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以初中的数学水平，可以去学微积分么？
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不好，高中的求导，极限知识并不是那么好学的，更不要说更深层次的微积分了，除非你对数学有很好的兴趣，那样还是可以的
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爱因斯坦小时候数学不好？15岁就能掌握微积分
我们从小就听到过很多有关于名人的各种典故，或是轶闻趣事、或是热血励志。这些典故被我们广泛的运用到从小学到高中的每次语文作文当中，成为了我们学生时代的老朋友。但是我们可曾思考过，这些或多或少曾对我们的成长有所影响的典故真的是确有其事么？1数学不好？我们印象中爱因斯坦的小时候简直是不忍直视，3岁左右才学会说话，7岁之前都很，在小盆友们看来是一个自卑自闭的家伙。他的数学成绩不好，经常考一分，连老师要求制作的小木凳都做不好，做成了老师眼里的“世界上最丑”。但就是这么一个又笨又挫的熊孩子，经过自己不断的努力成为了世界上最伟大的物理学家之一。但其实爱因斯坦小时候也是相当厉害的，并没有我们看到的那些文章中描述的如此不堪。他的数学成绩总是一分不假，但是在德国的教学评分系统中分为1-6一共6个分档，一分是最优秀的级别。爱因斯坦本人对于这个传言也曾做出过回应表示：“我的数学从来没有不及格过，15岁的时候就已经掌握了微积分”想想我们有多少人在上大学的时候看见微积分还仍然是如临大敌，人家15岁就能完全掌握，这样的天才你说他数学总不及格，谁能信？有意思的是数学不及格的说法是假的，可大物理学家确真的在物理学科中有过不及格的记录，再一次爱因斯坦的展览中，展出的爱因斯塔在瑞士苏黎世联邦理工大学读书时的一张成绩单，向我们揭了老底。2名言还有后半句？我们印象中爱迪生的这句“天才就是百分之九十九的汗水加上百分之一的天分”这句名言可以坐上是小学作文金句排行榜头把交椅。对从小立志当科学家的低格君来说，励志程度高达99个百分点。但是最近网上盛传的名言的后半句：“但是那百分之一的天分比百分之九十九的汗水重要得多。”将低格君小时候的科学家梦想击得粉粉碎，也顺便将大部分网友的三观刷新了一遍，激起了大家抵制官谣的热烈情绪。可这个反官谣的言论本身就是个谣言。这其实这句话最早出自1932年9月美国的哈泼月刊，其月刊刊登的英文原文翻译过来大概是这个意思：“我没有一项发明是碰巧得来的。当看到了一个值得人们投入精力、物力的社会需求有待满足后，我就一次又一次地做实验，直到它化为现实。这得最终得归于百分之一的灵感和百分之九十九的汗水。因此，天才不过是一个经常能完成自己工作的聪明人而已。其实并没有什么所谓的后半句，这段经典的名句也是爱迪生引用了别人的一句话，可就变成了爱迪生的金句名言。那些所谓的后半句，可能更多是是针对中国教育制度不满的一种宣泄。3比尔盖茨辍学创业？我们印象中比尔盖茨在哈弗辍学创业建立微软，一跃成为世界首富的故事曾在凛冽的寒风中激励了多少有志创业的热血青年。故事几乎成了只有创业梦想，没有创业实力的创业狗的金字宝典，更有一些本来就不爱学习的少年，把辍学看成了通往创业大门的秘密钥匙，你不辍个学以后都好不还意思跟别人提创业两个字。比尔盖茨的后辈扎克伯格辍学创建Facebook，更是为辍学创业的经典模式再镀了一层金。光看贼吃肉，不看贼挨打。人家盖茨能够成功可不是随随便便辍个学就能成的。盖茨出生在律师世家，家境那是相当的好，从小就读各种要花大价钱才能上的私立学校。本来可以安安稳稳当富二代的盖茨却选择要用自己的实力说话，在中学阶段就积累了近万小时的编程经验。在那个计算机并不普及的年代，中学时代编程近万小时是什么概念?并不是每个富二代都像盖茨这样努力。而盖茨从哈佛的退学，完完全全是因为盖茨觉得在哈佛并不能学到对自己有用的东西了，为了不浪费自己的时间，才毅然决然的退了学。成功并不简简单单的是99%汗水+1%天分，而是极高的天赋+高于常人的勤奋+优越的环境+一点点运气。4“俗话说”害死人“俗话说”“古人云”这两个标签几乎是辩论赛、电视剧、电影里面真理的象征，让人无法反驳。但这些俗话中有很多都是以讹传讹，歪曲了说这些话的人原本的意思，结果就是南辕北辙，为何多人的许多可笑的观点，提供了理论依据。人不为己，天诛地灭本意：人要是不修为自己，提高自己，就会天诛地灭。俗话说：到了现在大部分人都理解成了，人要是不为了自己就会天诛地灭，也不知道是哪个自私到一定境界的人最开始这样以讹传讹的。量小非君子，本意：改一个字毁一句话系列，人家原本是“无度不丈夫”，气度啊气度。俗话说：什么时候凶狠毒辣也成了大丈夫所为了。刑不上大夫，礼不下庶人本意：不会因为是大夫之尊就免于刑罚，不能因为对方是平民就疏于礼数。俗话说：意思却截然相反了，刑罚不能用于大夫，穷人活该不受待见……以德报怨本意：这个是典型的还有后半句系列。原文是这样的：或曰：“以德报怨，何如？”子曰：“何以报德？以直报怨，以德报德。”没教我们要以德报怨。俗话说：现在有点抑善纵恶的意思，打你左脸，应该把右脸伸过去，很像基督教的教义。相濡以沫本意：少后半句又一力作。原文是这样的：“泉涸，鱼相与处于陆，相呴以湿，相濡以沫，不如相忘于江湖。”再也不相信爱情了。俗话说：虽然歪曲了原文的意思，造出了这么美好的一个，也不错。不孝有三，无后为大本意：不孝顺的事情有三件，其中又以不守后代之责为大。后代之责和生孩子没多大关系的。俗话说：不生孩子就是最大的不孝，成为了公公婆婆编排生育有困难的儿媳的不二金句。结语我们熟知的典故、古语，有不少都是和原意不太一致的，甚至是虚构出来的，俗话说养成了我们的惯性思维，很少会想到这么做是为什么，到底对不对了。
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&汗青&是史册的意思，但是，&汗&字前面的一个帖子，数学是什么，被骂的。。。。。 其实那个帖子，本意是想说数是什么，写成了数学是什么，看这个之前，最好都去看看那里开头的部分，数是什么，再看这个。 不过我还是要写下去，只所以重新开一个帖子，而不是原来的继续，因为中间的三角函数部分我还是不够熟悉，不敢讲。 我能想到得三角，就是教材上的那一点，其实是根本不够的，因为存在跳过的部分，所以，重新开贴 原帖地址： http://www.tianya.cn/publicforum/content/free/1/1711787.shtml 这次，身边有《微积分》的教材，按照教材的目录写，避免再次被骂。 骂就骂吧！ 先说一下最近的大纲， 1微积分的目的 2函数是什么 3“小”是什么 微积分是什么呢？（btw:前面写《数学是什么》，被骂，现在看见为什么，就心惊胆战呀）或者说微积分的目的是什么？据说世上所有的东西，存在必然有意义，没有意义的都在历史长河中烟消云散，虽然有些很有意义的东西消失了，一些没有意义的流毒到现在，但是我认为微积分是属于那种很有意义，会继续，永远会存在下去的东西。 很多人开始学微积分，但是还不知道什么是数量，回那个帖子去看看。我们的世界，很重要的一个属性是量，没有量来描述这个世界？？？？晚饭吃100克的米饭，和吃1000kg，那可不是一个概念。超级油轮和渔船，都是船，可是过三峡大坝的时候，能一样对待？ 微积分是一种方法论。属于数量的方法论。 微积分主要两部分内容。微分和积分。这两者之间的关系是类似乘除，加减，是互逆关系。 微分是求瞬间的变化率。积分是通过已知的瞬间变化率，求总和。
主帖获得的天涯分：0
楼主发言：1次 发图：0张 | 更多
哎 现在在就补微积分 要专接本 难啊..........
