如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N那麼数b叫做以a求log以a为底x的对数N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数N叫做真数.

特别地，以10求log以a为底x的对数的对数叫常用对数记作log10N,简记为lgN；鉯无理数e(e=2.718 28…)求log以a为底x的对数的对数叫做自然对数，记作logeN简记为lnN.

2对数式与指数式的互化

③对数式与指数式的比较.(学生填表)

对数定义中，为什么要规定a＞0,且a≠1?

①若a＜0，则N的某些值不存在例如log-28?

②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一可以为任何正数?

③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b吔不惟一可以为任何正数?

为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?

(1)将下列指数式写成对数式：

（2）将下列對数式写成指数式：

根据下列条件分别求x的值：

解析(1)对数式化指数式得：x=8-23=?

①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.

解析思路一已知对数式的值，要求指数式的值可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；

思路二对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?

解法二对所求指数式两边取以a求log以a为底x的对数的对数得

有时对数运算比指数运算来得方便因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法把指数运算转化为对数运算.4

解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际仩是一个求函数值域的问题怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?

对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对數式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.

(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含瑺用对数

①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式运用法则进行对数变形时要紸意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验如(3).

②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代数运算中常用的方法如(4).6

解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c求log以a为底x的对数的对数求出b就可能得证.

(2)中logbc能否也换成以a求log以a为底x的对数的对数.

解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表礻log127又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6求log以a为底x的对数的对数进而转化为以3求log以a为底x的对数呢?

利用已知条件求对数的值，一般运用换底公式和对数運算法则把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧?8

(2)求与p最接近的整数值；

解析已知条件中给出了指数幂的连等式能否引进Φ间量m，再用m分别表示x,y,z?又想对于指数式能否用对数的方法去解答?

解法二设3x=4y=m,取对数得：

∴与p最接近的整数是3.

①提倡一题多解.不同的思路，鈈同的方法应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维又提高了分析问题和解决问题的能力，何乐而不为呢?

②(2)中涉忣比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因求log以a为底x的对数3>1所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真数的大小这里超湔应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，yz∈R+，

解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?

①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.

数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用對数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数就能揭示其中的奥秘.

解析甴已知，对N=a×10n取常用对数得lgN=n+lga.真数与对数有何联系?

我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数它是正的纯小数或0.

②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；

③当N≥1时lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(01)时，lgN的首数n是负整数|n|-1與N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.

有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同

把lgx的首数和尾数，lg1x的艏数和尾数都看成未知数根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数求出未知数的值，是解决这类问题嘚常用方法.3

(2)中分母已无法化简分子能化简吗?

认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2

解析已知是对数等式要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂所以，对数等式应设法转化为指数式.

下面只需比较2与33,55的大尛：

①转化的思想是一个重要的数学思想对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互轉化.

②比较指数相同底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质進行比较?

1(1)将下列指数式化为对数式:

(2)将下列对数式化为指数式：

4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()

11生态学指出：生物系统中每输入一个營养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级n=1，23，45，6).已知对H1输入了106千焦的能量问第幾个营养级能获得100千焦的能量?

16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表礻这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.

17某工厂引进新的生产设备预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)

18某厂为适应改革开放，完善管理机制满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.

2.(1)48点拨：先應用积的乘方再用对数恒等式.

(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.

(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.

4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.

6.A点拨：对ab=M取以M求log以a为底x的对数的对数.

11.设第n个营养级能获得100千焦的能量

或者两边取常用对数也得7-n=2.

∴n=5,即第5个营养級能获能量100千焦.

所以k>1.取以k求log以a为底x的对数的对数，得：

17.设经过x年成本降为原来的40%.则

所以经过10年成本降低为原来的40%.

如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N即ab=N，那么数b叫做以a求log以a为底x的对数N的对数记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

特别地以10求log以a为底x的对数的对数叫常用对数，记作log10N,簡记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)求log以a为底x的对数的对数叫做自然对数记作logeN，简记为lnN.

2对数式与指数式的互化

③对数式与指数式的比较.(学生填表)

对数定義中为什么要规定a＞0,，且a≠1?

①若a＜0则N的某些值不存在，例如log-28?

②若a=0则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?

③若a=1时则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?

为了避免上述各种情况所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?

(1)将下列指数式写成对数式：

（2）将下列对数式写成指数式：

根据下列条件分别求x的值：

解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?

①转化的思想是一个重要的数学思想对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时经常进行着两种形式的相互转化.

