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理论力学 计算题
理论力学复习题(计算题)一、分析力学部分 半经为 r 的光滑半球形碗， 固定在水平面上， 一均质棒斜靠在碗缘， 一端在碗内， 一端在碗外， 在碗内的长度为 c， 试用虚功原理证明棒的全长为：l ?4?c 2 ? 2r 2 ? c解：建坐标如图示，棒受主动力为重力，作用点在质心 c 上，方向竖直向下，即 P ? ?mgj 由虚功原理得?? ?AF? ? ? l? ? ? ?? mgj ?? ??xi ? ?yj ? ? ?mg?y ? 0 由图可知 y ? ?? c ? ? sin ? 2? ?又由几何关系知 sin ? ?4r 2 ? c 2 2rl ? 4r 2 ? c 2 ? 所以 y ? ?? c ? ? 2? 2r ??y ? ? ?对 c 求变分得? 4r 2 ? c 2 l? 1 1 ? ?c ? ? c ? ? 4r 2 ? c 2 2r 2 ? 2r 2 ? ? ??? ?? 2c?c ??1 ?1 2? ? ???4r 2 ? c 2 2 4r 2 ? c 2 ? c?2c ? l ? ?c 4r????代入虚功原理得 mg ? 由于 ?c ? 0 整理得 l ?4r 2 ? c 2 2 4r 2 ? c 2 ? c?2c ? l ? ?c ? 0 4r????故 2 4r ? c2?2? ? c?2c ? l ? ? 04 c 2 ? 2r 2 c??六．五根长度相同的匀质杆，各重为 P 用铰连接，与固定边 AB 成正六边形，设在水平杆的 中点施力 F 以维持平衡，用虚功原理求力 F 之大小？解：设六边形边长为 a，建坐标系如图，取角 ? 为广义坐标 由虚功原理得： 由几何关系知? ?Ay1 ?F? 2 p?y1 ? 2 P?y 2 ? P?y3 ? F?y3 ? 0a a 3a cos? , y 2 ? a cos? ? cos? ? cos? , y3 ? 2a cos? 2 2 2 a 3a 变分 ?y1 ? ? sin ? ? ?? ， ?y 2 ? ? sin ? ? ?? ， ?y 2 ? ?2a sin? ? ?? 2 2代入虚功原理? a ? ? 3a ? 2 P? ? sin ??? ? ? 2 P? ? sin ??? ? ? P?? 2a sin ??? ? ? F ?? 2a sin ??? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?6 Pa sin ??? ? 2 Fa sin ??? ? ?? 6 P ? 2 F ?a sin ??? ? 0由于 ? 的任意性， sin? ? 0, ?? ? 0 所以 F ? 3P 等边六角形连杆铅直放置，各杆间用光滑铰链连接，底边固定不动，C、D 点用绳拉紧，连 杆 AB 中点受力 Q 作用，已知平衡时∠ACD=α ，试用虚功原理求平衡时 Q 与绳内张力 T 之间的关系？解：设六边形边长为 a，建坐标系如图，取角 ? 为广义坐标 由虚功原理得： 由几何关系知? ?AF? ?Q?y1 ? T?xC ? T?x D ? 0a a y1 ? 2a sin ? , xC ? ?( ? a cos? ), x D ? ? a cos? 2 2变分 ?y1 ? 2a cos? ? ?? , ?xC ? a sin ? ? ?? , ?x D ? ?a sin ? ? ?? 代入虚功原理? Q 2a cos? ? ?? ? Ta sin ? ? ?? ? Ta sin ? ? ?? ? 0 (?Q cos? ? T sin ? )2a ? ?? ? 0由于的 ? 任意性， ?? ? 0 所以 Q ? T tan? 如图所示平面机构有五根长度相同的匀质杆与固定杆 AB 组成一正六边形，杆 AF 中点与杆 BC 中点有一刚度系数为 k 的水平弹簧相连，已知各杆长度用弹簧原长均为 l ，其重量与各 铰接处摩擦均不计，若在 ED 中点作用一铅垂力 F，则此机构平衡时角 ? 的大小为多少。解：以 AB 杆中点为原点建立坐标系，ox 轴沿 AB 方向，oy 轴竖直向上。解除弹簧约束以 力 T1、T2 代替。由由虚功原理得： 由几何关系知? ?AF? T1?x1 ? T2?x2 ? F?YF ? 0l l l l y F ? 2l sin ? , x1 ? ?( ? cos? ), x 2 ? ? cos? 2 2 2 2 l l 变分得 ?y F ? 2l cos? ? ?? , x1 ? sin ? ? ?? , x2 ? ? sin ? ? ?? 2 2代入虚功原理 T1 ? sin ? ? ?? ? ? T2 ? ? 又 T1 ? T2 ? k ? x ? k ? 2 ??l ?2? ?? l ? sin ? ? ?? ? ? F ?2l cos? ? ?? ? ? 0 ? 2 ?l cos? ? kl cos? 2kl cos? ? l sin ? ? ?? ? 2Fl cos? ? ?? ? 0, ?kl sin ? ? 2F ??? ? 0由于 ?? ? 0 故 ? ? arcsin?? 2F ? ? ? kl ?图示系统，均质轮 C 质量为 m1，半径为 R1，沿水平面作纯滚动，均质轮 O 的质量为 m2，半径为 R2，绕轴 O 作定轴转动。物块 B 的质量为 m3，绳 AE 段水 平。系统初始静止。求： （1）轮心 C 的速度 ? C 、物块 B 的加速度 ? B ； （2）两段绳中的拉力。 （20 分） 解，以整体为研究对象，设物块 B 的速度为 ? B ，加速度为 a B ，如图则有? 0 ? ? B R ， ? 0 ? a B R ， ? C ? ? C R ? ? B 2R 2 1 1 21 1 1 1 2 2 2 mB? B ? J 0? 0 ? m1? C ? J c? c2 2 2 2 23m1 ? 4m2 ? 8m3 2 ?? 16系统的动能为T??理想约束不作力，受力的功率为P ? m3 g? B应用功率方程：dT ?P dt3m1 ? 4m2 ? 8m3 ? a B ? ? B ? m3 g ? ? B 8得aB ?8m 3 g 3m1 ? 4m2 ? 8m3进而得aC ? 4 m3 g 1 aB ? 2 3m1 ? 4m2 ? 8m3再以物块 B 为研究对象，受力如图，由质点的运动微分方程 m3g - FT1 = m3aB 得FT 1 ? m3 g ? m3 a B ? 3m1 ? 4m2 ? m3 g 3m1 ? 4m2 ? 8m3绕最后勤部轮 O 为研究对象，受力如图，由刚体定轴的转动微分方程J 0 ? ? 0 ? FT 1 R2 ? RT 2 R2得FT 2 ? 3m1 m2 g 3m1 ? 4m2 ? 8m3图示三棱柱体 ABC 的质量为 m1， 放在光滑的水平面上， 可以无摩擦的滑动。 质量为 m2 的均质圆柱体 O 沿三棱柱体的斜面 AB 向下作纯滚动，斜面倾角为 ? 。 以 x 和 s 为广义坐标，用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，并求出三棱柱 体的加速度（用其他方法做不给分）（15 分） 。解：以三棱柱体 ABC 的水平位移和圆柱体 O 沿三棱柱体的斜面滑动位移 S 为广义坐标，以 y = AC 处为势能整点动能与势能为系统T?1 1 1 2 2 m1? 2 ? m2? 0 ? J 0 ? ? 0 2 2 2 ? 1 1 1 1 s ? ? ? ?? ? m1 x 2 ? m2 ( x 2 ? s 2 ? 2 xs c o ? ) ? ? m2r 2 ? ( ) 2 s 2 2 2 2 r 1 3 ? ? ?? ? (m1 ? m2 ) ? x 2 ? m2 s 2 ? m2 xs c o ? s 2 4（常数略去）V ? ?m3 gs sin?该系统为保守系统，拉格朗目日函数为L ? T ?V ? m1 ? m2 2 3 ? ? ?? ? x ? m2 s 2 ? m2 xs cos? ? m3 gs ? sin? 2 4由第二类拉格朗日方程m ? m2 d ?L ?L ? 2 ?? ? m2 ?? cos? ? 0 x s ( )? ? 0， 1 ? 2 dt ?X ?Xd ?L ?L 3 ( )? ? 0 ， m2 ? 2?? ? m2 ?? cos? ? m2 g sin? ? 0 s x ? dt ?S ?S 4整理得(m1 ? m2 ) ?? ? m2 ??cos? ? 0 x s……① ……②3 ?? ? ?? cos? ? g sin? ? 0 s x 2取关立（1） （2）两式，得m2 g sin 2 ? a ? ?? ? x 3m1 ? (3 ? 2 cos2 ? )m2第一章质点力学点沿空间曲线运动，在点 M 处其速度为 v ? 4i ? 3 j ，加速度 a 与速度 v 夹角 ? ? 30 ，0?????且 a ? 10 m / s 。求轨迹在该点密切面内的曲率半径 ? 和切向加速度 a? 。2答：由已知条件 v ? 4i ? 3 j 得???v ? 4 2 ? 3 2 ? 5m / s法向加速度 a n ? a sin 30 ? 5m / s02v2 ? 5m 则曲率半径 ? ? an切向加速度a? ? a cos 30 0 ? 8.66 m / s 2一点向由静止开始作匀加速圆周运动， 试证明点的全加速度和切向加速度的夹角 ? 与 其经过的那段圆弧对应的圆心角 ? 之间有如下关系 tan? ? 2?证明：设点 M 沿半径为 R 的圆作圆周运动，t 时刻走过的路程为 AM=s，速度为 v ，tan ? ?对应的圆心角为 ? 。由题设条件知an v2 ? ???? ?a ? a? Ra?a? ?C 为常数 积分(b)式得dv dv ?v ? C ???? ?b ? dt ds所以 v ? 2a? s ??? ?c ?2?v0vdv ? ? a? ds0s将（c）式代入（a） ，并考虑 s ? R? ，所以 tan? ? 2?质点 M 的运动方程为 x ? 3t (m), y ? 2t (m) 求 t=1 秒时，质点速度、切向加速度、法向2加速度的大小。? ? 解：由于 x ? 3( m ), y ? 4t ? 4( m ) 所以有 v ? s s又： v ?? ? x 2 ? y 2 ? 9 ? 16 ? 5 m? s?? ? x 2 ? y 2 ? 9 ? 16t 2 则? at ? v ?1 9 ? 16t 2 2??1 ?1 2? 32t ?32t 2 9 ? 16t?1 2 2?? 3.2 m? s??? ? 0, ?? ? 4 m , a ? ??2 ? ?? 2 ? 4 m x y x y s s 2 a n ? a 2 ? at ? 16 ? 3.2 2 ? 2.4 m s? ?? ? ? ?an ? ? K ( K 为已知常数） ，以初始位置为原点， a?点 M 沿半径为 R 的圆周运动。如果原点初速度为 v 0 。求点的弧坐标形式的运动方程及点的速度减少一半时所经历的时间。解：设点的初始位置为 A。依题意a dv v2 ? a? ? ? n ? ? dt K KR得v ?积分上式?1 1 t dv 1 t ?? 2 ?0 dt v0 ? v ? ? KR v0 v KRvRKv0 KR ? v0 t则弧坐标形式的运动方程为 s ??t0KRv0 vt? ? dt ? KR ln ?1 ? 0 ? KR ? k 0 t KR ? ?当v ?v0 KR 时t ? v0 2一质点沿圆滚线 s ? 4a sin? 的弧线运动，如 ?? 为常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。 式中 ? 为圆滚线某点 P 上的切线与水平线（x 轴）所成的角度，s 为 P 点与曲线最低点之间 的曲线弧长。 解：因 s ? 4a sin? 故v ?ds ? ? 4a? cos? ? 4a? cos? dt? 式中 ? ? ? =常量（题设）dv 又 a? ? ? ?4a? 2 sin ? dt所以 a n ? 故a ?an ?v2?而? ?ds ? 4a cos? d?v2??16 a 2? 2 cos2 ? ? 4a? 2 cos? 4a cos?2 a?2 ? a n ? 4a? 2 sin 2 ? ? cos2 ? ? 4a? 2 =常数 结论得证设质点沿螺旋线 x ? 2 sin 4t , y ? 2 cos 4t , z ? 4t 运动，试求质点的速度、加速度和轨道的 曲率半径。 解：因 x ? 2 sin 4t , y ? 2 cos 4t , z ? 4t? ? ? 故 x ? 8 cos 4t ? 4 y, y ? ?8 sin 4t ? ?4 x, z ? 4所以 v ?? ? ? x2 ? y2 ? z2 ? 4 x2 ? y2 ?1 ? 4 5? ? 又 ?? ? 4 y ? ?16 x, ?? ? ?4 x ? ?16 y, ?? ? 0 x y z所以 a ? 又 a? ???2 ? ?? 2 ? ??2 ? 16 x 2 ? y 2 ? 32 x y z? ? dv 1 2 xx ? 2 yy 4 xy ? 4 xy ? 4? ? 4? ?0 dt 2 x2 ? y2 ?1 x2 ? y2 ?12 2 所以 a n ? a ? 16 x ? y ? 32而? ?v 2 80 ? ? 2.5 a n 322小环的质量为 m。套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为 x 4ay ，试求小环自 x=2a 处自 由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。 质点所受的力如恒通过一定点，则质点必在一平面上运动，试证明之。 证明：取力通过的定点为坐标原点，则质点的位矢 r 与力 F 共线，则有 M ? r ? F ? 0 所以质点的动量矩守恒，即 J ? C??????? ? J x ? m? yz ? zy ? ? C1 .......... ..(1) ? ? 其分量式为 j y ? m? zx ? xz ? ? C 2 .......... ...( 2)? ? J z ? m? xy ? yx ? ? C 3 .......... ...( 3)由 x ? (1) ? y ? (2) ? z ? (3) 得到 C1 x ? C 2 y ? C3 z ? 0 由解析几何知识知上式为一平面方程，故质点只能在这个平面上运动。 