第三章 直线与方程 3.1
直线的倾斜角与斜率 教案_百度文库
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第三章 直线与方程 3.1
直线的倾斜角与斜率 教案
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就是可以通过直线任意旋转都可以得到倾斜角的具体数值，并且这个数值实在[0°，180°）。可行的话会再加10个财富值！
我有更好的答案
构造射线OP;4、以原点为圆心做圆，找出与x轴的交点,180°]内变换，且斜率随着角度变化而变化。则当p在半圆弧上运动时，角在[0、度量射线OP的斜率以下做法看可以吗？1；3、在半圆弧上取一动点P、标记OP与x轴的正向所成的角，并度量角度；5。<file fsid="649" link="/share/link；6、编辑动点P的动画按钮。7、隐藏不必要的元素。2、构造上半圆弧
直线倾斜角是没有180°的，你的还是能移动到x轴负半轴时是180°。而且没有体现出就是直线的旋转过了180°的时候还是在[0°,180°）上跑，而是射线。
（1）关于直线问题，只要把构造射线OP改为构造直线就可以了;（2）关于直线倾斜角是没有180°的，这一点要做出无限逼近180°而不等于180°恐怕很难，因为这是一个极限位置。
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关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（　　）①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角
关于直线的倾斜角和斜率，下列正确的个数是（　　）①任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；③平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；⑤直线斜率的范围是（-∞，+∞）．A．1B．2C．3D．...
我有更好的答案
它们的斜率也相等，满足正切函数的单调性；对于④，两直线的倾斜角相等；对于③对于①，任一条直线都有倾斜角，则①不正确，平行于x轴的直线的倾斜角是0或π，不满足倾斜角的定义，所以③不正确，斜率为负值，+∞）；对于⑤，满足定义，所以⑤正确．正确命题有两个．故选；对于②，所以④正确，直线的倾斜角越大，当倾斜角大于90°时，说它的斜率就越大，②不正确，直线斜率的范围是（-∞，但是不一定都有斜率
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。＝ 　　45°
＝ 　　135° ＝ 　　（注：学生对于写出倾斜角是45°、135°的直线方程不会困难，但对于倾斜角是30°可能有困难，此时可启发学生借用三角函数中的30°角终边与单位圆的交点坐标来解决．）【演示动画】　　观察直线变化，倾斜角变化，直线方程中 系数变化的关系　　(1)
直线变化→α变化→ 中的 系数 变化
（同时注意 α的变化）．　　(2) 中的x系数k变化→直线变化→α变化
（同时注意 α的变化）．　　教师引导学生观察，归纳，猜想出倾斜角与 的系数的关系：倾斜角不同，方程中 的系数不同，而且这个系数正是倾斜角的正切！【板书】　　定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．记作 ，即 ．　　这样我们定义了一个从"形"的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量--倾斜角，现在我们又定义一个从"数"的方面刻画直线相对于 轴（正方向）倾斜程度的量--斜率．　　指出下列直线的倾斜角和斜率：　　(1) ＝-
(2) ＝ tg60°
(3) ＝ tg(-30°)　　学生思考后回答，师生一起订正：（1）120°； （2）60°；(3)150°(为什么不是-30°呢？)画图，指出倾斜角和斜率．　　结合图3（也可以演示动画），观察倾斜角变化时，斜率的变化情况．　　注意：当倾斜角为90°时，斜率不存在．　　α＝0°
＝0　　0°＜α＜90°
＞0　　α＝90°
不存在　　90°＜α＜180°
＜0（四）直线过两点斜率公式的推导【问题4】　　如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义 ＝tgα求出直线的斜率；　　如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？　　即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)（其中x1≠x2），求直线P1P2的斜率．思路分析：　　首先由学生提出思路，教师启发、引导：　　运用正切定义，解决问题．　　(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标．）　　(2)角α是"标准位置"吗？（不是．）　　(3)如何把角α放在"标准位置"？（平移向量 ，使P1与原点重合，得到新向量 ．）　　(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）　　(5)直线的斜率是多少？ ＝tgα= （x1≠x2）　　(6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）．　　评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角．【练习】　　(1)直线的倾斜角为α，则直线的斜率为 α？　　(2)任意直线有倾斜角，则任意直线都有斜率？　　(3)直线 (-330°)的倾斜角和斜率分别是多少？　　(4)求经过两点 (0，0)、 (-1， )直线的倾斜角和斜率．　　(5)课本第37页练习第2、4题．　　教师巡视，观察学生情况，个别辅导，订正答案（答案略）．【总结】　　教师引导：首先回顾前边提出的问题是否都已解决．再看下边的问题：　　(1)直线倾斜角的概念要注意什么？　　(2)直线的倾斜角与斜率是一一对应吗？　　(3)已知两点坐标，如何求直线的斜率？斜率公式中脚标1和2有顺序吗？学生边讨论边总结：　　(1)向上的方向，正方向，最小，正角．(2)不是，当α=90°时， α不存在．　　(3) ＝ （ ），没有．【作业】　　1．课本第37页习题7．1第3、4、5题．　　2．思考题　　（1）方程 是单位圆的方程吗？　　（2）你能说出过原点，倾斜角是45°的直线方程吗？　　（3）你能说出过原点，斜率是2的直线方程吗？　　（4）你能说出过（1，1）点，斜率是2的直线方程吗？板书设计7．1直线的倾斜角和斜率一、直线方程二、直线的倾斜角
三、直线的斜率四、斜率公式
练习小结作业
扩展资料魔术师的地毯　　一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形．敬师傅对秋先生说："你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8米长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没法做．"秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说："你先照这张图（图1.2）的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图（图1.3）的样子把这四块拼在一起缝好就行了．魔术大师是从来不会错的，你放心做吧！"敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米长2.1米．魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？你能帮敬师傅解开这个谜吗？　　　　　　
　　过了几个月，魔术师秋先生又拿来一块地毯，长和宽都是1.2米，只是上面烧了一个烧饼大小（约0.01平方米）的窟窿．秋先生要求敬师傅将地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但长和宽仍旧是1.2米．敬师傅很为难，觉得这位魔术大师的要求不合理，根本无法做到．秋先生又拿出了自己的设计图纸，要敬师傅按图1.4的尺寸将地毯剪开，再按图1.5的样子拼在一起缝好．敬师傅照着做了，结果真的得到了一块长和宽仍是1.2米的地毯，而原来的窟窿却消失了．魔术师拿着补好的地毯得意洋洋地走了，而敬师傅还在想，补那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里来的呢？你能帮敬师傅解开这个谜吗？　　你准备如何着手去揭开魔术大秘密呢？通常的办法是根据他给的尺寸按某个比例（例如10：1）缩小，自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，实际量一量，看看秘密藏在什么地方．这种做模型（或做实验）的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法．这种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密．例如，按缩小后的尺寸，剪拼前后面积差应为1平方厘米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大于1平方厘米了，那么你怎能发现那1平方厘米的面积差出在什么地方呢？数学工作者在研究和解决问题时，通常采用另一种方法-数学计算，即通过精细的数学计算来发现剪拼前后的面积差出在何处．现在我们先来分析第一个魔术。比较图1.2和图1.3将图1.2中的四块图形分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（图1.6），而将图1.3中相应的四块分别记为 ， ， ， （图1.7）．现在的问题是，图1.6中的四块能否拼得像图1.7那样"严丝合缝"、"不重不漏"？也就是说，图1.7中所标的各个尺寸是否全都准确无误？例如图1.7中的 为直角三角形 ，如果 时，点 是否恰好落在矩形 的对角线 上？同样，如果 时，点 是否恰好落在 上？让我们通过计算来回答这个问题．　　如图1.8建立直角坐标系，以 所在直线为 轴， 所在 直线为 轴，单位长度表示0.1米，于是有 （0，0）， （0，21）， （8，21）， （8，0）， （0，13）， （5，13）， （3，8）， （8，8）．如何判断 和 是否恰好落在直线 上呢？一种办法是 ， 的坐标代入直线 的方程，看是否满足方程；另一种办法是分别计算 ， ， 的斜率，比较它们是否相等．下面用后一种方法进行讨论．　　设线段 的斜率为 ，则有 ， ， ．比较之，由 得 ，即 的斜角大于 的斜角， 的斜角又大于 的斜角，可见 和 都不在对角线 上，它们分别落在 的两侧（图1.8）：又由 ， 得 ， ，即 ， ．可知将图1.6中的四块图形按照图1.7拼接时，在矩形对角线附近重叠了一个小平行四边形 （图1.8）．正是这一微小的重叠导致面积减少，减少的正是这个重叠的 的面积．记 （3，8）到对角线 （ ）的距离为 ，　　 米，　　 米，　　 ．　　把面积仅为0.01平方米的地毯拉成对角线长为 米（约2.247米）的极细长的平行四边形，在一个大矩形的对角线附近重叠了这么一点点，当然很难觉察出来，魔术大是由正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这一"火眼金睛"．　　如果我们把上述分割正方形和构成矩形所涉及的四个数，从小到大排列起来，即5，8，13，21，　　这列数有什么规律呢？相邻两数之和，正好是紧跟着的第三个数．按照这个规律，5前面应该是（8－5＝）3，3前面应是（5－3＝）2，2前面应是（3－2＝）1，1前面应是（2－1＝）1，21后面应为（13＋21＝）34，34后面应为（21＋34＝）55，等等，于是得到数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，...　　这个数列的特点是，它的任意相邻三项中前两项之和即为第三项．我们称这个数列为斐波那契数列．魔术师的上述第一个地毯魔术中的四个数5，8，13，21只是斐波那契数列中的一段，从该数列中任意取出其他相邻的四个数，还能玩上述魔术吗？为了使计算简单一些，我们取出数字更小的一段3，5，8，13来试一试．把边长为8的正方形按图1.9分成四块，再拼成边长为5和13的矩形（图1.10）．
