形如f(x)g(y)dx=d(x)e(x)dy的方程叫做可分离变量微分方程。例如
dy/dx=y/x…………可分离变量微分方程
--->dy/y=dx/x……已分离变量微分方程
积分之??lny=lnx+lnC
(x+xy^2)dx=(y+yx^2)dy…………可分离变量
--->ydx/(1+y^2)=xdy/(1+x^2)……已分离变量
积分得到1/2*ln(1+y^2=1/2*ln(1+x^2+lnC1
--->1+y^2=C(1+x^2.
可分离变量微分方程是最为简单的一种微分方程。一些复杂一点的微分方程尽可能地化成可分离变量微分方程，如果能够做到，问题就得到解决。
顾名思义，并不是所有的微分方程都能够化成可分离变量的微分方程。
“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思。
微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：
1、形如y'=f(y/x)的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于...
我们称形如dy/dx=f(x)/g(y)的一阶方程式为变量分离方程，其中f(x)和g(y)分别为x,y的连续函数……直白一点就是说：变量x和y可以完全拆开，不会...
(1)dy/dx=10^x*dx?题目似乎有问题哦？
dy/dx=10^(x+y)=(10^x)*(10^y)
10^(-y)dy=10^xdx
两边积分得到
e^ydx + (xe^y－2y)dy＝0。
P(x,y)＝e^y，Q(x,y)＝xe^y－2y，P'y＝e^y＝Q'x，所以方程是全微分方程。
方程分项组合：...
y'=-2/x^3
设切点坐标为(x,y),有:
(y-0)/(x-3/2)=-2/x^3
联立方程组解得:
于是切线方程为:
答: 数学常识中什么是多边形？
答: 学习要学好，有三个重要因素：一是兴趣，二是技巧，三是毅力。
先培养孩子对数学的兴趣，比如在孩子解出难题的时候给予表扬，告诉孩子你真聪明、可以把数学学好等，树立孩...
答: 这叫什么啊，没题目
答: 中国人的数学理应比外国人好！ 这是我的个人观点，这在于中国人对数字的发音是单音，因此，对数字的记忆较为简单，提高了学习数学的效率！
而科学的发展，往往受制于社会...
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10(2.3)可分离变量的微分方程,齐次方程
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你可能喜欢&p&你搞不懂的原因就是------你懂的太多了...&/p&&p&想象你生活在那个微积分初创的年代,&b&你还不知道什么通解公式之类的玩意儿&/b&,自然常数 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 还未曾知晓...&/p&&p&你是一个站在时代前沿的数学家,你想知道微分方程: &img src=&///equation?tex=y%5Cprime%2Bpy%2Bq%3D0& alt=&y\prime+py+q=0& eeimg=&1&& 的解.&/p&&p&你觉得可以有一个性质良好的函数作为解,比如在 &img src=&///equation?tex=+%5Cmathbb%7BC%7D+& alt=& \mathbb{C} & eeimg=&1&& 上解析...&/p&&p&于是你可以在原点将这个函数展开: &img src=&///equation?tex=y%28x%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+a_nx%5En& alt=&y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n& eeimg=&1&&&/p&&p&因为 &img src=&///equation?tex=+%5Cmathbb%7BC%7D+& alt=& \mathbb{C} & eeimg=&1&& 上解析嘛,所以 &img src=&///equation?tex=+%5Cmathbb%7BR%7D+& alt=& \mathbb{R} & eeimg=&1&& 上光滑,求导得: &img src=&///equation?tex=y%27%28x%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+na_nx%5E%7Bn-1%7D%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7Dx%5En& alt=&y'(x)=\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n& eeimg=&1&&&/p&&p&然后代入得:&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7Dx%5En%2Bp+%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+a_nx%5En+%2Bq+%26%3D+0%5C%5C+q%2B%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%28%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7D%2Bp+a_n%29x%5En+%26%3D+0%5C%5C+%28a_1%2Bp+a_0%2B+q%29%2B%5Csum_%7Bn%3D1%7D%5E%5Cinfty+%28%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7D%2Bp+a_n%29x%5En+%26%3D+0%5C%5C+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n+p \sum_{n=0}^\infty a_nx^n +q &= 0\\ q+\sum_{n=0}^\infty ((n+1)a_{n+1}+p a_n)x^n &= 0\\ (a_1+p a_0+ q)+\sum_{n=1}^\infty ((n+1)a_{n+1}+p a_n)x^n &= 0\\ \end{aligned}& eeimg=&1&&&/p&&p&要使得等式恒成立,所有项数都应该是 &img src=&///equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Baligned%7D+0%3D%26%28n%2B1%29a_%7Bn%2B1%7D%2Bp+a_n%5C%5C+0%3D%26a_1%2Bp+a_0%2B+q%5C%5C+%5Cend%7Baligned%7D%5Cright.& alt=&\left\{\begin{aligned} 0=&(n+1)a_{n+1}+p a_n\\ 0=&a_1+p a_0+ q\\ \end{aligned}\right.& eeimg=&1&&&/p&&p&上面一个递推式直接迭代可以解得:&img src=&///equation?tex=a_n%3DC%5Cfrac%7B+p%5E%7Bn-1%7D%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_n=C\frac{ p^{n-1}}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&也就是说解可以写成: &img src=&///equation?tex=y%28x%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+C%5Cfrac%7B+p%5E%7Bn-1%7D%7D%7Bn%21%7Dx%5En%3D%5Cfrac%7BC%7D%7Bp%7D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+p%5En%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D& alt=&y(x)=\sum_{n=0}^\infty C\frac{ p^{n-1}}{n!}x^n=\frac{C}{p}\sum_{n=0}^\infty p^n\frac{x^n}{n!}& eeimg=&1&& 的形式...&/p&&p&后来发现每次都要写这么一坨级数太烦了,经过研究发现定义 &img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bexp%7D%28x%29%3A%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D& alt=&\mathrm{exp}(x):=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}& eeimg=&1&& 能减少很多麻烦.&/p&&p&然后进一步定义欧拉数 &img src=&///equation?tex=e%3A%3D%5Cmathrm%7Bexp%7D%281%29%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%21%7D%3D1%2B1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%21%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%21%7D%2B%5Ccdots& alt=&e:=\mathrm{exp}(1)=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots& eeimg=&1&&&/p&&p&这个函数性质很好,可以把加法变乘法:&img src=&///equation?tex=%5Cmathrm%7Bexp%7D%28x%2By%29%3D%5Cmathrm%7Bexp%7D%28x%29%5Cmathrm%7Bexp%7D%28y%29& alt=&\mathrm{exp}(x+y)=\mathrm{exp}(x)\mathrm{exp}(y)& eeimg=&1&&&/p&&p&&&级数绝对收敛时算符可以交换&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Cexp%28x%29+%5Ccdot+%5Cexp%28y%29+%3D%26%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D%5Cright%29+%5Ccdot+%5Cleft%28%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7By%5Em%7D%7Bm%21%7D%5Cright%29+%5C%5C+%3D%26%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Csum_%7Bm%3D0%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7Bx%5En%7D%7Bn%21%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7By%5Em%7D%7Bm%21%7D+%5C%5C+%3D%26%5Csum_%7Bk+%3D+0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D+%5Cleft%28%5Csum_%7Bn%2Bm%3Dk%7D+%5Cfrac%7Bx%5En+y%5Em%7D%7Bm%21n%21%7D%5Cright%29+%5C%5C+%3D%26%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7B%28x+%2B+y%29%5Ek%7D%7Bk%21%7D+%5C%5C+%3D%26%5Cmathrm%7Bexp%7D%28x%2By%29+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned} \exp(x) \cdot \exp(y) =&\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\right) \cdot \left(\sum_{m=0}^\infty \frac{y^m}{m!}\right) \\ =&\sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \cdot \frac{y^m}{m!} \\ =&\sum_{k = 0}^{\infty} \left(\sum_{n+m=k} \frac{x^n y^m}{m!n!}\right) \\ =&\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(x + y)^k}{k!} \\ =&\mathrm{exp}(x+y) \end{aligned}& eeimg=&1&&&/p&&p&人们知道有这种性质的可以叫指数函数,于是,最后定义自然指数函数为 &img src=&///equation?tex=%5Cexp%28x%29+%3D+%5Cexp%281%29%5Ex+%3D+e%5Ex& alt=&\exp(x) = \exp(1)^x = e^x& eeimg=&1&& .&/p&&hr&&p&所以不是为什么出现了个 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& ,出现的是 &img src=&///equation?tex=e%5Ex& alt=&e^x& eeimg=&1&&&/p&&p&至于 &img src=&///equation?tex=e%5Ex& alt=&e^x& eeimg=&1&& 为什么会出现,楼上说的很明白了.&/p&&p&&b&因此指数函数是求导算子的特征函数------&/b&算子作用于函数后的不变量, &img src=&///equation?tex=e%5Ex& alt=&e^x& eeimg=&1&& 求导仍是本身.&/p&&p&这个和线性代数里矩阵与特征值是相似的...&/p&&p&特征值是矩阵变换后的基,特征函数也是算子变换后的基...&/p&&p&至于基为什么这样...唉...捉鸡啊...这可以另开一个问题了...&/p&&hr&&p&再举一个例子,把傅里叶变换看成一个算子,其特征函数(之一)为 &img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+e%5E%7B-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dx%5E2%7D& alt=&\displaystyle e^{-\frac{1}{2}x^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&所以傅里叶变换里这个东西经常出现...&/p&&p&没有也正常,因为傅里叶变换的特征函数可以长得很不一样,比如 &img src=&///equation?tex=+%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%5Cleft%28%5Csqrt%7B2+%5Cpi+%7D+%5Cdelta+%28x%29%2B1%5Cright%29+%2C%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cleft%7C+x%5Cright%7C+%7D%7D& alt=& \frac{1}{4} \left(\sqrt{2 \pi } \delta (x)+1\right) ,\frac{1}{\sqrt{\left| x\right| }}& eeimg=&1&& 这俩也是.&/p&