一物体质量 m=10kg ,在变力 F ? 10(1 ? t ) N 作用下运动。 设物体初速度 v0 ? 0.2m / s ， 开 始时力的方向与速度方向相同。问经过多长时间后物体速度为零，此前走了多少路程？ （知识要点）质点运动学微分方程，质点运动学第二类问题 解答：由 m 再积分sdv ?F 得 dtt 2 0? dv ? ? 10(1 ? t )dtv0 0vt积分得v ? ?5t 2 ? 10t ? 0.2(m / s)? ds ? ? (?5t0? 10t ? 0.2)dt 得5 S ? ? t 3 ? 5t 2 ? 0.2t (m) 3v ? ?5t 2 ? 10t ? 0.2 ? 0 解得 t ? 2.02s 再代入前式得 S=7.07 m ? ? 质点作平面运动，其速率保持为常数，试证明速度矢量 v 与加速度矢量 a 正交。 ? ? 证明：采用自然坐标系，由题意知 v ? c? c 为常量 ? ? ? ? dv d ? dc ? d? d? 于是有 a ? ? (c? ) ? ? ? c ?c dt dt dt dt dt ? ? d? ? 又在自然坐标系中 ? ?n dt ? ? ? ? dv d ? ? dc ? d? d? ? 所以 a ? ? (c? ) ? ? ? c ?c ? c?n dt dt dt dt dt ? ? ? ? 由于 ? ? n 故 a ? v 得证 1 动点 M 以匀速 v ? 5(m / s) 沿轨迹 y ? x 2 运动， 求当 x ? 2m 时动点 M 的速度沿 x 和 y 分 3由 量的大小，以及 M 的加速度? ? 解：由 v ? x ? y ? 25.......... (1)2 2 21 2 2 4 ? ? ? ? x 求导数得 y ? xx 而 x ? 2m 时 y ? x........( 2) 3 3 3 16 2 ?2 ? （2）代入（1）得 x ? x ? 25. 9根据 y ?? ? 整理得 x ? 3(m / s) 代入（2）得 y ? 4(m. / s)又 a? ?dv ?0 dt则 a ? a? ? a n ? a n 即 a ? a n2 2 2 2又由数学知识知 ? ?(1 ? y ? ) y ??23 2而根据 y ?1 2 2 2 当 x ? 2m 时 x 微分得 y ? ? x, y ?? ? 3 3 3y? ?4 2 , y ?? ? 3 33 3 3 216 25 125 (1 ? ) 2 ( ) 2 (1 ? y ? 2 ) 125 9 所以有 ? ? ? ? 9 ? 27 ? 2 2 2 y ?? 18 3 3 3故 a ? an ?v2??25 ? 3.6(m / s 2 ) 125 18? ? ? ?某力场的力矢为 F ? (2 xy ? z )i ? x j ? 3xz k 其中 i , j , k 分别为 x,y,z 轴的单位矢，3 2 2? ? ?试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。 解：? i ? ? ?? F ? ?x 2 xy ? z 3? j ? ?y x2? k ? ? (3xz 2 ) ? ( x 2 ) ? ? i? ( ? ?z ?y ?z 2 3 xz??? ? ? (2 xy ? z 3 ) ? (3 xz 2 ) j? ? ?z ?x ??? ? ? ( x 2 ) ? (2 xy ? z 3 ) ? ? ? ? 2 2 k? ? + ? ? i (0 ? 0) ? j (3 z ? 3 z ) ? k (2 x ? 2 x) ? 0 ?y ? ?x ?故力场为保守力场。由?U ? 2 xy ? z 3 ? ? ? ? ? ?(1) ?x ?U Fy ? ? ? x 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2) ?y ?U Fz ? ? ? 3 xz 2 ? ? ? ? ? ? ? ?(3) ?z Fx ? ?2 3（1） 式积分得： U ? ? x y ? z x ? f ( y, z ) ? ? ? ? ? (4) 对（4）式求偏导数得：?U ?? f ( y , z ) ? ? ?x2 ? ? ?x 2 ?y ?y2即?? f ( y , z ) ? ?0 ?y上式得： f ( y, z ) ? g ( z ) 代入（4）式得： U ? ? x y ? z x ? g ( z ) ? ? ? ? ? ?(5)3对 （5） 式求偏导数得：?U ??g ( z )? ??g ( z )? ? ?3xz 2 ? ? ?3xz 2 即 ? 0 积分得：g ( z ) ? c ?z ?z ?z2 3代入（5）式得： U ? ? x y ? z x ? c 所以势能函数为取 x ? 0, y ? 0,U ? 0 则 c ? 0U ? ?x 2 y ? z 3 x3 3 2 3 4 2某力场的力矢为 Fx ? 6abz y ? 20bx y , Fy ? 6abxz ? 10bx y, Fz ? 18abxyz 试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。 解：? i ? ? ?? F ? ?x Fx ?0? k ?Fy ? ? ? ?Fx ?Fz ? ? ? ?Fy ?Fx ? ? ? ?F ? ?i ? ? ?? z ? ? ?j ?? ? ?y ? ?x ? ?y ?k ? ?z ? ?z ? ? ?z ?x ? ? ? ? FZ ? ? ? ? (18 abxz2 ? 18 abxz2 )i ? 18 abz 2 y ? 18 abz2 y j ? 6abz3 ? 40bx 3 y ? 6abz3 ? 40bx 3 y k ? j ? ?y Fy?? ??故力场为保守力场。由?U ? 6abz3 y ? 20bx 3 y 2 ? ? ? ? ? ?(1) ?x ?U Fy ? ? ? 6abxz3 ? 10bx 4 y ? ? ? ? ? ?(2) ?y ?U Fz ? ? ? 18 abxyz2 ? ? ? ? ? ? ? ?(3) ?z Fx ? ?3 4 2对（1）式积分得： U ? ?6abz yx ? 5bx y ? f ( y, z ) ? ? ? ? ? (4) 对（4）式求偏导数得：?U ?? f ( y , z ) ? ? ?6abz3 x ? 10bx 4 y ? ? ? Fy ? ?6abxz3 ? 10bx 4 y ?y ?y即?? f ( y , z ) ? ?0 上 式 得 ： ?yf ( y, z ) ? g ( z )代 入 （ 4 ） 式 得 ：U ? ?6abz3 yx ? 5bx4 y 2 ? g ( z ) ? ? ? ? ? (5)对（5）式求偏导数得： 即??g ( z )? ? 0 积分得： g ( z ) ? c 代入（5）式得： ?z?U ??g ( z )? ? ?18abz2 xy ? ? ? Fz ? ?18abxyz2 ?z ?zU ? ?6abz3 yx ? 5bx 4 y 2 ? c ? ? ? ? ? ?(6)取 x ? 0, y ? 0, z ? 0,U ? 0 则 c ? 0 所以势能函数为 U ? 5bx y ? 6abxyz4 2 3Fx ? a11 x ? a12 y ? a13 z已知作用于质点上的力为 F y ? a 21 x ? a 22 y ? a 23 zFz ? a 31 x ? a 32 y ? a 33 z式上系数 aij (i, j ? 1,2,3) 都是常数，问这些 a ij 满足什么条件，才有势能存在？如这些条件 满足，试计算其势能。 解：要满足势能存在须使力场为保守力场，既力场的旋度为零， 所以 ? ? F ? 0 即??Fy ?Fx ? a12 ? ? a 21 ?y ?x?Fx ?F ? a13 ? z ? a31 ?z ?x?Fy ?z? a 23 ??Fz ? a32 ?y即势能存在 a ij 满足条件是： a12 ? a 21a13 ? a31a 23 ? a32?V .......... ...(1) ?x ?V 由 Fy ? a 21 x ? a 22 y ? a 23 z ? ? .......... ..( 2) ?y ?V Fz ? a31 x ? a32 y ? a33 z ? ? .......... ...( 3) ?z Fx ? a11 x ? a12 y ? a13 z ? ?（1）式积分得 V ? ?1 a11 x 2 ? a12 yx ? a13 zx ? f ( y, z )........( 4) 2（4）式对 y 偏微分=（2）式得?V ?f ( y, z ) ? ?a12 x ? ? ?a12 x ? a 22 y ? a 23 z ?y ?y即?f ( y, z ) ? ?a 22 y ? a 23 z.......... .(5) ?y1 a 22 y 2 ? a 23 zy ? g ( z )......... ...( 6) 2 1 1 2 2 （6）式代入（4）式得 V ? ? a11 x ? a12 yx ? a13 zx ? ? a 22 y ? a 23 zy ? g ( z )........( 7) 2 2（5）式积分得 f ( y, z ) ? ? （7）式对 z 偏微分=（3）式得?V ?g ( z ) ? ?a13 x ? a 23 y ? ? ?a13 x ? a 23 y ? a33 z ?z ?z ?g ( z ) 即 ? ?a33 z.......... .(8) ?z 1 2 （8）式积分得 g ( z ) ? ? a33 z ? c.......... ..(9) 2（9）式代入（4）式得1 1 1 V ? ? a11 x 2 ? a12 yx ? a13 zx ? ? a22 y 2 ? a 23 zy ? a33 z 2 ? c........( 10) 2 2 2取 x ? 0, y ? 0, z ? 0,V ? 0 则 c ? 0 得势能为1 1 1 V ? ? a11 x 2 ? a12 yx ? a13 zx ? ? a 22 y 2 ? a 23 zy ? a33 z 2 2 2 2 1 ? ? (a11 x 2 ? a 22 y 2 ? a33 z 2 ? 2a12 xy ? 2a 23 zy ? 2a31 zx) 2某力场的力矢为 F ? xi ? yj ? zk????试证明该力场是否为保守力场，若为保守力场，求出其势能函数。? i ? ? 解：由于 ? ? r ? ?x Fx? j ? ?y Fy? k ? ?F ?Fy ? ?? z ? ?z ? ?y ?z ? Fz? ? ? ?Fx ?Fz ? ? ? ?Fy ?Fx ?i ? ? ? ?j ?? ? ? ?x ? ?y ?x ? ? ? ?z ??? ?k ? 0 ? ?故力场为保守力场? ?V ? Fx ? ? ?x ? x.......... ...(1) ? ?V ? 由 ? Fy ? ? ? y.......... ...( 2) ?y ? ? F ? ? ?V ? z.......... ....( 3) ? z ?z ?积分（1）式得 V ? ?x2 ? f ? y, z ?????4? 2 ?V ?f ? y, z ? ? ? ?y ?y ?y积分得 f ( y, z ) ? ?（4）式对 y 偏微分=（2）式得y2 ? g ?z ?????5? 2x2 y2 ? ? g ?z ?????6? 代（5）入（4）得 V ? ? 2 2（6）式对 z 偏微分=（3）式得?V ?g ?z ? ? ? ?z ?z ?z积分得 g ?z ? ? ?z2 ? c ????7 ? 2代（7）入（6）得 V ? ?x2 y2 z2 ? ? ?c 2 2 2 x2 y2 z2 ? ? 2 2 2?取 x ? 0, y ? 0, z ? 0,V ? 0 则 c ? 0 得势能函数为 V ? ?有一质点在 xy 平面上运动，质点受到的力为 F ? ( x ? y )i ? ( x ? y ) j ，质点在平面上由点 A（1,0）沿直线运动到点 B（1,1）,求力 F 所作的功???解法 1：由功的定义计算B ? B B ? W ? ? F ? dr ? ? ( Fx dx ? Fy dy) ? ? ( x ? y)dx ? ( x ? y)dy A A A又 x ? 1, dx ? 0B ? B B 1 ? W ? ? F ? dr ? ? ( Fx dx ? Fy dy) ? ? ( x ? y)dx ? ( x ? y )dy ? ? (1 ? y)dy A A A 0所以? (y ?1 2 1 1 y )0 ? 2 2解法 2：由功的定义计算B ? B (1, 0 ) (1,1) ? 1 1 W ? ? F ? dr ? ? ( Fx dx ? Fy dy) ? ? ( x ? y )dx ? ? ( x ? y )dy ?( x 2 ? xy) ((1,,0)) ? ( xy ? y 2 ) ((1,,1)) 10 10 A A (1, 0 ) (1, 0 ) 2 2 1 1 ? 1? ? 2 2或B ? B B (1,1) ? 1 1 W ? ? F ? dr ? ? ( Fx dx ? Fy dy) ? ? ( x ? y )dx ? ( x ? y )dy ? ? d ( x 2 ? xy ? y 2 ) A A A (1, 0 ) 2 2 1 1 1 1 1 1 ? ( x 2 ? xy ? y 2 ) ((1,,1)) ? ( ? 1 ? ) ? ? 10 2 2 2 2 2 2解法 3：由保守力性质计算? ? ? i j k ? ?F ?Fy ? ? ? ? ??r ? ?? z ? ?x ?y ?z ? ?y ?z ? Fx Fy Fz ? ? ? (0 ? 0)i ? (0 ? 0) j ? (1 ? 1)k ? 0? ? ? ?Fx ?Fz ? ? ? ?Fy ?Fx ?i ? ? ? ?j ?? ? ? ?x ? ?y ?x ? ? ? ?z ??? ?k ? ?故力场 F 为保守力场?? ?V ? Fx ? ? ?x ? x ? y.......... ...(1) ? ?V ? ? x ? y.......... ...( 2) ? Fy ? ? ?y ? ? F ? ? ?V ? 0.......... ....( 3) ? z ?z ?积分（1）式得 V ? ?x2 ? xy ? f ? y ?????4? 