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复习(等差与等比数列的通项与求和)
数列综合复习课高二数学 必修（5）知识 结构数列通项an? S1 (n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)前n项和Sn 定义 等比数列 通项 前n项和等差数列性质等差、等比数列的有关概念和公式等 差 数 列 等 比 数 列 定义 a -a =d(常数) , n∈N* a /a =q(常数), n∈N* n+1 n n+1 n 通项 公式 中项 公式an= a1+(n-1)d 若a，A，b成等差 数列，则 A=(a+b)/2. an=a1qn-1(a1,q≠0) 若a，G，b成等比数列， 则G2=ab（a,b≠0）n( a1 ? an ) ? na1 Sn ? 2 ? 前n项 Sn ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? anq 和公 ? na1 ? n( n ? 1) d ? 1? q ? 1? q ? 2(q ? 1) (q ? 1)式判断（或证明）数列为等差(等比）的方法：方法一（定义）( a n + 1 －a n = d 或方法二(等差中项) a n + 1 +a n －1 = 2a na n －a n － 1 = d ( n ≥ 2 )(n≥2)等差数列与等比数列前n项和n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 1、等差数列： Sn ? 2 2? na1 ? n S ? 2、等比数列： n ? a1 (1 ? q ) a1 ? anq ? 1? q ? 1? q ?(q ? 1) (q ? 1)注意公式的变形应用n 项和公式： 如：等差数列的前n(a1 ? a n ) n(a 2 ? a n ?1 ) n(a m ? a n ? m ?1 ) Sn ? ? ??? 2 2 2 n( n ? 1)d d 2 d S n ? na1 ? ? n ? (a1 ? ) n ? an 2 ? bn 2 2 2 n 项和公式： 等比数列的前 a1 ? a m q n ? m ?1 a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q a1 ? a n ?1 q 2 Sn ? ? ? ??? (q ? 1) 1? q 1? q 1? q 1? qa ? a n m （1） an ? am ? ? n ? m? d d? n ? m （2）若 m ? n ? p ? q ? 2k 则 am ? an ? a p ? aq ? 2ak（3）若数列 {an } 是等差数列，则 也是等差数列等差数列的重要性质S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k , S 4 k ? S3k , ?d ?k d2 ?（4）{an}等差数列，其项数成等差数列，则相应 的项构成等差数列等差数列的重要性质5)对于等差数列{ an }：若项数为 2 n 则 S 偶 ? S 奇 ? nd若项数为 2 n ? 1 则 S 奇 ? S 偶 ? a n （中间项）S奇 n ? S偶 n ? 1（1） an ? am ? q an n? m 求q q ? am 若m ? n ? p ? q ? 2k , 则am ? an ? ap ? aq （ 2）（3）若数列 {an } 是等比数列，则 也是等比数列等比数列的重要性质n ?mS k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k , S 4 k ? S3k , ??q ?qk（4）{an}等比数列，若其项数成等差数列，则相应的项构成等比数列等比数列的重要性质5)在等比数列中，若项数为2n，则 S偶 S奇 ?q练习:110 ? ⒈在等差数列{an}中，a2=-2,a5=54，求a8=_____. 运用性质： an=am+(n-m)d或等差中项 ? ⒉在等差数列 {an} 中 ， 若 a3+a4+a5+a6+a7=450 ， 则 180 a2+a8的值为_________. 运用性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq ? ⒊在等差数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 130 a60 =__________. ?运用性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)kk? ⒋在等差数列 {an} 中 ， a1+a2 =30, a3+a4 =120, 则 210 a5+a6=_____ .运用性质：若{an}是公差为d的等差数列 {cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。练习:? ⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= -1458 . ? ⒉在等比数列{an}中，且an＞0， ?a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ 6 . ⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 270或-270 a60 =__________.? ⒋在等比数列 {an} 中， a1+a2 =30, a3+a4 =120, 480 则a5+a6=_____ .练习：两个等差数列{ an }、{ bn }的前 n 项之和分别为S n 3n ? 5 a15 ，则 ? _______。 Sn , S , 且 / ? b15 S n 2n ? 7 n(a1 ? a n ) / n(b1 ? bn ) , Sn ? 解:? S n ? 2 2 a1 ? an 3n ? 5 ∴ ? b1 ? bn 2 n ? 7 令 n ? 29, a1 ? a 29 82 则有： ? b1 ? b29 65/ na1 ? a 29 a15 而 ? b1 ? b29 b15a15 82 ∴ ? b15 65专题一：一般数列求和法常见的求和公式Sn ? 1 ? 2 ? 3 ?2 2 2n ? n ? ( n ? 1) 221 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? n(n ? 1)(2n ? 1) 61 2 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? [ n(n ? 1)] 23 3 3 3专题一：一般数列求和法①倒序相加法求和，如an=3n+1 ②错项相减法求和，如an=(2n-1)2n ③分组法求和， 如an=2n+3n④裂项相加法求和，如an=1/n(n+1) ⑤公式法求和， 如an=2n2-5n一、倒序相加法1 2 3 1999 求f ( )? f ( )? f ( ) ? ... ? f ( )的值. 00 2000 解： S ? f ( 1 ) ? f ( 2 ) ??? ? f ( 1000 ) ? ? f ( 1998 ) ? f ( 1999 ) 00 99
1 S ? f( )? f ( ) ??? ? f ( )? ? f ( )? f ( ) 00
1999 ? ? 2 1998 ? ? S?S ??f( )? f ( )? ? ? f ( )? f ( )? ? ??? 2000 ? ?
