12 ? 1 ) =_____________. x ?0 x x tan x (2) d ? x sin( x ? t )2 dt =_____________. dx 0 (3) y?? ? 4 y ? e 的通解为 y =_____________.2x?1 ? cos x x?0 (2) 设 f ( x) ? ? , 其中 g ( x) 是有界函数 , 则 x ? ? x 2 g ( x) x ? 0 ?f ( x) 在 x ? 0 处(A)极限不存在 (4) 设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1, 则 A 的 n 个特征值是 (C)连续,但不可导 _____________. (3)设 (5) 设 两 两 相 互 独 立 的 三 事 件A, B(B)极限存在,但不连续 (D)可导和 C 满足条0 ? x ?1 ?x ? ? , S ( x) ? a0 ? ? an cos n? x, ?? ? x ? ??, f ( x) ? ? 1 2 n ?1 2 ? 2x ? x ? 1 ? ? 2件: ABC ? ?, P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 1 , 2 且已知 P( A ? B ? C ) ? 9 , 则 P( A) =_____________. 16 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 所选项前的字母填在题后的括号内)其中 an ? 2?0 f ( x) cos n? xdx (A) 121(n ? 0,1, 2,?) ,则 S ( ? ) 等于5 2(B) ? 12(C) 34(D) ? 34(4)设 A 是 m ? n 矩阵, B 是 n ? m 矩阵,则 (A)当 m ? n 时,必有行列式 | AB |? 0 (1)设 f ( x) 是连续函数 , F ( x) 是 f ( x) 的原函数,则 (B)当 m ? n 时,必有行列式 | AB |? 0(C)当 n ? m 时,必有行列式 | AB |? 0 (D)当 n ? m 时,必有行列式 | AB |? 0 (5) 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态 分布 N (0,1) 和 N (1,1) ,则 (A) P{ X ? Y ? 0} ? 1 (B) P{ X ? Y ? 1} ? 12 (C) P{ X ? Y ? 0} ? 1 2 (D) P{ X ? Y ? 1} ? 1 22设函数 y( x)( x ? 0) 二阶可导且 y?( x) ? 0, y(0) ? 1. 过曲线y ? y ( x) 上任意一点 P( x, y ) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1 , 区间[0, x] 上以 y ? y ( x)为曲线的曲边梯形面积记为 S2 , 并设2S1 ? S2 恒为1,求曲线 y ? y( x) 的方程.六、(本题满分 7 分) 论证:当 x ? 0 时, ( x 2 ? 1) ln x ? ( x ? 1) 2 . 七、(本题满分 6 分) 为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗 放入井底 , 抓起污泥后提出井口 ( 见 图).已知井深 30m,抓斗自重 400N,缆 绳 每 米 重 50N, 抓 斗 抓 起 的 污 泥 重 2000N,提升速度为 3m/s,在提升过程 中,污泥以 20N/s 的速率从抓斗缝隙 中漏掉 . 现将抓起污泥的抓斗提升至 井口,问克服重力需作多少焦耳的功? ( 说明 : ① 1N ? 1m=1Jm,N,s,J 分别三、(本题满分 6 分) 设 y ? y ( x), z ? z ( x) 是由方程 z ? xf ( x ? y ) 和 F ( x, y, z ) ? 0 所 确定的函数,其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连 续偏导数,求 dz .dx四、(本题满分 5 分) 求 I ? ?L (e x sin y ? b( x ? y))dx ? (e x cos y ? ax)dy, 其中 a, b 为正 的常数, L 为从点 A(2a, 0) 沿曲线 y ? 弧. 五、(本题满分 6 分)2ax ? x 2到点 O(0, 0) 的表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位 于井口上方的缆绳长度忽略不计.)B十一、(本题满分 6 分) 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定, B 为 m ? n 实矩阵, B 为T的转置矩阵,试证 B 的秩 r (B) ? n.TAB为正定矩阵的充分必要条件是八、(本题满分 7 分) 设SB为椭球面x2 y 2 ? ? z2 ? 