你搞不懂的原因就是------你懂的太多了...想象你生活在那个微积分初创的年代,你还不知道什么通解公式之类的玩意儿,自然常数 e 还未曾知晓...你是一个站在时代前沿的数学家,你想知道微分方程: y\prime+py+q=0 的解.你觉得可以有一个性质良好的函数作为解,比…
&p& 你以为这么多特殊函数都是怎么来的...&/p&&p&六大初等函数还是刘维尔钦点的,顺便他用微分扩域研究了下什么时候有原函数.&/p&&p&-----------------------------------------------------------&/p&&p&在那原初的时光,你只有幂函数&img src=&///equation?tex=x%5En& alt=&x^n& eeimg=&1&& 的陪伴&/p&&p&你知道&/p&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cint+%7B%7Bx%5En%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx+%3D+%7D+%5Cfrac%7B%7B%7Bx%5E%7Bn+%2B+1%7D%7D%7D%7D%7B%7Bn+%2B+1%7D%7D+%2B+C%5C%5D& alt=&\[\int {{x^n}{\text{d}}x = } \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\]& eeimg=&1&&&p&但是在&img src=&///equation?tex=n%3D-1& alt=&n=-1& eeimg=&1&& 处却不适用.&/p&&p&你想知道反比例函数的不定积分.&/p&&p&于是你打开了&b&潘多拉之盒.&/b&&/p&&p&你发现这个函数没法用有限的幂函数复合来表达.&/p&&p&你知道任何可黎曼积分的函数都能用变上限积分来表示原函数.&/p&&img src=&///equation?tex=%5C%5BF%28z%29+%3D+%7BC_a%7D+%2B+%5Cint_a%5Ez+%7Bf%28x%29%7B%5Ctext%7B+d%7D%7Dx%7D+%5C%5D& alt=&\[F(z) = {C_a} + \int_a^z {f(x){\text{ d}}x} \]& eeimg=&1&&&p&你觉得也许可以给他个新名字:&/p&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cln+z+%3D+%5Cint_1%5Ez+%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx%7D+%5C%5D& alt=&\[\ln z = \int_1^z {\frac{1}{x}{\text{d}}x} \]& eeimg=&1&&&br&&p&-----------------------------------------------------------&/p&&p&潘多拉的到来带来了更多的新成员.&/p&&p&你定义了广义的对数函数:&/p&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Clog+_b%7Da+%3D+%5Cfrac%7B%7B%5Cln+a%7D%7D%7B%7B%5Cln+b%7D%7D%5C%5D& alt=&\[{\log _b}a = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}\]& eeimg=&1&&&p&你用反函数定义了指数函数和广义的指数函数:&/p&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cbegin%7Baligned%7D+e%5Ex+%26%3D+%7B%28%5Cln+x%29%5E%7B%28+-+1%29%7D%7D%5C%5C+a%5Ex+%26%3D+%7Be%5E%7Bx%5Cln+a%7D%7D%5C%5C+%5Cend%7Baligned%7D%5C%5D& alt=&\[\begin{aligned} e^x &= {(\ln x)^{( - 1)}}\\ a^x &= {e^{x\ln a}}\\ \end{aligned}\]& eeimg=&1&&&p&你用指数函数定义了第一个三角函数&img src=&///equation?tex=%5Csin+.& alt=&\sin .& eeimg=&1&&&/p&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Csin+x+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Di%7Be%5E%7B+-+ix%7D%7D+-+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Di%7Be%5E%7Bix%7D%7D%5C%5D& alt=&\[\sin x = \frac{1}{2}i{e^{ - ix}} - \frac{1}{2}i{e^{ix}}\]& eeimg=&1&&&p&三角恒等变换带来了全部的8个三角函数.&/p&&p&弦矢切割,外加各自的反函数一共是16个.&/p&&p&你把他们统称为&b&基本初等函数&/b&,新的纪元开始了.&/p&&br&&p&-----------------------------------------------------------&/p&&p&阴影再次笼罩失乐园上空:&/p&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cbegin%7Baligned%7D+%7BI_n%7D+%26%3D+%5Cint+%7B%7Bx%5En%7D%7Be%5Ex%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx%7D%5C%5C+%26%3D+%5Cint+%7B%7Bx%5En%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D%7Be%5Ex%7D%7D%5C%5C+%26%3D+%7Be%5Ex%7D%7Bx%5En%7D+-+%5Cint+%7B%7Be%5Ex%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7D%7Bx%5En%7D%7D%5C%5C+%26%3D+%7Be%5Ex%7D%7Bx%5En%7D+-+n%5Cint+%7B%7Be%5Ex%7D%7Bx%5E%7Bn+-+1%7D%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx%7D%5C%5C+%26%3D+%7Be%5Ex%7D%7Bx%5En%7D+-+n%7BI_%7Bn+-+1%7D%7D%5C%5C+%5Cend%7Baligned%7D%5C%5D& alt=&\[\begin{aligned} {I_n} &= \int {{x^n}{e^x}{\text{d}}x}\\ &= \int {{x^n}{\text{d}}{e^x}}\\ &= {e^x}{x^n} - \int {{e^x}{\text{d}}{x^n}}\\ &= {e^x}{x^n} - n\int {{e^x}{x^{n - 1}}{\text{d}}x}\\ &= {e^x}{x^n} - n{I_{n - 1}}\\ \end{aligned}\]& eeimg=&1&&&p&&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 为负时又该如何?&/p&&p&你回想起了那天被不安支配的恐惧...&/p&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Cint+%7B%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx%7D+%26%3D+%3F+%5C%5C+%5Cint+%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cln+x%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx%7D+%26%3D+%3F+%5C%5C+%5Cint+%7B%5Cfrac%7B%5Csin+x%7D%7Bx%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx%7D+%26%3D+%3F+%5C%5C+%5Cend%7Baligned%7D%5C%5D& alt=&\[\begin{aligned} \int {\frac{e^x}{x}{\text{d}}x} &= ? \\ \int {\frac{1}{\ln x}{\text{d}}x} &= ? \\ \int {\frac{\sin x}{x}{\text{d}}x} &= ? \\ \end{aligned}\]& eeimg=&1&&&p&你运用刚刚锻造出的名为&b&微分扩域&/b&的神器.&/p&&p&你发现这些函数都不能写出原函数.&/p&&br&&p&-----------------------------------------------------------&/p&&p&你不得不打开&b&深渊之门&/b&:&/p&&p&你给了他们新的名字.&/p&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cbegin%7Baligned%7D+%7B%5Ctext%7BEi+%7D%7D%28z%29+%26%3D+-+%5Cint_%7B+-+z%7D%5E%5Cinfty+%7B%5Cfrac%7B%7B%7Be%5E%7B+-+t%7D%7D%7D%7D%7Bt%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx%7D%5C%5C+%7B%5Ctext%7BLi+%7D%7D%28z%29+%26%3D+%5Cint_0%5Ez+%7B%5Cfrac%7B%7B%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx%7D%7D%7B%7B%5Cln+x%7D%7D%7D%5C%5C+%7B%5Ctext%7BSi+%7D%7D%28z%29+%26%3D+%5Cint_0%5Ez+%7B%5Cfrac%7B%7B%5Csin+x%7D%7D%7Bx%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx%7D%5C%5C+%5Cend%7Baligned%7D%5C%5D& alt=&\[\begin{aligned} {\text{Ei }}(z) &= - \int_{ - z}^\infty {\frac{{{e^{ - t}}}}{t}{\text{d}}x}\\ {\text{Li }}(z) &= \int_0^z {\frac{{{\text{d}}x}}{{\ln x}}}\\ {\text{Si }}(z) &= \int_0^z {\frac{{\sin x}}{x}{\text{d}}x}\\ \end{aligned}\]& eeimg=&1&&&br&&p&-----------------------------------------------------------&/p&&p&你把非初等函数统称为特殊函数&/p&&p&自那以后特殊函数的数目不断地增加:&/p&&p&现代数值体系建立在一百多个特殊函数之上,大致可以分成如下几个家族:&/p&&p&Gamma函数家族,误差函数与指数积分家族,多对数与Zeta函数家族,正交多项式家族,贝塞尔家族,勒让德家族,椭圆函数家族,球谐函数家族,模数形式家族...&/p&&p&这么多函数之间的转换关系极为复杂.&/p&&p&你希望可以使用一种通用语言来描述------&b&大一统函数!&/b&&/p&&p&这种函数自己的积分必须可以通过自己来表示,然后其他函数先化归为这个,积分完再化归回去,这不就一劳永逸的解决了这个难题吗?&/p&&p&这有点点像积分变换,从函数空间的饕餮巨兽变成相空间中的待宰羔羊------数学版的Polymorph神技.&/p&&p&复杂的微分方程吃了个就变成简单的代数方程,加加减减就解出来了,至于怎么回到函数空间这就是另一回事了...&/p&&p&从Appell函数到合流超几何函数,再到广义超几何函数,现在接力棒交到了梅耶尔G函数的手上...&/p&&p&MeijerG函数基于梅林变换,Merlin的魔法现在已经成为了计算机代数系统的基石之一.&/p&&p&于是你现在只要关心怎么转进来和怎么转回去就行了.&/p&&br&&p&-----------------------------------------------------------&/p&&p&但是只有很少很少的函数符合变换条件,更多的函数压根儿就&魔免&.&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Csin+%28%5Csin+%28x%29%29& alt=&\sin (\sin (x))& eeimg=&1&& 不吃这套,没法积分.&/p&&p&就算定义:&img src=&///equation?tex=%5C%5BSs%28z%29+%3D+%5Cint_z%5E%5Cinfty+%7B%5Csin+%28%5Csin+%28x%29%29%7B%5Cmkern+1mu%7D+%7D+%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx%5C%5D& alt=&\[Ss(z) = \int_z^\infty {\sin (\sin (x)){\mkern 1mu} } {\text{d}}x\]& eeimg=&1&&&/p&&p&这又有什么用?&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%7B%5Csin+%28%5Csin+%28%5Csin+%28x%29%29%29%7D%5C%5D& alt=&\[{\sin (\sin (\sin (x)))}\]& eeimg=&1&& 你积得出来吗?&/p&&p&特殊函数越来越多,然而无法表示的积分不减反增!&/p&&p&每当你定义一个新特殊函数,总会冒出其他没法写出积分的函数.&/p&&p&你仿佛看见哥德尔在笑.&/p&&p&不,你发疯似的定义特殊函数,定义了无穷多个特殊函数,使得给定任意函数组合总存在一个特殊函数来表示其积分...&/p&&p&但是此时特殊函数这个集合不再是一个递归集,有限时间内无法找到对应的特殊函数...&/p&&p&你听见哥德尔在哈哈大笑...&/p&&br&&p&-----------------------------------------------------------&/p&&p&诚然,特殊函数和常数的定义都是任意的,随你高兴.&/p&&p&你可以定义一个Ku常数&/p&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cint_0%5E1+%7B%7Bx%5Ex%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx%7D+%3D+Ku%5C%5D& alt=&\[\int_0^1 {{x^x}{\text{d}}x} = Ku\]& eeimg=&1&&&p&就因为它很酷...但是这个常数不能帮助你算出&/p&&img src=&///equation?tex=%5C%5B%5Cint_0%5E1+%7B%7Bx%5E%7B%7Bx%5Ex%7D%7D%7D%7B%5Ctext%7Bd%7D%7Dx%7D+%5C%5D& alt=&\[\int_0^1 {{x^{{x^x}}}{\text{d}}x} \]& eeimg=&1&&&p&对其他积分也毫无帮助...那这个常数还是不可能被纳入现有体系内的.&/p&&p&现有的一百多个特殊函数都是精挑细选出来的.每一个都有巨大应用.整个现代快速数值计算体系都建立在这上.&/p&&p&说实话函数只有幂函数和非幂函数,你要说不能写出原函数的其实只有反比例函数一个!&/p&&p&你感觉三角函数,指对数函数的运算信手拈来,写不出原函数就很恐慌.你要和自己说这不过是个名字.&/p&&p&我现在 对比较简单的几个特殊函数也可以像初等函数一样随手运算.&/p&&p&但是这只是因为习惯了,要学会的是进行定性分析.&/p&&p&微分方程之类不需要解出来就能直接定性分析出所有的特性.解不出又如何,给个名字的事.&/p&&p&这正是分析学为何是核心课程的原因.&/p&
