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量子力学证明题 - 副本
（五）证明题
1. 证明在定态中，几率流密度矢量与时间无关。
证明：几率流密度公式为：
(ψ?ψ*-ψ*?ψ),
而定态波函数的一般形式为：
-Et ψ(r , t ) =ψ(r ) e
将此式代入上式得：
?J =0。 J =[ψ(r ) ?ψ(r ) *-ψ(r ) *?ψ(r )]，所以?t 2μ
2. 证明厄密算符的本征值为实数。
^为厄米算符，则证明λ为实数。 ^ψ=λψ
F 证明：若F
*^^由厄米算符定义，令φ=ψ，?ψF ψ=?(F ψ) ψd τ， *
*左=?ψλψd τ=λ?d τ，右＝?λ*ψ*ψd τ=λ*?d τ， 22
∴(λ-λ) ?d τ=0，
∴λ=λ* , λ为实数。 2*2
和动量算符p
x 为厄密算符。 3. 证明坐标算符x
*^=x ，^是厄密算符。^?dx =?(x ψ) *?dx ， x ∴x 证明：则由厄密算符的定义得?ψx
+∞?， ?x +∞+∞d d *??*+∞?dx =-i
ψ?-?ψdx ? ?-∞?-∞?-∞dx dx ??
+∞d +∞d =i
?(ψ*) ?dx =?(-i
-∞dx -∞dx
+∞+∞d *^x ψ) *?dx
ψ) ?dx =?(p -∞-∞dx
^x 是厄米算符 ∴p ^x ?dx =-i
?ψ*ψ*p -∞
4. 证明对于非简并情况，厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。
^的本征值非简并，取其中的任意的两个本征值和本征函数：证明：设厄米算符A
^ψ=a ψ ，A ^ψ=a ψ，
ψm 和ψn ， 有A m m m n n n
*^^ψ) *d τ，
ψd τ=ψ(A 按厄米算符的定义，有ψm A ?n ?n m
*而上式的左端=a n ?ψm ψn d τ，右边=a m ?ψn ψm d τ，
*所以(a n -a m ) ?ψm ψn d τ=0，a n ≠a m 。
* 故?ψm ψn d τ=0，这就是厄米算符本征函数的正交性的数学表达。 *
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一道量子力学题A B 为算符 C为A的逆算符 n为小量 D=(C-nb) E为D的逆算符 证明E=C+nCBC+n^2C+n^2CBCBC+.
黄昏████主
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这道题又出错了.正确的问题是：证明E=A+nABA+n^2ABABA+.对任意波函数|p>,设E|p>=|q> (1)则|p>=D|q>=(C-nB)|q>=C|q>-nB|q>两边都乘A,A|p>=AC|q>-nAB|q>=|q>-nAB|q>于是|q>=A|p>+nAB|q>叠代|q>两次得|q>=A|p>+nABA|p>+n^2ABABA|p>+n^3ABABAB|q>代回式(1)并忽略高阶n项,E|p>=A|p>+nABA|p>+n^2ABABA|p>+.=(A+nABA+n^2ABABA+.)|p>因|p>是任意波函数,所以E=A+nABA+n^2ABABA+.这道题其实是线性代数问题.如果取一套基矢,则所有算符都可以表示为矩阵,问题变成了矩阵求逆:E=D^{-1}=(C-nB)^{-1}=(A^{-1}-nB)^{-1}两边都乘A^{-1}-BA^{-1}E-nBE=II为单位矩阵.两边再乘以A,E-nABE=AE=A+nABE叠代E两次得E=A+nABA+n^2ABABA+.你的老师是谁?他实在不行,老把问题出错,误人子弟.
