Lebesgue可测的非Borel集
Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可测的非Ｂｏｒｅｌ集文松龙，姜今锡，金元泽（数学系）摘要Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可测集比Ｂｏｒｅｌ集要多得多，可是要想给出一个具体的非Ｂｏｒｅｌ集的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可测集是比较困难的．本文试图在直线上构造出一个非Ｂｏｒｅｌ集的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ可测集．定理１设直线上的Ｉｋｌｌｅｑｕｅ可测集全体为乙Ｂｏｒｅｌ集全体为Ｂ，则Ｌ：了＞卜Ｃ证明对任意开区间（ａ，ｂ），存在有理数列｛ａｄ，｛ｂ小使得ａ＜ａｎ＋；＜ａｎ＜ｂｎ＜ｂｎ＋；４ｂ，且ｌｉｍａｎ－ａ，ｈ！ｎｔｏｂｎ－ｂ·因此（ａ上）一Ｕ（、。ｂ、）．记Ａ为所有有理数为端点的开区间以及它的余集所成的集合，则Ａ一ｚ因为开集可以表示成至多可数个开区间的并，所以每个Ｂ。ｒｅｌ集都可以用Ａ中的至多可数个元素经至多可数次并以及交运算得到的，因此它与Ａ中的可数个元素的排列以及交（ｎ）与并（Ｕ）运算的排列（按运算顺序）对应．而取Ａ中可数个元素进行排列至多有ａ“一ｃ种（考虑Ｎ到Ａ中的映射全体）排...&
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1引言及引理 在文〔1〕中给出T Lebegu。可测的非B。rel集,但它的所谓Cantor函数很复杂,不易求出原象集,故也不是一个令人满意的构造性证明。本文先给出IJ e be sgue不可测集的‘个充分条件,再以此为工具构造出一类Lebesg。。可测的非Borel集,在此之前又给出一类L ebegue不可测集。以下设m是定义在少·的某些子集上的满足Carath‘。dory条件的在平移下不变的Lebesgue测度,在给出主要结果之前,叙述若干引理女吓。 引理1对任何可测集姓g夕”,m(A)o,存在一个正数d使得(二+A)nA爷必只要Ixl。,如果存在点列{戈。}招;,戈。,0(。,OO),二。笋0,v。,使致(劣,+A)nA=功,那么A是不可测集。这里m‘A是A的外测度,即导出Leb‘s:ue测度m的外测度。‘. 〔证明〕由引理1立得.证毕 定义1称引理2中的不可测集为S型不可测集,或者简称S一型集 引理3设A二夕”,。’Ao...&
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μ＊可测集族的一个重要性质陈俊雅（天津师范大学数学系）摘要本文证明了μ＊可测集族Ａ＊的一个重要性质，即对于由Ａ上的测度引出的外测度μ＊，Ａ＊是所有包含Ａ且使μ＊在其上为测度的σ代数中最大的一个．关键词测度外测度μ＊可测集μ＊可测集族分类号Ｏ１７４．１２设Ｘ是一个任意集，Ａ是Ｘ上的一个集族，且Φ∈Ａ，μ是Ａ上的一个测度．令μ＊（Ａ）＝ｉｎｆ｛μ（Ｂ）：Ａ?Ｂ∈Ａ｝易知μ＊是Ｘ上的一个外测度，称其为由μ引出的Ｘ上的外测度．设Ａ＊是μ＊可测集族，即由全体μ＊可测集组成的集族，易知Ａ＊是包含Ａ的一个σ代数，μ＊在Ａ＊上是测度，且在Ａ上μ＊＝μ．在测度扩张的理论研究中，人们感兴趣的是在所有包含Ａ且使μ＊在其上为测度的σ代数中，是否存在比Ａ＊更大的σ代数？如果存在，那么利用外测度μ＊可将测度μ扩张到比Ａ＊更大的σ代数上去．本文证明了所有包含Ａ且使μ＊σ在其上为测度的σ代数都不大于Ａ＊，因此利用外测度μ＊已不可能将测度μ扩张到比Ａ＊更大的σ代...&
