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六年级奥数全教程
& & & & & & & & & & & & & & & & & & &&& & & & & & & & & & 六年级奥数全教程第一章&数与计算第一单元&&& 同余问题1．&知识前提。（1）&&&&&&整除：如果整数a除以自然数b,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a能被b整除或b能整除a。（2）&&&&&&乘方的意义：求n个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。n个相同因数a相乘，即，记做。其中a叫做底，n叫做指数，读做a的n次方。（3）&&&&&&幂的运算法则：①&&&&&&同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即&&&& 。②&&&&&&幂的乘方，底数不变，指数相乘。即&&&&&& 。③&&&&&&积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即&&&&&& 。2．&同余如果两个整数的a、b除以同一个自然数m所得的余数相同，那么就说a、b对于m是同余的，记为a=?h（modm）。我们把m称为模。如果a、b对于m是同余的，那么a与b的差能被m整除；反之，如果a与b的差能被M整除，那么a、b对于m是同余的。3．&规律、方法应用。（1）&&&&&&反身性规律：a和a对于m同余。（2）&&&&&&对称性规律：a和b对于m同余，那么b和a对于m同余。（3）&&&&&&传递性规律：如果a和b对于m同余，b和c对于m同余，那么a和c对于m同余。（4）&&&&&&同余的加减法、乘法规律：如果a和b对于m同余，c和d对于m同余，那么a＋c，和b＋d，a－c和b－d，ac和bd对于m同余。（5）&&&&&&同余的乘方规律：如果a和b对于m同余，那么和也对于m同余。（6）&&&&&&同余的连加规律：和对于m同余，和对于m同余，和对于m同余……和对于m同余，那么和也对于m同余。例1．&&有一个不等于1的整数，它除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？拓展一 如果某数除492,都余15,那么这个数是几?拓展二 自然数,14177除以m的余数相同, m的最大值是多少?拓展三 若64,6522这4个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多少?&例2．求除以7的余数。拓展一 求除以13的余数。拓展二 求除以11的余数。拓展三 求的结果除以3的余数。拓展四 把1至个自然数依次写下来，得到一个试求A除以9的余数。例3．被7除的余数是多少？拓展一 除以13的余数是多少？拓展二 今天是星期日，过天是星期几？拓展三 求的末两位数是多少？拓展四（1）2005年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（日是星期六）（2）2008年全年有几个星期日？全年有几个月有五个星期日？（日是星期二）检测1．已知69,90,125被Ｎ除余数相同，求81被N除的余数是（　　）Ａ．４　　　Ｂ．７　　　Ｃ．５　　　Ｄ．２２．除以某一个自然数n,余数分别为2和1,n的最小值是(&&& )Ａ．23　　　Ｂ．13　　　Ｃ．17　　　Ｄ．183．除以13的余数是（&&&& ）Ａ．12　　& Ｂ．11　　　Ｃ．9　　　Ｄ．74．除以3所得的余数是（&&&& ）Ａ．1　　&& Ｂ．2　　　Ｃ．0　　　Ｄ．35．&&& 今天是星期二，再过天是星期（&&& ）Ａ．三　　& Ｂ．四　　Ｃ．五　　　Ｄ．六6．&&& 的个位数字是（&&&& ）Ａ．3　　&& Ｂ．2　 　Ｃ．4　　　Ｄ．67．&&& 的个位数字是（&&&&&）Ａ．3　　&& Ｂ．1　 　Ｃ．9　　　Ｄ．68．&&& 的个位数字是（&&&&&）Ａ．3　　&& Ｂ．1　 　Ｃ．9　　　Ｄ．59．&&& 在小于2002的自然数中，被18及33除以余数相同的数有（&&&&）个。Ａ．17　&&& Ｂ．198　 Ｃ．34　　 Ｄ．5110．一个三位数，它的29倍加上5能被2002整除，这个三们数是（&&&&）。Ａ．345&&&& Ｂ．121　 Ｃ．150　&Ｄ．267&11．一个整数乘以13后，积的最后三位数是123，这样的整数最小是（&&&& ）。Ａ．157&&&& Ｂ．253　 Ｃ．942　&Ｄ．47112．用1，9，8，8这四个数能排出（&&&& ）个被11除余8的四位数。Ａ．3　　&& Ｂ．4　 　Ｃ．5　　　Ｄ．613．的积被7除的余数是（&&&& ）。Ａ．1　　&& Ｂ．2　 　Ｃ．3　　　Ｄ．5二．解答题。14．试证明：能被10整除。15．求乘积除以13所得的余数。16．今天是星期五，再过天是星期几？17．求除以39所得的余数。18．求的个位数字。19．除以13余几？20．试证明：是5的倍数。21．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和。这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…，问最右边的一个数被6除余几？22．2002年全年有几个星期日？全年有几个月有5个星期日？（日是星期二）23．某年的10月有五个星期六，4个星期日，这年的10月1日是星期几？24．甲、乙两人轮流报数，必须报不大于2的自然数（零除外），把两人报出的数依次加起来，谁报数后加起来的数是20，谁就获胜，如甲要取胜，是先报还是后报？以后怎样报？25．设A是一个有35位循环节的循环小数，把A的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：再把的所有奇数位画去，得到一个新的无限小数：如此继续下去，能否仍得到原来的循环小数？&&第二单元&&& 分数的大小比较比较分数的大小，需要仔细观察每个分数的特点，根据不同的特点采用不同的方法进行比较。如果两个分数的分母相同，分子大的分数比较大；如果两个分数的分子相同，分母大的分数反而小。如果分数的分子分母都不相同，需要经过转化，利用分数的基本性质，把它们转化成分子或分母相同的分数，再进行比较。有时需要找到另外的途径进行比较，具体的方法有：1．&相减法。把两个分数相减，如果差大于零，减数就小。2．&相除法。把两个分数相除，若商是真分数，则被除数小于除数。3．&交叉相乘法。分数和，如果＞，那么＞。4．&倒数法。利用几个分数的倒数比较，倒数大的分数反而小。5．&转化法。可以把分数转化成小数进行比较。6．&中间数比较法。依据数据的特点，借助某一有规律的中间数，进行比较。此类比较，需要将已知的数或算式作适当的变形。解题时，要认真分析，要学会多角度、多侧面思考问题，灵活运用解题方法。例1&&&&&&&&&比较、、、这四个分数的大小。拓展一&&& 将下列的分数由小到大的排列起来。，，，&&& 拓展二&&& ，。试比较A和B的大小。&&& 拓展三&&& 将下列分数由小到大排成一列不等式。&&&&&&&&&&&&&&，，，，&&& 拓展四&&& 将下列分数由小到大排成一列不等式。&&&&&&&&&&&&&&、、、例2&&&&&&&&&比较，，三个分数的大小。拓展一&& 比较和的大小。拓展二&& 比较和的大小。拓展三&& 将下列分数由小到大排成一列不等式。&&&&&&&&&&，，，例3&&&&&&&&&，试比较A与0.003谁大谁小。拓展一&& 如果，试比较A与的大小。拓展二&& 用A表示下面的积：，问：A与0.01相比,谁大谁小?拓展三&& 比较与0.001的大小.检测1．& 在○中填入“＞”或“＜”。（1）○&&&&&（2）○&&&&（3）○○（4）○&&&&&（5）○& （6）○○○（7）○&&（8）○&&&&&&（9）○（10）○&&&&&（11）○2.&&比较和的大小。3.&&把、、和按从小到大的顺序排列。4.&&在，，，，五个分数中，最大的分数是谁？5.&&把下面的分数按从小到大的顺序排列。、、、、。6.&&比较和的大小。7.&&把、、、按从小到大的顺序排列。8.&&下面四个算式谁最大。（1）&&&&&&&&&&&（2）（3）&&&&&&&&&&（3）9.&&下面两个算式谁大谁小？&&& ；10.&把下面五个分数从大到小排列。&&& 、、、、。11.&在、、、、中，哪个分数最大？12.&比较、的大小。13.&和，谁大谁小？14.&按下面各式值的大小，把A、B、C、D、E从小到大的顺序排列。15.&满足下面式子的最小是多少？＞16.&试比较和的大小。17.&如果＜＜，那么□中应填哪个自然数？18.&已知：，，将A、B、C三个数从小到大排列。19.&在下式中的□内填入7个互不相等且小于20的自然数，使等式成立。&&& 20.&下面给出6个分数算式：&，，，，，，其中哪一个计算结果最小？并求出它的值。&&第三单元&& 速算与巧算六年级所学习的简便计算主要是有关分数的巧算，除与整数、小数简便计算相同外，还有其独特的巧算方法。1．运算定律规律：加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律和分配律，还有加、减法的运算性质、商不变的规律等。2．3．（1）&&（2）&&（3）&&（4）（5）将分拆成两个分数单位和的方法：先找出A的两个约数和，然后分子、分母分别乘，再拆分，最后进行约分。4.&等差数列求和法：（首项+末项）×项数和。5.&约分法简章：将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部分同时除以它们的公有因数或公有因式，从而简化计算过程。例1．&&计算 拓展一&&&&计算 拓展二&&&&计算 拓展三&&&&计算 拓展四&&&&计算拓展五&&&&计算 例2．&&计算 拓展一&&&&计算 拓展二&&&&计算 拓展三&&&&计算 例3．&&计算 拓展一&&&&计算 拓展二&&&&计算 拓展三 &&&&计算拓展四&&&&计算 例4．&&计算 拓展一&&计算 拓展二&&计算 拓展三&&计算 拓展四& 计算计算下面各题：1.&2.&3.&4.&5.&6.&7.&8.&9.&10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.已知，&& 求23.24.25.26.27.减去它的，再减去余下的，再减去又余下的，依此类推，一直减到最后余下的，最后得多少？&第二章 &&有关的分数应用题第一单元& 单位“1”的妙用解答分数应用题，关键要通过分析数量关系，弄清每一道题把什么看作单位“1”，找出解题的数量关系式，再根据分数与除法的关系或一个数乘以分数的意义列式解答。知识、规律、方法在解答时，有的分数应用题常常会出现几个不同的单位“1”，一般都要经过分析，转化成统一的单位“1”，然后进行解答。例1．甲、乙两数之和为180，甲数的等于乙数的，问甲、乙两数各是多少？拓展一&&甲、乙两数相差30，其中甲数的与乙数的相等，求这两个数的和是多少？拓展二&& 上元水果店运来的苹果比橘子多1筐，其中苹果筐数的与橘子筐数的相同，上元水果店一共运来苹果和橘子多少筐？拓展三&& 学校有皮球和足球共100个，皮球个数的比足球个数的多16个，学校有皮球和足球各多少个？例2．某工厂的甲、乙、丙三个车间向灾区捐款，甲车间捐款数是另外两个车间捐款数的，乙车间捐款数是另外两个车间捐款数的，已知丙车间捐款180元，这三个车间共捐款多少元？拓展一&& 兄弟四人合修一条路，结果老大修了另外三人总数的一半，老二修了另外三人总数的，老三修了另外三人总数的，老四修了91米，问这条路全长多少米？拓展二&& 把一堆皮球分装在四个盒子中，其中放入甲盒，放入乙盒。