函数极限的反问题的解法例探--《数学学习与研究》2012年03期
函数极限的反问题的解法例探
【摘要】：函数极限的反问题是一类常见题型,可按照正常计算极限的方法逐步推出题目所要求的内容.L'Hospital法则也是求函数极限的方法之一.本文从归类着手,寻求解决此类问题的有效方法.
【作者单位】：
【分类号】：G634.6【正文快照】：
一、函数极限的反问题如果已知函数的极限值,而函数表达式中含有待定的常数,要求把待定常数定出来.我们把这类问题叫作极限的反问题.这类问题的解法,主要涉及对极限概念的理解.解这类题目的一般常用方法是:按正常计算极限的方法计算带有极限号的式子,然后根据这个式子等于的数
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400-819-9993求函数极限时应注意的一些问题_中华文本库
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求函数极限时应注意的一些问题
安徽科技学院理学院
［摘要］函数极限是高等数学的基本内容之一，也是解决其他问题的基础。结合教学实践，文章讨论了求函数极限时应注意的一些
问题。［关键词］函数极限计算方法技巧函数极限是高等数学中的一个基本概念，极限思想贯穿于整个高等数学的课程之中。函数极限的计算是极限思想的基础，由于题型多变，因此计算方法灵活，技巧性较强。求函数极限的常用方法有很多，但是在求函数极限的计算过程中，若对求函数极限的一些公式的本质特
深刻的认识，就会出现错误。本征和法则的条件及计算方法缺乏全面、
文对常见的一些问题做了讨论。
１．利用四则运算法则求函数极限时应注意的问题对和、差、积、商形式的函数求极限，很容易想到利用函数极限的四
但为了运用它，有时需要先对则运算法则。该法则本身虽然比较简单，
函数进行化简或做某些恒等变形。具体采用什么样的化简或变形方法，
通分、因式分要依具体的函数表达式确定，常用的一些方法有：约分、
解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、一些求和或求积公式以及采用适当的变量代换等。
四则运算中每个部分函数本身的极限都存在是前提，如果不满足
ｉｍ（２－４）这个前提条件，四则运算法则就不能用。例如求ｌ。
ｘ→１ｉｍ４不存ｉｍ２和ｌ该极限从形式上看是函数差的极限，但ｌ
ｘ→１ｘ→１在，故不能运用四则运算法则，应先对函数进行恒等变形，可得：原式＝ｌｉｍ２ｘ－２ｉｍ－２＝－１。＝ｌｘ→１ｘ→１函数和与积的极限运算法则只可推广到有限项。当求无限项和或积的极限时，不能直接运用函数极限的四则运算法则，必须先求和或积，然后再求极限。
（ｘ），ｉｍｆ若ｌ对于有理分式ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ０），只要ｇ（ｘ０）≠０，就可以运用商的ｘ→ｘ
（ｘ）＝ｆ（ｘ）时，（ｘ０）。若ｇ（ｉｍｆｉｍｆｘ０）＝０且ｆ（ｘ０）＝０，则求ｌ极限的运算法则得ｌ
０ｘ→ｘｘ→ｘ＝０但ｆ（ｘ０）≠０，可先求先消去分子与分母的公因子，然后求极限；若ｇ（ｘ０）
ｘ）＝０，（ｘ）＝∞。ｉｍｆｌｉｍｇ（根据无穷小与无穷大的关系，得ｌ（ｘ）ｘ）ｘ→ｘｆｘ→ｘｇ（２．利用两个重要极限求函数极限时应注意的问题
３．利用等价无穷小替换求函数极限时应注意的问题
利用等价无穷小替换来求函数的极限，首先要掌握一些等价无穷小，常用的有：当ｘ→０时，ｘ￣ｓｉｎｘ￣ｔａｎｘ￣ａｒｃｔａｎｘ￣ａｒｃｓｉｎｘ￣ｌｎ（１＋ｘ）￣ｅｘ－１，
等。（１＋ｘ）－１￣ａｘ（ａ≠０），１－ｃｏｓｘ￣ｘ，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用其等价无穷小来
等价无穷小替换通常只在积商运算代替，以简化计算。需要注意的是，
中进行，和或差中的项一般不能用其等价无穷小替换。
ａｎｘ－ｓｉｎｘ，如果将分子分母中的ｔｉｍｔａｎｘ和ｓｉｎｘ都用其等价如求ｌ
