【数学】若矩形一个内角的角平分线把矩形的另一条边分为4cm、5cm两部分，则这个矩形的周长是______．-学路网-学习路上 有我相伴
若矩形一个内角的角平分线把矩形的另一条边分为4cm、5cm两部分，则这个矩形的周长是______．
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一条对角线平分一个矩形的内角,这个矩形会是正方形吗?为什么...试题答案:这个矩形是正方形.已知:矩形ABCD,BD平分∠ABC,求证:矩形ABCD是正方形.证明:∵矩形ABCD,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠ADB=45°.∴AB...一条对角线平分一个矩形的内角,这个矩形会是正方形吗?为什么...这个矩形是正方形因为平分一个矩形的内角,平分后的角=90/2=45度从而知道:平分后的两个三角形均为等腰直角三角形,即两邻边相等所以四条边均相等若矩形一个内角的平分线分它的长边为两部分,长分别为2和3.则...试题答案:∵矩形ABCD中,BE是角平分线.∴∠ABE=∠EBC.∵AD∥BC.∴∠AEB=∠EBC.∴∠AEB=∠ABE.∴AB=AE.平分线把矩形的一边分成3和2.当AE=2时:则AB=CD...若矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两...分析:本题的关键是利用矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两段这一条件求出矩形的另一边长为3或5,然后求周长.解答:解:∵矩形的一个内角的平分线把...矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为和两部分,则该...矩形的四个角都是直角,内角平分线,可组成等腰直角三角形,因此矩形的宽可有两种情况.矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为和两部分,矩形的长为,宽为或.面积为或...若矩形一个内角的角平分线把矩形的另一条边分为4cm、5cm两部分，则这个矩形的周长是______．(图2)若矩形一个内角的角平分线把矩形的另一条边分为4cm、5cm两部分，则这个矩形的周长是______．(图18)若矩形一个内角的角平分线把矩形的另一条边分为4cm、5cm两部分，则这个矩形的周长是______．(图26)这是用户提出的一个数学问题,具体问题为:若矩形一个内角的角平分线把矩形的另一条边分为4cm、5cm两部分，则这个矩形的周长是______．我们通过互联网以及本网用户共同努力为此问题提供了相关答案,以便碰到此类问题的同学参考学习,请注意,我们不能保证答案的准确性,仅供参考,具体如下:矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为和两部分,则该...矩形的四个角都是直角,内角平分线,可组成等腰直角三角形,因此矩形的宽可有两种情况.矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为和两部分,矩形防抓取，学路网提供内容。用户都认为优质的答案:长方形的一个内角比等边三角行的一个内角大多少长方形的一个内角为90度,等边三角形的一个内角为60度。90-60=30度防抓取，学路网提供内容。学路网 www.xue63.com 学路网 www.xue63.com ∵AE=4cm，DE=5cm．若矩形一个内角的平分线分他的长边为两部分,长分别为2和3,则...面积应该为15防抓取，学路网提供内容。∴AD=BC=9cm．矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为3和5两部分,则...∵矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为3和5两部分,∴矩形的长为8,宽为5或3.∴面积为40或24.故答案为:40或24.防抓取，学路网提供内容。利用角平分线得到∠ABE=∠CBE，矩形对边平行得到∠AEB=∠CBE．矩形的一个内角的平分线把矩形的一边分成3CM和5CM,则该矩...如图所示:AE=5cm,BE=3cm,∵ABCD是矩形,∴∠ADE=∠AED=45°,∴AD=AE=5cm&&&n防抓取，学路网提供内容。∴∠ABE=∠AEB．长方形的一个内角比等边三角形的一个内角大百分之几90度,等边三角形的内角=60度(90-60)/60=1/2=50%长方形的一个内角比等边三角形的一个内角大百分之50防抓取，学路网提供内容。∴AB=AE=4cm．若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为...问：若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD...答：（1）答案不唯一，a=2，b=4（2）①以B1C1为一边的矩形防抓取，学路网提供内容。∴矩形的周长为4+4+9+9=26cm；若矩形的一个短边与长边的比值为，（黄金分割数...问：若矩形的一个短边与长边的比值为，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫...答：解：（1）以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞A防抓取，学路网提供内容。第二种情况：AE=5cm，DE=4cm．如图，将矩形ABCD分割成一个阴影矩形与172个面积相...问：如图，将矩形ABCD分割成一个阴影矩形与172个面积相等的小正方形，若阴影...答：根据阴影矩形长与宽的比为2：1，则阴影矩形周围去掉4防抓取，学路网提供内容。同理可得AB=AE=5cm．在一个矩形内，已知图中二个三角形的面积分别是2平...答：△AEG和△ABG的高是一样的，所以底边之比等于面积之比，即EG:BG=2：3，根据平行线分线段成比例，或者内错角，对顶角相等，能求出△AEG防抓取，学路网提供内容。所以矩形的周长为5+5+9+9=28cm．若将一个频率为10khz矩形，变换成一个1khz的矩形波...答：分频IC，十进制计数器防抓取，学路网提供内容。故答案为：26cm或28cm．（2014?德阳）如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐...问：（2014?德阳）如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例...答：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2）防抓取，学路网提供内容。======以下答案可供参考======若矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成3cm和...问：若矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两段，则该矩形...答：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥B防抓取，学路网提供内容。供参考答案1:在样本的频率分布直方图中，一共有n个小矩形，若中...问：在样本的频率分布直方图中，一共有n个小矩形，若中间一个小矩形的面积等...答：由题意中间一个小矩形的面积等于其余（n-1）个小矩形面积之和的1防抓取，学路网提供内容。26厘米 或 28厘米已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个...问：已知一矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角的平分线分长边为...答：B如图，在矩形ABCD中，10cm，15cm，是∠的平分防抓取，学路网提供内容。俩种情况一、离这个角近的那一部分为4厘米，则这个矩形的长为9厘米，宽为4厘米，则周长为26厘米；一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称...问：一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下...答：(1)3；（2）5，8，12，15；（3），，，，，，，．试题分析：防抓取，学路网提供内容。二、离这个角近的那一部分为5厘米，则这个矩形的长为9厘米，宽为5厘米，则周长为28厘米防抓取，学路网提供内容。长方形的一个内角比等边三角行的一个内角大多少长方形的一个内角为90度,等边三角形的一个内角为60度。90-60=30度若矩形一个内角的平分线分他的长边为两部分,长分别为2和3,则...面积应该为15矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为3和5两部分,则...∵矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为3和5两部分,∴矩形的长为8,宽为5或3.∴面积为40或24.故答案为:40或24.矩形的一个内角的平分线把矩形的一边分成3CM和5CM,则该矩...如图所示:AE=5cm,BE=3cm,∵ABCD是矩形,∴∠ADE=∠AED=45°,∴AD=AE=5cm&&&&&&AB=8cm∴矩形ABCD周长为:2(AB+AD)=2(8+5...
