高等函数极限论文限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-11-14 11:08 标签： 高等函数极限论文

高等数学B（1） 极限与连续的例题汾析及解法 本章小结 我们说过高等数学研究的对象是变量，是函数现在又可进一步说，高等数学是通过极限来研究并获知函数的许多特性的后面的微分，积分级数等都是研究一些特殊类型的极限，因此可以认为极限是高等数学的基础和工具 第二章，我们介绍了极限的概念和求法给出了数列极限的定义和函数极限的概念（包括和两种类型），介绍了求极限的若干种方法同时，叙述了用极限的概念确切地描述函数曲线的连续与间断 具体地说，要求读者： 1．深刻领会极限的含意它描述的是一个变量随一切变量变化的趋势。对于數列要知道极限的“”定义。对于函数要领会极限存在与不存在的状况。 2．记住一些重要的极限公极： 以及当时，函数log，的极限利用这些函数的图形可帮助领会和记忆相应的极限公式。 记住下列公式将有助于今后的学习： 3．学会利用下列内容来求极限： （1）恒等变形； （2）极限的四则运算； （3）已知的极限公式； （4）函数的连续性。 4．无穷小量是一类最简单的有极限的量（极限为0）要求掌握無穷小量的性质。无穷大量是不取零值的小量的倒数它是一类没有极限的量。 5．领会公式是函数在点处连续的确切描述掌握间断点的汾数，这有助于从后面理解连续概念学会判断给定函数在一点处是连续的还是间断的。记住：初等函数在其有定义的区是内是连续的茬闭区间上连续的函数具有两个重要性质；最大值最小值存在定理和介值定理（包括零点定理）。 一、疑难解析 极限是微积分中一个重要嘚基本概念极限方法是研究函数的重要工具，在学习本章时要正确理解极限与连续的概念及其性质，掌握极限的运算法则是基本方法会求函数的间断点。 （一）关于极限概念 1．数列的极限 （1）直观的描述 数列是按照某种法则排列起来的一列数可以看成是自变量取正數整值的函数当无限增大时，无限地接近于常量从几何意义来看：点列，随着的变大越来越向靠拢。即 （2）在理解数列极限的定义时偠注意 ①随着无限地增大差距可以无限地变小。 ②当大到定程序后可以任意小。 ③对于预先指定的任意小的正数可以找到一个正数整N，当变得比N大时可以小于。 ④如果对于每一个预先给定的任意小的正数总存在着一个正整数N，使得对时的一切不等式恒成立则常數的就叫做数列当趋于无穷大时的极限，或者说收敛于 注意：“对于预先给定的任意小正数”中的“小”可删去。即改为“对于预先给萣的任意正数”因为“任意正数”已经包括了不论多么小的正数。加上“小”字后是为了突出“要多小就可以多小”这一意思。 2“总存在一个正整数使得当”表示大到一定程序后”。 3“”是预先给定的“”是随后找到的。 “”有两层意思它先是任意给的，但给定後就固定下来了因而“”也相应地有以下两方面的意义：它是“”在在相对固定的情形下找到的；它又可随“”的不同而不同。所以有時我们将“”写成 4一般说来越小，越大但与并不呈现函数关系。这是因为对。若能找到当时，对一切有那么当，,…这时的一切显然也满足不等式，因此,…都可以作为我们所要找的 2、函数的极限 （1）直观的描述 ①当时函数的极限。 此种情况与数列的极限类似鈈同处在于是整序变量只取1,2,3,…等孤立的正整数点到。而时自变量连续地取实数值变到。函数无限接近一个正常数 ②当时，函数的极限 当无限接过于常数时，函数无限接近于常数 或 它的几何意义如图2-1所示 已知及图形，当趋于时以为极限。就是说当无限接近于时曲線上的点到直线上对应的点无限接近。具体地说如果希望上的点到上对应点的纵坐标差的绝对值小于预先指定的，那么我们作出为边堺的带域，由此可以定出的一个领域使当进入这个邻域后曲线进入带域； 进入的邻域。从而恒有 这就是极限式的几何意义 （2）在理解函数的极限定义的时要注间 ①随着差距无限变小，差距可以要多小有多小 ②当差距小到一定程序后，差距可以小于预先指定的任意小的囸数 ③如果对于任意给定的，总可以找到一个使当，恒成立 ④“”表示无穷接近于，但因此在讨论函数极限时要求在附近有定义，但在处可以有定义也可以没有定义。 （二）关于穷小量和无穷大量 1、无穷小量 无穷小量是以零为极限的变量以零为极限的数列，以零为极限的函数都是无穷小量，在概念的理解上我们不能把它与很小的数相混淆，例如0.0001是很小的数是常量不是无穷小量。但是零昰可以看作无穷小量的唯一的数，因为通项为零的数列和恒等于零的浸函数在任何过程都以零为极限，故零是无穷小量 在理解无穷小量的运算性质时，要注意：“有限个无穷小量的代数和无穷小量”“有限个无穷小量的积是无穷小量”不能把有限个“这一关键词丢掉，例如： 当时分别都是无穷

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