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〔1〕中第八章命题14中,在可测集族A上给出 定义1若常值函数1是可测的,A上集函数拼定义为:VE〔A,川召)二J(x:),当E可积;及川E)二:uP{川五):AcE且A可积},则拌是6代数A上的测度。 利用积分定义测度,一个基本要求是: (F)E的测度有限当且仅当F可积。此点在〔1〕第八章命题15的证明中不可避免地用到了。现在我们给出一个例子,说明存在可测集E,按定义1,川E)有限,但E不可积。于是定义1不满足(F),所以是不恰当的。 例设L。是[0,1〕,R满足卞述条件的全体函数的集:vf〔L。,福二〔[0,l]:f(二)子。}是可数集。 线性泛函I。:L。,R定义为Vf〔L。,I(j)二0. 易证L。是一个线性格,I。是L。上一个Daniell积分。 命肠,L。十=L。且Vf〔L。十有I。(f)=O。 证明若f〔L扩,则存在f。〔L。(n=i,2,……)使fn个f.因为考二〔[0,1]:f(二)价o}c=U{x〔〔o,z〕...&
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IntroductionPursuitgameisoneoftheoldestsubjectsstudiedingametheory .Therearealotofdecision makingsitua tionswhichcanbeformulatedaspursuitgames ,andtheapplicationsarewidelyextendedinmanyareassuchasmilitary ,economy ,politics ,etc .In 1970’s ,R .Issaca[1] .detailedanalyzedandsummarizedthiskindofgamesandrelatedresultsinhisbookDifferentialGames .SomeofrecentcontributionscomefromL .A .Petrosjan[2 ] .HisbookDifferentialGam...&
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乘积空间中的可测集杜长安（数学系）摘要用拓扑方法研究乘积空间中的可测集及其截面之间的关系，并由此作出乘积空间中的一个不可测集。关键词可测集，零集，紧集，截面设Ｒｐ＋ｑ＝Ｒｐ×Ｒｑ是ｐ维欧氏空间Ｒｐ与ｑ维欧氏空间Ｒｑ的乘积空间。Ｅ是Ｒｐ＋ｑ中的点集，对于ｘ∈Ｒｐ，称Ｒｑ中的点集Ｅｘ＝｛ｙ∈Ｒｑ｜（ｘ，ｙ）∈Ｅ｝为点集Ｅ的ｘ－截面。用ｍ表示Ｒｎ中的Ｌ测度。关于乘积空间中的可测集及其截面之间的关系，在许多著作中都有深入的讨论，并且借助于Ｌ积分完全解决。本文将通过另外的途径用拓扑方法，而不用可测函数和Ｌ积分探讨这方面的关系，并由此构造出乘积空间中的一个不可测集。定理１设Ｅ是Ｒｐ＋ｑ中的可测集，则Ｅ为零集的充分必要条件是，对于几乎所有的ｘ∈Ｒｐ，Ｅｘ都是零集，即Ｅ的例外集Ｓ（Ｅ）＝｛ｘ∈Ｒｐ｜Ｅｘ不是Ｒｑ中的零集｝为Ｒｐ中的零集。该定理必要性的证明见［１］。其充分性的证明一般都要依赖Ｌ积分的性质，本文将采用拓扑的方法给予证明。定理２设Ｅ是...&