ｓｉｎ３ｘｘ→０
ａｎｘ－ｓｉｎｘ＝ｌｌｉｍｔｉｍｘ－ｘ无穷小ｘ替换，则会导致错误结果，＝０。ｘ→０ｘ→０由于分子中的ｔａｎｘ与ｓｉｎｘ是差中的项，故不能用ｘ来代换。正确求
ａｎｘ－ｓｉｎｘ＝ｌｎｘ（１－ｃｏｓｘ）＝ｌ１－ｃｏｓｘ）＝ｌｌｉｍｔｉｍｓｉｉｍｘ（ｉｍ解该极限的方法为：
ｘ→０ｘ→０ｘ→０ｘ→０
ｘ·ｘ２＝ｌ１＝１。ｉｍ
２ｘ３ｃｏｓｘｘ→０２ｃｏｓｘ２
另外，还应注意及时化简函数表达式，以简化计算。如求函数极限［１］：
－姨ｌｉｍ姨ｘ→０－ｘｘ姨ｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌ
＋１）（ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ）（姨＋姨）ｘ（姨ｓｉｎ２ｘ＋１）ｓｉｎｘ（１－ｃｏｓｘ）（姨＋姨）ｘ３（姨ｃｏｓｘ＋１）ｘ３（姨＋姨）２ｘ３（姨ｃｏｓｘ＋１姨）＋姨ｃｏｓｘ２（姨ｘ→０
ｉｍ＝ｌｉｍ＝ｌ＝
ｎｘ＝１，ｘ
ｌｉｍｓｉｌｉｍ（ｉｍ（两个重要极限为：１＋１）＝ｅ或ｌ１＋ｘ）＝ｅ，更一
ｘ→０ｘ→∞ｘ→０
ｎＦ（ｘ）＝１，ｌＦ（ｘ）ｉｍ［ｌｉｍｓｉｉｍ［般的形式为：１＋１］＝ｅ或ｌ１＋Ｆ（ｘ）］＝ｅ。
Ｆ（ｘ）Ｆ（ｘ）Ｆ（ｘ）→０→∞→0
运用两个重要极限求函数极限时，关键是对所给的函数进行适当的恒等变形或进行变量代换，使之具有重要极限的形式，进而求出函数的极限。
ｎｘ，有不少同学看到这个题目就想到运用第一个重要ｉｍｓｉ如求ｌ
极限，极限为１。函数极限不仅与给定的函数有关，还与自变量的变化趋势有关，一定要注意第一个重要极限中自变量是趋于零的，但是所求极
要运限中自变量是趋于无穷的，故运用第一个重要极限来求是错误的。
ｎｘ＝ｌｉｍｓｉｉｍ１用有界函数与无穷小的乘积来求该极限，即ｌｓｉｎｘ＝０。ｘ→∞ｘ→∞１
（姨＋１）＝２＝１。
２（姨＋姨）ｃｏｓ０４２４．利用导数定义求函数极限时应注意的问题
当自变量增量趋于零时，求函数增量与自变量增量比值的极限
ｉｍ时，可运用导数的定义来求。要深刻理解ｆ（ｘ）在点ｘ０处导数的定义式ｌ
ｉｍ例如求ｌ
ｉｍ∞可化为ｌ∞，２ｘ＋３
１＋２ｉｍ而ｌ∞，
１·Ｆ（ｘ）·ｘ＋１
ｉｍ（令Ｆ（ｘ）＝２，则可运用第二个重要极限，原式ｌ１＋Ｆ（ｘ））
∞∞（１＋Ｆ（ｘ））
Ｆ（ｘ）·ｘ＋１
ｌｉｍ２ｘ＋２
ｆ（ｘ０＋ｈ）－ｆ（ｘ０）＝ｆ＇（ｘ０）。如求下面的函数极限：
ｎ（ｘ＋ｈ）－ｌｎ（ｘ－ｈ）＝ｌｎ（ｘ＋ｈ）－ｌｎｘ＋ｌｎｘ－ｌｎ（ｘ－ｈ）ｌｉｍｌｉｍｌ
ｈ→０ｈ→０
ｎ（ｘ＋ｈ）－ｌｎｘ＋ｌｎ（ｘ－ｈ）－ｌｎｘｉｍｌｉｍｌ＝ｌ
ｈ→０ｈ→０
ｎ（ｘ＋ｈ）－ｌｎ（ｘ－ｈ）＝２（ｌｉｍｌ根据导数的定义可得：ｌｎｘ）＇＝２。
５．利用洛必达法则求函数极限时应注意的问题
洛必达法则只能直接适用于０和∞型的未定式，且使用洛必达
法则前，必须检查极限是否为０型或∞型。对于其他形式的未定式，
可以通过恒等变形或取对数化为０型或∞型的未定式来计算。
若满足条件，洛必达法则可多次使用。连续使用时，每一步都要进行检查，若不是未定式，则停止使用该法则。此外，还应注意及时化简算式，最好能与其他求极限的方法结合使用，这样可以使运算简捷。
）洛比达法则虽然是求未定式的一种有效方法，（下转第４２６页
基金项目：本文系安徽科技学院教学研究项目（Ｘ２０１０５６）。
作者简介：仇海全（１９８２－），男，山东沂水人，硕士，研究方向：高等数学的教学与研究。
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b^x-1~xlnb,c^x-1~xlnc,(1/3)lim (a^x-1)/x+(b^x-1)/x+(c^x-1)x=(1/3)lim (lna+lnb+lnc)=(1/3)lim lnabc=(1/3）lnabc=ln(abc)^(1&#47a^x-1~xlna
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