? ? 2000例1: 已知f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ,1 ? ? 1999 ?? f ( )? f ( )? 2000 ? ? 2000 ? 1?19991999 ?S ? 2二、错位相减法例2、求数列a,3a2 ,5a3 ?， (2n ?1)an (a ? 0)的前n项和解： Sn ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ??? (2n ? 1)a n①aSn ?a2 ? 3a3 ? 5a4 ? ... ? (2n ? 3)an ? (2n ?1)an?1②2 3 n n?1(1 ? a)Sn ? a ? 2(a ? a ? ...? a ) ? (2n ?1)a2a 2 (1 ? a n?1 ) n ?1 当a ? 1时, (1 ? a)Sn ? a ? ? (2n ? 1)a 1? aa 2 ? a ? 2a n?1 (2n ? 1)a n?1 ? Sn ? ? 2 (1 ? a) 1? a当a ? 1 时，Sn ? 1 ? 3 ? 5 ? ?? 2n ?1 ? n2? n (a ? 1) ? 2 ? S n ? ? a ? a ? 2a n ?1 (2n ? 1)a n ?1 (a ? 1) ? (1 ? a) 2 ? 1 ? a ?2“错位相减法”求和,常应用于形如{anbn}的数列 求和,其中{an}为等差数列, {bn} 为等比数列, {bn}的公比为q，则可借助S的求和问题。转化为等比数列 ? qS n n3 4 练习:求和Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2n ?1 ? n 21 解 an ? (n ? 1) ? n 2 3 4 n ?1 Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ① 2 2 2 1 1 3 4 1 n ?1 Sn ? ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 n?3 ? Sn ? 3 ? 2n②三、分组求和例3、已知数列{an }的通项公式为an ? n ? n ? 1,2求数列{an }的前n项和解： an ? n ? n ? 12? Sn ? (12 ? 1 ? 1) ? (22 ? 2 ? 1) ? (32 ? 3 ? 1) ??? (n2 ? n ? 1)? (12 ? 22 ? 32 ??? n2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ??? n) ? 1? nn( n ? 1)(2n ? 1) n( n ? 1) ? ? ?n 6 2 n( n ? 1)( n ? 2) n( n2 ? 3n ? 1) ? ?n? 3 3把数列的每一项分成几项，或把数列的项“集” 在一块重新组合，或把整个数列分成几部分， 使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称 为分组转化法.练习：求和 S ? ?12? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? 99 ? 1002 2 2 2 2 2222 2 2 2 2 2 解： S ? (2 ?1 ) ? (4 ? 3 ) ? (6 ? 5 ) ?? (100 ? 99 )2? (2 ? 1)(2 ?1) ? (4 ? 3)(4 ? 3) ? ? (100 ? 99)(100 ? 99) ? 3 ? 7 ? 11 ? ? 199 50 ? (3 ? 199) ? ? 5050 2四、裂项相消求和法：1 1 例4.求和Sn ? ? ? 1? 3 3 ? 51 ? (2n ? 1)(2n ? 1)1 1 1 解: an ? ( ? ) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? (1 ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按 此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和 方法称为裂项相消法.常用列项技巧：1 1 1 ? ? n( n ? 1) n ( n ? 1)11 1 1 1 ? ( ? ) n(n+k) k n n ? k1? 1 1 ? ? ? ? ? ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?1 ? ( n ? k ? n) n? k ? n k1专题二：.