放入丙盒的皮球是甲、乙两盒皮球总数的，丁盒放入10个皮球，这堆皮球一共有多少个？拓展三&& 有红黄两种颜色的小球共140个，拿出红球的，再拿出7个黄球，剩下的红球和黄球正好一样多。原来红球和黄球各有多少个？例3．把一批面粉分给三个工厂，甲厂先分得这批面粉的，乙厂分得余下的，最后丙厂分得吨，这批面粉重多少吨？拓展一&& 某校四、五、六三个年级共有学生618人，其中五年级人数比四年级多10%，六年级人数比五年级少10%，求各年级有学生多少人？拓展二&& 有甲、乙两个粮库，原来甲粮库存粮的吨数是乙粮库的。如果从乙粮库调6吨粮食到甲粮库，甲粮库存粮的吨数是乙粮库的。原来甲、乙粮库各存粮多少吨？拓展三&& 甲容器中装有一定数量的糖，乙容器中装有若干千克水，先从甲容器中取出8克糖放入乙容器中，搅拌均匀后，又将乙容器中的糖水倒30千克到甲容器，搅拌均匀后，甲容器中糖水的质量分数为40%，乙容器中糖水的质量分数为20%，甲容器中应有糖多少克？检测、反馈、应用1．某车间男工人数比女工人数多，女工人数比男工人数少（&&&&&& ）。2.&&&&&&菜地里黄瓜获得丰收，收下全部的时，装满了4筐还多36千克，收完其余部分时，又刚好装满8筐，共收黄瓜（&&&& ）千克。3.&&&&&&食堂运来一批大米，第一天吃了全部的，第二天吃了余下的，第三天吃了余下的，这时还剩下15千克。食堂运来大米（&&&&&）千克。、4.&&&&&&甲有若干本书，乙借走了一半加3本，剩下的书，丙借走了加2本，再剩下的书，丁借走了加1本，最后甲还有2本书。甲原来有（&&&&& ）本书。5.&&&&&&小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条的一半是上坡路，一半是下坡路。小明上学时走两条路所用的时间一样，已知下坡的速度是平路的倍，那么上坡的速度是平路速度的（&&&&&）6.&&&&&&有两堆棋子，A堆有黑子350个和白子500个，B堆有黑子400个和白子100个。为了使A堆中黑子占50%，B堆中的黑子占75%，要从B堆中拿到A堆黑子多少个？白子多少个？7.&&&&&&甲、乙两个仓库，乙仓库原有存货1200吨。当甲仓库的货物运走，乙仓库的货物运走以后，再从甲仓库取出剩下货物的10%放入乙仓库，这时，甲、乙两仓库的货物重量恰好相等。那么甲仓库原有存货多少吨？8.&&&&&&同学们乘汽车外出春游。开始上第一辆汽车的同学比上第二辆汽车的同学多8人。后来调走13个同学上第二辆汽车，这时第一辆汽车上的同学的人数是第二辆汽车上同学人数的。参加这次春游活动的同学一共有多少人？9.&&&&&&某商店分别花同样多的钱，购进甲、乙、丙三种不同的糖果。已知甲、乙、丙三种糖果每千克的价格分别是元、元、元。如果把这三种糖果混合成什锦糖，按20%的利润定价，那么这种什锦糖每千克定价多少元？10.&& 电影票原价每张若干元，现在每张降价3元出售，观众增加一半，收入增加，一张电影票原价多少元？11.&& 王师傅要加工一批零件，若每小时多加工12个零件，则所用的时间比原计划少；若每小时少加工16个零件，则所用的时间比原来多小时。这批零件共有多少个？12.&& 金放在水里称，重量减轻；银放在水里称，重量减轻。一块金银合金重770克，放在水里称，共减轻了50克。这块合金含金银各多少克？13.&& 甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经4小时相遇，相遇后各自继续前进。又经过3小时，甲车到达B地，乙车离A地还有70公里，求A、B两地相距多少公里？14.&& 二年级两个班共有学生90人，其中少先队员有71人，又知一班少先队员占本班人数的75%，二班的少先队员占本班人数的，求两个班各有多少人？15.&& 张师傅做一种零件，第一天做了这批零件的12.5%，第二天比第一天多做了25%，第三天比第二天多做了8只，这时正好完成这批零件的一半，这批零件共有多少只？16.&& 兄弟三人，老大比老二的年龄大20%，老二比老三的年龄大20%，老大比老三的年龄在百分之几？17.&& 某工厂的27位师傅共带徒弟40名，每位师傅可以带一各徒弟、两名徒弟或三名徒弟，如果带一名徒弟的师傅是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有多少位？18.&& 已知甲校学生数是乙校学生数的40%，甲校女生数是甲校学生数的30%，乙校男生数是乙校学生数的42%，那么两校女生总数占两校学生总数的百分比是多少？19.&& 某商店到橘子产地去收购橘子，收购价为每千克1.20元，从产地到商店距离400千米，运费为每吨货物每运1千米收1.50元，如果不计损耗,商店要实现25%的利润，每千克橘子零售价应是多少元？20.&& 有三堆棋子，每堆棋子数一样多,并且都只有黑白两种棋子。第一堆里的黑子数与第二堆里的白子数一样多，第三堆里的黑子数为全部黑子的，把三堆棋子集中在一起，白子为全部棋子的几分之几？21.&& 纸箱中有若干个乒乓球，其中是一级品，（为正整数）是二级品，其余的91个是三级品。共有多少个乒乓球？&&第二单元&&& 工程问题工程应用题中的工作(或工作)一般不给出具体数量。解题时首先要将全部工程看作单位“1”，再求出一个单位时间的工作量占总工作量的几分之几，即工作效率。一般要用到下面三个关系式：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。在解答时要注意以下几点。1．&&&&&&&&&&&&&有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，要仔细梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。2．&&&&&&&&&&&&&涉及到具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之间的关系，转化为分数应用题来解答。3．&&&&&&&&&&&&&对一些有循环周期的工程问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间。例1．&&&&&&打印一份稿件，甲单独打4小时打了这份稿件的，乙接着又打了2小时，打了这份稿件的，剩余的甲、乙共同打，还需几小时？拓展一 一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成。这件工作，先由甲做了若干天，然后乙继续做完，从开始到完工共用了14天，问甲、乙两人各做了多少天？拓展二 一件工作，若单独完成，甲需10小时，已需15小时，丙需20小时。现由三人合做，中途甲因故停工几小时，结果6小时才将工作完成。问甲停工几小时？拓展三 有甲、乙两人合做一项工程，需天完成。若甲一人独做8天后，再由乙独做10天完工，问甲、乙单独做各需几天完工？拓展四 一个水池，甲、乙两管同时开，5小时灌满，乙、丙两管同时开，4小时灌满。如果乙管先开6小时，还需要甲、丙两管同时2小时才能灌满（这时乙管关闭），那么乙管单独开灌满水池需要多少小时？例2．&&&&&&修一段公路，甲队单独做要40天，乙队单独做要用24天。现在两队同时从两端开工，结果距中点750米处相遇，这段公路长多少米？拓展一 甲、乙两人同时共同加工一批零件。完成任务时甲做了全部零件的。已知乙每小时加工12个零件，甲单独加工完成这批零件要12小时，这批零件有多少个？拓展二 有一批零件，甲单独做要用天，比乙单独做多用了天。现两人合作4天后，剩下210个零件由甲单独去做，自始至终甲共做了多少个零件？拓展三 栽一批黄瓜，兄弟二人合栽8小时完成。现哥哥先栽了3小时后弟弟又独栽了一小时，还剩总棵数的没有栽。已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵，这块地共栽黄瓜多少棵？例3．&&一项工程，甲单独做需12小时，乙单独做需18小时，若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时共用多少个小时？拓展一 一项工程，甲单独做6小时完成，乙单独做10小时完成，如果按甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每次一小时，那么需要多少个小时完成？拓展二 一项工程，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，那么完成这项工程的一共要用多少小时？拓展三 一件工程，甲、乙合作6天能完成。如果甲单独做，那么完成与乙完成所需的时间相等。若按甲、乙、甲、乙……的顺序每人一天轮流，则需多少天完成任务？检测、反馈、应用1．&&& 老刘和小李合做一件工作，要12天完成，如果让老刘先做8天，剩下的工作由小李单独做，小李还要14天才能完成。小李单独做这件工作需几天完成？2．&&& 一件工程，甲、乙合作需6天完成，乙、丙合作需9天完成，甲、丙合作需15天完成，再在甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？3．&&& 一项工作，甲、乙合作要12天完成。若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的。如果这件工作由甲、乙单独做，甲需要多少天？乙需要多少天？4．&&& 抄一份稿件，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天工作效率的和；丙的工作效率相当于甲、乙每天工作效率和的；如果三人合抄，只需8天就完成了，那么乙单独抄需要多少天才能完成？5．&&& 师徒三人合作承包一项工程，4天能够全部做完。已知师傅单独做所需要天数与两个徒弟合作所需天数相等，而师傅与乙徒弟合做所需天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等。那么甲徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？乙徒弟单独做，完成这项工程需要多少天？6．&&& 一件工作，甲乙两人合作30天可以完成。甲乙两人共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成。如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？7．&&& 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合做，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息），问开始到完工共用了多少年来天时间？8．&&& 某工程由甲单独做63天可以完成，由乙单独做28天可完成。现在甲先单独 42天，然后再由乙来单独完成，乙还需要多少天？9．&&& 甲乙合作一件工作，由于配合好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高了。甲乙合作6小时，完成全部工程的，第二天乙又单独做了6小时，还剩下这件工作的未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需多少小时？10．甲、乙、丙、合修围墙，甲乙合修5天完成了，乙丙合修了2天完成余下的，然后甲丙合修了5天才完工，整个工程的劳动报酬是600元，乙分得多少元？11．一件工作，甲单独做12天完成，乙单独做要18天完成，丙单独做要24天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍；再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于完成这件工作。