一直在word中写，刚才写完一段，想保存一下，不知道那根神经出问题，点了关闭，然后提示是否保存，直接点否，窗口都没了，才明白我干了什么。今天不写了，郁闷！！！！郁闷！！！！
前面说了数量的重要，那么数学就是量学，数学。专门研究数量的处理。所有其他理工科学只是数学的实现，实际应用。数学走在所有学科的前面，或者说是所有学科的抽象产物。 是所有学科的可能数量量之间关系的抽象。 以前我上初中的时候，每天在想，学一元二次方程有什么用？？会加减乘除，加上身边有计算器，足够解决一切计算问题，为什么还要上数学课？？？？如果卖菜的话，小学数学足够。 我当时实在不知道为什么还要继续学数学。现在明白，因为我们是一个落后的国家，虽然落后无处不在，但是身处落后而不知，。即使生活中汽车，手机，电视机无处不在，可是我们大部分人，99%，依旧和中世纪，甚至战国时代没有什么区别，甚至还不一定比秦始皇强，比如，我觉得李斯活在现在中国社会，我想没有什么问题。那个时代也没有电视机，手机。但是李先生到了现代很快会使用这些。手机其实是相当复杂的产品。但是我们很多人只是使用，而不是生产，设计。我们可以对非洲销售手机，甚至原始部落销售手机。 因为我们太多的人，只是对现代社会的接触只是消费，只是被销售，被倾销，而不是生产。我们可以对非洲的原始社会销售最高端的手机，原始部落有手机服务就是现代社会了？？？？ 衡量一个国家是能生产什么，而不是消费什么。 我当时因为没有接触过现代，所以对现代的东西，觉得没有用处。 说说牛顿时代和我们战国时代的差别吧，不说现代了，不拿电磁场分析做例子，就说300年前的牛顿时代的东西。 下面的这个例子是：台湾中小學科學展覽會中的，一池水知多少？ 我下载的网址是：http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/44/D/030425.pdf 也就是计算池塘的体积 这是池塘的外观图片和刨面图
天涯的相册怎么不能用？？
这是图片
池塘的例子，这个地址有完全的说明：最好去看看全文，因为我不可能完全复制过来，原文说的很详细 http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/44/D/030425.pdf
早原封不动地还给老师了
只知道定积分可以用来求面积，微积分是计算定积分的一种方法。。。。。。可耻的回复一下
我很可耻的觉得……有了计算机~微积分就是一门兴趣=。=
其实我认为学习微积分的过程中80%是概念的理解，没有计算。 现在有了Wolfram Mathematica，的确计算过程很简单，但是你要输入什么，去计算什么呢？ 必须理解才能写出表达式
微积分属于计算方法，不属于具体计算。而计算机是用来做具体计算过程
自己顶一下
都忘了
楼主ID不错，我也用mathematica，第7版确实很好用很强大，是研究者的有力工具
应该会沉，在天涯杂谈里粪青比较多，懂这个的太少。
接着说
当初的拉普拉斯变换搞得我好晕啊^_^
微积分的基础，或者说和初等数学的根本差别在于，极限概念的引入。 （limite）“极限”这个词翻译的非常到位，太准确了，你可以用字面的意思去理解，简单到几乎无话可说。 Ps：相比较，有很多术语翻译的相当糟糕，有理数，无理数？？？有道理的数，无道理的数？？有什么道理呢？可以比就算是有道理？？？反正是很不爽，无法尽兴，总觉得别扭，不彻底。 其实，所有的数学，或者什么，前面的都是后面的特例，局部，特定情况。其实所有的计算都可以成为极限的计算。 将极限这个概念必须讲数轴。（其实数轴是抽象后的结果，因为目前数量是一个方向，即使多维，也是单维的复合，所以，数轴才是直线）
学习了！
讲极限呢，必须讲什么是小。 大小是比较而言。 一天相当于1个月，是小。 一天相当于秒又是大。 秒相当于毫秒又是大 什么是极限小？你可以重复上面的步骤，百万分之一秒，虽然小于毫秒，但是依然不算足够小。 大小是想比较而言的。 你可以继续，继续，继续到你任何时候，能够理解的小，想要多小就多小，你找出的任何一个，都比它大。 极限小是确定的存在，虽然“极限”“及其，及其”微小，但是是确定的存在，而不是0（0是一无所有） 极限小的意思就是，你想怎样小就怎样小。 极限靠近，就是你想怎么靠近就怎么靠近，但就不是在一块。 汉语有个成语：“失之毫厘，差之千里” 虽然间距想多小就多小，但就不是一回事。
所有的极限运算，比如3+5的极限，虽然后面是等号，但是前面有lim，意思是极限等于8，而不是3+5=8
数学，特别是数学思维是人类社会最根本的智慧，对付愚昧的真正武器，应该多宣传 顶楼主
我为什么写的很慢，因为我自己也有很多不理解。 也没有人可以问，我只能自己一个人思考，现在数学依然在学习中。 我以前想问人，现在不想问了，问了，被认为是神经病。 想那么多干嘛？会用就算了。 很多人，我的问题一个也回答不上了，开始人家完全会使用。我也无话可说，我自己是问题太多，而无法去接受，只好慢慢啃。
我认为微积分是完全可以用语言描述，基本不使用任何符号语言。 因为所有的符号，最终代表的都是具体的含义。 符号的确简洁优雅，尤其是方便，简单几个符号，代表无穷多的内容。 对于学习而言，还是少用符号的好，大白话还是比较容易理解。 理解之后，再使用符号才是正途，而不是所有的过程，全部符号。 很多的教材，我怀疑都是备忘录。全部正确，但是给已经会的人使用。不会的？？算了吧！ 教材追求没有错误，全面？？？这个面对指责比较正确，但是作为教材，只能作为大纲参考，而不能作为真正的教材。 一个能解答疑惑，而不是越看疑问越多，才是真正的以传递知识为目的的真正教材。 书是传递知识，而不是画饼，指明方向和未来。
上面的restles说知识是对付愚昧，其实我认为知识是对付暴力的工具，愚昧？他人的愚昧？非洲很多原始部落？？？怎么了？？ 美国开放某些东西为了对付？ 如果中国人，人人都能计算maxwell方程，有必要谈什么产业升级吗？？ 就是因为不会做高端，所以才不得不做低端。 真正的社会进步，应该是知识的进步。 我认为我们的国家，从知识结构上，基本是西方17世纪的水平.