　　这时图形的面积由图1.9的64变成了图1.10的65，凭空增加了1个单位面积．通过完全类似的计算，我们发现图1.10的尺寸是不合理的，实际上在矩形对角线附近，同样会出现一个小平行四边形．不过这次不是一个重叠的平行四边形，而一具平行四边形空隙（图1.11）．这就是拼成的矩形比原来的下方形面积"增大"的秘密所在．　　我们可以使用斐波那契数列的任何相邻四项，来玩上述分割重拼的魔术，我们发现，正方形比重拼成的矩形，时而少一个单位面积，时而又多一个单位面积．这是因为重拼时，在矩形对角线附近，有时会重叠一个细长的平行四边形（因此失去一个单位面积），有时又会出现一个细长的平行四边形空隙（因此多出一个单位面积）．面积何时变不，何时变大，有没有规律呢？　　我们把斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，...　　记为
， ， ， ， ，...　　这里 ， ， ， ， ，...，且具有递推关系 　　考察以 为边长的正方形面积与以 及 为两边长的矩形面积之间的关系．随着 从小到大依次取2，3，4，5，...，我们得到　　当 时有 ，即 ；　　当 时有 ，即 ；　　当 时有 ，即 ；　　当 时有 ，即 ；　　从中我们发现，随着 的奇偶变化，在上述关系式中，加1和减1交替出现．对于数列的第 项 ，当 是大于1的奇数时有 ，此时正方形的面积比矩形小1．写成统一的表示式就是．　　将斐波那契数列前后相邻两项的比，作成一个新的数列， ， ， ， ， ， ，...　　该数列的极限是一个定数（无理数），这个数有很重要的应用，而且还有一个非常好听的名字，叫"黄金分割比"．　　相传早在欧几里得之前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约公元前400～前347）提出并解决了下列按比例分线段的问题："将线段分为不相等的两段，使长段为全线段和短段的比例中项．"欧几里得把它收入《几何原本》之中，并称它分线段为中外比．据说"黄金分割"这个华贵的名字是中世纪著名画家达·芬奇取的，从此就广为留传，直至今日．　　对于长度为 的线段 ，使 的分点 称为"黄金分割点"（图1.12）．设 ，则 ． 即黄金分割比．从古希腊起直到今天，人们都认为这种比例在造型艺术上具有很高的美学价值．在所有矩形中，两边之比符合黄金分割比的矩形是最优美的．难怪日常生活中许多矩形用品和建筑中的矩形结构，往往是按黄金分割比设计的．甚至连人体自身的形体美，即最优美的身段，也遵循着黄金分割比．据说"维纳斯"雕像以及世界著名艺术珍品中的女神像，她们身体的腰以下部分的长度与整个身高的比，都近于0.618，于是人们就把这个比作为形体美的标准．芭蕾舞女演员腰以下部分的身长与身高之比，一般约在0.58左右，因此在她们翩翩起舞时，总是脚尖点地，使腰以下部分的长度增长8～10厘米，以图展示符合0.618身段比例的优美体形（图1.13），给观众以美的艺术享受．　　黄金分割比不仅在艺术上，而且在工程技术上也有重要意义．工厂里广泛使用的"优选法"，就是黄金分割比的一种应用，因此有人干脆把优选法称为"0.618法"．　　在实际应用时，黄金分割比可用斐波那契数列中相邻前后两项的比作为近似值来代替． 越大，比值 越近似黄金分割比．　　我们接着分析魔术师秋先生的第二个魔术，其秘密在哪里呢？补洞用的那一小块面积是从哪里来的呢？根据识破第一个魔术的经验，我们来考查拼成新的无洞正方形的各个尺寸（图1.14）是否全都准确无误？这就要追查到分割有洞正方形的各个尺寸（图1.15）是否全都准确无误码？在图1.15中分割正方形四边的尺寸是取定的，用不着怀疑．值得怀疑的是中间的那条分割线 ，它的尺寸可靠吗？其中 是正确的，" "及" "对吗？　　而它们正是新拼正方形两边上线段 及 的尺寸．如图1.15所示，分别以直线 和 为 轴和 轴建立坐标系，于是有 （0，7）， （12，12）， （7，0）， （7，3），要得到 及 的长度，只须求出点 的坐标即可． 是直线 与直线 的交点．直线 的方程是 ，即 ；直线 的方程是 ．两方程联立解得交点 的坐标为（7， ）．于是得到 ，因而 ．这就是说，在新拼正方形（图1.14）中，左边上的线段 的长不是7而是 ，右边上的线段 的长不是10而是 ．这样，新拼图形的左边 长为 ，右边 长为 ，上下两边 ，因此新拼图形不是边长为12的正方形，而是一个 的长方形，比原来的有洞正方形稍微短了一点点（短1个单位长的 ）．两者的面积相差 （单位面积），而这正好等于那个洞的面积．这个补洞的魔术之所以能够成功，靠的就是两者之差是一个很狭窄的细长条，不易被人觉察，但在精确的数学计算面前，秘密马上就被揭穿了．　　我们也可以用平面几何方法算出图1.15中的线段 实际长多少．过 作 的平行线交 于 （图1.15），则 ～ ，于是有 ，即 ，得 ，于是 ．习题精选1．(选择题)如图，若图中直线 、 、 的倾斜角分别是k1、k2、k3，则（　　）　　(A)
(B) 　　　　(C)
(D) 2．（选择题）直线l沿y轴正方向平移m个单位(m>0，m 1)，再沿x轴负方向平移m－1个单位得直线lˊ，若l与lˊ重合，则直线l的斜率为（　　）　　(A)
(D) 3．(填空题)已知A(x，-2)，B(3，0)， 且 ，则x=___．4．(填空题)若- < <0，则直线 的倾斜角为____．5．(填空题)已知三点A(-2，3)，B(3，-4m)，C( ，m)在同一条直线上，则实数m＝____．6．如图，△ABC为正三角形，∠CDE=45°则三条直线AB，BC，AC的斜率： ____， ____， ____．7．四条直线l1、l2、l3、l4，它们的倾斜角之比依次为1∶2∶3∶4，若l2的斜率为 ，求其余三条直线的斜率．答案：1．C；2．C；3．－1；4． ＋ ；5． ；6．2－ ；－1；2＋ ；???7． ； ； ．典型例题例1 判断下列命题是否正确：　　①一条直线l一定是某个一次函数的图像；　　②一次函数 的图像一定是一条不过原点的直线；　　③如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；　　④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线．解：①不正确．直线 ，不是一次函数；　　②不正确．当 时，直线过原点． 　　③不正确．第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程 的解，但此方程不是第一、三象限角平分线的方程　　④不正确．以方程 ( )的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但 此直线不是方程 ( )的图像．　　说明：直线方程概念中的两个条件缺一不可，它们和在一起构成充要条件．例2 设直线的斜率为k，且 ，指出直线倾斜角 的范围．　　解： ，由已知得 ．
　　 ， ．
　　∴ 直线的倾斜角的范围是 ．例3 已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点．　　（1）求直线l的斜率的取值范围．（2）求直线l的倾斜角的取值范围．　　分析：如图1，为使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角应介于直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角之间，所以，当l的倾斜角小于90°时，有 ；当l的倾斜角大于90°时，则有 ．　　解：如图1，有分析知　　
＝－1，　　
＝3．　　∴ （1） 或 ．
（2）arctg3 ．　　说明：学生常错误地写成－1 k 3，原因是与倾斜角分不清或误以为正切函数在 上单调递增．例4 已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线 倾斜角的一半，求直线l的斜率．　　解1：设直线l的倾斜角为 ，则直线 的倾斜角为2 　　 tg2 ＝ ＝
3tg2 +8tg －3＝0解得
tg ＝ 或 tg ＝－3　　
tg2 ＝ ＞0　　∴
0°<2 <90°，
0°< <45°　　∴
tg ＞0，故直线的斜率是 ．解2：(思路要点)根据tg2 ＝ ＝ ，且2 为锐角，　　易得sin2 ＝ 和cos2 ＝ ，　　进一步有：tg ＝ = ．　　说明：这里应考虑角的取值范围及函数值的取舍，解２计算更容易．例5 求经过两点A(2，1)，B(m，2)(m R)的直线 的斜率，并求出其倾斜角及其取值范围．　　分析：斜率公式成立的条件是 ，所以应先就m的值是否等于2进行讨论．　　解： 当m=2时， 　　∴直线 垂直于 轴，故其斜率不存在，此时，倾斜角 = ．　　当m 2时，k＝ 　　当m＞2时， ＞0
此时 ＝arctg （０， ）　　当m＜2时， ＜0
此时 ＝ +arctg （ ， ）　　说明：通过讨论确定直线的斜率存在与不存在是解决直线斜率问题常用的方法．例6 已知a、b、m都是正数，且 ，试用解析法证明： > 证明：如图2，在坐标平面上取点A(m，m)，B(a，b)，则AB的中点为C( ， )
显然OA、OB、OC的斜率满足
