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复变函数的积分
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全国2014年4月自学考试复变函数与积分变换试题&nbsp
试题类型：WORD文档
试题时间：2014年4月
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试卷内容预览
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全国2014年4月自学考试复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。
1．设z=3-4i，则argz=
2．下面方程中表示直线的是
A.z=z0+(1+i)t，-∞&t&+∞ B.

C.z=z0+Reit,0≤t≤2
D.(z-z0)（
）=R2
3．下列各式中正确的是
A.ln(zlz2)=lnz1+lnz2 B.

C.|sinz|≤1 D.ln
=lnz1
lnz2
4．若f(z)=y+2λxi解析，则λ=
5．设C是正向圆周|z|=2．下列积分中，积分值为零的是
7．以z=0为本性奇点的函数是
8．设z0是f(z)的孤立奇点，下列说法正确的是
A.当n&0时，f(z)的罗朗级数的系数

B.若f(z)=(z-z0)-m φ(z)，φ(z)在z0解析，m是正整数，则z0为f(z)的m阶极点
C.若z0为f(z)的可去奇点，则
存在
D.f(z)在z0只有一个罗朗展开式
9．设f(z)=
在复平面解析，k为正整数，则
=
A.（k-1）!ak-1 B.ak-1
C. ak D.ak+1
10．若f(z)，g(z)分别以z=a为m阶与n阶极点，且m&n，则点a是
的
A.（n-m）阶零点 B.（n+m）阶零点
C.（n-m）阶极点 D.（n+m）阶极点
非选择题部分
注意事项：
用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
11．设z=（1-i）4，则
=______．
12．cosi=______．
13．设L为从点z=0到点z=2+i的直线段，则
=______．
14．设C为右半圆周|z|=2，Re z≥0，起点为-2i，终点为2i，则出
=______．
15．罗朗级数
的收敛域为______．
16．设
，则Res［f(z)，0］=______．
三、计算题（本大题共8小题，共52分）
17．（本题6分）设z=x+iy，将
化为关于x，y的方程，并说明它是何种曲线．
18．（本题6分）求f(z)=ezsinz在z=0处的泰勒展开式．
19．（本题6分）求f(z)=
在圆环域1&|z|&2内的罗朗展开式．
20．（本题6分）设C为正向圆周|z|=2，计算

21．（本题7分）设C为正向圆周|ζ|=2，f(z)=
，求f ′(i）
22．(本题7分)求
的值．
23．（本题7分）设f(z)=u (x，y)+iv (x，y)解析，其中u(x,y)=x2-y2-x．求v(x，y)
24．（本题7分）设C为正向圆周
，计算

四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分）
25.(1)求f(z)=
在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型；
(2)求f(z)eiz在以上奇点处的留数；
(3)利用以上结果计算

26．设区域D由z平面上相交于点z=
和z=
的圆弧和实轴围成，在z=
处圆弧和实轴的夹角为
（如图）．
(1)w1=
将D映射成W1平面上的区域D1，
问D1是什么区域？
(2)w=
将D1映射成W平面上的什么区域?
(3)w=
将D映射成W平面上的什么区域？
27．求函数
的拉氏逆变换．
............
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自己也曾经是自考生，当初考的是计算机专业的专科，花了我四年半年时间。许多朋友跟我说自考太难了，他们快要坚持不下去了。我自己的经验是，其实自考不难，难的是坚持。
我不相信人天生下来会有谁比谁更聪明的脑袋瓜，只相信谁比谁更努力。努力看书，多做题，多花时间在学习上面，一定能够成功。加油吧！
考一场试下来，需要花费很多精力，也需要花去不少钱。在此我向大家保证，我的网站一定会奉行免费的政策，无论如何，我都不会使网站变成收费模式。
如果本站收集的内容侵犯了你的权利，也请告诉我，我会进行核实后并立即予以删除。
如果认为此网站还可以，告诉你的朋友们吧，我会一如继往，努力拼命的，哈哈！43．设z=x+iy.若f(z)=my3+nx2；B．m=-3,n=1D．m=1,n=1；?i2ieπzdz?（）；1?2i(1?i)；B．1+iD．；2??；45．设C是正向圆周z?1?1,则A．?C．；3?i2?sin(?z/3)dz=（）2Cz?1；3?i23?i446．设C是正向圆周z?3，则；?sinz(z?C?2dz=（）)3A．?2?i；??0
43．设z=x+iy.若f (z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)为解析函数，则（
） A．m=-3,n=-3 C．m=1,n=-3 44．积分A．C．B．m=-3,n=1 D．m=1,n=1 ?i2ieπzdz?（
） 1?2i(1?i)
B．1+i D．2?? 45．设C是正向圆周z?1?1,则A．?C．3?i 2?sin(?z/3)dz=（
） 2Cz?1B．?3?i D．3?i 23?i 446．设C是正向圆周z?3，则?sinz(z?C?2dz=（
） )3A．?2?i C．?i ??0B．??i D．2?i 47．拉普拉斯变换L?f?t????f?t?e?stdt中的f(t)的自变量的范围是
） （A）?0,???