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矩形两条角平分线相交可以把矩形分成面积相等的四块三角形吗
我有更好的答案
可以证明一下吗，初二
还是说可以直接当做已知条件
比如说，长是a宽是b，三角形面积恒为ab/4
采纳率：44%
一定可以。若长是a宽是b的矩形，若以长a为底那么高就为1/2b则S=1/2（aX（1/2b））=1/4ab若以宽b为底则S=1/4ab，所以矩形两条角平分线相交可以把矩形分成面积相等的四块三角形
万分感谢，抱歉已经采纳了，谢谢你详细的解答
正方形属于矩形
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几何问题-面积和等积变换2(30道,含详细解答)
几何问题-面积和等积变换 2菁优网www.jyeoo.com几何问题-面积和等积变换 2一．解答题（共 30 小题） 1．如图，长方形 ABCD 中，AB=4，BC=2，F、E 分别在 AB、CD 上，连接 DF、CF、AE、BE 交于 Q、P．求四 边形 PEQF 面积的最大值．2．如图，这是一个中国象棋盘，图中小方格都是相同的正方形（“界河”的宽等于小正方形的边长） ，假设黑方只有 一个“象”，它只能在 1，2，3，4，5，6，7 位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在 8，9，10，11，12，13， 14 中的两个位置，问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的 面积最大？3．如图（1） ，某住宅小区有一三角形空地（三角形 ABC） ，周长为 2 500m，现规划成休闲广场且周围铺上宽为 3m 2 的草坪，求草坪面积． （精确到 1 m ） 2 由题意知，四边形 AEFB，BGHC，CMNA 是 3 个矩形，其面积为 2 500×3 m ，而 3 个扇形 EAN，FBG，HCM 的 2 2 2 面积和为 π×3 m ，于是可求出草坪的面积为 7 500+9π≈7528（ m ） ． （1）若空地呈四边形 ABCD，如图（2） ，其他条件不变，你能求草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说 明理由； （2）若空地呈五边形 ABCDE，如图（3） ，其他条件不变，还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请 说明理由； （3）若空地呈 n（n≥3）边形，其他条件不变，这时你还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com4．如图 1，点 P 是△ ABD 中 AD 边上一点，当 P 为 AD 中点时，则有 S△ ABP= S△ BDP，如图 2，在四边形 ABCD 中，P 是 AD 边上任意一点，探究： （1）当 AP= AD 时，如图 3，△ PBC 与△ ABC 和△ DBC 的面积之间有什么关系？写出求解过程； （2）当 AP= AD 时，探究 S△ PBC 与 S△ ABC 和 S△ DBC 之间的关系，写出求解过程； （3）一般地，当 AP= AD（n 表示正整数）时，探究 S△ PBC 与 S△ ABC 和 S△ DBC 之间的关系，写出求解过程； （4）当 AP= AD（0≤ ≤1）时，直接写出 S△ PBC 与 S△ ABC 和 S△ DBC 之间的关系． 5．锐角三角形△ ABC 的外心为 O，外接圆半径为 R，延长 AO，BO，CO，分别与对边 BC，CA，AB 交于 D，E， F；证明： ．6．如图，M、N 为四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，AN、BM 交于 P 点，CM、DN 交于 Q 点．若四边形 ABCD 的面积为 150，四边形 MPNQ 的面积为 50，求阴影部分的面积之和．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 7．设直角三角形的边长均是正整数，且周长数等于面积数，试确定此三角形的边长？ 8．设直线 S1+S2+S3+…+S2008． ， 为自然数）与两坐标轴围成的三角形的面积为 Sn（n=1，2，3…2008） （n ，求9． 在直角三角形 ABC 中， ∠A=90°， AD， 分别是高和角平分线， AE 且△ ABE， AED 的面积分别为 S1=30， 2=6， △ S 求△ ADC 的面积 S． 10．如图，在平面直角坐标系 xOY 中，多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O（0，0） ，A（0，6） ，B（4，6） ，C（4，4） ，D（6，4） ，E（6，0） ． 若直线 l 经过点 M（2，3） ，且将多边形 OABCDE 分割成面积相等的两部分，求直线 l 的函数表达式．11．已知?ABCD 中，若△ ADE、△ BEF、△ CDF 的面积分别为 5、3、4，求△ DEF 的面积．12．有三条线段 A、B、C，A 长 2.12 米，B 长 2.71 米，C 长 3.53 米．以它们作为上底、下底和高，可以作出三个 不同的梯形．问：第几个梯形的面积最大？（参看图．思考时间 40 秒）13．如图，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细线型）的中心，相邻的两个小六 角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点 C 到中心 A 的距离为 a， 求： （1）大六角星形的顶点 A 到其中心 O 的距离； （2）大六角星形的面积； （3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值． （注：本题中的六角星形有 12 个相同的等边三角形拼接而成的）? 菁优网菁优网www.jyeoo.com14．如图，是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是 14 厘米，白色小正方形的边长是 6 厘米．问：这块布中白 色的面积占总面积的百分之几？（思考时间：50 秒）15．如图，中正方形的边长是 2 米，四个圆的半径都是 1 米，圆心分别是正方形的四个顶点．问：这个正方形和四 个圆盖住的面积是多少平方米？（思考时间 48 秒）16． （Ⅰ）如图 1，在正方形 ABCD 内，已知两个动圆⊙O1 与⊙O2 互相外切，且⊙O1 与边 AB、AD 相切，⊙O2 与 边 BC、CD 相切．若正方形 ABCD 的边长为 1，⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 r1，r2． ①求 r1 与 r2 的关系式； ②求⊙O1 与⊙O2 面积之和的最小值． （Ⅱ）如图 2，若将（Ⅰ）中的正方形 ABCD 改为一个宽为 1，长为 的矩形，其他条件不变，则⊙O1 与⊙O2 面积 的和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．17．已知四边形 ABCD 两条对角线互相垂直，点 O 是对角线的交点，∠ACD=60°，∠ABD=45°，点 A 到 CD 的距 离是 6，点 D 到 AB 的距离是 8，求四边形 ABCD 的面积 S．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 18．探索：在图 1 至图 3 中，已知△ ABC 的面积为 a，（1） 如图 1， 延长△ ABC 的边 BC 到点 D， CD=BC， 使 连接 DA． 若△ ACD 的面积为 S1， S1= _________ （用 则 含 a 的代数式表示） （2）如图 2，延长△ ABC 的边 BC 到点 D，延长边 CA 到点 E，使 CD=BC，AE=CA，连接 DE．若△ DEC 的面积 为 S2，则 S2= _________ （用含 a 的代数式表示） （3）在图 2 的基础上延长 AB 到点 F，使 BF=AB，连接 FD，FE，得到△ DEF（如图 3） ．若阴影部分的面积为 S3， 则 S3= _________ （用含 a 的代数式表示） ，并运用上述（2）的结论写出理由． 发现：像上面那样，将△ ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△ DEF（如图 3） ，此时，我们称△ ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△ DEF 的面积是原来△ ABC 面积的 _________ 倍． 应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ ABC 的空地上种红花，然后 将△ ABC 向外扩展三次（图 4 已给出了前两次扩展的图案） ．