1 2 2的上半部分,点十二、(本题满分 8 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,下表列出了二维随机变 量 ( X , Y ) 联合分布率及关于 X 和关于 Y 的边缘分布率中的 部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.P ( x, y , z ) ? S , ?为 S 在点 P 处的切平面, ? ( x, y, z ) 为点 O(0, 0, 0)z dS . ? ( x, y , z )到平面 ? 的距离,求 ??S九、(本题满分 7 分) 设 an ? ??Xtan xdx :n4 0y1y21 8y3P( X ? xi ) ? pi?(1)求 ? 1 (an ? an? 2 ) 的值.n ?1?Y?nn (2)试证:对任意的常数 ? ? 0, 级数 ? a? n n ?1收敛.x1x2P(Y ? yi ) ? p? j1 81 6十、(本题满分 8 分)? a ?1 c ? b 3? 设矩阵 A ? ? ? 5 ? , 其行列式 | A |? ?1, 又 A 的伴随 ? ?1 ? c 0 ?a ? ?1十三、(本题满分 6 分)? 6x (? ? x) 0& x ? ? 3 设 X 的概率密度为 f ( x) ? ? , X 1 , X 2 ,? , X n ?? ? 其它 ?0矩 阵 A 有 一 个 特 征 值 ?0 , 属 于 ?0 的 一 个 特 征 向 量 为*α ? (?1, ?1,1)T , 求 a, b, c 和 ?0 的值.是取自总体 X 的简单随机样本(1)求 ? 的矩估计量 ?? .(2)求 ?? 的方差 D(??).2000 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设f ( x)、g ( x)是恒大于零的可导函数,且f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ? 0 ,则当 a ? x ? b 时,有把答案填在题中横线上) (1) ?0 2 x ? x dx =_____________.2 1(A) f ( x) g (b) ? (B) f ( x) g (a) ?f (b) g ( x)f ( a ) g ( x)f (b) g (b)(2) 曲面 x ? 2 y ? 3z ? 21 在点 (1, ?2, ?2) 的法线方程为2 2 2(C) f ( x) g ( x) ? _____________. (D) f ( x) g ( x) ? (3)微分方程 xy?? ? 3 y? ? 0 的通解为_____________.1 ? ? x1 ? ?1 ? ?1 2 ? ? ? ? ? (4) 已 知 方 程 组 ? 2 3 a ? 2 ? ? ? x 2 ? ? ? 3? 无 解 , 则 a = ? ?1 a ?2 ? ?? ? x3 ? ? ? ?0? ?f (a) g (a)(2) 设 S : x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 ( z ? 0), S1 为 S 在第一卦限中的部 分,则有 (A) ?? xdS ? 4?? xdSS S1_____________. (5) 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为1 , A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等 , 9(B) ?? ydS ? 4?? xdSS S1(C) ?? zdS ? 4?? xdSS S1(D) ?? xyzdS ? 4?? xyzdSS S1则 P( A) =_____________.(3)设级数 ? un 收敛,则必收敛的级数为n ?1?(A) ? (?1) n un 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.n ?1?n(B) ? un2n ?1?(C) ? (u2 n?1 ? u2 n )n ?1?(D) ? (un ? un?1 )n ?1?