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id:'fks_087069',
blogTitle:'二阶导数的图形',
blogAbstract:'
二阶导数的图形
以下是一些函数及其导数和二阶导数的图形。
1. y=xcos(x)及其导数和二阶导数 (函数曲线(红色)、导数曲线（蓝色）、二阶导数曲线（黑色）).
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高数中值定理与导数的应用
第四章微分中值定理和导数的应用一、微分中值定理 二、洛必达法则 三、函数的单调性 四、函数的极值 五、函数的最值机动目录上页下页返回结束一、微分中值定理 设函数 f (x) 满足下列条件 1、罗尔中值定理： 、罗尔中值定理： 上连续； (1) 在闭区间 [a,b] 上连续； 内可导; (2) 在开区间 (a,b) 内可导; (3) f (a) = f (b) 则在 ( a , b ) 内至少存在一点y = f ( x)ξ 使得f ′(ξ ) = 0aξb机动目录上页下页返回结束罗尔中值定理的几何意义: 罗尔中值定理的几何意义:的一段连续曲线上， 在连接高度相同的两点 A、B的一段连续曲线上， 的一段连续曲线上 轴的切线， 如果每一点都有不垂直于 x 轴的切线， 则曲线上至少有一点yM (ξ , f (ξ )) y = f ( x)M (ξ , f (ξ )) 的切线平行于弦AB ―― x 轴， 平行于弦AB即xf ′(ξ ) = 0Oaξ机动 目录 上页 下页 返回b x结束2、拉格朗日中值定理: 、拉格朗日中值定理 如果函数 f (x)满足下列条件 上连续； (1) 在闭区间 [a, b]上连续； 内可导； (2) 在开区间 (a, b)内可导； 则在开区间 (a , b) 内至少 存在一点 ξ ，使得f (b) ? f (a) f ′(ξ ) = b ?aMTBAy = f (x)aξ机动 目录 上页 下页 返回b结束拉格朗日中值定理的几何意义: 拉格朗日中值定理的几何意义: 在连接A 两点的一段连续曲线上， 在连接 、B两点的一段连续曲线上， 两点的一段连续曲线上 轴的切线， 如果每一点都有不垂直于 x 轴的切线， 则曲线上至少有一点M (ξ , f (ξ )) 的切线yMTy = f ( x)B平行于弦AB ， 平行于弦 f (b ) ? f (a ) 即 f ′(ξ ) = b?a ――拉格朗日公式 拉格朗日公式Aoa ξbx机动目录上页下页返回结束注 1： 习 惯 上 将 上 述 定 理 中 的 ξ 称 为 中 值上述定理的几个条件是充分而非必要的， 注2: 上述定理的几个条件是充分而非必要的， 但缺少其中任何一个条件， 但缺少其中任何一个条件， 定理的结论将不一定成立. 定理的结论将不一定成立 值不一定唯一， 注3: 上述定理结论中的 ξ 值不一定唯一， 可能有一个，几个甚至无限多个. 可能有一个，几个甚至无限多个.机动目录上页下页返回结束例1、求 f ( x ) = x + sin x 在 [0, 2π ] 上 满 足 拉 格 朗 日定 理 的 中 值 ξ .f ( 2π ) ? f (0) 2π ? 0 解：f ′(ξ ) = = =1 2π ? 0 2π 即 f ′(ξ ) = 1 + cos ξ = 1, cos ξ = 0, 又因为中值 ξ ∈( 0, 2π ) , 3π ∴ ξ= 或 2 2 1 练习1、求 f ( x ) = 在 [1, 2] 上满足 x 拉格朗日定理的中值 ξ .机动 目录 上页 下页 返回 结束π的导数， 例2、不用求出函数 f ( x ) = x( x ?1)( x ? 2)( x ? 3)的导数， 有几个根， 说明 f ′( x) = 0 有几个根，并指出各根所在的区间 解：因 f ( 0) = f (1) = f ( 2) = f (3) = 0,f ( x ) 在 [0,1], [1, 2], [2, 3] 上均满足罗尔定理的条件， 上均满足罗尔定理的条件，因此在 (0,1), (1, 2), ( 2, 3) 上分别存在点 ξ1，ξ2，ξ3， 使得 f ′(ξ1 ) = f ′(ξ 2 ) = f ′(ξ3 ) = 0, 即至少有 ξ1，ξ2，ξ3 为 f ′( x) = 0 的根 的根. 又 f ′( x) 为三次多项式，至多有三个根， 为三次多项式，至多有三个根，所以 ξ1 ∈ (0,1)，ξ 2 ∈ (1, 2)，ξ3 ∈ ( 2, 3) 即为所求.