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一道概率竞赛试题的解法探讨
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一道概率题，求解~~~
某男 吹嘘自己交过多位女友， 除了3个星座以外，其他星座的都交过。 请问他有N位女
友的概率是多少？
星座一共有12个，所以N肯定是大于等于9的。请问这个离散分布的概率函数表达式是怎
P（N）=？& & （N>=9）
=================
有人说：问题等价于N个球放到12个抽屉里，最后9个抽屉里有球的概率。 我按照这个思路给出一共答案：
P（N）=0.75^n& && &&&n>=9
但是用matlab算了一下&&n从9到10000的P（N）和是0.3003， 不等于1.
所以这个答案可能不对
[ Last edited by relic on
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引用回帖:Originally posted by feiwch at
问题等价于N个球放到12个抽屉里，最后9个抽屉里有球的概率。
P=[c(9,N)*(12-3)^(N-9)]/12^N& && &N&=9
分子：9个抽屉均有球而3个抽屉均为空的样本点总数。
分母：所有的样本点总数。 这是 水木上的网友的回复，请讨论：
条件不充分吧。
如果没有你说那个信息“除了3个星座以外，其他星座的都交过”，是不是N是任何一个
自然数的概率都相等？
不太可能吧？
你只能算一下，在N是某个数字下，出现“除了3个星座以外，其他星座的都交过”的概
率。如果没有先验概率，即没有这个信息“除了3个星座以外，其他星座的都交过”时
的概率分布，那么无法知道概率分布了。
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引用回帖:Originally posted by feiwch at
问题等价于N个球放到12个抽屉里，最后9个抽屉里有球的概率。
P=[c(9,N)*(12-3)^(N-9)]/12^N& && &N&=9
分子：9个抽屉均有球而3个抽屉均为空的样本点总数。
分母：所有的样本点总数。 我觉得问题等价于：12个抽屉，9打开一下，9个抽屉有球， 球个数是n的概率。
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我觉得问题等价于：12个无限大抽屉，打开一看，9个抽屉有球， 球个数是n的概率。
p(n)>0& && & n->∞
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引用回帖:Originally posted by feiwch at
问题等价于N个球放到12个抽屉里，最后9个抽屉里有球的概率。
P=[c(9,N)*(12-3)^(N-9)]/12^N& && &N&=9
分子：9个抽屉均有球而3个抽屉均为空的样本点总数。
分母：所有的样本点总数。 我觉得你把前提搞错了。求的是P（N）的概率，不是有N个球，9个抽屉有球的概率
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题目一 、12个抽屉，打开一看，9个有球。请问 球的总数是20个的概率是多大？
题目二、有20个球，12个抽屉，9个有球的概率是多大？
我想知道题目一的答案。 题目二 还是比较常见的概率题目
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引用回帖:Originally posted by feiwch at
确实有点问题。
问题等价于N个球放到12个抽屉里，最后9个抽屉里有球的概率。这个没有问题。
P=[ c(9,12)*c(9,N)*(12-3)^(N-9)]/12^N& && &N&=9
分子：9个抽屉均有球而3个抽屉均为空的样本点总数。原来的分 ... 我觉得 你做的这个等价是不对的。
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引用回帖:Originally posted by qwerasdf2783 at
如果这种模型是对的话，你这种累加方式，从1开始加总概率是到1的，从9开始加，加到几万都到不了1，差别在前面。所以需要从新归一化，即把所有1到8的总概率分摊到其它上去。
但你这种模型只是三个星座没有的算法， ... 水木网友的回答：
如果假定 所有可能出现情况的概率都是相同的
也就是说 x=1G时 n-1个桶里各有1个球 1个桶里有1G-n+1个球 其余桶里没有球的情况
和 x=n时 n个桶里各有1个球 其余桶里没有球的情况 概率是一样的话
那么P(x)=(C(x-1,n-1))/(Σ(x>=n)(C(x-1,n-1)))
显然P(x)分母项求和的值无穷大 当x是一个固定值的时候 P(x)=0
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有网友 这样说：
这个结论从直观上来看明显是有问题的
但是从数学的推导上是没错的
那就只有是我提出的假设有问题了
我们把这个问题换一个方式再描述一下：
假设有一个发球机 可以发出任意多个球
发球机一次发出一个球 球会随机的落到其中一个桶中
在发球机发出x个球时 恰好有n个桶中有球
问x的概率密度分布
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这个结论从直观上来看明显是有问题的
但是从数学的推导上是没错的
那就只有是我提出的假设有问题了
我们把这个问题换一个方式再描述一下：
假设有一个发球机 可以发出任意多个球
发球机一次发出一个球 球会随机的落到其中一个桶中
在发球机发出x个球时 恰好有n个桶中有球
问x的概率密度分布
☆─────────────────────────────────────☆
& &luheres (鲁赫瑞斯) 于&&(Wed Jul 13 14:28:32 2011)&&提到:
那么这就从概率问题转变成一个随机过程的问题了
我还没想出可以怎么算。。。
☆─────────────────────────────────────☆