所以 > 　　说明：本题与前边不等式的证明联系紧密，此处提供了一种新颖的证明，有助于学生对解析法的理解．同时本题为构造性证明，不易想到．事实上，把分式看成斜率是常用的方法．7.2 直线的方程教学目标　　（1）掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式和直线方程的一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程．　　（2）理解直线方程几种形式之间的内在联系，能在整体上把握直线的方程．　　（3）掌握直线方程各种形式之间的互化．　　（4）通过直线方程一般式的教学培养学生全面、系统、周密地分析、讨论问题的能力．　　（5）通过直线方程特殊式与一般式转化的教学，培养学生灵活的思维品质和辩证唯物主义观点．　　（6）进一步理解直线方程的概念，理解直线斜率的意义和解析几何的思想方法．教学建议1．教材分析（1）知识结构　　由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式．（2）重点、难点分析　　①本节的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程．　　解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线．本节内容就是求直线的方程，因此是非常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用．　　直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头．学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习．　　②本节的难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明．2．教法建议　　（1）教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显．教学中各部分知识之间过渡要自然流畅，不生硬．　　（2）直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习"曲线方程"打下基础．　　直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证．教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点　　（3）在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解．　　（4）教学中要使学生明白两个独立条件确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件．两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要．教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮．　　求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程．根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程．　　（5）注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线）与坐标轴交点的相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数）．　　（6）本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力．　　（7）直线方程的理论在其他学科和生产生活实际中有大量的应用．教学中注意联系实际和其它学科，教师要注意引导，增强学生用数学的意识和能力．　　（8）本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能更好地掌握，而不是仅停留在观念上．教学设计示例直线方程的一般形式教学目标：　　（1）掌握直线方程的一般形式，掌握直线方程几种形式之间的互化．　　（2）理解直线与二元一次方程的关系及其证明　　（3）培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、逆向思维的习惯和形成特殊与一般辩证统一的观点．教学重点、难点：直线方程的一般式．直线与二元一次方程 （ 、 不同时为0）的对应关系及其证明． 教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：　　下面给出教学实施过程设计的简要思路：教学设计思路：（一）引入的设计　　前边学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：　　问：说出过点 （2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？　　答：直线方程是 ，属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．肯定学生回答，并纠正学生中不规范的表述．再看一个问题：　　问：求出过点 ， 的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？　　答：直线方程是 （或其它形式），也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．　　肯定学生回答后强调"也是二元一次方程，都是因为未知数有两个，它们的最高次数为一次"．　　启发：你在想什么（或你想到了什么）？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．　　学生纷纷谈出自己的想法，教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到如下问题：　　【问题1】"任意直线的方程都是二元一次方程吗？"（二）本节主体内容教学的设计　　这是本节课要解决的第一个问题，如何解决？自己先研究研究，也可以小组研究，确定解决问题的思路．　　学生或独立研究，或合作研究，教师巡视指导．　　经过一定时间的研究，教师组织开展集体讨论．首先让学生陈述解决思路或解决方案：思路一：...思路二：.........教师组织评价，确定最优方案（其它待课下研究）如下：按斜率是否存在，任意直线 的位置有两种可能，即斜率 存在或不存在．当 存在时，直线 的截距 也一定存在，直线 的方程可表示为 ，它是二元一次方程．当 不存在时，直线 的方程可表示为 形式的方程，它是二元一次方程吗？学生有的认为是有的认为不是，此时教师引导学生，逐步认识到把它看成二元一次方程的合理性：　　平面直角坐标系中直线 上点的坐标形式，与其它直线上点的坐标形式没有任何区别，根据直线方程的概念，方程 解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如 的二元一次方程是合理的．　　综合两种情况，我们得出如下结论：　　在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的关于 、 的二元一次方程．至此，我们的问题1就解决了．简单点说就是：直线方程都是二元一次方程．而且这个方程一定可以表示成 或 的形式，准确地说应该是"要么形如 这样，要么形如 这样的方程"．同学们注意：这样表达起来是不是很啰嗦，能不能有一个更好的表达？学生们不难得出：二者可以概括为统一的形式．　　这样上边的结论可以表述如下：　　在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一条表示这条直线的形如 （其中 、 不同时为0）的二元一次方程．启发：任何一条直线都有这种形式的方程．你是否觉得还有什么与之相关的问题呢？　　【问题2】任何形如 （其中 、 不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？　　不难看出上边的结论只是直线与方程相互关系的一个方面，这个问题是它的另一方面．这是显然的吗？不是，因此也需要像刚才一样认真地研究，得到明确的结论．那么如何研究呢？　　师生共同讨论，评价不同思路，达成共识：　　回顾上边解决问题的思路，发现原路返回就是非常好的思路，即方程 （其中 、 不同时为0）系数 是否为0恰好对应斜率 是否存在，即　　（1）当 时，方程可化为
　　这是表示斜率为 、在 轴上的截距为 的直线．　　（2）当 时，由于 、 不同时为0，必有 ，方程可化为　　这表示一条与 轴垂直的直线．　　因此，得到结论：　　在平面直角坐标系中，任何形如 （其中 、 不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线．　　为方便，我们把 （其中 、 不同时为0）称作直线方程的一般式是合理的．【动画演示】　　演示"直线各参数．gsp"文件，体会任何二元一次方程都表示一条直线．　　至此，我们的第二个问题也圆满解决，而且我们还发现上述两个问题其实是一个大问题的两个方面，这个大问题揭示了直线与二元一次方程的对应关系，同时，直线方程的一般形式是对直线特殊形式的抽象和概括，而且抽象的层次越高越简洁，我们还体会到了特殊与一般的转化关系．（三）练习巩固、总结提高、板书和作业等环节的设计在此从略扩展资料一
式　　直线的方程　　是一次方程．它的左边 是 、 的一次式．为方便起见，常数 也看作是一次式．　　显然，如果 的一次式 在 与 时取相同的值，那么 必定是常数 （即 必定为零）．这一个简单的事实有许多应用．　　例1
求证等腰三角形底边上一点到两边距离之和为定值．　　解
设底边 为 轴，腰 、 的法线式为　　及　　并且 的内部在这两条直线的正侧．点 在线段 上，它的坐标为（ ，0）．因此， 到两腰的距离之和为
（10.1）　　是 的一次式．　　由于当 与 或 重合时，（10.1）的值均为腰上的高 ，所以（10.1）式是常数 ．　　注意点到直线的距离是有正负的．当 沿 轴移动到线段 外时， 、 中有一个由正变负，所以上面的论证表明：　　等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离的差为定值，即一腰上的高．　　例2
中有两个内接矩形 ， ，都有一条边在 上，另两个顶点分别在 、 上（图4）．如果两个矩形的周长都是20，　　1）求证任意一个一边在 上，另两个顶点分别在 、 上的矩形 的周长是20．　　2）求 的面积．　　解
以 为 轴， 点坐标为（ ，0），由于 与 到 的距离只差一个常数因子 ，所以 是 的一次式．这个一次式的 与 或 重合时，它的值都是10，因此这一次式是常数10．即矩形 的周长是20．　　当 与 重合时，矩形退化为 上的高的两倍，所以这高为10．当 与 重合时，矩形退化为 的两倍，所以 为10．从而 的面积为50．
在 的底边 上，有一条长为定值 的线段 在滑动．自 、 作 的平行线分别交 于 、 ，作 的平行线分别交 于 、 ．证明梯形 与梯形 的面积之和为定值（图5）．　　证