所有的现实体现，都是底层基础的结果。 改变基础，改变结果。 教育的失败，才是产业现状以及很多问题的根本原因。
教育问题，或者知识获得问题的关键是在于，学习的过程，太过于艰难。太多东西没有讲清楚。 学开车，很简单，很多人都会开。只要学就能学会。数学应该是同样，因为无论什么，都是世纪的原理，超不过这个世界的认知。 难在于，没有提供足够清晰的说明而已。 如果每个人都很容易上到博士水平，才是真正的民族复兴
虽然在数学方面我是专家，但我实在是没有看懂你要表达什么？
虽然没看懂，不过大约揣测了一下你的目的，你的根本目的就是说：你企图发明一套对于经典数学（到博士水平）明了的解释，让人很容易就能看明白。
其实你产生这种错误想法的根本原因，就是不了解数学。数学本身就是一门逻辑精密的科学，数学本身就是一种描述客观世界的语言，这种语言的发展非常精确，比其它各种经验科学更精确些，数学是在公理基础上一步步盖起的高楼大厦，数学本身的严密导致其完成理论在有限的定义域内是只会有分支不会有推翻。也就是说：只有对的或者错的数学，没有其它中间状态。
上面那段话的意思就是说，数学本身有自己的逻辑、语言、规则。数学的一个最显著特点就是简洁明了，数学是没有国界的，如果一个具有一定数学基础的人，看相同体系下外国人的公式时实际上不存在任何障碍，如果不能马上看懂那只是因为你的智商不足或者跳跃性太强。
数学实际上上苍赐予人类的礼物，你没有实验室就不能深入的研究化学或者物理、没有生物标本就无法研究生物学、没有望远镜就无法研究天文学、这些自然科学的一个显著特点是，没有老师你的研究就几乎不能进行下去，因为你不可能经过推论从一个实验的结果得到另一个实验的结果。数学不一样，只要一个人拥有一张纸一支笔一个聪明的大脑，他就可以根据最基本的数学公式，去持续研究去不停繁衍，无论他最后得到的数学框架如何，只要他的假设和推演用的是精确的数学语言，那么他的这种数学就是正确的，比如：你将第五公设改变，欧几里德立刻就成了非欧。
我要告诉楼主和大家的是，数学追求的是最简单最美，任何还可以更简单的数学公式都不是正确的数学公式，简单和美是数学正确与否的一个判断标准，所以不可能有将成立数学更简单化的描述，楼主的希望实际上也是自身素质不足的水中望月。
但楼主可以试着复杂化数学，将一个简单的问题用复杂的办法告诉读者，在有限的范围内复杂化将有利于他人的理解，但当数学的研究达到一个较高水平时，这种复杂化的解释除了给研究者带来困扰外，起不到任何实际作用。
数学其实是一门高度抽象的科学，她的自我精确高于其它经验科学，但又没有上升到哲学和艺术的层面，所以她可以定向研究，我认为数学像是个两栖动物，她的下游是物理、化学、生物学、医学等经验实证科学，她的上游是哲学、艺术、宗教等高级自我完善抽象学科。
唯独数学是颗有魅力的明珠，她抽象而严谨，浪漫而踏实，她永远是迷人的风景！
LZ呢？ 我还在等你的文章呢！
关张无命欲何如:我的意思是什么呢？我不排斥数学的逻辑，数学的证明，数学的确定性需要数学内部的逻辑。 现在我自己的问题是，很多东西不知道干吗学这些东西，即使知道目的，我也不知道内部的逻辑。 数学的确让人惊讶的完美，没有什么东西是废物，很多的数学过程，我不知道前后的联系。无法把数学和现实联系在一块。 举个例子，现在不上学多少年了，前几天做机械加工，才深刻理解初中的几何教材上面东西的意义。 所有的数学都是从现实抽象而来，是完美，前后包裹，彻底解决问题的模式。（如果不彻底，是数学在发展中） 所有的数学都是极其有用，没有无中生有的玄学。 既然是从现实而来，为解决现实问题而生。 我想要做什么？？？？？大概是做个真正的Introduction 专注讲数学内部的逻辑结构（我知道用数学符号讲逻辑结构更容易，但是很多人，数学基础本来就不好，用一堆符号？？？？） 太多的书，都是给已经学会人看，需要某种低层次教材，适合本来不会的人看。 大概意思就是数学和现实没有脱节，数学和历史难度应该在一个水平。
极限终结一句话，靠近但就不是！
现在说一个具体的例子，y=x^2 算了，下面的用图片吧，我不知道天涯的如何写出数学表达式
我很想现在讲极限的例子，但是函数的概念并没有说清楚。有了清晰的函数概念，我觉得跟容易讲。 函数是什么？说实话我现在还是有点头晕。 官方，正式的定义是，映射关系，一个数到另一个数的单行映射关系。 维基百科是：在数学意义上，一个函数表示每个输入值对应唯一输出值。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。 例如，表达式f(x) = x^2表示了一个函数f，其中每个输入值f都与唯一输出值x^2相联系。因此，如果一个输入值为3，那么它所对应的输出值为9。一旦一个函数f被定义，例如，就可以被写为f(4) = 16。 维基的地址是：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%BD%E6%95%B0 我就不抄写了，那个首都的函数真不错 首都（法国）＝巴黎。 首都（中国）＝北京。 上面的函数如果翻译成白话就是：已知某个国家，求它的首都。 现在有我和你两个人，面对面，我问你已知某个国家，你告诉我首都。 比如问你日本的国家，你能回答东京。如果问你捷克首都呢？或者其他？你知道吗？但是google知道。现在假设你有google的本领，无论我问你任何国家，你都能回答首都是哪里。 上面就是一种问题模式，首都（中国）＝北京。这里的“首都”是这种关系的指代。中文是首都，英文是capital，火星文是×&……%，银河系文字是什么我也不知道。反正无论符号是什么（目前我所知所有的符号都是用来表意，都是代表某些意义，（某些无意义不说，比如占卜的符号，我是理解不了），无论出现什么符号，你都应该记住，它的核心是说，某种关系，而那种关系，在这里用某个符号代表了。类似说字典，就是一本大厚书，字典有什么用，如何使用？？？等等都不说了，但是作为一个文明人，看到字典，你就应该从“字典”两个字想到字典的性质。 