通项的求法 ①累加法，如 an?1 ? an ? f (n)an ?1 ? f ( n) ②累乘法，如 an③构造新数列：如 an?1 ? ? an ? b3 a n ?1 ④取倒数：如 a1 ? 3, an ? (n ? 2) 3 ? an?1 3 ⑤Sn和an的关系： 如S n ? an ? 3 2类型一 : an?1 ? an ? f ( n) 用迭加法( f ( n)为可求和数列)例1、已知a1 ? 6, 且满足an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2, n ? N *), 则通项公式an ? ________ .解: an ? an?1 ? 2n ? 1 ? an ? an?1 ? 2n ? 1( n ? 2, n ? N *) ? a2 ? a1 ? 2 ? 2 ? 1 a3 ? a2 ? 2 ? 3 ? 1 an ? an?1 ? 2n ? 1( n ? 2, n ? N *)以上n ? 1式相加得 an ? a1 ? 3 ? 5 ??? 2n ? 1(n ? 1项的等差数列) ? n2 ? 1(n ? 2, n? N *) ?an ? n2 ? 5(n ? 2, n? N *)又当n ? 1时n ? 5 ? 6 ? a12? an ? n ? 5( n ? N *)2an?1 类型二 : ? g ( n) an 用迭乘法( g ( n)为可求积数列)例2、已知数列{an }满足an?1 ? 2n an , 且a1 ? 1, 求anan?1 解 : an?1 ? 2 an ? ? 2n an a3 a2 a4 an 2 3 n?1 ? ? 2, ?2 , ? 2 ,? ?2 a1 a2 a3 an?1n以上n ? 1式相乘得 a2 a3 a4 a n ? 2 ? 22 ? 23?? 2n?1 ? ? ?? a1 a2 a3 an?1n( n?1) ? 21?2?3???n?1 ? 2 2 (n ? 2) n( n?1) n ? 2 2 ( n ? 2) ?a a1经验证a1符合?an练习 :已知a1 ? 3, an?1 6 key : an ? . 3n ? 1n( n?1) ?2 23n ? 1 ? an , 则通项公式an ? ________ 3n ? 2类型三 : 线性递推式an?1 ? pan ? q( p ? 0, p ? 1, q ? 0)例3、已知a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 1(n ? 2).求an .解：设an ? ? ? 3( an?1 ? ? ) ? an ? 3an?1 ? 2? 1 与an ? 3an?1 ? 1对比得2? ? 1 ? ? ? 21 an ? 1 1 2 ?3 ? an ? ? 3( an?1 ? ) ? 1 2 2 an?1 ? 2 1 1 3 ?{an ? }为等比数列首项为a1 ? ? 公比q ? 3 2 2 2 1 3 n?1 3n 1 ? an ? ? ? 3 ? an ? ? 2 2 2 2q 可构造等比数列{an ? } p?1 q 其中 也可用待定系数法确定, p?1 设an ?1 ? ? ? p(an ? ? )展开与an ?1 ? pan ? q q 对比可得? ? p?1pan 类型四 : 递推关系为an?1 ? ( p ? 0)两边 qan ? p 1 同时取倒数可构造等差数列{ } an an 例4、已知a1 ? 3, an?1 ? , 求an . 2an ? 1解 : an ? 1 ? 1 an ? 1 an 2an ? 1 1 1 ? ? ? ? 2? 2an ? 1 an ? 1 an an 1 ? ?2 an1 1 1 ?{ }为首项 ? 公差d ? 2的等差数列 an a1 3 1 1 6n ? 5 ? ? 2( n ? 1) ? an 3 3 3 ? an ? 6n ? 5类型五 : 递推关系为an ? qan?1 ? pq 两边同除q 可构造n nan 等差数列{ n } q 例5、已知数列{an }满足a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 2n (n ? 2), 求an .an an?1 解：an ? 2an?1 ? 2 两边同除2 得 n ? n?1 ? 1 2 2 an an?1 ? n ? n ?1 ? 1 2 2 an a1 1 ?{ n }是首项为 ? 公差d ? 1的等差数列 2 2 2 an 1 1 1 n ? n ? ? ( n ? 1) ? n ? ? an ? ( n ? ) ? 2 2 2 2 2n n? S1 类型六 : 利用Sn与an的关系an ? ? ? Sn ? Sn?1( n ? 1) ( n ? 2)求通项数列的前n项和Sn＝n2Cn+1，? ? 1? n ? 1? ? ? 