机动 目录 上页 下页 返回 结束推论： 如果函数 f ( x) 在区间(a, b) 上的导数恒为零, 则 f ( x) 在区间(a, b) 上是一个常数.例3、证明 arcsin x + arccos x =则 f ′( x ) = １ ? １π2, x ∈ [0,1]证：设 f ( x ) = arcsin x + arccos x1? x2 1? x2 因此 f ( x )在(0,1)上恒为常数, 1 π = 0，x ∈ (0,1),π又因为 f ( ) = , 所以 f ( x )在(0,1)上恒为 ， 2 2 2另外 f (0) = f (1) =π, 所以 f ( x ) = ，x ∈ [0,1] 2 2机动 目录 上页 下页 返回 结束π练习２ 练习２、证明 arctan x + arccot x = c , 并求 c . 证：设 f ( x ) = arctan x + arccot x１ １ ? = 0，x ∈ R, 则 f ′( x ) = 2 2 1+ x 1+ x因此 f ( x ) 在 R 上恒为常数,又因为 f (1) =π, 所以 f ( x ) 在 R 上 恒为 ， 2 2π即 arctan x + arccot x =. ２机动 目录 上页 下页 返回 结束π二、 洛必达法则 如果在某极限过程下, 如果在某极限过程下,函数 f ( x)与g(x) 同时 与 趋于零或同时趋于无穷大，则 lim f ( x) 可能存在 趋于零或同时趋于无穷大，g( x)也可能不存在,通常把这类极限称为不定式， 也可能不存在,通常把这类极限称为不定式， 不定式０ ∞ 常用洛必达法则来求解. 并分别简记为 或 ， 常用洛必达法则来求解. ０ ∞机动目录上页下页返回结束0 1、 、 0型不定式定理１ 满足： 定理１、如果函数 f ( x) 和g( x) 满足：( ) 在 x0 的某一去心邻域内可导，且 g′( x) ≠０， １( ) lim f ( x) = lim g( x) = 0 ２f ′( x) (3) lim 存在或为∞ x→x0 g′( x)f ( x) 则 lim = lim x→x0 g( x) x→x0 f ′( x) g′( x)机动 目录 上页 下页 返回 结束x→x0x→x0(1+ x)α ?1 例1、求lim x→0 x(α为任意实数)(1+ x)α ?1? 0 ? α(1+ x)α?1 解：lim =α ? 0 型? = lim x→0 x 1 ? ? x→0ex + e?x ? 2 练习1、求lim x→0 x2ex + e?x ? 2 ? 0 ? 解： lim ? 0 型? 2 x→0 x ? ? ex ? e? x ? 0 ? ex + e?x = lim =1 ? 0 型? = lim 2 x→0 2x ? ? x→0机动 目录 上页 下页 返回 结束2 例 、求 limπ 2 ? arctan x1x 1 ? π 2 ?arctan x ? 0 ? 1+ x2 lim lim 解： ? 0 型? = x→+∞ ?1 x2 x→+∞ 1x ? ?2x→+∞x 1 = lim = lim =1 2 2 x→+∞ 1+ x x→+∞ 1 x +1 tan x ? x 练习2、求lim x→0 3sin3 x tan x ? x tan x ? x ? 0 ? lim = lim 解： ? 0 型? 3 3 x→0 3sin x x→0 3x ? ?sec2 x ?1 tan2 x 1 = lim = lim = 2 2 x→0 x→0 9x 9x 9机动 目录 上页 下页 返回 结束∞ 2、 ∞ 型不定式 、定理２ 满足： 定理２、如果函数 f ( x) 和g( x) 满足：( ) 在 x0 的某一去心邻域内可导，且 g′( x) ≠０， １( ) lim f ( x) = lim g( x) = ∞ ２f ′( x) (3) lim 存在或为∞ x→x0 g′( x)f ( x) 则 lim = lim x→x0 g( x) x→x0 f ′( x) g′( x)机动 目录 上页 下页 返回 结束x→x0x→x0tan x 3 例 、求 lim x→π tan3x 2 tan x ? ∞ ? sin x cos 3x sin x 解： π lim ， ? ∞型? = lim sin3x ? cos x ,又lim sin3x = ?1 π π x→2 tan3x x→2 ? ? x→2 cos 3x ? 0 ? ?3sin3x lim ? 