高数：利用等价无穷小求极限与无穷小

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-23 11:34 标签： 极限无穷小
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高等数学1-2极限的概念、无穷小与无穷大(上)
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2_1极限的概念与性质，无穷大，无穷小【小元老师】高等数学，考研数学，
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关于无穷小与函数极限关系的定理，没看懂收藏
f(x)这个函数当x趋近x0极限是A，然后这个函数就等于A加另一个x趋近于X0时的无穷小，我就很纳闷，函数是变量，怎么可能等于一个常数+一个无穷小。因为这个等式的左面是f(x)，是函数的解析式，范围是去心邻域的整个值域，无穷个啊，为什么会等于一个其中的一个极限A+这个极限的无穷小。解释不通啊？
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无穷小是什么？
因为X0邻域区间很小了
无穷小也是函数
没毛病啊，α（x）是一个函数，本身不是无穷小，只是当x趋近于x0的时候是无穷小。当x取其他值的时候，举个例子，x =x0+100,那么α（x）=f（x0+100）-f（x0）,并不是无穷小。
我和楼主①样的疑惑
这个等式成立的前提是x=0的去心领域内成立，也就是在x趋向于0的时候才成立
函数确实是变量，但是这个极限成立的条件是x趋近于x0。想想，当x趋近于x0时，如果函数在x0的某个领域内有定义，且在x0处连续的话，函数f（x）也一定会趋近于某个值A吧，趋近却不等于，这时候就用A＋无穷小 来表示。其实A＋无穷小 也不是个确定的数值，它表示一种无限接近却又不等的状态
楼主不妨这么考虑： 令
α(x) = f(x) - A ,则
( x--& x0 ) lim {
( x--& x0 ) lim {
f(x) - A }=
( x--& x0 ) lim {
- ( x--& x0 ) lim { A }= A - A= 0即
( x--& x0 ) lim {
0因为　　α(x) = f(x) - A所以，
α(x) 　其中， α(x)
时的无穷小。这样理解的话， 你还有什么问题吗？你还会以为　α(x)　是天马横空、从天而降吗？
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高数，在求极限时使用等价无穷小量代换和重要公式的问题：
什么时候使用等价无穷小量代换，什么时候使用重要公式有点搞不清楚，他们看过去很类似，请老师详细讲解下，谢谢！！另外，高数基础班讲议P18页例3中，由于存在着加法所以没能使用等价无穷小量如sinx代换x，但是它去使用sinx/x这个重要公式，为何在有加法时不能使用无穷小量代换，确可以使用重要公式呢？？？非常不解
提问时间： 23:55:12提问者：
回答时间： 09:07:00
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京公安备110-1081940高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)_中华文本库
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高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1. 极限的保号性很重要：设
（i ）若A &0，则有δ&0，使得当0&|x -x 0|&δ时，f (x ) &0；
（ii ）若有δ&0, 使得当0&|x -x 0|&δ时，f (x ) ≥0, 则A ≥0。
限是否存在在：
（i ）数列{x n }a 的
（ii ）lim f (x ) lim f (x ) =A ，
x →∞ (iii)x →x 0lim f (x ) = (iv)单调有界准则
（vi ）柯西收必要条件是：
?ε&0, ?1. 2. 洛必达（L ’
x 趋近告诉f （x ）、g （x ）, 没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”, 并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
0∞”“”时候直接用 0∞
(ii)“0?∞”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通（i ）“
-项之后，就能变成(i)中的形式了。即f (x ) g (x ) =f (x ) 或f (x ) g (x ) =g (x ) ；g (x ) f (x )
f (x ) -g (x ) =111
g (x ) f (x ) f (x ) g (x ) 11
(iii)“0”“1”“∞”对于幂指函数, 方法主要是取指数还取对数的方法，即
这样就能把幂上的函数移下来了，变成“0?∞”型未定式。
1 0∞0f (x ) g (x ) =e g (x ) ln f (x ) ，
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