2 ?V ?f ? y ? ? ?x ? ? ?x ? y ?y ?y（4）式对 y 偏微分=（2）式得积分得 f ( y ) ?1 2 y ? c ????5? 2x2 y2 ? ? xy ? c ??? ?6? 2 2 x2 y2 ? ? xy 2 2代（5）入（4）得 V ? ?取 x ? 0, y ? 0, z ? 0,V ? 0 则 c ? 0 得势能函数为 V ? ? 则由保守力与功的关系可知1 1 1 1 1 1 1 1 W ? ?(V2 ? V1 ) ? V1 ? V2 ? (? x 2 ? y 2 ? xy) (1,0) ? (? x 2 ? y 2 ? xy) (1,1) ? ? ? (? ? ? 1) ? 2 2 2 2 2 2 2 2Fx ? x ? 2 y ? z ? 5设作用于质点上的力场的力矢为 Fy ? 2 x ? y ? zFz ? x ? y ? z ? 6求此质点沿螺旋线 x ? cos? , y ? sin ? , z ? 7? 运行，自 ? ? 0 至 ? ? 2? 时力场所作的功 解：由保守力性质计算? ? ? i j k ? ?F ?Fy ? ? ? ? ??r ? ?? z ? ?x ?y ?z ? ?y ?z ? Fx Fy Fz ? ? ? (1 ? 1)i ? (1 ? 1) j ? (2 ? 2)k ? 0故力场 F 为保守力场? ? ? ?Fx ?Fz ?i ? ? ? ? ?x ? ? ?z? ? ? ?Fy ?Fx ? ? ?j ?? ? ?x ? ?y ?k ? ? ? ??? ?V ? Fx ? ? ?x ? x ? 2 y ? z ? 5.......... ...(1) ? ?V ? ? 2 x ? y ? z.......... ...( 2) ? Fy ? ? ?y ? ? F ? ? ?V ? x ? y ? z ? 6.......... ....( 3) ? z ?z ?积分（1）式得 V ? ?x2 ? 2 xy ? xz ? 5 x ? f ? y, z ?????4? 2 ?V ?f ? y ? ? ?2 x ? ? ?2 x ? y ? z ?y ?y（4）式对 y 偏微分=（2）式得 积分得 f ( y, z ) ? ?1 2 y ? zy ? g ( z ) ????5? 2x2 y2 ? ? 2 xy ? xz ? 5 x ? yz ? g ( z ) ????6? 2 2代（5）入（4）得 V ? ?（6）式对 z 偏微分=（3）式得 积分得 g ?z ? ? ??V ?g ?z ? ? ?x ? y ? ? ?x ? y ? z ? 6 ?z ?zz2 ? 6 z ? c ????7 ? 2 x2 y2 1 2 ? ? z ? 2 xy ? xz ? 5 x ? yz ? 6 z ? c ????6? 2 2 2代（7）入（6）得 V ? ?取 x ? 0, y ? 0, z ? 0,V ? 0 则 c ? 0 得势能函数为V ??x2 y2 1 2 ? ? z ? 2 xy ? xz ? 5 x ? yz ? 6 z ??? ?6? 2 2 2又由 x ? cos? , y ? sin ? , z ? 7? 知当 ? ? 0 时 x ? 1, y ? 0, z ? 0 ；? ? 2? 时 x ? 1, y ? 0, z ? 14?则由保守力与功的关系可知W ? ?(V 2 ? V1 ) ? V1 ? V 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 x ? y ? z ? 2 xy ? xz ? 5 x ? yz ? 6 z ) (1,0,0) ? (? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2 xy ? xz ? 5 x ? yz ? 6 z ) (1,0,14? ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ? (? ? 5) ? ? ? ? (14? ) ? 14? ? 5 ? 84? ? ? ? ? 5 ? ? 98? ? 14? ? 5 ? 84? ? 98? 2 ? 70? 2 2 2 2 2 ? (?有一划平面曲线的点，其速度在 y 轴上的投影于任何时刻均为常数 c，试证明在此情形下， 加速度的量值可用下式表示 a ?v3 c?2? ? ? 证明 1：由 v ? x ? y ? x ? c .......... .......(1)2 2 2 2（1）式求导得 vdv ? x ? ? x ? ?? ? ax dt? （因 y ? c, ?? ? 0 ，故 ?? ? a ） y x? dv ax a v 2 ? c 2 ? ? .......... . 由此得出 dt v v? v2 ? ? dv ? 2 2 2 又 a? ? ? ? ? a ? a n ? a ? ? ? .......... ....( 3) ?? ? ? dt ? ? ?2 2 2a 2 (v 2 ? c 2 ) v2 2 2 ? a ?( ) （2）=（3）得 ? v2整理得 a ? 证明 2：v3 c?结论得证? 如图设 v 与 y 轴夹角为α ，则由 y ? c, ?? ? 0 ，故有 a ? a x i y由图示几何关系知 a n ? a cos? ? 又 v y ? v cos? ? c （2）代入（1）得 a ???v2?即a ?v2 .......... ...(1) ? cos?则有 cos? ?c .......... .( 2) vv3 c?结论得证33、 船得一初速 v 0 ， 在运动中受到水的阻力， 阻力的大小与船速的平方成正比， 而比例系数为 km ， 其中 m 为船的质量。问经历多长时间船速减为其初速的一半。 （15 分） 解：由题意知 阻力为 f ? kmv 而 t ? 0 时 v ? v02?则船的运动方程为 mdv dv ? ?kmv2 即 2 ? ?kdt dt v积分上式得设船经历时间为 t 时， v ?v0 2?v0 2 v0v ?2 dv ? ?k ? dt 即0t?2 1? ? ? ? ? ? ?k t ? v0 v0 ?从而得 t ?1 k v0质点 M 在力 X ? P sin ?t 的作用下沿 x 轴作直线运动，在初瞬时 t ? 0, v ? v0 ， x ? x0 。 求质点的运动方程。? 解 ： 由 mv ? F ? X ? P s i?t nm(v ? v0 ) ? P积 分?vv0mdv ? ? P sin ?tdt0t， 得?(1 ? c o ts ?)即? x ? v ? v0 ?P (1 ? c o ?t ) s m?积分?t ? P ? dx ? ? 0?v0 ? (1 ? cos?t )? dt x0 0 m? ? ? x得 x ? x 0 ? (v 0 ?P P )t ? sin ?t m? m? 2点在 xy 平面内运动，当 0≤x≤4 时，点的轨迹为 y ? 3?1 ? cos? ??x ?? ，当 x＞4 时，轨迹为水 4?平线（如图示） 。点的 x 坐标按规律 x ? t ? 3t 变化，式中 x 以毫米计，t 以秒计。求当 t=2 秒时，3点的位置、速度和加速度。解：当 t=2 秒时, x ? t ? 3t ? 8 ? 6 ? 2mm ， y ? 3?1 ? cos3? ??x ??? ? ? ? 3?1 ? cos ? ? 3mm 4? 2? ?所以点的位置坐标为 r ? 2i ? 3 j ?mm ????? ?x ? ? ? ? ? x ? 3t 2 ? 3 ? 9 mm , y ? 3 sin ? x ? 3 sin ? 9 ? 21.2 mm s s 4 4 4 2 ? ? ? 故速度为 v ? 9i ? 21 .2 j mm s又??? ? 6t ? 12 mm x?? ? y?s2?? ????3? ? ?x 3? ?x 3? ?x 3? ? ? ? ? x ? cos ? x ? sin ? ?? ? x sin ? ?? ? x ? sin ? 12 ? 28.3 mm 2 s 4 4 4 4 4 4 4 4 2 ? ? ? 所以加速度为： a ? 12i ? 28.3 j mm 2 s????2v 2 g 变 3? s41、 质量 m=g kg 的质点， 在不均匀的介质中作水平曲线运动， 阻力大小按规律 F ?化，其中 v o 速度，s 为经过的路程，g 为重力加速度。设 t=0 时， v 0 ? 5 m , s 0 ? 0 ，求质点经s过的路程与时间的关系。 解：质点运动微分方程在切线方向的投影式为： md 2s 2v 2 g ?? 3? s dt 2由于 m=g kgd 2s 2v 2 所以有 2 ? ? 3? s dt分离变量d 2 s dv dv ds dv dv 2v ? ? ? v 代入上式得 由于 2 ? ?? dt ds dt ds ds 3? s dtdv 2ds 2d ?3 ? s ? ?? ?? v 3? s 3? s积分得?v5s d ?3 ? s ? dv ? ?2? 0 v 3? s即 ln v ? ln 5 ? ?2?ln ?3 ? s ? ? ln 3??2v 3? s 或 ln ? ?2 ln 5 3因此得 v ?sv ?3? s? ?? 同取以 e 为底的对数 ? 5 ? 3 ?或t??3 ? s ?29?3 ? s ?452ds 45 ? dt ?3 ? s ?2即分离变量 ?3 ? s ? d ?3 ? s ? ? 45dt2积分2 ?0 ?3 ? s? d ?3 ? s? ? ?0 45dt1 ?3 ? s ?3 ? 9 ? 45t 3?3 ? s ?3 ? 135t ? 27 ? 27?5t ? 1?故 s ? 3 3 5t ? 1 ? 1开立方得 3 ? s ? 33 5t ? 1??已知点的运动方程, 求其轨迹方程, 并自起始位置计算弧长, 求出点沿轨迹的运动规律. (1) x=4t-2t2 , y=3tC1.5t2 (2) x=5cos5t2 , y=5sin5t2 (3) x=4cos2t, y=3sin2t 解（1）由 x=4t-2t2 , y=3tC1.5t2…….（1） 两式相除得 ?x y 4 ? 2t 8 ? 4t 4(2 ? t ) 4 ? ? ? 3 ? 1.5t 6 ? 3t 3(2 ? t ) 3所以轨迹方程为 y ? x 是一直线方程 得? ? x ? 4 ? 4t ? 4(1 ? t ), y ? 3 ? 3t ? 3(1 ? t )......... ...( 2) ?? ? ?4.?? ? ?3.......... .......... ..(3) x y3 4? ? 所以速度为 v ? x 2 ? y 2 ? 16(1 ? t ) 2 ? 9(1 ? t ) 2 ? 5(1 ? t ) x y 全加速度为 a ? ??2 ? ?? 2 ? 16 ? 9 ? 5而切线加速度为 a? ?dv ? ?5 ，法线加速度 a n ? a 2 ? a?2 ? 0 dt由此说明质点作匀减速直线运动。 （2） 由 x=5cos5t2 , y=5sin5t2…….（1）得轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 25 是一圆的方程，其半径 R=5 由（1）式得? ? x ? ?50t sin 5t 2 , y ? 50t cos 5t 2 .........( 2)? ? 所以速度为 v ? x 2 ? y 2 ? 2500 t 2 (sin 2 5t 2 ? cos2 5t 2 ) ? 50t.......... (3)切线加速度为 a? ? 法线加速度为 a n ?dv ? 50 说明质点作匀加速圆周运动 dtv2??2500 t 2 ? 500 t 2 5x y 全加速度为 a ? ??2 ? ?? 2 ? 2500 ? 250000 t 4 ? 50 1 ? 100 t 4（3） 由 x=4cos2t, y=3sin2t…….（1）x2 y2 得轨迹方程为 ? ? 1 为一椭圆方程 16 9由（1）式得 所以速度为v?? ? x ? ?8 sin 2t , y ? 6 cos 2t.......( 2) ?? ? ?16 cos 2t , ?? ? ?12 sin 2t......( 3) x y? ? x 2 ? y 2 ? 64 sin 2 2t ? 36 cos2 2t ? 2 16 sin 2 2t ? 9 cos2 2t .......... (3)全加速度为a ? ??2 ? ?? 2 ? (?16 cos 2t ) 2 ? (?12 sin 2t ) 2 ? 4 16 cos2 2t ? 9 sin 2 2t .......( 4) x y如图 6 -1 所示, 半径为 R 的车轮在直线轨道上滚动而不滑动, 已知 轮心 C 的速度是常量 u , 求轮缘上一点 M 的轨迹, 速度和加速度及 轨迹的曲率半径.图6-1 解 将M点与地面的接触时的位置作为直角坐标系的 原点O , 并建立直角坐标系如图所示, 经过时间t, M 点的坐标为: x = ut - Rsinφ y = R - Rcosφ 因轮纯滚动, 线段O D 与弧长D M 相等,??DM ut ? R R整理后得运动方程为x ? ut ? R sinut R ut y ? R ? cos R从运动方程中消去时间t 后, 得轨迹方程为:x ? y?2 R ? y ? ? R arccos R? y R.即M 点的轨迹为旋轮线(或摆线) , 速度在x , y 轴上的投影、大小? v x ? x ? u ? u cos ? v y ? y ? u sin ut R ut 2R ut R2 及方向余弦分别为 v ? v x2 ? v y ? 2u sinvx ut ? ? sin ? sin v 2R 2 vy ut ? cos ? ? ? cos ? cos v 2R 2 cos? ?M 点的加速度在x , y 轴上的投影、大小及方向余弦分别为u2 ut sin R R 2 u ut ? a y ? v y ? ?? ? y cos R R 2 u 2 2 a ? ax ? a y ? R a ut cos? ? ? x ? sin ? sin ? a R ay ut cos ? ? ? ? cos ? cos? a R ? a x ? v x ? ?? ? x即各点加速度指向轮心2 又 a ? a?2 ? a n ?u2 v2 ut , an ? , 而 a? ? v ,由此可求得: ? ? 