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在现行的一些实变函数论著作中,对干可测集、不可测集巳经给出了如不结论:1)具有正测度的可测集必含有不可测子集L‘〕,2)不可侧集必含有不可测子集l“’;3)对不可测集E,有可测集E内,E外:E内cEcE外,且林E内=卜.E,卜E外=卜,E““‘等。但对可测集、不可测集及它们之间的关系均缺乏进一步的讨论。 本文首先引进三个引理,进而给出并证明了两个一般性的结论,即定理l与定理2。最后我们采用反映不可测集构造的某些特征的方法,构造一个不可测集。 为简便计,我们只考虑实直线上的点集。1关于可测集、不可测集之间关系的两个结论 引理1没E为仕一可测集(有界或无界),E的测度为林E,则对任一广义实数价O《。《林E,都有可测集AcE,使卜A=a。 证1)令f(x)二卜{〔一x,x〕门E},x〔〔o,+co),由E可测知f(x)在〔o,+co)上有意义。显然f(二)在〔0,一十co)上非负、不减。下面证明f(x)在〔0,+co)上连续。 ①任取...&
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为什么会出现勒贝格积分
这个问题等价于勒贝格积分和黎曼积分有什么区别。其实这个区别没有那么玄，反而很好解释。问题的根源在于黎曼积分的定义上。黎曼积分：.黎曼积分是在轴上做的分割，虽然可以分割得很细，但只要被积函数在这个分割区间上的上界和下界的差不能被控制到很小时就有可能使得分割和不唯一。换言之，此时这种奇葩的函数在黎曼积分意义下不可积。这反过来也暗示了黎曼可积时被积函数不能变化太突兀。在这样的定义下，狄利克雷函数作为极品的代表冲垮了黎曼积分的防御范围。所以，为了使更多奇葩的函数可积，需要新的角度去定义积分。既然值域不安定，那就在值域上分割吧。当值域分割得足够小时，每一段值域所对应的定义域就不是区间，而是可测集。定义如下勒贝格积分：所以，为了准确地刻画勒贝格积分，就要首先定义好可数，不可数，可测集，不可测集这些概念。更重要的是，勒贝格积分此时也拓展了我们对勒贝格可积函数的理解：它可以很灵活。为什么这么说呢？假设积分区间是[0,1]，我们以前考虑黎曼可积函数时就只能从0开始到1，对应的值域也就只能从左边呈现到右边。但现在在勒贝格可积下，我可以把[0,1]按对应值域的近似可以打散成很多个可测子集，这些子集允许毫无顺序，其对应的值域自然也会毫无顺序。所以，在勒贝格可积意义下，根本就不必理会函数的整体性，根本不必理会这个函数是否连续(【积分自然也不要求函数连续，我意在指出勒贝格积分从诞生的这一刻开始就已经不用考虑连续，但从黎曼积分的定义看，它受连续性质影响，积分在连续前提下堪称完美】)。显然我们至此对函数的认识已经跃升到一个新的层次，进入到可测函数这块领域。你看，勒贝格积分远不止对函数的可积提供了一种新思路，更重要的是完全拓展了支撑其这个理论的新体系。这，就是勒贝格积分的深刻之处。
3.不能不谈的可测函数
对，我们前面从勒贝格积分引出可测函数，而课本是先介绍好各种支撑体系的准备最后才进入到勒贝格积分的。这看起来似乎跟教材的安排相反，不，这恰恰很自然。我们需要研究可测函数才方便后面探讨勒贝格积分的性质。这里整篇文章都是执果索因，我们从勒贝格积分出发，一步一步挖掘新的支撑理论。当然这是后话了。我们高中就已经知道函数的三要素是定义域，值域和对应法则。从前面的叙述我们可能已经隐约感觉到，研究可测函数，关键是函数的定义域，即可测集。所以我们谈可测函数前，首先得来认识什么是可测集。简单来说，具有测度可加性的集合叫可测集。不具有可加性的集合自然就叫不可测集。到这里可以打住了，可以直接跳到可测函数那里，如有兴趣不妨看完*号里面的内容。********************补充&什么叫可加性&*********************集合的外测度：设是的点集，是中的一列开长方体，，则确定一个非负的数.记&，是开长方体称为的勒贝格外测度。集合的可加性体现在外测度上：如果，有，则说外测度对集合和有可加性。看到这里可能有朋友吐槽了：擦，这不是很显然吗?!不，确实是有些集合的外测度不具可加性的，相关例子在《实变函数》或《实分析》都可以找到。为什么要引入测度，可见：******************************************************OK，回到可测函数上来。定义：假设,是上的函数，如果对任意常数，集合都是可测集，则称是上的可测函数。考虑到我们接触到的集合都不算什么极品，这个定义意味着：几乎我们接触到的函数都是可测函数。