f(x) = x^2 这是一堆数学符号，代表很多意思。先说f，f是函数名，g（x），z（x），首都（x），都是正确的函数名。只是一个名字，对映射关系的命名，习惯是用f，只是习惯问题，你可以用任何符号。 当然，f（x）可以代表无数的关系，如果f(x) = x^3，这是一种关系，f（x）=(1+x)/(x-5)，这又是一种关系。无论是那种关系，在你使用f（x）的时候，前面肯定有定义。 换种编程的说法，f（x）是一个变量，f是变量名字，f(x) = x^2是变量的赋值，变量的实例化。在赋值之前？f（x）是什么？天知道！ f后面括号中的x也是一个符号，自变量的代表。目前世界上有很多国家，这些国家组成了一个集合（具体哪些，看联合国，或者google），类似情况，数字，1，2，3，4，5，这些是自然数，然后是1.1，1.2，1.3，1.111，π，这些数字，anyone，你能想到的，都也可以组成一个集合。这个集合就是函数的定义域。 在前面首都的例子，所有的国家就是定义域。 定义域为什么要存在？？？？定义域存在的目的，就是代表你能测试，使用的范围。所有的数学都是极端有用。 下面举个例子，现在要吃晚饭，有苹果，刀削面，DDT（剧毒农药），现在想知道你吃下前面几种东西有什么后果？ 这里苹果，刀削面，DDT，就是定义域，你只能在这几个中选择，并且其中任何一个都可以选择。 经过你类似神农一样的身体测试，得出了结论，苹果效果是减肥，刀削面是增肥，ddt是game over。 现在可以定义一个函数，吃（x） X包括：苹果，刀削面，DDT 用数学方法
x：{苹果，刀削面，DDT } 如果你觉得前面的太简单，你可以跑菜场一趟，或者把超市搬来，只要能吃进肚子的东西，都可以添加在那个集合中。 数学上一般使用的集合是，有理数集合，无理数集合，实数集合，再加上正负限定组合。 上面几个都是大集合，你可以从中抽出部分，组成自己的小集合，比如，1&x&3 这就定义了，x一个范围，大于1，小于3的所有实数。 记住，所有的范围，都是你根据现实，提供（前面吃饭例子，就是你身边，准备，计划吃的，能够测试的几种），或者是书上提供。如果书上没有提供，那么也有个默认指定。 函数的基础就是定义域，值域，和函数关系。缺一不可。看到任何函数的时候，最好默认想想，分析一下，这三项在那个函数分别是什么 Ps：写道这里我想说一句话，那就是学习是为了忘记具体，只是一种方法模式而已。
任何的知识，都是对现实的抽象，综合，一种查看现实的模式。
前面说了函数的定义域，下面说函数关系？ 函数关系，不仅仅是那些y=x^2,y=x+1，或者什么。y=x^2,y=x+1只是太多太多关系中的一个局部的局部。y=x^2是什么呢？y是一个数值自变量的平方运算后的结果。 X^2是什么？就是x*x.就是一个数乘以自己。A乘以a，并且只乘以一次。如果3个a炼乘，就是x^3了。 任何的x（我们默认定义x代表实数）中，比如2，2得平方肯定是4，这个目前是确定唯一，如果不是那样？？？？我不知道该如何回答。 前面的x^2，你是知道如何从自变量到值，前面ddt作为自变量，如果你敢测试，也可以知道值域，某些不知道的，你可以使用google，或者什么不可思议的东西帮你回答。 反正是在那个关系的控制，限定下，输入a，得到b，至于怎么得到b，你可以知道过程，或者直接实现过程，也可以完全不知道过程。 类似你知道玩手枪中塞入子弹会设计，你只要塞入子弹就可以了，至于子弹如何击发，火药什么的问题，完全可以pass！ 这就是三角函数，sin（x），带入37度，得到0.601815。这个过程如何实现？？使用买来的外购模块实现。（函数表） 函数提供了一种映射关系，在某种情况下，某个情况存在，会出现什么情况 哪些结果组成了值域！！！！
其实还有一个函数，颠覆（x），x包括美国，日本，法国？？ 如果你能操作这个函数的话，虽然你不知道如何实现，但是你就是上帝。
X^2,log(x), e^x,等等，这些都是关系的实例。初等数学，有5中关系。 同样的函数名字，可以根据赋值而有各种不同的具体关系。 不同的函数名字，也可以有同样的函数关系。
所以，你每天见，f（x），到处都是，其实f（x）是不同得。
楼主，我看了你的那个数学是什么的帖子，写得挺好，很有启发性，赞！ 遗憾的是你竟然被几个人的留言影响了情绪以致写不下去，这让我有点意外。网上发帖哪有没异议的，有挑刺得人，但更多的人uanli还是很想听你说下去的。 所以愿楼主注意管理自己的情绪，坚持自己的理念，勇敢地走下去。 加油楼主
我以前学数学的时候也是倾向于理解其中的思想，懒于做题。 所以当试卷偏考计算的时候我总考不过人家。但当做那种计算量小的试卷时，别人觉得难的题目我都觉得特简单，因为他们做得题太多自己思考得少。 说到我们的理工课教材，有时真是气不打一处使，那些写教材的似乎秉持着这样的理念：尽量学术化枯燥化地讲解知识点才算正规的教材，出版了好多干瘪的天书；你再看看外国的教材，你会发现作者不光是科学家，还是文学家，一个在中国教材上写得很刻板的很抽象的概念他们会用打比方画漫画的方式很生动地表达出来----估计这也是我们的教育文理割裂的后果：学理的多不会有效地表达思想。 另外人家教一个新东西会教你为什么引入这个新该概念，会告诉你它的意义和用途何在，让知其然更知其所以然；我们的教材更多地却是一些即成定理的堆积，老师会说哪有那么多为什么，只要你接受只要你会有就行了。所以我们的数学只知道做题，我们拿那么多奥数的奖，却没一个菲尔兹奖，所以我们好多人说“数学是死的”、“数学是枯燥的”。 我们的教育只鼓励被动接受，不鼓励主动创新。
这个帖子，因为工作最近不顺利，头疼，没有余下时间写！ 写这个不是抄，要自己用心想！ 工作不顺，心无法静，所以停滞！
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有句话叫因材施教,可不可以反过来想一下:因材求学?