你以为这么多特殊函数都是怎么来的...六大初等函数还是刘维尔钦点的,顺便他用微分扩域研究了下什么时候有原函数.-----------------------------------------------------------在那原初的时光,你只有幂函数x^n 的陪伴你知道\[\int {{x^n}{\text{d}}x = } \f…
&p&刚好担任随机过程助教的时候给大家解决过这个问题，就写一下当时的做法。这个回答也可以看作是对另一个提到黎曼函数的答案的补充。&/p&&p&&br&&/p&&p&首先来点准备工作。假设一个粒子在 &img src=&///equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&& 维的网格上做对称随机游走。如果原点是常返的，那么从原点出发的话以概率1它会返回原点，而一旦返回整个过程由于马尔科夫性会重新开始，于是它又会以概率1回来，所以它将无穷次回到原点。而如果原点不是常返的，那么它每次回到原点再离开时，就会以某个正概率不再返回，从而它最终的返回次数是一个几何分布，有有限的期望。这就说明了原点是常返的当且仅当这个粒子从原点出发后返回原点次数的期望为无穷。以下总假定粒子从原点出发。如果定义一列示性函数 &img src=&///equation?tex=I_n& alt=&I_n& eeimg=&1&& ，如果粒子在 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 步回到原点即为1，否则为零，那么返回次数的期望为 &img src=&///equation?tex=E%5B%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+I_n%5D%3D%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%5Cinfty+P%28I_n%3D1%29& alt=&E[\sum_{n=0}^\infty I_n]=\sum_{n=0}^\infty P(I_n=1)& eeimg=&1&& ，换序因为单调收敛定理。那么只要看这个级数对不同的 &img src=&///equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&& 发散还是收敛就好了。而很明显只有偶数的 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 能使 &img src=&///equation?tex=I_n%3D1& alt=&I_n=1& eeimg=&1&& ，接下来就只考虑 &img src=&///equation?tex=p_%7B2n%7D%3DP%28I_%7B2n%7D%3D1%29& alt=&p_{2n}=P(I_{2n}=1)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&img src=&///equation?tex=d%3D1& alt=&d=1& eeimg=&1&& 时， &img src=&///equation?tex=p_%7B2n%7D%3D%5Cfrac%7B%282n%29%21%7D%7Bn%21n%21%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7B2n%7D%7D%5Csim%5Cfrac%7BC_1%7D%7B%5Csqrt+n%7D& alt=&p_{2n}=\frac{(2n)!}{n!n!}\frac{1}{2^{2n}}\sim\frac{C_1}{\sqrt n}& eeimg=&1&& 根据Stirling公式。所以级数发散。&/p&&p&&img src=&///equation?tex=d%3D2& alt=&d=2& eeimg=&1&& 时， &img src=&///equation?tex=p_%7B2n%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5E%7B2n%7D%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%5Cfrac%7B%282n%29%21%7D%7Bk%21k%21%28n-k%29%21%28n-k%29%21%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5E%7B2n%7D%7D%5Cfrac%7B%282n%29%21%7D%7Bn%21n%21%7D%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En%5Cleft%28%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bk%21%28n-k%29%21%7D%5Cright%29%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5E%7B2n%7D%7D%5Cfrac%7B%282n%29%21%7D%7Bn%21n%21%7D%5Cfrac%7B%282n%29%21%7D%7Bn%21n%21%7D%5Csim%5Cfrac%7BC_2%7D%7Bn%7D& alt=&p_{2n}=\frac{1}{4^{2n}}\sum_{k=0}^n\frac{(2n)!}{k!k!(n-k)!(n-k)!}=\frac{1}{4^{2n}}\frac{(2n)!}{n!n!}\sum_{k=0}^n\left(\frac{n!}{k!(n-k)!}\right)^2=\frac{1}{4^{2n}}\frac{(2n)!}{n!n!}\frac{(2n)!}{n!n!}\sim\frac{C_2}{n}& eeimg=&1&&根据Stirling公式。所以级数发散。&/p&&p&对于 &img src=&///equation?tex=d%3E2& alt=&d&2& eeimg=&1&& ，先考虑 &img src=&///equation?tex=n%3Ddm& alt=&n=dm& eeimg=&1&& 的情况，&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+p_%7B2n%7D%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B%282d%29%5E%7B2n%7D%7D%5Csum_%7Bi_j%5Cge0%2C%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Edi_j%3Dn%7D%5Cfrac%7B%282n%29%21%7D%7B%28i_1%21i_2%21%5Ccdots+i_d%21%29%5E2%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B%282d%29%5E%7B2n%7D%7D%5Cfrac%7B%282n%29%21%7D%7Bn%21n%21%7D%5Csum_%7Bi_j%5Cge0%2C%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Edi_j%3Dn%7D%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bi_1%21i_2%21%5Ccdots+i_d%21%7D%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bi_1%21i_2%21%5Ccdots+i_d%21%7D%5C%5C+%5Cle%26%5Cfrac%7B1%7D%7B%282d%29%5E%7B2n%7D%7D%5Cfrac%7B%282n%29%21%7D%7Bn%21n%21%7D%5Csum_%7Bi_j%5Cge0%2C%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Edi_j%3Dn%7D%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bi_1%21i_2%21%5Ccdots+i_d%21%7D%5Cfrac%7B%28dm%29%21%7D%7Bm%21m%21%5Ccdots+m%21%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7B2n%7Dd%5En%7D%5Cfrac%7B%28dm%29%21%7D%7Bm%21m%21%5Ccdots+m%21%7D%5Cfrac%7B%282n%29%21%7D%7Bn%21n%21%7D%5Csum_%7Bi_j%5Cge0%2C%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5Edi_j%3Dn%7D%5Cfrac%7Bn%21%7D%7Bi_1%21i_2%21%5Ccdots+i_d%21%7D%5Cfrac%7B1%7D%7Bd%5En%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5E%7B2n%7Dd%5En%7D%5Cfrac%7B%28dm%29%21%7D%7Bm%21m%21%5Ccdots+m%21%7D%5Cfrac%7B%282n%29%21%7D%7Bn%21n%21%7D%5Csim%5Cfrac%7BC_d%7D%7Bn%5E%7Bd%2F2%7D%7D+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned} p_{2n}=&\frac{1}{(2d)^{2n}}\sum_{i_j\ge0,\sum_{j=1}^di_j=n}\frac{(2n)!}{(i_1!i_2!\cdots i_d!)^2}\\ =&\frac{1}{(2d)^{2n}}\frac{(2n)!}{n!n!}\sum_{i_j\ge0,\sum_{j=1}^di_j=n}\frac{n!}{i_1!i_2!\cdots i_d!}\frac{n!}{i_1!i_2!\cdots i_d!}\\ \le&\frac{1}{(2d)^{2n}}\frac{(2n)!}{n!n!}\sum_{i_j\ge0,\sum_{j=1}^di_j=n}\frac{n!}{i_1!i_2!\cdots i_d!}\frac{(dm)!}{m!m!\cdots m!}\\ =&\frac{1}{2^{2n}d^n}\frac{(dm)!}{m!m!\cdots m!}\frac{(2n)!}{n!n!}\sum_{i_j\ge0,\sum_{j=1}^di_j=n}\frac{n!}{i_1!i_2!\cdots i_d!}\frac{1}{d^n}\\ =&\frac{1}{2^{2n}d^n}\frac{(dm)!}{m!m!\cdots m!}\frac{(2n)!}{n!n!}\sim\frac{C_d}{n^{d/2}} \end{aligned}& eeimg=&1&&&/p&&p&因为 &img src=&///equation?tex=d%3E2& alt=&d&2& eeimg=&1&& ，所以 &img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bm%7Dp_%7B2dm%7D& alt=&\sum_{m}p_{2dm}& eeimg=&1&& 收敛。对于其他项，举个例子，对于 &img src=&///equation?tex=n%3Ddm-1& alt=&n=dm-1& eeimg=&1&& 的情况，我们有 &img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+p_%7B2dm%7D%3DP%28I_%7B2dm%7D%3D1%29%5Cge%26P%28I_%7B2dm%7D%3D1%2CI_%7B2%28dm-1%29%7D%3D1%29%5C%5C+%3D%26P%28I_%7B2%28dm-1%29%7D%3D1%29P%28I_%7B2dm%7D%3D1%7CI_%7B2%28dm-1%29%7D%3D1%29%5C%5C+%3D%26P%28I_%7B2%28dm-1%29%7D%3D1%29%5Cfrac1%7B2d%7D%5C%5C+%3D%26%5Cfrac1%7B2d%7Dp_%7B2%28dm-1%29%7D+%5Cend%7Baligned%7D& alt=&\begin{aligned} p_{2dm}=P(I_{2dm}=1)\ge&P(I_{2dm}=1,I_{2(dm-1)}=1)\\ =&P(I_{2(dm-1)}=1)P(I_{2dm}=1|I_{2(dm-1)}=1)\\ =&P(I_{2(dm-1)}=1)\frac1{2d}\\ =&\frac1{2d}p_{2(dm-1)} \end{aligned}& eeimg=&1&&&/p&&p&所以 &img src=&///equation?tex=p_%7B2%28dm-1%29%7D%5Cle+2d%5Ccdot+p_%7B2dm%7D& alt=&p_{2(dm-1)}\le 2d\cdot p_{2dm}& eeimg=&1&& ，所以 &img src=&///equation?tex=%5Csum_%7Bm%7Dp_%7B2%28dm-1%29%7D& alt=&\sum_{m}p_{2(dm-1)}& eeimg=&1&& 收敛。类似的就可以证明整个级数收敛了。&/p&&p&&br&&/p&&p&所以原因是对于非负实数 &img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&& ， &img src=&///equation?tex=%5Csum%5Cfrac%7B1%7D%7Bn%5Ep%7D& alt=&\sum\frac{1}{n^p}& eeimg=&1&& 收敛当且仅当 &img src=&///equation?tex=p%3E1& alt=&p&1& eeimg=&1&& 。&/p&
刚好担任随机过程助教的时候给大家解决过这个问题，就写一下当时的做法。这个回答也可以看作是对另一个提到黎曼函数的答案的补充。 首先来点准备工作。假设一个粒子在 d 维的网格上做对称随机游走。如果原点是常返的，那么从原点出发的话以概率1它会返回原…
