大一高数定积分的换元积分法求解_百度知道
大一高数定积分的换元积分法求解
//g.jpg" target="_blank" title="点击查看大图" class="ikqb_img_alink"><img class="ikqb_img" src="http://g.hiphotos.baidu<a href="http./zhidao/pic/item//zhidao/wh%3D600%2C800/sign=fa828bdf6d0c/a044adb77e8db39b33adcbef76099b5b.jpg" esrc="http://g.hiphotos
在百度上问高数都是半天没人回的那种..手机就放一边看书了
没想到你回的挺快哈
考研党不解释
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换一换
回答问题，赢新手礼包2018考研数学：二重积分用换元法怎么证明
11:25:16 |
2018考研交流群
数学是考研各科中难度较大的一科，2018考研数学多元函数微分法及其应用，一起来看下!
二重积分换元公式的证明
用曲线积分表示面积，
D = &&dxdy = &xdy = &x(t)y'(t)dt = &x(&(t),&(t)) (y/d& * &'(t) + dy/d& * &'(t)) dt，
其中x(t) = x(&(t),&(t))，&,&是新坐标，
而上式又等于曲线积分&x(&,&) (dy/d& * d& + dy/d& * d&)
再用格林公式& &x(&,&) (dy/d& * d& + dy/d& * d&)
= &&( d(xdy/d&)/d& - d(xdy/d&)/d& )d&d&
= &&(dx/d& * dy/d& - dx/d& * dy/d&) d&d&
= &&|J| d&d&
如果J&0，曲线积分换元时闭路方向相反，前面会多个负号，正好与J的负号抵消，所以加绝对值。
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高数5.2换元积分法
第四章§5. 2(1) 积分法一、直接积分法 二、第一类换元积分法三、第二类换元积分法直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 一、直接积分法利用积分公式和不定积分的性 质可直接求一些简单函数的不定积 分， 这种求不定积分的方法称为直接 积分法，它是一种最基础的积分方 法．直接积分法第一类换元积分法小结与作业练习题目录 上页 下页 返回 结束 一、直接积分法小结： ? 直接分项 ? 通过代数或三角恒等变形再分项 （目标是积分基本公式）分项积分常用恒等变形方法直接积分法 第一类换元积分法加项减项? 利用三角公式,代数公式 ,小结与作业 练习题目录 上页 下页3返回 结束 问： ? cos 5 x dx ? ?? cos x dx ? sin x ? C 或 ? cos u du ? sin u ? C视 5x ? u利用微分形式不变性d (sin5 x ) ? cos5 x d (5 x )d (5 x ) ? 5dx1 1 ? cos5 x dx ? 5 ? cos5 x d (5 x) ? 5 sin 5 x ? C直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页4返回结束 二、第一类换元法问题换元积分法? cos 2 xdx? sin 2 x ? C ,在一般情况下： 设 F ?( u) ? f ( u), 则? f (u)du ? F (u) ? C .如果 u ? ? ( x )（可微）? dF [? ( x )] ? f [? ( x )]? ?( x )dx?? f [? ( x )]? ?( x )dx ? F [? ( x )] ? C? [ ? f ( u)du]u?? ( x ) 由此可得换元法定理第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束直接积分法 换元积分法二、第一类换元法定理1u ? ? ( x ) 可导， 设 f ( u) 具有原函数，则有换元公式? f [? ( x )]? ?( x )dx ? [? f (u)du]u?? ( x )第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将? g( x )dx直接积分法 第一类换元积分法化为 f [?( x )]??( x )dx .?小结与作业练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第一类换元法例1 求 sin 2 xdx .1 解（一） ? sin 2 xdx ? ? sin 2 xd ( 2 x ) 2 1 ? ? cos 2 x ? C ; 2 解（二） ? sin 2 xdx ? 2? sin x cos xdx?? 2? sin xd (sin x ) ? ?sin x ?2 ? C ;解（三） ? sin 2 xdx ? 2? sin x cos xdx? ?2? cos xd (cos x )? ? ?cos x ? ? C .2直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第一类换元法1 dx. 例2 求 ? 3 ? 2x 1 1 1 ? ? ? ( 3 ? 2 x )?, 解 3 ? 2x 2 3 ? 2x 1 1 1 dx ? 3 ? 2 x ? 2 ? 3 ? 2 x ? (3 ? 2 x )?dx 1 1 1 1 ? ? du ? ln u ? C ? ln(3 ? 2 x ) ? C . 