设 为 的中点．作 ，交于 于 ．作 于 ．则 、 分别为梯形 、 的中线，而这两个梯形的高分别为 、 ．所以它们的面积之和
　　　　　　　　　　　
　　与前两个例题的推理相同，我们有．　　这里 是 的 边上高．于是　　例4
（第二届全国中学生数学冬令营试题）．将边长为1的正三角形 的各边都 等分，过各分点作平行于其它两边的直线，将这个三角形等分成小三角形．各小三角形的顶点称为结点．在每个结点放置了一个实数．已知　　（1） 、 、 三点上放置的数分别是 、 、 ．　　（2）在每个由有公共边的两个小三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数的和相等．试求：　　（1）放置最大数的点与放置最小数的点之间的最短距离 ．　　（2）所有结点上的数的总和 ．　　解
条件（2）可叙述成：在所述菱形中，两相邻顶点上放置的数的差与另两个相邻顶点上放置的数的差相等．　　由此可知，下图中同一条线上的三个连续的结点上放置的数成等差数列（因为有两个结点既与这三个连续结点的前两个构成菱形，也与后两个构成菱形）．　　由于等差数列的每一项都是首项与另一项的一次式，所以各结点上放置的数都有是 、 、 的一次式．　　如果 ，那么所放置的数均相等， ．如果 、 、 不等，设 最大， 最小．由于等差数列中，最大（最小）的项是首项或最末一项，所以在所放置的数中也是 最大， 最小． ．　　现在考虑总和 ．它也是 、 、 的一次式．而且，当 、 、 中任意两个字母互换时，相当于改变三角形的位置，所以总和 保持不变，即 是 、 、 的对称式（对称函数）．因此 、 、 的系数相等，即　　其中 、 为待定系数．　　令 ，这时所有结点上的数为0， ．从而 ．　　令 ，这时所有结点上的数为1， 等于结点的个数　　从而　　因此习题精选1．（选择题）直线 的方程为 ，则　　（A） 一定是倾斜角
（B） 一定不是倾斜角
　　（C） 一定是倾斜角
（D） 不一定是倾斜角2．如果直线 与直线 关于直线对称，则　　（A） ，
　　（C） ，
（D） ， 3．直线 的倾斜角是直线 的倾斜角的2倍，且它在 轴上的截距是1，则 __， __．4． 若 ， ，则经过 和 的直线 的方程为_________．5． 直线 过点 （8，6），且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线 的方程．6．已知 代表过点（0，－2）的一条直线， 代表过点（0，0）的一条直线，又 ．求这两条直线的一般方程．7．求过点P（1，2）且在两坐标轴上截距和为0的直线的方程．8．直线 的斜率为 ，且与两坐标轴围成的三角形面积是8，求直线 的方程．9．设 ，求 的最小值；若 ，求 的最大值．答案：1．D；2．A；3． ，b＝1；4． ；5． 或 ；6． ， ；7． 或 ；8． 或 ；9． ，1．典型例题　　例1：直线 过点 （－1，3），倾斜角的正弦是 ，求直线 的方程．　　分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解． 　　解：因为倾斜角 的范围是： 　　又由题意： ，　　所以： ，　　直线过点 （－1，3），由直线的点斜式方程得到： 　　即： 或 ．　　说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角 的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个．　　例2：求经过两点 （2， ）和 （ ，3）的直线方程．　　分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到 与2的分类；如果选用两点式，还要涉及 与3的分类．　　解：法一：利用直线的两点式方程　　∵直线过两点 （2， ）和 （ ，3）　　（1）当 时，点 的坐标是 （2，3），与点 （ ，3）的纵坐标相等，则直线 的方程是 ；　　（2）当 时，点 的坐标是 （2，3）,与点 （2， ）的横坐标相等，则直线 的方程是 ；　　（3）当 ， 时，由直线的两点式方程 得：　　法二：利用直线的点斜式方程　　（1）当 时，点 的横坐标相同，直线 垂直与 轴，则直线 的 ；　　（2）当 时，过点 的直线的斜率是 ，　　又∵过点 （2， ）　　∴由直线的点斜式方程 得过点 的直线的方程是：　　说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法．　　例3：把直线方程 化成斜截式_________，化成截距式__________．　　分析：因为 ，即 ， ， ，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．　　解：斜截式为 ，截距式为 + ＝1　　说明：此题考查的是直线方程的两种特殊形式：斜截式和截距式．　　例4：过点 （3，0）作直线 ，使它被两相交直线 和 所截得的线段 恰好被 点平分，求直线 的方程．　　解：设 点坐标（ ， ）　　 线段 的中点为 （3，0）　　∴ 由中点公式，可设 点坐标为 　　
， 两点分别在直线 和 上
　　由两点式可得直线 的方程为：
　　例5：一根铁棒在20°时，长10.4025米，在40°时，长10.4050米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这跟铁棒在25°时的长度．　　解：这条直线经过两点（20，10.4025）和（20，10.4050），根据直线的　　两点式方程，得：
＝0.0025 ＋10.4000　　当 ＝25°时
＝0.0025 ＋10.1＋10.1　　即当 ＝25°时，铁棒长为10.4031米．　　说明：直线方程在实际中应用非常广泛．　　例6：已知 ，其中 、 是实常数，求证：直线 必过一定点．　　分析：观察条件与直线方程的相似之处，可把条件变形为 ，可知 ， 即为方程 的一组解，所以直线 过定点（6，4）．此问题属于直线系过定点问题，此类问题的彻底解决宜待学完两直线位置之后较好，当然现在也可以研究，并且也有一般方法．　　例7：直线 过点 （2，1），且分别交 轴、 轴的正半轴于点 、 ．点 是坐标原点，（1）求当 面积最小时直线 的方程；（2）当 最小时，求直线 的方程．　　解：（1）如图，设 ， ， 的面积为 ，则
　　并且直线 的截距式方程是 　　 ＋ ＝1　　由直线通过点（2，1），得
　　 ＋ ＝1　　所以: ＝ ＝ 　　因为 点和 点在 轴、 轴的正半轴上，所以上式右端的分母 ．由此得:
　　　　 　　　　　 　　当且仅当 ，即 时，面积 取最小值4，　　这时 ，直线的方程是: ＋ ＝1　　即: 　　（2）设 ，则 ＝ ， ＝ ，如图2，　　所以
＝ ＝ 　　当 ＝45°时 有最小值4，此时 ，直线 的方程为 ．　　说明：此题与不等式、三角联系紧密，解法很多，有利于培养学生发散思维，综合能力和灵活处理问题能力．动画素材中有关于此题的几何画板演示．7.3两条直线的位置关系教学目标　　（1）熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．　　（2）理解一条直线到另一条直线的角的概念，掌握两条直线的夹角．　　（3）能够根据两条直线的方程求出它们的交点坐标．　　（4）掌握点到直线距离公式的推导和应用．　　（5）进一步掌握求直线方程的方法．　　（6）进一步理解直线方程的概念，理解运用直线的方程讨论两条直线位置关系的思想方法．　　（7）通过点到直线距离公式的多种推导方法的探求，培养学生发散思维能力，理解数形结合的思想方法．教学建议一、教材分析1．知识结构2．重点、难点分析　　重点是两条直线的平行与垂直的判断；两条直线的夹角；点到直线的距离．　　难点是两条直线垂直条件的推导；一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导．　　本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要．（1）平行与垂直　　①平行　　在讨论两条直线平行的问题时，教材先假定了两条直线有斜截式方程，根据倾斜角与斜率的对应关系，将初中学过的两直线平行的充要条件（即判定定理和性质定理）转化为坐标系中的语言，用斜率和截距重新加以刻画，教学中应注意斜率不存在的情况．　　②垂直　　教材上将直线的斜率转化成方向向量，然后利用向量垂直的条件推出两条直线垂直的条件．结合斜率不存在的情况，两条直线垂直的充要条件可叙述为：　　 或 一个为0，另一个不存在．（2）夹角　　①应正确区分直线 到 的角、直线 到 的角、直线 和 的夹角这三个概念．　　 到 的角是带方向的角，它是指 按逆时针方向旋转到与 重合时所转的角，它与 到 的角是不同的，如果设前者是 ，后者是 ，则 ＋ ＝ ． 与 所夹的不大于 的角成为 和 的夹角，夹角不带方向．　　当 到 的角为锐角 时，则 和 的夹角也是 ；当 到 的角为钝角 时，则 和 的夹角也是 ．　　②在求直线 到 的角 时，应注意分析图形的几何性质，找出 与 ， 的倾斜角 ， 关系，得出 或 ，然后由 ， 联想差角的正切公式，便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示，推导出．　　再由 与 的夹角与 到 的角之间的关系，而得出夹角计算公式
　　这种把"形"转化为"数"的方法，是解析几何的基本方法，要认真揣摩．　　③对于以上两个求角公式，在解决实际问题时，要注意根据具体情况选用．（3）交点　　①求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题，这可以由直线的方程与方程的直线的定义来理解．　　②在同一平面内，两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合，相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解有三种情况：有惟一解、无解、无数多个解．但在实际判定时，利用直线的斜率和截距更方便．若 ， ，则：
与 相交 ；
与 重合 且 ．（4）点到直线的距离　　①点到直线的距离公式是研究点与直线位置关系的重要工具．教科书借助于直角三角形的面积公式，推导出点到直线的距离公式．在推导过程中，把与两条坐标轴都不平行的线段的长度的计算，转化为与坐标轴平等或垂直的线段长度的计算，从而简化了运算过程．　　②利用点到直线的距离公式可推出两平行线 ， 间的距离公式： ．　　③点到直线距离公式的推导，有多种方法，应鼓励同学们思考，下面介绍一种较简便的方法．　　如右图，设 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ，则有
即 　　 得　　 　　 ，即