4 R sin R ? R证明题 证明：质量为 m 的质量从圆的最高点 O 由静止开始沿任一条光滑弦下滑到 圆周上所需的时间相同。证明：考虑质点在任意一条与过圆心的铅垂线夹角为??的弦上的运动，则在任意位置的受力如图所示。沿弦的方向用质点动力学基本方程得 质点加速度 a ? g cos? ，即质点作匀加速运动。考虑到初始条件，不难求得其运 动方程为s? 1 2 1 2 at ? g t cos? 2 2又弦长（从圆顶点滑到圆周上的路程）为s ? 2r cos?质量为 m 的质量从圆的最高点 O 由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间 t ?2s ? a4r cos? ? g cos?4r ，与 ? 无关，故质量为 m 的质量从圆的最高 g点 O 由静止开始沿任一条光滑弦下滑到圆周上所需的时间相同。证毕。重为 P 的小球位于半径为 r 的光滑球面顶点， 小球从静止开始下滑， 求小球脱离球面的位置。解：小球运动过程中受力为重力和支持力，只有重力作功，机械能守恒。 设球面顶点处为零势能面 由机械能守恒定律有 0 ?1 P 2 ? v ? P(r ? r cos? ) 2 g故 v ? 2 gr(1 ? cos? )......... ....(1)2小球在法向方向运动微分方程为P v2 ? ? P cos? ? N g r小球脱离球面时 N=0，所以有 v ? gr cos? .......... .......( 2)2（1）代入（2）式有 gr cos? ? 2 gr(1 ? cos? )2 2 ,? ? arccos ? 48 011? 3 3 r?h 2 r 又由几何关系知 cos? ? （h 为自球面顶点起下降高度）得 h ? ? r 3 3整理有 cos? ? 讨论：由以上结论知小球脱离球面位置与小球（质量）无关，当球面不光滑时与小球（质 量）有关。第二章质点系力学一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为 m，炮身及炮车质量和等于 M，炮车可以自由地在铁 轨上反冲，如炮身与在地面成一角度 ? ，炮弹对炮身的相对速度为 V，试求炮弹离炮身时对 地面的速度 v 及炮车反冲的速度 U。 解：由于在水平方向（x 方向）无外力作用，火药爆炸力为内力，故水平方向动量守恒 即mv x ? MU ? 0.......... ......(1)又由相对运动关系知 V cos? ? U ? v x ,V sin ? ? v y .......( 2)? M V cos? ? M ?m ? （2）代入（1）得 v y ? V sin ? ?.......... ......( 3) ? m U ?? V cos? ? M ?m ? vx ?所以? M ? 2 ? M ? 2 2 2 2 2 2 2 v ? v ?v ? ? ? V cos ? ? V sin ? ? ? ? V cos ? ? V (1 ? cos ? ) M ?m? M ?m? ? ?2 x 2 y22? V 1?m( 2 M ? m) cos2 ? .......... ..( 4) 2 ( M ? m)vy vx ? V sin ? M ?m ? tan ? .......... (5) M M cos? M ?m如设 v 与水平面夹角为 ? ，则 tan? ?讨论：由（4）式知炮车反冲时 v ? V ，由（5）式知 ? ? ? 重 G 的物体 A 带动单位长度的质量为 q 的软链，以速度 足够的长度，求重物所能达到的最大高度。 向上抛出，如图示。假定软链有解：取 OZ 轴铅直向上，O 点位于地面。将在空中运动的链条的物体 A 视为主体。则并入主 ? 体的质量元（原先静止于地面）的绝对速度 u ? 0 于是密歇尔斯基方程为? d ? ? mz ? F ????1? dt? ? ? d ? ? 因 m ? G ? qz, F ? ?G ? qz ?g ? k , z ? zk ，代入（1）式得? ?? ?dt? ??G ? qz?z ? ? ??G ? qg ?g? ? 用 ?G ? qg ?dz 乘上式两端得 ??G ? qz?z ?d ??G ? qz?z ? ? ? g ?G ? qz? dz2已 知 初 始 条 件 为z?0 时 ，? z ? v0所 以 积 分 上 式 得1 ? ? 上升高度 z 正好就是最大 ?G ? qz?2 z 2 ? ? g ?G ? qz?3 ? 1 G 2 v0 2 ? g G 3 当 z ? 0 时， 2 3q 2 3q值h2 ? G ?3 ? 1 ? 3qv0 ? 1? 即h ? ? q? 2Gg ? ?在椭圆机构中，规尺 AB 质量为 2m1，曲柄 OC 质量为 m1,滑块 A 和 B 质量均为 m2 曲柄以匀 角速度ω 绕轴 O 转动。 试求机构质心的运动方程及系统动量。 设各物体为均质， =AC=BC=l。 OC解法 1:运动方程（C 点）的运动为平面运动 运动方程为： x ? l cos?t , y ? l sin ?t ,消去 t 得： x ? y ? l2 22? ? ? ? ? ? ? p ? p oc ? p AB ? p A ? p B ? m1voc ? (2m1 ? 2m2 )v AB ? l ? ? ? l ? m1 (? ? sin ?ti ? ? cos?tj ) ? (2m1 ? 2m2 )( ?l? sin ?ti ? l? cos?tj ) 2 2 动量 ? 5 ? ? ? 5 ? ? m1l? sin ?ti ? m1l? cos?tj ? 2m2 l? cos?tj ? 2m2 l? sin ?ti 2 2 ? l? ? l? ? ? (5m1 ? 4m2 ) sin ?ti ? (5m1 ? 4m2 ) cos?tj 2 2总动量值的合成: p ?px ? p y ?2 2l? (5m1 ? 4m2 ) 2l (m1 ? cos?t ? 2m1l cos?t ? 2m2 l cos?t ) 2 xc ? (3m1 ? 2m2 ) l (m1 ? sin ?t ? 2m1l sin ?t ? 2m2 l sin ?t ) 2 yc ? (3m1 ? 2m2 )解法 2:首先建立整个系统的质心位置? p x ? mxc ? ?将质心位置求导后,代入动量式? p y ? my c ?l? cos?t (5m1 ? 4m2 ) 2l? sin ?t (5m1 ? 4m2 ) 2l? (5m1 ? 4m2 ) 2 ? ? ? ? ? 某质量为 m 的质点， 其运动方程用矢量式可表达为 r (t ) ? x(t )i ? y (t ) j ? z (t )k ， 式中：r总动量值的合成: p ?px2? py ?2为质点的矢径， i , j , k 分别为 x, y, z 的单位矢。试求： （1） 质点的动能、动量及对坐标原点 O 的动量矩。 （2） 质点对点 A（a,b,c）的动量矩。 （3） 作用在质点上的力及力的功率。 解： （1）动能 T ?? ? ?1 2 1 ? ? ? mv ? m( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 动量 p ? mv ? m( xi ? yj ? zk )? ? ? ? ? ? 动量矩 LO ? m ( yz ? zy )i ? ( zx ? xz ) j ? ( xy ? yx)k ???????（4） 动量矩? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L A ? m ?( y ? b) z ? ( z ? c) y ?i ? ?( z ? c) x ? ( x ? a) z ? j ? ?( x ? a) y ? ( y ? b) x?k r x y z （5） 力 F ? ma ? m?? ? m( ??i ? ??j ? ??k ) ? ? x ? y ? z r ? 功率 P ? F ? v ? F ? r ? m?? ? r ? m( x ? ?? ? y ? ?? ? z ? ??) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??29、质点在 xoy 平面内运动，其势能为：V ? 2 x ? 5 xy ? 3 y ? 6 x ? 7 y 试求使该质点处2 2于平衡状态的点的坐标。 解：欲使质点平衡须使质点势能对任一函数的一阶偏微分为零即?V ?V ? 0, ?0 ?x ?y?V ? 4 x 2 ? 5 x ? 6 ? 0.........( 1) ?x 由 ?V ? ?5 x ? 6 y ? 7 ? 0.........( 2) ?y求解上面方程组得平衡坐标为 x=1,y=2 一人在水平台上走动，此台可通过其中心的铅直轴而旋转，人走的轨迹是以平台中心为圆心，r 为半径的圆 周，假定人重为 p，平台重也为 p，其半径也为 r，试求当人在平台上走完一周时平台转过的角度。 解：以作平台为质点系，受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。假设平台与转轴接触面光滑 无摩擦，故质点系动量矩守恒。在质点系起始时， t ? 0, G0 ? 0?在某时刻人相对于平台的速度为 u，平台的角速度为 ? ，则人的绝对速度为 v ? u ? ?r 人的动量矩为： G1 ?p r (u ? ?r ) 方向沿转轴方向。 g方向也沿转轴方向。平台动量矩为： G2 ? I? ?1 p 2 r ? 2g由动量矩守恒定律得： G1 ? G2 ? 又 ??p p 2 r (u ? ?r ) ? r ??0 g 2g?? ? ?2u 3rd? ds ,u ? dt dt 4? 3即d? 2 ds ?? dt 3r dtd? ? ?? 2?r 2 2 ds 积分得： ? d? ? ? ? ds 0 0 3r 3r故? ? ?32、一均质木板放在光滑的水平面上，板的一端站着一个人。在某一时刻，人以不变的速度 u 向 x 轴正 向运动。设板的质量为 m1，人的质量为 m2。试求 t 秒钟后，人的绝对速度 v 与位移以及板的绝对速度 v1 与位移。 解：以人和板为研究对象。系统受力：人的重力 P，板的重力 W，光滑的水平面对板的正压力 FN。以上 受力均在竖直方向，所以水平方向受力为零，则动量守恒。 在初始时刻 t=0，人和板都静止，动量 pax=0，任意时刻 t，设板的绝对速度 v1 沿 x 轴正向，则由点的合 成运动可知，人的绝对速度为 v=v1+u。 由动量守恒定律得：m1v1+m2(v1+u)=0 解此方程得v1 ? ?m2 u m2 ? m1负号表示板的运动方向与 x 轴正向相反。由此得人的绝对速度为 v ? v1 ? u ? u ?m2 m1 u? u 正号表示人的运动方向与 x 轴正向相同 m2 ? m1 m1 ? m2 m1 m2 ut, ?x1 ? v1t ? ? ut m1 ? m2 m1 ? m2因 u 与 v 都是常量，故人和板的位移分别为 ?x ? vt ?设矢量 r 在笛卡儿坐标系中的投影为 ? x, y , z ? ，证明 divr ? 3, rotr ? 0 并求使 r ? grad? 的函数 ? 解： （1） divr ? ? ? r ? ? i ? ?x ? j ?y ? k ?z ? ? xi ? yj ? zk ? ?x ? ?y ? ?z ? 3 ? ? ????????? ?? ?? ????????x?y?z? i ? ? ? （2） rotr ? ? ? r ? ?x x? j ? ?y y? k ? ? ?z ?y ? ? ? ?x ?z ? ? ? ?y ?x ? ? ? ? ? ?i ? ? ? ? j ? ? ? ? k ? 0 ? ?x ?y ? ?z ? ?y ?z ? ? ?z ?x ? ? ? ? ? z（3）由 rotr ? 0 可知势函数 ? 必存在，由 r ? xi ? yj ? zk , r ? grad? ?????? ??? ? ?? ? ?? ? i? j? k ?x ?y ?z? ?? ? ?x ? x ? ?? ? 故? ?y ? ?y ? ?? ? z ? ?z ?x2 ? ?2 ? 积分（1）式得 ? ? ? f ? y, z ???? ?4? 2 ? ?3?? ?1?代（4）入（2）得?f ? y, z ? ?y ?y积分得 f ?y2 ? g ?z ?????5? 2代（5）入（4）得 ? ?x2 y2 ? ? g ?z ???? ?6? 2 2积分得 g ? z ? ?代（6）入（3）得?? ?g ?z ? ? ?z ?z ?zz2 ? c ??? ?7 ? 2x2 y2 z2 代（7）入（6）得 ? ? ? ? ?c 2 2 2质量为 m1 及 m 2 的两自由质点互相以引力吸引， 引力与其质量成正比， 与距离的平方成反比， 比例常数为 k ，开始时两质点皆处于静止状态，其间距离为 a，试求两质点间的距离为 两质点的速度。a 时 2r解法 1：用机械能守恒定律求解 令质量为 m1 自由质点的速度为 v1 ，质量为 m 2 的自由 质点速度为 v 2 ， 则因两质点互相吸引， v1 v 2 方向相 故 反，取 v1 方向为正方向如图示 由于两质点无外力作用，故动量守恒有 m1v1 ? m2 v2 ? 0.......... .(1) 两质点间的相互吸引力为万有引力是保守力 由保守力性质得势能为 V ?m v22v m11? ? F ? dr ? ??r??r??km1m2 km m dr ? ? 1 2 式中 r 是两质点间的距 2 r r离。由机械能守恒定律 ?km1 m2 1 km m 1 2 ? m1v12 ? m2 v2 ? 1 2 a a 2 2 2即km m 1 1 2 m1v12 ? m2 v2 ? 1 2 .......... ..( 2) 2 2 a2k a (m1 ? m 2 ) v 2 ? m1 2k a (m1 ? m 2 )解（1） （2）式得 v1 ? m 2 解法 2：用动能定理求解令质量为 m1 自由质点的速度为 v1 ，质量为 m 2 的自由质点速度为 v 2 ，则因两质点互相吸引， 故 v1 v 2 方向相反，取 v1 方向为正方向如图示? 由 dT ? ?W 得 d ( m1 r1 ?21 2? ? km m 1 ? m2 r22 ) ? F ? dr ? ? 12 2 dr 2 r积分上式得km m 1 1 2 m1v12 ? m2 v2 ? 