在第一次扩展区域内种谎话，第二次扩展区域内种紫 花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ ABC）的面积是 10 平方米，请你运用上述结论求出： （1）种紫花的区域的面积； （2）种蓝花的区域的面积． 19．某生活小区临街的一面有块如图所示的梯形空地，物业部门打算把这块空地美化一下，以供观赏．初步打算沿 对角线 AC，BD 修两条小路，把梯形 ABCD 分成四块，种上相同种类的花．四块地的面积分别为 S1，S2，S3，S4， 一位物业工人很快看出 S3，S4 两种需要花的棵数大致相等． （1）你知道他是根据什么判断的吗？（说明 S3 与 S4 之间关系的理由？） （2）请你用学过的知识探究 S1，S2，S3 三者之间的关系？20．如图，若长方形 APHM，BNHP，CQHN 的面积分别为 7、4、6，求阴影部分的面积是多少？? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 21．已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，AE 长为 8 厘米，CF 长为 2 厘米．求图中阴影部分面积．22．如图，△ ABC 被分为四块，其中三块的面积分别为 4，6，12 平方厘米，求四边形 AEDF 的面积．23．如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是多少 平方厘米？24．如图，正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，E，F，G，H 分别是 AD，EC，FB，GA 的中点，CE 与 DH 的交点为 I， 求四边形 FGHI 的面积．25．长方形 EFGH 的长，宽分别为 6 厘米，4 厘米，阴影部分的总面积为 10 平方厘米，求四边形 ABCD 的面积．26．如图，在四边形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，P 为 BC 的中点，N 为 CD 的中点，Q 为 DA 的中点，若图中中 间的小四边形的面积为 1，试求四个小三角形（阴影部分）面积之和．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com27． 已知 D 是 BC 的中点， 是 CD 的中点， 是 AC 的中点， E F 且△ ADC 的面积比△ EFG 的面积大 6 平方厘米． ABC △ 的面积是多少平方厘米．28． 已知△ ABC 的面积为 1， 延长 AB 至点 D， BD=AB， 使 延长 BC 至点 E， CE=2BC， 使 延长 CA 至点 F 使 AF=3AC． 求 三角形 DEF 的面积．29．如图，四边形 PQRS 与边长为 10 的正方形 ABCD 的内侧相接，SE⊥BC 于 E，PF⊥CD 于 F，且 RQ=9，EQ=2， RF=3，请求出四边形 PQRS 的面积．30．如图，三块大小相同的正方形纸片，放在一个底为正方形的盒子内，它们互相重叠．在露出的部分中，红色面 积是 20，黄色面积是 17，绿色面积是 7．求正方形盒子底的面积．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com几何问题-面积和等积变换 2参考答案与试题解析一．解答题（共 30 小题） 1．如图，长方形 ABCD 中，AB=4，BC=2，F、E 分别在 AB、CD 上，连接 DF、CF、AE、BE 交于 Q、P．求四 边形 PEQF 面积的最大值．考点： 面积及等积变换． 分析： 先根据梯形的对角线分得的四个三角形的面积关系，得出面积关系，再结合不等式的性质得出面积不等式， 根据不等式的性质得出 c+f 的最大值． 解答： 解：先证明一个结论． 如左图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC、BD 交于 E 点，808518设 S△ AED=a，S△ BEC=b，S△ ABE=c，S△ DEC=d， 有 a?b=c?d，c=d，∴c=d= ， 2 ∵（
） ≥0， ∴a+b≥2 =c+d， 当 a=b 时，“=”成立； 如右图，连接 EF，由上述结论可知 2（c+f）≤a+b+d+e， 故 4（c+f）≤a+b+e+d+2c+2f=8， 得 c+f≤2， 当 a=b、d=e 时，即 AD∥EF 时，等号成立． ∴四边形 PEQF 面积的最大值为 2．点评： 本题考查了图形的面积及等积变换．关键是由梯形的对角线分得四个三角形，推出面积的关系式． 2．如图，这是一个中国象棋盘，图中小方格都是相同的正方形（“界河”的宽等于小正方形的边长） ，假设黑方只有 一个“象”，它只能在 1，2，3，4，5，6，7 位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在 8，9，10，11，12，13，? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 14 中的两个位置，问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的 面积最大？考点： 面积及等积变换． 分析： 要在这些三角形中寻求最大者，只要比较它们顶点所在边构成的三角形面积寻找最大者就可以，进而分别 求出比较即可． 解答： 解：我们设每个小方格的边长为 1 个单位，则每个小方格正方形面积为 1 平方厘米． 由于三个顶点都在长方形边上的三角形的面积至多为这个长方形面积的一半， 所以要在这些三角形中寻求最大者，只要比较它们顶点所在边构成的三角形面积寻找最大者就可以了． 直观可见，只需比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形的面 积． 顶点为（3，10，12）或（2，10，12）的三角形面积为 8×7×0.5=28； 分） （8 顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积为 9×6×0.5=27； （16 分） 所以顶点在（3，10，12）或（2，10，12）时三角形的面积最大． （20 分） 点评： 此题主要考查了面积及等积变换，根据已知得出比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2， 12，14）这两类三角形的面积是解题关键．8085183．如图（1） ，某住宅小区有一三角形空地（三角形 ABC） ，周长为 2 500m，现规划成休闲广场且周围铺上宽为 3m 2 的草坪，求草坪面积． （精确到 1 m ） 2 由题意知，四边形 AEFB，BGHC，CMNA 是 3 个矩形，其面积为 2 500×3 m ，而 3 个扇形 EAN，FBG，HCM 的 2 2 2 面积和为 π×3 m ，于是可求出草坪的面积为 7 500+9π≈7528（ m ） ． （1）若空地呈四边形 ABCD，如图（2） ，其他条件不变，你能求草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请说 明理由； （2）若空地呈五边形 ABCDE，如图（3） ，其他条件不变，还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来；若不能，请 说明理由； （3）若空地呈 n（n≥3）边形，其他条件不变，这时你还能求出草坪面积吗？若能，请你求出来．考点： 面积及等积变换． 分析： （1）利用草坪面积为：S 草=S 矩形 ABFE+S 矩形 BGHC+S 矩形 CMND+S 矩形 DPQA+4 个小扇形的面积的和，求出即可； （2）利用空地呈五边形时，5 个小扇形可以组成一个圆，即可得出；808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com （3）根据空地呈 n 边形时，n 个小扇形也可以组成一个圆，求出即可． 解答： 解： （1）如图（2） ，空地呈四边形 ABCD 时，其草坪面积为： S 草=S 矩形 ABFE+S 矩形 BGHC+S 矩形 CMND+S 矩形 DPQA+4 个小扇形的面积的和． ∵4 个小扇形可以组成一个圆． ∴S 草地=2 500×3+9π≈7 528（m ） ． （2）∵空地呈五边形时，5 个小扇形可以组成一个圆． ∴S 草地=2 500×3+9π≈7 528（m ） ． （3）∵空地呈 n 边形时，n 个小扇形也可以组成一个圆． ∴S 草地=2 500×3+9π≈7 528（m ） ． 2 答：不论空地呈三角形、四边形还是五边形，…，还是 n（n≥3）边形，其面积都是 7 528m ． 点评： 此题主要考查了面积的等积变换， 根据图形得出空地呈 n 边形时， 个小扇形也可以组成一个圆是解题关键． n 4．