．　　当 时，上述公式也成立．（5）当直线中有一条没有斜率时，讨论平行、垂直、角、距离的问题，不必套用以上结论，这时可结合图形几何性质；直接求解．二、教法建议　　1．本节知识与初中所学的平面几何知识和三角知识联系非常紧密，教学时应加强启发和引导．如学生对两条直线的平行同位角相等的条件已经非常熟悉，因此在研究两直线平行时，应引导学生迅速建立联系：同位角-倾斜角-斜率（直线方程）．又如，在求 到 的角 时，根据图形中角的关系，建立 与倾斜角 和 的联系（有且只有 或 两种情况），进而借助三角建立与斜率的关系，得出公式．　　2．本节内容中在研究两直线的垂直条件时，由于采用向量这一更高级的工具来处理，显得既简单又深刻．所以教学中应注意向量工具的运用，可让学生尝试用向量推导两直线平行的条件和点到直线距离公式的推导．　　3．本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上．本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力．本节还要加强根据已知条件求直线方程的教学．　　4．不仅要使学生熟悉用斜率求两直线夹角的公式，也要掌握根据直线方程系数求夹角的方法（即教材中例6的方法），同时会根据所给条件选用．　　5．已知两直线的方程会求其交点即可，不必研究两直线方程系数与位置关系之间的关系．　　6．在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力．　　7．本节学完以后学生可以解决很多较复杂、较综合的问题，如对称问题、直线系过定点问题、光路最短与足球射门角度最大等最值问题．教学中应适当安排一些这样的内容，以训练学生思维和培养学生分析问题、解决问题的能力．　教学设计方案课题：点到直线的距离教学目标：（1）理解点到直线距离公式的推导过程.　　　　　（2）会求点到直线的距离.　　　　　（3）在探索点到直线距离公式推导思路的过程中，培养学生发散思维、积极探索的精神.教学用具：计算机教学方法：启发引导法，讨论法教学过程：一、引入　　点到直线的距离是指过点 作 的垂线， 与垂足 之间的长度【问题1】已知点 （-1，2）和直线 ： ，求 点到直线 的距离．（由学生分析、解答）　　分析：先求出过 点和 垂直的直线：　　 ： ，再求出 和 的交点 　　∴ 　　如果把问题1一般化就有如下问题：【问题2】已知： 和直线 ： （ 不在直线 上，且 ， ），试求 点到直线 的距离．二、点到直线距离　　分析1：要求 的长度可以象问题1的解法一样，利用两点的距离公式可以求 的长度．　　∵ 点坐标已知，∴只要求出 点坐标就可以了．　　又∵ 点是直线 和直线 的交点　　又∵直线 的方程已知　　∴只要求出直线 的方程就可以了.　　即： ← 点坐标←直线 与直线 的交点←直线 的方程←直线 的斜率←直线 的斜率　　（这一解法在课前由学生自学完成，课上进行评价总结）　　问：这种解法好不好，为什么?　　根据学生讨论，教师适时启发、引导，得出　　 分析2：如果 垂直坐标轴，则交点和距离都容易求出，那么不妨做出与坐标轴垂直的线段 和 ，如图1所示，显然相对而言 ，和 好求一些，事实上，设 到直线的距离为 ， 坐标为 ， 坐标为 ，则易求：， 　　所以： ， 　　所以： 　　根据三角形面积公式： 　　所以： （至此问题2已经解决）　　公式 的完善.容易验证（由学生完成）：　　当 ，即 轴时，公式成立；　　当 ，即 轴时，公式成立；　　当 点在 上时，公式成立．　　公式 结构特点师生一起总结：　　（1）分子是 点坐标代入直线方程；　　（2）分母是直线未知数 、 系数平方和的算术根．　　类似于勾股定理求斜边的长三、检测与巩固　　练习1　　（1） 到直线 的距离是________．　　（2） 到直线 的距离是_______．　　（3）用公式解 到直线 的距离是______．　　（4） 到直线 的距离是_________．订正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） ．　　练习2　　1．求平行直线 和 的距离．　　解：在直线 上任取一点，如 ，则两平行线的距离就是点 到直线 的距离．　　因此， ＝ ＝ 【问题3】　　两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢？求两条平行直线 与 0的距离．　　 解：在直线上 任取一点，如 则两平行线的距离就是点 到直线 的距离，（如图2）．　　因此， ＝ ＝ 　　注意：用公式时，注意一次项系数是否一致．四、小结作业　　1、点到直线的距离公式及其推导；　　师生一起总结点到直线距离公式的推导过程： 　　2、利用公式求点到直线的距离．　　3、探索两平行直线的距离　　4、探索"已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离．作业：P54
13、14、16思考研究：运用多种方法推导点到直线的距离公式．扩展资料直线型经验公式与最小二乘法　　根据"从点到直线距离公式的应用谈起"（李仲来．数学通报．1998年第11期35～37）改编．本节材料仅是该文一部分，有兴趣的同学可阅读全文和相关专业书籍．内容简介： 　　众所周知，过1个点可有无数条直线；　　过2个不同的点可求出唯一的一条直线；　　过3个不同的点一般不能求出一条直线．　　显然，过 个不同的点 能否求出一条直线的结论一般是否定的．在实际应用中，问题的提法降低为：能否求出一条回归方程（直线经验公式）　
　　　　　　　　　　　　（1）　　可以近似地描述这些点的变化趋势就够了．自然地， 到（1）应满足点到直线的距离应最短的条件．这是我们想起点到直线的距离公式（ ）．　　那么点 到（1）的距离∑ / 　　　　　（2）　　即　 ∑ / ＝最小　　　　　（3）　　直观分析（3），从既有绝对值，又有跟式的运算条件下确定参数 和 可能比较麻烦．从数学常用的手法看，降低条件看一看．如何降低条件哪，在两部分 和 中去掉前者恐怕不行，因为参数 被去掉了；去掉后者两个参数都在．此时（3）变为：∑ 　　　　　（4）　　能否给处（4）的一种比较容易接受的解释？考虑（4）的几何意义，它恰是 到（1）平行于 轴的距离之和，这样，我们使原问题得到简化．　　虽然（4）的解释得到了，但有绝对值的运算还是不好解决．再改变条件，使用数学上常见的手段：两边平方，得： 最小　（5）　　在（5）式中对 和 求偏导数（此为高等数学中的概念，看不懂得同学可略过）后，令其为0，解得 ， ，　　其中 ， ， ， 　　此即常用的最小二乘法，具体可参阅专业书籍．　　例如，部分国家13岁学生数学测验平均分数为（参考消息：，3版）　　其经验公式为： 　　以上仅是求出回归方程的一种方法，从（3）到（4），从（4）到（5）还有其它的方法解决，不再叙述，有兴趣的同自己去阅读．　　说明：该问题是点到直线距离的应用；直线型经验公式在实际中有广泛的应用，从而培养学生用数学的意识；在推导过程中蕴含着的丰富的数学思想方法和高超的数学技巧，以及对"距离"的理解对培养学生的数学技能和数学修养很有裨益．探究活动研究性学习　　点到直线距离公式是本节的重点和难点之一，公式的推导历来是探索的重点．教材上的第二种方法较传统已有不少改进，但运用向量的理论研究两条直线的位置关系的新思想在这一问题上没有体现，而运用向量理论推导点到直线的距离公式又是可行的，因此尝试用向量推导距离公式是很有意义的．为此设计如下研究性题目：　　试用向量的理论推导（或证明）点到直线的距离公式．　　简要思路：　　首先规定直线的法向量．设直线 的方程为 ， 是 上任意一点，则 的方程可表示为 的形式．由向量内积的概念可知向量 是与直线的方向向量 垂直的向量，我们把 称为直线 的法向量．　　其次推导点到直线的距离公式．设 是直线 ： 外的一点， 是 上的任一点， 垂直 于 ．则所求为 ．如图５，不妨l的法向量到 的角为 ，则不论 为锐角还是钝角，总有 ，因为：　　 所以： 　　　　 　　　　= 　　　　　 　　即 习题精选1． 是两条直线 ， 互相垂直的（
）．　　（A）充分但非必要条件
（B）必要但非充分条件　　（C）充要条件
　　（D）既不充分也不必要条件2．若两条直线 和 平行，则 和 的取值可能是（
）．　　（A）
（B） 　　（C）
（D） 3．直线 与 的交点在第二象限，则实数的取值范围是_______．4．过点（－1，4），且与原点距离等于1的直线方程式是__________．5． 点 （3，6）， （－1，5）， （1，1），求 边上的高所在直线的方程．6．求直线 ： ， ： ， ： 所围成的三角形的面积．7．三角形的一个顶点为（2，－7），由其余顶点分别引出的高线和中线分别为 ， ．求三角形三边所在直线的方程．8．一条直线 点 （2，3）且和两条直线 ： 和 ： 相交于 、 两点，且 ＝3 ，求直线 的方程．9．已知： ， ，且 ，这 条平行线中相邻两条间的距离顺次为2，3，4，...， ．　　（1）求 　　（2）求 与 ， ，这三条直线围成的三角形的面积 ．　　（3）证明直线 ， 分别与直线 ， 围成的两个图形的面积之差等于 ．　　（4）设 ，求 参考答案：1．A；
5． ；6．3；
7． ， ；8． 或 ；9．（1） ；（2） ；（3）略；（4） ．典型例题　　例1 已知点 ， ，点 在坐标轴上，且 ，则满足条件的点 的个数是（
（D）4　　略解：点 在坐标轴上，可有两种情况，即在 轴或 轴上，点 的坐标可设为 或 　　由题意， ，直线 与直线 垂直，其斜率乘积为－1，可分别求得 或2， 或4，所以满足条件的点的坐标为（0，0），（2，0），（0，4）．　　说明：①本题还可以有另外两种解法：一种是利用勾股定理，另一种是直角三角形斜边 与 轴交点 恰为斜边 中点，则由 到 、 距离相等的性质可解．②本题易错，可能只解一个坐标轴；可能解方程时漏解；也可能看到 、 各有两解而误以为有四点．　　例2已知 的一个定点是 ， 、 的平分线分别是 ， ，求直线 的方程．　　分析：利用角平分线的轴对称性质，求出 关于 ， 的对称点，它们显然在直线 上．　　解： 关于 ， 的对称点分别是 和 ，且这两点都在直线 上，由两点式求得直线 方程为 ．　　例3 求经过两条直线 和 的交点，并且垂直于直线 的直线的方程．　　略解一：解得两直线 和 的交点为（ ， ），由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为 ，进而所求直线方程为 ．　　略解二：设所求直线方程为 ，将所求交点坐标（ ， ）代入方程得 ，所以所求直线方程为 ．　　略解三：所求直线过点（ ， ），且与直线 垂直，所以，所求直线方程为
．　　略解四：设所求直线得方程为　　即
（1）　　由于该直线与已知直线 垂直　　则
代入（1）得所求直线方程为 ．　　例4 在 中， 边上的高所在的直线的方程为 ， 的平分线所在直线的方程为 ，若点 的坐标为（1，2），求点 和点 的坐标．　　解：解直线 和直线 的交点得 ，即 的坐标为 ，　　∴
，　　又∵ 轴为 的平分线，　　∴
　　又∵直线 为 边上的高，由垂直得，
　　设 的坐标为 ，则 ， ，　　解得