（B）?0,???
（C）???,???
（D）???,0? 48．拉普拉斯变换F?s???f?t?e?stdt中的参数s是
） 0??（A） 实变数
（B）虚变数
（C）复变数
（D）有理数 49．若L?f?t???F?s?，那么Le?atf?t??（
（A）F?s?a?
(C)F?s?e?as
(D)50．若t≥0时函数f(t)有拉氏变换L?f?t???1，则 （
（A）f?t??u?t?
（B）f?t??t
（C）f?t????t?
（D）f?t??1 51．若L?f?t???F?s?，那么L?f?t?a???（
（A）e?asF?s?
（B）easF?s?
（C）e?asF?s?a?
（D）easF?s?a? ??1F?s?a? s52．若L?f?t???F?s?，那么L?f?t???（
） ??s1???Fs??
（A）?F?s?
（C）?Fsds
（D）?F?s?ds ss0?1?t??53．若L?f?t???F?s?，那么L?f??t???
（A）F??s?
（B）sF?s?
（C）sF??s?
（D）sF?s??f?0? t??54．若L?f?t???F?s?，那么L?f?t?dt?
） ???0???s1
（B）?F?s?ds
（C）?F?s?ds
（D）e?sF?s?
ss055．若L?f?t???F?s?，当a?0时，那么L?f?at???
（A）11?s??s?F?s?
（D）F?s?a?
aa?a??a?56．若L?f?t???F?s?，且f?0??f??0??0，那么L?f???t???（
（A）sF??s?
（B）F???s?
（C）s2F?s?
（D）s2F??s?
二、填空题 1.复数z=4+48i的模|z|=
. 2.设z=(1+i)100，则Imz=
. 3.设z=e2+i，则argz=
. 4.f(z)=z的可导处为
. 5.方程lnz=?i的解为
. 326.设C为正向圆周|z|=1，则?1(?z)dz?
. Cz17.设C为正向圆周|z-i|=，则积分2?e?zz(z?i)2Cdz?
. 8.设C为正向圆周|?|=2，f(z)=?sinC??3d?，其中|z|<2，则f?(1)?
. ??z_319．设z???i，则z?____________. 101010．方程lnz?1??3i的解为____________. 11．设C为从i到1+i的直线段，则?CRezdz?____________. 12．设C为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分(z)3zdz?____________. C?_13．设C为正向圆周|z|=2，则?cos2z(z?C?2dz?____________. 3)14．复数?1?i的指数形式为__________. 15．设z=x+iy满足x-1+i(y+2)=(1+i)(1-i)，则z=__________. 16．区域0<arg z<?4在映射w=z3下的像为__________. e2zdz?__________. 17．设C为正向圆周z?2,则Cz?1π18.若z1=e1+i,z2=3+i，则z1?z2=________. ?19.若cosz=0，则z=________. e?cos ?dζ　　(|z|?5)，L：｜?｜?5，则f(z)?________. 20.设f′(z)=L(??z)2?21．在复数域内，方程cosz=0的全部解为
。 22．设C为自点z1=-i至点z2=0的直线段，则zdz?
. C?23．设z=x+iy，Re(iez)=
. Cz?i25．f(z)在单连通区域D内解析，?(z)是f(z)的一个原函数，C为D内一条正向闭曲线，24．若C为正向圆周|z-3|=2，则?则?C?(n)(z)dz?
. 26．arg(1+i)=
. 27．设z=x+iy, 则曲线|z-1|=1的直角坐标方程为
. 28．设f(z)=zez, 则f?(z)?