2 u 2 2 1 一般地 ? f (ax ? b)dx ? [ ? f ( u)du]u?ax? b a直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第一类换元法1 dx . 例3 求 ? x(1 ? 2 ln x )解1 1 dx ? x(1 ? 2 ln x ) ? ? 1 ? 2 ln xd (ln x )1 1 ? ? d (1 ? 2 ln x ) 2 1 ? 2 ln xu ? 1 ? 2 ln x1 1 1 ? ? du ? ln u ? C 2 2 u直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束1 ? ln 1 ? 2 ln x ? C. 2 换元积分法二、第一类换元法x dx . 例4 求 ? 3 (1 ? x ) x x ?1?1 dx ? ? dx 解 ? 3 3 (1 ? x ) (1 ? x ) 1 1 ? ?[ ? ]d (1 ? x ) 2 3 (1 ? x ) (1 ? x ) 1 1 ?? ? ? C. 2 1 ? x 2(1 ? x )直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第一类换元法1 例5 求 ? 2 dx. 2 a ?x 1 1 dx ? 2 ? 解 ? 2 2 a ?x a1 ? ? a1 2 dx x 1? 2 a1 x ? x? 1 ? ? arctan ? C . 2d ? a ? x? ? a ? a 1? ? ? ?a?小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束直接积分法第一类换元积分法 换元积分法二、第一类换元法例6 求解??1 dx ? 1 1 1 x ? arc dx ? d a? ? a2 ? x2 (a ? 0) x 2 ? a x 2 1? ( ) 1? ( ) a a 1 1 1 1 x x 1 dx 1 1 dx 1 d x? x ? ? arcsin dx ? dx ? d ? arcsin ? ? ? ? 2 2 2 2 a a a a a a x x x x a 2 2 a? ?x x 2 2 1 ? ( ) 1 ? ( ) 1? ( ) 1? ( ) a a a a1 dx ? 1 1 1 x x dx ? ? d ? arcsin ? C ? ? 2 2 a a a x x a ?x 2 2 1? ( ) 1? ( ) a a 1 1? ( x )2 a dx ? ? 1 1? ( x )2 a x x d ? arcsin ? C ? a a小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束直接积分法第一类换元积分法 换元积分法二、第一类换元法1 dx ? 1 ( 1 ? 1 )dx 例求 9 ? 2 2 例7 2a ? x ? a x ? a x ?a 1 dx ? 1 ( 1 ? 1 )dx 例 9 解 ? 2 2 2a ? x ? a x ? a x ?a ? 1 [? 1 dx ? ? 1 dx] 2a x ? a x?a ? 1 [? 1 d (x ? a) ? ? 1 d (x ? a)] 2a x ? a x?a ? 1 [ln | x ? a | ? ln | x ? a |]? C ? 1 ln | x ? a | ?C ? 2a 2a x ? a积分公式：直接积分法 第一类换元积分法1 dx ? 1 ln | x ? a | ?C ? x2 ? a2 2a x ? a ?小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第一类换元法1 dx. 例8 求 ? x 1? e 1 e? x dx ? ? ( )dx 解 ? x 1? e 1? e ? x1 ? x ??? d (1? e ) ? x 1? e?? ln(1? e? x )? C .直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第一类换元法例9 求 解? sin22x ? cos xdx .52 5 2 4 sin x ? cos xdx ? sin x ? cos xd (sin x ) ? ? 2 2? ? sin x ? (1 ? sin x ) d (sin x ) ? ? (sin x ? 2 sin x ? sin x )d (sin x )2 4 61 3 2 5 1 7 ? sin x ? sin x ? sin x ? C . 3 5 7说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第一类换元法例10 例求 5.sin x dx ? ? 1 d cos x tan xdx ? ? ? cos x ? cos xsin sinxxdx 11 dd 解 tan tan xdx xdx ?? dx ? ? ? ? cos cos xx 例 例 5. 5. ?? ??cos ? ? cos xx cos cos xx sin x dx ? ? 1 d cos x . ? tan xdx ? ? ? cos x cos x ? ?? 1 du ? ? ln | u | ?C ??ln|cos x|?C ? u1 ? ?? du ? ? ln | u | ?C ??ln|cos x|?C ? u直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第一类换元法例11 求 csc xdx .1 1 解（一） ? csc xdx ? ? dx dx ? ? x x sin x 2 sin cos 2 2 1 ? x? 1 x? ? ?? d ?? ? d ? tan ? 2 ? x ? 2 x? x? ? 2? ? tan tan ? cos ? 2 2? 