(4) 设 n 维列向量组 α1 ,?, α m (m ? n) 线性无关,则 n 维列 向量组 β1 ,? , β m 线性无关的充分必要条件为 (A)向量组 α1 ,? , α m 可由向量组 β1 ,? , β m 线性表示 (B)向量组 β1 ,? , β m 可由向量组 α1 ,? , α m 线性表示 (C)向量组 α1 ,? , α m 与向量组 β1 ,? , β m 等价 (D)矩阵 A ? (α1 ,? , α m ) 与矩阵 B ? (β1 ,?, βm ) 等价 (5)设二维随机变量 ( X , Y ) 服从二维正态分布,则随机 变量 ? ? X ? Y 与? ? X ?Y四、(本题满分 5 分) 设z?x x f ( xy, ) ? g ( ) , 其中 f y y具有二阶连续偏导数 , g 具有二阶连续导数,求?2 z . ?x?y五、(本题满分 6 分) 计算曲线积分 I ? ? ?Lxdy ? ydx 4x2 ? y 2, 其中 L 是以点 (1, 0) 为中心 , R 为半径的圆周 ( R ? 1), 取逆时针方向. 不相关的充分必要条件为 六、(本题满分 7 分) (B) E ( X ) ? [ E ( X )] ? E (Y ) ? [ E (Y )]2 2 2 2(A) E ( X ) ? E (Y ) 设对于半空间 x ? 0 内任意的光滑有向封闭曲面 S , 都 (C) E ( X 2 ) ? E (Y 2 ) (D) E ( X 2 ) ? [ E ( X )]2 ? E (Y 2 ) ? [ E (Y )]22x 有? ?? xf ( x)dydz ? xyf ( x)dzdx ? e zdxdy ? 0, 其 中 函 数 Sf ( x)在(0, ??) 内具有连续的一阶导数,且 lim ?x ?0f ( x) ? 1, 求 f ( x) .三、(本题满分 6 分) 求 lim( 2 ? e4x ?? 1 x七、(本题满分 6 分)? sin x ). x1? e x求幂级数 ?1 xn 的收敛区间,并讨论该区间端 n n n n ?1 3 ? ( ?2)?点处的收敛性. 十一、(本题满分 8 分) 八、(本题满分 7 分) 设有一半径为 R 的球体 , P0 是此球的表面上的一个定 点 , 球体上任一点的密度与该点到 P0 距离的平方成正比 (比例常数 k ? 0 ),求球体的重心位置. 某适应性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工 的人数统计,然后将 1 熟练工支援其他生产部门,其缺额6由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及 实践至年终考核有 2 成为熟练工.设第 n 年 1 月份统计的5熟练工与非熟练工所占百分比分别为 xn 和 yn , 记成向量 九、(本题满分 6 分) 设 函 数?0f ( x)在[0, ? ]上连续,且? xn ? ? ?. ? yn ???0f ( x)dx ? 0,? f ( x) cos xdx ? 0. 试证 : 在 (0, ? ) 内至少存在两(1) 求 ? n?1 ? 与 ? n ? 的 关 系 式 并 写 成 矩 阵 形 ? yn ?1 ? ? yn ? 式: ?? xn ?1 ? ? xn ? ? ? A ? ?. ? yn ?1 ? ? yn ?? 4? ? ? ? ?1? ? ??x??x ?个不同的点 ?1 , ?2 , 使 f (?1 ) ? f (? 2 ) ? 0.十、(本题满分 6 分)?1 0 ?0 1 * ? 的 伴 随 矩 阵 A ? ?1 0 ? ? 0 ?3 0 0? 0 0? ?, 1 0? 且 ? 0 8?(2) 验证 η1 ? ? ? , η2 ? ? ? 是 A 的两个线性无关的特征 1 1 向量,并求出相应的特征值.?1? ?x ? ? x1 ? ? 2 ? (3)当 ? ? ? ? ? 时,求 ? n ?1 ? . ? yn ?1 ? ? y1 ? ? 1 ? ? ? ?2?设 矩 阵AABA ?1 ? BA ?1 ? 3E ,其中 E 为4 阶单位矩阵,求矩阵 B .十二、(本题满分 8 分) 某流水线上每个产品不合格的概率为 p(0 ? p ? 1) , 各 产品合格与否相对独立,当出现 1 个不合格产品时即停 机检修.设开机后第 1 次停机时已生产了的产品个数为X,求 X 的数学期望 E ( X ) 和方差 D( X ) .十三、(本题满分 6 分) 设某种元件的使用寿命?2 e ?2( x ?? ) x ? ? f (? ) ? ? x ?? ?0X的概率密度为,其中? ?0为未知参数.又设x1 , x2 ,? , xn 是 X 的一组样本观测值,求参数 ? 的最大似然估计值.2001 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把 所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数 f ( x) 在定义域内可导, y ? 图所示,则 y ?f ?