. 29．设函数f(z)在单连通区域D内解析，且F(z)=f(?)d?, 其中z,0?D, 则F?(z)=
. z0?三、计算题 1.求u=x2+2xy-y2的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)=1. 2.计算积分I=?Cz?zdz的值，其中C为正向圆周|z|=2. |z|3.计算积分I=?e?z(z?i)2(z?3i)2Cdz的值，其中C为正向圆周|z-1|=3. 4．设复数z?i (i?1)(i?2)（1）求z的实部和虚部；（2）求z的模；（3）指出z是第几象限的点. 5．设z?x?iy.将方程|z|?Rez?1表示为关于x,y的二元方程，并说明它是何种曲线. 32326．设f(z)?ax?bxy?i(y?cxy)为解析函数，试确定a,b,c的值. 7．设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数，其中u(x,y)?y2?x2?2xy， 求v(x,y). 18．设C为正向简单闭曲线，a在C的内部，计算I=2?i?Czezdz. 3(z?a)9．将曲线的参数方程z=3eit+e-it（t为实参数）化为直角坐标方程. 110．设C是正向圆周z?1?,计算2?Cezdz. z2?3z?211．计算z=(1+i)2i的值. y12．设v (x,y)=arctan(x?0),f(z)是在右半平面上以v (x,y)为虚部的解析函数，求f (z). x13．设C是正向圆周z?2，计算I??Cezdz. 2z(z?1)14.计算复数z=3?27的值. y,x>0，求f′(z)，并将它表示成z的函数形式. x16.设f(z)=x2+axy+by2+i(-x2+2xy+y2)为解析函数，试确定a，b的值. i17.求积分I=dz的值，其中C：|z|=4为正向. Cz2?215.已知调和函数v=arctg?ez18.求积分I=dz的值，其中C：|z|=2为正向. Ci4(z?)2?19．求出复数z=(?1?3i)4的模和辐角. 20．设z=x+iy，满足Re(z2+3)=4，求x与y的关系式. 21．设u=ax3-3xy2，v=3x2y-y3，z=x+iy.问当a取何值时，v是u的共轭调和函数，并求出以u为实部的解析函数f(z). 22．求积分I=?2z?3dz的值，其中C为从-2到2的上半圆周. Cz23．设C为正向圆周|z|=R(R?1)，计算积分I=24．求方程cosz=5在复平面上的全部解. ?zez(z?1)3Cdz. 25．讨论函数w=xy-x+iy2的可导性，并在可导点处求其导数. zez26．设Ｃ为正向圆周|z-2|=1,计算I=??C(z?2)3dz. 27．设C为从0到1+2i的直线段，计算积分I=Rezdz. C?四、积分变换题 1、 利用拉氏变换解常微分方程初值问题：?p2?42、 求函数F(p)?2的拉氏逆变换. (p?4)2?y???2y??y?1, ?y(0)?0,y?(0)??1.3、求函数f(t)?3(t?1)2?5e?2tsin3t的拉普拉斯变换. 4、.(1)求et的拉氏变换L [e t]; (2)设F（s）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y′(t)]、L [y″(t)]存在，且y(0)=0， y′(0)=0，求L [y′(t)]、L [y″(t)]; ?y???2y??y?et(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：? ?y(0)?0,y(0)?0.?5、(1)求e?t的拉氏变换F?s?； (2)设F(s)=L[y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L[y′(t)]、L[y″(t)]存在，且y(0)=0， y′(0)=1，求L[y′(t)]、L[y″(t)]； ?y???2y??3y?2e?t（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：? ?y(0)?0,y(0)?1?6. （1）求sint的拉氏变换
[sint]； （2）设F(p)=
[y(t)]，若函数y(t)可导，而且y(0)=0，求
[y?(t)]； （3）利用拉氏变换解常微分方程的初值问题 ?y??y?sint ?y(0)?0?7．(1)求cost的拉氏变换L[cost]
(2)设F(p)=L[[y(t)], 其中函数y(t)可导，而且y(0)=0.求L[[y?(t)]. ?y??y?2cost(3)利用拉氏变换解常微分方程的初值问题 ? y(0)?0?