则通项an=__________ ? 2n ? 2 ? n ? 2 ? ．例:已知在数列{an }中,前n项和Sn ? 3 ? 2an , 求前n项和公式Sn .解: Sn ? 3 ? 2an , ? Sn ? 3 ? 2( Sn ? Sn?1 ),即Sn ? 2 Sn?1 ? 3 ? 0( n ? 2), ? Sn?1 ? 2 Sn ? 3 ? 0, 则Sn?1 ? Sn ? 2( Sn ? Sn?1 ), ? 数列{Sn?1 ? Sn }是以2为公比的等比数列， 而n ? 1时,S1 ? 3 ? 2a1 ? S1 ? ?3. n ? 2时,S2 ? 3 ? 2a2 ? a2 ? a1 ? 3,? a2 ? ?6, ? S2 ? S1 ? a2 ? ?6, Sn?1 ? Sn ? ?6 ? 2 . ? Sn ? 3 ? 3 ? 2 ? 3(1 ? 2 ).n n n ?1? S1 ? ?3适合公式,Sn ? 3(1 ? 2 ).n练习1:已知数列{an }满足a1 ? 1, 其前n项和S n与an之间满足 2 Sn 2 an ? ( n ? 2). 2 Sn ? 1 1 (1)求证 : 数列{ }为等差数列.(2)求数列{an }的通项公式. Sn2 Sn 2 (1)证明 : an ? Sn ? Sn?1 ( n ? 2), 又由已知有an ? ( n ? 2), 2 Sn ? 1 ? Sn ? Sn?1 2 Sn 2 1 1 ? , 整理得 ? ? 2( n ? 2), 2 Sn ? 1 Sn Sn?11 ? 数列{ }为等差数列 Sn1 (2)由(1)知数列{ }为公差为2等差数列, Sn 1 1 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 Sn S 2 Sn 2 1 ? Sn ? , 代入an ? ( n ? 2)得 2n ? 1 2 Sn ? 1 ?2 an ? ( n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 3)?2 当n ? 1时a1 ? S1 ? 1不符合an ? ( n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 3) ?1 ? ? an ? ? ?2 ? (2n ? 1)(2n ? 3) ? (n ? 1) (n ? 2)练习2:在数列{an }中, an ? 0, 2 Sn ? an ? 1( n ? N ), 求Sn和an的表达式.解： 2 Sn ? an ? 1平方得 4 Sn ? an 2 ? 2an ? 1①-②得：①4Sn?1 ? an?12 ? 2an?1 ? 1 ②4( Sn ? Sn?1 ) ? (an2 ? an?12 ) ? 2(an ? an?1 )an ? Sn ? Sn ?1 ( n ? 2时) ? 4an ? an 2 ? an ?12 ? 2(an ? an ?1 ) 可化为(an ? an?1 )(an ? an ?1 ? 2) ? 0 又an ? 0， ? an ? an ?1 ? 0 ? an ? an ?1 ? 2( n ? 2) ? an ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 1 2 2 ? Sn ? [(2n ? 1) ? 2(2n ? 1) ? 1] ? n 4? 数列{an }是等差数列且公差d ? 2, 又2 a1 ? a1 ? 1 ? a1 ? 11、数列C1，7，C13，19……的一 个通项公式为( D) A、an=2nC1 B、an= C6n+5 C、an=(C1)n6nC5 D、 an=(C1)n(6nC5)2.数列{an}的前n项和Sn=n2+1，则2 an= ? ? ，n ? 1_____________.?2n ? 1，n ? 13、 写出下列数列的一个通项公式3 7 15 31 (1)、4 , 8 , 16 , 32 , ? 3 1 5 1 7 (2)、 1, , , , , ? 2 3 4 5 6 解：(1)、注意分母是 22 ,23 ,24 ,25 ,?， 分2 n ?1 ? 1 子比分母少1，故 an ? 2 n ?1(2)、由奇数项特征及偶数项特征得 ?1 (n ? 2k ? 1) ? ?n an ? ? ? n ? 1 ( n ? 2k ) ? ? n返 回4、在各项均为正数的等比数列{an}中， 若a5? a6=9，则log3a1+log3a2+……+log3a10等 于（ B ） （A）12（B)10（C）8（D）2+log35 5、等差数列{an}的各项都是小于零的 2 2 ? a8 ? 2a3 ? a8 ? 