0 型? = lim ?sin x = ?3, 所以原式= 3. π π x→2 cos x ? ? x→2ln x 练习3 求 lim n 、 x→+∞ x ln x ? ∞ ? 1x 1 lim n ? 型 ? = lim = lim =0 解： n ?1 n x →+∞ x x →+∞ nx ? ∞ ? x →+∞ nx机动 目录 上页 下页 返回 结束注：如果反复使用洛必达法则也无法确定f ( x) g( x)或能断定 的极限， 的极限，f ′( x) g′( x)无极限， 无极限，则洛必达法则失效，需用别的方法求极限. 则洛必达法则失效，需用别的方法求极限.1 1 1 2 x sin ? cos x sin x ? 0 型 ? = lim x x 极 限不存在 ， 例如 lim ? 0 ? x →0 x →0 sin x ? cos x ? 洛必 达法则失 效，此题 可用别的 办法求解如 下：21 1 2 x sin x sin x = lim x = lim x sin 1 = 0 lim x →0 x →0 x →0 sin x x x2机动 目录 上页 下页 返回 结束练习题： 练习题：x ? sin x 1、求 lim x →∞ x + sin x x ? sin x 2、求 lim x → 0 x + sin x ln x 3、求 lim x →1 x ? 1 x ln(1 + e ) 4、求 lim x →+∞ 5x机动 目录 上页 下页 返回 结束3、其它类型不定式 、0 ∞ 不定式除 和 型外，还有 型外， 0 ∞0?∞型，∞?∞型， 0 型， ∞ 型， 1 型0 0 ∞0 ∞ 它们都可以通过适当变形转化为 或 型求解. 0 ∞机动目录上页下页返回结束1 ∞ 变为 ? ∞ = 型或者 0? 1 = 0型 型： ∞ ∞ 0 0lim x3 ln x 例4 、求x→0+解： lim x3 ln x = lim ln x ( ∞ 型) ?3 x→0+x→0+x∞1x ? x3 = lim =0 ?4 = lim + x→0 ?3x x→0 3+机动目录上页下页返回结束型: 例5 、求0 通分相减变为 型 0x 1 lim( ) （ ? x→ x ? 1 1 ln x= lim∞?∞ 型）0 ( 型 ) 0 0 ( 型 ) 0x 1 ) ? 解：lim( x→ x ? 1 1 ln xx ln x ? x +1 x→ (x ?1)ln x 1ln x + 1?1 ln x = lim = lim x→1 x ? 1 x→ 1 1 + ln x 1 ? + ln x x x 1 1 = lim x x→ 1 1 1 =2 + 2 x x机动目录上页下页返回结束通常用取对数的方法或利用 ( f ( x))型不定式: 1∞ 00 ∞0 型不定式:=e ∞ 0 型不定式， 型求解。 化为 0 ? ∞ 型不定式，再化为 型或 型求解。 ∞ 0lim x x 例6 、 求x→0+g( x )g( x)ln f ( x)(0 型 )0x ln x+解: lim x = lim ex x→0+1 ln x 又 lim x ln x = lim = lim x = lim (? x) = 0 x→0 1 x→0 x→0 x→0+ 1 ? 2 x x 所以 lim x x = e0 = 1+x→0=ex→0+lim x ln x++x→0+机动目录上页下页返回结束例7、求 lim (cot x)x→0+sinx( ∞ 型)0+解：设 y = (cot x)++sinx, 则ln y = sin x lncot xlncot x ∞ lim ln y = lim sin x lncot x = lim ( 型) x→0 x→0 1 x→0 ∞ sin x 1 ?1 sin x cot x sin2x = lim = lim =0 2 x→0 1 x→0 cos x ? 2 cos x sin x++lim (cot x)sinx = lim y = lim eln y = e0 = 1 所以x→0+x→0+x→0+机动目录上页下页返回结束例8 、求1 lim(ln x)1?ln x x→e(1 型)∞1 解法一： 解法一：y = (ln x)1?lnx1 ln(ln x) , ln y = = 1 ? ln x 1 1 ln(ln x) 0 ln x x = lim(? 1 ) = ?1 limln y = lim ( 型) = lim x→e x→e x→e 1? ln x 0 x→e ln x 1 ? x 1 所以 lim(ln x)1?lnx = e?1x→e1 1? ln x解法二： 解法二：lim(ln x )x→e? = lim ?