( x) 的图形为f ( x) 的图形如右把答案填在题中横线上) (1) 设 y ? e x (a sin x ? b cos x)(a, b 为任意常数 ) 为某二阶 常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为 _____________. (2)r ? x2 ? y2 ? z2,则div(grad r )(1, ?2,2)=_____________. (3) 交 换 二 次 积 分 的 积 分 次 序 : ? ?1 dy? 2 f ( x, y )dx ＝ _____________. (4)设 A (5)201? y(A)(B)? A ? 4E ? O ,则 ( A ? 2E)?1= _____________.D( X ) ? 2,则根据车贝晓夫不等式有估计 (C) (2) 设f ( x, y )P{ X ? E ( X ) ? 2} ? _____________.(D) 在 点(0, 0)的 附 近 有 定 义 , 且f x? (0,0) ? 3, f y? (0,0) ? 1 则二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. (A) dz |(0,0) ? 3dx ? dy(B)曲面 z ? (C) 曲 线{1, 0, 3}f ( x, y ) 在 (0, 0, f (0, 0)) 处的法向量为 {3,1,1}e 求 ? arctan 2x exdx .z ? f ( x, y ) y?0 z ? f ( x, y ) y?0在 (0, 0, f (0, 0)) 处 的 切 向 量 为 在 (0, 0, f (0, 0)) 处 的 切 向 量 为四、(本题满分 6 分) 设 函 数z ? f ( x, y )(D) 曲 线{3, 0,1}在 点 ,(1,1)可 微 , 且 , 求f (1,1) ? 1, f x?(1,1) ? 2, f y? (1,1) ? 3d 3 ? ( x) dxx ?1? ( x) ? f ( x, f ( x, x))(3)设 f (0) ? 0 则 f ( x) 在 x =0 处可导 ? (A) limh ?0.f (1 ? cos h) 存在 h2(B) 五、(本题满分 8 分) 设 f ( x) ??limh ?0f (1 ? e h ) 存在 h sin h) (C) lim f (h ? 2 存在 h ?0 h (D) lim f (2h) ? f (h) 存在 h ?0 h?1 ? (4)设 A ? ?1 ?1 ? ?1 1 1 1? ?4 ? ? 1 1 1? 0 ,B ? ? ?0 1 1 1? ? ? 1 1 1? ?0 0 0 0 0 0 0 0 0 0? ? 0 ? ,则 A 与 B 0? ? 0?1 ? x2 arctan x x ? 0 ,将 f ( x ) 展开成 x 的幂级数, x 1 x?0(?1) n 并求 ? 的和. 2 n ?1 1 ? 4n(A)合同且相似 (C)不合同但相似(B)合同但不相似 (D)不合同且不相似六、(本题满分 7 分)2 2 2 2 2 2 计算 I ? ? ? L ( y ? z )dx ? (2 z ? x )dy ? (3x ? y )dz , 其 中 L(5)将一枚硬币重复掷 n 次,以 X 和 Y 分别表示正面向 上和反面向上的次数, 则 X 和 Y 相关系数为 (A) -1 (B)0 (C) 12是平面x ? y ? z ? 2 与柱面x ? y ? 1 的交线,从 Z 轴正向看去 , L 为逆时针方向.(D)1 七、(本题满分 7 分)三、(本题满分 6 分)设 f ( x) 在 (?1,1) 内具有二阶连续导数且 f ??( x) ? 0 .证明: (1) 对 于 ?x ? (?1,0) ? (0,1) , 存 在 惟 一 的 ? ( x) ? (0,1) , 使f ( x ) = f (0) + xf ?(? ( x) x) 成立.为 AX ? O 的一个基础解系?十、(本题满分 8 分) 已知三阶矩阵 A 和三维向量 x , 使得 x, Ax, A 2 x 线性无 关,且满足 A3(2) lim ? ( x) ? 0.5 .x ?0x ? 3Ax ? 2A 2 x .?1八、(本题满分 8 分) 设有一高度为 h(t )(t 为时间)的雪堆在融化过程,其侧 面满足方程 z ? h(t ) ?2( x 2 ? y 2 ) ( 设长度单位为厘米 , 时间 h(t )(1)记 P ? ( x, Ax, A 2 x ), 求 B 使 A ? PBP . (2)计算行列式 A ? E .十一、(本题满分 7 分) 单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比 (系 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 ? (? ? 0) 的泊 数为 0.9),问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少时 松分布 , 每位乘客在中途下车的概率为 p(0 ? p ? 1), 且中 间? 