1 2 .......... ..(1) 2 2 a由于两质点无外力作用，故动量守恒有 m1v1 ? m2 v2 ? 0.......... .( 2) 解（1） （2）式得 v1 ? m 22k a (m1 ? m 2 )v 2 ? m12k a (m1 ? m 2 )解法 3：用两体问题方法求解 由于两质点无外力作用可视为两体问题d 2 r12 ?F得 由两体问题运动方程 ? dt 2?d 2 r12 dv m1 m2 dv12 km m ? ? 12 ? ? F ? ? 12 2 ........( 1) 2 dt m1 ? m2 dt dt r12又dv12 dv12 dr12 dv ? ? ? v12 12 dt dr12 dt dr12代入（1）式有1 k v12 dv12 ? ? 2 dr12 m1 ? m2 r12a积分?v120v12 dv12 ? ? 2 ?ak (m1 ? m2 ) dr12 得 v12 ? 2 r122k (m1 ? m2 ) .........( 2) a由于两质点无外力作用，质心作惯性运动，原来质心静止，故由 v c ?m1v1 ? m2 v 2 ?0得 m1 ? m2m1v1 ? m2 v2 ? 0.......... .(3)又根据速度合成方法知 v12 ? v1 ? v2 .......( 4) 解（2） （4）式得 v1 ? ? m 2 （3）2k a ( m1 ? m 2 )v 2 ? m12k a (m1 ? m 2 )v1 为负值表明与 v 2 方向相反如图示，一长为 l 的均质链条在水平面上自然堆成一堆，线密度为 ? ，某人持链条一端以匀 速 v 将其提高，试证：当他的手离开水平面的高度为 x 时（ x ? l ） ，链条对手的作用力大小? v2 ?x ? 为F ?? g ?? ? ?g ? ?解法 1：用质心运动定理求解 取链条整体为研究对象，在 t 时刻，整体所受的外力有重力 P ? ? lg ，拉力 F 和水平面对静 止的那部分链条的支持力 F ? ? ? ?l ? x ?g 。由质心运动定理可得?????? ? ? ? ? mac ? F ? ? lg ? ? ?l ? x ?g 式中 a c 为质心的加速度。x 上式在 x 轴上的投影式为 m??c ? F ? ? lg ? ? ?l ? x ?g由于链条的质心坐标为 xc ??x ? ? ? ?l ? x ? ? 0x 2?l?x2 2l? 则有 xc ? vx v2 , ??c ? x l l代入投影式得 mv2 v2 ? F ? ? lg ? ? ?l ? x ?g , m ? F ? ?xg l l? ? ?g ? ?所以 F ? ?xg ? mv2 ? v2 ? ?x ? ? l g ?解法 2：用动量定理求解 取链条整体为研究对象，在 t 时刻，整体所受的外力有重力 P ? ? lg ，拉力 F 和水平面对 静止的那部分链条的支持力 F ? ? ? ?l ? x ?g?????链条整体的总动量在竖直方向分量为 Px ? ?xv ? ? (l ? x) ? o ? ?xv 整 体 所 受 的 外 力 有 重 力 P ? ? lg ， 拉 力 F 和 水 平 面 对 静 止 的 那 部 分 链 条 的 支 持 力???? ? F ? ? ? ?l ? x ?g上式在 x 轴上的投影式为 FX ? F ? ?xg 由动量定理dPx dP d dx ? Fx 得 x ? ( ?xv) ? ? v ? ?v 2 ? Fx ? F ? ?xg dt dt dt dtF ? ?xg ? ?v 2解法 3：用变质量问题方法求解 如图示，取已上升部分为主体，其质量为 m ? ?x ，速度为 v ，不断增加部分为变体，dm ? ?dx 其速度 u ? 0 ，主体和变体所受合外力为 F合 ? F ? ?xg由密歇尔斯基方程d dm (mv ) ? u ? F合 得 dt dt d dx ( ?xv) ? F合 ? F ? ?xg 即 ? v ? ?v 2 ? F合 ? F ? ?xg dt dt2故 F ? ?xg ? ?v圆环质量为 M，放在光滑水平面上，有一质量为 m 的小虫在圆环上爬行，如图示，求证： 小虫在圆环上相对地爬行一周时，圆环的自转角度不超过 180°。设初始时系统静止。解：以小虫+圆环为质点系，圆环圆心为参考点，质点系受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩为零。故质点系动量矩守恒。 在质点系起始时， t ? 0, G0 ? 0?在某时刻小虫相对于圆环的速度为 u，圆环的 角速度为 ? ， 则小虫的绝对速度为 v ? u ? ?r 小虫的动量矩为： G1 ? mr (u ? ?r ) 方向沿转轴方向。 圆环动量矩为： G2 ? I? ?1 Mr 2? 2方向也沿转轴方向。由动量矩守恒定律得： G1 ? G2 ? mr (u ? ?r ) ?1 Mr 2? ? 0 有 ? ? ? 2u M (1 ? )r 2m 1 ds 积 分 得 ： M (1 ? )r 2m又??d? ds ,u ? dt dt即d? ?? dt1 ds M dt (1 ? )r 2md? ? ???0d? ? ?2?r0?1 ds M (1 ? )r 2m 2? M (1 ? ) 2m? ??假设小虫和圆环质量相等 故 ? ? ?4? =-240° 30假设 M=2m，则 ? ? ?? ? ?180一般 M ? m 故 ? ? 1800另正解：以小虫+圆环为质点系，圆环圆心为参考点，质点系受力为重力，方向均向下，与转轴平行，力矩 为零。故质点系动量矩守恒。 在质点系起始时， t ? 0, G0 ? 0?在某时刻小虫相对于圆环的速度为 u，圆环的 角速度为 ? ， 则小虫的绝对速度为 v ? u ? ?r 小虫的动量矩为： G1 ? mr (u ? ?r ) 方向沿转轴方向。 圆环动量矩为： G2 ? I? ? Mr ?2方向也沿转轴方向。由动量矩守恒定律得： G1 ? G2 ? mr (u ? ?r ) ? Mr ? ? 0 有 ? ? ?2u M (1 ? )r m 1 ds 积 分 得 ： M (1 ? )r m又??d? ds ,u ? dt dt即d? ?? dt1 ds M dt (1 ? )r md? ? ???0d? ? ?2?r0?1 ds M (1 ? )r m 2? M (1 ? ) m0? ??假设小虫和圆环质量相等 M=m 故 ? ? ?? ? ?180 假设 M=2m 故 ? ? ?2? ? ?120 0 30一般 M ? m 故 ? ? 180一光滑球 A 与另一静止的光滑球 B 发生斜碰，如两球均为完全弹性体，且两球质量相等，则两 球碰撞后的速度互相垂直，试证明之。 证明：设两球质量为 M ，光滑球 A 碰前速度矢量为 V1 ，光滑球 B 碰前速度矢量为 0， A 和 B 碰撞后的速度的速度矢量为 V1 ,V2??? ? ??? ??由于两球碰撞过程中动量守恒有 MV1 ? MV1 ? MV2 .......( 1)?1 ?2 1 ? 2 1 ? 2 MV1 ? MV1? ? MV2? .......( 2) 2 2 2 ? ? 2 ?2 ?2 （1） 式代入（2）式有 (V1? ? V2?) ? V1? ? V2?又两球为完全弹性体动能守恒有 整理上式得 2V1? ? V2? ? 0 ，由于 V1? ? 0,V2? ? 0 所以欲使两矢量的乘积为零，只有两矢量互相垂 直即 V1? ? V2?????结论得证有三个完全弹性的小球,质量分别为 m1、m2、及 m3，静止于一直线上，今于第一球上加上 v1 的速度，其方向沿此直线，设 m1、m3 及 v1 为已知，求第二球的速度为何值，才能使第三球 于碰撞后所得的速度最大。? ? 解：设第一、第二球碰撞后第一球的速度为 v1 ，第二球的速度为 v 2? 则由速度公式得 v1 ? v1 ? ?1 ? e ? m2 ?v1 ? v 2 ? m1 ? m2 m1 ?v1 ? v 2 ? m1 ? m2? v 2 ? v 2 ? ?1 ? e ?而? v2 ? 0, e ? 1 故 v 2 ? v 2 ? ?1 ? e ?m1 ?v1 ? v 2 ? m1v1 2m1v1 ? 0 ? 2? ? m1 ? m2 m1 ? m2 m1 ? m2? ? 又设第三、第二球碰撞后第三球的速度为 v 3? 已知 v3 ? 0, e ? 1? ? 则由速度公式得 v3? ? v3 ? ?1 ? e ?? ? ? m2 ?v 2 ? v3 ? 2m 2 v 2 4m1 m2 v1 ? ? m2 ? m3 m2 ? m3 ?m1 ? m2 ??m2 ? m3 ?欲使第三球的速度最大，须有 即? dv3? ?0 dm22 ? dv3? (m1 ? m2 )( m2 ? m3 ) ? m2 (m2 ? m3 ? m1 ? m2 ) m1 m3 ? m2 ? 4m1 v1 ? 4m1 ?0 dm2 (m1 ? m2 ) 2 (m2 ? m3 ) 2 ?m1 ? m2 ?2 ?m2 ? m3 ?2所以有 m2 ?m1 m3 时第三球的速度最大。一条柔软、无弹性、质量均匀的绳子，竖直的自高处坠落至地板上，如绳子的长度为 l ，每 单位长度的质量等于 ? ， 求当绳子剩在空中的长度为 x? x ? l ? 时， 绳子的速度及它对地板的 压力。设开始时绳子的速度为零，它的下端离地面的高度为 h 。 解法 1：用自由落体公式和动量定理求解 当绳子的上端离地面的高度为 x 时，由自由落体公式知绳子的速度为v ? 2 gh? ? 2 g (l ? h ? x)地板对绳子的作用力有两部分，其一为与已经落地的绳子的重力大小相等，方向相反，设为N 1 ， N1 ? m?g ? ? (l ? x) g 其二是即将落地的绳子对地板的冲力，设为 N 2设在 dt 时间内落地的绳子的质量为 dm ? ? ? dl ，该质量元的动量为 dm? v ，该质量元一经 落地动量即变为零。动量的变化为 dp ? dm ? v ? 0 ? dm ? v 由动量定理 F ? 忽略重力） 所以总的压力为 N ? N1 ? N 2 ? ?g ?2h ? 3(l ? x)? 解法 2：用变质量物体的运动方程求解 当绳子的上端离地面的高度为 x 时，由自由落体公式知绳子的速度为dp 得 dtN2 ?dm ? v ? ? dl ? v dl ? ? ?v ? ?v 2 ? ? 2 g (l ? h ? x) （此处 dt dt dtv ? 2 gh? ? 2 g (l ? h ? x)取已落地部分为主体，其质量为 m ? ? (l ? x) 速度为 v ? 0不断落地部分为变体 dm ? ?dx ，dm ?dx ? ? ?v （ dx ? 0 ）其速度为 u ? v dt dt主体和变体受力为 F合 ? N ? ? (l ? x) g 方向向上 由密歇尔斯基方程d dm dm (mv ) ? u ? F合 得 u ? N ? ? (l ? x) g dt dt dt即 ? ?v(?v) ? N ? ? (l ? x) g 所以 N ? ?v ? ? (l ? x) g ? ? 2 g (l ? h ? x) ? ? (l ? x) ? ?g ?2h ? 3(l ? x)?2长 L 的均匀细链条伸直平放水平光滑桌面上，方向与桌面边缘垂直 （图 2.7.2）。开始时链条静止，一半从桌上下 垂，求链条末端滑到桌子边缘时链条的速度 v。 解：如图选取坐标系，以下垂段为研究对象。 方法一：用变质量物体的运动方程求解 以长为 x 的 一段和Δx 的一段分别作 m 和 dm， m=λx，速度为 v ，dm=λdx, dx 段合并于 x 段的 速度 （x 段的速度）,作用于它们的合外力为重力 和桌面上的一段对它的拉力 T。由密歇尔斯基方程d dm (mv ) ? u ? F合 得 dt dt∵u=v，∴（1）设线质量密度λ，取桌面上为主体，其质量 m? ? ? (l ? x) ，速度为 v ， 不断减少部分为变体，速度 （x 段的速度），作用于它们的合外d dm (mv ) ? u ? F合 dt dt力为桌面上的一段对它的拉力 T， 由密歇尔斯基方程 得 （2）将（2）代入（1），并注意 m=λx， ，积分： 方法二：用机械能守恒定律求解 ，求出，可得以下垂的一段为研究对象，以桌面为零势能位置，则由机械能守恒：其中： 由此得；，雨滴开始自由落下时的质量为 M，单位时间内凝结在它上面的水汽质 量为λ，略去空气阻力，试求雨滴在 t 时间后所下落的距离。 解：以竖直向下为正方向，取自由落下的雨滴为主体， 其质量为 m=M+ λt，速度为 v，增加的水汽为变体，质量为 dm=λdt, 速度为 u=0, 作用于其的合外力为雨滴的重力 F合 ? ( M ? ?t ) g 由密歇尔斯基方程d dm (mv ) ? u ? F合 得 dt dtd ?(M ? ?t )v? ? (M ? ?t ) g.......... ...(1) dt积分（1）式得 ( M ? ?t )v ? ( Mt ?1 2 ?t ) g ? c.......... ..( 2) 2ds 因 t=0 时 v=0,故 c=0 所以 v ? ? dt1 M 2g Mt ? ?t 2 1 Mg 2? .......... (3) 2 g ? gt ? ? M ? ?t 2 2? M ? ?t积分（3）式得 s ?1 2 Mg M 2g gt ? t? ln(M ? ?t ) ? c.......... (4) 4 2? 2?2M 2g 因 t=0 时 s=0,故 c ? ? ln M 2?21 2 Mg M 2g ? gt ? t? ln(1 ? t ) 这就是雨滴在 t 时间后所下落的距离 2 4 2? M 2? Mg M 2g ? 1 t? ln(1 ? t ) ? gt 2 说明雨滴在 t 时 2 2? M 2 2?所以 s ?讨论：由上式知 s ? gt 2 ?1 4间后所下落的距离小于自由落体在同等时间内下落的距离。 雨滴下落时其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，，试求雨滴下落 速度与时间的关系 解：以竖直向下为正方向，设起始时刻（t=0）雨滴半径为 a，某时 刻雨滴半径为 r，取自由落下的雨滴为主体，其质量为4 m ? ?V ? ? ?r 3 ? k1 r 3 ........( 1) ，速度为 v 3不断增加的水汽为变体， 质量为dm ? k ? 4?r 2 ? k 2 r 2 ........