& &wenyuxi (wen) 于&&(Wed Jul 13 15:53:20 2011)&&提到:
这个好像不对吧，就这个问题的概率来说：
1、若球最后落入哪9个抽屉未定，这个式子前面至少有个c(12,9)
2、若球最后落入的9个抽屉已定，思路是先随便取9个球扔进9个抽屉，每抽屉1个，其余的
球可随意扔入9个抽屉，则每球有9种选择。
但是这个里面是有重复的，比如，
情形一：先取出1-9号球扔入1-9号抽屉，然后其余球全部入9号抽屉；
情形二：先取出1-8号球扔入1-8号抽屉，10号球入9号抽屉，其余球入9号抽屉；
这本质上是一种情况，但此运算式中却认为是2种情况。
☆─────────────────────────────────────☆
& &wenyuxi (wen) 于&&(Wed Jul 13 15:56:53 2011)&&提到:
这个答案怎么算出来的？
我取x=3,m=2,n=1,这个式子算出来是1/2
但实际上，2/2^3=1/4
☆─────────────────────────────────────☆
& &luheres (鲁赫瑞斯) 于&&(Wed Jul 13 16:17:31 2011)&&提到:
就你x=3 m=2 n=1的情况
分子有2种情况
分母有4种情况：（0 3）（1 2）（2 1）（3 0）
故而概率是2/4=1/2
☆─────────────────────────────────────☆
& &wenyuxi (wen) 于&&(Wed Jul 13 16:59:18 2011)&&提到:
但4种情况的概率并不是均等的啊
☆─────────────────────────────────────☆
& &luheres (鲁赫瑞斯) 于&&(Wed Jul 13 17:05:16 2011)&&提到:
这个问题提得非常好
如果单纯是扔球模型的话
默认是各种情况出现的概率是相等的
因为x个球都是相同的
如果考虑各种情况出现概率是不同的话
你可以看看我上面写的发球机的模型
那就是一个随机过程的问题了
☆─────────────────────────────────────☆
& &luoge (logo) 于&&(Wed Jul 13 18:46:25 2011)&&提到:
& & 我觉得按你的思路，把这个问题看做一个随机过程，好像可以解一解。具体规则为：此
男一次认识一位女友，他在本地维护一个计数器，记录已经认识的女友的星座数目，然后此
男不停地认识新女友（认为新女友会被机会均等地分配到十二个星座之一），直到这个计数
器第一次等于9为止。
& & 那么可以构建一个马尔科夫链，共10个状态S0，S1，...，S9，分别表示计数器等于几
。跳转概率也很清晰。那么原问题就等价为，计算n步能走到S9的概率。在马尔科夫链里，
这个是可以计算，虽然比较麻烦。至于，该男的女友数目的期望值，则等价于，走到第一次
走到S9的期望步数。虽然也很麻烦，但这总归也是可以计算的。
& & 不太确定，这样搞对不对。what's your idea?
☆─────────────────────────────────────☆
& &derekhh (Derek Hao Hu) 于&&(Wed Jul 13 19:52:07 2011)&&提到:
写了个程序 =0=
double f[100][4096];
int main()
& & f[0][0]=1;
& & double tot=0;
& & for(int i=0;i<99;i++)
& && &&&double sum=0;
& && &&&for(int j=0;j<4096;j++)
& && && && &int cnt=0;
& && && && &for(int k=0;k<11;k++)
& && && && &{
& && && && && & if(j&(1<<k)) cnt++;
& && && && && & f[i+1][j|(1<<k)]+=f[j]*1/12;
& && && && &}
& && && && &if(cnt==9)
& && && && && & sum+=f[j];
& && &&&printf(&%d %lf\n&,i,sum);
& && &&&tot+=
& & printf(&%lf\n&,tot);
& & return 0;
则为：此男一次认识一位女友，他在本地维护一个计数器，记录已经认识的女友的星座
数目，然后此男不停地认识新女友（认为新女友会被机会均等地分配到十二个星座之
一），直到这个计数器第一次等于9为止。
器等于几。跳转概率也很清晰。那么原问题就等价为，计算n步能走到S9的概率。在马
尔科夫链里，这个是可以计算，虽然比较麻烦。至于，该男的女友数目的期望值，则等
价于，走到第一次走到S9的期望步数。虽然也很麻烦，但这总归也是可以计算的。
☆─────────────────────────────────────☆
& &derekhh (Derek Hao Hu) 于&&(Wed Jul 13 19:53:20 2011)&&提到:
0 0.000000
1 0.000000
2 0.000000
3 0.000000
4 0.000000
5 0.000000
6 0.000000
7 0.000000
8 0.000000
9 0.003868
10 0.014505
11 0.031025
12 0.049862
13 0.067061
14 0.079825
15 0.086959
16 0.088604
17 0.085720
18 0.079595
19 0.071506
20 0.062530
21 0.053479
22 0.044900
23 0.037117
24 0.030283
25 0.024435
26 0.019529
27 0.015482
28 0.012188
29 0.009538
30 0.007424
31 0.005753
32 0.004440
33 0.003416
34 0.002619
35 0.002003
36 0.001529
37 0.001164
38 0.000885
39 0.000672
40 0.000509
41 0.000385
42 0.000292
43 0.000220
44 0.000166
