如何将解递推方程关系式变成母函数方程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-25 03:01 标签： 求解法求递推方程解
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第二章母函数与递推关系.ppt免费全文阅读 358页
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第二章母函数与递推关系
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··········
··········
递推关系是计数的一个强有力的工具，特别是在做算法分析时是必需的。递推关系的求解主要是利用母函数。当然母函数尚有其他用处，但这主要是介绍解递推关系上的应用。例如
中所有的项包括n个元素a1，a2， …an中取两个组合的全体；同理项系数包含了从n个元素a1，a2，… an中取3个元素组合的全体。以此类推。 §2.1
若令a1=a2= …=an=1，在（2-1-1）式中
中每一个组合有1个贡献，其他各项以此类推。故有： §2.1
另一方面： §2.1
母函数 §2.1
），用类似的方法可得等式：
比较等式两端的常数项，即得公式(2-1-3) §2.1
母函数 又如等式： §2.1
母函数 (2-1-2)式等号的两端对x求导可得： §2.1
用类似的方法还可以得到： §2.1
还可以类似地推出一些等式，但通过上面一些例子已可见函数
　在研究序列　　　　　　　　　　　???? ???? ???? ???? ?的关系时所起的作用。对其他序列也有同样的结果。现引进母函数概念如下：
是序列? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?的母函数。
利用递推关系进行计数这个方法在算法分析中经常用到，举例说明如下：
Hanoi问题是个典型的问题，第一步要设计算法，进而估计它的复杂性，集估计工作量。 §2.2
假定n-1个盘子的转移算法已经确定。 §2.2
上述算法是递归的运用。n=2时已给出算法；n=3时，第一步便利用算法把上面两个盘移到B上，第二步再把第三个圆盘转移到柱C上；最后把柱B上两个圆盘转移到柱C上。N=4，5，…以此类推。 §2.2
算法分析：令h(n)表示n个圆盘所需要的转移盘次。根据算法先把前面n-1个盘子转移到B上；然后把第n个盘子转到C上；最后再一次将B上的n-1个盘子转移到C上。
n=2时，算法是对的，因此，n=3是算法是对的。以此类推。于是有 §2.2
递推关系 算法复杂度为： §2.2
下面介绍如何从(2-2-1)式求得母函数H(x)的一种形式算法。所谓形式算法说的是假定这些幂级数在作四则运算时，一如有限项的代数式一样。 §2.2
根据(2-2-1)， §2.2
上式左端为： §2.2
整理得 §2.2
如何从母函数得到序列
？下面介绍一种化为部分分数的算法。 §2.2
由上式可得： §2.2
递推关系 因为： §2.2
例2. 求n位十进制数中出现偶数个5的数的个数。 §2.2
解法1： §2.2
(2-2-2)式中的
表达了含有偶数个5的n位十进制数的两个组成部分。
表达由含有偶数个5的n-1位十进制数
取5以外的0，1，2，3，4，6，7，8，9九个数中的一个数构成的。
是含有奇数个5的n-1位十进制数，令
是含偶数个5的n位十进制数。 §2.2
(2-2-2)是关于序列
的连立关系。 §2.2
承前页： §2.2
又： §2.2
n-1位的十进制数的全体共
从中去掉含有偶数个5的数，余下的便是n-1位中含有奇数个5的数。故有：
递推关系 令 §2.2
递推关系 §2.2
例三：从n个元素
中取r个进行允许重复的组合。假定允许重复的组合数
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