仔细研读过郑君里的信号与系统，曾经一度达到可以背诵上下两本书的程度。&br&后又熟读程佩青的数字信号处理，对其中的前八章达到背诵的程度。&br&最后有熟读奥本海默的信号与系统与离散信号处理两本书，这两本书实在是厚啊，总共1000+页！&br&&br&楼上很多人都说拉普拉斯变换没有实际的物理意义，相对于傅立叶变换明确的物理意义来说，拉普拉斯变换只是一个算子。&br&&br&这种说法未免有失偏颇。&br&&br&首先承认拉普拉斯变换确实起到算子的运用，然而其物理意义长期没有被人发现。&br&&br&简单的说，大家都认可傅立叶变换的本质是一个信号可以表示成正弦信号的叠加，即无法进行傅立叶变换。&br&大家如果注意到傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系可以发现，当s=jw时，傅拉普拉斯变换便等于傅立叶变换。可见傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例。那么重点来了，如果一个是增长型的，比如e^2t，这个信号指数增长，是无法表示成等幅的正弦信号的叠加的。注意，傅立叶变换的物理意义是一个信号可以表示成等幅的正弦信号的叠加！！&br&这个等幅的概念有多少人忽略了！！！&br&那么，推广一下，不等幅的正弦信号（e^at*sint）便出现了！&br&数学波形是很容易想象的。&br&&br&回到e^2t的问题，这个信号无法表示成等幅的正弦信号的叠加（傅立叶变换），那么它为何不能表示成增幅的正弦信号的叠加呢？&br&&br&这就是拉普拉斯变换的物理意义！！！&br&&br&上面这个信号在拉普拉斯变换中有一个收敛域，s&2.复频域如何表示自行想象。&br&其意义是啥呢？&br&因为收敛域包括s=4这条纵轴，这就意味着这个信号可以表示成∑e^4t*sinkwt这种增幅信号的叠加形式。&br&因为收敛域包括s=5这条纵轴，这就意味着这个信号可以表示成∑e^5t*sinkwt这种增幅信号的叠加形式。&br&s=6，7，8等等，道理如上。&br&&br&&br&那么可以发现，在拉普拉斯变换的收敛域内有无数条纵轴，在每一条纵轴上都可以写成一个不等幅正弦信号的叠加。&br&&br&从这个角度来看，傅立叶变换只不过是s=0纵轴上，信号分解成等幅（特别强调这个等幅概念）正弦信号的叠加。&br&&br&拉普拉斯变换确实有些明确的物理意义，只不过大多人没发现罢了。&br&&br&&br&&br&&br&&br&至于更详细的数学证明，未完待续。
仔细研读过郑君里的信号与系统，曾经一度达到可以背诵上下两本书的程度。 后又熟读程佩青的数字信号处理，对其中的前八章达到背诵的程度。 最后有熟读奥本海默的信号与系统与离散信号处理两本书，这两本书实在是厚啊，总共1000+页！ 楼上很多人都说拉普拉斯…
e的起源主要是追溯到利息的结算，一个人借了1块，一年利息是100%，所以到期要还2块。但是如果说一年结算两次，每次利息是上次的50%，那一年后就是(1+100%/2)?，如果是一年结算3次4次乃至无穷次呢，结果一年后就要返还(1+100%/n)^n=e，n＝∞。&br&同理细胞分裂也是一样，假设一个细胞一天分裂一次，一天后就是两个细胞，但是我们假设这个细胞在12小时的时候就具有分裂的能力，所以一天后细胞就不是2个，而是(1+1/2)?个，那假如这个细胞每时每刻都具有分裂新细胞的能力呢，答案是一天后就是(1+1/n)^n=e个。&br&所以e的真正含义是一个细胞自然增长时单位时间内的增长极限。&br&所以这个e到底是什么意思呢，这个e其实代表了一种连续性，每时每刻，每一个瞬间的阶段，每一个阶段的瞬间。细胞分裂只能是一分为二，但是在分裂的过程中每时每刻，每一个阶段细胞都在准备分裂下一个细胞。不仅代表连续性，也代表一种&存在&的意义。&br&&br&所以微分方程y'=y的解是e^x，这个e就代表不仅y是连续的，而且y'也是连续的，不仅y'是连续的，而且y''甚至y的无穷阶导数也是连续的，不仅是连续的，并且是存在的，还是其本身。&br&&br&这就是e的独特之处。&br&最后再谈到欧拉公式的左边e^(iθ)，i代表&不存在&，e代表&存在&，所以欧拉公式其实代表了一种&交替存在&的意义，也就是循环，波动，轮回。
e的起源主要是追溯到利息的结算，一个人借了1块，一年利息是100%，所以到期要还2块。但是如果说一年结算两次，每次利息是上次的50%，那一年后就是(1+100%/2)?，如果是一年结算3次4次乃至无穷次呢，结果一年后就要返还(1+100%/n)^n=e，n＝∞。 同理细胞分…
&p&刚开始学习线性微分方程的时候，我心中有两个疑问：&/p&&ul&&li&线性微分方程为什么有“线性”这两个字？&/li&&li&为什么线性微分方程的通解里面有 &img src=&///equation?tex=e%5E+x& alt=&e^ x& eeimg=&1&& ？&/li&&/ul&&p&这篇文章就来回答这两个问题。让我们从什么是线性变换开始。&/p&&p&&b&1 线性变换&/b&&/p&&p&先直观感受一下什么是线性变换。&/p&&p&&b&1.1 线性变换的几何意义&/b&&/p&&p&直观来说，线性变换就是把直线上的点（向量），变换到另外一根直线上去。关于这个问题更具体的解释，请参看文章 &a href=&/p/& class=&internal&&如何理解相似矩阵&/a& 的前半部分。&/p&&p&比如下图，把虚线上的点，变换到实线上去：&/p&&figure&&img src=&/v2-4ccad7d65de3f02c65e0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&626& data-rawheight=&369& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&626& data-original=&/v2-4ccad7d65de3f02c65e0_r.jpg&&&/figure&&p&或者把整个二维平面上的直线换个位置（下面是一个镜面翻转，为了方便观察，标出一个&img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bx_%7B%7D%7D& alt=&\vec{x_{}}& eeimg=&1&& ，虚线表示翻转的对称轴）：&/p&&figure&&img src=&/v2-a65abcba65a725b28d6aeb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&439& data-rawheight=&397& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&439& data-original=&/v2-a65abcba65a725b28d6aeb_r.jpg&&&/figure&&p&&b&1.2 微分算子&/b&&/p&&p&我们来看一个不一样的向量，对于多项式函数：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D1%2B2x%2B3x%5E2%5C%5C& alt=&f(x)=1+2x+3x^2\\& eeimg=&1&&&/p&&p&我们以 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bi_%7B%7D%7D%3D1%2C%5Cvec%7Bj_%7B%7D%7D%3Dx%2C%5Cvec%7Bk_%7B%7D%7D%3Dx%5E2& alt=&\vec{i_{}}=1,\vec{j_{}}=x,\vec{k_{}}=x^2& eeimg=&1&& 为基（关于多项式的基，可以参看《线性代数应该这样学》这样的高等代数教材），可以把它写作向量：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D1%2B2x%2B3x%5E2%5Cimplies+%5Cvec%7Bf_%7B%7D%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+1+%5C%5C+2+%5C%5C+3+%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%5C& alt=&f(x)=1+2x+3x^2\implies \vec{f_{}}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&画出来图来就是：&/p&&figure&&img src=&/v2-1b7bc3dc00fcd331e7d3c351b2d92830_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1246& data-rawheight=&804& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1246& data-original=&/v2-1b7bc3dc00fcd331e7d3c351b2d92830_r.jpg&&&/figure&&p&我们定义 &img src=&///equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 为微分算子：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=D%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D+& alt=&D=\frac{d}{dx} & eeimg=&1&&&/p&&p&那么有：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=D%28f%28x%29%29%3D%5Cfrac%7Bdf%28x%29%7D%7Bdx%7D%3D2%2B6x+%5C%5C& alt=&D(f(x))=\frac{df(x)}{dx}=2+6x \\& eeimg=&1&&&/p&&p&还可以把 &img src=&///equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 写成一个矩阵（对于更高次的多项式， &img src=&///equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 的矩阵是类似的）：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+0+%26+1+%26+0+%5C%5C+0+%26+0+%26+2+%5Cend%7Bpmatrix%7D%5C%5C& alt=&D=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&然后通过矩阵来完成求导操作：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=D%5Cvec%7Bf_%7B%7D%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+0+%26+1+%26+0+%5C%5C+0+%26+0+%26+2+%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+1+%5C%5C+2+%5C%5C+3+%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+2+%5C%5C+6+%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cimplies+D%28f%28x%29%29%3D2%2B6x%5C%5C& alt=&D\vec{f_{}}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix}\implies D(f(x))=2+6x\\& eeimg=&1&&&/p&&p&从图像上看，就是把通过 &img src=&///equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 矩阵把 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bf_%7B%7D%7D%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D+1+%5C%5C+2+%5C%5C+3+%5Cend%7Bpmatrix%7D& alt=&\vec{f_{}}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}& eeimg=&1&& 投影到 &img src=&///equation?tex=1-x& alt=&1-x& eeimg=&1&& 平面：&/p&&figure&&img src=&/v2-c6d8ec898f222a0d6b8f2c73b71c3c3a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&789& data-rawheight=&548& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&789& data-original=&/v2-c6d8ec898f222a0d6b8f2c73b71c3c3a_r.jpg&&&/figure&&p&这样看来，微分算子 &img src=&///equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 也是一个线性变换。&/p&&p&&b&1.3 代数定义&/b&&/p&&p&在数学中，只要符合下面两个性质的就是线性变换（ &img src=&///equation?tex=T& alt=&T& eeimg=&1&& 代表变换)：&/p&&ul&&li&可加性： &img src=&///equation?tex=T%28%5Cvec%7Bx_%7B%7D%7D%2B%5Cvec%7By_%7B%7D%7D%29%3DT%28%5Cvec%7Bx_%7B%7D%7D%29%2BT%28%5Cvec%7By_%7B%7D%7D%29& alt=&T(\vec{x_{}}+\vec{y_{}})=T(\vec{x_{}})+T(\vec{y_{}})& eeimg=&1&&&/li&&li&齐次性： &img src=&///equation?tex=T%28a%5Cvec%7Bx_%7B%7D%7D%29%3DaT%28%5Cvec%7Bx_%7B%7D%7D%29& alt=&T(a\vec{x_{}})=aT(\vec{x_{}})& eeimg=&1&&&/li&&/ul&&p&上一节中，通过几何展示的线性变换都符合上述两个性质。&/p&&p&比如，我们有两个多项式函数：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D1%2B2x%2B3x%5E2%5Cqquad+g%28x%29%3D2%2B3x%2B4x%5E2%5C%5C& alt=&f(x)=1+2x+3x^2\qquad g(x)=2+3x+4x^2\\& eeimg=&1&&&/p&&p&那么容易验证， &img src=&///equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 是一个线性变换：&/p&&ul&&li&可加性： &img src=&///equation?tex=D%28f%28x%29%2Bg%28x%29%29%3DD%28f%28x%29%29%2BD%28g%28x%29%29%3D5%2B14x& alt=&D(f(x)+g(x))=D(f(x))+D(g(x))=5+14x& eeimg=&1&&&/li&&li&齐次性： &img src=&///equation?tex=D%28af%28x%29%29%3DaD%28f%28x%29%29%3Da%282%2B6x%29& alt=&D(af(x))=aD(f(x))=a(2+6x)& eeimg=&1&&&/li&&/ul&&p&进一步的， &img src=&///equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 的多项式组合：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%3Da_0%2Ba_1D%2Ba_2D%5E2%2B%5Ccdots+%2Ba_+nD%5E+n%2Ca_0%2Ca_1%2C%5Ccdots+%2Ca_+n%5Cin+%5Cmathbb+%7BC%7D%5C%5C& alt=&\mathcal{L}=a_0+a_1D+a_2D^2+\cdots +a_ nD^ n,a_0,a_1,\cdots ,a_ n\in \mathbb {C}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&也是线性变换，这一点可以自行去验证。