问共用了多少天？12．一项工程，甲乙丙三人合作需13天完成，如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲乙两人合作多做1天，这项工程由甲单独做需要多少天？13．制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成，乙车间与丙车间一起做，需8天才能完成。现在三个车间一起做，完工时发现甲车间比乙车间多做零件2400个，丙车间制作零件多少个？14．甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天完成。若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用天。已知甲单独做完这件工作要13天，甲、乙、丙三人一起做这件工作要用多少天完成？15．蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管要3小时，单开丙管要5小时，要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现在池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序循环开各水管，每次每管开1小时，则多长时间后水开始溢出水池？&&第三单元&& 类比法解题知识、规律、方法在解题过程中，可通过联想找到一个与要解答的题目相类似的原型题，用原型题的解题方法使新问题获得解答。这种思考方法叫做类比法。常见的类比题型如下：钟表问题：可以与环形跑道赛跑问题类比进行思考。钟表中的时钟和分针与赛跑中的运动员是对应的，分针对时针的追及与运动员追及中的行程问题相似。还有的题目可类比成工程问题、平均数问题等等。例1．&&&&&&某时，分针与时针正好在一条直线上，至少再过多少时间，两针重合？拓展一& 小明每天6点回家吃晚饭。一天，她妈妈从6点钟开始等，一直等到时针与分针第二次成直角时小明才回家，问小时几点钟到家的？拓展二& 有一只手表，每小时慢4分，早上8点整时将时间对准，那么当这只表指向中午12点整的时刻，实际时间是几点几分？拓展三& 某运输队为商店运输花瓶500箱，每箱6个花瓶。已知每10个花瓶的运费为5.5元，损坏一个花瓶，要赔偿成本11.5元（这只花瓶的运费当然也就得不到了），结果运输队共得到1553.6元。共损坏了多少只花瓶？例2．张老师为国画兴趣小组的同学买书。他带的钱正好可以买15本山水画或24本人物画。如果张老师买了8本人物画以后，剩下的钱全部买山水画，那么还可以买几本山水画？拓展一 一列快车由甲城开往乙城需要8小时，一列慢车由乙城开到甲城要用12小时。两车同时从两城相对开出，相遇时快车比慢车一共多行192千米，两城相距多少千米？拓展二 大雪后的一天，小亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长。他俩的起点和走的方向完全相同。小亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。由于两人的脚印有重合，所以，雪地上只留下60个脚印，求这个花圃的周长是多少米？拓展三 我国明代数学家徐光启逝世时的年龄是他出生年份的，1607年他完成了《原本》前6卷的翻译工作。1629年主持编写“新历法”，但未完成就去世了，1634年由李天经最后完成。1607年徐光启多大岁数？检测、反馈、应用1.&&&&&&一个两位数，十位数与个位数的和是9，把十位数字与个位数字交换位置后所得的新数与原数的比是5 ：6，原数是（&&&&&&）。2.&&&&&&时钟六点整，分针与时针正好在一条直线上，至少再过（&&&&& ）分，两针正好重合？3.&&&&&&一个小于400的三位数，它是平方数，它的前两个数字组成的两位数是平方数，其个位数也是平方数。这个三位数是（&&&&&& ）。4.&&&&&&在某五年制小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有18人获奖，在全校获奖者中有16人不是四年级的，有14人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是（&&&&&& ）。5.&&&&&&如图所示：线段AB上共有10个点（包括两个端点），那么这条线段上一共有（&&&&&）条不同的线段。6.&&&&&&李老师为课外兴趣小组的同学去买书，他带的钱可买15本语文书或24本数学书。如果李老师买了10本语文书后，剩下的钱全部买数学书，还可买多少本？7.&&&&&&甲、乙两人从两地出发，相向而行。甲走完全程需2小时，乙走完全程需3小时，两个相遇时甲比乙多走千米，求两地之间的距离。8.&&&&&&甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先从甲桶倒入乙、丙两桶，使乙、丙两桶各增加原有油的一倍；再从乙桶倒入甲、丙两桶，使甲、丙两桶各增加原有油的一倍；最后，从丙桶倒入乙、甲两桶，使乙、甲两桶各增加原有油的一倍。这样，各桶里的油都是48千克。问各桶原来分别盛油多少千克？9.&&&&&&在下列两组图形中，正方形的边长都是1。每组三个图形里的阴影部分的面积是否都相等？为什么？10.&& 把自然数中的偶数2、4、6、……像下表那样依次排成5列，把最左边的一列叫做第一列，从左到右依次编号。这样，数“1990”出现在第几列？&&&&&&&&&&&&&&2&&&& 4&&& 6&&& 8&&&&&&&&&16&& 14&&& 12&& 10 &&&&&&&&&&&&&&18&&& 20&& 22&& 24&&&&&&&&&32&& 30&&& 28&& 26&&&&&&&&&&&&&&34&&& 36&& 38&&& 40 &&&&&&&&&48&& 46&&& 44&& 42 &&&&&&&&&&&&&&50&&& 52&& 54&& &56 11.&& 把1000个1立方厘米的正方体合在一起，堆成边长是1分米的正方体，把这个正方体的表面涂上黄漆。小正方体中，至少有一面涂了黄漆的共有多少个？12.&& 计算13.&& 一个圆柱体的侧面积是320平方厘米，圆柱的底面积半径是20厘米，求圆柱体体积。14.&& 如图，有两个同样大小的正方形纸片ABCD和MNPQ，如果把A点放在MNPQ的中心，那么这两个正方形纸片的重叠部分的面积等于多少？15.&& 一篮鸡蛋2个2个地数余1个，3个3个地数余2个，5个5个地数余4个，6个6个地数余5个。这篮鸡蛋最少有多少个？16.&& 有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根长280厘米。现在这三根钢管截成尽可能长又相等的小段，共截成这样的小段多少段？17.&& 50张卡片，写着1~50这50个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝。某班有50名学生，老师把50张卡片中蓝色的一面都朝上摆在桌上，对同学们说：“请你们按学号的顺序逐个到前面 来翻卡片，规则是只要卡片上的数字是你自己的学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻成红，红翻成蓝。”那么每个学生都翻完后，红色朝上的卡片有几张？&&第四单元&&& 对应法解题知识、规律、方法对应的思想方法是解题时常用到的一种方法。所谓“对应”，就是在两类事物之间建立某种联系，以实现未知向已知的转化。1.&&&&&&量率对应：解答分数应用题时，在确定单位“1”以后，一个具体数量总与一个具体分率相对应，抓住这种对应关系是解答分数应用题的关键。（1）&&&&&求一个数的几分之几是多少时，单位“1”的量×分率=对应数量。（2）&&&&&已知一个数的几分之几是多少，求这个数时，对应数量÷对应分率=单位“1”&&&&&&&的量。&2.&&&&&&对应消去法：有些应用题，给出了两个或两个以上的未知数量间的关系，要求出这些未知的数量。我们可以通过比较，分析对应的未知数量变化的情况，想办法消去一个未知量，从而求出最后问题。例1．&&&&&&王师傅计划做一批零件，零件，第一天做了计划的，第二天做了余下的，这时还剩42个零件没做，王师傅计划做多少个零件？拓展一 某小学学生中的是男生，男生比女生少328人，该小学共有学生多少人？拓展二 小林看一本故事书，第一天看的页数比总页数的多16页；第二天看的页数比总页数的少2页，还余下88页。这本书共有多少页？拓展三 新生小学男生比全校学生总数的少25人，女生比全校学生总数的多15人，求全校总人数。拓展四 部队给养老院运苹果，第一次运来了全部的，第二次运来了50千克，这时，已运来的恰好是没运来的，还有多少千克苹果没有运来？例2．&&&&&&小明有5盒奶糖，小强有4盒水果糖，共值44元。如果小明和小强对换一盒，则各人手里的糖的价值相等。一盒奶糖和一盒水果糖多值多少元？拓展一 把105升水注入两个容器，可灌满甲容器及乙容器的，或可灌满乙容器及甲容器的。甲、乙两个容器的容量各是多少升？拓展二 2个男工和4个女工在一天内可加工全部零件的，8个男工和10个女工在一天内可加工完全部零件。如果把单独让男工加工和单独女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？拓展三 教室里有若干名学生，走了10名女生后，男生人数是女生的2倍，又走了9名男生后，女生是男生人数的5倍，最初有多少名女生？检测、反馈、应用1.&&&&&&&&两个仓库共储存粮食1024吨，甲仓存粮是乙仓存粮的3倍，甲、乙两仓各存粮多少吨？2.&&&&&&&&张华看一本故事书，每天看30页，3天后还剩全书的没有看，这本故事书一共有多少页？3.&&&&&&&&甲乙两人合买一筐西瓜，甲买了其中的还要多千克，乙正好买了其中的一半，这筐西瓜共有多少千克？4.&&&&&&&&有红黄两种颜色的小球共140个，拿出红球的，再拿出7个黄球，剩下的红球和黄球同样多，原来红球和黄球各有多少个？5.&&&&&&&&学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯，共用去了134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个茶杯，共用去118元。水瓶和茶杯的单价各是多少元？6.&&&&&&&&甲筐的苹果比乙筐多30斤，丙筐的苹果是甲筐的2倍，丙筐比乙筐的3倍多10斤。三筐各有多少苹果？7.&&&&&&&&打退敌人一次进攻后，班长清点手榴弹发现：如每人分5颗，还剩8颗；如每人分6颗则差4颗。这个班共有多少名战士？还有多少颗手榴弹？8.&&&&&&&&56名少先队员参加学校劳动，其中的打扫礼堂，剩下的队员中，的人打扫操场；第二次剩下的队员中，的人打扫教室，其余的负责打扫空地。问打扫空地的同学有多少人？9.&&&&&&&&甲、乙两车分别从A、B同时出发，相向而行。第一次两车在距B地64公里处相遇，相遇后仍以原速继续行驶，到达对方站后原路返回，两车在距离A地48公里处第二次相遇。两次相遇地点间的距离是多少公里？10.&&&&买5个排球和3个篮球需付100元，而买2个排球和3个蓝球只需会67元。问每只排球和篮球各多少元？11.&&&&妈妈带了一笔钱，去市场买水果，若买橙子15千克，差4元，若买橘子20千克，则多20元。两种水果每千克的价格相差元。两种水果的单价分别是多少元？12.&&&&少先队员参加植树，准备栽的苹果树苗是梨树苗的2倍，如果每人栽3棵梨树苗，则多3棵，每人栽7棵苹果树苗，则少6棵，参加植树的少先队员有多少人？苹果树苗和梨树苗分别有多少棵？13.