如图 1，点 P 是△ ABD 中 AD 边上一点，当 P 为 AD 中点时，则有 S△ ABP= S△ BDP，如图 2，在四边形 ABCD 中，P 是 AD 边上任意一点，探究： （1）当 AP= AD 时，如图 3，△ PBC 与△ ABC 和△ DBC 的面积之间有什么关系？写出求解过程； （2）当 AP= AD 时，探究 S△ PBC 与 S△ ABC 和 S△ DBC 之间的关系，写出求解过程； （3）一般地，当 AP= AD（n 表示正整数）时，探究 S△ PBC 与 S△ ABC 和 S△ DBC 之间的关系，写出求解过程； （4）当 AP= AD（0≤ ≤1）时，直接写出 S△ PBC 与 S△ ABC 和 S△ DBC 之间的关2 2 2系． 考点： 面积及等积变换． 分析： （1）根据 AP= AD，△ ABP 和△ ABD 的高相等，得出△ CDP 和△ CDA 的高相等，进而得出 S△ PBC=S 四边808518形 ABCDS△ ABPS△ CDP，整理求出即可； 换为 ；（2）仿照（1）的方法，只需把（3）注意由（1） （2）得到一定的规律；得到面积和线段比值之间的一般关系； （4）利用（3） ，得到更普遍的规律． 解答： 解： （1）当 AP= AD 时（如图②） ： ∵AP= AD，△ ABP 和△ ABD 的高相等， ∴S△ ABP= S△ ABD．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∵PD=ADAP= AD，△ CDP 和△ CDA 的高相等， ∴S△ CDP= S△ CDA． ∴S△ PBC=S 四边形 ABCDS△ ABPS△ CDP =S 四边形 ABCD S△ ABD S△ CDA =S 四边形 ABCD （S 四边形 ABCDS△ DBC） （S 四边形 ABCDS△ ABC） = S△ DBC+ S△ ABC．（2）∵AP= AD，△ ABP 和△ ABD 的高相等， ∴S△ ABP= S△ ABD． 又∵PD=ADAP= AD，△ CDP 和△ CDA 的高相等， ∴S△ CDP= S△ CDA． ∴S△ PBC=S 四边形 ABCDS△ ABPS△ CDP =S 四边形 ABCD S△ ABD S△ CDA =S 四边形 ABCD （S 四边形 ABCDS△ DBC） （S 四边形 ABCDS△ ABC） = S△ DBC+ S△ ABC． ∴S△ PBC= S△ DBC+ S△ ABC（3）S△ PBC= S△ DBC+S△ ABC；∵AP= AD，△ ABP 和△ ABD 的高相等， ∴S△ ABP= S△ ABD． 又∵PD=ADAP= ∴S△ CDP= S△ CDA AD，△ CDP 和△ CDA 的高相等，∴S△ PBC=S 四边形 ABCDS△ ABPS△ CDP =S 四边形 ABCD S△ ABD S△ CDA （S 四边形 ABCDS△ ABC）=S 四边形 ABCD （S 四边形 ABCDS△ DBC） = S△ DBC+ S△ ABC．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∴S△ PBC= S△ DBC+ S△ ABC（4）S△ PBC= S△ DBC+S△ ABC．点评： 此题主要考查了面积以及等积变换，注意总结相应规律，类似问题通常采用类比的方法求解是解题关键． 5．锐角三角形△ ABC 的外心为 O，外接圆半径为 R，延长 AO，BO，CO，分别与对边 BC，CA，AB 交于 D，E， F；证明： ．考点： 面积及等积变换． 专题： 证明题． 分析： 延长 AD 交⊙O 于 M，由于 AD，BE，CF 共点 O．根据 S△ ABC=S△ ABO+S△ ACO+S△ BCO、808518可以推知①；然后由 OD=RDM、AM=2R 求得=1；同理；最后将其代入①式求得．解答： 证明：延长 AD 交⊙O 于 M，由于 AD，BE，CF 共点 O， ，…5’则 而 同理有， 代入①得， 所以…①…10’ ，…15’ ，…20’ …② ． …25’? 菁优网菁优网www.jyeoo.com点评： 本题考查了面积以及等积变换．解答本题时，通过作辅助线 AM，将 AD、OD、CO、CF、BO、BE 的长度 与半径 R 联系在一起，从而通过化简 ，证得结论 ．6．如图，M、N 为四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，AN、BM 交于 P 点，CM、DN 交于 Q 点．若四边形 ABCD 的面积为 150，四边形 MPNQ 的面积为 50，求阴影部分的面积之和．考点： 面积及等积变换． 分析： 首先连接 BD， 利用 S△ ABM=S△ BDM， △ BDN=S△ CDN， S 得出 S 四边形 BMDN= S 四边形 ABCD， 进而得出 S 四边形 ANCM= S808518，再利用 S 四边形 ANCM+S 四边形 BMDN=S 四边形 ABCD，即可得出 S 四边形 MPNQ=S△ ABP+S△ CDQ，即可得出 阴影部分的面积之和． 解答： 解：连接 BD． ∵M、N 是 AD、BC 中点， ∴S△ ABM=S△ BDM，S△ BDN=S△ CDN， （等底同高的两个三角形面积相等）四边形 ABCD∴S 四边形 BMDN= S 四边形 ABCD． 同理，S 四边形 ANCM= S 四边形 ABCD． ∴S 四边形 ANCM+S 四边形 BMDN=S 四边形 ABCD， ∴S 四边形 MPNQ=S△ ABP+S△ CDQ， ∴阴影部分的面积为：S 阴影=S 四边形 ABCDS 四边形 MPNQ（S△ ABP+S△ CDQ）=1．点评：此题主要考查了面积及等积变换，利用已知得出 S 四边形 BMDN= S 四边形 ABCD 与 S 四边形 ANCM= S 四边形 ABCD 是 解题关键．7．设直角三角形的边长均是正整数，且周长数等于面积数，试确定此三角形的边长？? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 考点： 面积及等积变换． 分析： 设直角边为 a、b 斜边 c，然后根据周长数等于面积数可得到 a、b 之间的关系式，最后穷举代入，找到合适 的 a、b、c 的值． 解答： 解：设直角边为 a、b 斜边 c，且 c= ，808518∵a 周长数等于面积数， ∴a+b+c= ab， 即：ab=2a+2b+2 ，穷举代入，发现 6、8、10 和 5、12、13 刚好合适， 故此三角形的边长为 6、8、10 或 5、12、13． 点评： 本题主要考查面积及等积变换的知识，解答本题的关键是根据题意求出 a、b 之间的关系，进行穷举代入， 此题是一道难度不大的习题． 8．设直线 S1+S2+S3+…+S2008． 考点： 面积及等积变换． 专题： 规律型． 分析： 分别求出直线 Sn= ? = ， 为自然数）与两坐标轴围成的三角形的面积为 Sn（n=1，2，3…2008） （n ，求808518（n 为自然数）与两坐标轴的交点，即（ =，0）（0， ，） ；则，然后分别代入 1，2，…，2008，最后求和即可． （n 为自然数）与两坐标轴的交点，解答： 解：分别令 x=0 和 y=0，得到直线 即（ ，0）（0， ， ， ， ， ） ，则 Sn= ? = =然后分别代入 1，2，…，2008， 则有 S1+S2+…+S2008=1 +
+ =1 = ． ． ， +…+
，故答案为：点评： 本题考查了一次函数的性质．会求一次函数与两坐标轴的交点坐标；熟悉三角形的面积公式；记住： = （n 为自然数） ．9． 在直角三角形 ABC 中， ∠A=90°， AD， 分别是高和角平分线， AE 且△ ABE， AED 的面积分别为 S1=30， 2=6， △ S 求△ ADC 的面积 S．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 考点： 面积及等积变换． 专题： 常规题型． 分析： 设 DE=a，则 BE=5a，设 CD=xa，只要求出 x，根据同底等高三角形面积，6x 就是三角形 ADC 的面积，根 据射影定理和角平分线的知识点得到关于 x 的方程，解得 x 即可． 解答：808518解：设 DE=a，则 BE=5a，设 CD=xa，只要求出 x，根据同底等高三角形面积，6x 就是三角形 ADC 的面积． （1）由射影定理，AC =CD?BC，AB =BD?BC，所以2 2===①（2）由角平分线性质，===②（3）联立①②式得到： 解得 x= 或 ．= 这是个一元二次方程，所以 S△ ADC=6x=9 或 4． 故答案为：9 或 4． 点评： 本题主要考查面积及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练运用射影定理和角平分线的知识点，本题 难度较大． 10．如图，在平面直角坐标系 xOY 中，多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O（0，0） ，A（0，6） ，B（4，6） ，C（4，4） ，D（6，4） ，E（6，0） ． 若直线 l 经过点 M（2，3） ，且将多边形 OABCDE 分割成面积相等的两部分，求直线 l 的函数表达式．