( 2) 速度为 u=0, dt作用于其的合外力为雨滴的重力 F合 ? mgdm dr ? 3k1r 2 .......... .(3) dt （1） 式对时间求导数得 dtdr k 2 ? ? ?.......... ..( 4) dt 3k1 （3）=（2）得积分（4）式得雨滴半径变化规律是 r ? ?t ? a所以主体质量为 m ? k1 (?t ? a) 3 合外力为 F合 ? k1 (?t ? a) 3 g 由密歇尔斯基方程vd dm d (mv ) ? u ? F合 得 k1 (?t ? a) 3 v ? k1 (?t ? a) 3 g dt dt dtt??积分 ?0 d ?k1 (?t ? a) 3 v? ? ?0 k1 (?t ? a) 3 gdt 得v? 1 ag a4g gt ? ? ? gt 4 4? 4? (?t ? a ) 3说明雨滴在 t 时间后所达到的速度小于自由落体在同等时间内达到 的速度 质量为m 的质点M , 如图10 -2 所示, 在Oxy平面内运动, 其运动方 程为: x=acoskt, y=bsin kt, 其中a , b , k 为正的常量, t 为时 间. 求作用于该质点上的力图10-2解此题为第一类问题. 其运动轨迹是椭圆 由x = acoskt, y = bsin kt 先求加速度 ?? = - ak2cos kt x 由运动微分方程得 Fx = m ?? = - m ak2coskt = - k2 m x xx2 y2 ? ?1 a2 b2?? = - bk sin kt y2Fy = m ?? = - bk2sin kt = - k2 m y y 或F = Fxi+Fyj = - k2mr 质量为m 的质点, 在力F = - m k2r作用下沿平面绕定点运动, 如图 10 -3 所示. 其中r是质点对O点的矢径, k为常数. 设t=0时x=l, y=0 , vx=0 , vy= v0, O为坐标原点. 求质点的运动方程和轨迹方程.图10-3解 此题属于第二类问题, 其直角坐标形式的微分方程为m?? ? Fx , m?? ? Fy x y其中Fx = - m k2 rcosφ= - m k2 x Fy = - m k2 rsinφ= - m k2 yy x 则其微分方程可改写为: ?? = - k2 x , ?? = - k2 y,其通解为 x = c1sin kt + c2 cos kt y = c3sin kt + c4cos kt? ? 初始条件t= 0时x=l, y=0 ,
y =vy=v0可求得其积分常数分别为c1 = 0 , c2 = l, c3 =v0/k, c4 =0 由此得运动方程为x = lcoskt, y =v0/ksin kt 其轨迹方程为 x2/l2 +k2 y2/v20= 1 匀质杆A B 的质量为49kg , 长2 m , 置于光滑水平面上, 如图12 -17 所示. 今有一水平力F 垂直作用于A 端, 大小为98N , 求此力作用的瞬时, 杆中点C 的加速度大小aC = ( 大小α=( 6rad/s22m/s2), 杆的角加速度 ) .), A端加速度大小aA =( 8m/s2图12-17 解 AB 杆作平面运动. 由平面运动微分方程可知 maC=F , JCα=AC〃F1 即49*aC = 98 , 12 ×49×22〃α=1×98因此可求得aC= 2m/s2 , α= 6rad/s2 又以C为基点可求得A 点加速度 aA=aC+AC〃α=8m/s2第三章刚体力学为了测定一半径为 0.5m 的飞轮的转动惯量，在飞轮上绕以软绳，挂一质量为 10kg 的重物。 测得重物从静止下落 2m 的时间为 16s。如果轴承中的摩擦力可以略去不计，则飞轮的转动 惯量为多大？解：重物从静止下落由h?1 2 2h 2 ? 2 at , 得 a ? 2 ? ? 0.015625 m / s 2 t 16 2又ma ? mg ? FT则 FT ? mg ? ma ? 10(9.8 ? 0.015625 ) ? 100 NJ? ? rFT , r? ? a由刚体转动方程J?r 2 FT 0.5 2 ? 100 ? ? 1600 N ? m a 0.0156253 0 0 ? ? ? 在直角坐标系中，三轴的单位矢为 i , j , k 。物体的惯量张量为 I ? N 0 2 ? 1 。设一转轴通 0 ?1 1过上述直角坐标系原点，方向为 ?? 3? 6 ?? j? k ? ，那么物体对于该轴的转动惯量是多少？ ? 3 3 ? ? ?解：由于 n ? ?i ? ?j ? ?k ? 0 ?????3? 6 ? j? k 3 3于是物体对于该轴的转动惯量为? ? 3 0 0 ? ? 3 6? ? ? I ? ? ? 0, ? 3 , 3 ? ? N 0 2 ?1 ? ? ? ? 0 ?1 1 ? ? ?? ? 0 ? 3? 2 ? 2? 2 N 3 ? 3 6? ? 3 ???匀质圆盘，半径为 a ，放在粗糙水平桌上，绕通过其中心的竖直轴转动，开始时的角速度为 ? 0 。 已知圆盘与桌面的摩擦系数为 ? ，问经过多长时间后盘将静止？? ? 解：当角速度 ? 为常数时，则有 ? ? ? 0 ? ?t ；当末角速度为零时， 。则有 t ? ??0 ????1? ? ?? （注意， ? ?0 ，并非 t 为负值） 。作用于圆盘的反力矩的大小为L ? ? r ? ? ?dm?g ? ? r? ?? ? rd? ? dr ?g由题意，圆盘的面密度为 ? ?m ，代入上式 ?a 2a a2 2 ? m ? 2? ? m ? L ? ?g ? 2 ? ? d? ? r 2 dr ? ?g ? 2 ? ? 2? ? ? ?gam??? ?2? 0 3 3 ? ?a ? 0 ? ?a ?? 定轴转动的动力学方程为 I? ? L ??? ?3?将（2） （4）代入（3）得 ???已知圆盘的转动惯量为 I ?1 ma 2 ????4? 22 4?g ?1 ?? ? ma 2 ?? ? ? ?gam 于是得 ? ? ? ????5? 3 3a ?2 ?代（5）入（1）得 t ?3? 0 a 4?g一块正方形薄板的边长为 l ,质量为 m，求在其中心的惯量张量，已知 z 轴垂直于板面， x 与 y 轴 平行于两边。 解：由于薄板的坐标 z ? 0 ，所以惯量积 I yz ? I zx ? 0 ，又由于薄板相对于平面 oxz, oyz 对称， 所以惯量积 I xy ? 0 薄板相对于 x 轴的转动惯量为I xx ? ?? y 2 ? z 2 dm ? ? ?? y 2 dxdy ? ? ? y 2 dy?因 x 轴与 y 轴均为对称轴，所以 I yy ? 由垂直轴定理知 I zz ? I xx ? I yy ???l 2 l ? 2l 2 l ? 2? y3 ? 2 1 dx ? l? ? ? ? ml 2 ? 3 ? ? l 122l1 ml 2 121 2 ml 6?1 0 0 ? ? ? 1 ml 2 于是正方形薄板相对于中心的惯量张量为 I ? 0 1 0 ? ? 12 ?0 0 2 ? ? ?一端系于天花板顶上的绳子，在另一端系一半径为 r，重量为 p 的滑轮，求滑轮中心向下运动的 加速度和滑轮转动时的角加速度。 解：建坐标如图示 o 滑轮受力：重力 p，绳子张力 TP ??c ? P ? T ??? ?1? x g 建动力学方程式： 1P 2 ?? r ? ? Tr ??? ?2 ? 2g? ? 又由约束条件： r? ? x c?? x 即 r? ? ??c ?????3?1 P 3 2 解（1） （3）式得 ??c ? g （2） x 3 2g ? ?? ? 3r T?如图示，均质轮Ⅰ质量为 m1，半径为 r1 ，在 O1O2 的带动下沿半径为 r2 的固定轮Ⅱ作纯滚动。 杆 O1O2 为均质，质量为 m，长为 l （ l ? r1 ? r2 ） ，整个系统处于水平面内，O1、O2 处的摩擦不计，滚动摩阻不计，求：在杆 O1O2 上施加力矩 M，由静止开始，当 O1O2 杆转过 ? 角时杆的角速度和 角加速度。解：取杆 O1O2 及轮Ⅰ为研究对象。初动能 T1 ? 0 O1O2 杆转过 ? 角时，设杆的角速度为 ? ，轮Ⅰ的角速度为 ?1 则 系 统 的 动 能 为T2 ?1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 I O1O2 ? 2 ? m1vO1 ? I O1 ?1 ? ml 2? 2 ? m1vO1 ? (m1r1 )?1 2 2 2 6 2 2又 vO1 ? ?l ? ?1 r1 , ?1 ??lr1所以 T2 ?1 ? m 3m12 ? 2 2 ? ? ?? l 2? 3 2 ?作用于系统上的外力的功为 W ? M? 由动能定理 T2 ? T1 ? W 得1 ? m 3m1 ? 2 2 ? ? ?? l ? M? 2? 3 2 ???12 M? ( 2m ? 9m1 )l 212 M 1 ?1 ? 6M ? ? 2 ?? ? 2 ?2m ? 9m1 ?l 2 (2m ? 9m1 )l 21将 ? 、 ? 对 t 求导数得 ? ?、图示半径为 r、绕水平轴转动的圆轮 O，轮缘上绕一不可伸长的绳子。绳下端系一 物体 A，从静止开始以等加速度 a0 下落。求轮缘各点全加速度 a 与重物下降高度 h 的关 系。解：圆轮作定轴转动，重物 A 作直线平动。任一瞬时，轮缘上各点的速度大小与重物 下落速度相同；轮缘上各点的切线加速度大小等于重物的重力加速度。 依题意a? ?vdv vdv ? ? a0 ? C dt dyh积分 而 an ?? vdv ? ?00a0 dy 则 v 2 ? 2a0 hv2??2a 0 h r全加速度大小： a ?a? ? an22? 2a h ? ? 2h ? ? a0 ? ? 0 ? ? a0 1 ? ? ? ? r ? ? r ?ar an ? r 2h22方向： tan? a , a n ? ??? ?? ? ?图示半径为 R 的均质圆柱 A 缠以细绳，绳的 B 端固定，圆柱自静止下落，其轴心速 度为 v A ?2 。求圆柱 A 的运动方程。 3gh （h 为轴心至初始位置的距离） 3解：设圆柱质量为 m，绳的张力为 T。m??A ? mg ? T x y 由图可知圆柱作平面运动，其运动方程为 m?? A ? 0 ? I ?? ? TRA1 ? 2 3gh ,又 t=0 时，x ? 0, y ? 0,? ? 0 代入上 ? mR 2 ，x A ? R? ? A A 2 3 ? 2 g t ,? ? g t 2 , y ? 0, x ? 1 gt 2 式得 ? ? A A 3R 3R 3由于 I A ?均质圆柱体 A 的质量为 m，在外圆上绕以细绳，绳的一端 B 固定不动，如图 所示。当 BC 铅垂时圆柱下降，其初速为零。求当圆柱体的质心 A 降落了高度 h 时质心 A 的速度和绳子的张力。解： 先求质心 A 的速度， 设当圆柱体的质心 A 降落了高度 h 时质心 A 的速度为 v A 。 根据机械能守恒，以初始位置的重力势能为零，有3 2 mv A ? hmg ? 0 4（1）解得vA ?2 3hg 3下面求绳子的张力。为此先求质心 A 的加速度， 将式（1）对时间求导，并注意到关系dh ? vA , dt dv A ? aA ， dt得dv 3 dh mv A A ? mg ? 0 2 dt dt?3 dv A ?g ?0 2 dt解得aA ?2 g 3取圆柱为研究对象，受力分析见右下图，在铅垂方向用质心运动定理ma A ? mg ? FT ? 1 FT ? mg ? ma A ? mg 3图示两物体重为 P 和 Q（P＜Q） ，用长为 l ，跨过半径为 r 为滑轮的绳连接，开始 时两物体的高度差为 h，不计轮与绳的质量。求静止释放后，两物体达到相同高度 时所需的时间。解：两物体的运动方程为Q P ?? ?? aQ ? Q ? T , a P ? T ? P g g?? ?? 又 aQ ? a P , hQ ?整理得： t ?1 1 ?? ?? aQ t 2 , hP ? a P t 2 , hQ ? hP ? h 2 2h P?Q ? g Q?P?图 示 折 杆 OAB ， 已 知 OA ? AB ? l ， ?OAB ? 120 ， O 与 固 定 铰 连 接 ， ? 、? 大小已知，转向如图所示。试求 AB 中点 C 的速度和加速度。解： 1°研究点 C。OAB 作定轴转动，可由定轴转动刚体的运动确定其上点 C 的速度和加速 度。 2°速度分析vc ? oc ? ?其中OC 2 ? OA 2 ? AC 2 ? 2 ? OA ? AC ? c o1s2 ?0l l 7 ? l 2 ? ( ) 2 ? 2 ? l ? sin30 ? ? l 2 2 2 4OC ? 7 l 2所以 方向如图所示vC ?3 l? 23° 加速度分析7 ? l? a c ? oc ? ? 2?7 2 ? l? a ? oc ? ? 2n c 2方向如图示。 图示机构，杆 AB 在 ? ? 45 时以匀速 u 作直线平动，试求在任意位置 (0 ? ? ? 45 )? ? ?时，杆 OD 的角速度、角加速度。解：OD 作定轴转动，AB 作直线平动， ? 为杆 OD 的转角。 1°研究系统。 取 由题意知杆 OD的角速度 ? 转向如图示，并设出 ? 的转向。 2°运动速度分析。杆 AB 上点 A 的运动方程为y A ? l tg?? ?? v Ay ? y A ? l其速度、加速度为 由图示杆 AB 的速度知1 cos2 ?? ? v Ay ? u ? j ? ?ucos2 ? u l因此? ? ??? a Ay ? v Ay ? l2s i? n c o s ?3? ?2 ?l c o2 s ??? ? ?0根据图示 ? 、 ? 的 转向有? ? ?? ? ? ?? ， ? ? ?? ? ??所以cos2 ? ?? u l ，? ??u2 l2sin 2? ? cos2 ?计算结果说明， ? 的真实转向与图示所设相反。有一直角三角形薄板,两个直角边的连长分别为 a、b，试求该板的三个主转 动惯量和三个惯量积。 解：由于板的 z 坐标为零，故：惯量积 I zx ? I zy ? 0 三角形斜边的方程为 即： y ?x y ? ?1 a bb ?a ? x ? a在三角形薄板上取质量元 dm ? ?ds ?m 2m dx ? dy ? dx ? dy 1 ab ab 2a b (a? x) a 0所以主转动惯量：Ixx ? ? y dm ? ? y ? ? dx ? dy ? ? ? dx?2 2 0y ? dy ? ? ?2a01 dx ? y 3 3 12b (a? x) a 0又b3 ?? 