4.可测函数的分析性质
这个分析性质主要是逼近方面的。我们以前学习过数学分析，知道函数列也有极限，连续，收敛和一致收敛的相关定理。没错，勒贝格积分论就借鉴了这种思路，同样探讨可测函数列的极限，连续，收敛和一致收敛。4.1 几乎处处收敛的逆袭(类似屌丝の逆袭&&)对于函数列来说，一致收敛&收敛&几乎处处收敛&依测度收敛(有限测度集下)。但只要可测函数列去掉一个测度几乎为0的可测集后，倒是可以从几乎处处收敛变成一致收敛的。很惊讶吧&定理(两个命题等价)&，存在可测子集，s.t.&，而在上，.---------------------勒贝格定理(几乎处处收敛&依测度收敛)--------------，，，是几乎处处可测，若4.2&定理(依测度收敛到几乎处处收敛の逆袭&&)但这个逆袭是局部的设，是上的可测函数，如果，则子序列,使得.4.3 几乎处处有限到连续当然这个连续是勒贝格积分体系下的连续，不过其实其概念本质跟古典分析一样，只是用集合来阐述。不过仔细想想，古典分析其实也是用集合(区间)的。这仅仅是表明的，事实上勒贝格积分定义下的连续跟古典分析中的定义有区别，他是否连续会很依赖于给出来的集合。换句话说，不同集合下，函数的连续性可能不一样。定理具体我就不给出明确的数学描述了，大意是：可测函数在有限测度集几乎处处有限，存在一个测度几乎等于的闭集，在这个闭集上连续。从前面看来，可测函数(列)似乎在定义域上稍稍处理就可以有很好的性质。但到这里我开始有疑问：在勒贝格积分下并不能去掉的那非0可测集，如果不能去掉这些性质在勒贝格积分下还有什么意义呢？哈，现在这里卖个关子，后面会继续解释。&&(其实这是我后来补上的，当时确实很困惑)
5.勒贝格积分的交换问题
5.1 极限与积分号的交换回忆一下我们在数学分析中积分和极限的交换要求是什么？&即极限符号什么情况下可以放到积分号里面？对，一致收敛。但一致收敛要求太高，很多情况下实际上很难做到，我们希望大部分函数都可以不用考虑一致收敛而直接放到积分号里面算极限。既然可测函数那么灵活，是否可以放宽这个交换条件呢？答案是肯定的。&定理1)&是上的非负可测递增函数序列，即2)&则5.2 逐项连和与积分号的交换即&何时在勒贝格积分下成立？其实这由定理可以推出，即基本定理，当然函数列依然要是非负可测函数列。这个推论并不困难令，这样满足定理中的条件，有嗯，这看起来什么问题都解决了。不，其实下面是吐槽时间。你看看定理使用条件，先要是非负，还得是递增序列，最后还得是几乎处处收敛。。。擦，这不是坑爹吗？有木有！有木有！！大佬，我就是想交换一下极限和积分符号而已，用得着这么折磨人吗？
6.控制收敛定理最后的逆转
前面在第四节我就提出了一个尖锐的问题：如果可测函数列的性质不能用在勒贝格积分中，那研究它还有神马意思？但要用到它，必须正面回答一个问题，在那个测度差不多为0的可测集上的积分是否可控在一个很小的范围内？积分的绝对连续性完美地回答了这个问题。若在上可积，则对，，使得，且时，.说实话，我觉得这是实变里面非常重要的定理，虽然它没有什么响亮的名字。OK，既然那个很小的可测集没有影响，那就好办了。update：后来我在曹广福的博客里看到了类似的分析，没想到我们都对这一点感到非常惊叹！