2??x ? ln tan ? C ? ln csc x ?cot x ? C. 2直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题（使用了三角函数恒等变形）目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第一类换元法1 sin x 解（二） ? csc xdx ? ? dx ? ? 2 dx sin x sin x 1 ? ?? d (cos x ) u ? cos x 2 1 ? cos x1 ? 1 1 ? 1 ? ? ?? du ? ? ? ? ? du 2 2 ?1? u 1? u? 1? u1 1? u 1 1?cos x ? ln ? C ? ln ?C. 2 1? u 2 1? cos x直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第一类换元法解（三）? csc xdxcsc x(csc x ? cot x) ?? dx (csc x ? cot x)d (csc x ? cot x) ?? (csc x ? cot x)? ln csc x ?cot x ? C.类似地可推出 ? sec xdx ? ln sec x ? tan x ? C .直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第一类换元法例13 求解?x 4 ? x arcsin 2 1 1 x dx ? ? d 2 x 2 x 2 ? x? 4 ? x arcsin 1 ? ? ? arcsin 2 2 ? 2?2?1dx .x x ?? d (arcsin ) ? ln arcsin ? C. x 2 2 arcsin 21直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第二类换元法问题5 2 x 1 ? x dx ? ? ?解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程令 x ? sin t ? dx ? cos tdt ,5 2 5 2 (sin t ) 1 ? sin t cos tdt x 1 ? x dx ? ? ?? ? sin t cos tdt ? ? ?5 2（应用“凑微分”即可求出结果）目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第二类换元法?定理2 设x??(t)是单调的、可导的函数, 并且??(t)?0?又设f [?(t)]??(t)具有原函数F(t), 则有换元公式?1 ? f ( x ) dx ? f [ ? ( t )] ? ( t ) dt ? F ( t ) ? F [ ? (x)]? C ? ? ?其中t???1(x)是x??(t)的反函数?{F[? ?1(x)]}? ? F ?(t) dt ? f [? (t)]? ?(t) 1 ? f [? (t)]? f (x) ? dx dx dt目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法第二类换元法中常见的有根式代换 法、倒数代换法和三角代换法三种．（1）根式代换法ax ? b cx ? d如 果 被 积 函 数 含 有 ax ? b 或nna b （ ? ） 时， 我们可以通过根式代换法, c d将原积分化为有理函数的积分计算.目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第二类换元法1 例1 求 ? dx . 3 1? x ? 2（1）根式代换法解 设 t ? 3 x ? 2 ， 有 x ? 2 ? t 3 ，则 dx ? 3t 2 dtt2 t 2 ?1 ?1 dt ?3? dt 原式= 3? 1? t 1? t 1 ? 3? [(t ? 1) ? ]dt 1? t 3 2 3 ? ( t ? 1) ? 3ln | t ? 1| ?C 将 t ? x ? 2 回代， 得 2 3 3 2 3 ( x ? 2 ? 1) ? 3ln | x ? 2 ? 1| ?C ． 原式= 2． 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第二类换元法e ?2 2 x 2 [解] 令 e ? 2 ? t 即 x ? ln(t ? 2), 1 1 2t 2t dt dt ? 2? 2 dx ? 2 dt I ? ? ? 2 t ?2 t t ?2 t ?2 t ? 2 arctan ?C 2x例2求 I ??1dx（1）根式代换法e ?2 ? 2 arctan ?C 2x目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法（2）倒数代换法1 1 倒数代换,即设 x ? 或 t ? ,一般的 t x 若被积函数是分式,分子、分母关于 x 的最高次幂分别是 m, n ,当 m ? n 时,可试用 倒数代换法．目录 上页 下页 返回 结束 dx 例3 求 ? . 7 x(2 ? x )解1 ? 2 dt 6 t t 原式= ? ? ?? dt 7 1 1 1 ? 2 t (2 ? 7 ) t t1 1 设 x ? ,则 dx ? ? 2 dt ． 代入得 t t1 d (1 ? 2t 7 ) 1 7 ?? ? ? ? ln |1 ? 2t | ?C 7 14 1 ? 2t 141 ?7 ? ? ln |1 ? 2 x | ?C ． 14目录上页下页返回结束 二、第二类换元法（3）三角换代法三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有(1) ( 2) ( 3)a2 ? x2 a2 ? x2 x ?a2 2可令 x ? 