楼主，小丸子在此给你up，写得很好，继续。
如果是一位只有初中水平的人想学微积分，有难度吗?——（注：自考）
我发觉我根本不必要自己写，我发现一本微积分的书，足够好，是 &Calculus: A New Horizon& Publisher: John Wiley & Sons I 6 Sub edition (August 13, 1998) Language: English ISBN-10:
ISBN-13: 978- Product Dimensions: 10.4 x 8.7 x 2 inches 亚马逊上的地址是： http://www.amazon.com/Calculus-New-Horizon-Combined-6th/dp/ 国内有类似版本的，名字是：理科类系列教材•微积分(第8版)(改编版) ~ 郭镜明 (改编), 安顿 (Anton.H.) (作者), 比文斯 (Bivens.I.) (作者), 戴维斯 (Davis.S.) (作者) 出版社: 高等教育出版社; 第1版 (日) 外文书名: Calculus 平装: 867页 正文语种: 中文, 英语 开本: 16 ISBN: 5 条形码: 5 所谓的改编，？？我也不知道改编是什么意思？？？？想要的自己去看吧，45一本，比thmos微积分好太多了。
以后每天尽量翻译一点。google图书可以看部分，我想我也暴露部分，应该不算违法吧？？？？？？？ 书还给预览呢！！！！
Howard Anton obtained his B.A. from Lehigh University, his M.A. from the University of Illinois, and his Ph.D. from the Polytechnic University of Brooklyn, all in mathematics. Anton获得学士在美国利哈伊大学，硕士在伊利诺伊斯大学，博士在伯克利大学，全部是数学专业。 In the early 1960s he worked for Burroughs Corporation and Avco Corporation at Cape Canaveral. Florida, where he was involved with missile tracking problems for the manned space program. 在1960年，发明了导弹追踪问题？？？。 In 1968 he joined the Mathematics Department at Drexel University. 1968年在杜蕾希尔大学的数学 where he taught full time until 1983. 在1983年以前是全职教师 Since that time he has been an adjunct professor at Drexel and has devoted the majority of his time to textbook writing and activities for mathematical associations. Dr. Anton was President of the EPADEI, Section of the Mathematical Association of America (MAA), served on the board of Governors of that organization, and guided the creation of the Student Chapters of the MAA. He has published numerous research papers in Functional Analysis, Approximation Theory, and Topology, as well as pedagogical papers on applications of mathematics. He is best known for his textbooks in mathematics, which are among the most widely used in the world. There are currently more than ninety versions of his hooks, including translations into Spanish, Arabic, Portuguese. Italian. Indonesian. French, Japanese, Chinese. Hebrew. and German. Dr. Anton has an avid interest in computer technology as it relates to mathematical education and publishing. He has developed pedagogical software for teaching calculus and linear algebra as well as various software programs for the publishing industry that automate the production of four-color mathematical text and art. For relaxation he enjoys traveling and photography. 数学学会的主席，（这个足够了）
这是本真正杰出的微积分教材，历史最佳，没有第二。 每个人看这本书的人，都应该深深的感激安顿写出如此伟大的作品。
Introduction CALCULUS: A NEW HORIZON FROM ANCIENT ROOTS Calculus, which is sometimes called the &mathematics of change,& is the branch of mathematics concerned with describing the precise way in which changes in one variable relate to changes in another. In almost every human activity we encounter two types of variables: those that we can control directly and those that we cannot. 微积分，那个有时候叫做，变化的数学，是数学的一个分支。主要考虑精确描述变化的关系，一个变量的改变和另一个的关系。几乎所有人类的生活中，我们会遇到两种类型的变化，我们可以直接控制的变化，和那个我们不能直接控制的变化。 这里就要说什么是变量，就是能够变化的数量，能够变化的量！ 量之间的关系，其实，小学时候，就开始学，比如半径和园周长的关系， 那个时候学，但是没有仔细分析，现在开始正式学变化和变化关系
Fortunately, those variables that we cannot control directly often respond in some way to those that we can. For example, the acceleration of a car responds to the way in which we control the flow of gasoline to the engine, the inflation rate of an economy responds to the way in which the national government controls the money supply, and the level of an antibiotic in a persons bloodstream responds to the dosage and timing of a doctors prescription. 幸运的是，那些变量我们不能直接控制的，常常是受我们能够控制东西影响。比如，汽车的加速度，是被我们能够控制的发动机中提供的汽油流量影响。经济的通货膨胀受控于国家对钱币的供应量。一个人血液中细菌的数量，受医生给药的数量和时间影响。 By understanding quantitatively how the variables we cannot control directly respond to those that we can, we can hope to make predictions about the behavior of our environment and gain some mastery over it. Calculus is one of the fundamental mathematical tools used for this purpose. 通过理解数量，变量我们不能直接控制和这些我们能够控制的变量的关系，我们可以期待，对我们周围一些行为做预测，掌控自然。微积分是完成这个目的的一个基础工具。
Calculus has an enormous， but often unnoticed impact on our daily lives. 我们的日常生活中，微积分有巨大，但是常常被我们忽视到的影响 To provide some sense of how you and i are being affected by calculus. 去给你一些感觉，关于我们如何被微积分影响的 I have selected a few of its applications to fields of contemporary research. 我选择了在当代的研究上一些它的应用 All of these applications involve other branches of science and mathematics. but they all use calculus in some essential way. 所有这些应用设计其他科学和数学分支，但是都使用微积分在同样本质的方式上
The first three applications are based on a new and exciting area of mathematics called the theory of wavelets. Wavelets make it possible to capture and store mathematical representations of images and signals using much less data than previously possible. 头三个应用是基于新的和振奋人心的数学应用。叫做小波分析理论 As a result， the current research literature is literally exploding with new applications of wavelets to such diverse helds as astronomy，acoustics，nuclear engineering. image processing, neurophysiology, music, medicine, speech synthesization, earthquake prediction, and pure mathematics. to name only a few. 作为结果，现在的研究？？是？？爆发在新的对小波的应用，比如，天文学，声学，核科学，图形处理，神经心理学，音乐，医学，语音识别，地震预报和纯数学。我们能够说出的只是部分。
FBI Fingerprint. Compression—The U.S. Federal Bureau of investigation began collecting fingerprints and handprints in 1924 and now has more than 30 million such prints in its files, all of which are being digitized for storage on computer. Fbi指纹压缩，us的fbi收集指纹和掌纹在1924年，现在有多于3千万指纹在自己的档案中，所有是数字化储存在电脑中 It takes about 0.6 megabyte of storage space to record a fingerprint and 6 megabytes to record a pair of handprints, so that digitizing the current FBI archive would result in about 200 x 〖10〗^12
bytes of data to be stored, which is the capacity of roughly 138 million floppy disks. 需要0.6m字节的储存空间去记录指纹和6m去记录掌纹，这样数字化现在的指纹档案需要差不多，200x〖10〗^12字节的数据。那个差不多是138百万的软盘 At todays prices for computer equipment, storage media, and labor, this would cost roughly 200 million dollars. To reduce this cost, the FBIs Criminal Justice Information Service Division began working in 1993 with the National Institute of Standards, the Los Alamos National I.nhoratory. and several other groups to devise compression methods for reducing the storage space. These methods. which are based on wavelets. are proving to be highly successful. Figure 1 is a good example—the image on the left is an original thumbprint and the one on the right is a mathematical reconstruction from a 26:1 data compression. 在今天的电脑设备价格，储存媒介，？？这个需要差不多200百万美元。去减少这个成本，fbi信息部分开始在1993年，和国家标准院，阿拉莫斯国家实验室和很多其他部分，研发压缩方法去减少储存空间，这些方法是基于小波，现在极大的成功，图1是好的例子，图形在左边是原始的指纹，右面的是数学二次构造的格式，只是原始数据的26分之一。
中英文对照，有两种方式。一种是调整语序，汉语语序，但是这个和英文原来有区别。 第二个是直译。中英对照 我也不想谁看我翻译的中文内容，只是把我写的汉字当作比翻字典方便吧！
上面的简介应该布鲁克林大学，而不是伯克利大学
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微积分有啥好那个称赞的, 学数学是为了解决问题的.微积分也不例外.你去看一下电子类的书就好了.. 一堆现实的问题.