&控制收敛定理指出：若是上的可测函数列，，如果，则在上可积，且看，这个定理比定理好很多了。当然定理中如果能找到一个常数(这自然是勒贝格可积的)的话就更好看了，事实上这就是有界收敛定理。很多人在刚接触这两个定理的时候容易混淆，但其实很好理解。控制收敛定理里面有个控制函数，而用一个有界数去代替的话就是有界收敛定理了。这很通俗易懂啦~~哈哈啰嗦一下，控制收敛定理中并没有说一定为&有限可测集&，但如果是&无限可测集&的话，此时上几乎处处收敛的函数列不一定是依测度收敛的。但没关系，定理依然成立。写了这么多，我们已经有足够的依据来说明为什么勒贝格积分要从黎曼积分中独立出来了。因为勒贝格积分有更一般性完整的理论体系，而这个理论并不依赖黎曼积分。既然黎曼积分解决不了那就进入另一个能解决的完整体系中处理啊，所以把勒贝格积分独立出来是很自然的事。
阅读(...) 评论()重修微积分8——积分
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|个人分类:|系统分类:|关键词:测度,勒贝格积分|
一元非负函数$f(x)$从a到b的定积分，可以很直观地看成是这函数与x轴中[a，b]区间所夹的面积。在几何上，牛顿很直观地将[a，b]分割成细小的区间$\Delta &x$，以此为宽度的小长方块来填充或覆盖逼近这个面积，$\sum _i f(x_i)\Delta x$，当$\Delta &x$趋于零时它趋于这曲线所围的面积，莱布尼茨形象地把这个极限记为：$\int _a^b f(x)dx$。多元函数的多重积分是类推到高维体积的度量。面积和高维体积按照这样计算的本质就是勒贝格测度。积分作为描述物理世界的数学模型，这是它所要求的属性。测度的计算是将整体切割成规范的部分，测算累加而成。上述牛顿的定义是按纵条切割的算法，叫做黎曼积分。面积也可以按横条来切割，把函数的值域区间细分，$\sum _i &m(f^{-1}([y_i, y_i+\Delta y])) \Delta y$，算$\Delta y$ 趋于零时的极限，这个算法收敛的极限叫勒贝格积分。（数学语言的定义见【1】，直观见图，图像来自网络下载）显然无论是用哪一种算法，它们计算所指的面积或体积是一样的，也应该相等的。将积分作为描述实践对象的数学模型，无论是用哪种测量计算方法，它们必须相等才有实用意义。这些面积或体积作为一种测度，如果按照不同的分割方法（即不同的积分定义）都有计算结果，在逻辑上也可证明是相等的。所以，如果黎曼积分和勒贝格积分都存在，它们相等。如果函数具有负值，可以看成它是两个非负函数的相减。也就是两块面积体积或测度的相减，所以上述的结论也适用于一般的情况。函数f在集合E上的勒贝格积分，记为$\int_E f d m$，这里E是可测集，f是E上可测函数，m是E上的测度。当E是个区间时，它通常也用与黎曼积分相同形式的式子。请注意，对勒贝格积分，它只是沿用黎曼积分的形式记号，不再具有莱布尼茨那种对dx的符号解读。在可以缺省所指的测度和集合时，甚至将它记为 $\int _E f $ 或 $\int f $因为所有黎曼可积的也是勒贝格可积，而且相等，借用相同积分形式的记法不会引起混淆。当你读论文里公式推导，看到不满足初等微积分相关的定理条件，居然也通行，不是作者不严谨，或误以为应用上不需要严谨，而是式子里指的是勒贝格积分。勒贝格积分中测度、可测集，可测函数的术语吓住了许多对它们不熟悉的人，不敢使用。其实只要理解这是和黎曼积分一样应用，并具有更宽松应用条件的数学模型就不难了。黎曼积分的区域是可测集，能进行黎曼积分的函数是可测函数。黎曼积分都可写成勒贝格积分。在细节上：当E是一维时这里的勒贝格测度就是长度，二维时是面积，高维时是体积类推；说f是E上的可测函数，其定义是在E中f函数值大于任给一个数所有点形成的集合，都是可测集。