， ，即 的坐标为 　　例5 已知定点 （3，1），在直线 和 上分别求点 和点 ，使 的周长最短，并求出最短周长．　　分析：由连接两点的线中，直线段最短，利用对称，把折线转化为直线，即转化为求两点间的距离．　　解：如图1，设点 关于直线 和 的对称点分别为 ， 　　∵ 　　 又 　　周长最小值是：
　　由两点式可得 方程为：
　　而且易求得： （ ， ）， （ ，0）　　此时，周长最短，周长为 　　例6 已知实数 ， 满足 ，求证： ．　　简解：本题的几何意义是：直线 上的点（ ， ）与定点 的距离的平方不小于 ．因为直线外一点与直线上任一点连线中，垂线段距离最短，而垂线段的长度即距离 ，　　所以 ，即 ．　　说明：本题应为不等式的题目，难度较大，证明方法也较多，但用解析几何的方法解决显得轻松简捷，深刻地体现了数形结合的思想．　　例7 在平面直角坐标系中， ， ，点 在 上 ， ， ，试在 轴的正半周上求一点 ，使 取得最大值．　　分析：要使最大，只需最大，而是直线到直线的角（此处即为夹角），利用公式可以解决问题．　　解：如图2，设点 　　∵ ， ， ，　　∴ ，　　　　 ，　　于是直线 、 的斜率分别为：　　 ，　　 　　∴ ＝ 　　　　＝ 　　　　＝
　　＝ 　　∵ 　　∴ 　　当且仅当 即 ， 点的坐标为（ ，0），由 可知 为锐角，所以此时 有最大值 ．　　说明：本题综合性强，是三角、不等式和解析几何知识的交汇点．另外本题也是足球射门最大角问题的推广．7.4 简单的线性规划教学目标 　　（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；　　（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；　　（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；　　（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生"建模"和解决实际问题的能力；　　（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和"用数学"的意识，激励学生勇于创新．教学建议 一、知识结构　　教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域．再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用．二、重点、难点分析　　本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域．　　对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：　　（1）二元一次不等式表示平面区域．首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念．明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）．其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线．　　（2）二元一次不等式组表示平面区域．在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分．这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础．　　难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答．　　对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模．所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键．　　对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移．针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题．另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法．三、教法建议　　（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念　　（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论．　　（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的．　　（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握"数形结合"的数学思想，尽管侧重于用"数"研究"形"，但同时也用"形"去研究"数"，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的．　　（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维．　　（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．　　如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可．　　（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．线性规划教学设计方案（一）教学目标　　使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域．重点难点　　了解二元一次不等式表示平面区域．教学过程【引入新课】　　我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？【二元一次不等式表示的平面区域】　　1．先分析一个具体的例子　　我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程 的解为坐标的点的集合 是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式） 的解为坐标的点的集合 是什么图形呢？　　在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式 ，这些点却在l的左下方的平面区域．　　由此我们猜想，对直线l右上方的任意点 成立；对直线l左下方的任意点 成立，下面我们证明这个事实．　　在直线 上任取一点 ，过点P作垂直于y轴的直线 ，在此直线上点P右侧的任意一点 ，都有
　　因为点 ，是L上的任意点，所以，对于直线 右上方的任意点 ，都成立　　同理，对于直线 左下方的任意点 ，都成立　　所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 的解为坐标的点的集点．是直线 右上方的平面区域（如图）　　类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 的解为坐标的点的集合 是直线 左下方的平面区域．　　2．二元一次不等式 和 表示平面域．　　（1）结论：二元一次不等式 在平面直角坐标系中表示直线 某一侧所有点组成的平面区域．　　把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式 就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．　　（2）判断方法：由于对在直线 同一侧的所有点 ，把它的坐标 代入 ，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点 ，以 的正负情况便可判断 表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当 时，常把原点作为此特殊点．　　【应用举例】　　例1
画出不等式 表示的平面区域　　解；先画直线 （画线虚线）取原点（0，0），代入 ，∴
原点在不等式 表示的平面区域内，不等式 表示的平面区域如图阴影部分．　　例2
画出不等式组　　 　　表示的平面区域　　分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．　　解：不等式 表示直线 上及右上方的平面区域， 表示直线 上及右上方的平面区域， 上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分．课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域．（1）
（5） 总结提炼1．二元一次不等式表示的平面区域．2．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．3．二元一次不等式组表示的平面区域．布置作业1．不等式 表示的区域在 的（
）．　　A．右上方
D．左下方2．不等式 表示的平面区域是（
）．3．不等式组 表示的平面区域是（
）．4．直线 右上方的平面区域可用不等式
表示．5．不等式组 表示的平面区域内的整点坐标是
．6．画出 表示的区域．答案：1．B
5．（－1，－1）6．线性规划教学设计方案（二）教学目标　　巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．重点难点　　理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．　　如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．教学步骤【新课引入】　　我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．【线性规划】　　先讨论下面的问题　　设 ，式中变量x、y满足下列条件
①　　求z的最大值和最小值．　　我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中 内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当 时， ，点（0，0）在直线 上．　　作一组和 平等的直线　　 　　可知，当l在 的右上方时，直线l上的点 满足 ．即 ，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点 的直线 ，所对应的t最小，所以　　在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．　　 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于 又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数 在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．　　线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．　　一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．【应用举例】　　例1