3 3a m 2m ?? ? 1 ab ab 2?a0(a ? x) dx ? ?3? (a ? x) 3a 3 4?b 3 14 a 0??b 312 a 3a ?4?b 3 a2m 3 b a 1 所以有 Ixx ? ? ab ? mb 2 12 12 6?b 3 a同理：Iyy ? ? x 2 dm ? ? x 2 ? ? dx ? dy ? ? ? x 2 dx? a0 0ab(a? x)dy ? ? ? x 2 dx ? y0 a 0ab (a? x) a 0b a ?b 1 2 1 4 2 ?0 (a ? x) ? x ? dx ? a ? ( 3 ax ? 4 x ) a 1 由垂直轴定理得 Izz ? Ixx ? Iyy ? m(a 2 ? b 2 ) 6 ??惯量积??b a 312?1 ma 2 62m 2m 2m I xy ? ? xy ? dm ? ?? xy ? ab dx ? dy ? ab ? x ? dx? y ? dy ? ab ? x ? dx 0ab ?a ? x ? a? y ? dy ? 12 mab1三个质量都为 m 的质点用质量可以不计的刚体连结成正三角形，边长为 b。求（1）三个中心的 主转的惯量。（2）在任一个顶点的三个主转动惯量。（3）讨论中心主转惯量与任一点的主转惯 量之间的关系。（1）质心 C 在几何形心，轴 y 是对称轴，轴 z 是过质心 C 并与对称面 Cxy 相垂直，轴 x 与轴 y、z 正交。所以 Cx、Cy、Cz 是三个中心惯性主轴。（2）过任意顶点 A 的 Ax1 是对称轴，轴 Ax1 是过 A 点并与对称面 Ax1y1 相垂直，轴 y1 与轴 x1、y1 正交。所以 Ax1、Ay1、Az1 是过顶点 A 的三个惯性主轴。对应的三个主转动惯量是：（3）轴 Ax1 与 Cx 轴平行轴 Ay1 与 Cy 轴重合轴 Az1 与 Cz 轴平行 匀质长方形薄板的质量为 M，边长为 与 b。试求这板对图示板面内的惯性积 JZX计算半圆薄板对于 x 轴的转动惯量。（习题 3.8 题）求半径为 R，质量密度为 ? (r ) ? ? 0 (1 ? 球绕直径的回转半径 K，其中 ? 0 , ? 均为常数。?r 2R2) 的非均质圆解：取半径为 r→r+dr 的球壳做作质量元，它的质量 dm 和对直径 的转动惯量 dI 分别为：dm ? ? (r )4?r 2 dr ? ? 0 (1 ??r 2R2)4?r 2 dr ? 4?? 0 (r 2 ??r 4R2)dr球体对球心的转动惯量为 dI′=r2dm 而球体对任一直径的转动惯量为 I ? I ?2 3∴球体对直径的转动惯量 I 和总质量 m 分别为m??R0? 2 ?r 4 ? 5 ? 3? 4?? 0 ? r ? 2 ?dr ? 4?? 0 R 3 ? ? 15 R ? ?所以回转半径如图示，力 F=20KN，作用于 OA 杆的点，方向如图示，OA=2m，则力 F 对原点的力 矩为（20KN?m） 。解：将力正交分解Fx ? F cos 60 0 ? 10( KN ) Fy ? F sin 60 0 ? 10 3 ( KN )0 0则 M O ( F ) ? M O ( Fx ) ? M O ( Fy ) ? ? Fx OA sin 30 ? Fy OA cos 30 ? 20 ( KN ? m) 沿图示长方体三个互不相交且互不平行的棱边分别作用着力 F1 、F2 和 F3 ， 它们的大小均等 于 F ，当它们能简化为一合力时，长方体的长、宽、高的尺寸 a、b、c 之间的关系如何？ 解 1) 建立图示直角坐标系 oxyz????? ? ? ? ? ? F1 ? Fi , F2 ? Fj , F3 ? Fk 2)于是力系的主矢为3 ? ? ? ? ? R ? ? Fi ? Fi ? Fj ? Fk i ?13) 取点 O 为简化中心，各力对点 O 的矩为? ? ? ? ? mO ( F1 ) ? 0 , mO ( F2 ) ? ? Fci于是力系对点 O 的主矩为,? ? ? ? mO ( F3 ) ? Fbi ? Faj3 ? ? ? ? ? M O ? ? mO ( Fi ) ? ( Fb ? Fc)i ? Faj i ?14) 显然 R ? 0, M O ? 0 ，因此，该力系要简化为一个合力，则必须 R ? M O ? 0 ，即??? ?F ( Fb ? Fc) ? F (? Fa) ? 0于是有a ? b?c半经为 r 的光滑半球形碗， 固定在水平面上， 一均质棒斜靠在碗缘， 一端在碗内，4?c 2 ? 2r 2 ? 一端在碗外，在碗内的长度为 c，试证明棒的全长为： l ? c解：如图示，均质棒受到碗的弹力分别为 N1 , N 2 ，设棒自身重力为 G，棒与水平方向的夹 角为 ? ，棒的长度为 l 。由于棒处于平衡状态，根据力系平衡条件有R X ? N 1 c o s ? ? N 2 s i n ? 0 ?? (1) 2 ? RY ? N 1 s i n ? ? N 2 c o ? ? G ? 0 ?? (2) 2 s l M Az ? N 2 ? c ? G ? c o ? ? 0 ?? (3) s 22c(2 cos2 ? ? 1) ?? (4) 由（1） （3）得 l ? （2） cos2 ?又由于2r cos ? c 即 cos? ?4?c 2 ? 2r 2 ? cc ??(5) 2r将（5）代入（4）得 l ?长为 2 l 的均质棒， 一端抵在光滑墙上， 而棒身则如图示斜靠在与墙相距为 d (d ? l cos? ) 的 光滑棱角上，求棒在平衡时与水平面所成的角 ?解：如图示，均质棒受力为光滑墙、光滑棱角的弹力 N1 , N 2 ，及棒自身重力 G，由于棒处R y ? N 2 cos? ? G ? 0?? (1)于平衡状态，根据力系平衡条件有M z ? N2d 2l ? G cos? ? 0?? (2) cos? 2由（1） （2）得 cos ? ?3d l所以 ? ? arccos( ) 3 一根均匀的棍子。重为 P，长为长为 2 l ，今将其一端置于粗糙地面上，又以其上的 C 点靠 在墙上，墙离地面的高度为 h，当棍子与地面的角度 ? 为最小值 ? 0 时，棍子在上述位置仍 处于平衡状态，求棍与地面的摩擦系数。d l1解：如图示棍子受力为：重力 P，C 点上的作用力 N1，A 点上的作用力 N2，摩擦力 f 建坐标如图示 由于棍子处于平衡状态，根据力系平衡条件有R x ? N 1 cos(90 0 ? ? 0 ) ? f ? 0 ??? (1) R y ? N 1 sin(90 0 ? ? 0 ) ? N 2 ? P ? 0 ?? (2)对 A 而言有 M z ? Pl cos? 0 ? N 1 由（3）得 N1 ? Ph ? 0?? (3) sin ? 0l sin ? 0 cos? 0 h l 2 由（1）得 f ? N1 sin ? 0 ? P sin ? 0 cos? 0 h l 2 由（2）得 N 2 ? P ? N1 cos? 0 ? P ? P sin ? 0 cos ? 0 h所以 ? ?l sin 2 ? 0 cos? 0 f ? N 2 h ? l sin ? 0 cos2 ? 0矩形均质薄片 ABCD，边长为 a 与 b，重为 mg， 绕竖直轴 AB 以初角速 ? 0 转动，此时薄 片的每一部分都受到空气的阻力， 其方向垂直于薄片的平面， 其量值与面积及速度平方成正 比，比例系数为 k，问经过多长时间，薄片的角速度减为初角速的一半。解：建坐标系 0xyz 与薄片固连，z 轴为转轴。dJ z ? M z ?? (1) 则沿 z 轴方向有 dt J Z ? I z ??z在薄片上取质量元面积为 ds ? a ? dy ，该区域受到的阻力为df ? k ? ds ? v 2 ? kady(? z y) 2df 对 z 轴的力矩为 dM z ? ?df ? y ? ?ka? z2 y 3 dy所以 M z ??a0dM z ? ?ka 3b 2 ? z ??(2) 4又薄片对 z 轴的转动惯量为 I z ??a0a 1 y 2 dm ? ? y 2 ?bdy ? mab(m ? ?ab) ??(3) 0 3? 由（1） （3）得 ? z ? （2）Mz 3k a2 b 2 ?? ?z Iz 4m? 4m 20 d? z 积分 ? dt ? ? 得 0 3k a2 b ??0 ? z2td? z 3ka2 b 2 ? ?? ?z 而?z ? dt 4mt? 4m 3k a2 b?0均匀长方形薄片的边长为 a 与 b，质量为 m，求此长方形薄片绕其对角线转动时的转动 惯量。 解：用主轴坐标系求解，建主轴坐标系如图示设薄片质量密度为 ? ，厚度为 t。 由转轴公式得 I ? I 1? ? I 2 ?2 2由图知 I 1 ??b 2 b ? 21 y ?t (ady) ? ?tab3 122I 2 ? ? x 2 ?t (bdx) ?a 2 a ? 21 ?ta 3 b 12又 ? ? cos? ? 所以有a a2 ? b2， ? ? sin ? ?b a2 ? b2I ? I 1? 2 ? I 2 ? 2 ?1 a2 1 b2 1 a 2b 2 ?tab3 ? 2 ? ?ta 3b 2 ? ?tab 2 12 a ? b 2 12 a ? b2 6 a ? b2 1 a 2b 2 m 2 6 a ? b2而 m ? ?tab故I ?3. 如图12-12所示, 二轮均重G , 半径均为r, 转动惯量JO相等, Ⅰ 轮上绳端作用一力P , Ⅱ 轮上绳端挂一重为P的重物. 试求两轮的角加速度及铰链支撑O 的铅垂反力.图12-12解 轮Ⅰ, 应用刚体定轴转动微分方程求αJ o? 1 ? rP, ? 1 ?rP Jo用质心运动定理求反力, aO = 0 即 0 = G + P - FOy , FOy = G +P轮Ⅱ , 应用对O 轴的动量矩定理求α 2Lo ??P ? P rv ? J o? 2 ? ? r 2 ? J o ?? 2 g ?g ??P 2 ? dLo ? ? M o ?F ? ? g r ? J o ?? 2 ? rP, ? Σ M O ( F ) = rP 代入 dt 中得 ??2 ?得rP P Jo ? r2 gPy ? ? P v g应用动量定理求约束反力 Σ F(e )y = - ( P + G ) + F O ydp y由 dt? ? Fy?e ?Foy ? P ? G ??得P a ? ??P ? G ? ? Foy g故得P a g , 式中 a ? r? 2单摆是一种理想模型，实际物体绕某轴（悬挂点 0)的摆动并不严格 符合单摆的条件，实际是复摆，如图 3.6.2，物体绕过 O 点的轴，因 重力作用而摆动，设刚体对 O 轴的转动惯量为 I0，质心为 C，对质心 转动惯量 IC，OC=a。（1）求复摆的周期解：刚体只受重力作用，重力对轴 O 的力矩 设对 O 的回转半径为 K0，则 I0=mK2 由定轴转动的动力学方程 ，有当摆角θ很小时，sinθ≈θ：可得 ，令，得到振动周期 （2）、求悬点的反作用力 R 的 x，y 分量 Rx，Ry 解：由质心运动定理，有 将它投影于 ox，oy 方向，得到 ， （A）注意到：xc=asinθ，yc=acosθ 求导数： ， 由机械能守恒，有 ， （B） （C）求出 另由（1）的解（D） （E）将（B）、（C）、（D）、（E）一起代入（A），解出半径为 R 的圆轮沿直线滚而不滑的运动， 轮心的速度为 （常量） (见 图 3.7.4）。求：（1）瞬心曲线；（2）角速度；（3）轮心和接触点的加速度； （4）轮上任一点的速度、加速度。 解：（1）接触点速度为零，故为瞬心，显然，运动时，定瞬心曲 线为直线，方程为：yC=0。动瞬心曲线为圆周，方程为 rC=R； （2）由 v0=ω×AC，且ω⊥AC，∴v0=ωAC，∴ω= v0/AC= v0/R=常 量（方向垂直纸面向内） （3）取轮心 A 为基点，由，轮心加速度 所以 ，，又ω=常量，∴接触点 C 的加速度 向为指向圆心。，大小为，方（4）轮缘上任一点 P 的速度 VP 和加速度 aP，（方向如图）∴（方向如图）将代入得 ，方向由 P 点指向 A 点。，大小为圆柱体半径、质量 m，滚而不滑地下滚（见图 3.7.5）。求质心的速度、约束反力 N、摩擦力 f。 方法一：用机械能守恒求。刚体的动能为： 势能为： 约束方程为：（k 为回转半径） （取静止时的位置为零势能的位置） （滚而不滑条件）由以上三式求得质心加速度为：（用此方法求不出 N 和 f） 方法二：解微分方程的方法 由质心运动定理： 和对质心的角动量定理： 其中： （1） （2） 约束方程： （3）以及将（1）投影于x，y方向，解（1）、（2）、（3）求出（附注：分别将圆柱体、球体、球壳、圆盘等的回转半径的值代入 上述结果，就可以得到相同质量、相同半径的这几种刚体的相应值， 请读者自己具体计算并从中总结出一些规律。 滚子质量m , 外轮半径为R , 滚子的鼓轮半径为r, 回转半径为ρ, 放在粗糙的水平面上( 不打滑) , 鼓轮上绕有细绳, 细绳拉力F , 与 水平面夹角为α, 如图12 -20(a) 所示. 试求滚子所受的摩擦力和 角加速度.图12-20解 滚子作平面运动, 其受力分析如图12 -20( b) 所示. 外力分别 为F, mg , FN , Fs .其刚体平面运动微分方程为x m ??c = Fcosα-Fs y m ??c = - mg+FNCFsinαJCα=Fs*R C F*rx 因不打滑, 故有 ??c =Rα, 再联立第一个和第三个方程, 可解得FS ? F cos? ? FS F ? 2 cos? ? Rr ,? ? 2 2 mR ? ?R??y 由第二个方程可求得FN=mg+Fsinα( 因 ??c = 0 )图13 -3 所示, 圆盘半径 =0.5m , 可绕水平轴O转动. 在绕过圆盘的 绳上另有两物块A、B , 质量分别为mA = 3kg , mB = 2kg . 绳与盘之 间无相对滑动. 在圆盘上作用一力偶, 力偶矩按M = 4φ 的规律变化. 求由φ = 0 到φ = 2π时, 力偶M 与物块A , B 之重力所作的功之 和图13-3解 此例既有重力作功又有作用于定轴转动刚体上力偶的功. A重力作正功, B重力作负功, M作正功, 它们分别是 WA=2πrmAg , WB=-2πrmBgWM ? ? Md? ? ? 4?d? ? 2? 20 0 2? 2? 2? 0? 8? 2总功为 W= WA+WB+WM=109.7J一匀质的圆柱重 W ，半径为 r ，无初速地放在倾角为 ? 