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量子力学算符090913 §1 表示力学量的算符 §2 动量算符§3 厄密算符的本征值与本征函数 §4 算符与力学量的关系 §5 共同本征函数 §6 测不准关系§7 守恒量,§1 表示力学量的算符,（一）算符引进1、力学量平均值 2、常见力学量算符,（一）算符引进,当可能值为离散值时: 一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和； 当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。 基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标和动量的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。,在统计物理中知道：,1. 力学量平均值,（1）坐标平均值,为简单计，剩去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间的变化） 设ψ(x) 是归一化波函数，|ψ (x)|2 是粒子出现在x点的几率密度，则,对三维情况，设ψ(r) 是归一化波函数，|ψ(r)|2是粒子出现在 r 点的几率密度，则x的平均值为,（2）动量平均值,一维情况：令ψ(x)是归一化波函数，相应动量表象波函数为,2、常见力学量算符,简言之，由于量子力学和经典力学完全不同，它是用波函数描写状态，所以力学量也必须改造成与经典力学不同的算符形式（称为第一次量子化）。,（1）动量算符,既然ψ(x) 是归一化波函数，相应动量表象波函数为c(px) 一 一 对应，相互等价的描述粒子的同一状态，那末动量的平均值也应可以在坐标表象用ψ(x)表示出来。但是ψ(x)不含px变量，为了能由ψ(x)来确定动量平均值，动量 px必须改造成只含自变量 x 的形式，这种形式称为动量 px的算符形式，记为,一维情况：,比较上面二式得两点结论：,而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：,三维情况：,由归一化波函数ψ(r)求 力学量平均值时，必须把该力学量的算符夹在ψ*(r)和ψ(r)之间,对全空间积分，即,F 是任一 力学量算符,（2）动能算符,（3）角动量算符,（4）Hamilton 算符,代表对波函数进行某种运算或变换的符号,? u = v 表示 ? 把函数 u 变成 v， ? 就是这种变 换的算符。,1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。,2）x u = v， x 也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。,由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：,（二）算符的概念和性能,1、算符的概念,（7）逆算符（8）算符函数（9）复共轭算符（10）转置算符（11）厄密共轭算符（12）厄密算符,（1）线性算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符之积（5）对易关系（6）对易括号,2、算符的一般特性,（1）线性算符,?(c1ψ1+c2ψ2)= c1?ψ1+c2?ψ2其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。,满足如下运算规律的 算符 ? 称为线性算符,（2）算符相等,若两个算符 ?、?对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即?ψ= ?ψ，则算符? 和算符? 相等记为? = ?。,,例如：,开方算符、取复共轭就不是线性算符。 注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。,（3）算符之和,若两个算符 ?、? 对体系的任何波函数ψ 有： ( ? + ?) ψ= ?ψ+ ?ψ= ?ψ 则? + ? = ? 称为算符之和。,显然，算符求和满足交换率和结合率。,,例如：体系Hamilton 算符,注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 ? - ? = ? + （-?）。 很易证明线性算符之和仍为线性算符。,（4）算符之积,若? (? ψ ) = (??) ψ =?ψ 则?? = ? 其中ψ是任意波函数。,一般来说算符之积不满足 交换律，即 ?? ≠ ??这是算符与通常数运算 规则的唯一不同之处。,（5）对易关系,若?? ≠ ??，则称? 与 ? 不对易。,显然二者结果不相等，所以:,,对易关系,,量子力学中最基本的 对易关系。,,若算符满足?? = - ??， 则称 ? 和 ? 反对易。,写成通式:,但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。,注意： 当? 与 ? 对易，? 与 ? 对易，不能推知 ? 与 ? 对易与否。例如：,（6）对易括号,为了表述简洁，运算便利和研究量子 力学与经典力学的关系，人们定义了 对易括号： [?,? ]≡?? - ??,这样一来， 坐标和动量的对易关系 可改写成如下形式：,不难证明对易括号满足如下对易关系： 1) [?,?] = - [?,?] 2) [?,?+?] = [?,? ] + [?, ?] 3) [?,??] = [?,?]?+ ?[?,?] 4) [?,[?,?]] + [?,[?, ?]] + [?,[ ?,?]] = 0 上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。,,（7）逆算符,a. 定义: 设?ψ= φ, 能够唯一的解出 ψ, 则可定义 算符 ? 之逆 ?-1 为: ?-1 φ = ψ,并不是所有算符都存 在逆算符,例如投影 算符就不存在逆.,b.性质 I: 若算符 ? 之逆 ?-1 存在,则 ? ?-1 = ?-1 ? = I , [? , ?-1] = 0 证: ψ = ?-1φ = ?-1 (? ψ) = ?-1 ? ψ 因为ψ是任意函数,所以?-1 ? = I成立. 同理, ? ?-1 = I 亦成立.,C.性质 II: 若 ?, ? 均存在逆算符, 则 (? ?)-1 = ?-1 ?-1,例如:,,设给定一函数 F(x), 其各阶导数均存在, 其幂级数展开收敛,则可定义算符 ? 的函数 F(?)为:,,（9）复共轭算符,算符?的复共轭算符 ?*就是把?表达式中 的所有量换成复共轭.,例如: 坐标表象中,（8）算符函数,利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,?→ 0。