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怎么求以下几个复变函数的问题,求在下面各种情况下Z的点集：（a）|2z-i|=4(b)|z+i|
z=x+iya) |2x+i(y-1)|=44x^2+(y-1)^2=16,这是一个椭圆b)|x+i(y+1)| 再问： 答案a:以i/2我为圆心，2为半径的圆周。 答案b：以-i为圆心，3为半径的闭圆盘 希望继续能解答 再答： 哦，a)我写错了，写成|z-i/2|=2或 4x^2+(2y-1)^2=4这都是一个圆。
与《怎么求以下几个复变函数的问题,》相关的作业问题
你敢给点分么
作洛朗级数展开,就是1/(z-a)项的系数.量子时间KAWAYI：如果同时出现1/Z和1/(Z-a)那么怎么办?---没有这种情况
令,当θ不同时有不同结果,故极限不存在 再问： 明白了！谢谢！那这道呢，lim(1+z+...+z的n-1次方),其中n趋向于无穷大，拜托了，大神 再答： 用等比级数的公式求得部分和是对该式求极限，当|z|&1,,当|z|≥1时，和式发散
1除以（1-z),在z的模小于1收敛!
如果能理解支点的定义的话,这个问题是显然的
楼主id很经典在牛顿创立经典力学之后的300多年里,从拉格朗日的广义坐标到作用量泛函的变分,从哈密顿的正则方程到泊松括号(绝对描述),如此这般,把经典力学内容的逻辑和对称性揭示到空前的高度,以致便于升华到量子力学和相对论性量子场论.本问题你也考虑利用待定系数或者级数代入法求解. 再问： 嗯我是想求一个通项不是求前几项…
做洛朗级数的题,首先要看函数的奇点,然后去看题目让你在什么范围内展开成关于什么的洛朗级数,如f（Z）=1/[(z-1)(z-2)]在0&|z-1|&1内展开成洛朗级数,那么z-1就不能动,就是说你展成的级数中只能是关于z-1的多项式.至于具体的展法,就要用到一些泰勒公式的展开式了,如这道题就要用到1/(1-
没有对复变函数定义过偏导数,因为没意义.对于复变函数只有能不能解析的问题.欧拉公式EXP（iX）＝cosX＋isinX实际上是变量X的复值函数,也就是所EXP（iX）是一元实变复值函数.在专门的复变函数课本上,有推广的欧拉公式：EXP（iZ）＝cosZ＋isinZ ,这里Z是复平面上任意一点.函数EXP（iZ）是解析函
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解:设Z=x+yi,z'=x-yiz+z'=2xu(x,y)=2x,v(x,y)=0所以积分:(|Z|=1)(z+z')dz=积分;(|z|=1)2xdx+i积分:(|z|=1)2xdyx=cost,y=sint,t[0,2pi]原式=积分:(0,2pi)2cost(-sint)dt+i积分:(0,2pi)2costc
你的式子和参数方程都是对的,第二个积分算错了,应该是2i/3-1才对
R1时,所积分路径包含区域中有2个极点z=0,z=-1算出这两点的留数和为1/（2*0+1）+1/（2*（-1）+1）＝0所以这时积分值为0对现在的一楼,以前二楼说一下对于简单极点,就是只有一次的,留数就等于分子除以分母导数,这是结论这样做很方便,比如1/(1+z^6),这种就简单多了,不然就要将分母分解,多麻烦呀
这是复积分最原始的公式
(1)积分=积分(X^2+(1-x)^2)(dx-idx) (x从1积到0)=-2/3（1-i）(2)积分=积分(1)*(cos(xita)+isin(xita))d(xita) (xita从0到pi/2)=1+i
img class="ikqb_img" src="http://c./zhidao/wh%3D600%2C800/sign=4f58f1b6922397ddd62ce8f/562c11dfa9ec8afecc006.jpg"
是2πi.用柯西积分公式f(z0)=1/2πi∮f(z)/(z-z0)dz.可以令f(z)=z,则z0=1,所以此积分为2πi.
∑[ n=1,∞]{[(-1)^n](z^n)/(n!)},Cn=(-1)^n]/(n!),Cn+1=(-1)^(n+)]/[(n+1)!]λ=lim[n→∞]|(Cn+1)/Cn|=lim[n→∞]|{(-1)^(n+)]/[(n+1)!]/}/[(-1)^n]/(n!)]|=lim[n→∞][1/(n+1)]=0故