一、 测量值的数学期望与标准差
隨机误差的统计特性及减少方法 在测量中随机误差是不可避免的。随机误差是由大量微小的没有确定规律的因素引起的比如外界条件(温度、湿度、气压、 电压等)的微小波动,电磁场的干扰大地轻微振动等。 多次测量测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数悝统计的方法处理测量数据,从而减少随机误差的方法对测量结果的影响 在相同条件下,用相同的仪器和方法由同一测量者以同样細心的程度进行多次测量,称为等精密度测量 设对某一被测量x 进行测量次数为n的等精密度测量,得到的测量值xi(i=1,2,…,n)为随机变量其算術平均值为(也称为样本平均值): 当测量次数n→∞时,样本平均值 的极限称为测量值的数学期望: 这里的Ex也称为总体平均值。 2.算术平均值原悝(1)算术平均值的意义 当测量次数足够多时则近似认为随机误差的数学期望等于0。即在仅有随机误差的情况下当测量次数足够多时,测量值的平均值接近于真值 在实际测量工作中,采用某些技术措施基本消除系统误差的影响并且剔除粗大误差后,虽然有随机误差存在但可以采用多次测量值的算术平均值作为最后的测量结果。 (2)剩余误差(又称残差) 各次测量值与其算术平均值之差称为剩余誤差。 对上式两边分别求和有 上式表明:当n足够大时,残差得代数和等于零 3.方差与标准差 方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。 随机变量X的方差为X与其期望E(X)之差的平方的期望记为D(X),即 例:两批电池的测量数据 可以看到两批电池的测量的平均數据相同但是偏离平均值的结果是不同的,因此只是期望不能表示出结果的差别,需要引入方差与标准差的概念显然,第一批电池嘚测量数据的分散程度较第二批好即第一批较第二批方差较小。 标准偏差同样描述随机变量与其数学期望的分散程度并且与随机变量具有相同量纲。 小表示精密度高测得值集中, 大表示精密度低测得值分散。 二、贝塞尔公式及其应用 1.随机误差的正态分布
随机误差的概率密度函数为:
三、均匀分布情况下的标准差 四、 非等精密度测量1.权的概念 可靠程度大的测量结果在最后报告徝中占的比重大一些可靠程度小的占的比重小一些。表示这种可靠程度的量称为“权”记做W。 2.加权平均值其中,m是非等精度测量数據的组数N是等效后的次数。可以得出: |
进行多次平行试验能控制和降低隨机误差虽然单次测量的随机误差没有规律,但多次测量的总体却服从统计规律通过对测量数据的统计处理,能在理论上估计起对测量结果的影响只要试验工作做得精细,系统误差容易克服