&/p&&p&&b&2 线性微分方程&/b&&/p&&p&既然 &img src=&///equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 的多项式组合 &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D& alt=&\mathcal{L}& eeimg=&1&& 是线性变换，那么线性微分方程为什么是“线性”的，答案呼之欲出。&/p&&p&&b&2.1 线性微分方程的定义&/b&&/p&&p&定义下式为常系数（因为 &img src=&///equation?tex=a_0%2Ca_1%2C%5Ccdots+%2Ca_+n& alt=&a_0,a_1,\cdots ,a_ n& eeimg=&1&& 是常数）线性微分方程：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal+L%28y%29%3Df%28x%29%5C%5C& alt=&\mathcal L(y)=f(x)\\& eeimg=&1&&&/p&&p&如果， &img src=&///equation?tex=f%28x%29%3D0& alt=&f(x)=0& eeimg=&1&& ，则为常系数齐次线性微分方程：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal+L%28y%29%3D0%5C%5C& alt=&\mathcal L(y)=0\\& eeimg=&1&&&/p&&p&如果， &img src=&///equation?tex=f%28x%29%5Cne+0& alt=&f(x)\ne 0& eeimg=&1&& ，则为常系数非齐次线性微分方程：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal+L%28y%29%3Df%28x%29%2Cf%28x%29%5Cne+0%5C%5C& alt=&\mathcal L(y)=f(x),f(x)\ne 0\\& eeimg=&1&&&/p&&p&如果 &img src=&///equation?tex=a_0%2Ca_1%2C%5Ccdots+%2Ca_+n& alt=&a_0,a_1,\cdots ,a_ n& eeimg=&1&& 是 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 的函数，那么就是变系数线性微分方程。本文不讨论这种情况。&/p&&p&解释一下：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%28y%29%3D0%5C%5C& alt=&\mathcal{L}(y)=0\\& eeimg=&1&&&/p&&p&可以类比于齐次线性方程：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=A%5Cvec%7Bx_%7B%7D%7D%3D0%5C%5C& alt=&A\vec{x_{}}=0\\& eeimg=&1&&&/p&&p&所以我们称 &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%28y%29%3D0& alt=&\mathcal{L}(y)=0& eeimg=&1&& 为齐次线性微分方程。&/p&&p&不光是可以这么类比，实际上解法都是一样的。我们先来看看齐次线性方程是怎么解的。&/p&&p&&b&2.2 齐次线性方程的解法&/b&&/p&&p&对于齐次线性方程：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=A%5Cvec%7Bx_%7B%7D%7D%3D0%5C%5C& alt=&A\vec{x_{}}=0\\& eeimg=&1&&&/p&&p&我们怎么解？&/p&&p&我们知道， &img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的特征值和特征向量满足下面这个等式：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=A%5Cvec%7Bx_%7B%7D%7D%3D%5Clambda+%5Cvec%7Bx_%7B%7D%7D%2C%5Cvec%7Bx%7D%5Cne+0%5C%5C& alt=&A\vec{x_{}}=\lambda \vec{x_{}},\vec{x}\ne 0\\& eeimg=&1&&&/p&&p&那么特征值 &img src=&///equation?tex=%5Clambda+%3D0& alt=&\lambda =0& eeimg=&1&& 对应的特征向量 &img src=&///equation?tex=%5Cvec%7Bx_%7B%7D%7D& alt=&\vec{x_{}}& eeimg=&1&& 必定是 &img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&& 的解。&/p&&p&&b&2.3&/b& &b&&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D& alt=&\mathcal{L}& eeimg=&1&&&/b& &b&的特征值、特征向量&/b&&/p&&p&那么 &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D& alt=&\mathcal{L}& eeimg=&1&& 的特征值和特征向量是多少？&/p&&p&根据特征值和特征向量的定义，对于 &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%3DD& alt=&\mathcal{L}=D& eeimg=&1&& 有：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%28e%5E%7Bnx%7D%29%3DD%28e%5E%7Bnx%7D%29%3Dne%5E%7Bnx%7D%5C%5C& alt=&\mathcal{L}(e^{nx})=D(e^{nx})=ne^{nx}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&所以，其特征值为 &img src=&///equation?tex=%5Clambda+%3Dn& alt=&\lambda =n& eeimg=&1&& ，特征向量为 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bnx%7D& alt=&e^{nx}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&啊哈， &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bnx%7D& alt=&e^{nx}& eeimg=&1&& 出现了，为什么线性微分方程的通解里面有 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bnx%7D& alt=&e^{nx}& eeimg=&1&& ，是因为 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bnx%7D& alt=&e^{nx}& eeimg=&1&& 是 &img src=&///equation?tex=D& alt=&D& eeimg=&1&& 的特征向量啊。&/p&&p&同理，对于 &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D%3DD%5E2-2D-8& alt=&\mathcal{L}=D^2-2D-8& eeimg=&1&& 有：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%28D%5E2-2D-8%29%28e%5E%7Bnx%7D%29%3D%28n%5E2-2n-8%29e%5E%7Bnx%7D%5C%5C& alt=&(D^2-2D-8)(e^{nx})=(n^2-2n-8)e^{nx}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&所以，其特征值为 &img src=&///equation?tex=%5Clambda+%3Dn%5E2-2n-8& alt=&\lambda =n^2-2n-8& eeimg=&1&& ，特征向量为 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bnx%7D& alt=&e^{nx}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&&b&2.4 解常系数齐次线性微分方程&/b&&/p&&p&万事具备，我们开始解方程吧。&/p&&p&对于：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=D%28y%29%3D0%5C%5C& alt=&D(y)=0\\& eeimg=&1&&&/p&&p&实在太简单了， &img src=&///equation?tex=y%3DC%2CC%5Cin+%5Cmathbb+%7BC%7D& alt=&y=C,C\in \mathbb {C}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&对于：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=y%27%27-2y%27-8y%3D0+%5Cimplies+%5Cmathcal%7BL%7D%28y%29%3D%28D%5E2-2D-8%29%28y%29%3D0%5C%5C& alt=&y''-2y'-8y=0 \implies \mathcal{L}(y)=(D^2-2D-8)(y)=0\\& eeimg=&1&&&/p&&p&对于此 &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D& alt=&\mathcal{L}& eeimg=&1&& ，求它的0特征值：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Clambda+%3Dn%5E2-2n-8%3D0%5Cimplies+n_1%3D4%2Cn_2%3D-2%5C%5C& alt=&\lambda =n^2-2n-8=0\implies n_1=4,n_2=-2\\& eeimg=&1&&&/p&&p&对应的特征向量为， &img src=&///equation?tex=e%5E%7B4x%7D%2Ce%5E%7B-2x%7D& alt=&e^{4x},e^{-2x}& eeimg=&1&& ，这两个特征向量线性无关，因此得到解为：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=y%3DC_1e%5E%7B4x%7D%2BC_2e%5E%7B-2x%7D%5C%5C& alt=&y=C_1e^{4x}+C_2e^{-2x}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&如果得到的特征值相同，那么就需要另外讨论一下。&/p&&p&&b&2.5 解常系数非齐次线性微分方程&/b&&/p&&p&对于非齐次线性微分方程：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%28D%5E2-2D-8%29%28y%29%3De%5E%7B2x%7D%5C%5C& alt=&(D^2-2D-8)(y)=e^{2x}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&可以类比线性方程的解的结构：&/p&&figure&&img src=&/v2-91fe2a852bb7166efea419a22df914fa_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&442& data-rawheight=&346& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&442& data-original=&/v2-91fe2a852bb7166efea419a22df914fa_r.jpg&&&/figure&&p&先求出齐次方程的解，然后根据初始条件得到一个特解 &img src=&///equation?tex=y%5E%2A& alt=&y^*& eeimg=&1&& ，得到：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=y%3DC_1e%5E%7B4x%7D%2BC_2e%5E%7B-2x%7D%2By%5E%2A%5C%5C& alt=&y=C_1e^{4x}+C_2e^{-2x}+y^*\\& eeimg=&1&&&/p&&p&还有一种做法，因为：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DD-1%29e%5E%7B2x%7D%3D0%5C%5C& alt=&\displaystyle (\frac{1}{2}D-1)e^{2x}=0\\& eeimg=&1&&&/p&&p&所以可以得到：&/p&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cdisplaystyle+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DD-1%29%5Cunderbrace%7B%28D%5E2-2D-8%29%28y%29%7D_%7Be%5E%7B2x%7D%7D%3D0%5C%5C& alt=&\displaystyle (\frac{1}{2}D-1)\underbrace{(D^2-2D-8)(y)}_{e^{2x}}=0\\& eeimg=&1&&&/p&&p&得到一个新的齐次线性微分方程，然后根据刚才介绍的方法进行求解。不过这样就需要求解三次方程，或许比特解法复杂一些，这里只是展示一下理解了线性微分方程的含义之后，我们可以更灵活的处理。&/p&&p&&b&3 总结&/b&&/p&&p&文章开头的两个问题，现在有了答案：&/p&&ul&&li&因为 &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D& alt=&\mathcal{L}& eeimg=&1&& 是线性的，所以线性微分方程是&b&线性&/b&的&/li&&li&因为 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bnx%7D& alt=&e^{nx}& eeimg=&1&& 是 &img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BL%7D& alt=&\mathcal{L}& eeimg=&1&& 的特征向量，所以通解里面有 &img src=&///equation?tex=e%5E%7Bnx%7D& alt=&e^{nx}& eeimg=&1&&&/li&&/ul&
刚开始学习线性微分方程的时候，我心中有两个疑问：线性微分方程为什么有“线性”这两个字？为什么线性微分方程的通解里面有 e^ x ？这篇文章就来回答这两个问题。让我们从什么是线性变换开始。1 线性变换先直观感受一下什么是线性变换。1.1 线性变换的几何…