,由于ψ、φ是 任意波函数, 所以,同理可证:,,（10）转置算符,(11)厄密共轭算符,,由此可得：:,转置算符 的定义,厄密共轭 算符亦可 写成：,算符 ? 之厄密共轭算符 ?+ 定义:,可以证明: (? ?)+ = ?+ ?+ (? ? ?...)+ = ... ?+ ?+ ?+,(12) 厄密算符,1. 定义: 满足下列关系 的算符称为 厄密算符.,,2. 性质,性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。 即 若 ?+ = ?, ?+ = ?则 (?+?)+ = ?+ + ?+ = (?+?),性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密 算符, 除非二算符对易。 因为 (? ?)+ = ?+ ?+ = ? ? ≠ ? ?仅当 [?, ?] = 0 成立时, (? ?)+ = ? ? 才成立。,（1）动量算符的厄密性 （2）动量本征方程 （3）箱归一化,§2 动量算符,（1）动量算符的厄密性,使用波函数在无穷远 处趋于零的边界条件。,（2）动量本征方程,,其分量形式：,证：,由证明过程可见，动量算符的厄密性与波函数的边界条件有关。,I. 求解,这正是自由粒子的 de Broglie 波的空 间部分波函数。,如果取 |c|2 (2π?)3=1则 ψp(r) 就可 归一化为 δ-函数。,于是：,II. 归一化系数的确定,采用分离变量法，令：,（3）箱归一化,在箱子边界的对应点A, A’上加上其波函数相等的条件，此边界条件称为周期性边界条件。,据上所述，具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。,但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。,周期性边界条件,这表明，px 只能取分立值。 换言之， 加上周期性边界条件后， 连续谱变成了分立谱。,,,这时归一化系数 c 可由归一化条件来确定：,讨论：,（1）箱归一化实际上相当于如图所示情况：,（2）由 px = 2nx ?? / L, py = 2ny ?? / L, pz = 2nz ?? / L, 可以看出，相邻两本征值的间隔 ? p = 2 ?? / L 与 L 成反比。当 L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，当 L ? ? 时，本征值变成为连续谱。,（3）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为一，连续谱归一化为 ? 函数,（4）?p(r) × exp[–iEt/?] 就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。,（5）周期性边界条件是动量算符厄米性的要求。,（一）厄密算符的平均值 （二）厄密算符的本征方程 （三）厄密算符本征函数的正交性 （四）实例,§3 厄密算符的本征值与本征函数,定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。,证：,,逆定理：在任何状态下，平均值均为 实数的算符必为厄密算符。,根据假定在任意态下有：,证：,取ψ=ψ1+cψ2 ，其中 ψ1 、ψ2 也是任意态的波函数，c 是任意常数。,（一）厄密算符的平均值,因为对任 意波函数,左式=右式,令c = 1，得：,令c = i，得：,二式相加得：,二式相减得：,所得二式正是厄密算符的定义式， 故逆定理成立。实验上的可观测 量当然要求在任何状态下平均值 都是实数，因此相应的算符必须 是厄密算符。,所以左右两边头两项相等相消，于是有：,,（1）涨落,厄密算符平方的平均值一定大于等于零,于是有：,（2）力学量的本征方程,若体系处于一种特殊状态， 在此状态下测量F所得结果 是唯一确定的，即：,则称这种 状态为力 学量 F 的 本征态。,可把常数记为Fn，把状态 记为ψn，于是得：,其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态，上式即是算符F的本征方程。求解时，ψ 作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。,证明：,（二）厄密算符的本征方程,定理II：厄密算符的本征值必为实。,当体系处于 F 的本征态ψn 时，则每次测量结果都是 Fn 。由 本征方程可以看出，在ψn（设已归一）态下,证,（3）量子力学基本假定III,根据定理 I,(I) 量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。,? 若力学量是量子力学中特有的 (如宇称、自旋等），将由量子力学本身定义给出。,? 若力学量在经典力学中有对应的量则在直角坐标系下通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：,(II) 测量力学量F时所有可能出现的值，都对应于线性厄密算符 F的本征值 Fn（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符 F的本征方程给出：,,（1）正交性,定理III： 厄密算符属于不同本征值 的本征函数彼此正交,证：,设,取复共轭，并注意到 Fm 为实。,,两边右乘 φn 后积分,,二式相减 得：,若m≠Fn，则必有：,[证毕],（2）分立谱、连续谱正交归一表示式,1. 分立谱正 交归一条 件分别为：,2. 连续谱正 交归一条 件表示为：,3. 正交归一系,满足上式的函数系 φn 或φλ 称为正交归一（函数）系。,,（三）厄密算符的本征函数的正交性,（4）简并情况,
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量子力学算符方程的一道证明题.e^A*e^B=e^(A+B)*e^(1/2*[A,B]),我知道在commutive的情况下,e^(1/2*[A,B])就是0了.但是如何推导arbitrary的A,B两个operator满足以上关系呢?hint我也不知道怎么用.
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据我所知,只有当A和B都和[A,B]对易时,才有(a)式和hint中的[A,G]对易式.如果满足,则dF/dt=[A+e^(At)Be^(-At)]F[B,e^(At)]=[B,At]e^(At)[e^(At),B]=t[A,B]e^(At)e^(At)B=Be^(At)+t[A,B]e^(At)代入得dF/dt=[A+B+t[A,B]]F解得：F=F(0)exp[(A+B)t+[A,B]t^2/2]取t=0得F(0)=1因此F=exp[(A+B)t+[A,B]t^2/2]再取t=1,(a)得证.
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