解下列线性规划问题：求 的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件 　　解：先作出可行域，见图中 表示的区域，且求得 ．　　作出直线 ，再将直线 平移，当 的平行线 过B点时，可使 达到最小值，当 的平行线 过C点时，可使 达到最大值．　　 　　通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：　　第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；　　第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；　　第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．　　例2
解线性规划问题：求 的最大值，使式中的x、y满足约束条件．　 　　解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．　　作出直线 将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使 达到最大值，解方程组 得点B的坐标为（9，2）．　　∴
　　这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为 ，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数 所确定的直线 的斜率 有关．就这个例子而言，当 的斜率为负数时，即 时，若 （直线 的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当 时，点C处使z取得最大值（比如： 时），若 ，可请同学思考．随堂练习1．求 的最小值，使式中的 满足约束条件　　 2．求 的最大值，使式中 满足约束条件　　 答案：1． 时， ．　　　2． 时， ．总结提炼1．线性规划的概念．2．线性规划的问题解法．布置作业1．求 的最大值，使式中的 满足条件　　 2．求 的最小值，使 满足下列条件　　 答案：1． 　　　2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小， 扩展资料线性规划的解　　课本题中出现的线性规划都有唯一的最优解，其实线性规划的解有许多不同的情况，除了有唯一的最优解的情况外，还有　　（1）无可行解，从而无最优解．这就是约束条件不等式组无解的情况．　　（2）有无穷多个最优解　　例2 　　 　　我们用图解法求解．　　由于目标函数等高线和可行域的边界线 平行，沿着目标函数值增加方向平行移动目标函数的等高线，最终停留在直线 上，所以线段AB上的所有点都是最优解．　　线性规划如果有最优解，只会是有唯一最优解或者有无穷多个最优解这两种情况，不会出现其他情况，这就是下面的命题．　　命题1
如果线性规划有两个不同的最优解 ，那么对任意 ， 是最优解．　　这个命题的证明可以在任何一本线性规划的书中找到，这里就不再证明了．事实上证明是平凡的，只要注意到 在线段 上，利用线性性质，读者就可以自己证明．　　（3）有可行解，无最优解．　　例3
　　 　　我们用图解法求解．　　从图中可以 看出随着目标函数等高线的移动，目标函数值会越来越大，没有上界．有的书上称之为无界解．　　无界解的情况只会出现在可行域是开区域的时候．如果可行域是闭区域，就一定是有界的，于是有命题2
如果统性规划可行域是闭区域，那么一定有最优解．　　只要注意到线性函数是连续函数，上面的命题就是"有界闭区域上连续函数可以达到最大值或最小值"这一定理的一个推理．　　从上面的例子中我们可以看出，如果有最优解，那么就有可行域的顶点是最优解．所以也可以通过比较可行域顶点的目标函数值来求线性规划的最优解．例如 ， 中的顶点 的目标函数值是 ； 的目标函数值是3； 的目标函数值是 于是通过比较可以知道 是最优解．　　线性规划的单纯形算法，就是一种从顶点到顶点并使得目标函数值不断改进的迭代算法，由于可行域的顶点只有有限多个，所以经过有限次送代就可以求出线性规划的最优解．单纯形算法可以求解一般的（变量多于两个）线性规划问题．　　许多实际问题中变量和约束的个数都很多，有些规模比较大的问题中变量和约束的个数甚至可以上万，这样的问题当然是无法用手工计算的，需要用计算机和专门的软件求解．对于规模不是太大（如几十个变量）的线性规划，现在常用的数学软件如Mathematica，Matlab都可以解．下面介绍如何用Matematica解线性规划．　　用Mathematica解线性规划用的是ConstrainedMax或者 函数，这两个函数的格式如下：　　 ［目标函数 ， ］　　 ［目标函数 ， ］　　由于 软件是用C语言编写的，所以它的函数带有C语言的风格．｛｝表示表格， 和 函数中都有两个表格，第一个表格是约束条件的表，第二个表格是变量表，表格中的项用逗号分隔．要指出的是由于一般的线性规划中的变量都是非负变量，这两个函数的变量也要求有非负约束，但是非负约束可以不在约束条件表格中列出．　　例如求解线性规划　　 　　 　　只要输入In［2］：＝ 计算机就会给出计算结果　　最优值2，最优解： 斜体的 和 自动加上的 表示输入， 表示输出， 中的2表示行号．　　用 求例l中的规划问题，　　在许多实际问题中都要求线性规划的最优整数解，课本中也出现了这样的例子和习题．但是笔者以为求最优整数解不应该成为教学的重点．因为求整数解的问题属于整数规划的范畴，而整数规划和线性规划是运筹学中两个不同的分支．教材的作者显然是知道这一点的，所以在教材的处理上回避了如何去求整数解这个问题．作者这样做一方面告诉大家求整数解不应该成为教学的重点，另一方面也给学生留下了一个自由发展的空间．事实上对于课本上出现的这样非常简单的问题只要在非整数优解的附近找出整数可行解，通过比较它们目标函数值的大小就可以求出最优整数解，学生完全可以自己想办法解决．　　在科普杂志《科学的美国人》（Scientific American）1981年第6期上有一篇介绍线性规划的文章，文章用了下面的一个例子（本文中的数量单位有改动）：　　某啤酒厂生产两种啤酒，其中淡色啤酒A桶，啤酒B桶．粮食、啤酒花和麦芽是三种有约束的资源，每天分别可以提供480斤、160两和11 90斤．假设生产一桶淡色啤酒需要粮食5斤、啤酒花4两、麦芽20斤；生产一桶啤酒需要粮食15斤、啤酒花4两、麦芽35斤．售出后每桶淡色啤酒可获利13元，每桶啤酒可获利23元．问A，B等于多少时工厂的利润最大．　　这个例子的线性规划模型是　　 　　 　　和课本中的例子相比较这个例子有两个优点，一是它的数据更接近实际数据，有真实感，同时由于数字较大求出的最优解不是整数的问题被相对淡化了；另一方面例子中三种约束的单位不同，这在实际问题中经常出现，例子可以告诉学生列规划时并不需要统一各种约束条件的单位．笔者建议在教学中可以使用类似的例子．选自《中学数学月刊》2002第八期选节探究活动利润的线性规划　　［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？ 　　［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息："1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元"，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．　　建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为 （0，5），1998年的利润为 7万元及1999年的利润为 8万元分别对应点 （1，7）和 （2，8），那么　　①若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为13万元．　　②若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11万元．　　③若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10万元．　　④若将过 及线段 的中点 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元．　　⑤若将过 及 的重心 （注： 为3年的年平均利润）的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元．　　⑥若将过 及 的重心 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10．667万元．　　⑦若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为9万元．　　⑧若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为11.5万元. 　　⑨若将过点 且以线段 的斜率 为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线 的方程为； ，这样预测2001年的利润为12万元．　　⑩若将过 且以线段 的斜率 与线段 的斜率 的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为12万元．　　如此这样，还有其他方案，在此不-一列举．　　［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？　　（2）第⑦种方案中， 的现实意义是什么？　　（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过 的重心 ，找出以 为斜率的直线中与 两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．　　（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？习题精选一、填空题　　1．点到直线 的距离等于4，且在不等式 表示的平面区域内，则点 的坐标为＿＿。　　2．满足线性约束条件 的可行域共有_______个整数点。　　3．设 为平面内以 三点为顶点的三角形区域(包括边界)，当 在上变动时，的最小值是____________。参考答案　　1．