途下车与否相互独立. Y 为中途下车的人数,求: (1)在发车时有 n 个乘客的条件下,中途有 m 人下车的 九、(本题满分 6 分) 概率. 设 α1 , α 2 ,?, α s 为线性方程组 AX ? O 的一个基础解系,β1 ? t1α1 ? t2α 2 , β 2 ? t1α 2 ? t2α3 ,? , β s ? t1α s ? t2α1 ,(2)二维随机变量 ( X , Y ) 的概率分布.其中 t1 , t 2 为实常数,试问 t1 , t 2 满足什么条件时 β1 , β 2 ,? , β s 也十二、(本题满分 7 分)设 X ~ N ( ? , ? 2 ) 抽取简单随机样本 X 1 , X 2 ,?, X 2 n (n ? 2), 样本均值 X? 1 2n ? Xi 2n i ?1,Y? ? ( X i ? X n ?i ? 2 X ) 2i ?1n,求 E (Y ).2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 把答案填在题中横线上) (1) ? ??e所选项前的字母填在题后的括号内) (1)考虑二元函数 f ( x, y ) 的四条性质: ①f ( x, y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续 ,②f ( x, y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的一阶偏导数连续,dx x ln 2 xy= _____________.2③f ( x, y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微 ,④f ( x, y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的一阶偏导数存在. 则有: (A)② ? ③ ? ① (C)③ ? ④ ? ① 型 (B)③ ? ② ? ① (D)③ ? ① ? ④(2)已知 e ? 6 xy ? x ? 1 ? 0 ,则 y??(0) =_____________. (3) yy ?? ? y ? 2 ? 0 满足初始条件 y (0) ? 1, y?(0) ? 1 的特解是2_____________. (4) 已 知 实 二 次 (2)设 u n ? 0 ,且 lim (A)发散 (C)条件收敛?2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? a( x1 ? x2 ? x3 ) ? 4x1 x2 ? 4x1 x3 ? 4x2 x3 经正交变换1 为 n ?1 1 n ) ? 1 ,则级数 ? (?1) ( ? n ?? u u n u n ?1 n(B)绝对收敛 (D)收敛性不能判定.可化为标准型 f ? 6 y ,则 a =_____________.2 1(5) 设 随 机 变 量 X ~ N ( ? , ? 2 ) , 且 二 次 方 程 (3)设函数 f ( x) 在 R 上有界且可导,则y2 ? 4y ? X ? 0无 实 根 的 概 率 为0.5, 则? =_____________.(A)当 xlim f ( x) ? 0 时,必有 lim f ?( x) ? 0 ? ?? x ? ??f ?( x) 存在时,必有 lim f ?( x) ? 0 (B)当 xlim ? ?? x ? ??二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把(C) 当 xlim f ( x) ? 0 时,必有 lim f ?( x) ? 0 ?0 ? x ?0 ?f ?( x) 存在时,必有 lim f ?( x) ? 0 . (D) 当 xlim ?0 ? x ?0 ?(4) 设 有 三 张 不 同 平 面 , 其 方 程 为ai x ? bi y ? ci z ? d i ( i ? 1,2,3 ) 它们所组成的线性方程组的系a, b 的值四、(本题满分 7 分) 已知两曲线 y ?f ( x) 与 y ?数矩阵与增广矩阵的秩都为 2,则这三张平面可能的位 置关系为?arctan x 0e ? t dt2在点 (0, 0) 处的切n线相同.求此切线的方程,并求极限 lim nf ( 2 ) .n ??五、(本题满分 7 分) (5)设 X 和 Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密 度函数分别为 f X ( x) 和 f Y ( y ) ,分布函数分别为 FX ( x) 和 FY ( y ) , 则 (A) f X ( x) ＋ f Y ( y ) 必为密度函数f X ( x) f Y ( y ) 必为密度函数计 算 二 重 积 分 ?? emax{ xD2, y2 }dxdy, 其 中D ? {( x, y ) | 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 }.