&&&&一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4：5：6。已知他上坡速度为每小时3千米，路程全长50千米。此人走完全程用了多少时间？&&第五单元&&& 时钟问题知识、规律、方法钟表是我们日常生活中的计时工具，它除了告诉我们时间外，在钟面上还存在着许多数学问题。如分针和时针每隔多少时间重合一次，在一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次，当钟表比标准时间快或慢时会有什么样的规律。在一个钟面上，由于时针12小时旋转一周，所以时针1小时旋转的圆心角度数是30度，1分钟旋转的圆心角度数为度。分针1小时旋转一周，也就是分针1分钟旋转的圆心角度数为6度。钟面一周平均分为60格，相邻两格刻度之间的时间间隔为1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格，时针的速度是分针速度的。例1．&&&&&&现在是下午3点，从现在起时针与分针什么时候第一次重合？拓展一 分针和时针每隔多少时间重合一次？一个钟面上分针和时针一昼夜重合几次？拓展二 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是多少度？拓展三 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？拓展四 9点过多少分时，时针与分针离“9”的距离相等，并且在“9”的两边？例2．&&&&&&小云晚上9点整将手表对准，可第二天早晨8点到校时，她以为准时到校，却迟到了10分钟。那么，小云的手表每小时慢几分钟？拓展一 小明有一块手表，每分钟比标准时间快2秒钟。小明早晨8点整将手表对准，问当小明这块手表第一次指向12点时，标准时间此是是几点几分？拓展二 有一只钟，每小时比标准时间慢1分。中午12点调准，下午慢钟指到6点时，标准时间是下午几时几分？拓展三 星期日小明去同学家玩了两个多小时，离家时他看了看钟，回家时又看了看钟，发现时针与分针恰好互换了一个位置，问小明离开家多少时间？拓展四 爷爷的老式时钟一点也不准，它的时针与分针每隔66分重合一次，如果早晨8点将钟对准，到第二天早晨时钟再次指示8点时，实际是几时几分？检测、反馈、应用1.&&&&&&&&从时钟指向4点开始，再经过多少分钟，时针正好与分针第一次重合。2.&&&&&&&&在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻互相垂直？3.&&&&&&&&有一只钟每小时慢3分钟，早上7点钟的时候，对准了标准时间，当慢钟的批针批向12点整的时候，标准时间是多少？4.&&&&&&&&在3点与4点之间，时针与分针在什么时刻位于一条直线上，并且方向相反？5.&&&&&&&&星期天，小李在公园玩，他上午10点10分进去，下午3点50分出来，他在公园一共玩了多长时间？6.&&&&&&&&小玲家有一个闹钟，每小时比标准时间快2分钟。星期天上午9点整，小玲对准了闹钟，想让闹钟在11点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭，那么小玲应将铃定在几点几分上？7.&&&&&&&&有一个时钟快20秒，它在3月1日中午12时准确指示时间，下一次准确指示时间是在什么时间？8.&&&&&&&&爷爷家的老式钟的时针与分针，每隔66分钟重合一次，这只时钟每昼夜慢多少分钟？9.&&&&&&&&张奶奶家的闹钟每小时快2分钟（准确的闹钟的分针每小时应走一圈，而这个闹钟的分针每小时走一圈多2格）。昨晚21：00，张奶奶把闹钟与北京时间对准了，同时把闹钟拨到今天早晨6：00闹铃，张奶奶听到闹铃声时比北京时间今天早晨6：00提前了几分钟？10.&&&&王宇家有一只闹钟，每小时比标准时间慢半分钟。有一天晚上8点时，王宇对准了闹钟，他想在第二天早晨5点55分起床，于是他将闹钟的闹铃定在5点55分。问这个闹钟将在标准时间何时响铃？11.&&&&小张下午要到工厂上3点的班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了，他上足发条后忘了拨针，匆匆离家，到工厂一看离上班时间还有10分钟。8小时工作后夜里11点下班，小张回到家，一看钟才9点整。假如他上下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多长时间？12.&&&&某科学家设计了一个怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分，当这只怪钟显示5点时，实际上是中午12点；当这只怪钟显示6点75分时，实际上是什么时间？13.&&&&手表比闹钟每时快60秒，闹钟比标准时间每时慢60秒。8点整将手表对准，12点整手表显示的时间是几点几分几秒？14.&&&&高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走得不正常，每个白天快分，每个夜晚慢分。如果在9月1日清晨将挂钟对准，那么挂钟最早在什么时间恰好快3分？15.&&&&8点过多少分时，时针与分针离“8”的距离相等？16.&&&&一部动画片放映的时间不足1小时，小明发现结束时手表上时针、分针的位置正好与开始时针、分针的位置交换了一下，这部动画片放映了多少时间？&第六单元&& 倒推法解题知识、规律、方法&&& 有些应用题告诉我们事情的发生、发展和结果，解这类应用题如果从已知条件出发，顺着考虑下去，可能因误入歧路而陷入解题困境。这时不妨把思考方向改变一下，倒过来想想，可能会“柳暗花明又一村”。从后往前一步步倒着推算，这种思考方法叫还原法。能用倒推法解决的数学问题常常满足下列三个条件：1．&已知最后的结果；2．&已知在到达最终结果时的每一步的具体过程（或具体做法）；3．&求知的数量是最初的数据。例1．&&&&&&华球商店出售洗衣机，上午售出总数的一半多20台，下午售出剩下的一半少20台，结果还剩105台。华球商店原有洗衣机多少台？拓展一 某人去取款，第一次取了存款数的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时还剩125元，他原有存款多少元？拓展二 小明有钱若干元，第一次用去后，又得到240元，第二次用去这时所有钱的后，还剩下720元。问第一次用去多少元？拓展三 3只猴子吃篮子里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮子里原有桃子多少只？拓展四 甲、乙两人各有钱若干元，甲拿出给乙后，乙又拿出给甲，这时他们各有240元，两人原来各有多少元？例2．&&&&&&甲、乙两港口各停有小船若干只，如果按下面的办法移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只，第二次从乙港开出和甲港同样多的船只，那么照这样四次后，甲、乙两港所停的船只数都是48只，求甲、乙两港原来各有多少只小船？拓展一 有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先把甲桶的油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再把乙桶的油倒入甲、丙两桶，使它们现有的油各增加一倍；最后以同样的方式把丙桶的油倒入甲、乙两桶，这样各桶的油都是16千克。三个油桶原来各盛油多少千克？拓展二 甲、乙、丙三人各有若干本书。甲给乙、丙两人几本书，使两人书的本数增加1倍；然后乙也照这样送给甲、丙两人；最后丙也照这样送给甲、乙两人。结果甲有书48本，是丙的书本数的，乙的书本数是丙的书本数的，甲、乙、丙三人原来各有书多少本？拓展三 甲、乙、丙、丁各有棋子若干，甲先拿出自己棋子的一部分给了乙、丙，使乙、丙每人的棋子数各增加一倍；然后乙也把自己的棋子的一部分以同样的方式给了丙、丁，丙也把自己棋子的一部分以这样的方式给了甲、丁，最后丁也以这样方式将自己的棋子给了甲、乙，这时四人的棋子都是16枚，原来四人各有多少枚棋子？检测、反馈、应用一、选择题1.&&&&&&&&货场原有煤若干吨，第一次运出存煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果还剩600吨。货场原存煤&&&&&&& 吨。A．850&&&&B．760&&&& C．1700&&&&& D．18002.&&&&&&&&小丽从家带来鸡蛋，第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天再吃余下的一半又半个，恰好吃完。小丽从家带了&&&&&&&&个鸡蛋。A．10&&&&B．7&& C．13&&&&&D．93.&&&&&&&&仓库里的水泥要全部运走。第一次运走了全部的又吨，第二次运走了余下的又吨，第三次运走了第二次余下的又吨，第四次运走了第三次余下的又是吨，第五次运走了最后剩下的19吨。这个仓库原来共有水泥&&&&&&&&&&吨。&A．99&&&&B．78&&&& C．56&&&&& D．1354.&&&&&&&&甲、乙、丙三个朋友按下列方法分配苹果：甲得到了全部的又8个，乙取了所剩的又8个，丙取了最后余下的和所剩下的8个。甲小朋友得苹果&&&&&&& 个。A．24&&&&B．27&&&& C．25&&&&& D．285.&&&&&&&&一辆拖拉机耕一块地，第一小时耕了整块的又公亩，第二小时耕了余下的又公亩，还剩230公亩没有耕。这块地原来有&&&&&&&&&&&&公亩。&A．307&&& B．&&&&C．&&&&&D．4606.&&&&&&&&一堆西瓜，第一次卖出总个数的又6个，第二次又卖出余下的又4个，第三次又卖出余下的又3个，正好卖完，这椎西瓜原有（&&&&& ）个。A．27&&&& B．28&&&& C．29&&&&&D．307.&&&&&&&&&有一堆棋子（棋子数大于1），把它四等分后剩一枚，拿去三份又一枚。将剩下的棋子再四等分后还是剩下一枚，再拿走三份又一枚，将剩下的棋子四等分还是剩一枚，原来至少有（&&&&&& ）枚棋子。&A．37&&&& B．43&&&& C．69&&&&&D．85&二、解答题8.&&&&&&&把180个苹果按每个人一个分给甲、乙、丙、丁四个幼儿班的小朋友。如果甲班人数加2，乙班人数减2，丙班人数乘以2，丁班人数除以2，四个班人数相等。这四个班各应分多少个？9.&&&&&&&有一筐梨，甲取了一半又1个，乙取了余下的一半又1个，丙取了余下的一半又1个，这时筐里只剩1个梨。这筐梨共值4.40元,问每个梨值多少钱?10.&&&工地运来两车水泥，第一次用去一半又半吨，第二次用去余下的一半又半吨，第三次用去最后剩下的一半又半吨，正好用完。这两车水泥共有多少吨？11.&&&两棵树上共有麻雀25只，第一棵树上的麻雀飞到第二棵树上5只，又从第二棵树上飞走了7只，这时第一棵树上的麻雀是第二棵树上的2倍，问原来每棵树上的麻雀各有几只？12.&&&甲、乙各有若干元，甲拿出给乙后，乙拿出给甲，这时他们各有90元。他们原来各有多少元？13.&&&一堆西瓜第一次卖出总数的还多4个，第二次卖出剩下的还多3个，第三次卖出剩下的还多3个，第四次卖出剩下的少1个半，还剩12个。这堆西瓜原有多少个？14.&&&仓库中有水泥若干袋。第一次运出全部水泥的，第二次运进400袋，第三次又运出现有水泥的又40袋，结果仓库里还剩下水泥800袋。仓库里原来有水泥多少袋？15.&&&老奶奶卖西瓜，第一次卖出了全部的一半又半个，第二次卖出了余下的一半又半个，第三次卖出了第二次余下的一半又半个，第四次卖出了第三次余下的一半又半个，最后还剩下一个西瓜，老奶奶原来有多少个西瓜？16.&&&54张扑克牌，两人轮流拿牌，每人每次只能拿1张到4张，谁取最后一张就输。