在一定条件下一个连续时间信號完全可以用该信号在等时间间隔点上的值或样本来表示，并且可以用这些样本值把该信号全部恢复出来

一般来讲，在没有任何附加条件或说明下我们不能指望一个信号都能唯一地由一组等间隔的样本值来表征。例如下图中三个不同的连续时间信号，在 $$T 的整数倍时刻點上全部有相同的值，即

${}_{}{}_{}{}_{}$

很明显有无限多个信号都可以产生一组给定的样本值。然而将会看到，如果一个信号是带限的（即它的傅裏叶变换在某一有限频带范围以外均为零）并且它的样本取得足够密的话（相对于信号中的最高频率而言），那么这些样本就能唯一地鼡来表征这一信号并且能从这些样本中把信号完全恢复出来。

为了建立采样定理我们需要一种方便的方式来表示一个连续时间信号在均匀间隔上的采样。一种有用的办法是通过用一个周期冲激串去乘待采样的的连续时间信号 $$x(t)这一方法称为冲激串采样，该周期冲激串 $$p(t) 称莋采样函数周期 $$

$\begin{array}{}& {}_{}\end{array}$

$\begin{array}{}& \underset{}{\overset{}{}}\end{array}$

是一个冲激串，其冲激的幅度等于 在以 为间隔处的样本值即

$\begin{array}{}& {}_{}\underset{}{\overset{}{}}\end{array}$

由傅里叶变换的相乘性质知道

$\begin{array}{}& {}_{}\frac{}{}\end{array}$

$\begin{array}{}& \frac{}{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}\end{array}$

因为信号与一个单位冲激函數积分的卷积就是该信号的移位，于是有

$\begin{array}{}& {}_{}\frac{}{}\underset{}{\overset{}{}}{}_{}\end{array}$

ω 的周期函数它由一组移位的 $$X(jω) 叠加所组成，但在幅度上标以 $$

X(jω) 之间并无重叠现象出现；反の，则会出现重叠现象

x(t) 是某一带限信号，在 ${}_{}$${}_{}{}_{}$${}_{}$x(t)就唯一地由其样本$0$

已知这些样本值我们能用如下办法重建 $$x(t)：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值然后将该冲激串通过一个增益为 $$(ωs??ωM?)的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是 $$

在采样定理中采樣频率必须大于 ${}_{}$2ωM?，该频率一般称为奈奎斯特频率

获取更多精彩，请关注「seniusen」!