(B)六、(本题满分 8 分) 设函数f ( x ) 在 R 上具有一阶连续导数 , L 是上半平面(C) FX ( x) ＋ FY ( y ) 必为某一随机变量的分布函数 (D)FX ( x) FY ( y ) 必为某一随机变量的分布函数.( y &0) 内的有向分段光滑曲线 , 起点为 ( a, b ), 终点为 ( c, d ). 记I?? y [1 ? y12f ( xy )]dx ?x [ y 2 f ( xy ) ? 1]dy , y2三、(本题满分 6 分) 设函数f ( x ) 在 x ? 0 的某邻域具有一阶连续导数 , 且(1)证明曲线积分 I 与路径 L 无关. (2)当 ab ? cd 时,求 I 的值.f (0) f ?(0) ? 0 , 当 h ? 0 时 , 若 af (h) ? bf (2h) ? f (0) ? o(h) , 试求七、(本题满分 7 分) (1)验证函数 y ( x) ? ? 程 y?? ? y? ? y ? e .xx 3n ( ? ? ? x ? ?? )满足微分方 n ? 0 (3n)!?九、(本题满分 6 分) 已知四阶方阵 A ? (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) , α1 , α 2 , α3 , α 4 均为四维 列 向 量 , 其 中 α 2 , α 3 , α 4 线 性 无 关 , α1 ? 2α 2 ? α3 . 若β ? α1 ? α 2 ? α3 ? α 4 ,求线性方程组 Ax ? β 的通解.(2)求幂级数 y ( x) ? ?x 的和函数. n ? 0 (3n)!?3n八、(本题满分 7 分) 设有一小山,取它的底面所在的平面为 xoy 面,其底部 所占的区域为 D ? {( x, y) | x 2 ? y 2 ? xy ? 75} ,小山的高度函 数为 h( x, y ) ? 75 ? x 2 ? y 2 ? xy . (1) 设 M ( x0 , y 0 ) 为区域 D 上一点 , 问 h( x, y ) 在该点沿平 面上何方向的方向导数最大 ? 若此方向的方向导数为g ( x0 , y 0 ) ,写出 g ( x0 , y 0 ) 的表达式.十、(本题满分 8 分) 设 A, B 为同阶方阵, (1)若 A, B 相似,证明 A, B 的特征多项式相等. (2) 举一个二阶方阵的例子说明 (1) 的逆命题不成 立. (3)当 A, B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动 ,为此需要在山脚 下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点 .也就是说要在D的边界线上找出使 (1) 中 g ( x, y ) 达到最大值的点 . 试确定攀登起点的位置.十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量 X 的概率密度为f ( x) ?零件,得到长度的平均值为 40 (cm),则 ? 的置信度为 0.95 的置信区间是 (注:标准正态分布函数值 ?(1.96) ? 0.975, ?(1.645) ? 0.95.)3.1 x cos 2 2 00? x? x 其它对 X 独立地重复观察 4 次,用 Y 表示观察值大于 ? 的次数, 二、选择题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.每小题给出的四个选项中,只 有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设函数 f ( x) 在 (??,??) 内连续 , 其导函数的图形如图求 Y 的数学期望.2十二、(本题满分 7 分) 所示,则 f ( x) 有 设总体 X 的概率分布为X(A)一个极小值点和两个极大值点 0?212? (1 ? ? )2?231 ? 2?P(B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点其中 ? ( 0 ? ? ? 1 )是未知参数,利用总体 X 的如下样本值23,1,3,0,3,1,2,3.求 ? 的矩估计和最大似然估计值.2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上)1a n ? 0 , lim bn ? 1 , lim c n ? ? ,则必有 (2)设 {an },{bn },{cn } 均为非负数列,且 lim n?? n ?? n??(A) an ? bn 对任意 n 成立a n c n 不存在 (C)极限 lim n??(B) bn ? cn 对任意 n 成立bn c n 不存在 (D)极限 lim n ??