&p&微积分这门学科，从字面上拆开来看，就是“微分”+“积分”。按道理把这个两个概念作为学科的名字，很显然是非常重要，但是我觉得很奇怪，《高等数学》同济版并不怎么讲“微分”这个概念，而是着重在讲解“微分”的一个性质“导数”，可能教材的目的是为了做题和考试吧。当然也有可能我下面讲的内容是微分几何的内容，如果要去严格化讲解的话需要引入更多概念。&/p&&p&在我看来，“微分”这个概念恰恰是理解微积分的关键，最好的表达了微积分这门学科的基本思想： “以直代曲，线性逼近”。&/p&&p&&b&1 一元函数中的微分&/b&&/p&&p&一元函数中&img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 的微分为：&/p&&figure&&img src=&/v2-7fbc208ee324fb5e9c374802eaf1d110_b.png& data-rawwidth=&403& data-rawheight=&402& class=&content_image& width=&403&&&/figure&&p&《高等数学》的书上是这么解释的：&/p&&figure&&img src=&/v2-5a01bf084f9cda7b5d9c1bdb0e11798e_b.png& data-rawwidth=&740& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&740& data-original=&/v2-5a01bf084f9cda7b5d9c1bdb0e11798e_r.png&&&/figure&&p&我们换一个视角：&/p&&figure&&img src=&/v2-cee2ca171d9fe78a0ba1_b.png& data-rawwidth=&782& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&782& data-original=&/v2-cee2ca171d9fe78a0ba1_r.png&&&/figure&&br&&figure&&img src=&/v2-a6feec8f0daf95d_b.png& data-rawwidth=&673& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&673& data-original=&/v2-a6feec8f0daf95d_r.png&&&/figure&&p&“以直代曲”从字面上看的意思就是说，“直”可以替代“曲”，那么微分在什么时候可以取代曲线呢？&/p&&p&其实例子很多，比如说洛必达法则、泰勒公式、积分基本定理、牛顿迭代法，这些你要仔细去看，都会发现通过“以直代曲”去理解会多么的简单、直观。不过这些我都已经写过相关的回答了，我下面给出另外一个挺有趣的例子：&/p&&figure&&img src=&/v2-312d22a552ed336d6cc7ddb_b.png& data-rawwidth=&671& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&671& data-original=&/v2-312d22a552ed336d6cc7ddb_r.png&&&/figure&&br&&figure&&img src=&/v2-b27adcc411b95217c59a_b.png& data-rawwidth=&671& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&671& data-original=&/v2-b27adcc411b95217c59a_r.png&&&/figure&&br&&figure&&img src=&/v2-b00f3aee31fe_b.png& data-rawwidth=&668& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&668& data-original=&/v2-b00f3aee31fe_r.png&&&/figure&&br&&figure&&img src=&/v2-ae4d5da86b69ac5fd53c8b_b.png& data-rawwidth=&822& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&822& data-original=&/v2-ae4d5da86b69ac5fd53c8b_r.png&&&/figure&&br&&figure&&img src=&/v2-ebf42a2de04f8e8696b2_b.png& data-rawwidth=&660& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&660& data-original=&/v2-ebf42a2de04f8e8696b2_r.png&&&/figure&&p&当我们无限增加切线的时候，我们就需要用无限的加法，这就是积分（&img src=&///equation?tex=%5Cint& alt=&\int& eeimg=&1&& 这个符号本身就是源于把英文Sum的首字母拉长）：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cint+dy%3Dy%2BC& alt=&\int dy=y+C& eeimg=&1&&&p&这是最基本的不定积分，我们可以把这个式子解读为，把所有的&img src=&///equation?tex=dy& alt=&dy& eeimg=&1&& 即微分加起来就得到了曲线。这就是“以直代曲”。&/p&&p&为什么有一个常数&img src=&///equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& 呢？&/p&&figure&&img src=&/v2-6e33afc992d6f691be3ccb6_b.png& data-rawwidth=&660& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&660& data-original=&/v2-6e33afc992d6f691be3ccb6_r.png&&&/figure&&p&为什么要“以直代曲”？我觉得答案很显然，因为直线研究起来更简单啊。&/p&&p&关于微分，还可以参考下我之前的回答： &a href=&/question//answer/& class=&internal&&为什么要定义微分 ?&/a&&/p&&p&&b&2 全微分&/b&&/p&&p&之前我回答过一个问题， &a href=&/question//answer/& class=&internal&&无法理解高等数学怎么办？&/a& 我在回答里面就说过学习应该循序渐进，意思就是，应该从已有的知识出发，保持足够小的步伐前进。&/p&&p&让我们把已有的知识称作 &img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&& ，足够小的步伐称为 +1 ，那么：&/p&&figure&&img src=&/v2-d5073aef7a56_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&316& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-d5073aef7a56_r.png&&&/figure&&p&才是最有效的学习方法。&/p&&p&那么要理解全微分是什么，就让我们从一元微分出发。&/p&&p&我们来看看一元微分给了我们什么启示：&/p&&ul&&li&微分得是“直”的（这样才能“代曲”），一元是直线，二元只能是平面&/li&&li&微分和切线有关，一元微分就是切线，二元的情况要复杂一些&/li&&/ul&&p&关于二元的切线，我们先要理解一点，在三维曲面上的点有无数条切线：&/p&&figure&&img src=&/v2-bcb7db07cd11d_b.png& data-rawwidth=&1227& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1227& data-original=&/v2-bcb7db07cd11d_r.png&&&/figure&&p&有了这些信息之后，我们就能很轻松的把一元微分推广到二元微分上去。&/p&&p&二元微分就是所有的切线都存在，并且都在一个平面。如果这样一个平面存在的话，它就是二元的微分，我们也叫它为“切平面”。这个微分可以提供对曲面很好的“线性近似”。&/p&&p&所有切线共面我觉得还挺神奇的，蛮难想象的。下面有个互动操作帮助你认识这个“全微分”，有条件最好在pc上观看，手机好像有点卡：&/p&&figure&&img src=&/v2-5531aed0ef06d461a53c381f747feec4_b.png& data-rawwidth=&1227& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1227& data-original=&/v2-5531aed0ef06d461a53c381f747feec4_r.png&&&/figure&&br&&blockquote&此处有互动内容，&a href=&///?target=http%3A///madocs/218.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&点击此处前往操作。&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&/blockquote&&p&至于为什么所有的切线都会在切平面上，我会另文作答。&/p&&p&明白二元微分之后，我们就可以继续&img src=&///equation?tex=i%2B1& alt=&i+1& eeimg=&1&& 下去，把二元微积分推广出来。&/p&&p&&b&3 结语&/b&&/p&&p&“以直代曲，线性逼近”是整个微积分的精髓，深刻地理解了这八字真言，就会发现微积分一切都很自然了。&/p&
微积分这门学科，从字面上拆开来看，就是“微分”+“积分”。按道理把这个两个概念作为学科的名字，很显然是非常重要，但是我觉得很奇怪，《高等数学》同济版并不怎么讲“微分”这个概念，而是着重在讲解“微分”的一个性质“导数”，可能教材的目的是为了…
谢 &a data-hash=&fa0a6054bcd9ef905d9d9dee0a594af1& href=&///people/fa0a6054bcd9ef905d9d9dee0a594af1& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@小王子与玫瑰& data-tip=&p$b$fa0a6054bcd9ef905d9d9dee0a594af1& data-hovercard=&p$b$fa0a6054bcd9ef905d9d9dee0a594af1&&@小王子与玫瑰&/a& 邀。&br&&br&Milnor 是我的偶像。但评价他对我来说是一件非常不自量力的事情。我会尽力介绍一下我了解的他的八卦与工作。&br&&br&1，把一条绳子打上很多结，再将首尾连接在一起，在什么情况下我们不剪断绳子就可以解开所有的结把绳子变成一个圆？&br&1949年，普林斯顿大学一节微分几何课上，Tucker 教授为了激发孩子们的兴趣提出了这个问题，同时介绍了两年前波兰数学家Borsuk的猜想：考察打好结的绳子的弯曲程度，将每个点的曲率在整个绳子上积分起来，如果小于等于4π，那么所有的结都可以打开。&br&Tucker没想到的是，几天后，它课上的一个18岁的学生像交作业一样将一份完整地证明交给了他。&br&&a href=&///?target=http%3A//www.jstor.org/stable/1969467& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&On the Total Curvature of Knots on JSTOR&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&2，大学期间这个智商溢出的孩子并没有被数学所满足，还对很多智力项目也都很感兴趣，比如围棋还有一个叫 Nash 的游戏。认识了游戏的发明人之后，二人成了好朋友，并发表了关于游戏理论（博弈论）的一系列文章。最近发现，Nash的成名作好短，加上参考文献还不到一页。&br&&a href=&///?target=https%3A//www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063129/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&ncbi.nlm.nih.gov/pmc/ar&/span&&span class=&invisible&&ticles/PMC1063129/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&3，1954年，23岁的Milnor 带着横跨几个方向的近十篇文章结束了博士生涯，成为了普林斯顿的助理教授，开始了一次次颠覆所有拓扑学家价值观的旅程。&br&&br&4，成名作：三观尽失的怪球。1956年数学史上里程碑的构造由25岁的Milnor给出，六页半的文章足以让他有资格拿到世界上所有的数学奖项。事实上也确实如此，目前他是仅有的四位包揽 Fields, Wolf,Abel 大满贯选手之一。1962年，31岁的Milnor拿到了Fields: &br&&i&&Proved that a &/i&7&i&-dimensional sphere can have several dif this led to the creation of the field of differential topology.&&/i&&br&&br&5，由Wolf奖委员会发行的获奖者文集中，收录了Milnor的四篇文章，第一篇当然是怪球，第二篇是1958年可除代数只有实，复，四元，八元 四种的新证明，其中引用了吴文俊先生的五篇文章，并在文中写道：“鉴于吴的文章为中文，我们将所用定理的证明在附录中给出”。&br&&br&6，第二次颠覆：&b&Hauptvermutung &/b&的反例。Hauptvermutung 为德语，直译为 主要猜想，直指组合拓扑的根本，即同一拓扑空间的三角剖分是否唯一？更数学一点，即是否任一两个三角剖分都有相同的加细？1961年，30岁的Milnor 直接了当地构造了一个反例。和怪球一样，这次颠覆也终结了无数人的研究计划但又为更多的人开启了新的方向。&br&&a href=&///?target=http%3A//www.maths.ed.ac.uk/%7Eaar/haupt/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Triangulation and the Hauptvermutung&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&7，再一次颠覆：能否从鼓的声音中判断鼓的形状？这个问题很有影响力，Kac 凭借这个问题就拿下了两项大奖：&a href=&///?target=http%3A//www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Chauvenet/Kac68chv.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&maa.org/sites/default/f&/span&&span class=&invisible&&iles/pdf/upload_library/22/Chauvenet/Kac68chv.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&我们耳朵听到的声音是由频率决定的，而频率则是鼓面的Laplace算子的特征值。所以问题化为：如果两个空间Laplace算子的谱相同，这两个空间是否相同？但问题转瞬间就变成了一个目前还有很多人研究的方向：如果谱相同，什么条件下空间相同。这是因为 “Almost immediately,” Milnor 一言不合就抛出了两个谱相同但空间不同的16维环面的例子。&br&&br&8，再再一次颠覆：同胚的光滑流形居然可以有不同构的切丛。。。再颠覆我们就审美疲劳了。(评论中有人指出这条和4 是一回事。确实是的。)&br&&br&9,