问先拿牌的人怎样拿才能保证获胜？17.&&&有铅笔若干支，分给甲、乙、丙三个学生，最初甲得最多，乙得较少，两得最少。后重新分配，第一次甲分给乙、丙各自所有的铅笔数再多4支；第二次乙分给甲、丙各自所有的铅笔数再多4支；第三次丙分给甲、乙各自所有的铅笔数再多4支，此时甲、乙、丙三个学生各得铅笔44支。最初这三个学生各有铅笔多少支？18.&&&红星小学为山区学校捐图书，按计划把这批书的又6本送给李村小学，把余下的一部分送给王村小学，送给王村小学的比送给李村小学的3倍还多136本，又把第二次余下的75%又80本送给张村小学，最后剩下300本，作为数学竞赛的奖品，红星小学一共捐献了多少本图书？&&第七单元&&& 列举法解题知识、规律、方法当我们面临的问题存在大量的可能的答案（或中间过程），而暂时又无法用逻辑方法排除这些可能答案中的大部分时，有时不得不采用逐一检验这些答案的策略。列举法就是把问题分为不重复、不遗漏的几类情况，并把每一类中的答案按一定的顺序一一列举出来，直至看出规律，然后再根据规律数一数答案的个数或者写出全部答案。范例、解析、拓展例1& &李萍的口袋里有五张标有数5、10、20、50、100的卡片。如果每次取出4张计算它们&& 的和，那么共有多少种不同的和？拓展一&用0，4，5，9可以组成多少个能被5整除的四位数？拓展二&由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个不同的最简真分数？拓展三& 有一个没有盖子的正方体纸盒，请你沿着正方体的棱，将这个无盖纸盒剪成展开图，有多少种不同的展开图？拓展四& 参加“洽谈会”的客人见面问候，在6位客人中，不重复地握手13次，互相之间都握过手的至少有多少位客人？例2．玲玲买了三种练习本：自然本每本8分钱，语文本每本1角钱，数学本每本2角钱。她一共用了一元二角二分钱。那玲玲买的三种本子的总和最少是多少？拓展一 某次数学竞赛共有10道题，评分办法是：答对一道题得3分，答错一题倒扣1分，不答得0分。已知参加竞赛的学生中至少有3个人的得分相同。参加竞赛的学生至少有多少人？拓展二 我家住在一条短胡同里，这条胡同的门牌号从1号开始，挨着号码编下去。如果除我家外，其余各家的门牌号数加起来减去我家门牌号数的2倍，恰好等于100。我家门牌号是几号？全胡同共有多少家？拓展三 甲、乙、丙三个自然数的和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都是“商5余1”，甲数是多少？检测、反馈、应用一．选择题1.&&&&&&&新学期开学了，10个同学见了面，如果每两个同学都握一次手，那么共握手&&&&次。A．9&&&&B．20&&&C．30&&&&&D．452.&&&&&&&从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经乙地到丙地可有&&&&&&& 种走法。A．9&&&&B．15&&&C．12&&&&&D．163.&&&&&&&一个工人将子弹装进两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完。如果子弹一共99颗，盒子数大于10。问大盒子有&&&&&&&个，小盒子有&&&&&&个。A．11，13&&&& B．2，20&& C．2，30&&&&& D．2，154.&&&&&&&观察前四个数，写出最后一个数：2，7，22，67，（&&&&&&&）A．89&&&&B．202&&&&&C．104&&&&D．1245.&&&&&&&从1993这个数里，第一次减去它的二分之一，第二次减去剩下的三分之一，第三次再减去剩下的四分之一，依此类推，一直到最后减去剩下的一九九三分之一，那么最后剩下的数是&&&&&&&&& 。A．2&&&&B．1&& C．3&&&&&D．46.&&&&&&&某铁路上有11个车站，有一个收集火车票的爱好者收集了这条线路上每个车站发售的通往其他各车站的火车票，他一共收集了&&&&&&&&&& 张。A．60&&&&B．110&&&&&C．95&&&&&D．557.&&&&&&&有一个五分币，四个二分币，八个一分币，要取9分钱，有&&&&&&&&&种取法。A．7&&&&B．11&&&&C．20&&&&&D．148.&&&&&&&用1、2、3、4四张数字卡片，每次取3张组成一个三位数，可以组成&&&& 个奇数。A．8&&&& B．10&&&& C．12&& &&&D．149.&&&&&&&下图中有&&&&&&&个三角形。&&&&&&&&&&条线段。A．3，5&&& B．6，10&&&& C．7，7&&&& D．8，12&二、解答题10.&&& 两个人的年龄和是36岁，且各自的年龄数都是质数，他们们各自的年龄可能分别是多少岁？11.&&& 现有1克、2克、3克重的天平砝码，要用10个砝码称出20克重的物体。（1）在取出的砝码中有3个1克的，那么3克重的砝码应有多少个？（2）除（1）的情况外，取出的砝码还有几种情况呢？（设任何一种砝码至少取一个）12.&&& 有铅笔若干支，分配给甲、乙、丙三个学生。最初甲分得的最多，乙分得的较少，丙分得的最少，因此重新分配。第一次分配，甲分别给乙、丙原有支数多4支；第二次分配，乙分别给甲、丙原有支数多4支；第三次分配，丙分别给甲、乙原有支数多4支。经过三次重新分配后，甲、乙、丙三人各得铅笔44支，最初甲得几支？13.&&& 有糖块144颗，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不得多于40颗，共有多少种分法？14.&&& 小刚和小李玩掷骰子游戏，共有两枚骰子，一起掷出，若两枚骰子的点数和为7，则小刚胜；若点数和为8，则小李胜。想一想，他们两人获胜的可能性大，为什么？15.&&& 一只甲虫从A点出发（如下图），要沿着某几条线段从A点爬到F点。在行进中，同一个点或同一条线段只能经达一次，这只甲虫最多有多少种不同走法？16.&&& 新任宿舍管理员拿了20把钥匙去开20个房门，他知道每把钥匙只能开一个房门，但不知道哪把钥匙能开哪一个房门，现在要打开所有关闭的20个房门，那么他至少要试开多少次？17.&&& 小丽爱吃青菜、菠菜、丝瓜三种蔬菜，她准备每天吃一种，且相邻两天不能吃同一种蔬菜。如果小丽第一天吃青菜，第五天也吃青菜，那么，这五天中她共有多少种不同的安排？18.&&& 从1~100的自然数中，每次取两个不同的自然数相加，使其和大于100。共有多少种不同的取法？19.&&& 奶奶有2元、1元、5角、2角、1角的钱各3张，到百货商店买4元9角的东西，怎样拿可以正好把钱交上，不用找钱，一共有几种拿法？20.&&& 甲、乙两人比赛乒乓球，先胜三局的人算赢。直到决出胜负为止，共有多少种可能发生的情况？21.&&& 下面四个图形都具有两个特点：（1）由四个连在一起同样大小的正方形组成；（2）每个小正方形至少和另一个小正方形有一条公共边，我们把具有以上两个特点的图形叫做“俄罗斯方块”。如果某个俄罗斯方块在平面上旋转后与另一个俄罗斯方块相同，那么这两个俄罗斯方块只能算一种，除了下面三种外，还有好几种俄罗斯方块，请你把这几种都画出来。&第八单元&&& 利润和折扣知识、规律、方法利润和折扣是常见的一类百分数应用题。通常把一种商品的售价与成本价（或进货价）之间的差称为利润。例如某商品的进货价（也叫买入价、成本价）是100元，以130元售出，获得利润（元），利润÷成本=利润率。如上题中的利润率为30÷100=30%，也可以直接说利润为30%，也可以直接说利润为30%，利润通常用百分数表示。商品减价出售时，通常叫打折出售或打折扣出售。几折就是现价是原价的百分之几十。如一台彩电打八五折出售，也就是按原价的85%出售。有关利润和折扣，要重点理解、掌握以下几个数量关系。1．售出价-进货价=利润率利润÷成本（进货价）=利润率2．& 卖出价=成本×（1+利润率），成本=卖出价÷（1+利润率）3．& 商品的定价一般按照期望的利润率来确定：定价=成本×（1+期望的利润率）4．& 现价=原价×折扣数例1．&&&&&&某商品按定价的80%（八折）出售，仍能获得20%的利润。定价时期望的利润百分数是多少？&&& 拓展一 商店以每双元购进一批凉鞋，售价为元。卖到还剩5双时，除成本外还获利45元。这批凉鞋共有多少双？&&& 拓展二 某商品按20%的利润定价，然后又按定价的80%出售，结果每件亏损64元。这一商品的成本是多少？&&& 拓展三 一件商品按20%的利润定价，然后按八八折出售，共得利润84元，这件商品的成本是多少元？&&& 拓展四 某商店同时卖出两件商品，每件各得30元，其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？&例2．&&&&&&某商品按定价卖出可获利润960元，现在按定价的80%出售，则亏损832元。该商品的购入价是多少元？拓展一 有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店便宜10%。甲店按20%的利润来定价，乙店按15%的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元。问甲店的进货价是多少元？拓展二 甲、乙两种商品成本共250元，商品甲按30%的利润来定价，商品乙按20%的利润来定价。后来应顾客要求，两种商品按定价9折出售，仍获利33.5元，问甲商品的成本是多少元？拓展三 新华书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价的90%收款，某学校到书店购买甲、乙两种书，其中“乙种书的册数是甲种书的”，只有甲种书得到了90%的优惠，这时，购买甲种书所付总款数是购买乙种书所付总款数的2倍，已知乙种书每本的价格是1.5元，那么甲种书每本多少元？检测、反馈、应用1.&&&&&&&一种商品，进货价400元，售价500元。这种商品所获得的利润占成本的（&&&&）2.&&&&&&&商店出售一种电视，原价2500元，后来打八五折出售。这种电视现在的价钱是（&&&&）。3.&&&&&&&商店每卖出一本挂历，可获得利润12元，已知每本挂历售价52元，这种挂历的利润率为（&&&& ）。4.&&&&&&&一部手机的售价是1800元，这部手机售出后可获20%的利润，这部手机的进货价为（&&&&）。5.&&&&&&&一件上衣进价为240元，售出时按15%的利润来定价，这件上衣的售出价是（&&&&）。6.&&&&&&&有甲、乙两家商店，如果甲店的利润增加20%，乙店的利润减少10%，那么这两店的利润就相同。原来甲店的利润是原来乙店利润的（&&&& ）%。7.&&&&&&&某商店有两件商品，其中一件商品按成本增加25%出售，一件商店按成本减少20%出售，售价恰好相同，那么，。二、解决问题8.&&&&&&&商品甲按20%的利润卖出，卖出价是240元，商品乙按10%的亏损卖出，卖出价是270元，甲和乙两件商品的成本谁多？多百分之几？9.&&&&&&&商品甲的定价中含30%的利润，商品乙的定价中含40%的利润。甲、乙两种商品的定价相加是470元，甲的定价比乙的定价多50元。甲、乙两种商品的成本名是多少元？10.&&& 一批商品按50%的期望利润率定价，结果只卖了70%的商品。为尽快卖完剩下的商品，商品决定按定价打折出售，这样所获的全部利润是原来期望获得利润的82%，问商品打了几折出售？11.&&& 某种蜜瓜从出售之日起，每天比前一天降价20%。小明在出售的第二天买了3千克，在出售的第三天又买了5千克，两次共花了42元，蜜瓜出售的当天售价是多少元？如果这8千克蜜瓜在第四天只要多少元？12.&&& 有一种商品，甲店进货价比乙店便宜10%，甲店按10%的利润来定价，乙店按20%的利润来定价，结果甲店的定价比乙店的定价便宜21元。问甲店的进货价是多少元？13.