(3)已知函数 f ( x, y ) 在点 (0, 0) 的某个邻域内连续,且 lim x ? 0 , y ?0 (A)点 (0, 0) 不是 f ( x, y ) 的极值点f ( x, y ) ? xy ? 1 ,则 (x 2 ? y 2 )2(1) lim(cos x)x ?0ln(1? x 2 )=. .(2)曲面 z ? x 2 ? y 2 与平面 2 x ? 4 y ? z ? 0 平行的切平面的方程是 (3)设 x 2 ? ? an cos nx(?? ? x ? ? ) ,则 a2 =n ?02(B)点 (0, 0) 是 f ( x, y ) 的极大值点 (C)点 (0, 0) 是 f ( x, y ) 的极小值点 (D)根据所给条件无法判断点 (0, 0) 是否为 f ( x, y ) 的极值点 . (4)设向量组 I: α1 , α2 ,?, αr 可由向量组 II: β1, β2 ,?, βs 线性表示,则?.?1? ?1? ? 1? ?1? (4)从 R 的基 α1 ? ? ? , α 2 ? ? ? 到基 β1 ? ? ? , β2 ? ? ? 的过渡矩阵为 ? 0? ? ?1? ? 1? ? 2?(5) 设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 概 率 密 度 为 f ( x, y) ?P{ X ? Y ? 1} ?6x 00 ? x ? y ?1 其它,则(A)当 r ? s 时,向量组 II 必线性相关 (C)当 r ? s 时,向量组 I 必线性相关(B)当 r ? s 时,向量组 II 必线性相关 (D)当 r ? s 时,向量组 I 必线性相关.(6)已知一批零件的长度 X (单位:cm)服从正态分布 N ( ? ,1) ,从中随机地抽取 16 个(5)设有齐次线性方程组 Ax ? 0 和 Bx ? 0 ,其中 A, B 均为 m ? n 矩阵,现有 4 个命题:60① 若 Ax ? 0 的解均是 Bx ? 0 的解,则秩 ( A) ? 秩 (B ) ② 若秩 ( A) ? 秩 (B ) ,则 Ax ? 0 的解均是 Bx ? 0 的解 ③ 若 Ax ? 0 与 Bx ? 0 同解,则秩 (A) ? 秩 (B ) ④ 若秩 (A) ? 秩 (B ) , 则 Ax ? 0 与 Bx ? 0 同解 以上命题中正确的是 (A)①② (C)②④ (6)设随机变量 X ~ t (n)( n ? 1), Y ? (A) Y ~ ? (n)2k .k ? 0 ). 汽锤第一次击打将桩打进地下 a m. 根据设计方案 , 要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r (0 ? r ? 1) .问 (1)汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将 桩打进地下多深?(注:m 表示长度单位米.) 七 、(本题满分 12 分)(B)①③ (D)③④1 ,则 X2设函数 y ? y( x) 在 (??,??) 内具有二阶导数,且 y ? ? 0, x ? x( y) 是 y ? y( x) 的反函数. (1) 试将 x ? x( y) 所满足的微分方程 分方程.d 2x dx ? ( y ? sin x)( ) 3 ? 0 变换为 y ? y ( x) 满足的微 2 dy dy(B) Y ~ ? (n ?1)2(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y (0) ? 0, y ?(0) ? 的解. 八 、(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) 连续且恒大于零,(C) Y ~ F (n,1)(D) Y ~ F (1, n)3 2三、(本题满分 10 分) 过坐标原点作曲线 y ? ln x 的切线,该切线与曲线 y ? ln x 及 x 轴围成平面图形 D . (1)求 D 的面积 A . (2)求 D 绕直线 x ? e 旋转一周所得旋转体的体积 V . 四、(本题满分 12 分) 将函数 f ( x) ? arctan1 ? 2x (?1) 展开成 x 的幂级数,并求级数 ? 的和. 1 ? 2x n ?0 2n ? 1? nF (t ) ???? f ( x?(t ) D (t )2? y 2 ? z 2 )dv2 2??f ( x ? y )d?, G (t ) ?D (t )?? f ( x ?t ?12? y 2 ) d?f ( x 2 ) dx,其中 ?(t ) ? {( x, y, z ) x 2 ? y 2 ? z 2 ? t 2 } , D(t ) ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? t 2 }. (1)讨论 F (t ) 在区间 (0,??) 内的单调性. (2)证明当 t ? 