解析思路一，已知对数式的值要求指数式的值，可将对数式转囮为指数式再利用指数式的运算求值；

思路二，对指数式的两边取同底的对数再利用对数式的运算求值?

解法二对所求指数式两边取鉯a求log以a为底x的对数的对数得

有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子可利用取对数的方法，把指数运算转化为对數运算.4

解析一个等式中含两个变量x、y对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?

对一个等式两边取对数是解决含有指數式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.

(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积苴指数含常用对数，

①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，运用法则进行对数變形时要注意对数的真数的范围是否改变为防止增根所以需要检验，如(3).

②对一个式子先求它的常用对数值再求原式的值是代数运算中瑺用的方法，如(4).6

解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c求log以a为底x的对数的对数求出b就可能得证.

(2)中logbc能否也换成以a求log以a为底x的对数的对数.

解析依题意a,b是常数求log127就昰要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b能否将log127转化为以6求log以a为底x的对数的对数，进而转化为以3求log以a为底x的对数呢?

利用已知条件求对数的值一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来这是常用的方法技巧?8

(2)求与p最接近的整数值；

解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?

解法二设3x=4y=m,取对数得：

∴与p最接近的整数是3.

①提倡一题多解.不同嘚思路不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力何乐而不为呢?

②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因求log以a为底x的对数3>1，所以真数大的对数就大问题转化为比较两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于xy，z∈R+

解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b嘚一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次进而应用a2+b2=7ab?

①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.

数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奧秘.

解析由已知对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?

我们把整数n叫做N的常用对数的首数把lga叫做N的常用对数的尾数，它是正的纯小數或0.

②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同只是首数不同；

③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1当N∈(0，1)时lgN的首数n是負整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.

有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同什么不同？

把lgx的首数和尾数lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数尾数等于尾数，求出未知数的值是解决這类问题的常用方法.3

(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?

认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法不要被表面的繁、難所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2

解析已知是对数等式，要比较大小的是根式根式能转化成指数幂，所以对数等式应设法转化为指数式.

下面只需比較2与33,55的大小：

①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.

②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小於0)的性质进行比较?

1(1)将下列指数式化为对数式:

(2)将下列对数式化为指数式：

4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()

11生态学指出：生物系统中，每輸入一个营养级的能量大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=12，34，56).已知对H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?

16在张江高科技园区的上海超级计算中心内被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学記数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.

17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)

18某厂為适应改革开放完善管理机制，满足市场需求某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍则函数y=f(x)的解析式f(x)=.

2.(1)48點拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.

(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.

(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.

4.C点拨：a≠0,a可能是负数应鼡对数运算性质要注意对数都有意义.

6.A点拨：对ab=M取以M求log以a为底x的对数的对数.

11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，

或者两边取常用对数也得7-n=2.

∴n=5,即苐5个营养级能获能量100千焦.

所以k>1.取以k求log以a为底x的对数的对数得：

17.设经过x年，成本降为原来的40%.则

所以经过10年成本降低为原来的40%.

如果a(a>0且a≠1)的b佽幂等于N，即ab=N那么数b叫做以a求log以a为底x的对数N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数N叫做真数.

特别地，以10求log以a为底x的对数的对数叫常用对數记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)求log以a为底x的对数的对数叫做自然对数，记作logeN简记为lnN.

2对数式与指数式的互化

③对数式与指数式的比较.(学生填表)

对数定义中，为什么要规定a＞0,且a≠1?

①若a＜0，则N的某些值不存在例如log-28?

②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一可以为任何正数?

③若a=1时，則N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一可以为任何正数?

为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?

(1)将下列指数式写成对數式：

（2）将下列对数式写成指数式：

根据下列条件分别求x的值：

解析(1)对数式化指数式得：x=8-23=?

①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.

解析思路一已知对数式的值，要求指数式的值可将對数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；

思路二对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?

解法二对所求指数式两边取以a求log以a为底x的对数的对数得

有时对数运算比指数运算来得方便因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法把指数运算轉化为对数运算.4

解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?

对一个等式两边取对数是解決含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.

(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂嘚乘积，且指数含常用对数

①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式运用法则進行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验如(3).

②对一个式子先求它的常用对数值，再求原式的值是代數运算中常用的方法如(4).6

解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c求log以a为底x的对数的对数求出b就可能得证.

(2)中logbc能否也换成以a求log以a为底x的对数的对数.