庞加莱猜想是他从接触数学开始一生最大的追求，能在有生之年看到猜想被Perelman解决，不知道他是什么心情。&br&&br&10，一般来说高智商的学霸是很难理解学渣在学习中的挣扎的，所以很多天才的教授讲课写书都一塌糊涂。但Milnor 又是个反例，他有一个天赋，可以将一团乱麻的复杂的前沿研究解释的非常简单。“Usually when Milnor explains, it is easier.” Milnor 写书的水平是古往今来数学界一绝，微分拓扑，示性类，h协边，Morse理论。。。这些当时莫测高深的前沿在Milnor写好书后就成了研究生课程。他是唯一一个包揽了美国数学会发给优秀数学著作的&b&Leroy P Steele Prize&/b&的人，这是Serge Lang都达不到的成就。&br&&br&&br&11，我是在读了数学家McDuff的书之后才知道他居然是Milnor的老婆，她当年为了追Milnor放弃了自己学校的终身职位去做非终身的助理教授只为了离他更近。。。&br&&br&12，测个IQ:
1, 1, 28, 2, 8, 6, 992, 1, 3, 2, 1, 16, 523264, 下一个数字是多少？&br&&br&&br&这里我只提到了我熟悉的容易吸引眼球的八卦，大家千万不要造成Milnor只是个构造反例专家的印象。事实上他做了无数基础性的工作：定义连通和并证明三维流形素分解的唯一性，在奇点理论（&i&singularity theory&/i&）中定义Milnor 数和Milnor 纤维（&a href=&///?target=http%3A//www.abelprize.no/c53720/binfil/download.php%3Ftid%3D53745& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&abelprize.no/c53720/bin&/span&&span class=&invisible&&fil/download.php?tid=53745&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，一个科普，说明巴黎凯旋门附近的Milnor数是25），对Hopf代数的研究，定义环的代数K2群（Quillen 继续定义高次K群拿到了Fields, &i&Voevodsky &/i&通过证明K2群中的Milnor猜想拿到了Fields）还有好多我看都看不懂的东西。研究方向也遍及拓扑，博弈论，群论（Hyperbolic group）,代数和低维动力系统等。&br&&br&最后以他对Abel奖委员会的回复为结尾，里面简略阐述了他自己的数学思想。&br&&br&&i&The field of mathematics is a marvellous mosaic built up out of contributions by people from many different cultures, speaking many different languages, and stretching back over many hundreds of years. From the beginning mathematics has had a dual nature, partly abstract and self contained, but intimately concerned with understanding of the physical world around us. Much important mathematics was first inspired by and mathematics has often contributed in totally unexpected ways. No one could have guessed that Riemann's study of curvature would form the basis for Einstein' or that Hilbert's theory of infinite dimensional vector spaces would provide the foundations for quantum mechanics. The British mathematician G H Hardy proudly bragged that his work in number theory would never be sullied by applications. He would have been horrified to learn that it is now the basis for methods in cryptography which are fundamentally important in commercial applications and also in military applications. The connections between mathematics and other sciences work in both directions. Claude Shannon's work on communication theory was inspired by the work of physicists on statistical mechanics, and now has important applications not only in computer science but also in the mathematical theory of dynamical systems. The mathematical theory of Riemannn surfaces is now very important to mathematical physicists. Conversely, tools developed by mathematical physicists play a very important role in topology. I have been very lucky to have been able to enjoy this magnificent mosaic of mathematics for more than sixty years, and to make some contributions to it. But of course the contributions of any one person must depend in a very essential way on the cumulative contributions of older generations of mathematicians. The work of Niels Henrik Abel provides a necessary background for a great deal of present day mathematics. The groups studied by Sophus Lie are important in many branches of mathematics. We learn not only from our mathematical ancestors, but also to a great extent from our contemporaries. I have personally benefited from the work of a number of the previous Abel Prize winners. The thesis of Jean-Pierre Serre provided a foundation for nearly all subsequent work on homotopy groups. His beautiful &i&Cours d'Arithmétique&/i& taught me about the quadratic forms which play an important role in understanding the topology of manifolds. In fact, this study of quadratic forms was so addictive that I spent some years studying problems in algebra for their own sake. Michael Atiyah's work on K-theory provided the inspiration for my own work on algebraic K- while John Tate helped me to understand the relationship between algebraic K-theory, quadratic forms and Galois cohomology. One great advantage of the long mathematical life which I have enjoyed is that it has enabled me to see amazing progress by others on problems which I had helped to formulate. Thus the work on quadratic forms which I just mentioned led to conjectures which were later verified in very deep work by Vladimir Voevodsky. Similarly, Misha Gromov's work on the growth of finitely generated groups went far beyond anything which I had been able to achieve.&/i&&br&&br&&br&&i&-----------------------------------------------------------------------&/i&&br&&i&经 &/i&&a href=&/people/arithmetichen& class=&internal&&zota fonctio&/a& 指出，代数K 理论部分确实有些问题。&br&&a href=&/people/arithmetichen& class=&internal&&zota fonctio&/a&&br&修正一点: Milnor 是定义了高次 K-群的, 高次的时候和 Quillen K 不再同构 (K_2 的同构也不是平凡的). Voevodsky 证明的是任意次 K-群的 Milnor 猜想 (后来他证明了更一般的 Bloch--Kato). K_2 情形在更早的时候由 Merkurjev--Suslin 证明.&br&&br&&a href=&/people/arithmetichen& class=&internal&&zota fonctio&/a&&br&另外 Milnor 在他的 K-理论的文章里的猜想实际有两个, 上面的提到的是 Galois 上同调和 K-群的关联, 另一个是 K-群和 (佩菲斯特) 二次型的关联, 由 Orlov, Vishik, 和 Voevodsky 证明.
邀。 Milnor 是我的偶像。但评价他对我来说是一件非常不自量力的事情。我会尽力介绍一下我了解的他的八卦与工作。 1，把一条绳子打上很多结，再将首尾连接在一起，在什么情况下我们不剪断绳子就可以解开所有的结把绳子变成一个圆？ 1949年…
谢邀。&br&关于PDE的问题，我想举两个最基础的例子。一个是热方程，另一个是波动方程。单纯从这两个方程就可以看出PDE的复杂性。&br&&br&热方程有所谓的regularisation，也就是它能改善解的性质——你给我一个只是连续但是不可微的初值条件，我拿去跑热方程，一瞬间它在任何大于0的时间t都变得光滑了。&b&你可能觉得这是个好事，但我也要告诉你这是个坏事。热方程可以改善解的性质，意味着倒向热方程（backward heat equation）会恶化解的性质&/b&。热方程关于时间是不可逆的，也就是把t换成-t后，得到的方程（倒向热方程）是不同的方程，这是因为热方程对时间求了奇数次导。你沿着正时间轴跑，解的正则性（简单地说就是可求导的次数）改善了，这当然就意味着，反方向跑，解的正则性就恶化了！所以对倒向的热方程，你必须要提供光滑的（无穷可微）初值条件，才能保证解存在，而且解跑着跑着可能就在某个时间点从一个光滑函数退化成一个连续但是不可微的函数了。这种论证都不需要任何计算，简单的逻辑推理就可以告诉你——不能指望所有的方程在所有的初值条件下都有解。（这个自然段的论证说明热方程在时间轴上是有方向的，好像和热力学第二定律有联系）&br&&br&然后我们再看看波动方程。我们知道，波动方程没有regularisation，也就是说他不会提高解的正则性。你给它一个二次可微的初值条件，它不会返回你一个三次可微的解。&b&这是由波动方程本身的结构决定的，波动方程关于时间t是可逆的&/b&，也就是把t换成-t得到的方程还是波动方程，这是因为它对t求了偶数次导。如果它能改善解的正则性，那么根据上个自然段的理由，反过来跑它就得恶化解的正则性，但是反过来跑和正过来跑对它来说是一样的，所以就矛盾了。所以单纯地分析方程的结构，我们就可以知道波动方程不是性质多么良好的方程。&br&&br&如果世界上的PDE都有性质良好的解，那么我们就不会有湍流，不会有混沌，很可能也不会有生命。&b&正因为我们的世界的物理规律本身就如此复杂，而PDE很大一部分就是在刻画物理规律、建立相应数学模型，所以我们就不能指望PDE都会是我们想象的那么美好啊。PDE的复杂性就是我们这个世界本身的复杂性的一种反映&/b&。
谢邀。 关于PDE的问题，我想举两个最基础的例子。一个是热方程，另一个是波动方程。单纯从这两个方程就可以看出PDE的复杂性。 热方程有所谓的regularisation，也就是它能改善解的性质——你给我一个只是连续但是不可微的初值条件，我拿去跑热方程，一瞬间它…
下面是选自《别闹了，费曼先生》中的相应内容：&br&&blockquote&