&&& 某体育用品商店进了一批篮球，分一级品和二级品，二级品的进价比一级品便宜20%。按优质优价的原则，一级品按20%的利润来定价，二级品按15%的利润来定价，一级品篮球比二级品篮球每个贵14元。一级品篮球的进价是多少？14.&&& 文体商店用2400元进了一批蓝球和足球，篮球比足球多15个，商店出售足球的定价是20元，篮球的定价比足球多20%，这批球售完后共获利820元。足球和篮球各有多少个？15.&&& 某商场在迎亚运商品展销期间，将一批商品降价出售。如果减去定价的10%出售，可盈利215元；如果打八折出售，则亏损125元。问此类商品的购入价是多少元？16.&&& 某商品按定价出售，每个可获得45元的利润。现在按定价的八五折出售8个所获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所获得的利润一样多。这一商品每个定价是多少元？17.&&& 黄先生向商店订购每件定价为100元的某种商品80件。黄先生对商店经理说：“如果你肯降价5%，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了一下，若降价5%，则由于黄先生多订购，获得的利润反而比原来多100元。问这种商品的成本是多少元？18.&&& 儿童出版社出版某种书，今年每册书的成本比去年增加10%，但仍保持原价。因此每本盈利下降了40%，但今年的发行量比去年增加8%，那么今年发行这种书获得的总盈利比去年增加了百分之几？19.&&& 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多，然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售。两人都全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够再购进这种时装10套（进价不变），甲原来购进这种时装多少套？&&第九单元&& 浓度问题知识、规律、方法一杯糖水中有多少糖，可以用百分比来衡量。糖水的浓度是由糖和水的比值来决定的。我们把糖与糖水的百分比叫做糖水的浓度。同样，盐与盐水的百分比叫盐水的浓度。纯酒精与酒精溶液的百分比称为酒精浓度，药与药水的百分比叫药水的浓度。对这些数学问题，我们统称为浓度问题。在浓度问题中，通常把糖、盐、纯洒精、药称为溶质（即被溶解的物质）；把溶解这些溶质的液体称为溶剂，如水、汽油等；溶质与溶剂混合的液体称为溶液，如糖水、盐水、洒精溶液等。要解决浓度问题，就要理解并掌握下面几个关系式：溶质+溶剂=溶液1．& ×100%=浓度2．& 溶液×浓度=溶质范例、解析、拓展例1．&&&&&&&&&&将20克糖放入白开水中制成糖水，这种糖水浓度为10%，需白开水多少克？拓展一 在浓度为10%的80克盐水中，加入多少克水可得到浓度为8%的盐水？拓展二 一种浓度为35%的新农药，如稀释到浓度为1.75%时治蚜虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加多少千克水才能配成浓度为1.75%的农药800千克？拓展三 现有浓度为20%的糖水300克，要变成浓度为40%的糖水，需加糖多少克？例2．&&&&&&&&&&将20%的盐水与5%的盐水混合，配成15%的盐水600克。需20%的盐水和5%的盐水各多少克？&拓展一 浓度为70%的酒精溶液500克与浓度为50%的酒精溶液300克，混合后所得的酒精浓度为多少？&拓展二现有含盐20%的盐水500克，要把它变成含15%的盐水，应加入5%的盐水多少克？&拓展三 130克含盐5%的盐水，与含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%盐水，这样配成的6.4%的盐水是多少克？&拓展四 甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使洒精与水混合。第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5%，乙容器中酒精含量为25%，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液多少升？例3．&&&&&&&&&&甲种酒含纯酒精40%，乙种酒含纯酒精36%，丙种酒含纯酒精35%。将这三种酒混在一起得到含纯酒精38.5%的酒11千克。已知乙种酒比丙种酒多3千克，那么甲种酒有多少千克？拓展一 A、B、C三个试管中各盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，再混合后又从B中取出10克倒入C中，现在C中的盐水浓度为0.5%。最早倒入A中的盐水浓度为多少？拓展二 有三根管子A、B、C，A管以每秒4克的流量流出含盐20%的盐水，B管以每秒6克的流量流出含盐15%的盐水，C管以每秒10克的流量流出水，C管打开后开始2秒不流，接着流5秒；然后又停2秒，再流5秒……三管同时打开，1分钟后都关上，这时得到的混合液中含盐百分之几？检测、反馈、应用一、&&& 填空1.&&&&&&&&一瓶盐水共重200克，含盐20克，这瓶盐水浓度为（&&&&&&&&）。2.&&&&&&&&将10克盐放入40克水中制成盐水，这种盐水浓度为（&&&&&&&&）。3.&&&&&&&&在1000千克15%的药水中，含纯药（&&&&&&&）千克，含水（&&&&&&&）千克。4.&&&&&&&&要配制一种糖水浓度为10%，12克糖需加水（&&&&&&）克；有180克水需加糖（&&&&&）克。5.&&&&&&&&现有浓度为20%的糖水300克，要配成浓度为40%的糖水，需加糖（&&&&&&）克。6.&&&&&&&&有浓度为8%的盐水200克，需稀释成浓度为5%的盐水，需加清水（&&&&&&&）克。7.&&&&&&&&一种含药量为35%的灭蚊剂，如稀释到含量为1.75%灭蚊最有效。用（&&&&&&）千克含药量为35%的农药兑（&&&&&）千克水才能配成含药量为1.75%的药水800千克。8.&&&&&&&&把25克盐水放进100克水里制成盐水，有200克这样的盐水，里面含盐（&&&&）克。二、应用题9.&&&&&&&&有浓度2.5%的盐水200克，为了制成浓度为5%的盐水，从中要蒸发掉多少千克？10.&&&&10000千克葡萄干在新疆测得含水99%，运抵南京后测得含水98%，问葡萄干运抵南京后还剩下多少千克？11.&&&&在浓度为50%的100千克硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25%的硫酸溶液？12.&&&&有两个装满糖水的桶，大桶内装有含糖4%的糖水60千克，小桶内装满含糖20%的糖水40千克，各取出多少千克分别放入对方桶内，才能使它们的浓度相等？13.&&&&甲容器中有浓度4%的盐水150克，乙容器中有某种浓度的盐水若干，从乙中取出450克盐水，放入甲中混合成浓度为8.2%的盐水。求乙容器盐水的浓度。14.&&&&浓度为20%、18%、16%的3种盐水混合后得到100克18.8%的盐水。如果18%的盐水比16%的盐水多30克，3种盐水各多少克？15.&&&&已知盐水若干克，第1次加入一定量的水后，盐水浓度变为3%，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变以2%。第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？16.&&&&在装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水后，再用清水将杯加满；搅拌后再倒出40克盐水，然后再用清水加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？17.&&&&有甲、乙两个瓶子，甲瓶中装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶。问此时甲瓶中含酒精多，还是乙瓶中含水多？18.&&&&在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精含量分别占48%、62.5%和。已知三缸酒精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量。三缸溶液混合，所含酒精的百分数将达到56%。那么，丙缸中纯洒精的量是多少千克？19.&&&&下图中（a）、（b）、（c）、（d）为水槽，而A、B、C、D、E、F、G、H为能进行开、关的水管，在图中还注明了关于各个管分流的比例。首先将水管C、D、E、F、G、H关闭，分别由A流出质量分数为10%的盐水200克，由B流出质量分数为5%的盐水800克，接着关闭A、B水管，打开C、D、E、F、G、H水管。在水槽（d）中积存的盐水为多少克？其中含盐多少克？&&&&&&&&&&&第三章&&&&&&&&几何知识的有关问题第一单元 与圆的周长有关的计算知识、规律、方法围成一个图形的所有边的长度总和就是这个图形的周长。在实际生活中经常遇到与圆的周长有关的计算。计算周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。具体要掌握下面几个关系：1．&&& 同一圆中直径和半径的关系：或。2．&&& 圆的周长是直径的（）倍，是半径的2倍，所以或。3．&&& 扇形：是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。如果扇形的圆心角是度，那么当圆周长时，扇形的弧长计算方法：。范例、解析、拓展例1．&&&&&&&&&&如右图，外面一个圆的周长与里面两个圆的周长之和相比较，哪一个长？拓展一 如图，从点A到点B，沿着大圆走和沿着中、小圆的圆周走的路程相同吗？拓展二 一个大圆内有三个大小不等的小圆（如图），这些小圆的圆心在大圆的同一条直径上，连同大圆在内每相邻的两个圆都相切，已知大圆的周长是10厘米，求这三个小圆的周长之和。拓展三 如下图，其阴影部分的周长是多少厘米？例2．&&&&&&&&&&一个半圆的直径为10厘米，它的周长是多少厘米？拓展一 一个半圆的周长是厘米，这个半圆的直径是多少厘米？拓展二 某运动场的200米跑道如图（1）所示，弯道为半圆形，跑道宽为米。两名运动员沿各自跑道赛跑一周，为使二人所跑距离相等，应让外跑道的运动员前移多少米？（得数保留两位小数）拓展三 如左下图，在半径为1的圆中内接一个矩形，矩形中有一个菱形，求菱形的边长。例3．&&&&&&&&&&将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。拓展一 直径均为1米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，如图。试求金属带的长度。拓展二 求下图阴影部分的周长。（单位：厘米）拓展三 如下图，圆的周长是厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？检测、反馈、应用一、&&& 填空1.&&&&&&&&用圆规画一个周长厘米的圆，那么圆规两脚之间的距离应是（&&&）厘米。2.&&&&&&&&半圆形花坛的半径用字母表示，它的周长是（&&& ）厘米。3.&&&&&&&&一个圆的半径扩大2倍，它的周长扩大（&&&&）倍。4.&&&&&&&&半圆的周长是厘米（取），它的半径是（&&&&&&）厘米。5.&&&&&&&&汽车车轮的半径是米，如果车轮每分钟转200转，要行驶千米的路程，需要（&&&&&&&）分钟。6.&&&&&&&&，已知厘米，图中各圆的周长总和是（&&&&&&&&）。7.&&&&&&&&如图，阴影部分周长最长的是（&&&&& ）。