(1 + ln x ? 1) x→e ?机动 目录1 ln x ?1? = e ?1 ? ?下页 返回 结束?1上页三、函数的单调性 上连续， 1、定理1：设函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续， 定理1 内可导， 在开区间 (a,b) 内可导，则 若在(a,b)内 f ′( x) & 0( 或 f ′( x) & 0) 内 若在 则 f (x)在区间 在区间[a,b]内单调增加（或单调减少） 内单调增加（ 在区间 内单调增加 或单调减少）aba机动 目录 上页b下页 返回 结束2、单调区间求法 、(1)确定函数的定义域（有时是给定的区间） 确定函数的定义域（有时是给定的区间） 确定函数的定义域 (2)求 f ′( x ), 找出 f ′( x ) = 0和 f ′( x ) 不存在的点， (2)求 不存在的点， 以这些点为分界点，将定义域分成若干区间， 以这些点为分界点，将定义域分成若干区间， (3)在各区间上判断 的符号， (3)在各区间上判断 f ′( x ) 的符号，确定单调性机动目录上页下页返回结束的单调区间. 例1、确定函数 f ( x) = x3 ? 3x 的单调区间. 解：函数的定义域为 ( ?∞ , +∞ ) ,′( x) = 3x2 ? 3 = 3( x +1)( x ?1) f令 f ′( x) = 0 得 x1 = ?1，x2 = 1，用这两点将定义域分成三个区间，讨论如下：x( ?∞ , ?1) ?1 ( ?1,1) 1 (1, +∞ ) f ′( x ) + 0 ? 0 + f ( x)故 f ( x )在( ?∞ , ?1)和(1, +∞ )上单调增加， 在( ?1,1)上单调减少.机动 目录 上页 下页 返回 结束的单调区间。 练习1 练习1、确定函数 y = x 的单调区间。3 22 解：函数的定义域为 (?∞, +∞), y′ = 3 3 x 不存在， 的点, 当 x = 0时 y′不存在，且不存在使 y′ = 0的点,将定义域分成两个区间，讨论如下： 用 x = 0将定义域分成两个区间，讨论如下：x(?∞, 0) 0(0, +∞)f ′( x ) ? f ( x)不存在 +故 f ( x )在( ?∞ , 0)上单调减少，在(0, +∞ )上单调增加.机动 目录 上页 下页 返回 结束四、函数的极值1、定义：设 f ( x ) 在点 x0 的某邻域内有定义， 若 对 该 邻 域内 的 任 一 点 x ( x ≠ x0 ) (1)恒 (1) 恒有 f ( x ) & f ( x0 ), 则称 f ( x ) 在 x0 点取得极大值, x0 点 称 为 f ( x ) 的一 个 极 大 值 点 ； (2)恒 (2) 恒有 f ( x ) & f ( x0 ), 则称 f ( x ) 在 x0 点取得极小值, x0 点 称 为 f ( x ) 的一 个 极 小 值 点 .函数的极大值极小值统称为极值， 函数的极大值极小值统称为极值， 极值 极值点。 极大值点和极小值点统称为极值点 极大值点和极小值点统称为极值点。机动 目录 上页 下页 返回 结束注1：极值是局部性的，并非在整个区间上最大最小 ：极值是局部性的， 注2：极大值点与极小值点一般不唯一。 极大值点与极小值点一般不唯一。 如下图中A 如下图中A、C、E都是极大值点， 都是极大值点， E 都是极小值点。 B、 D都是极小值点。 C D 3： 注3：极大值未必大于 A B 极小值，如左图A、 极小值，如左图 、Da x1 x2 x3 x4x5 b机动 目录 上页 下页 返回 结束2、定理1（极值第一判别法）： 定理1 极值第一判别法）： 的某邻域内可导， 设函数 f (x)在点 x0的某邻域内可导，且 f ′( x0 ) = 0,(1) 若在该邻域内,当 x & x0 时，f ′( x ) & 0; 当 x & x0 时，f ′( x ) & 0; 则 f ( x ) 在 x0 点取得极大值.( 2) 若在该邻域内,当 x & x0 时，f ′( x ) & 0; 当 x & x0 时，f ′( x ) & 0; 则 f ( x ) 在 x0 点取得极小值.(3) 若在该邻域内,f ′( x )恒为正或恒为负, 则 f ( x ) 在 x0 点 没 有 极 值 .