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数列极限的几何意义?
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“数列极限”的含义搞不懂,有两种理1.lim a(n) n趋近于无穷大自变量无穷大时,y的数值2.lim S(n) n趋近于无穷大求图形相对x轴的面积
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扫描下载二维码导读：a称为数列?xn?当n→∞时的极限，ε?关数列极限的叙述中，我们给“数列?xn?的极限为a”一个几何解释：，符号“min?X?”表示数集X中的最小数.数列极限limxn?a的定义可表达为：，有1n?0?ε.由极限定义可知，则当?0?ε.由极限定义可知?n4?ε??limn??1nπcos?0.n4用极，将逐步介绍其他求极限的方法.，二、数列极限的性质，则其极限惟一.，反设极限不惟一：即limx上b?a表示点a与点b之间的距离，b?a越小，则a与b就越接近，就数列(1-2-1)来说，因为 xn?1??11?nn， 1n我们知道，当n越来越大时，越来越小，从而xn越来越接近1.因为只要n足够大， xn?1?就可以小于任意给定的正数，如现在给出一个很小的正数xn?1?1，只要n?100即可得 1001n1，n?101,102,? 1001，则从10001项起，都有下面不等式 100001 xn?1?10000n?1成立.这就是数列xn? (n?1,2,?)，当n??时无限接近于1的实质. n如果给定一般地，对数列?xn?有以下定义. 定义2
设?xn?为一数列，若存在常数a对任意给定的正数ε(无论多么小)，总存在正整数N，当n?N时，有不等式 xn?a?ε 即xn?U(a,ε)，则称数列?xn?收敛，a称为数列?xn?当n→∞时的极限，记为 limxn?a或xn?a?n????. n??若数列?xn?不收敛，则称该数列发散. 定义中的正整数N与ε有关，一般说来，N将随ε减小而增大，这样的N也不是唯一的.显然，如果已经证明了符合要求的N存在，则比这个N大的任何正整数均符合要求，在以后有xn?U?a，ε?关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N均表示正整数.此外，由邻域的定义可知，等价于xn?a?ε. 我们给“数列?xn?的极限为a”一个几何解释： 将常数a及数列x1,x2,x3,?,xn,?在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域，即开区间(a?ε,a?ε)，如图1-29所示
图1-29 因两个不等式
|xn?a|?ε， a?ε?xn?a?ε
等价，所以当n?N时，所有的点xn都落在开区间(a?ε,a?ε)内，而只有有限个点（至多只有N个点）在这区间以外. 为了以后叙述的方便，我们这里介绍几个符号，符号“?”表示“对于任意的”、“对于所有的”或“对于每一个”；符号“?”表示“存在”；符号“max?X?”表示数集X中的最大数；符号“min?X?”表示数集X中的最小数.数列极限limxn?a的定义可表达为： n??limxn?a??ε?0，?正整数N，当n?N时，有xn?a?ε. n??例1
lim1n?. 0n??2证
?ε?0(不防设ε?1)，要使1n?0?1n?ε，只要2n?1，即n?（ln1）/ln2. 22εε???1?因此，?ε?0，取N???ln?/ln2?，则当n?N时，有1n?0?ε.由极限定义可知 ε?2???lim12nn???0. 例2
limn??1n4nπcos?4n. 04nn41证
由于1cosnπ?0?1cosnπ?1，故?ε?0，要使1cosnπ?0?ε，只要?ε，nn即n?1. ε1?1nπn?N时，有cos因此，?ε?0，取N??，则当?0?ε.由极限定义可知 ?n4?ε??limn??1nπcos?0. n4用极限的定义来求极限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，将逐步介绍其他求极限的方法. 二、数列极限的性质 定理1（惟一性）
若数列收敛，则其极限惟一. 证
设数列?xn?收敛，反设极限不惟一：即limxn?a，且a?b，不妨设a?b，limxn?b，n??n??由极限定义，取ε??N2b?ab?a，则?N1＞0，当n?N1时，xn?a<，即 223a?ba?b＜xn＜，
（1-2-6） 22b?a，即 ?0，当n?N2时，xn?b<2a?b3b?a＜xn＜，
(1-2-7) 22取N?max?N1,N2?，则当n?N时，(1-3-6)，(1-3-7)两式应同时成立，显然矛盾.该矛盾证明了收敛数列?xn?的极限必惟一. 定义3
设有数列?xn?，若存在正数M，使对一切n是有界的，否则称它是无界的. 对于数列?xn?，若存在常数M，使对n存在常数M，使对n?1,2,??1，，2??1,2,?，有xn?M，则称数列?xn?，有xn?M，则称数列?xn?有上界；若，有xn?M，则称数列?xn?有下界. 显然，数列?xn?有界的充要条件是?xn?既有上界又有下界. 例3
数列n?1n?12?有界；数列?n2?有下界而无上界；数列??n2?有上界而无下界；数列（?1）n?1?既无上界又无下界. ?定理2（有界性）
若数列?xn?收敛，则数列?xn?有界. 证
设limxn?a，由极限定义，?ε?0，且ε?1，?N?0，当n?N时，|xn?a|?ε?1，n??从而xn<1?a. 取M?max?1?a,x1,x2,?,xN界. 定理2 的逆命题不成立，例如数列?(?1)n?有界，但它不收敛. 定理3（保号性）
若lim，则?N?0，当n?N时，xn?0（或xn?a，a?0（或a?0）n???，则有xn?M，对一切n?1,2,3,?，成立，即?xn?有xn?0）. 证
由极限定义 ，对ε?n?N时，xn?aaa3?0，?N?0，当n?N时，xn?a?，即?xn?a，故当类似可证a?0的情形. 推论
设有数列?xn?，?N?0 ，当n?N时，xn?0 (或xn?0)，若limxn?a，则必有n??a?0 (或a?0). 在推论中，我们只能推出a?0 (或a?0)，而不能由xn?0 (或xn?0)推出其极限(若存在)11?0，但limxn?lim?0. n??n??nn也大于0(或小于0).例如xn?下面我们给出数列的子列的概念. 定义4