可令 x ? 可令 x ? a sec t .目录上页下页返回结束 换元积分法二、第二类换元法例4 求?1 dx (a ? 0). 2 2 x ?a2解 令 x ? a tan t ? dx ? a sec tdt?1 1 2 dx ? ? a sec tdt ? 2 2 a sec t x ?a? ?? ? t ??? , ? ? 2 2?? ? sec tdt ? ln(sec t ? tan t ) ? C?x ? ln? ?a ? ? x ?a a2 2? ? ? ? C. ?x2 ? a2 t目录xa上页 下页 返回 结束 换元积分法二、第二类换元法例5 求 I ??4 ? x dx2[解] 令 x ? 2 sint? (0 ? t ? ) 2dx ? 2 cos tdt4 ? x2 ? 2 1 ? sin2 t ? 2 cos2 t ? 2cos tI ? 4 ? cos tdt21 ? cos 2t ? 4? dt 21 ? 2( t ? sin 2t ) ? C 2目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法为了作变量回代, 将I改写为I ? 2( t ? sint ? cos t ) ? C根据代换函数 x ? 2 sint , 作一个 直角三角形2tI ? ? 4 ? x 2 dxx x 2 ? 2 arcsin ? ? 4 ? x ? C 2 2x24? x目录上页下页返回结束 换元积分法二、第二类换元法例6 求?1 dx (a ? 0). 2 2 x ?a解 令x ? a sec tdx ? a sec t tan tdt?1 a sec t ? tan t dx ? ? dt 2 2 x ?a a tan t?? ? t ? ? 0, ? ? 2?? ? sec tdt ? ln(sec t ? tan t ) ? C?x ? ln? ?a ? ? x ?a a2 2? ? ? ? C. ?xx2 ? a2a目录 上页 下页 返回 结束t 二、第二类换元法例7 求 ?dx x21? x2．解 1 用第一类换元积分法,当 x ? 0 时?xdx21? x2??x31 ? ?? d (1 ? 2 ) 1 x 1 1? 2 2 1? 2 x xdxdx1 1 ? x2 = ? 1? 2 ? C = ? ?C ． x x易验证，它也是 x ? 0 时的原函数．目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法解 2 用倒数换元法1 1 当 x ? 0 时,设 x ? ，则 dx ? ? 2 dt ，于是 t t dx tdt ? x2 1 ? x2 = ?? 1 ? t 22 1 ? x = ? 1? t 2 ? C = ? ?C ． x易验证， 它也是 x ? 0 时的原函数．目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法解 3 用三角函数换元法， ? 设 x ? tan t , t ? (0, ) ， dx ? sec2 tdt2?xdx2cos tdt sec2 tdt = ?? =? 2 2 2 sin t tan t sec t 1? xd sin t 1 ?? ?C =? 2 sin t sin t1? x =? ?C ． x 易验证，它也是 x ? 0 时的原函数．2目录 上页 下页 返回 结束 基本积分表(14) ? tan xdx ?? ln cos x ?C; (15) ? cot xdx ?ln sin x ?C;(16) ? sec xdx ?ln sec x ? tan x ?C;换元积分法(17) ? csc xdx ?ln csc x ?cot x ?C;1 x (18) ? dx ? arctan ? C; a a a2 ? x2目录 上页 下页 返回 结束1 基本积分表x ?a 1 (19) ? dx ? ln ? C; 2a x ? a x 2 ?a 2 1 a+ x 1 (20) ? dx = ln +C; 2 2 2a a - x a -x 1 x (21) ? dx ?arcsin ? C; a 2 2 a ?x 11 2 2 (22) ? dx ? ln x ? x ? a ? C . x2 ?a2目录 上页换元积分法下页返回结束 换元积分法练习题1一、填空题： 1 、若 ? f ( x )dx ? F ( x ) ? C 而u ? ?( x ) 则2 2? f (u)du ? _______________； 2 、求 ? x ? a dx (a ? 0) 时，可作变量代换_____________________，然后再求积分； 1 dx 时可先令x ? _________； 3 、求 ? 2 x 1? x 2 4 、 x dx ? _____ d ( 1 ? x ) ；5、e dx ? ___ d (1 ? e ) ； dx 6、 ? ____d ( 3 ? 5 ln x ) ； x? x 2?x 2直接积分法第一类换元积分法小结与作业练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法练习题1dx 7、 =____ d ( arctan 3 x ) ； 2 1 ? 9x xdx d( 1 ? x2 ) ； ? 8、 ____ 1 ? x2 sin t dt ? _________________； 9、? t x 2 dx ? _______________ . 10 、 ? 2 2 a ?x二、求下列不定积分： （第一类换元法） dx a? x dx ； 1、 ? 2、? ； x ln x ln ( ln x ) a? x直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法练习题13、 ? tan 1 ? x .2xdx 1? x2；5、 ? x 2 1 ? x 3 dx ； sin x ? cos x dx ； 7、 ? 