9 ，则它的前10项 数，且 a3 和S10等于（ D ） （A）-9（B）-11（C）-13（D）-15 6、在公比q&1的等比数列{an}中，若 a1+a4=18,a2+a3=12，则这个数列的前8项之 和S8等于（ C ） 225 （A）513（B）512（C）510（D）87、等比数列{an}中，a1=2,S3=26，那么分 比q的值为（ C ） （A）-4（B）3（C）-4或3（D）-3或4 8、在数列{an}中，an+1=Can（C为非零 常数）且前n项和Sn=3n+k则k等于（ A ） （A）-1（B）1（C）0（D）2 9、等差数列{an}中，若Sm=Sn(m≠n)， 则Sm+n的值为（ D ） Sm ? Sn ( A) Sm ? Sn ( B ) (C ) S m ? S n ( D ) 0 210、等差数列{an}是递减数列，a2a3a4=48， a2+a3+a4=12，则数列{an}的通项公式（ D ） （A）an=2n-2（B）an=2n+2（C）an=-2n+12（D）an=-2n+10 11、在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120， A 则2a9-a10的值为（ ） （A）24（B）22（C）2（D）-8考点练习1、在等比数列{an}中，a3?a4? a5=3， a6? a7? a8 =24，则a9? a10? a11的值等于 192 __________ ．考点练习2、a=13? 2，b=等差中项为( A ) A、 3 B、 21 ，a、b的 3? 21 C、 31 D、 2考点练习3、设{an}为等差数列，Sn为前n项1 和，a4= ? ，S8= C4，求an与Sn． 31 an ? 1 ? n 31 2 5 sn ? ? n ? n 6 6点评：在等差数列中，由a1、d、n、an、sn知三求二考点练习1 4、数列{an}满足a1= ， 2 2 a1+a2+a3+……+an=n ? an，求通 项an．解析：a1+a2+a3+……+an=n2? an a1+a2+……+an-1=(n-1)2 an-1 (n≥2) 相减 an=n2an-(n-1)2an-1n ?1 ? an ? an ?1 (n ? 2) n ?11 ? an ? n(n ? 1)
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文档资料库内容来自网络，如有侵犯请联系客服。(三).数列求和的常用方法:公式法.倒序相加法.错位相减法.拆项法.裂项法.累加法.等价转化等. 1. 公式法:适用于等差.等比数列或可转化为等差.等比数列的数列. 2.裂项相消法:适用于其中{ ——精英家教网——
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(三).数列求和的常用方法:公式法.倒序相加法.错位相减法.拆项法.裂项法.累加法.等价转化等. 1. 公式法:适用于等差.等比数列或可转化为等差.等比数列的数列. 2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列.c为常数,部分无理数列.含阶乘的数列等. 3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列.是各项不为0的等比数列. 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法. 5.常用结论 1): 1+2+3+...+n = 2) 1+3+5+...+ = 3) 4) 5) 6) [精典范例] 一 函数方程思想在研究数列问题中的运用 函数作为高中数学最重要的内容.几乎贯穿中学数学的始终.数列作为特殊的函数.与函数有着千丝万缕的联系: 数列的通项公式及前n项和公式都是关于n的函数.当d≠0时.等差数列的通项是关于n的一次函数.前n项和是关于n的一元二次函数,等比数列的通项公式及前n项和公式都与指数函数有关. 在解决数学问题的过程中.把变量之间的制约关系用函数关系反映出来.便形成了函数思想,把众多待求量通过列方程.解方程来确定.便形成了方程思想.函数与方程之间的辩证思维便形成了函数方程思想. 因此.我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题. 例1(1)首项为正数的等差数列{a}.其中S=S.问此数列前几项和最大? (2)等差数列{a}中.S=100.S=300.求 S. (3)等差数列的公差不为0.a=15,a,a,a成等比数列.求S. 分析 (1)等差数列前n项和S=n+(a-)n是关于n的二次函数且常数项为0.故可设S=An+B,运用配方法求最值, (2)由S=An+B及S=100.S=300.求出A.B后再求S. (3)求S的关键.在于求a,由a=dn+(a-d)知.它是关于n的一次函数.故可设a= An+B.