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常微分方程(第三版)课后习题答案【精编版】
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常微分方程(第三版)课后习题答案【精编版】
关注微信公众号科学计算：Python&VS.&MATLAB（5）----常微分方程数值解
科学计算：Python VS.
MATLAB（5）----常微分方程数值解
一、常微分方程的一般理论
凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分)
的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。
二、使用Python
scipy中提供了用于解常微分方程的函数odeint()，完整的调用形式如下：
scipy.integrate.odeint(func,
y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0,
full_output=0, ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None,
h0=0.0, hmax=0.0,hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12,
mxords=5, printmessg=0)
实际使用中，还是主要使用前三个参数，即微分方程的描写函数、初值和需要求解函数值对应的的时间点。接收数组形式。这个函数，要求微分方程必须化为标准形式，即dy/dt=f(y,t,)。而我们会发现，高阶方程的标准化工作，其实是解微分方程最主要的工作。下面是一个二阶常微分方程的例子，通过这个例子，学会变化标准形式的方法。
典型的二阶方程：y"+a*y'+b*y=0
，不满足标准式。变量替换，假设输入是Y=[y,y’]，输出是Y’=[y’,y”]，那么方程就化为了Y’=F(Y,t)的形式。我们知道Y[0]=y,
Y[1]=y’，所以输出形式就是：
y”=-a*y’-b*y=-a*Y[1]-B*Y[0]
有了这个形式，我们很容易写出Python代码：
from scipy.integrate import odeint
from pylab import *
deriv(y,t):&&&&&&&
# 返回值是y和y的导数组成的数组
&&& return
array([ y[1], a*y[0]+b*y[1] ])
time = linspace(0.0,50.0,1000)
array([0.])&&&&
y = odeint(deriv,yinit,time)
plot(time,y[:,0],label='y')&&&
#y[:,0]即返回值的第一列，是y的值。label是为了显示legend用的。
hold('on')
plot(time,y[:,1],label="y'")&&&&
#y[:,1]即返回值的第二列，是y’的值
xlabel('t')
ylabel('y')
-------------------------------------------------------
三、使用MATLAB
同样，MATLAB解微分方程的第一步工作也是化简微分方程为一阶的标准形式，这个和Python是完全一样的。只是函数的编写不一样。MATLAB可以在m文件函数中定义一个函数和多个子函数，但是子函数只能由同一m文件中的函数调用。并且还要求m文件名必须和主函数同名；而Python无此限制，在此可见一斑，也能看出Python代码的相对更优美。另外，Python的索引从0开始，MATLAB的从1开始，为了这个习惯，编写函数的时候也要有所注意。
MATLAB在这里也有一个优势，就是提供了多个求解函数，以应对时间需求、精度需求和刚性问题等要求。这就比scipy中的函数灵活了不少。如果使用scipy，只能自己编写函数了！
这些函数几乎统一的调用方式是：[to,yo]=solver(func,tspan,y0,options)
其中，solver是ode45(最常用)、ode23、ode23t、ode23s、ode23tb等
例1：y”+4*y=3*sin(t)&
y(0)=1,y’(0)=0
定义一个函数，描写这个微分方程：
function dy=fun1(t,y)
dy(1,1)=y(2)
dy(2,1)=3*sin(t)-4*y(1)
将这个函数存为fun1.m,
然后写一个脚本调用它，解方程。不妨这个脚本就叫做callfun1.m
tspan=[0,5];
[t,y]=ode45(@fun1,tspan,y0);
plot(t,y(:,1),'k-');
plot(t,y(:,2),'k:');
xlabel('t');
画出来的图是这样子的：
下面用Python实现MATLAB部分的例子。
from scipy.integrate import odeint
from pylab import *
def deriv(y,t):
&&& return
array([ y[1], 3*sin(t)-4*y[0] ])
#设置初值和t区间
time = linspace(0.0,5.0,1000)
yinit = array([1,0])
#解方程并绘图
y = odeint(deriv,yinit,time)
plot(time,y[:,0],label='y')&
hold('on')
plot(time,y[:,1],label="y'")&
xlabel('t')
ylabel('y')
结果如图，可以和MATLAB绘制出来的对比一下：
-------------------------
下面用MATLAB实现Python部分的例子。
函数脚本（fun1.m）：
function dy=fun1(t,y)
dy(1,1)=y(2)
dy(2,1)=-2.0*y(1)-0.1*y(2)
调用脚本（callfun1.m）：
tspan=[0,50];
[t,y]=ode45(@fun1,tspan,y0);
plot(t,y(:,1),'k-');
plot(t,y(:,2),'k:');
xlabel('t');
绘图结果：
补充说明：
MATLAB还可以使用inline的形式调用函数。比如：
tspan=[0,5];
fun1=inline('[y(2);3*sin(t)-4*y(1)]','t','y');&&&
%注意这一句
[t,y]=ode45(fun1,tspan,y0);
plot(t,y(:,1),'k-');
plot(t,y(:,2),'k:');
xlabel('t');
这时候，不需要关心文件名的问题了，但是这种写法明显不利于推广和模块化，所以不推荐使用这样的形式。
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常微分方程里面用欧拉公式解题方法
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小弟这个一直搞不明白啊&&望大虾指点
就类似xy''+3y'=0& &和&&yy''+y'?=0& &
会的同志给点具体的步骤啊& &越详细约好啊&&谢谢了
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不知道对不：
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回复 沙发 TornadoYu 的帖子
恩&&这个会啦&&谢谢啦~~~~~
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往下不写了……
这些都不是用欧拉解法啊
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额&&谢谢啦& &看来是我自己没搞明白啊
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这个数三没见过唉……？
最近，及以后的一段时间都不会上论坛，不好意思
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欧拉公式？数几啊？
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欧拉公式是这样的？
考研不是非常苦，是相当苦
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欧拉公式 数一的 其实很简单 很有规律的
X的n次方乘以Y的n次导+（P1倍的） X的n-1次方乘以Y的n-1次导+……+（Pn倍的）X的n-n次方乘以Y的n-n次导=f(x)
解法是 设 x=e^t& &然后几次导 就按D的类似阶乘的算法 D(D-1)....(D-1+k)
书上有例题，很简单的，套公式就好。
你那两个不是欧拉公式解的，也不是欧拉方程。
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第一个是不显含y& & 第二是个不显含x
做题模式直接可以套的
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