机动 目录 上页 下页 返回 结束3、求极值的步骤： 求极值的步骤： (1)求函数的定义域(有时是给定的区间); (1)求函数的定义域(有时是给定的区间); 求函数的定义域 (2)求 不存在的点， (2)求 f ′( x ), 找出 f ′( x ) = 0和 f ′( x ) 不存在的点， (3)以这些点为分界点，将定义域分成若干区间， (3)以这些点为分界点，将定义域分成若干区间， 以这些点为分界点 讨论各个区间分界点两侧导数的符号以判别机动目录上页下页返回结束f ( x) = ( x ? 1)2 ( x + 1)3的单调区间和极值. 的单调区间和极值. 例1、求函数 解：函数的定义域为 (?∞,+∞)′( x) = 2( x ? 1)( x + 1)3 + 3( x ? 1)2 ( x + 1)2 f = ( x ? 1)( x + 1)2 (5x ? 1) 1 令 f ′( x) = 0 得驻 ：x1 = ?1, x2 = , x3 = 1 点 ， 5 用这三个点将定义域分成四个部分区间 分成四个部分区间， 用这三个点将定义域分成四个部分区间，讨论如下x ( ?∞ , ?1) ?1 ( ?1,1 / 5) 1 / 5 (1 / 5,1) 1 (1, +∞ ) f ′( x ) + 0 + 0 0 + ? f ( x)(1 故单调增加区间为 ( ?∞ ,1 / 5)， , +∞ )， 1), 单调减少区间为 (1 / 5，? 1 ? 3456 , 极小值 f (1) = 0 极大值 f ? ? = ? 5 ? 3125机动 目录 上页 下页 返回 结束定理2(极值第二判别法) 定理2(极值第二判别法)设函数 f (x)在点 x0具有 2(极值第二判别法 二阶导数， 二阶导数，且 f ′( x0 ) = 0，f ′′( x0 )存在,f ′′( x0 ) ≠ 0(1)若 f ′′( x0 ) & 0，则 x0 为 f ( x )的极小值点；( 2)若 f ′′( x0 ) & 0，则 x0 为 f ( x )的极大值点.的极值. 例2、求函数 f ( x) = x ? 3x 的极值. 解：函数的定义域为 (?∞, +∞),3f ′( x) = 3x2 ? 3 = 3( x ?1)( x +1), f ′′( x) = 6x 令 f ′( x) = 0得驻点x1 = 1 x2 = ?1 ， ， 由于 f ′′(?1) = ?6 & 0, f ′′(1) = 6 & 0为极大值, 为极小值. 所以 f (?1) = 2为极大值, f (1) = ?2为极小值.机动 目录 上页 下页 返回 结束五、函数的最值f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上的最值求解步骤：(1) 求 f ′( x )，找出 f ′( x ) = 0和 f ′( x )不存在的点， 并求出函数 f ( x )在上述点的值，( 2) 求 f ( x ) 在区间端点 a , b 的值， (3) 比较(1)、 )所求 f ( x )的值即可得最值. (2机动目录上页下页返回结束上的最值. 例1、求函数 f ( x) = x4 ? 2x2 + 5 在区间 [?2,2]上的最值. 解： f ′( x) = 4x3 ? 4x = 4x( x + 1)( x ?1)x 令 f ′( x) = 0得驻点：1 = ?1, x2 = 0, x3 = 1,f (x) 在驻点处函数值分别为f (?1) = 4 , f (0) = 5 , f (1) = 4 f ( x ) 在端点的函数值为f (?2) = f (2) =13比较得 f ( x)在 间 ?2, 2]上 区 [ 的 最大值为 f (?2) = f (2) = 13 最小值为 f (?1) = f (1) = 4机动 目录 上页 下页 返回 结束
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因为arctanx的导数等于负的arccotx的导数。又比如求-（1/1+x^2）的积分是不是有两个答案-arctanx和arccotx？
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函数y=x－arccotx在（－∞，＋∞)内是单调______函数。
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提问人：匿名网友
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函数y=x-arccotx在(-∞，+∞)内是单调______函数。
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