由条件列出方程组求A.B. [解](1)设S= An+B. ∵S=S. ∴9A+3B=121A+11B.即14A+B=0. 又∵S= An+B=A(n+)-, ∴当n=-=7时.S有最大值S. 另解由S=S.得a+a+a+a+a+a+a+a=0, 又∵a+ a= a+ a= a+ a= a+a, ∴4(a+a)=0, a+a=0. 由于a＞0,据题意知a=-a＞0.a＜0 因此.前7项和最大. (2)设S=An+Bn ∵S=100.S=300, ∴ ∴S=900×+30×5=600. 另解 ∵S=100.S=300.又S.S-S.S-S成等差数列. ∴S-S=2(S-S)-S ∴S=600 (3)设a=An+B ∵a=15,a=a·a, ∴ ∴ a=2n-1 ∴S=+-+ =2×-n =n(n+1)-n=n. 评析 从函数角度考察等差数列中的通项公式.前n项和公式.从而把数列问题转化为函数解决.体现了函数的思想和方法的应用. 二 求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的核心之一.它如同函数中的解析式一样.有解析式便可研究其性质等,而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等.看来.求数列的通项往往是解题的突破口.关键点.现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下. 1. 观察法 观察法就是观察数列特征.横向看各项之间的关系结构.纵向看各项与项数n的内在联系.从而归纳出数列的通项公式. 例2写出下面各数列的一个通项公式 (1).-, (2)1.--, (3)-, (4)21.203..-, (5)0.2,0.22,0.222,0.2222,-, (6)1.0.1.0.-, (7)1.- [解](1)注意各项的分子分别是1.2.3.4.-.分母比分子大1. ∴数列的通项公式为a=. (2)奇数项为正.偶然项为负.各项分母可看作2-1=1.2-1=3.2-1=7.2-1=15.2-1=31.-.各项分子均为1. ∴数列的通项公式为a=(-1)· (3)各项的分母分别是2.2.2.2.-分子比分母小1. ∴数列的通项公式为a= (4)各项可看作21=2×10+0+00+5 000+7. ∴数列的通项公式为a=2×10+. (5)把各项适当变形0.2=2×0.1=×0.9=×(1-),0.22=2×0.11=×0.99=×(1-),0.222=×(1-),0.222=×(1-),-. ∴数列的通项公式为a=·(1-). (6)奇数项皆为1.偶然项为0. ∴数列的通项公式为a= (7)各项可看作1=1+0.=+1.=+0.=+1.=+0.=+1.-.∴数列的通项公式为a=+. 评析 用观察法写数列的通项公式.一般考虑如下几点: (1) 观察数列各项符号变化.考虑通项公式中是否有(-1)或者(-1)部分.如本例中也有所涉及. (2) 分解分子分母的因数(式).考虑其变化规律与序号的关系.应注意根据某些变化规律较明显的项.“猜 出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项.同时要特别注意等差.等比关系.如本例等. (3) 考虑分子.分母与一些特殊数列如2.3.n,n等的关系.如本例等. 2. 已知S求a或已知S与a的关系求a 已知数列{a}的前n项和S求a时.要注意运用a和S的关系.即 例3已知下列各数列{a}的前n项和S的公式.求{a}的通项公式. (1) S=10-1,(2)S=10+1, [解](1)当n=1时.a=S=9, 当n≥2时.a= S-S=(10-1)-(10-1)=10-10=9·10. 且n=1时.a=9也适合上式.∴a=9·10(n). (2)当n=1时.a=S=10+1=11, 当n≥2时.a= S-S=(10+1)-(10+1)=9·10. 而n=1时.a=11.不适合上式. ∴ 评析 已知{a}的前n项和S求a时应注意以下三点: (1) 应重视分类类讨论的应用.要先分n=1和n≥2两种情况讨论.特别注意由S-S= a推导的通项a中的n≥2. (2) 由S-S= a.推得的a且当n=1时.a也适合“a式 .则需统一“合写 . (3) 由S-S= a推得的a.当n=1时.a不适合“a式 .则数列的通项应分段表示.即 如本例中.请观察本例中的差异及联系. 3. 累差法 若数列{a}满足a-a=f(n)(n),其中{f(n)}是易求和数列.那么可用累差法求a.(请你复习求等差数列通项公式的部分) 例4求数列1.3.7.13.21.-的一个通项公式. [解] ∵a-a=3-1=2, a-a=7-3=4, a-a=13-7=6, - a-a=2(n-1) 以上n-1个等式左右两边分别相加.得 a-a=2[1+2+3+-+n. ∴a=n-n+1. 