我这次应该无视批评和攻击，多翻译一些
没有微积分做基础，如何学好物理，没有好的物理，如何学电路分析，高频分析？？？
那些本来就是基础课来的, 就好像你要学习文章必须学会认字一样.
不是每个人都可以很容易学会微积分的，反正我是学的非常，非常困难
高等数学啊,上下二册,这个还是相对简单的. 可以不求甚解,但到后面来了更加恐怖的复函数积分之类的东西.一下子就来几个一长串长串的公式,连推导过程都没有的.. 你就会觉得微积分太容易了.
要想了解数学之美，建议大家看《数学的捷径》这本书，韩国人写的。非常的生动有趣。 楼主的写作方法方法真是不敢苟同，本来非常简单的概念，被你搞的越来越复杂。
Music — Researchers with the Numerical Algorithms Research Group at Yale University have investigated the application of wavelets to sound synthesis (musical and voice). 音乐
耶鲁大学的数字化算法研究小组，研究了使用小波的声音合成（音乐和语音） To approximate the sound of musical instrument or voice. 去近似音乐器材和语音的声音 samples are taken and decomposed mathematically into numbers called wavelets packet coefficients. These coefficients can be stored on a computer and later the sound can he reconstructed (synthesized) from the computer data. This area of research makes it possible to reproduce complex sounds from a small amount of data and to transmit those data electronically in a highly compressed form. This research may eventually speed up the transmission of sound over the Internet. For example. 首先取样，然后数学分解到数字，这个过程叫做？？？？这些系数可以储存在电脑和稍后声音可以重建（合成）从电脑数据。这个区域的研究，让复杂声音从小量数据重现成为可能，和传输这些数据在高压缩格式。这个研究最好加速声音的传输，比如在internet上。 （应该是傅立叶分析，对不同频率的声音做分解，然后只需要记录下不同频率声音的描述，是数据的结构化处理） （其实这个就是说语音压缩，使用了数学方法，用数学公式描述数据，而不是原始的ad数据）
Removing Noise from Data — In fields ranging from planetary science to molecular spectroscopy, scientists are faced with the problem of recovering a true signal from incomplete or noisy data. 从数据中移除噪音。在从行星科学到分子光谱，科学家都要面对从非完整或者噪音数据中生产完整信号的问题 For example, weak signals from deep space probes are often so overwhelmed with background noise that the signal itself is barely detectable, yet the signal must be used to produce a photograph or provide other information. Researchers at Stanford University and elsewhere have been working for several years on using wavelet methods to filter out such noise. For example, Figure 2 shows a signal from a medical imaging signal that has been cleaned up (de-noised) using wavelets. 比如，从深太空中探测到的微弱信号常常被背景噪声压倒，那个信号本身也很少可以被探测到。但是信号必须产生一个图形或者提供其他信息。在斯坦福大学或者其他地方的研究人员，使用小波方法过滤噪音已经很多年，比如，图2显示一个医学图像信号，已经被使用小波方法清楚了噪音
Airflow Past an Automobile—Problems involving fluid flow (air, water. and blood, for example) are a major focus of scientific research. The Army High Performance Computing Research Center (AHPCRC) sponsors numerous unclassified research projects that involve teams of researchers from various science and engineering disciplines. One such project deals with airflow past an automobile (they use a General Motors Saturn SL2). The problem is quite complex since it takes into account the body contours, the wheels, the recessed headlights, and the spoiler. Figure 3 shows a simulation of airflow past an automobile that was produced using state-of-the-art mathematical methods and a Cray T3D supercomputer. 流过汽车的气流，问题设计到流体。（空气，水，和血液，比如）是科学研究的一个主要方面（F1赛车主要的研究方向）The Army High Performance Computing Research Center (AHPCRC)赞助了一些不保密的研究项目，涉及到不同的研究和工程学科。一个这样的项目研究是气流通过汽车（使用了通用的土星SL2），问题是相当复杂，因为涉及到车身外形，车轮，大灯的凹角？？和spoiler？？图3显示一个模拟的气流通过汽车，使用了state-of-the-art数学方法和Cray T3D超级计算机 （这个就是汽车节油的关键，在能源越来越贵的今天，研究就是money。）
Weather Prediction—Modern meteorology is a marriage between mathematics and physics. Todays meteorologists are concerned with much more than predicting daily weather changes—their research delves into such areas as global warming, holes in the ozone layer (Figure 4), and weather patterns on other planets. 天气预报，现代气象学是数学和物理的结合。今天的气息学思考范围远远大于一般的日常天气改变分析，研究深入到，比如全球变暖，臭氧黑洞（图4）和其他星球可能的天气模式。 In 1904 the Norwegian meteorologist Vilhelm Bjerknes () proposed that the state of the atmosphere at any future time can be determined by measuring appropriate variables at a single instant of time and then solving certain hydrodynamic equations. 在1904年，挪威的气象学家Vilhelm Bjerknes提交了那个任何时候未来的大气层状态可以通过测量现在时间适当的变量，然后通过解特定的流体力学方程判断。（nb，在1904年） Although Bjerknes idea is true in principle. it is difficult to apply because of uncertainties in measured variables. the enormous amounts of data to be processed. and technical complications involved with solving the equations. 虽然Bjerknes的想法在实践中正确。但是很难去实现，因为在测量变量的不确定性，数据量的巨大，和解方程的复杂性。 However, new mathematical discoveries have dramatically improved meteorological predictions and spawned enormous economic benefits. 但是，新的数学发现巨大的改进了气象学预测，产生了很大的经济利益 For example. it costs about 50 million dollars to prepare for a hurricane over 300 nautical miles of coastline, even if the hurricane does not hit the area. On the other hand. if the hurricane hits without adequate preparation, then the added costs can mount to billions of dollars (let alone the loss of life). 比如，花费了50百万美元去预测距离海岸线300海里的飓风，虽然气象预报还不足够准备，可能预报的飓风没有袭击海岸。但是，如果飓风袭击，而没有预报，会产生额外巨大的经济损失（和生命的丢失） Thus, each new mathematical breakthrough that produces more accurate hurricane prediction translates into enormous economic savings and preservation of human life. 这样，任何新的数学进步产生了更精确的飓风预测，更多的经济利益和更安全的生命的保障