在数列?xn?中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列，称它为?xn?的一个子列. 在选出的子列中，记第1项为xn，第2项为xn，?，第k项为xn，?，则数列?xn?的12k子列可记为?xnk?.k表示xknk在子列?xnk?中是第k项，nkk表示xn在原数列?xn?中是第nk项.显k然，对每一个k，有nk?k；对任意正整数h，k，如果h?k，则nh?nk；若nh?nk，则h?k 由于在子列?xnk?中的下标是k而不是nk???，因此?xnkk?收敛于a的定义是：?ε?0，?Kk?0，当k?K时，有xn?a?ε.这时，记为limxn?a . 定理4
limxn?a的充要条件是：?xn?的任何子列{xn}都收敛，且都以a为极限. k??证
先证充分性.由于?xn?本身也可看成是它的一个子列，故由条件得证. 下面证明必要性.由limxn?a，?ε?0，?N?0，当n?N时，有 k??xn?a<ε. 今取K?N，则当k?K时，有nk?nK?nN?N，于是
xn?a?ε.k故有 k??limxnk?a. 定理4用来判别数列?xn?发散有时是很方便的.如果在数列?xn?中有一个子列发散，或者有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言?xn?是发散的. 例4
判别数列xn?sinnπ,n?N*的收敛性. 8??解
在?xn?中选取两个子列： kπ,k?N?，即??sin88*sin8π16π8kπ,sin,???sin,???888?； ????16k?4?π??16k?4?π??20π*，即sin,k?Nsin,???sin,????. ???888??????显然，第一个子列收敛于0，而第二个子列收敛于1，因此原数列sinnπ发散. 8??三、收敛准则 定义5
数列?xn?的项若满足x1?x2???xn?xn?1??，则称数列?xn?为单调增加数列；若满足x1?x2???xn?xn?1??，则称数列?xn?为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成立时，则分别称?xn?是严格单调增加和严格单调减少数列. 收敛准则
单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限. 该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明. n????1??例5
证明数列??1???收敛. n??????n????1??证
根据收敛准则，只需证明??1???单调增加且有上界（或单调减少且有下界）. n??????由二项式定理，我们知道 xn?(1?1n?Cn?Cn2???Cnn nnnn?1?1?xn?n?1(1?)?(1?)(1?)???(1?)(1?)?(1?)， 2!n3!nnn!nnn1n??(1?)?1?Cn?1?Cn?1???Cn?1 2n?1n?1n?1(n?1)(n?1)11112(1?)?(1?)(1?)?? 2!n?13!n?1n??)(1?)???(1?) n!n?1n?1n?1112n?(1?)(1?)???(1?)， (n?1)!n?1n?1n?1?1?1?逐项比较xn与xn?1的每一项，有 xn?xn?1，n?1,2,?. 这说明数列{xn}单调增加，又 xn?1?1?111???? 2!3!n! ?1?1?1?12???1n ?1?3.
?1?n?1121?21?nn????????1??1??即数列??1???有界，由收敛准则可知??1???收敛. n??n??????????n????1??我们将??1???的极限记为e，即 n??????1??lim?1???e. n???n?n第三节
函数的极限 函数概念反映了客观事物相互依赖的关系.它是从数量方面来描述这种关系，但在某些实际问题中，仅仅知道函数关系是不够的，还必须考虑在自变量按照某种方式变化时，相应的函数值的变化趋势，即所谓的函数极限，才能使问题得到解决.正如我们对数列极限的定义，数列?xn?可看做自变量为正整数n的函数： xn?f?n?，
n?N*， 所以，数列的极限可视为函数极限的特殊类型.下面介绍函数极限的一般类型. 一、x??时函数的极限 当自变量x的绝对值无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的只是自变量的变化可以是连续的. 定义1
设函数f?x?在区间[a,??)上有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式x?X时，对应的函数值f?x?都满足不等式 f?x??A?ε， 那么，称函数f?x?当x趋于+∞时极限存在并以A为极限，记作 limf(x)?A 或f(x)?A (x???). x?? 在定义中正数X的作用与数列极限定义中的正整数N类似，说明x足够大的程度，所不同的是，这里考虑的是比X大的所有实数x，而不仅仅是自然数n，因此，当x???时，函数f?x?以A为极限意味着：A的任何邻域必含有f在某个区间??X,???的所有函数值. ?A?ε和y?A?ε定义1的几何意义如图1-30所示，作直线y，则总有一个正数X存在，使得当x?X时，函数y?f?x?图形位于这两条直线之间. 包含总结汇报、党团工作、外语学习、旅游景点、人文社科、行业论文、IT计算机、考试资料、出国留学以及大一高数第一章
函数、极限与连续等内容。本文共10页
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数列的极限
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你可能喜欢数列极限的几何意义--《甘肃高师学报》2005年02期
数列极限的几何意义
【摘要】：数列极限的“ε—N”定义,往往使初学者难以理解。如果运用几何意义讲授,则既能分解难点又能突破难点。
【作者单位】：
【分类号】：O171【正文快照】：
极限是数学专业《数学分析》与其它专业《高等数学》的基础 ,数列极限又是极限的基础。对于既是教学难点又是教学重点的数列极限的“ε—N”分析定义 :设有数列 {xn}和常数a ,若对任意给定的正数ε(不论它多么小 ) ,总存在自然数N ,使得当n N时 ,总有｜xn-a｜ε ,则称数列 {
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