且n=1时.a=1适合上式. ∴a=n-n+1. 评析 我们应验证n=1时a=1适合a=n-n+1式.这是什么原因. 4. 累商法 若数列{a}满足=f(n)( n),其中数列{f(n)}前n项积可求.则可用累商法求a. 例5在数列{a}中.a=2.a= a,求通项a. [解] ∵a=2.a= a, ∴=. =. -- =. 以上n-1个等式左右两边分别相乘得 =n, a=2n. 且n=1时.a=2也适合上式. ∴a=2n . 5. 构造法 直接求通项a较难求.可以通过整理变形等.从中构造出一个等差或等比数列.从而将问题转化为较易求解的问题.进一步求出通项a. 例6各项非零的数列{a}.首项a=1,且2S=2aS-a,n≥2,求数列的通项a. [解] ∵a=1.2S=2aS-a, n≥2,又a= S-S. ∴2S=2S-2 SS-S+ S. ∴-=2 ∴数列{}是以=1为首项.以2为公差的等差数列. ∴=1+(n-1)·2=2n-1, S=. ∴a= S-S=-= 又a=S=1,不适合上式. ∴ 有些求通项的题目可能要综合应用几种方法和技巧,当然了.有些题可能有多种解法. 评析 构造法解决问题希大家尽量掌握.这对于提高我们的数学素质大有帮助. 注意 求数列通项公式的问题是最为常见的试题.特别要注意已知S求a的问题. 三 数列求和 数列求和是数列部分的重要内容.求和问题也是很常见的试题.对于等差数列.等比数列的求和主要是运用公式,某些既不是等差数.也不是等比数列的求和问题.一般有以下四种常用求和技巧和方法. 1.公式法 能直接应用等差数列或等比数列的求和公式以及正整数平方和.立方和公式寻求和的方法. 例7数列{a}的通项a=n-n.求前n项和S. [解] S=(1-1)+(2-2)+-+(n-n) =(1+2+-+n)- =- =. 2.倒序求和法 3.错项求和法 [例2]求和S=+++-+. 请你独立完成.相信你会有更深的体会. 答案 S=3-. 4.裂拆项法 例8在数列{a}中.a=10+2n-1,求S [解] S=(10+2×1-1)+(10+2×2-1)+-(10+2n-1) =(10+10+-+10)+2×-n =+n(n+1)-n =(10-1)+n. 注意 把通项进行合理地分拆与组合.转化为易求和的数列的求和问题. 练习:求数列1.1+2.1+2+3.-的前n项的和. 答案 S=. 例9已知数列{a}:...-.-.求它的前n项和. 分析 我们先看通项a==.然后想什么办法求S呢?将通项分裂成两项之差如何? [解]∵a==2(). ∴S=a+a+a+-+a =2[(1-)+(-)+(-)+-+()] =2(1-)=. 评析 如果数列的通项公式可转化为f形式.常采用裂项求和的方法.特别地.当数列的通项公式是关于n的分式形式时.可尝试采用此法. 常用的裂项技巧如:=(), =(-)等. 使用裂项法时要注意正负项相消时.消去了哪些项.保留了哪些项,你是否注意到由于数列{a}中每一项a均裂成一正一负两项.所以互为相反数的项合并为零后.所剩正数项与负数项的项数必是一样多的.切不可漏写未被消去的项. 【】
题目列表(包括答案和解析)
数列求和的常用方法：
数列求和的常用方法：
数列求和的常用方法：
主要有三种常用的表示方法，即________法、________法和________法．
已知递增等差数列满足：，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若不等式对任意恒成立，试猜想出实数的最小值，并证明．【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中，利用设数列公差为，由题意可知，即，解得d，得到通项公式，第二问中，不等式等价于，利用当时，；当时，；而，所以猜想，的最小值为然后加以证明即可。解：（1）设数列公差为，由题意可知，即，解得或（舍去）．&&&&& …………3分所以，．&&&&&&& …………6分（2）不等式等价于，当时，；当时，；而，所以猜想，的最小值为．&&&& …………8分下证不等式对任意恒成立．方法一：数学归纳法．当时，，成立．假设当时，不等式成立，当时，，…………10分只要证& ，只要证& ，只要证& ，只要证& ，只要证& ，显然成立．所以，对任意，不等式恒成立．…14分方法二：单调性证明．要证& 只要证 &，&& 设数列的通项公式，&&&&&&& …………10分，&&& …………12分所以对，都有，可知数列为单调递减数列．而，所以恒成立，故的最小值为．&
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高中数学必修五数列知识点
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你可能喜欢数列通项公式的求法
数列通项公式的求法
户县三中&&