45 0.000125
46 0.000095
47 0.000071
48 0.000054
49 0.000040
50 0.000030
51 0.000023
52 0.000017
53 0.000013
54 0.000010
55 0.000007
56 0.000005
57 0.000004
58 0.000003
59 0.000002
60 0.000002
61 0.000001
62 0.000001
63 0.000001
64 0.000001
不知道对不对……
☆─────────────────────────────────────☆
& &xanatos (crossPhenixGate) 于&&(Wed Jul 13 20:02:50 2011)&&提到:
感觉还缺假设，否则所有P(N)可以是相等的
☆─────────────────────────────────────☆
& &xanatos (crossPhenixGate) 于&&(Wed Jul 13 20:04:12 2011)&&提到:
☆─────────────────────────────────────☆
& &derekhh (Derek Hao Hu) 于&&(Wed Jul 13 20:46:25 2011)&&提到:
刚才那个程序k那层循环应该是到12，不是到11
而且我求的东西也不对...
我求的是“该男如果有N个女友，这N个女友恰好占用了9个星座，那么概率是多少...&
和题目的要求也不一样...
☆─────────────────────────────────────☆
& &derekhh (Derek Hao Hu) 于&&(Wed Jul 13 20:52:40 2011)&&提到:
记A=&该男有N个女友&, B=&该男的女友分布满足条件&
因此P(A,B)=P(B|A)P(A)
我们现在只能求出P(B|A)，但是没有任何关于P(A|B)的信息吧，因为无法求出P(A)和
P(B)，所以无法估算P(A|B)?
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＞＞＞甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6..
甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差
题型：解答题难度：中档来源：武汉模拟
（1）记甲乙分别解出此题的事件记为A和B设甲独立解出此题的概率为P1，乙独立解出为P2则P（A）=P1=06，P（B）=P2P（A+B）=1-P（AoB）=1-（1-P1）（1-P2）=P1+P2-P1P2=0.92∴0.6+P2-0.6P2=0.92，则0.4P2=0.32 即P2=0.8（2）由题意知变量的取值可能是0，1，2，P（ξ=0）=P（A）oP（B）=0.4×0.2=0.08P（ξ=1）=P（A）P（B）+P（A）P（B）=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44P（ξ=2）=P（A）oP（B）=0.6×0.8=0.48∴ξ的概率分布为：∴Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4∴Dξ=（0-1.4）2o0.08+（1-1.4）2o0.44+（2-1.4）2-1.48=0.4+0.
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6..”主要考查你对&&概率的基本性质（互斥事件、对立事件），离散型随机变量的期望与方差&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
概率的基本性质（互斥事件、对立事件）离散型随机变量的期望与方差
互斥事件：
事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥。
对立事件：
两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做。 注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。
事件A+B的意义及其计算公式：
（1）事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。 （2）如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。 （3）对立事件：P（A+）=P（A）+P（）=1。 概率的几个基本性质：
（1）概率的取值范围：[0，1].（2）必然事件的概率为1.（3）不可能事件的概率为0.（4）互斥事件的概率的加法公式：如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。 如果事件A，B对立事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）=1。 互斥事件与对立事件的区别和联系：
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。数学期望的定义：
称为ξ的数学期望或平均数，均值，数学期望又简称为期望，它反映了随机变量取值的平均水平。
方差的定义：
称为ξ的均方差，简称为方差，叫做随机变量ξ的标准差，记作：。期望与方差的性质：
（1）；（2）若η=aξ+b，则；（3）若，则；（4）若ξ服从几何分布，则。求均值（数学期望）的一般步骤：
(1)首先判断随机变量是否服从二点分布、二项分布或超几何分布，若服从，则直接用公式求均值．(2)若不服从特殊的分布，则先求出随机变量的分布列，再利用公式求均值。
方差的求法：
(1)若随机变量X服从二点分布或二项分布，则直接利用方差公式可求．(2)若随机变量X不服从特殊的分布时，求法为：
发现相似题
与“甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6..”考查相似的试题有：
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