0 时, F (t ) ? 九 、(本题满分 10 分)?3 2 2? ?0 1 0 ? ? ? ? ?1 * 设矩阵 A ? ? 2 3 2 ? , P ? ? ?1 0 1 ? , B ? P A P , 求 B ? 2E 的特征值与特征向量 , 其中 ? ? ?2 2 3? ? ?0 0 1 ? ?A* 为 A 的伴随矩阵, E 为 3 阶单位矩阵.2?G (t ).五 、(本题满分 10 分) 已知平面区域 D ? {( x, y) 0 ? x ? ? ,0 ? y ? ? }, L 为 D 的正向边界.试证:sin y ? sin x ? sin y sin x (1) ? ? L x e dy ? y e dx ? ? ? L x e dy ? y e dx . sin y ? sin x 2 (2) ? ? L x e dy ? y e dx ? 2? .十 、(本题满分 8 分) 已 知 平 面 上 三 条 不 同 直 线 的 方 程 分 别 为 l1 :bx ? 2cy ? 3a ? 0 , l3 :ax ? 2by ? 3c ? 0六 、(本题满分 10 分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩 的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (比例系数为, l2 :cx ? 2ay ? 3b ? 0 . 试 证 这 三 条 直 线 交 于 一 点 的 充 分 必 要 条 件 为a ? b ? c ? 0.61十一 、(本题满分 10 分) 已知甲、 乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品,乙箱中 仅装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后,求: (1)乙箱中次品件数的数学期望. (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、(本题满分 8 分) 设总体 X 的概率密度为f ( x) ?2 e ?2( x ?? ) x ? ? x?0 0其 中 ? ? 0 是 未 知 参 数 . 从 总 体 X 中 抽 取 简 单 随 机 样 本 X 1 , X 2 ,?, X n , 记? ? min(X , X ,?, X ). ? 1 2 n(1)求总体 X 的分布函数 F ( x) .(2)求统计量 ?? 的分布函数 F?? ( x) .(3)如果用 ?? 作为 ? 的估计量,讨论它是否具有无偏性.622004 年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分.把答案填在题中横线上) (1)曲线 y ? ln x 上与直线 x ? y ? 1 垂直的切线方程为__________ . (2)已知 f ?(ex ) ? x e? x ,且 f (1) ? 0 ,则 f ( x) =__________ . (3)设 L 为正向圆周 x 2 ? y 2 ? 2 在第一象限中的部分,则曲线积分 ?L xdy ? 2 ydx 的值为 __________. (4)欧拉方程 x 2d y dy ? 4 x ? 2 y ? 0( x ? 0) 的通解为__________ . 2 dx dx2na n =0,则级数 ? a n 收敛 (A)若 lim n??n ?1?na n ? ? ,则级数 ? a n 发散 (B)若存在非零常数 ? ,使得 lim n ??n ?1?n 2 an ? 0 (C)若级数 ? a n 收敛,则 lim n ??n ?1?na n ? ? (D)若级数 ? a n 发散, 则存在非零常数 ? ,使得 lim n ??n ?1?(10)设 f ( x) 为连续函数, F (t ) ? ?1 dy?y f ( x)dx ,则 F ?(2) 等于 (A) 2 f (2) (C) ? f (2) (B) f (2) (D) 0tt?2 1 0? ? * * * (5)设矩阵 A ? ? ? 1 2 0 ? , 矩阵 B 满足 ABA ? 2BA ? E , 其中 A 为 A 的伴随矩阵 , E 是 ? ?0 0 1? ?(11)设 A 是 3 阶方阵,将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B ,再把 B 的第 2 列加到第 3 列 得 C ,则满足 AQ ? C 的可逆矩阵 Q 为?0 1 0 ? ? (A) ? ?1 0 0 ? ? ?1 0 1 ? ? ?0 1 0 ? ? (C) ? ?1 0 0 ? ? ?0 1 1 ? ? ?0 1 0 ? ? (B) ? ?1 0 1 ? ? ?0 0 1 ? ? ?0 1 1 ? ? (D) ? ?1 0 0 ? ? ?0 0 1 ? ?单