&数列是高中数学中很重要的内容之一，是高考的热点；数列通项的求法是数列的重要内容，是高考的亮点。本文对几类常见的数列求通项问题进行了探讨。
通项公式& 裂项法& 累加法& 累积法&
构造数列法
&&数列在高考数学试卷中占有重要的地位，求数列的通项公式是陕西省新教材的必修5数列一章的重要内容，也是高考常见的考点。在近年的高考中，数列的命题与函数、方程、不等式、排列组合、二项式定理、导数等知识联系，且多以“把关题”的姿态出现。不管命题形式如何变化，解决数列问题的前提多是确定通项公式。数列中蕴含着丰厚的数学思想，而数列的通项问题具有很强的逻辑性，是考查逻辑推理和化归能力的好素材，既可考查等价转化与化归这一数学思想，又能反映考生对等差数列，等比数列理解的深度，具有一定的技巧性。下面谈谈几种常见的数列求通项问题。
列方程组法
当已知数列为等差数列或等比数列时，可以根据已知的具体的项或具体的前几项的和列二元方程组，进而求出两个基本量
和 或 和 ，再根据等差数列或等比数列的通项公式求出。这种方法通俗易懂，应用起来方便可行。
是等差数列，，其前10项和
，求通项公式。
例2．已知数列 是等比数列，
，，求通项公式 。
&&解之得：
二．裂项法
&&裂项法用于递推关系式的分母是关于的两个因式的乘积，由于
取正整数，因此两个因式的差的绝对值分之一就是裂成两项之差前的系数，如下例中。裂项法常伴随着累加法。
已知数列 中，
，，求通项公式 。
三．累加法、累积法
累加法就是把多个式子相加，从而可以抵消去中间所有项，只留头和尾，或使中间所有项成为一个特殊数列。累积法就是把多个式子相乘，从而可以约去中间项，只留头和尾。上例中体现的就是累加法，保留和
。下例为累积法。
例4. 在数列 中，
，，求通项公式 。
四. 构造数列法
&有五种形式相似的递推关系式，但有着不尽相同的方法，以下五种形式中的数字2代表一个实数，首相 。
1. &&&（等差数列）
&&这是一个等差数列的递推公式，可以求出公差，再用等差数列的通项公式
，计算出 ，也可以用累加法求出 。
2. &&&（累加，等差求和）
&&此关系式用累加法，等号右边形成等差数列求和。类似的型均可用此方法。
3. &&&（累加，等比求和）
&&&&此关系式用累加法，等号右边形成等比数列求和。类似的
&（）型均可用此方法。
&&&&&&&&&&&&
4. &&&（同加，等比）
此关系式可以化为 ，属于“
”型，给等式两边同加上
则可构造一个等比数列，进而用等比数列通项公式求出构造数列的通项公式，再推导出数列的通项公式。
解：原式等价于
给等式两边同加上2，得
则为等比数列，首项为3，公比为2
5. &&&（同除，等差）
此关系式给等式两边同除以，则可以构造一个等差数列，也可以同除以
， 等，一样可以构造一个等差数列，进而求出数列 的通项公式。
解：给等式两边同除以
为等差数列，首项为，公差为1
以上五种相似的递推公式“形”很相似，用的方法各不一样，仅第一种根据等差数列的定义直接判断其为等差数列，其余4种均构造了一个新的等差或等比数列，用相应的通项公式或前
项和公式，便可求得数列的通项公式。若五个式子中的 换成 也一样可以求出 。
在近几年的高考中，依然把求数列的通项公式作为数列知识的基础，小题大题均有体现，但命题人对数列的题型变得灵活了，可能和函数，导数，不等式等知识穿叉，有时给出与
的关系，让考生根据 推导出递推公式后，再根据以上归纳的方法对号入座。
例5. 设数列 的前 项和，求数列
通项公式。
分析：根据
&&&&当时，
&属于同除等差法。
例6. 设数列 的前 项和，求数列
通项公式。
两式相减得：属于同加等比法。
例7．已知数列 的首项 ，
求证：数列是等比数列。
分析：对两边同时取倒，
化归为同加等比法，
两边同减1得： 问题得到解决。
例8．已知数列 的首项
，且点在函数 的图像上，求数列 的通项公式。
分析：把代人
根据等差数列通项公式可求出，从而
以上，求数列通项公式的方法，究其本质是利用等差数列与等比数列的相关知识时，由于题设条件给出的形式和结构不同而产生的。递推数列的题型多样，往往可以通过适当的策略将问题化为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳的方法，可由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明。求数列通项公式的通法体现的是转化与化归的数学思想方法，即将不熟悉形式转化为熟悉的。因此，仔细辨析递推关系的特征，准确选择适当的方法是迅速求出通项公式的关键。解答有关求数列通项公式的问题时，应多角度观察，勤思考，才能获取解题思路，进而恰当地选择适合题目的通法。
参考文献：《中学课程辅导.教学研究》&
2009年第23期.& 李文彪
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