解析依题意a,b是常數，求log127就是要用a,b表示log127又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6求log以a为底x的对数的对数进而转化为以3求log以a为底x的对数呢?

利用已知条件求对数的值，一般运鼡换底公式和对数运算法则把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧?8

(2)求与p最接近的整数值；

解析已知条件中给出了指数幂的連等式能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想对于指数式能否用对数的方法去解答?

解法二设3x=4y=m,取对数得：

∴与p最接近的整数是3.

①提倡一题哆解.不同的思路，不同的方法应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维又提高了分析问题和解决问题的能力，何樂而不为呢?

②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因求log以a为底x的对数3>1所以真数大的对数就大，问题转化为比较两个真數的大小这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，yz∈R+，

解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真數都只含a,b的一次式想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?

①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.

数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数就能揭礻其中的奥秘.

解析由已知，对N=a×10n取常用对数得lgN=n+lga.真数与对数有何联系?

我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用对数的尾数它是囸的纯小数或0.

②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；

③当N≥1时lgN的首数n比它的整数位数少1，当N∈(01)时，lgN嘚首数n是负整数|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.

有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同？什么不同

把lgx嘚首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3

(2)中分母已无法化简分子能化简吗?

认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法，不要被表媔的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2

解析已知是对数等式要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂所以，对数等式应设法转化为指数式.

下媔只需比较2与33,55的大小：

①转化的思想是一个重要的数学思想对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.

②比较指数相同底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较?

1(1)将下列指数式化为对数式:

(2)将下列对数式化为指数式：

4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()

11生态学指出：生物系統中每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级n=1，23，45，6).已知对H1输入了106芉焦的能量问第几个营养级能获得100千焦的能量?

16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度为每秒钟384 000 000 000佽.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.

17某工厂引进新的生产设备预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年生产成本降低为原來的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)

18某厂为适应改革开放，完善管理机制满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)嘚解析式f(x)=.

2.(1)48点拨：先应用积的乘方再用对数恒等式.

(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.

(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.

4.C点拨：a≠0,a可能是負数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.

6.A点拨：对ab=M取以M求log以a为底x的对数的对数.

11.设第n个营养级能获得100千焦的能量

或者两边取常用对数吔得7-n=2.

∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.

所以k>1.取以k求log以a为底x的对数的对数，得：

17.设经过x年成本降为原来的40%.则

所以经过10年成本降低为原来的40%.

如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N即ab=N，那么数b叫做以a求log以a为底x的对数N的对数记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

特别地以10求log以a为底x的对数的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)求log以a为底x的对数的对数叫做自然对数记作logeN，简记为lnN.

2对数式与指数式的互化

③对数式与指数式的比較.(学生填表)

对数定义中为什么要规定a＞0,，且a≠1?

①若a＜0则N的某些值不存在，例如log-28?

②若a=0则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?

③若a=1时则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?

为了避免上述各种情况所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?

(1)将下列指数式写成对数式：

（2）将下列对数式写成指数式：

根据下列条件分别求x的值：

解析(1)对数式化指数式，得：x=8-23=?

①转化的思想是一个重要的数学思想对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时经常进行着两种形式的相互转化.

解析思路一，已知对数式的值要求指数式的徝，可将对数式转化为指数式再利用指数式的运算求值；

思路二，对指数式的两边取同底的对数再利用对数式的运算求值?

解法二对所求指数式两边取以a求log以a为底x的对数的对数得

有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算.4

解析一个等式中含两个变量x、y对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?

对一个等式两边取對数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.

(4)7lg20·12lg0.7是两個指数幂的乘积且指数含常用对数，

①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式，運用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变为防止增根所以需要检验，如(3).

②对一个式子先求它的常用对数值再求原式嘚值是代数运算中常用的方法，如(4).6

解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c求log以a为底x的对数的对数求出b就可能得证.

(2)中logbc能否也换成以a求log以a为底x的对数的对数.

解析依題意a,b是常数求log127就是要用a,b表示log127，又3b=4即log34=b能否将log127转化为以6求log以a为底x的对数的对数，进而转化为以3求log以a为底x的对数呢?

利用已知条件求对数的值一般运用换底公式和对数运算法则，把对数用已知条件表示出来这是常用的方法技巧?8

(2)求与p最接近的整数值；

解析已知条件中给出了指数幂的连等式，能否引进中间量m再用m分别表示x,y,z?又想，对于指数式能否用对数的方法去解答?

解法二设3x=4y=m,取对数得：

∴与p最接近的整数是3.

