七年级上册第二章“整式的加减”介绍（2012修订）
“整式的加减”是“数与代数”的重要内容。在初中，关于式的内容主要研究整式、分式和二次根式等。关于整式，主要研究整式的加、减、乘、除运算。对于整式的这四种运算，本套教科书分为两章安排，本章是整式运算的第一章，主要研究整式的加减运算，关于整式的乘除运算，安排在八年级上册的“第十四章 整式的乘除及因式分解”一章中。本章教学时间大约需要8课时，具体安排如下（仅供参考）：
2．1&&& 整式&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3课时
2．2&&& 整式的加减& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&4课时
数学活动&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
小结&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 1课时
一、教科书内容和本章学习目标
1.本章知识结构
本章知识结构如下图所示：
2.教科书内容
本章的主要内容是列式表示数量关系，整式的有关概念及整式的加减运算。本章内容的编写是在学生已有的用字母表示数以及有理数运算的基础上展开的。整式的加减运算是学习下一章“一元一次方程”的直接基础，也是以后学习整式的乘除、分式和根式运算、方程以及函数等知识的基础，同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具。
全章包括两节内容。这两节内容都是由章前引言中的问题引出的。在章前引言中，教科书以2006年正式通车的青藏铁路为背景，根据路程、速度和时间的关系设计了几个问题，解决这些问题要用到用字母表示数、用式子表示数量关系以及对式子进行化简等，为引出单项式、合并同类项及去括号等概念和法则提供实际背景，使学生感受到学习这些概念和运算是实际的需要。
第2.1节“整式”主要介绍单项式、多项式、整式及其相关概念。这些概念是结合实际问题给出的。在引出这些概念的过程中，教科书充分重视与实际问题的联系，从实际情境中抽象出数学概念。本节开始，教科书从章前引言中的问题（1）入手，在速度已知的前提下，利用公式“路程＝速度时间”，首先计算当时间是具体数字时火车所行驶的路程，然后逐步过渡到当时间用字母表示时火车所行驶的路程，这个路程可以用含有字母的式子表示出来。教科书的这种设计，让学生回顾复习小学所学的用字母表示数，感受到式子中的字母表示数，含有字母的式子可以表示实际问题中的数量关系，式子更具有一般性等。接下去，教科书安排了两个用含有字母的式子来表示数量关系的例题，让学生进一步体会用式子简明地表示数量关系。然后设置一个“思考”栏目，通过分析引言与例1中的式子的共同特点给出单项式的概念、单项式的系数和次数的概念等。为了进一步巩固概念，教科书设计一个例题，例题中包括四个实际问题，要求用单项式解决问题。通过这个例题，在巩固单项式概念的同时，也让学生进一步熟悉分析实际问题中的数量关系，并用单项式表示出来，为学习下一章列方程打基础。有了单项式的概念，教科书在此基础上开始研究多项式的概念。对于多项式概念的引入，教科书采用的方式与单项式概念的引入基本相同。首先设置一个“思考”栏目，通过分析例2中式子的共同特点，教科书给出了多项式的概念，以及多项式的项和次数的概念等。为了进一步熟悉多项式的概念，教科书给出一个例题，要求用多项式表示问题中的数量关系，然后根据字母的取值进行计算。
第2.2节“整式的加减”是在学习合并同类项和去括号的基础上，研究整式加减的运算法则。本节内容的编写充分重视了“数式通性”，是在有理数运算的基础上，通过类比来研究整式的加减运算法则。本节开始首先研究了同类项的概念和合并同类项的方法。教科书从章前引言中的问题（2）出发，通过分析这个实际问题中的数量关系，列出式子，化简这个式子需要合并同类项，这样教科书就通过实际问题引出了对合并同类项内容的讨论。接下去，教科书设置“探究”栏目，栏目中包括两个问题，第一个问题是关于有理数的运算，实际上是在式子中，当t取2和-2时的算式，计算这两个算式可以利用分配律，这为解决问题（2）提供方法上的引导。问题（2）要求根据问题（1）中的方法化简式子，由于这个式子中的字母t表示数，问题（1）和问题（2）中的式子有相同的结构，这样，教科书通过分析算式与含有字母的式子的结构，通过与数的运算进行对比，引出了合并同类项的方法，即利用分配律合并同类项。