考点： 面积及等积变换． 专题： 待定系数法． 分析： 延长 BC 交 x 轴于点 F，连接 OB，AF，DF，CE，DF 和 CE 相交于点 N，由 O（0，0） ，A（0，6） ，B（4， 6） ，C（4，4） ，D（6，4） ，E（6，0） ，得到四边形 OABC，四边形 CDEF 都为矩形，并且点 M（2，3）是 矩形 OABF 对角线的交点，则直线 l 还必须过 N（5，2）点，设直线 l 的解析式为 y=kx+b，利用待定系数 法即可求出直线 l 的函数表达式． 解答： 解：如图，延长 BC 交 x 轴于点 F，连接 OB，AF，DF，CE，DF 和 CE 相交于点 N， ∵O（0，0） ，A（0，6） ，B（4，6） ，C（4，4） ，D（6，4） ，E（6，0） ． ∴四边形 OABF 为矩形，四边形 CDEF 为矩形，808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∴点 M（2，3）是矩形 OABF 对角线的交点，即点 M 为矩形 ABFO 的中心， ∴直线 l 把矩形 ABFO 分成面积相等的两部分 又∵点 N（5，2）是矩形 CDEF 的中心， ∴过点 N（5，2）的直线把矩形 CDEF 分成面积相等的两部分． ∴直线 MN 即为所求的直线 L， 设直线 l 的解析式为 y=kx+b， 则 2k+b=3，5k+b=2， 解得 k= ，b= ， ．因此所求直线 l 的函数表达式是：y= x+点评： 本题考查了矩形的性质：过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积．也考查了待定系数法求直线的解析式． 11．已知?ABCD 中，若△ ADE、△ BEF、△ CDF 的面积分别为 5、3、4，求△ DEF 的面积．考点： 面积及等积变换． 专题： 计算题． 分析： 过 A 作 AH⊥CD，垂足为 H，设 AH=x，过 F 作 FM⊥CD，垂足为 M，MF 的延长线交 AB 于 N，设 FM=h， （x＞h） ，根据△ ADE、△ BEF 的面积公式用 x、h 分别表示 AE、BE，根据 CD=AB=AE+BE 表示 CD，再808518根据 S△ CFD=CD× =4，列方程求 x、h 的关系，求?ABCD 的面积，用作差法求△ DEF 的面积． 解答： 解：过 A 作 AH⊥CD，垂足为 H，设 AH=x，过 F 作 FM⊥CD，垂足为 M，MF 的延长线交 AB 于 N，设 FM=h， （x＞h） ， 依题意应有：S△ DAE=AE× =5， 解得 AE= S△ EBF=EB× 解得 BE= ， =3， ， + ，∵S△ CFD=CD× =4，CD=AB=AE+BE=? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∴（ +2）× =4，2整理，得 4x 12xh+5h =0， 即（2xh） （2x5h）=0， ∵x＞h， ∴2x=h（舍去） ，2x=5h， ∴CD= + = ，∴S 平行四边形 ABCD=x?CD=x× ， = × ，=20， ∴S△ DEF=S 平行四边形 ABCDS△ DAES△ EBFS△ DCF， =20534， =8．点评： 本题考查了三角形面积的表示方法．关键是构造每个三角形的高，用已知面积表示底，根据平行四边形的 性质将底过渡． 12．有三条线段 A、B、C，A 长 2.12 米，B 长 2.71 米，C 长 3.53 米．以它们作为上底、下底和高，可以作出三个 不同的梯形．问：第几个梯形的面积最大？（参看图．思考时间 40 秒）考点： 面积及等积变换． 分析： 根据乘法交换律、乘法分配律等知识计算三个梯形的面积，梯形的面积=（上底+下底）×高÷2．但我们现在 是比较三个梯形面积的大小，所以不妨把它们的面积都乘以 2，这样只须比较（上底+下底）×高的大小就行 了． 解答： 解：第一个梯形的面积的 2 倍是： （2.12+3.53）×2.71=2.12×2.17+3.53×2.71； 第二个： （2.71+3.53）×2.12=2.71×2.12+3.53×2.12； 第三个： （2.12+2.71）×3.53=2.12×3.53+2.71×3.53； 先比较第一个和第二个．两个式子右边的第一个加数，一个是 2.12×2.71，另一个是 2.71×2.12． 由乘法交换律，这两个积相等．因此只须比较第二个加数的大小就行了． 显然 3.53×2.71 比 3.53×2.12 大，因为 2.71 比 2.12 大． 因此第一个梯形比第二个梯形的面积大． 类似地， 如果比较第一个和第三个， 我们发现它们有边第二个加数相等， 而第一个加数 2.12×2.71＜2.12×3.53． 因此第三个梯形比第一个梯形面积大．808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 综上所述，第三个梯形面积最大． 答：第三个梯形面积最大． 点评： 本题考查了面积及等积变换，利用所学过的乘法交换律、乘法分配律等知识，而不应该直接计算面积．很 明显，直接计算三个梯形的面积要浪费很多时间． 13．如图，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（细线型）的中心，相邻的两个小六 角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点 C 到中心 A 的距离为 a， 求： （1）大六角星形的顶点 A 到其中心 O 的距离； （2）大六角星形的面积； （3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值． （注：本题中的六角星形有 12 个相同的等边三角形拼接而成的）考点： 面积及等积变换． 专题： 计算题． 分析： （1）连接 CO，则△ AOC 是直角三角形，∠ACO=90°，∠AOC=30，由 AC=a，即可得到 OA 的长．808518（2）大六角星形的面积是等边△ AMN 面积的 12 倍，在 Rt△ ACM 中，由∠CAM=30°，得到 CM= AM， 再根据勾股定理即可得到 ． （3） 大小六角星形相似， 面积的比等于对应边的比的平方， 而小六角星形的顶点 C 到其中心 A 的距离为 a， 大六角星形的顶点 A 到其中心 O 的距离为 2a，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的 4 倍，由 此得到大六角星形的面积与六个小六角星形的面积和的比值． 解答： 解： （1）连接 CO，AC=a， 则△ AOC 是直角三角形，∠ACO=90°，∠AOC=30°， 所以 AO=2AC=2a； （2）如图，大六角星形的面积是等边△ AMN 面积的 12 倍， ∵∠CAM=30°， ∴CM= AM， 在 Rt△ ACM 中， AM =（2，然后根据三角形面积公式得到大六角星形的面积） +a ，解得22， ；所以大六角星形的面积（3）小六角星形的顶点 C 到其中心 A 的距离为 a，大六角星形的顶点 A 到其中心 O 的距离为 2a，所以大 六角星形的面积是一个小六角星形的面积的 4 倍， 所以大六角星形的面积：六个小六角星形的面积和=2：3．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com点评： 本题考查了相似图形面积的比等于对应边的比的平方．也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系以及三角 形的面积公式． 14．如图，是一块黑白格子布．白色大正方形的边长是 14 厘米，白色小正方形的边长是 6 厘米．问：这块布中白 色的面积占总面积的百分之几？（思考时间：50 秒）考点： 专题： 分析： 解答：面积及等积变换． 探究型． 先根据格子布的对称性把其分为面积相等的 9 块，求出一块中白色面积所占的比例即可． 解：∵格子布的面积是如图面积的 9 倍， ∴格子布白色部分的面积也是图上白色面积的 9 倍． ∴我们只需计算图 36 中白色部分所占面积的百分比就行了．808518×100%=58%． 故答案为：58%．点评： 此题是考查的面积及等积变换，解答此题的关键是看到格子布可以分割成 9 块如图 35 的正方形．这实质上 是利用了格子布的“对称性”：格子布图案是由一块图案重复地整齐排列而成的． 15．如图，中正方形的边长是 2 米，四个圆的半径都是 1 米，圆心分别是正方形的四个顶点．问：这个正方形和四 个圆盖住的面积是多少平方米？（思考时间 48 秒）考点： 专题： 分析： 解答：面积及等积变换． 几何图形问题． 本题比较简单，仔细观察图形即可得出所求的面积等于正方形的面积加上四块四分之三个圆的面积． 解：由图形可得：每个圆和正方形的公共部分是一个扇形，它的面积是圆的面积的四分之一， ∴整个图形的面积等于正方形的面积加上四块四分之三个圆的面积，808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 又∵四块四分之三个圆的面积等于圆面积的三倍， ∴整个图形的面积等于正方形的面积加上圆面积的三倍， 也就是 2×2+π×1×1×3≈13.42（平方米） ． 