大致说来，可测集包含了非数学专业人可以想象到的任何集合。迄今所知的勒贝格不可测集，都是用选择公理构造出来的无穷世界里的怪胎。如果你在物理或工程应用中涉及勒贝格积分，除非得到惊人违反常识的结果，大约都可放心地认为，你用到的都是可测集和可测函数。你大约还没有足够的运气和能力，构造出不可测集或不可测函数来犯错误。既然这两种积分都一样，为什么黎曼积分用了几百年后，被称为经典分析而渐渐淡出，上个世纪初发展的勒贝格积分被广泛应用，并看作是近代分析的开端呢？简单的答案是：应用黎曼积分在积分区域、积分函数及参与其他无穷过程时，有许多限制，而勒贝格积分解决了这些麻烦。它们是对相同应用的不同测算方法，就像原来用木尺丈量土地，现在改为用测距仪来测量一样，更有效的新方法必然会取代旧的，需要的只是熟悉。观念转换需要时间来消化，所读课本需要更新，个人则像是跟了不同师傅学了不同的功夫而已。观念的不同带来了眼界的不同。经典分析一直徘徊在有限的视野和无穷的梦魇中。站在有穷世界的岸边，用无穷过程来窥视对岸的实无穷。想尽量保持有限世界的直观和逻辑上的严谨。这种囿于有限世界的观念和对无穷实质的回避，使得触及无穷时缩手缩脚，理论结果支离破碎。而勒贝格积分则基于包括有限和实无穷集合的测度研究上，以逻辑为骨架来拟合修正过去经验形成的概念。只要善于纠正陈旧观念形成的误区，在新的直观下，便能欣赏更广阔世界中简洁一致的美。测度是从0到无穷大的量度。在包含着正负无穷大的扩充实数里，它们间的四则运算除了规定0乘无穷大仍为0外，其他都与中学关于无穷大的知识一致，包括了无穷大减无穷大没有定义。在勒贝格积分中，函数和积分的值域都是定义在这扩充的实数上。不难想象和证明，对于非负可测函数，勒贝格积分都存在。可测函数可以分解成两个非负可测函数之差，所以只要它俩的积分不都是无穷大，可测函数的积分都存在，在应用上都有意义。注意勒贝格积分存在，包括了它的积分值可能是无穷大的情况，所以勒贝格积分通常都存在。而勒贝格可积函数指的是积分值是有界的，显然，勒贝格可积等价于它是绝对可积的。黎曼积分是定义在有界区间上有界函数的积分，这时勒贝格积分也有界，所以黎曼可积，勒贝格也是可积的。勒贝格积分定义在任何可测集上，包括可以黎曼积分的区间，和无界的全空间。黎曼积分要推广到无界的区间，它通常被定义为有界区间上积分的对称上下限无穷的扩展，在想象上比较直观，但这是个有疵瑕的形式扩展。例如，对于在0点从-1到1的阶跃函数，广义黎曼积分值是0，勒贝格积分不存在，对于周期函数也是如此。有些书上作为黎曼可积，勒贝格不可积的例子。但阶跃函数的广义黎曼积分，不满足平移不变性，若坐标向左或右平移一点，它的黎曼积分值就不同了。对周期函数如果黎曼积分的上下界不是对称地无穷扩展，它们的极限积分值也不一样。这用于描述物理世界，对应着测量的坐标变化和计算的方法不同，则意味着测算物理量的不同。所以对应于数学模型描述的对象，勒贝格不可积的结论正确地反映了这种不可计量的情况，广义黎曼积分则给出误导的答案。在推广到无穷的区域，广义的黎曼积分无论如何定义都有疵瑕。黎曼积分最大的问题是，在与取极限、无穷级数、多重积分等运算的交换顺序，必须在很严格的条件下方为可行，这在应用上极不方便。实际上黎曼绝对可积的函数，在绝对值积分的范数下不是个完备的空间，这就像我们只在有理数域谈几何公式和代数应用，处处受到局限。从另一种观点来看，勒贝格积分可以定义为可积空间完备化的手段，它将函数绝对值黎曼积分为范数的计算方法更进，勒贝格可积函数是包含了黎曼可积函数的巴拿赫空间L1。【4】为什么勒贝格积分会带来了这么多的便利？我们先用零测集牛刀小试。