于是每到上物理课时，不管老师教的是帕斯卡定律或是别的什么，我都一概不理。我坐在教室的角落，念&b&伍兹（woods）&/b&&b&著的这本《高等微积分学》&/b&。贝德知道我念过一点《实用微积分》，因此他给我这本真正的大部头著作——给大学二三年级学生念的教材。书内有傅立叶级数、贝塞尔函数、行列式、椭圆函数——各种我前所未知的奇妙东西。&br&&b&那本书还教你如何对积分符号内的参数求微分&/b&。后来我发现，一般大学课程并不怎么教这个技巧，但我掌握了它的用法，往后还一再地用到它。因此，靠着自修那本书，我做积分的方法往往与众不同。&/blockquote&这本《高等微积分学》（Frederick S. Woods, Advanced Calculus, 这本书可以很容易地在网上下载到）。我相信你所关注的课题出现在该书第141页上，即：60. Differentiation of a definite integral. &br&&figure&&img src=&/786b45e6a9cd51bb61d7d8_b.jpg& data-rawwidth=&471& data-rawheight=&367& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&471& data-original=&/786b45e6a9cd51bb61d7d8_r.jpg&&&/figure&&br&实际上书中讲的就是所谓的含参变量积分关于参数求导的问题。Woods的书中以及给出了描述和相关的例子。&br&&br&我就在这里举一个简单的例子：&br&计算积分：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7D%5Cfrac%7Bx%5Eb-x%5Ea%7D%7B%5Cln+x%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%2C%7E%7E0%3Ca%3Cb.& alt=&\int_{0}^{1}\frac{x^b-x^a}{\ln x}\mathrm{d}x,~~0&a&b.& eeimg=&1&&&br&一般而言被积函数中涉及&img src=&///equation?tex=%5Cln+x& alt=&\ln x& eeimg=&1&&这样的函数，其积分计算起来都十分复杂和困难。不能套用已有的公式（我指的是一般教材中的积分表，大型的手册除外）。所以我们可以先视&img src=&///equation?tex=I%5Cleft%28b%5Cright%29%3D%5Cint_%7B0%7D%5E1+%5Cfrac%7Bx%5Eb-x%5Ea%7D%7B%5Cln+x%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx& alt=&I\left(b\right)=\int_{0}^1 \frac{x^b-x^a}{\ln x}\mathrm{d}x& eeimg=&1&&&br&为关于&img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&&的一个“函数”，而&img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&&视为固定的常数。然后对变量&img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&&求导，得到：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Db%7DI%5Cleft%28b%5Cright%29%3D%5Cint_%7B0%7D%5E1+%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Db%7D%5Cleft%5B+%5Cfrac%7Bx%5Eb-x%5Ea%7D%7B%5Cln+x%7D%5Cright%5D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B1%7Dx%5Eb%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bb%2B1%7D.& alt=&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}b}I\left(b\right)=\int_{0}^1 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}b}\left[ \frac{x^b-x^a}{\ln x}\right]\mathrm{d}x=\int_{0}^{1}x^b\mathrm{d}x=\frac{1}{b+1}.& eeimg=&1&&&br&这样的计算是简单的。随后，重新得到：&br&&img src=&///equation?tex=I%5Cleft%28b%5Cright%29%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%0A%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D+I%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Du%7D%5Cmathrm%7Bd%7Du+%0A%2BI%5Cleft%28a%5Cright%29%3D%0A%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Du%7D%7Bu%2B1%7D%2B0%3D%0A%5Cleft.%5Cln+%5Cleft%28u%2B1%5Cright%29%5Cright%7C_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%3D%5Cln+%5Cfrac%7Bb%2B1%7D%7Ba%2B1%7D.& alt=&I\left(b\right)=\int_{a}^{b}
\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d}u}\mathrm{d}u
+I\left(a\right)=
\int_{a}^{b}\frac{\mathrm{d}u}{u+1}+0=
\left.\ln \left(u+1\right)\right|_{a}^{b}=\ln \frac{b+1}{a+1}.& eeimg=&1&&&br&可以看出这里的计算基本上都是可以用教材中比较简单的结果来做的。这是一种计算积分的技巧。&br&&b&需要注意的是，把求导和积分进行次序的交换通常是需要验证的。&/b&验证的判据可以在一般的教材中找到。&br&&br&Woods 的书中给出的是一个比较复杂的例子。然后一些常规的技巧和案例可以在徐森林，金亚东，薛春华所著的《数学分析（第三册）》中找到。&br&&br&在特殊函数论中，很多的函数都由积分来定义，其本身无法进行初等表示（也就是说不是做个变量代换就可以变成有限初等函数的）。在这种情况下，我们要向得到函数的一些性质，递推关系等等，只好直接从定义它的积分入手，所以针对积分中一些适当的参数进行运算（例如求导，或者说积分也可以）就是一种很好的选择。只是在做这些运算的时候，验证正当性是很核心的部分。&br&&br&最后补充一点，虽然这是一种非常古典的方法，但是运用得当是可以做出很多尖端的工作的。因为对于特殊函数而言，验证求导或者积分的可交换性会涉及到大量例如，渐近分析、围道积分表示等等问题，就不再像例题那么简单了。
下面是选自《别闹了，费曼先生》中的相应内容： 于是每到上物理课时，不管老师教的是帕斯卡定律或是别的什么，我都一概不理。我坐在教室的角落，念伍兹（woods）著的这本《高等微积分学》。贝德知道我念过一点《实用微积分》，因此他给我这本真正的大部头著…
噗, &b&秉持着不嫌事大的原则&/b&我姑且也来尝试着详细地解释一下吧.&br&&br&首先做一个说明, 相信题主应该知道的是（书上肯定也会说到）&img src=&///equation?tex=dy%2Fdx& alt=&dy/dx& eeimg=&1&&是一个形式记号, 他和&img src=&///equation?tex=f%27%28x%29& alt=&f'(x)& eeimg=&1&&表示的含义是完全相同的. 题主在意的其实是孤立的&img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&&是什么含义. 一般高数或者数分（或者微积分）书上把等式&br&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+y+%3D+f%27%28x_0%29%5CDelta+x+%2B+o%28%5CDelta+x%29%2C+%5C%2C+%5CDelta+x+%5Crightarrow+0+& alt=&\Delta y = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x), \, \Delta x \rightarrow 0 & eeimg=&1&&,&br&的极限情形人为记作&br&&img src=&///equation?tex=dy+%3D+f%27%28x_0%29+%5CDelta+x+%3D+f%27%28x_0%29dx& alt=&dy = f'(x_0) \Delta x = f'(x_0)dx& eeimg=&1&&,&br&这里的含义是比较含混不清的. 从数学的角度, 我们还是希望能够明确地从已知的概念定义微分到底是什么, 或者说, 包含于怎样的集合, 是怎么（构造）出来的, 而不是随手写一串字母给它取个名字, 连它包含在什么样的集合里, 这个集合是怎么构造出来的, 又有着什么样的结构都说不清楚.&br&&br&那么为此, 我们先大概梳理一下想法, 然后把想法给严格地实现. &br&实际上, 我们明确地定义&img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&&的思路已经在微积分里就已经说明了. 就是在考虑函数&img src=&///equation?tex=y+%3D+f%28x%29& alt=&y = f(x)& eeimg=&1&&在&img src=&///equation?tex=x_0& alt=&x_0& eeimg=&1&&附近的局部性质时, 用函数的线性近似（线性主部）来在局部代替原函数, &b&把非线性的函数&/b&（提取一部分的信息）&b&在局部表示为一个线性函数&/b&&img src=&///equation?tex=dy+%3D+f%27%28x_0%29dx& alt=&dy = f'(x_0)dx& eeimg=&1&&.&br&&br&既然要构造一个线性函数, 就要知道定义域是什么. &b&一个线性函数的定义域当然应该是&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&, 但这里这个局部线性函数的定义域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&和原来的非线性函数的定义域&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&似乎不太一样&/b&（从记号上来看一个变量叫&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&一个叫&img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&&当然不一样嘛）. 这让我们很困扰. &br&&br&姑且打一个不恰当的比方, 我们中学知道向量的概念, 一般而言向量是平移不变的, 但也有些时候&b&我们会给定向量一个固定起点. &/b&比如在物理上, 一个质点有一个运动轨迹, 我们说它在一个点的速度是一个向量. 当我们表示它是在&img src=&///equation?tex=x_0& alt=&x_0& eeimg=&1&&点的速度时, 这个向量的起点是被固定的. &br&换句话说, 可以认为在&img src=&///equation?tex=x_0& alt=&x_0& eeimg=&1&&点上长（zhang）出了一个向量, 向量的集合是向量空间, 于是: &b&在&img src=&///equation?tex=x_0& alt=&x_0& eeimg=&1&&点就长（zhang）出了一个向量空间, 是速度的可能取值空间. &/b&这样的看法似乎在这里显得多余, 但是在定义微分时, 这样的看法似乎对我们有一些启示, 因为&img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&&所在空间似乎就与函数的定义域不同, 而&img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&&所在空间的起点似乎也正是&img src=&///equation?tex=x_0& alt=&x_0& eeimg=&1&&点.&br&&br&我们现在来描述怎么严格构造. 我们考虑的是函数的近似, 为了方便起见考虑全体光滑函数集合&img src=&///equation?tex=C%5E%5Cinfty%28%5Cmathbb%7BR%7D%29& alt=&C^\infty(\mathbb{R})& eeimg=&1&&, 我们考虑&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&的局部, 因此&b&我们把在&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&的某个领域相等的函数看成是同一个（等价类）&/b&, 这样在&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&点处就得到一个更简化的集合, 成为&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&点处的函数芽集合&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BC%7D_%7Bx%7D%5E%5Cinfty& alt=&\mathcal{C}_{x}^\infty& eeimg=&1&&. 也就是 Hatcher（是指那位答主啊23333）所定义的&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BE%7D_x& alt=&\mathcal{E}_x& eeimg=&1&&. &br&&figure&&img src=&/v2-2a3c273b06d09fdacfcb29af516da3d7_b.jpg& data-rawwidth=&518& data-rawheight=&271& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&518& data-original=&/v2-2a3c273b06d09fdacfcb29af516da3d7_r.jpg&&&/figure&&br&看一下图的话, 感觉就是&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&上的光滑函数都是由函数芽延伸（生长）出来的. 如果看上去不太光滑的话, 那其实只是因为我画的不好.&br&&br&这样的简化还是不够的. 我们可以要得到这些函数的线性化. 那么为此我们把所有导数相同的点再看成同一个点. &b&也就是如果两个函数导数之差为0, 那他们的线性化应该等同起来. &/b&因此我们把所有导数相同的芽等同起来, 这也就是Hatcher所说的对&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BE%7D_x& alt=&\mathcal{E}_x& eeimg=&1&&商掉导数为0的部分&img src=&///equation?tex=Ann%28%5CGamma_x%29& alt=&Ann(\Gamma_x)& eeimg=&1&&. 这样等同之后得到的空间就称作&img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&处的余切空间, &img src=&///equation?tex=T_x%5E%2AM& alt=&T_x^*M& eeimg=&1&&. 可以证明（注意这不是显然的）&img src=&///equation?tex=T_x%5E%2AM& alt=&T_x^*M& eeimg=&1&&就是1维向量空间, 也就是&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&.&br&（这里我偷懒了, 因为&img src=&///equation?tex=%5Cmathbb%7BR%7D& alt=&\mathbb{R}& eeimg=&1&&上的导数可以定义所以就这么来了, 在一般的流形上当然不能这样.）&br&&br&&br&&b&此时, &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&&就是余切空间&img src=&///equation?tex=T_x%5E%2AM& alt=&T_x^*M& eeimg=&1&&上面的元素, 是导数为1的那个等价类, 换句话说, 是函数&img src=&///equation?tex=f%28x%29+%3D+x& alt=&f(x) = x& eeimg=&1&&&/b&&b&的微分