3 sin x ? cos x x3 dx ； 9、 ? 2 9? x arctan x dx ； 11、 ? x (1 ? x ) 10 2 arccos x dx ； 13、 ? 2 1? x直接积分法 第一类换元积分法 小结与作业 练习题dx 4、 ? x ； ?x e ?e sin x cos x dx ； 6、? 4 1 ? sin x 1? x dx ； 8、? 2 9 ? 4x dx 10、? ； 6 x ( x ? 4) x?1 dx ； 12、 ? x x (1 ? xe ) ln tan x dx . 14、? cos x sin x目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法练习题1答案一、1、F ( u ) ? C ;； 2、x ? a sec t 或x ? a csc t ； 1 1 1 3、 ； 4、 ； 5、-2； 6、 ； 2 5 t 1 7、 ； 8、 ? ； 9、 2 cos t ? C ； 3 a2 x x 2 2 10、 (arcsin ? 2 a ? x ) ? C . 2 a a x 二、1、a arcsin ? a 2 ? x 2 ? C ； 2、ln ln ln x ? C ； a 3、? ln(cos 1 ? x 2 ) ? C ； 4、arctan e x ? C ； 3 2 1 3 2 5、 (1 ? x ) ? C ； 6、 arctan(sin 2 x ) ? C ； 9 2第一类换元积分法 第二类换元积分法 基本积分表 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法练习题1答案33 7、 (sin x ? cos x ) 2 ? C ； 2 1 2x 9 ? 4x2 ? ?C； 8、 arcsin 2 3 4 x2 9 2 9、 ? ln( x ? 9) ? C ； 2 2 1 x6 ?C； 10、 ln 6 24 x ? 4 2 11、(arctan x ) ? C ； x x 12、ln( xe ) ? ln( 1 ? xe ) ? C ； 10 2 arccos x 1 ?C； 13、 14、 (ln tan x ) 2 ? C . 2 ln 10 2第一类换元积分法 第二类换元积分法 基本积分表 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法练习题2求下列不定积分： （第二类换元法） dx 1、 ? ； 2 x ? 1? x dx 2、 ? ； 2 3 ( x ? 1) dx 3、 ? ； 1 ? 2x x dx ； 4、 ? x 2a ? x 5、设 ? tan n xdx ,求证： 1 In ? tan n?1 x ? I n? 2 , 并求 ? tan 5 xdx . n?1第一类换元积分法 第二类换元积分法 基本积分表 小结与作业 练习题目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法练习题2答案1 1、 [arcsin x ? ln( x ? 1 ? x 2 )] ? C ； 2 x ? C； 2、 2 1? x 3、 2 x ? ln( 1 ? 2 x ) ? C ； x 2 3 a arcsin ? 2a x( 2a ? x ) 4、 2a a? x x( 2a ? x ) ? C . + 2第一类换元积分法第二类换元积分法基本积分表小结与作业练习题目录 上页 下页 返回 结束
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4.2换元积分法高等数学
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第二节 换元积分法
辽宁科技学院
LIAONING INSTITUE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
班 级：大数据BG161/162
教 师：王彦超
第一类换元法
基本积分表
不定积分的性质
一、第一类换元法
?cos 2xdx?sin 2x ?C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
令t ? 2x ? dx
?cos 2 xdx ?
?cos tdt ? sin t ?C? sin 2 x ?C .
sin 2x ? C]?
说明结果正确
一、第一类换元法
将上例的解法一般化：
设F ?(u) ? f (u),
F (u) ? C.
如果u ??( x)
[?( x)] ? f [?( x)]?( x)dx
? ? f [?( x)]? ( x)dx ? F[?( x)] ?C
?[? f (u)du]u??( x )
将上述作法总结成定理，使之合法化，可得
——换元法积分公式
一、第一类换元法
u ??( x)可导，
则有换元公式
? f [?( x)]?( x)dx ??
[? f (u)du]u??( x )
第一类换元公式 （凑微分法）
说明 使用此公式的关键在于将
化为? f [?( x)]? ( x)dx.
观察重点不同，所得结论不同.
一、第一类换元法
注 ① 定理说明：若已知 ? f (u)du ? F (u) ?C
则 ? f [?( x)]?( x)dx ? F[?( x)] ?C
因此该定理的意义就在于把
中的 换成另一个
? f (u)du ? F (u) ?C
的可微函数?( x) 后，式子仍成立
——又称为积分的形式不变性
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