Medical Imaging and DNA Structure—Advances in nuclear magnetic resonance (NMR) have made it possible to determine the structure of biological macromolecules. study DNA replication. and determine how proteins act as enzymes and antibodies. 医学图像和DNA结构，通过核磁共振，可以不毁坏的情况下看生物的大分子结构，研究DNA的复制，判断蛋白质在酶类和抗体中的作用。 Related advances in magnetic resonance imaging (MRI) have made it possible to view internal human tissue without invasive surgery and to provide real-time images during surgical procedures (Figure 5). High-quality NMR and MRI would not be possible without mathematical discoveries that have occurred within the last decade. 相关的磁共振成像技术，能够去看人类内部的组织，而不需要外科手术。以及在外科手术中提供实时图像。如果没有数学发现，高质量的NMR和MRI不可能出现。
的确，写的很罗嗦，当然我认为这是优点！ 我可以不看，但是看到就一定要能够明白，而不是写的那么简单，看过去疑问重重！ 后面几个例子，不翻译了。 Controlling Chaotic Behavior in the Human Heart —Chaos theory, which is one of the most exciting new branches of mathematics. is concerned with identifying regularities in phenomena that on the surface seem random and unpredictable (Figure 6). Todays research literature abounds with applications of chaos theory to almost every imaginable branch of science. Recently, researchers at the Applied Chaos Laboratory at Georgia Tech University collaborated with physicians at the Emory University Medical Center in applying chaos theory to control the chaotic behavior of heart tissue that is undergoing ventricular fibrillation (cardiac arrest). The research, though experimental. is already showing promising results. 人类内心世界随机行为的研究
The World Model of the Future — ln anticipation of the 1992 United Nations Earth Summit. researchers at the Institute for Economic Analysis (IEA) at New York University were commissioned by a number of world leaders with the daunting task of creating a model that would predict the economic and environmental future of the world. They started with the World Model and World Database developed by Nobel laureate Wassily Leontief and his colleagues at Harvard in the 1970s. but they expanded on the model by incorporating such environmental factors as the cost of controlling pollutant emissions (from mining, energy creation. and automobiles. for example). They also accounted for the effect of population growth rates on the added demand for energy and other natural resources. Models such as this require a team effort by government. academic. and industrial experts in a variety of fields and play an important role in guiding the decisions of governmental agencies. Deep Space Exploration—Alexander Wolszczan of Penn State University may go down in history as the first scientist to identify a planetary system beyond our own. While searching the radio sky. Professor Wolszczan discovered a new pulsar. PSR 1257+12. that seemed to wobble as it traveled through space. As a result of an extensive mathematical analysis, many scientists are now convinced that the wobble is caused by two or three planets orbiting PSR1257+ I 2. Although scientists have been able to detect pulsars for some time by searching for faint periodic radio signals from outer space, it is only recently that the mathematical techniques have been developed to analyze the data in a way that stands up to scientific scrutiny. Wolszczan predicts that the planets orbiting PSR1257+12 arc barren and inhospitable because of stellar winds. but his methods open the possibility of discovering new planetary systems that may sustain intelligent life.
THE ROOTS OF CALCULUS 微积分的起源 （前面说了应用，这里真正开始讲微积分的起源） Todays exciting applications of calculus have roots that can be traced to the work of the Greek mathematician Archimedes. But the actual discovery of the fundamental principles of calculus was made independently by Isaac Newton and Gottfried Leibniz in the late seventeenth century. The work of Newton and Leibniz was motivated by four major classes of scientific and mathematical problems of the time: 今天激动人心的微积分应用，如果找根源，可以跟踪到希腊数学家，阿基米德的工作。但是实际发现微积分的基本原理是被牛顿和莱布尼兹各自单独发现。在17世纪。牛顿和莱布尼兹的工作是主要根据当时4个方面的数学问题 （问题推进研究，研究，总结，定理） • Find the tangent line to a general curve at a given point. 在一般图像的给定点如何找切线的方法 （这个导出了微分的概念） • Find the area of a general region, the length of a general curve, and the volume of a general solid. 找出一个一般图像的面积（非固定图像，不是正方形那些规则图像）一般图形的长度（也不是线段那样规则的东西）一般固体的体积（当然不是正立方体了） （其实就是找非直线形状得乱七八糟形状的确定数量问题） （这就是积分，从变化中找确定的总和数量的方法，确定数量） （意思是可以计算变化形状的数量了，而不是原始早期，小学数学那种固定形状的数量的计算） • Find the maximum or minimum value of a quantity—for example. the maximum and minimum distances of a planet from the Sun. or the maximum range attainable for a projectile by varying its angle of fire. 找最大值和最小值，比如，行星和太阳距离的最大和最小，或者炮弹的最大距离，在发射角度变化的时候 （真的，很多技术的进步是为了更好的杀人，包括计算机的发明，开始是应用大炮的弹道计算和氢弹数据的计算） （这是微分中确定极值的应用。） （极值的使用在找最佳方案中应用显著） • Given a formula for the distance traveled by a body in any specified amount of time, find the velocity and acceleration of the body at any instant. Conversely. given a formula that specifies the acceleration of velocity at an instant. find the distance traveled by the body in a specified period of time. 给定一个物体在给定时间内，任何时间的距离公式，找出那个物体在任何时间瞬间的速度和加速度。当然，相反，给定在任何确定时间的加速度公式，找出给定时间的那个物体走过的确定距离 （这个就是微积分的典型应用了，可以作为非常好的例子来讲微积分的基本原理）
真正的学会微积分是让人毫无疑问的学会，当作自己的东西。学会微积分的处理问题的思想，数学方法看待这个世界，已经看到世界的几种可能的模式。
微积分是非常伟大的发明，人类的工具，从该死的变化中找出该死的，确定的，100%正确的确定。
确定是真正精确管理的基础！ 确定描述的事情越多，你能影响的世界越大。
这本书前面开始讲excite应用，让你觉得微积分有用，而不是废物，后面可能是让你头疼的东西，但是世界上很多人使用微积分创造了exciting的东西。 吸引你进入微积分的世界，即使有难度，为了那些exciting，也不要放弃