（正方形的边长相等）二、&&& 解答应用题1.&&&&&&&&求阴影部分周长（单位：厘米）。2.&&&&&&&&一个街心花园如图形状，中间正方形的边长为20米，四周为半圆形，这个街心花园的周长为多少米？3.&&&&&&&&以B、C为圆的两个半圆的直径都是4分米，求阴影部分周长。4.&&&&&&&&如图：正方形ABCD的边长是1厘米，求阴影部分的周长。&5.&&&&&&&&有7根直径都是2分米的圆柱形木棍，想用一根绳子把它捆成一捆，最短需要多少米的绳子？（打结用的绳长不计）6.&&&&&&&&下图中，直径AB为3厘米的半圆绕A逆时针旋转60°，使AB到达AC的位置，求图中阴影部分的周长。7.&&&&&&&&等边三角形的边长为3厘米，现将三角形ABC沿着一条直线翻滚三次（如图），求A点经过的路线长。8.&&&&&&&&有8个半径为2厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中正方形的边的交点为这些圆的圆心，那么这一个花瓣图形的周长是多少厘米？9.&&&&&&&&如图，一条直线上放着一个长和宽分别是4厘米、3厘米的长方形Ⅰ，它的对角线恰好是5厘米，让这个长方形顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，连续做三次。A次到达E点的位置，求A点走过的路程长。10.&&&&如图，每个小圆的半径都是1厘米，求阴影部分的周长。11.&&&&求下图中阴影部分的周长。（单位：厘米）&&第二单元&&&与圆的面积有关的计算知识、规律、方法本单元主要讲解与圆面积有关的组合图形面积的问题。在进行组合图形的面积计算时，必顺掌握有关的概念、公式，要仔细观察，认真思考，看清组合图形是由哪几个基本图形组成的，要注意找出图中的隐蔽条件与已知条件和问题的联系。计算组合图形的面积，必须将组合图形进行分解，看清组合图形是由哪几个基本图形合并起来的，或是从哪一个基本图形里去掉哪一个或几个基本图形得到的。有时需要把其中的部分图形进行平移、翻转、添上辅助线，化难为易，从而找出解答的方法。1.&&&&&&&&圆面积的计算公式：2.&&&&&&&&扇形面积的计算：（为扇形圆心角的度数）。范例、解析、拓展例1．&&&&&&&&&&求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）拓展一计算下图阴影部分的面积。（单位：厘米）拓展二求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）拓展三如图，已知扇形的面积是平方厘米，求图中阴影部分的面积。例2．&&&&&&&&&&一个直径为3厘米的半圆，让A点不动，把整个半圆顺时针旋转60°，此时点B移到点处（如图）。求图中阴影部分的面积。拓展一 图中三角形ABC是直角三角形，阴影Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积小23平方米。问BC的长度是多少米？（&取3）拓展二 求下图中的阴影部分的面积。（单位：厘米）拓展三 计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米）拓展四 计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米）&&& 拓展五& 如左下图,∠1=15°的圆周长为62.8厘米,平行四边形的面积为100平方厘米.阴影部分的面积是多少平方厘米?检测、反馈、应用&1.&&&&&&&&求左下图中阴影部分面积。（单位：厘米）2.&&&&&&&&右上图中三角形的面积是12平方厘米，求阴影部分的面积是多少。3.&&&&&&&&已知图中两个正方形的边长分别为1厘米和2厘米，求阴影部分的面积。4.&&&&&&&&正方形面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积。5.&&&&&&&&计算阴影部分的面积。（单位：厘米）6.&&&&&&&&求阴影部分的面积。（单位：厘米）7.&&&&&&&&求阴影部分面积。（单位：分米）8.&&&&&&&&长方形ABCD中长AD是10厘米，E为BC的中点，求阴影部分的面积。9.&&&&&&&&如图，实线部分的周长为厘米，其中厘米。求阴影部分的面积。10.&&&&求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）11.&&&&如图，四个半圆形纸片叠放在桌上成了一个正方形。求重叠部分（阴影部分）的面积。（单位：厘米）12.&&&&计算阴影部分的面积。（单位：厘米）13.&&&&下图中，为圆心，垂直于AB，三角形ABC的面积为45平方厘米，求阴影部分的面积。14.&&&&如下图所示，四个圆的周长都是25.12厘米，求阴影部分的面积。15.&&&&如下图（单位：厘米），在长方形ABCD中，AD=DE=3厘米，AE=AB。求阴影部分的面积。16.&&&&下图是由正方形和半圆形组成的图形，其中P点为半圆周的中点，Q点为正方形一边的中点，求阴影部分面积。（单位：厘米）17.&&&&下图中三个圆的半径都是5厘米，三个圆两两相交于圆心，求阴影部分面积。18.&&&&如图，半圆的面积是14.13平方厘米，圆的面积是19.625平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？&第三单元&&&&& 表面积的计算知识、规律、方法表面积是指物体各个面的面积总和。在计算表面积时，要注意根据实际情况，弄清究竟求哪几个面的面积，再正确解答。具体用到的形体有长方形、正方形和圆柱体。1．&&&长方体的表面积=（长×宽﹢宽×高+长×高）×2。2．&&&正方体的表面积=棱长×棱长×6。3．&&&圆柱体的面积=侧面积+底面积×2。在计算时，要从实际出发，有的只有一个底，有的没有底；有的只算两个面，有的要算四个面等等。范例、解析、拓展例1．&&&&&&&&&&把一张长方形铁皮按下图剪料，正好能制成一只铁皮油桶，求所制成的油桶的表面积。（单位：厘米）拓展一、把一张长方形铁皮按下图剪下阴影部分制成圆柱体。求这个圆柱体的表面积。（圆桶盖的周长等于长方形铁皮的长）（单位：分米）拓展二、下图（1）是一个立体图形（2）的侧面展开图（单位：厘米），求这个立体图形的表面积。拓展三、把19个边长为2厘米的正方体重叠起来堆成如图所示的立方体，这个立方体的表面积是多少平方厘米？例2．&&&&&&&&&&把一段圆柱体木料沿着直径往下切成两块（如图）。已知圆柱的底面直径为10厘米，高15厘米，求半个圆柱体的表面积。拓展一、下图是个柱体，高30厘米，底面是一个半径为10厘米、圆心角为270°的扇形，求这个柱体的表面积。拓展二、一个圆锥的底面周长是18.84厘米，高是4厘米。从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积之和比原圆锥的表面积增加了多少平方厘米？拓展三、有一个棱长为4厘米的正方体，从它的右上方截去一个棱长分别为4厘米、2厘米和1厘米的长方体，求剩下部分的表面积。拓展四、一个正方体木块，棱长是15。从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体。这个木块剩下的部分的表面积最小是多少？&例3．&&&&&&&&&&如图，在底面积为324平方厘米的正方体铸铁中，以相对的两面为底，挖出一个最大的圆柱形，然后在剩下的铸铁表面上涂上油漆，求涂漆的面积是多少？拓展一、从图纸上剪下半径为30厘米的扇形，做一个圆锥。圆锥的底面直径为20厘米，求圆锥的表面积。拓展二、如图是一个半径为4厘米，高为4厘米的圆柱。在它的中间依次向下挖去半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米、0.5厘米的圆柱，最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？&拓展三、如图表示一个正方体，它的棱长为4厘米，在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体，问此图的表面积是多少？拓展四、在一个立方体的前后，左右侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞（如图），已知立方体边长为10厘米，前后、左右侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求所剩下物体的表面积。检测、反馈、应用1．&&&一个圆柱体底面周长和高相等。如果高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米。求这个圆柱的表面积。2．&&&在一个棱长为5厘米的正方体中间挖了一个半径为2厘米的圆柱形的孔（如左下图），求剩下立体图形的表面积。3．&&&高都是1米，底面半径分别是0.5米、1米和1.5米的三个圆柱组成的几何体如右上图，求这个物体的表面积。&4．&&&有一个底面直径6厘米、高5厘米的圆柱体，沿着上下底面圆心的连线切开，它的表面积增加了多少平方厘米？5．&&&如图是一个零件的直观图。下部是一个棱长为40厘米的正方体，上部是圆柱体的一半。求这个零件的表面积。6．&&&一个圆柱体的侧面积是50.24平方厘米，高和底面半径相等，这个圆柱体的表面积是多少？7．&&&一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，表面积增加25.12平方厘米，求原来圆柱的表面积是多少平方厘米？8．&&&把一个正方体制成一个体积最大的圆柱体。如果圆柱的侧面积是314平方厘米，求正方体的表面积。9．&&&如图在一个圆柱上挖了一个边长为2厘米的方形小孔，现在这个物体的表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）&10．在一个棱长为4厘米的正方体的前后、上下、左右各面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱。求挖去后物体的表面积。11．把一个横切截面是正方形的长方体木料切削成一个最大的圆柱体，此圆柱的表面积为32.97平方厘米,底面直径与高的比为1：3，求原长方体的表面积是多少平方厘米？12．求下图物体的表面积。（单位：厘米）13．有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图），求这个立体图形的内外表面积的总和。14．用6块长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？15．用铁皮做一个如下图的零件，需用铁皮多少平方厘米？（零件是中空的）。第四单元&&& 圆柱与圆锥的体积知识、规律、方法一个矩形，以它的一条边为轴旋转一周形成的几何体叫做圆柱，或者说它是由一个圆筒形的曲面和两个一样大的圆面围成的几何图形。如果用表示底面圆的半径，表示高，那么圆柱的体积公式为：。一个直角三角形，以它的一条直角边为轴旋转一周形成的几何体叫做圆锥。如果用表示底面圆的半径，表示高，那么圆锥的体积公式：。在实际应用中，底面积或高有时是隐含着的，要先通过分析推理得出之后，再来求体积。有些体积没变，但形状变了，要巧秒地利用等积变形的特征，抓住形体的特征进行计算。范例、解析、拓展例1、&&&&&&&&&&如图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分恰好能做成一个圆柱形油桶（接头处忽略不计），求这个油桶的容积。拓展一、一个圆柱的高10分米，它的侧面展开，得到一个长25.12分米的长方形。