黎曼积分在基本定义中假定被积的函数是连续的有界的，但应用中不一定都那么理想，可能有些间断点的“毛刺”，它的技术处理是分段来积分，然后将它们加起来，绕过这些疵点。在疵点是有限数目时，这样处理没有问题，但如果有无穷多个呢？勒贝格积分告诉我们，如果这些疵点是零测集，把它们刨去换成任何数值，都不影响积分结果。黎曼积分和勒贝格积分如果同时存在，它们的数值必然相等。例如，Dirichlet函数D(x)，当x是有理数时为1，无理数时为0；它在[0,1]区间的勒贝格积分为0，但不是黎曼可积的。我们知道可数个点集是零测集，有理数是可数的，所以是零测集，将这些点的函数值都置换成0，便是恒为0的常数值函数，这时黎曼积分也是0. 用这个方法“修理”黎曼积分中有疵瑕的函数，便得出黎曼积分的一个重要定理：区间[a,b]上函数f是黎曼可积的，必须且只需f在[a,b]上的不连续点是零测集。在积分和概率计算中都可以忽略零测集，这引入了常见的一个数学术语“几乎处处”（almost everywhere），简记为“a.e.”。如果两个函数不相等点的集合是零测集，叫做它们是“几乎处处相等”，它们的勒贝格积分相等。因此可以用一个几乎处处相等“良好的”函数来替代它计算。一个函数除了有个零测集外是有界的，叫做“几乎处处有界”。对积分的所有定理，可以把有界函数的条件换成“几乎处处有界”。闭区间上黎曼可积的函数，当且仅当是几乎处处连续的。黎曼积分积分号里函数序列取极限，要在很强的条件下才能与积分号交换顺序。而“勒贝格控制收敛定理”说：在积分的集合上，只要它们的绝对值几乎处处不大于一个勒贝格可积函数，它们就几乎处处逐点收敛到一个函数，函数序列取极限就可以与勒贝格积分号交换顺序。对于几乎处处一致有界的可测函数序列，勒贝格有界收敛定理给出更宽松的收敛要求，它只要这序列是按测度收敛就可以与积分号交换顺序了。什么是“按测度收敛”呢？就是说，这序列函数与其极限函数不同之处，将会趋于零测集。对于$\mathbb{R}^n$区间上勒贝格可积的函数，Fubini定理说，它的积分等于任何顺序的多重积分，也就是说可以任意地交换积分顺序。牛顿—莱布尼茨公式描述了微分与积分的关系。记$F’(x) = f(x)$，有$ \int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$，直观图像是，F曲线划分成n段折线，计算折线y轴上的增量与x轴增量之比，其导函数是当n趋近无穷大时，这些比值的极限。对这个导函数的积分，可以看成逼近导函数的这些折线比值与x轴增量的乘积累加的极限，很明显它是这些折线在y轴增量之和，因此等于这曲线在y轴数值之差。在黎曼积分里这个定理要求被积函数在[a,b]上是连续的，或说原函数是连续可微的。在勒贝格积分里，我们有：原函数F在[a,b]上是绝对连续的，等价于它是勒贝格可积函数f的不定积分，且有牛顿—莱布尼茨公式关系。F几乎处处可导，其导数几乎处处等于f。这结论要比黎曼积分强多了，也更靠近直观想象。仔细读过这篇文章，必要时将你应用积分推导的公式后面加个“（L）”，表明这是勒贝格积分，那么它“几乎处处”会让你免除许多严格条件限制的烦恼，和数学上不严谨的责难。勒贝格积分除了与黎曼积分同样应用在$\mathbb{R}^n$上，且有更自由积分区域外，还通用于任何定义有测度的抽象集合，例如随机过程在概率空间上的积分。勒贝格积分极大地提高了你的数学武功，只是你想深入其中纵横自如，则要走出历史旧观念的局限，改练无穷世界的测度基本功。（待续）&【扩展阅读】维基百科，勒貝格積分维基百科，维塔利集合维基百科，微积分基本定理关肇直等，张恭庆，冯德兴，线性泛函分析入门，上海科学技术出版社，1979&
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