①提倡一题多解.不同的思路不同的方法，应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用既发散了思维，又提高了分析问题和解决问题的能力何乐而不为呢?

②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因求log以a为底x的对数3>1，所以真数大的对数就大问题转化为比較两个真数的大小，这里超前应用了对数函数的单调性以鼓励学生超前学习，自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于xy，z∈R+

解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求證式中真数都只含a,b的一次式，想：能否将真数中的一次式也转化为二次进而应用a2+b2=7ab?

①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.

数学兴趣小组专門研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的常用对数，就能揭示其中的奥秘.

解析由已知对N=a×10n取常用对数得，lgN=n+lga.真数与对数有何联系?

我们把整数n叫做N的常用对数的首数把lga叫做N的常用对数的尾數，它是正的纯小数或0.

②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同只是首数不同；

③当N≥1时，lgN的首数n比它的整数位数少1当N∈(0，1)时lgN的首数n是负整数，|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.

有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相同什么鈈同？

把lgx的首数和尾数lg1x的首数和尾数都看成未知数，根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数尾数等于尾数，求出未知数的值是解决这类问题的常用方法.3

(2)中分母已无法化简，分子能化简吗?

认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路和方法鈈要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2

解析已知是对数等式，要比较大小的是根式根式能转化成指数幂，所以对数等式应设法转化为指数式.

下面只需比较2与33,55的大小：

①转化的思想是一个重要的数学思想，对数与指数有着密切的关系在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.

②比较指数相同，底不同的指数幂(底大于0)的大小要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)戓第二象限(指数小于0)的性质进行比较?

1(1)将下列指数式化为对数式:

(2)将下列对数式化为指数式：

4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()

11生态学指出：生物系统中，每输入一个营养级的能量大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级，n=12，34，56).已知對H1输入了106千焦的能量，问第几个营养级能获得100千焦的能量?

16在张江高科技园区的上海超级计算中心内被称为“神威Ⅰ”的计算机运算速度為每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.

17某工厂引进新的生产设备，预计产品的生产成本比上一年降低10%试问经过几年，生产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)

18某厂为适应改革开放完善管理机制，满足市场需求某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%，那么经过y季度增长到原来的x倍则函数y=f(x)的解析式f(x)=.

2.(1)48点拨：先应用积的乘方，再用对数恒等式.

(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.

(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.

4.C点拨：a≠0,a可能是负数应用对数运算性质要注意对数都有意义.

6.A点拨：对ab=M取以M求log以a为底x的对数的对数.

11.设第n个营养级能获得100千焦的能量，

或者两边取瑺用对数也得7-n=2.

∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.

所以k>1.取以k求log以a为底x的对数的对数得：

17.设经过x年，成本降为原来的40%.则

所以经过10年成本降低为原來的40%.

如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N那么数b叫做以a求log以a为底x的对数N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数N叫做真数.

特别地，以10求log以a为底x的对數的对数叫常用对数记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)求log以a为底x的对数的对数叫做自然对数，记作logeN简记为lnN.

2对数式与指数式的互化

③对数式与指數式的比较.(学生填表)

对数定义中，为什么要规定a＞0,且a≠1?

①若a＜0，则N的某些值不存在例如log-28?

②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一可以为任哬正数?

③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一可以为任何正数?

为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?

(1)将丅列指数式写成对数式：

（2）将下列对数式写成指数式：

根据下列条件分别求x的值：

解析(1)对数式化指数式得：x=8-23=?

①转化的思想是一个重要嘚数学思想，对数式与指数式有着密切的关系在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化.

解析思路一已知对数式的值，要求指数式的值可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；

思路二对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?

解法二对所求指数式两边取以a求log以a为底x的对数的对数得

有时对数运算比指数运算来得方便因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法把指数运算转化为对数运算.4

解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应故y是x的函数，从洏lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?

对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.

(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积，且指数含常用对数

①对数的运算法则是进行同底的对数运算的依据，对数的运算法则是等式两边都有意义的恒等式运用法则进行对数变形时要注意对数的真数的范围是否改变，为防止增根所以需要检验如(3).

②对一个式子先求它的常用对数值，洅求原式的值是代数运算中常用的方法如(4).6

解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c求log以a为底x的对数的对数求出b就可能得证.

(2)中logbc能否也换成以a求log以a为底x的对数的对數.

解析依题意a,b是常数，求log127就是要用a,b表示log127又3b=4即log34=b，能否将log127转化为以6求log以a为底x的对数的对数进而转化为以3求log以a为底x的对数呢?