3． 二、解答题　　1．设 ，式中变量 满足 求 的最大值和最小值。　　2．有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于 配套，怎样截最合理？　　3．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个和55个，所用原料为A、B两种规格金属板每张面积分别为2 和3 ，用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个，用B种规格金属板可造甲、乙品种各6个，问两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并能使总的用料面积最省？参考答案　　1． ， 　　2．设500mm的 根，600mm的 根，约束条件为 、 、 、 ，目标函数为 ，画图可求出最优整数解为 　　3．设A、B两种规格金属板各取 张，用料面积为 ，则约束条件为 ， ， ， ，目标函数为 ，用图解法可求出最优解 典型例题　　例1　画出不等式组 表示的平面区域．　　分析
采用"图解法"确定不等式组每一不等式所表示的平面区域，然后求其公共部分．　　解
把 ， 代入 中得 　　∴
不等式 表示直线 下方的区域（包括边界），即位于原点的一侧，同理可画出其他两部分，不等式组所表示的区域如图所示．　　说明
"图解法"是判别二元一次不等式所表示的区域行之有效的一种方法．　　例2 若 、 满足条件 求 的最大值和最小值．　　分析
画出可行域，平移直线找最优解．　　解
作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图所示．　　作直线 ，即 ，它表示斜率为 ，纵截距为 的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线 过点时， 取得最大值，当 过点 时， 取得最小值．　　∴　
∴　 　　说明
解决线性规划问题，首先应明确可行域，再将线性目标函数作平移取得最值．　　例3　某糖果厂生产 、 两种糖果， 种糖果每箱获利润40元， 种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间（单位：分钟）
混合
烹调
包装
2
4
1
　　每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12机器小时，烹调的设备至多只能用机器30机器小时，包装的设备只能用机器15机器小时，试用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润．　　分析
找约束条件，建立目标函数．　　解
设生产 种糖果 箱， 种糖果 箱，可获得利润 元，则此问题的数学模式在约束条件 下，求目标函数 的最大值，作出可行域，其边界
　　由 得 ，它表示斜率为 ，截距为 的平行直线系， 越大， 越大，从而可知过 点时截距最大， 取得了最大值．　　解方程组 　　∴
即生产 种糖果120箱，生产 种糖果300箱，可得最大利润19800元．　　说明
由于生产 种糖果120箱，生产 种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1800（分），包装时间3×120＋300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种"过剩"问题构成了该问题的"松驰"部分，有待于改进研究．　　例4 甲、乙、丙三种食物的维生素 、 含量及成本如下表：
甲
乙
丙
维生素 （单位/千克）
600
700
400
维生素 （单位/千克）
800
400
500
成本（元/千克）
11
9
4
　　某食物营养研究所想用 千克甲种食物， 千克乙种食物， 千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56000单位维生素 和63000单位维生素 ．（1）用 、 表示混合物成本 ．（2）确定 、 、 的值，使成本最低．　　分析
找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解．　　解
（1）依题意： 、 、 满足 　　∴
成本 （元）　　（2）依题意 　　∵
　　∴ 　　作出不等式组所对应的可行域，如图所示．　　联立 　　作直线 则易知该直线截距越小， 越小，所以该直线过 时，直线在 轴截距最小，从而 最小，此时7×50＋5×20＋400＝ ＝850元　　∴
千克， 千克时成本最低．7.5 研究性课题与实习作业：线性规划的实际应用教学目标　　（1）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；　　（2）了解线性规化问题的图解法；　　（3）培养学生搜集、分析和整理信息的能力，在活动中学会沟通与合作，培养探索研究的能力和所学知识解决实际问题的能力；　　（4）引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．教学建议一、重点难点分析　　学以致用，培养学生"用数学"的意识是本节的重要目的。学习线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决一些生产、生活中问题，因而本节的教学重点是：线性规划在实际生活中的应用。困难大多是如何把实际问题转化为数学问题（既数学建模），所以把一些生产、生活中的实际问题转化为线性规划问题，就是本节课的教学难点。突破这个难点的关键就在于尽快熟悉生活，了解实际情况，并与所学知识紧密结合起来。二、教法建议　　（l）建议可适当采用电脑多媒体和投影仪等先进手段来辅助教学，以增加课堂容量，增强直观性，进而提高课堂效率．　　（2）课堂上可以设计几个实际让学生分组研讨解答，一方面是复习线性规划问题的一般解法，为总结线性规划问题的数学模型和常见类型作铺垫；另一方面，也为接下来到外面分组调研积累经验，让学生在讨论、探究过程中初步学会沟通与合作，共同完成活动任务． 　　（3）确定研究课题，建议各小组以三个常见问题为主，或者根据本小组实际自拟课题．　　（4）活动安排，建议要求各小组分式明确，团结协作，听从指挥，注意安全．学生研究活动的成果，可以用研究报告或论文的形式体现．一切以学生自己的自主探究活动为主，教师不能越俎代庖．　　（5）对学生在课余时间开展的研究性课题，建议作做好成果展示、评估和交流．展示不仅可以让全体学生来分享成果，享受成功的喜悦，而且还可以锻炼学生的组织表达能力，增强学生的自信心．通过评估，可以使同学清楚地看到自己的优点与不足．通过交流研讨，分享成果，进行思维碰撞，使认识和情感得到提升．教学设计方案教学目标　　（1）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；　　（2）了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；　　（3）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生"建模"和解决实际问题的能力；　　（4）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和"用数学"的意识，激励学生勇于创新．重点难点　　理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点。　　如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点。教学步骤（一）引入新课　　我们已研究过以二元一次不等式组为约束条件的二元线性目标函数的线性规划问题。那么是否有多个两个变量的线性规划问题呢？又什么样的问题不用线性规划知识来解决呢？（二）线性规划问题的教学模型　　线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值问题，一般地，线性规划问题的数字模型是已知 其中 都是常数， 是非负变量，求 的最大值或最小值，这里 是常量。　　前面我们计论了两个变量的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法求解。比如线性不等式 不能用图形来表示它，那么对四元线性规划问题就不能用图形来求解了，对这样的线性规划问题怎样求解，同学们今后在大学学习中会得到解决。线性规划在实际中的应用　　线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务，常见问题有：　　1．物调运问题　　例如，已知 两煤矿每年的产量，煤需经 两个车站运往外地， 两个车站的运输能力是有限的，且已知 两煤矿运往 两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最小？　　2．产品安排问题　　例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，能使每月获得的总利润最大？　　3．下料问题　　例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？　　4．研究一个例子　　下面的问题，能否用线性规划求解？如能，请同学们解出来。　　某家具厂有方木料 ，五合板 ，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料 、五合板 ，生产每个书橱需要方木料 、五合板 ，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，如果只安排生产书桌，可获利润多少？如何只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产时可使所得利润最大？A．教师指导同学们逐步解答：　　（1）先将已知数据列成下表　　（2）设生产书桌x张，生产书橱y张，获利润为z元。　　分析：显然这是一个二元线性问题，可归结于线性规划问题，并可用图解法求解。　　（3）目标函数
　　①在第一个问题中，即只生产书桌，则 ，约束条件为　　 　　∴
最多生产300张书桌，获利润 元　　这样安排生产，五合板先用光，方木料只用了 ，还有 没派上用场。　　②在第二个问题中，即只生产书橱，则 ，约束条件是　　 　　∴
最多生产600张书橱，获利润 元　　这样安排生产，五合板也全用光，方木料用去了 ，仍有 没派上用场，获利润比只生产书桌多了48000元。　　③在第三个问题中，即怎样安排生产，可获利润最大？　　 ，约束条件为　　 　　对此，我们用图解法求解，　　先作出可行域，如图阴影部分。　　 　　 时得直线 与 平行的直线 过可行域内的点M（0，600）。因为与 平等的过可行域内的点的所有直线中， 距原点最远，所以最优解为 ，即此时 　　因此，只生产书橱600张可获得最大利润，最大利润是72000元。B．讨论　　为什么会出现只生产书橱，可获最大利润的情形呢？第一，书橱比书桌价格高，因此应该尽可能多生产书橱；第二，生产一张书橱只需要五合板 ，生产一张书桌却需要五合板 ，按家具厂