答：这个正方形和四个圆盖住的面积约是 13.42 平方米． 点评： 本题考查面积及等积变换，难度不大，关键是根据图形得出所求面积的表达式，这需要仔细地观察图形才 能做到． 16． （Ⅰ）如图 1，在正方形 ABCD 内，已知两个动圆⊙O1 与⊙O2 互相外切，且⊙O1 与边 AB、AD 相切，⊙O2 与 边 BC、CD 相切．若正方形 ABCD 的边长为 1，⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 r1，r2． ①求 r1 与 r2 的关系式； ②求⊙O1 与⊙O2 面积之和的最小值． （Ⅱ）如图 2，若将（Ⅰ）中的正方形 ABCD 改为一个宽为 1，长为 的矩形，其他条件不变，则⊙O1 与⊙O2 面积 的和是否存在最小值，若不存在，请说明理由；若存在，请求出这个最小值．考点： 面积及等积变换． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）①连接 AC，根据正方形的性质可知，AC 平分∠BAD、∠BCD，而 AB、AD 为⊙O1 的切线，BC、808518CD 为⊙O2 的切线，故 O1 与 O2 在 AC 上，解等腰直角三角形得 两圆外切得 O1O2=r1+r2，由 AO1+O1O2+O2C=AC，列方程求关系式； ②由面积之和 S=π（r1 +r2 ）及2 2，，AC=，由，换元为关于 r1 的二次函数，根据 r1 的取值范围求 S 的最小值； （Ⅱ）如图 2，作辅助线，得到 Rt△ O1O2P，用 r1、r2 分别表示△ O1O2P 的三边，用勾股定理可求 r1+r2 的 值，根据不等式 求面积和的最小值．解答： 解： （Ⅰ）①如图 1，在正方形 ABCD 中，连接 AC，显然 O1 与 O2 在 AC 上， 且 由 ∴ ∴ ②根据题意，r1 可得 ． ，r2 ， ，即 r1 ． ，O1O2=r1+r2， ， ． ，? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 2 2 ∵⊙O1 与⊙O2 的面积之和 S=π（r1 +r2 ） ， ∴ = = 这里 ∴当 ， 时，⊙O1 与⊙O2 是等圆，其面积和的最小值为 ； ，（Ⅱ）如图 2，作辅助线，得到 Rt△ O1O2P， 则 O1O2=r1+r2， ∵在 Rt△ O1O2P 中，O1O2 =O1P +O2P ， ∴ 即 解得 由于 ∴ ．2 2 2 2 2，O2P=BCr1r2=1r1r2．． ． 或 ，故 ． 不合题意，应舍去．∵⊙O1 与⊙O2 的面积之和 S=π（r1 +r2 ） ， 而 ，当且仅当 r1=r2 时，等号成立，∴当 r1=r2 时，⊙O1 与⊙O2 面积和存在最小值，最小值为，即．点评： 本题考查了圆的面积计算，切线、圆与圆相切的性质．关键是根据勾股定理将两圆半径与已知矩形边长联 系起来． 17．已知四边形 ABCD 两条对角线互相垂直，点 O 是对角线的交点，∠ACD=60°，∠ABD=45°，点 A 到 CD 的距 离是 6，点 D 到 AB 的距离是 8，求四边形 ABCD 的面积 S．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com考点： 面积及等积变换；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形． 专题： 计算题． 分析： 过点 A 作 CD 的垂线， 过点 D 作 AB 的垂线， AC 的中点 G， 取 连接 EG， 证出等边△ CGE 和等腰直角△ BFD， 根据勾股定理求出 AC 和 DB 的长度，利用面积公式即可求出四边形 ABCD 的面积． 解答： 解：过点 A 作 CD 的垂线，E 是垂足，过点 D 作 AB 的垂线，F 是垂足，取 AC 的中点 G，连接 EG， 在 Rt△ ACE 中，∠AEC=90°， ∴CG=GE， 又∵∠ACD=60°， ∴△GCE 是等边三角形，808518∴CE=CG=，2 2 2由勾股定理，得 AC =CE +AE ， ∴ ，解得： ， ∵∠DFB=90°，∠ABD=45°， ∴∠FBD=∠FDB ∴△FBD 是等腰直角三角形， ∴ ． ∴四边形 ABCD 的面积 S=S△ ABD+S△ BCD，= BD?AO+ BD?CO， = = ， ． ．答：四边形 ABCD 的面积 S 是 16点评： 本题主要考查了面积与等积变换，等边三角形的性质和判定，含 30°角的直角三角形，勾股定理，等腰直角 三角形等知识点，正确作辅助线求出 AC 和 BD 的长是解此题的关键．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 18．探索：在图 1 至图 3 中，已知△ ABC 的面积为 a，（1）如图 1，延长△ ABC 的边 BC 到点 D，使 CD=BC，连接 DA．若△ ACD 的面积为 S1，则 S1= a （用含 a 的代数式表示） （2）如图 2，延长△ ABC 的边 BC 到点 D，延长边 CA 到点 E，使 CD=BC，AE=CA，连接 DE．若△ DEC 的面积 为 S2，则 S2= 2a （用含 a 的代数式表示） （3）在图 2 的基础上延长 AB 到点 F，使 BF=AB，连接 FD，FE，得到△ DEF（如图 3） ．若阴影部分的面积为 S3， 则 S3= 6a （用含 a 的代数式表示） ，并运用上述（2）的结论写出理由． 发现：像上面那样，将△ ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△ DEF（如图 3） ，此时，我们称△ ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△ DEF 的面积是原来△ ABC 面积的 7 倍． 应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ ABC 的空地上种红花，然后 将△ ABC 向外扩展三次（图 4 已给出了前两次扩展的图案） ．在第一次扩展区域内种谎话，第二次扩展区域内种紫 花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ ABC）的面积是 10 平方米，请你运用上述结论求出： （1）种紫花的区域的面积； （2）种蓝花的区域的面积． 考点： 面积及等积变换；三角形的面积． 专题： 计算题． 分析： （1）根据等底等高的三角形的面积相等得出即可； （2）连接 AD，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ ADE 的面积即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等求出△ ADE、△ AEF、△ AFD 的面积，相加即可；①分别求出各个 三角形的面积，相加即可；②根据等底等高的三角形的面积相等求出每个三角形的面积，相加即可． 解答： 解： （1）∵BC 和 CD 上的高相等，BC=CD， 根据等底等高的三角形的面积相等，得出 S1=S△ ACD=a， 故答案为：a．808518（2）连接 AD， 与（1）类似，根据等底等高的三角形的面积相等， 得出 S△ ACD=S△ ADE=a， ∴S2=2a， 故答案为：2a． （3）与（2）类似：得出 S△ AFE=S△ BFD=S△ CDE=2a，? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∴S3=2a+2a+2a=6a， 故答案为：6a． （3）①黄花区域的面积是 6×10=60 平方米，紫花区域的面积是 6×（60+10）=420 平方米； ②蓝花区域的面积是 6×（420+60+10）=2940 平方米．点评： 本题考查了三角形的面积，面积和等积变形等知识点的应用，能根据等底等高的三角形的面积相等求出每 个三角形的面积和根据得出的结果得出规律是解此题的关键，培养学生分析问题的能力． 19．某生活小区临街的一面有块如图所示的梯形空地，物业部门打算把这块空地美化一下，以供观赏．初步打算沿 对角线 AC，BD 修两条小路，把梯形 ABCD 分成四块，种上相同种类的花．四块地的面积分别为 S1，S2，S3，S4， 一位物业工人很快看出 S3，S4 两种需要花的棵数大致相等． （1）你知道他是根据什么判断的吗？（说明 S3 与 S4 之间关系的理由？） （2）请你用学过的知识探究 S1，S2，S3 三者之间的关系？考点： 面积及等积变换． 专题： 常规题型． 分析： （1）先判断出 S△ ADC=S△ DCB，继而分别利用两者表示出 S3、S4，继而可判断出 S3 与 S4 之间的关系． （2）根据高相同的两三角形的面积之比等于底边之比可得出 S1：S3，S2：S4，结合（1）的结论可得出 S1， S2，S3 三者之间的关系． 