的斜面上，不计滚动阻力，求其质 心 C 的加速度。解：滚动物体在斜面上的运动情况，根据接触处的光滑而有所不同。下面分三种情况讨论： （1） 接触处是理想光滑的，斜面对滚动物体的约束力与斜面垂直而通过物体的质心 C ， 这种情况下，物体上的作用力对质心的主矩等于零。因此，它只能在斜面上滑下而 不发生滚动。此时，可以把物体作为质点处理而求得其平动加速度为 g ? sin ? 。 （2） 设接触处相当粗糙，就是说有足够大的摩擦阻力来阻止接触点 A 的相对滑动。在此 情况下，滚动物体在斜面上作纯滚动，其摩擦阻力 F 小于其极限值 Fm 。 取 x、y 轴如图所示，列出动力学方程，有ma cx ? ? Fx　 　　　　　 　　　　ma c ? W sin ? ? F ? ma cy ? ? Fy 　　　　　 　　　　　 N ? W ? c o ? ? 0? sI c? ? ? mc ( F )　　　　 　　　　I c ? ? Fr ??此外，由运动学知，作纯滚动时， a c ? r? 。于是得：ac ?W sin ? I (m ? c ) r22令 ? c 为滚动物体对于其质心 C 的回转半径，则 I c ? m? c ，? 　ac ?g ? sin ? 1? (?cr)2F?同时得到：I c ac W S ?n i ? 2 r r 1 ? ( )2?c由于物体作纯滚动， F ? Fm，而Fm ? fN ? fW cos? ，所以fW cos? ?W sin ? tg? 　　 　　f ? ? r r 1 ? ( )2 1 ? ( )2?c?c上述关系式给出了滚动物体在斜面上作纯滚动的条件。 （3）设接触处的摩擦系数并不满足上述条件，即当f ?tg? r 1 ? ( )2?c时，则物体在斜面上不能保持纯滚动而将连滚带滑地运动。在这个情况下，将不存在 a c ? r? 这个关系式，但是，满足另一关系式 F ? fN 。与动力学方程联立， 可以求得：??Fr fNr fWr cos? frg cos? ? ? ? Ic Ic Ic ?c 21 1 (W sin ? ? F ) ? (W sin ? ? fW cos? ) ? g (sin ? ? f cos? ) m mac ?水平梁 AB 的 A 端固定，B 端与直角弯杆 BEDC 用铰链相连，定滑轮半径 R = 20cm， = DE = 100cm， = BE = 75cm， CD AC 不计各构件自重， 重物重 P=10kN，求 C,A 处的约束力。 （20 分）1、以 BEC 定滑轮与重物为研究对象，受力图如图（a）由ΣM B(F ) ? 0 ， P ? ( DE-R)-FT ( BE-R)-FC ? CE ? 0解得FC = 1.25kN2、以整体为研究对象，受力图如图（b）由ΣFx ? 0 ， FAx ? FT ? 0Σ F y 0 ， FAy ? Fc ? P ? 0 ??M A ( F ) ? 0 ， M A ? FT ( BE ? R) ? P(CD ? R) ? 0解得FAx = 10 kN，FAy = 8.75 kN ，M A = 17.5 kN?m半径为R的圆轮可绕O轴转动, 其上绕有绳索, 绳索的一端挂有重物, 如图4 14所示。已知重物按 s ? Ct 2 的规律运动。求轮缘上一点M的加 速度1 2图4 14解: M 点的轨迹是半径为R 的圆周, 是已知的, 故可用自然法。设以 初始位置为原点, 运动的方向为弧的正向, 则M沿圆周运动的弧坐标 显然与重物下降的距离相同, 故沿圆周的运动规律也是 速度为v? ds ? Ct dt a? ? s? 1 2 Ct 2方向沿切线, 指向弧的正向dv ?C dtv2切向加速度为法向加速度为an ???Ct ?2 ?R加速度大小2 a ? a?2 ? a n ?C R 2 ? Ct 4 R加速度方向 tan ? ?a? R ? 2 a n Ct第四章相对论（非惯性系）42、在一光滑水平直管中有一质量为 m 的小球，此管以匀角速度 ? 绕过其一端的竖直轴转 动。如开始时球距转动轴的距离为 a，球相对于管的速率为零，而管的长为 2a。求小球刚要离开 管口时的相对速度与绝对速度。并求小球从开始运动到离开管口所用的时间。 解：取 ox 轴固连于水平直管，o 点在转轴上，x 轴正方向为由转动中心指向管口。小球受到 的牵连惯性力的方向与 x 轴正方向相同，该力的大小为 mx? 。于是小球在非惯性系中 x 轴方向2的动力学方程为m?? ? mx? 2 x? x2 ? d? ? 2 ? ? ? x2 ? ? ? 2d? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?积分上式改写为?vr0? x2 ? d? ? 2 ?2 2a ? x ? ? ? ? d? ? a ? 2 ? ?? ? ? ?得小球的相对速度v r ? 3a? 方向为沿 x 轴正方向又小球的牵连速度为管子作圆周运动的线速度即 ve ? r? ? 2a? 方向为垂直于 x 轴正方向 所以得质点到达管口时的绝对速度（大小）为v ? ve ? v r ?2 2?2a? ?2 ? ?而 ?? ? x ? x ?23a??2? 7a?由于 ?? ? x? x2? dx dx? ? 所以有 xdx ? ? xdx积分 积分??? x0? ? ? xdx ? ? ? 2 xdx 得 x 2 ? ? 2 ( x 2 ? a 2 )ax? x ? ? x2 ? a2dx x ?a2 2a? ? ? dt 得 t ?0t1?l n 2 ? 3) (43、在一光滑水平直管中有一质量为 m 的小球，此管以匀角速度 ? 绕过其一端的竖直轴转 动。如开始时球距转动轴的距离为 a，球相对于管的速率为零。求小球沿管的运动规律及管对小 球的约束力。 y o m xz 解：取 ox 轴固连于水平直管，o 点在转轴上，x 轴正方向为由转动中心指向管口，y 轴竖直向上并垂直于管子，z 轴水平向前亦垂直于管子。? 设小球在某一瞬时到达 P 点，与原点的距离为 x，则速度（相对速度）为 vr ? x小球受到的主动力为：重力 mg ，方向竖直向下， 管子的约束力 R y ，方向竖直向上， R z 方向与 z 轴正方向相反 小球受到的牵连惯性力的方向与 x 轴正方向相同，该力的大小为 mx?2? 小球受到的科氏惯性力的方向与 z 轴正方向相同，该力的大小为 2m?xm?? ? mx? 2 ???? ?1? x y 由非惯性系的动力学方程可得 m?? ? R y ? mg ? 0 ??? ?2 ?? m?? ? 2m?x ? R z ? 0 ??? ?3? z（1）式的通解为 x ? Ae?t? Be ??t ?????4? ? B?e ??t ????5?? （4）式积分得 x ? A?e?t? 将初始条件 t ? 0, x ? a, x ? 0 代入出境（4） （5）得 A ? B ?故小球的运动规律为 x ?a ?t e ? e ??t 22????ta 2? 由（2） （3）得 R y ? mg , R z ? 2m?x ? m? a e? e ??t ?一轮的半径为 r，以匀速 v 0 无滑动地沿一直线滚动，求轮缘上任一点的速度及加速度。又最 高点和最低点的速度和加速度各是多少。哪一点是转动瞬心。解：如图示建立坐标系 oxyz，由于球作无滑滚动，球与地面接触点 A 的速度为零，所以 A 点为转动瞬心。以 O 为基点，设球的角速度为 ? ? ??k ，则??? ? ? v A ? v0 ? ? ? OA ? v0 i ? ? ? k ? ? r j ? ?v0 ? r? ?i ? 0设轮缘上任一点 P， OP 与 x 轴的夹角为 ? ，则 OP ? r cos?i ? r sin ?j??? ?????故 v P ? v0 ? ? ? OP ? v0 i ? ? ? k ? r cos?i ? r sin ? j ? ?v0 ? r? sin ? ?i ? r? cos?j???????vP ??v0 ? r? s i n ?2 ? ?? r? c o ? ?2 ? s? v 0 2?1 ? s i n ? ?? ? ? ? ? ? ? d? a P ? a0 ? ? OP ? ? ? ? ? OP ? ? ? ? ? OP ? ?? 2 OP 而加速度为 dt ? ? ? ? 2 ? ?r? cos?i ? r? 2 sin ?j ? ?r? 2 ?cos?i ? sin ?j ?????当 ? ? 90 时为最高点，其速度和加速度分别为0? ? ? ? vtop ? v0 ? r? sin 90 0 i ? r? cos 90 0 j ? ?v0 ? r? ?i ? 2v0 i??? ? ? ? atop ? ?r? 2 ?cos 90 0 i ? sin 90 0 j ? ? ?r? 2 j当 ? ? ?90 时为最高点，其速度和加速度分别为0? ? ? vbottom ? ?v0 ? r? sin(?90 0 ) ?i ? r? cos(?90 0 ) j ? ?v0 ? r? ?i ? 0? ? ? ? abottom ? ?r? 2 cos(?90 0 )i ? sin(?90 0 ) j ? r? 2 j??一直线以匀角速 ? 在一固定平面内绕其一端 O 转动，当直线位于 OX 的位置时，有一质点 P 开始从 O 点沿该直线运动，如欲使此点的绝对速度 v 的量值为常数，问此点应按何种规律 运动。解：如图示以 OX 为极轴，直线转动的方向为极角建立极坐标系，OZ 轴垂直纸面向外，设? P 点的相对速度为 v ? ? rer ，故 P 点的绝对速度为? ? ? ? ? ? ? ? ? ? v ? v ? ? ? ? OP ? rer ? ?k ? rer ? rer ? ?re???? 设 P 点的绝对速度的量值为 v ，则有 r ? ? r ? v2 2 222 ?r ? 上式两边对时间求导数得 2r ?? ? ? r ? 0 由题意知 r ? 0??所以有 ?? ? ? r ? 0 r2其通解为 r ? A cos?t ? B sin ?t? 当 t ? 0 时有 r ? 0, r ? v 代入上式得 A ? 0, B ?故运动规律为 r ?v?v?sin ?t如题图5 1 所示, 细直管长OA=l , 以匀角速度ω绕固定轴O 转动。 管内有一小球M, 沿管道以速度v 向外运动。设在小球离开管道的瞬 时v=lω, 求这时小球M 的绝对速度。答: va = 2 lω, ∠( va , i) = 45°题图5 1如题６-１０图所示，点沿空间曲线运动，在点M 处其速度为 v＝４i＋３j，加速度a 与速度v 的夹角β＝３０°，且a＝１０ ｍ ／ｓ２。求轨迹在该点密切面内的曲率半径ρ 和切向加速度aｔ。 解 在密切面内，点M 的速度和加速度方向如题６-１０ 图所 示。因aｎ/aｔ ＝ ｔａｎ３０°＝ ３３ ， a２ ＝ aｎ２ ＋ aｔ２ 所以由以上两式可得 aｔ ＝ ５ ３ ｍ／ｓ２ ＝ ８． ６６０ ｍ／ｓ２ ， aｎ ＝ ５ ｍ ／ｓ２ 因已知点M 处的速度为v＝４i＋３j，所以，点M 处的速度大小为 v ＝ ３２ ＋ ４２ ｍ／ｓ２ ＝ ５ ｍ／ｓ２ 由上式和aｎ＝v２ ρ 可得点M 的轨迹在该点密切面内的曲率半径为 ρ ＝ v２ aｎ ＝ ２５５ ｍ ＝ ５ ｍ 等腰直角三角形 OAB，以匀角速ω绕点 O 转动，质点 P 以相对速度沿 AB 边运动。三角形转一周时，P 点走过 AB。求 P 质点在 A 点之速度、加速度（已知 AB=b） 解：（1）相对动系（直角三角形）的速度vr=b/T=b/（2π/ω）=bω/2π（方向 A 点的牵连速度） ）（方向垂直由 V=Vr+Ve ，利用矢量合成法则，得到（2）加速度 又匀角速转动，所以角加速 牵连加速度 科氏加速度， 因匀速，所以相对加速度α'=0，大小 注意到，方向沿 ，所以其大小方向与 AB 边垂直（见图 4.1.1）由，利用矢量合成法则则得到：与斜边的夹角 小环套在光滑圆圈上，而圆圈在水平面内以匀角速ω绕圆圈上某点 o 并垂直於圆圈平面的轴转动。求小环沿圆圈切线方向的运动方程。解：如图 4.3.1，取圆圈为动系，小环为运动物体。对动系而言， 小环受力有： 重力 mg 和圆圈对环的支持力 N（方向垂直于环面），两者平衡， 环受圆圈反作用力 （方向沿 cp 方向），环的相对速度 方向如图（沿 P 点切线），则科氏力 pc 方向），大小为 心力 , 大小为，其方向指向圆心 C（沿 因圆圈作匀角速转动，故只有惯性离 ， 方向沿 op 方向，所以质点的运动方程为：取动系的切线方向，其方程为：（1） 利用 代入（1）式，得到：同除 ma，得到运动方程：在图示平面机构中，已知：O1A 杆的角速度 ω = 2rad/s，? = 0，O1A = O2B = R = 25cm，EF = 4R，O1A 与 O2B 始终平行。当 ? = 60°时，FG 水平，EF 铅直， 且滑块 D 在 EF 的中点。轮的半径为 R，沿水平面做纯滚动，轮心为 G。求该瞬 时，轮心的速度 vG 与速度 ? G 。轮的角度 ? G 与角加速度 ? G 。 （20 分）解：先进行速度分析，ABD 杆作平移 ? D ? ? A ，? D ? ? A ，以套管 D 为动点， EF 杆为运动参考体，由点的速度合成定理?a ? ?e ? ?r大小 方向?R√？ ？√ √与速度平行四边形，如图得?r ?3 ?R 2? e ? ?R从而得1 2? EF ??eDE?3 ? =0.866 4rad/s? F ? ? EF ? EF ? 3?RFG 杆作瞬时平移， ? G ? ? F 得，?G ?再进行加速度分析?GR? 2 3 =3.464rad/s动点、动系选取同速度分析，由点的加速度合成定理a a ? a et? a en? ar? ac大小 方向? 2R ?√ √2 ? EF ? EF ?2? EF ? ? r√√√与加速度示意图，如图，将上式向η 轴投影，得t ? a a cos 60 ? ? ae ? ac解得? EF ?进而得t aeEF= 0.366 rad/s2t a F ? ? EF ? EF =0.732rn/s2FG 杆作平面运动，以 F 点为基点，由加速度基点法t n t n aG ? a F ? a F ? a FG ? a FG与加速度示意图，将上式向η 轴投影，得t n aG ? a F ? a FG =0.134m/s2从而得?G ?aG =0.536 Rrad/s2
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