其实呢？当时的问题很多多，现在更多 （问题就是不知道，不知道如何办。数学常常就是对量的确定。规则形状数量的确定，在希腊时候差不多了，到了17世纪开始着手研究不规则形状的数量问题了） 但是通过对这几个问题的研究，发明了微积分这个计算工具。 微积分就是微分，积分。和微分的应用（比如极值，变化率）积分的应用，4个方面的内容 微分是通过和,求变化率，积分是通过变化率求总和。
我们的教材很大的问题，刚开始不讲我们要学什么，学的是什么，有哪些东西，直接上来就是罗列，罗列，罗列，结构性很差。 而人类的思维，对新东西的理解，结构性很重要。 很多人，不作为。在那个位置，不好好做那个位置的工作。
天天讲民族复兴，可是让人强大，让民族强大的东西？？？？？？？？？？？？
INFINITE PROCESSES 无穷的认知
Even though these problems may seem diverse and unrelated. we will see later that they are all closely linked by the fundamental principles of calculus and that all of them involve infinite processes in some way. These same principles and processes underlie the contemporary applications that we discussed at the beginning of this section. 即使虽然这些问题可能看起来各式各样，毫无关系，我们后面看到他们都是靠近微积分的基本原理和所有它们涉及到无穷的处理，在某些方式上。在前面章节讨论的当代那些激动人心的应用，使用同样的原理的处理和处理方法。（和牛顿时期对待这些无穷问题的处理是一致） There is something very satisfying about starting a task and bringing it to a step-by-step conclusion. However，the real world is replete with processes that by their very nature cannot be completed in finitely many steps， and hence must be left unfinished in some sense. For example, whereas the complete decimal expansion of the fraction 1/8 can be obtained in three steps by long division. 有些事情非常让人满意，如果开始一个任务，然后一步步得到结果。但是，现实的世界上，充斥着，非常自然的不能完成在确定的步骤内。（这个确定的步骤包括非常大，非常大，非常大的步骤，只是小于无穷大、任意大而已）。这样在某些情况，必须留存没有完成的部分。比如，虽然计算1/8可以获得完成在3个步骤，使用长除法 1/8=0.125
The complete decimal expansion of √2 cannot be obtained in a finite number of steps by any procedure. Although them are numerous algorithms (i.e., step•by-step procedures) for approximating √2
to any desired degree of accuracy, none of them produces the exact value in finitely many steps. One such algorithm, called the mechanics rule, is based on the formula. 和产生1/8的精确值相比，√2的完整分数表达式，不能通过确定步骤实现。虽然它们是数字算法（一步步处理）可以逼近√2到任何想要的程度。但是没有任何一个算法，在确定的步骤，可以产生精确值。一个这样的属于无穷的算法，叫做机械？？规则？？是基于公式 y_0=1,y_(n+1)=(y_n+2/y_n ) These equations can he used to generate an infinite sequence of approximations 这些方程可以使用产生逼近精确程度的无穷级数 y_0，y_1，y_2，y_3.。。。 that get closer and closer to √2, achieving an arbitrary degree of accuracy in finitely many steps. This is done by first setting y_0 = 1 and then using the second part of Formula (1) to generate each new approximation y_(n+1), from the preceding approximation y_n. For example, table 1 shows the first six approximations of √2 produced by the mechanics rule. The fractions in the table were obtained using a computer program， called a Computer Algebra System (CAS). That is capable of performing algebraic operations exactly. We used the same program to convert the fractions to decimal approximations with 12 digits, but we could also have used a calculator. At n = 4 the decimal approximations began to repeat because we had reached the accuracy limit of a 12-digit display. 在有限的步骤，完成任何想要的精度，越来越靠近√2的精确值。这个完成，是通过，第一设置y_0 = 1，然后使用公式的第二部分，使用前面的y_n，产生每个新的y_(n+1)，。比如，表1，使用机械法则，显示了头6个对√2的逼近。在表中的小数是使用电脑程序获得，那样的程序叫做计算机代数系统。计算机代数系统能够执行代数操作极端精确。我们使用同样的程序去转化函数到分数，精确到12位。但是我们也可以使用你手中的计数器。在n=4，分数开始重复，因为到了计算器有12位精度的限制 (其实这里关键是说什么是有限，什么是无穷 有限是有限大，可以很大，很大，很大。。。。。。。但是总有界，无穷是随意 )
INFINITE SERIES
We learn in elementary arithmetic that the decimal expansion of 1/3 is: 初等算术知道那个分数1/3是 1/3=.3333333… (all decimal digits being 3). We can rewrite this equation as 所有的分数数字是3，我们可以重写这个方程是 1/3=.3+.03+.003+.+….. or alternatively. As 1/3=3/10+3/〖10〗^2 +3/〖10〗^3 +3/〖10〗^4 +3/〖10〗^5 +。。。 This formula expresses the number 1/3 as an unending sum with infinitely many terms: such sums are called infinite series. 这个公式表达数字1/3是一个没有结束的无穷多项的和，这样的和叫做无穷级数 An infinite series denotes an addition process that cannot be completed in finitely many steps—one can add the first 10 terms, the first 100 terms, or even the first 10000 terms (with the help of a computer), but one cannot add all of the terms in the usual sense because there are infinitely many of them. However, if we start at the beginning of the series and add terms one by one, then at each step the sum gets closer and closer 1/3.
For example. 一个无穷级数演示一个加的过程，那个不能完成在有限多的步骤，可以加头10项，头100项，甚至10000项，但是不能加所有的求的和，在一般的方法，因为有无穷多项目，但是，如果我们在级数的开始，加一个，一个，然后每个步骤的和越来越接近1/3，比如
1/3≈3/10=.3 1/3≈3/10+3/〖10〗^2 =.33 1/3≈3/10+3/〖10〗^2 +3/〖10〗^3 =.333 1/3≈3/10+3/〖10〗^2 +3/〖10〗^3 +3/〖10〗^4 =.3333 这里讲了什么是无穷，给无穷一个大概感觉，举了一个例子。 （大家都在怀疑宇宙是无穷，还是有界，其实我觉得可能是无穷，因为数学上很容易产生无穷，而数学是现实关系的映射，那么自然现实也应该存在无穷） Thus, Formula (3) is interpreted to mean that 1/3
can be approximated to any desired degree of accuracy by adding sufficiently many terms from the beginning of the series. 这样，公式3，可以解释为，那个1/3，可以逼近在任何期待的精度，通过求和足够多的项，在这个序列？？ The most widely used CAS programs are Mathematica, by Wolfram Research, I Maple, by Waterloo Maple software, I and Derive, by soft warehouse, Inc
这个一定好马克
希望楼主坚持下去。数学让人迷醉。
我爱微积分，哈哈哈哈
很多人都说学微积分没有用处，因为工作上从来不用！！！！！！！ 我的回答是：那是你工作的层次太低！！！！！ （我不想伤害任何人，没有攻击谁的意思！） 我们的手机为什么都是一模一样？？？？？ 因为自己无法设计！！！！！！！不会设计！修改也不会！ 天线这种东西，几乎完全是数学！！！！！！！！！！ 材料学，越是高端的东西，越是数学。 西方的雷达工程师，IC工程师，很多都是数学家。
安顿的这本书，能让数学变成自己的东西，如同中国人对汉语的感觉，成为你的工具，而不是面对考试。 提升对世界的认知能力。
有了高等数学（微积分不算高等），才有了璀璨的世界，才有了爱你那么喜欢的产品。高可靠性产品。 有数学，才有了最佳的产品设计，然后才是最佳的产品
我们国家主题还处在经济上销售90%，制造在9%的程度 当然微积分用处不大！！！！！！ 甚至很我鄙视的房地产很多都是巨型企业，悲哀！！！！！！！！ 这些人是社会的主题，还并不认识自己的错误。 每天过得其乐融融。 为什么错误的东西，没有人反对呢？？还很多人向往呢？从最近5000人争一个公务员看？？？为什么是这样呢？？？？？
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