解答： 解： （1）S△ ADC=S△ DCB（等底等高）808518所以 S3=S4（2）．点评： 此题考查了面积及等积变换的知识，解答本题关键是掌握等底的两三角形面积之比等于高之比，难度一般 在，注意仔细观察图形． 20．如图，若长方形 APHM，BNHP，CQHN 的面积分别为 7、4、6，求阴影部分的面积是多少？? 菁优网菁优网www.jyeoo.com考点： 面积及等积变换． 专题： 计算题． 分析： 设 HQ 交 DN 于 O，根据长方形 APHM，BNHP，CQHN 的面积可求出各个线段之间的比，最终求出 PH： HO 的值，然后根据三角形面积公式求出阴影部分的面积． 解答： 解：设四边形 MHQD 的面积为 x， ∵长方形 APHM，BNHP，CQHN 的面积分别为 7、4、6， ∴7：4=x：6， x=10.5， ∴四边形 ABCD 的面积为：4+7+6+10.5=27.5，808518S△ PDN=27.5S△ ADPS△ PBNS△ DNC=27.5 （4+7+10.5+6+10.5）=8.5．点评： 本题主要考查面积及等积变换的知识点，解答本题的关键是根据长方形 APHM，BNHP，CQHN 的面积求 出相关线段的比值，本题难度不是很大． 21．已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，AE 长为 8 厘米，CF 长为 2 厘米．求图中阴影部分面积．考点： 面积及等积变换． 专题： 计算题． 分析： 求出 CF=BE，AE=DF，根据等底等高的三角形的面积相等求出 S△ AOD=S△ DOF= S△ ADF，808518S△ FGC=S△ CGB= S△ BCF，分别求出△ ADF 和△ CGB 的面积，求出△ DOF 和△ FGC 的面积，代入 S△ ECD S△ DOFS△ FGC 即可求出答案． 解答： 解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB∥CD，AD=DC=BC=AB=10 厘米， ∵AE=8 厘米，CF=2 厘米， ∴DF=AE=8 厘米，BE=CF=2 厘米， ∵AB∥CD，? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∴△AOE∽△FOD， ∴ = = =1，∴AO=OF， ∵△AOD 的边 OA 上的高和△ DOF 的边 OF 上的高相等， ∴S△ AOD=S△ DOF= S△ ADF= × ×10×8=20， 同理 S△ FGC=S△ CGB= S△ BCF= × ×10×2=5， ∵S△ ECD= ×10×10=50， ∴图中阴影部分的面积是 S△ ECDS△ DOFS△ FGC=50205=25， 答：图中阴影部分的面积是 25．点评： 本题考查了正方形的性质、三角形的面积、面积及等积变形的应用，关键是能把求不规则图形的面积转化 成求规则图形的面积，题目比较好． 22．如图，△ ABC 被分为四块，其中三块的面积分别为 4，6，12 平方厘米，求四边形 AEDF 的面积．考点： 面积及等积变换． 专题： 计算题． 分析： 先连接 EF，并设 S△ AEF=x，由于△ DCF 和△ BCD 的高相等，那么 S△ DCF：S△ BCD=6：12=DF：BD，易得 DF：BD=1：2， 同理，S△ DEF：S△ BDE=DF：BD，于是 S△ DEF：S△ BDE=1：2，而 S△ BDE=4，易求△ DEF 的面积，同样可得 S△ AEF：S△ BEF=AE：BE=x：6，S△ ACE：S△ BCE=AE：BE=（2+6+x）（4+12） ： ，等量代换可得 x：6=（2+6+x） ： （4+12） ，解可求 x，进而可求四边形 AEDF 的面积． 解答： 解：如右图，连接 EF， 设 S△ AEF=x， ∵S△ DCF：S△ BCD=6：12=DF：BD， ∴DF：BD=1：2， ∵S△ DEF：S△ BDE=DF：BD， ∴S△ DEF：S△ BDE=1：2， 又∵S△ BDE=4， ∴S△ DEF=2， ∴S△ BEF=6，808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∵S△ AEF：S△ BEF=AE：BE=x：6， S△ ACE：S△ BCE=AE：BE=（2+6+x）（4+12） ： ， ∴x：6=（2+6+x）（4+12） ： ， 解得 x=4.8， ∴S 四边形 AEDF=S△ AEF+S△ DEF=2+4.8=6.8．点评： 本题考查了面积以及等积变换，解题的关键是注意同高的两个三角形的面积比等于它们的底之比． 23．如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，四边形 BGHF 的面积是多少 平方厘米？考点： 面积及等积变换． 分析： 延长 CE 交 DA 的延长线于 M，根据相似三角形性质得出808518== ，== ，求出△ BEC 和△ DFC 的面积，根据三角形的面积公式求出△ BGE 和△ CFH 的面积，相减即可求出答案． 解答： 解：延长 CE 交 DA 的延长线于 M， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=CD=BC，AD∥CB，∠MAB=∠ABC=90°，AB∥CD， ∵E 为 AB 中点，F 为 BC 中点， ∴AE=BE，BF=CF= BC， ∵在△ MAE 和△ CBE 中 ， ∴△MAE≌△CBE， ∴MA=BC=AD， ∵AD∥BC， ∴△CFH∞△ MDH， ∴ = = ，∵AB∥CD， ∴△BGE∞△ DGC， ∴ = = ，? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∵S△ BCD= S 正方形 ABCD= ×120=60（平方厘米） △ BCE=S△ DCF= ×120=30（平方厘米） ，S ， ∵ = ，∴== ，∴S△ BGE= S△ BEC=10 平方厘米， ∵ = ，∴== ，∴S△ CFH= S△ DCF=6 平方厘米， ∴四边形 BGHF 的面积是 S△ CBES△ BGES△ CFH=30106=14（平方厘米） ， 答：四边形 BGHF 的面积是 14 平方厘米．点评： 本题考查了正方形性质、相似三角形的性质和判定、三角形的面积的应用，等高的两个三角形的面积之比 等于对应的边之比，灵活运用等高的两个三角形的面积之比等于对应的边之比是解此题的关键． 24．如图，正方形 ABCD 的边长为 8 厘米，E，F，G，H 分别是 AD，EC，FB，GA 的中点，CE 与 DH 的交点为 I， 求四边形 FGHI 的面积．考点： 面积及等积变换． 分析： 连接 DF、BE、AF，求出△ CDE 和正方形 ABCD 的面积，求出△ CDF、△ BEC 面积，根据△ BEC 面积求 出△ BFC 面积，根据 S△ BFA+S△ CFD=32，求出△ ABG 面积，同理求出△ ADH 面积，相减即可求出答案． 解答： 解：连接 DF、BE、AF808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com正方形 ABCD 的面积是 8×8=64， ∵E 为 AD 中点， ∴DE= AD=4， ∴S△ CDE= ×4×8=16， 连接 BE， 则 S△ BEC= ×BC×AB= ×8×8=32， ∵F 为 CE 中点， ∴S△ BCF= S△ BEC=16， 连接 DF， 则 S△ CDF= S△ CDE=8， ∵S△ BFA+S△ CFD= ×8×8=32， ∴S△ ABF=328=24， ∵G 为 BF 中点， ∴S△ BAG= S△ ABF=12， 同理 S△ AHD=12，过 H 作 HW∥AD 交 CE 于 W，过 G 作 GL∥BC 交 CE 于 L， ∵G 为 BF 中点， ∴BC=2GL， ∵E 为 AD 中点，BC=AD，BC∥AD， ∴BC=AD=2AE， ∴GL∥AE，GL=AE， ∴四边形 AGLE 是平行四边形， ∴AG∥CE， ∵E 为 AD 中点， ∴I 是 DH 中点， 根据等底等高的三角形面积相等得出 S 三角形 AHE=S 三角形 DHE，S 三角形 EHI=S 三角形 EID， 则 S 三角形 EID= S 三角形 AHD= ×12=3， ∴四边形 FGHI 的面积是 S 正方形 ABCDS△ CDES△ BFCS△ ABGS△ ADHS 三角形 EID=+3? 菁优网菁优网www.jyeoo.com =11． 点评： 本题考查了正方形性质和等底等高的三角形面积相等的应用，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题 目． 25．长方形 EFGH 的长，宽分别为 6 厘米，4 厘米，阴影部分的总面积为 10 平方厘米，求四边形 ABCD 的面积．考点： 面积及等积变换． 专题： 计算题． 分析： 根据三角形的面积公式得出△ AEF 和△ AGH 的面积和正好等于长方形 EFGH 的面积的面积的一半， 根据长 方形的面积求出△ ECH 的面积，结合图形求出即可． 