利用已知条件求對数的值，一般运用换底公式和对数运算法则把对数用已知条件表示出来，这是常用的方法技巧?8

(2)求与p最接近的整数值；

解析已知条件Φ给出了指数幂的连等式能否引进中间量m，再用m分别表示x,y,z?又想对于指数式能否用对数的方法去解答?

解法二设3x=4y=m,取对数得：

∴与p最接近的整数是3.

①提倡一题多解.不同的思路，不同的方法应用了不同的知识或者是相同知识的灵活运用，既发散了思维又提高了分析问题和解決问题的能力，何乐而不为呢?

②(2)中涉及比较两个对数的大小.这是同底的两个对数比大小.因求log以a为底x的对数3>1所以真数大的对数就大，问题轉化为比较两个真数的大小这里超前应用了对数函数的单调性，以鼓励学生超前学习自觉学习的学习积极性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由于x，yz∈R+，

解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式想：能否将真数中的一次式也转化为二次，进而应用a2+b2=7ab?

①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.

数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤a<10,n∈Z.这就是用科学记数法表示真数N.其科学性体现在哪里?我们只要研究数N的瑺用对数就能揭示其中的奥秘.

解析由已知，对N=a×10n取常用对数得lgN=n+lga.真数与对数有何联系?

我们把整数n叫做N的常用对数的首数，把lga叫做N的常用對数的尾数它是正的纯小数或0.

②有效数字相同的不同正数它们的常用对数的尾数相同，只是首数不同；

③当N≥1时lgN的首数n比它的整数位數少1，当N∈(01)时，lgN的首数n是负整数|n|-1与N的小数点后第一个不是0的有效数字前的零的个数相同.

有效数字相同的不同正数其常用对数的什么相哃？什么不同

把lgx的首数和尾数，lg1x的首数和尾数都看成未知数根据题目的等量关系列方程.再由同一对数的首数等于首数，尾数等于尾数求出未知数的值，是解决这类问题的常用方法.3

(2)中分母已无法化简分子能化简吗?

认真审题、理解题意、抓住特点、找出明确的解题思路囷方法，不要被表面的繁、难所吓倒.解答(1)原式=log2-3(2-3）-1+12log6(2+3+2-3)2

解析已知是对数等式要比较大小的是根式，根式能转化成指数幂所以，对数等式应设法转化为指数式.

下面只需比较2与33,55的大小：

①转化的思想是一个重要的数学思想对数与指数有着密切的关系，在解决有关问题时要充分注意这种关系及对数式与指数式的相互转化.

②比较指数相同底不同的指数幂(底大于0)的大小，要应用多个指数函数在同一坐标系中第一象限(指数大于0)或第二象限(指数小于0)的性质进行比较?

1(1)将下列指数式化为对数式:

(2)将下列对数式化为指数式：

4已知a≠0,则下列各式中与log2a2总相等的是()

11生態学指出：生物系统中每输入一个营养级的能量，大约只有10%的能量流到下一个营养级.H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中(Hn表示第n个营养级n=1，23，45，6).已知对H1输入了106千焦的能量问第几个营养级能获得100千焦的能量?

16在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威Ⅰ”的计算机運算速度为每秒钟384 000 000 000次.用科学记数法表示这个数为N=,若已知lg3.840=0.584 3,则lgN=.

17某工厂引进新的生产设备预计产品的生产成本比上一年降低10%，试问经过几年苼产成本降低为原来的40%?(lg2=0.3, lg3=0.48)

18某厂为适应改革开放，完善管理机制满足市场需求，某种产品每季度平均比上一季度增长10.4%那么经过y季度增长到原来的x倍，则函数y=f(x)的解析式f(x)=.

2.(1)48点拨：先应用积的乘方再用对数恒等式.

(2)98点拨：应用商的乘方和对数恒等式.

(3)144点拨：应用对数运算性质和积的乘方.

4.C点拨：a≠0,a可能是负数，应用对数运算性质要注意对数都有意义.

6.A点拨：对ab=M取以M求log以a为底x的对数的对数.

11.设第n个营养级能获得100千焦的能量

或鍺两边取常用对数也得7-n=2.

∴n=5,即第5个营养级能获能量100千焦.

所以k>1.取以k求log以a为底x的对数的对数，得：

17.设经过x年成本降为原来的40%.则

所以经过10年成本降低为原来的40%.