这个油桶能装油多少升？拓展二、从半径为10厘米的圆柱形钢材上截下一段，锻造成长为40厘米、宽30厘米、高15厘米的长方体，应截圆钢长多少厘米？拓展三、在一个高为8厘米、容积为50毫升的圆柱形容器A里面装满了水。现把长16厘米的圆柱B垂直放入，使B的底面与A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把B从A中拿起后，A中的水高度为6厘米，求圆柱体B的体积。&拓展四、某工厂原来用长4米、宽1米的铁皮（如图a）围成没有底和顶的正方体形状的产品存放处(底和顶用别的材料)(如图b),恰好够存一周的产品,现在产量增加了27%，能够还用原来的铁皮围成存放处，装下现在一周的产品吗？拓展五、一个圆柱体的高是10厘米（如图），若减少3厘米，则表面积比原来减少94.2平方厘米，原来圆柱体的体积是多少平方厘米？例2、&&&&&&&&&&一张扇形薄铁皮，弧长18.84分米，它能够围成一个高4分米的圆锥，求圆锥的容积（接缝处忽略不计）。拓展一、如下图（1），圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？拓展二、把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去部分的体积为40立方厘米，问原来圆柱的体积是多少？拓展三、在仓库的一角有一堆稻谷，呈四分之一圆锥形（如下图），经测量底面弧长2.4米，圆锥高为1.57米。已知稻谷每立方米重725千克，求这堆稻谷重多少千克？拓展四、圆锥的高和底面半径都等于一个正方体的棱长。已知正方体的体积是30立方厘米。求圆锥的体积是多少平方厘米？检测、反馈、应用一、&&&&&填空1．&&&一个圆柱侧面积为62.8平方厘米，高5厘米，这个圆柱体的体积是（&&& ）立方厘米。2．&&&一个圆柱的底面周长25.12厘米，高和直径相等，这个圆柱体的体积是（&&&）立方厘米。3．&&&把两个底面积相等，长分别是10厘米和20厘米的圆柱体木料胶合成一根后，表面积减少25.12平方厘米，则胶合后的圆柱体的体积是（&&&）立方厘米。4．&&&把一个棱长为4厘米的正方体削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的表面积为（&&&& ）平方厘米；如果削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体的体积是（&&&&&& ）立方厘米。5．&&&一个圆柱体的高为31.4厘米，它的侧面展开是一个正方形，这个圆柱体的体积是（&&&&&&& ）立方厘米。6．&&&一根圆柱形木料长2米，把它截成了相等的3段后，表面积增加了16平方厘米，原来圆柱的体积是多少立方厘米？7．&&&有甲、乙两个容器（如图，单位：厘米），先将甲容器注满水，然后将水倒入乙容器。乙容器中水深（&&& ）厘米。二、应用题8．&&&一个底面积是314平方米的圆柱形蓄水池，能容纳水1884立方米，如果再挖深1.5米，可容水多少立方米？9．&&&一个长方形竖着一条长为轴旋转一周，求所形成的物体的体积（如图1）；一个三角形以横着的一条短直角边为轴旋转一周（如图2），求所形成的立体图形的体积。（单位：分米）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&10．试求下图钢材的体积。（单位：厘米）&11．一个圆柱的表面积是150.72平方厘米，底面半径是2厘米，求它的体积。12．把一个棱长是2分米的正方体木块削成一个体积最大的圆柱体，应削去多少立方分米的体积？13．如左下图所示，一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形容器，水中放着一个底面直径12厘米、高10厘米的圆锥体铅锤,当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了几厘米？14．有一饮料瓶的身如右上图所示,容积是3立方分米。现在它里面装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米，问瓶内现有饮料多少立方分米？15．一个圆柱形水桶里，放进一段截面半径为5厘米的圆钢，如果把它全部放入水里，桶里的水面就上升9厘米；如果把水中的圆钢露出8厘米，那么这时桶里的水面就下降4厘米，问这段圆钢的体积是多少？16．一个圆柱体木块切成四块（如图1），表面积增加48平方厘米；切成三块（如图2），表面积增加50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥体（如图3），体积减少多少立方厘米？17．有A、B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升的水，容器B是空的。现在往两个容器中以每分钟0.4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。设B的底面半径为5厘米，求A的底面直径是多少厘米？18．一个圆柱形水桶的侧面积是它的一个底面积的6倍，已知水桶的底面半径是1分米，这个水桶的容积是多少立方分米？&第五单元&&& 几何知识与运动问题知识、规律、方法有些几何知识的应用题与运动有关，如在环形跑道中运动，与圆形有关；如果是两个物体在环形跑道上运动，那就与相遇问题、追及问题有关。通常求几何图形的面积与周长都是静态，但也有些是运动着的。解决这类与运动有关的几何问题时，要认真分析运动着的物体所经过的路线（或范围），这样才能找到正确的解题途径。范例、解析、拓展例1&&&如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D离B点60米，求这个圆的直径。拓展一& 在400米的环形跑道上，A、B两点相距100米（如图），甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒5米，乙每秒4米，每人跑100米都要停留10秒钟，那么甲追上乙需要多少秒？拓展二& 小冬、小青两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15米处第二次机遇，甲、乙两地相距多远？例2&&&ABCD是一个正方形，边为1米，用一绳子从A点开始正好绕了一圈。从A点开始，固定B点，绳子扫过面为扇形ABE；再固定C点，绳子扫过面为扇形ECF；再固定D点，绳子扫过扇形FDG；最后固定A点，绳子扫过扇形GAH。求绳子扫过的总面积是多少？&拓展一& 一只狗被拴在底座为边长3米的等边三角形建筑物的墙角上（如下图），绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积。&拓展二& 一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周。在三条边上每分钟分别爬行50厘米、20厘米、40厘米（如图）。它爬行一周的平均速度是多少？例3&&&下图是边长为10分米的正方形，内侧有一个半径为20厘米的圆形沿着边长滚动一周，圆形滚动不到的地方有多大面积？这个圆（圆心）所经过的总路程是多少厘米？拓展一& 如图所示，一个半径为1厘米的圆绕着一个直角三角形(各边长分别为3厘米、4厘米、5厘米)滚动一周，求这个圆（圆心）所经过的路程。拓展二& 如图所示，一块半径为2厘米的圆板，从平面1的位置沿线段AB、BC、CD滚到2的位置，如果AB、BC、CD的长都是20厘米。那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米？检测、反馈、应用1．&&&如图三角形ABC是直角三角形，直角边AC=6厘米，BC=2厘米，以BC为轴将三角形旋转一周得一圆锥，求该圆锥的体积。2．&&&如右上图，一个圆的周长为70厘米，甲、乙两只爬虫，从同一地点同时出发，同向爬行。甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问乙原来的爬行速度是多少？3．&&&图中是甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若甲齿轮转5圈时，乙齿轮转7圈，丙齿轮转两圈。那么这三个齿轮的齿数最少应分别是多少个？4．&&&三角形的每边长都是3厘米，现将三角形ABC沿着一条直线翻滚763次（如图所示翻滚一次），求A点所经过的总路程。5．&&&两个铁环，滚过同一段距离，一个转了50圈，另一个转了40圈，如果一个铁环的周长比另一个铁环的周长少44厘米，这段距离是多少米？6．&&&甲、乙两人在（如图所示）圆环跑道上（两端是半径相同的半圆），同时从某出发点沿相反方向跑步，甲速度是乙的3倍，他们第一次与第二次相遇地点之间路程为100米，环形跑道有什么米？7．&&&草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的长方形羊圈（如右上图所示），在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊，这只羊的活动范围有多大？8．&&&如左下图半径1厘米的圆，绕直角梯形不滑动地滚动一周，求圆心所经过的总路程是多少？（其中AD=5厘米，BC=8厘米，AB=6厘米，CD=8厘米）。9．&&&右上图中正方形的周长是圆环周长的3倍，当圆环绕正方形无滑动滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几周？10．如图，有一只狗被缚在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长为600厘米的等边三角形，绳长为8米，求绳被狗拉紧时，狗运动后所围成的图形的总面积。11．一块边长为4米的正方形草地，两对角处各有一棵树，树上各拴着一只羊，拴羊的绳长都是4米，问两只羊都能吃到的草地面积是多少？12．右图是一个边长100米的正方形，甲、乙两人同时从A点出发，甲逆时针每分行75米，乙顺时针每分行45米。两人第一次在CD边（不包括C、D两点）相遇，是出发后的第几次相遇？13．如右图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形。甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？14．右图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A、B同时爬行，甲蚂蚁从A出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米，两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？&&&&&&&&第四章&& 代数问题第一单元&& 列方程解应用题知识、规律、方法有些比较复杂的应用题，由于受算术方法解题思路的限制不易解答，而用设求知数列方程的方法来解就显得比较简单。在列方程解应用题时，是把已知量和未知量统一考虑，分析其数量关系，在一个相等的式子中，把它们表示出来，构成一个方程。找数量关系，有的是利用条件中的相等关系，有的是利用周长和面积的计算公式，有的是根据加、减、乘、除各部分之间的关系，我们只要先假设一个未知数，然后再根据等量关系来列方程。列方程解应用题的一般步骤是：审、设、列、解、验、答。1．& 审：指的是审题，要弄清问题中的已知量和未知量各是什么，问题中有什么样的等量关系。2．& 设：指的是选一个未知数设为，一般采用“直接设元法”，即题中问什么就设什么为，特殊情况下采用“间接设元法”。如已知时间的前提下，求路程，可不设路