解答： 解：△ AEF 和△ AGH 的面积和正好等于长方形 EFGH 的面积的面积的一半，即 ×6 厘米×4 厘米=12 平方厘808518米， ∵四边形 EFGH 是长方形， ∴△ECH 的面积是长方形面积的 ，即 ×4 厘米×6 厘米=6 平方厘米， ∴四边形 ABCD 的面积是：6 平方厘米（12 平方厘米10 平方厘米）=4 平方厘米， 答：四边形 ABCD 的面积是 4 平方厘米． 点评： 本题考查了三角形的面积和正方形的面积的应用，主要考查学生能否根据图形把求不规则图形的面积转化 成求规图形的面积． 26．如图，在四边形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，P 为 BC 的中点，N 为 CD 的中点，Q 为 DA 的中点，若图中中 间的小四边形的面积为 1，试求四个小三角形（阴影部分）面积之和．考点： 面积及等积变换． 分析： 根据等底等高的三角形面积相等求出△ ADM 和△ CBN 的面积和等于四边形 BMDN 面积， AABP 和△ CDQ △ 的面积和等于四边形 APCQ 面积， 求出四边形 AEFQ 和四边形 CPGH 的面积的和等于四边形 BHEM 和四边 形 DFGN 面积的和，根据△ ADM 和△ CBN 的面积和等于四边形 BMDN 面积和四边形 EFGH 的面积是 1 即可求出答案． 解答：808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com 解：连接 AC、BD， ∵M 为 AB 的中点， ∴根据等底等高的三角形的面积相等得出：S△ ADM=S△ BDM，S△ CBN=S△ DBN， ∴S△ ADM+S△ CBN=S△ BDM+S△ DBN=S 四边形 APCQ= S 四边形 ABCD， 同理 S△ ABP+S△ CDQ=S 四边形 APCQ= S 四边形 ABCD， ∴S 四边形 AEFQ+S 四边形 PHGC=S 四边形 BHEM+S 四边形 DFGN， ∵S 四边形 APCQ=S 四边形 AEFQ+S 四边形 EFGH+S 四边形 CPGH= S 四边形 AEFQ+1+S 四边形 CPGH= S△ AME+S 四边形 BMEH+S△ BPH+S△ CNG+S 四边形 DFGN+S△ DFQ， ∴S△ AME+S△ PBH+S△ CNG+S△ DFQ=1， 即阴影部分的面积是 1， 答：四个小三角形（阴影部分）面积之和是 1． 点评： 本题考查了等底等高的三角形面积相等的应用，题目比较好，难度适中． 27． 已知 D 是 BC 的中点， 是 CD 的中点， 是 AC 的中点， E F 且△ ADC 的面积比△ EFG 的面积大 6 平方厘米． ABC △ 的面积是多少平方厘米．考点： 面积及等积变换． 专题： 计算题． 分析： 先设△ EFG 的面积是 x，△ DGE 的面积是 y，由于 E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点，可知 EF 是△ ADC 的808518中位线，那么 EF∥AD，EF= AD，再根据平行线分线段成比例定理的推论可得△ EFG∽△ADG，再根据相 似三角形的面积比等于相似比的平方可得 S△ ADG=4x， 根据中点和面积之间的关系、 已知条件， 易得 2 4x+y） （ =4（x+y）①和 4（x+y）x=6②，①②联合组成方程组，解可得 x、y，进而可求△ ABC 的面积． 解答： 解：如图所示， 设△ EFG 的面积是 x，△ DGE 的面积是 y， ∵E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点， ∴EF 是△ ADC 的中位线， ∴EF∥AD，EF= AD， ∴△EFG∽△ADG， ∴S△ EFG：S△ ADG=（ ） =（ ） = ，2 2∴S△ ADG=4x， ∵E、F 是中点， ∴S△ ADC=2（4x+y）=4（x+y）①， ∴S△ ADCS△ EFG=4（x+y）x=6②， ①②联合，解得? 菁优网菁优网www.jyeoo.com，∴S△ ABC=2S△ ADC=2×4（x+y）=．点评： 本题考查了面积及等积变换、中位线定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是注意三角形的一个中 点可把三角形分成面积相等的两个三角形． 28． 已知△ ABC 的面积为 1， 延长 AB 至点 D， BD=AB， 使 延长 BC 至点 E， CE=2BC， 使 延长 CA 至点 F 使 AF=3AC． 求 三角形 DEF 的面积．考点： 面积及等积变换． 分析： 连接 AE 和 CD，要求三角形 DEF 的面积，可以分成三部分（△ FCD+△ FCE+△ DCE）来分别计算，三角形 ABC 是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行分析计算，即可解得下面大三角形的面积． 解答： 解：连接 AE 和 CD， ∵BD=AB， ∴S△ ABC=S△ BCD=1，S△ ACD=1+1=2， ∵AF=3AC， ∴FC=4AC， ∴S△ FCD=4S△ ACD=4×2=8， 同理可以求得：S△ ACE=2S△ ABC=2，则 S△ FCE=4S△ ACE=4×2=8； S△ DCE=2S△ BCD=2×1=2； ∴S△ DEF=S△ FCD+S△ FCE+S△ DCE=8+8+2=18．808518点评： 此题考查了面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系在实际问题中的灵活应 用，有一定难度． 29．如图，四边形 PQRS 与边长为 10 的正方形 ABCD 的内侧相接，SE⊥BC 于 E，PF⊥CD 于 F，且 RQ=9，EQ=2， RF=3，请求出四边形 PQRS 的面积．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com考点： 面积及等积变换． 专题： 计算题． 分析： 求出矩形 ABES、矩形 DSEC、矩形 APFD、矩形 PBCF，推出 AS=BE，BP=CF，DF=AP，DS=CE，设 BP=a， BE=x，用 a、x 把 AP、QB、CQ、CR、DR、DS、AS 表示出来，根据三角形的面积和正方形的面积，即可 求出四边形 PQRS 的面积． 解答： 解：∵SE⊥BC，PF⊥CD， ∴∠ASE=∠BES=90°， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC=CD=AD=10，∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴四边形 ABES 是矩形， 同理四边形 APFD、四边形 DSEC、四边形 BCFP 都是矩形， ∴AS=BE，AP=DF，BP=CF，DS=CQ， 设 BP=a，BE=x， 则 BQ=x+2，CF=a， CQ=10（x+2）=8x，CR=a+3，AP=10a，DE=10x，DR=10a3=7a，CR=a+3，808518∴S 四边形 PQRS=S 正方形 ABCDS△ PBQS△ QCRS△ SDRS△ APS =100 BP×BQ CQ×CR DR×DS AP×AS =100 （x+2）a （8x） （a+3） （7a） （10x） （10a）x =53， 答：四边形 PQRS 的面积是 53． 点评： 本题考查了正方形的性质、三角形的面积、矩形的性质和判定的应用，关键是能把求不规则图形的面积转 化成规则图形的面积来求（如转化成求正方形的面积三角形的面积的和或差的形式） ． 30．如图，三块大小相同的正方形纸片，放在一个底为正方形的盒子内，它们互相重叠．在露出的部分中，红色面 积是 20，黄色面积是 17，绿色面积是 7．求正方形盒子底的面积．考点： 面积及等积变换． 专题： 计算题． 分析： 把黄块向左移动就会发现，黄色减小的面积等于绿色增加的面积，从而得出黄+绿=24，将黄色纸片移到最 2 左边，设红块边长是 b，与红色并排的绿边是 a，则利用整式的运算可得出（a+b） 的值，也即是正方形盒 子的底面积． 解答： 解：我们把黄块向左移动就会发现，黄色减小的面积等于绿色增加的面积，808518? 菁优网菁优网www.jyeoo.com ∴黄+绿=17+7=24， 当我们把黄移到最左边时，黄和绿各是= =12，2设红块边长是 b，与红色并排的绿边是 a，则 b =20，ab=12， ∴a =2=7 ，2 2 2∴正方形盒子底的面积是： （a+b） =a +b +2ab=20+12×2+7.2=51.2． 点评： 此题考查了面积与等积变换的知识，解答本题的关键是发现把黄块向左移动黄色减小的面积等于绿色增加 的面积，这是突破口，难度较大．? 菁优网菁优网www.jyeoo.com? 菁优网
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