至此，教科书对同类项的讨论只涉及到一次的情形，重点引出了合并同类项的依据，为更一般的同类项的合并提供方法上指导。对于一般的同类项的合并，教科书设置了一个“探究”栏目，要求类比前面所研究关于式子的化简，讨论更一般的同类项（例如多项式中的项的次数高于1,字母不止一个等）的合并，并结合这个“探究”栏目，讨论了同类项的特点，给出同类项的概念。之后，教科书采用与数进行类比的方式，讨论了利用交换律、结合律、分配律将多项式中的同类项进行合并，进一步体现了“数式通性”。与合并同类项一样，去括号也是是整式加减的基础，教科书在充分讨论合并同类项之后，研究去括号的内容。教科书从章前引言的问题（3）出发，利用速度、时间和路程的关系，在已知速度和时间的前提下，列出表示路程的式子，这两个式子都带有括号，化简它们首先需要去括号，这样教科书就结合一个实际例子引出了对去括号的探讨。类比着数的运算，分析去括号前后各项符号的变化情况，就可以得到去括号的符号变化规律。研究了合并同类项和去括号的内容，就可以学习整式的加减运算法则。接下去，教科书通过几个具体例子给出了整式加减运算的法则。
3.本章学习目标
（1）理解单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。
（2）理解同类项概念，掌握合并同类项的方法，掌握去括号时符号的变化规律，能正确地进行同类项的合并和去括号。在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算。
（3）理解整式中的字母表示数，整式的加减运算建立在数的运算基础上；理解合并同类项、去括号的依据是分配律；理解数的运算律和运算性质在整式的加减运算中仍然成立。
&& &（4）能够分析实际问题中的数量关系，并用含有字母的式子表示出来。
二、编写时考虑的几个问题
1.注意与小学相关内容的衔接
本章学习了整式的有关概念和整式的加减运算，教科书将这些内容的编写与列出整式表示数量关系密切联系起来，而用整式表示数量关系是建立在用字母表示数的基础之上的。在小学，学生已经学过用字母表示数、简单的列式表示实际问题中的数量关系和简易方程等，这些知识是学习本章的直接基础。因此本章编写时，充分注意与这些内容的联系，在整理小学相关内容的基础上进行编写。例如，在本章第2.1节的一开始，教科书就提出问题“列车在冻土地段行驶时，2小时行驶多少千米？3小时呢？t小时呢”，这个问题实际上让学生经历了一个由数到式过程，体现了用字母表示数的意义，使学生感受到式子中的字母表示数，为下面继续学习用式子表示数量关系在思考问题的方法上进行引导。因此，教学时，要注意与小学学过的相关内容联系起来，在第2.1节的教学中，可以多举一些例子，复习用字母表示数，复习时要注意这个复习不是简单的重复，而是在复习的基础上有所提高，让学生充分体会字母的含义，逐渐熟悉用式子表示数量关系，理解字母可以像数一样进行计算，为学习整式的加减运算打好基础。
2.加强与实际的联系
在解决实际问题时，似乎遇到的都是具体的数字，但在数字运算的背后，却隐含着式的运算。因此本章编写时，加强了与实际的联系，无论是概念的引出，还是运算法则的探讨，都是紧密结合实际问题展开的。例如，本章的章前引言，以青藏铁路为背景提出三个问题，这三个问题实际上是引出了本章将要讨论的主要问题。在讨论单项式的概念时，教科书从章前引言的实际问题（1）出发，引出用字母表示数，指出用含有字母的式子可以表示实际问题中的数量关系，接着，教科书安排了两个用含有字母的式子来表示数量关系的例题，一方面让学生进一步理解用字母表示数的意义，另一方面可以引出单项式与多项式的概念。再比如，在学习整式加减运算时，对于合并同类项和去括号这两个进行整式加减运算的基础，教科书也是紧密结合实际问题展开的。对于同类项的概念和合并同类项的方法，教科书是结合着章前引言中的实际问题（2）引出的；对于去括号，教科书是结合着章前引言中的实际问题（3）引出的。另外，在本章的例题和习题中，也设计了大量的实际问题。这些实际问题选材广泛，有的选自于工农业生产，有的是与学生生活密切联系，也有反映社会进步的，等等。教科书的这种编写方式，可以让学生充分感受所学知识与实际的联系，体会由实际问题抽象出数学问题的过程，培养学生利用数学解决实际问题的能力。
3.类比数学习式，加强知识的内在联系，重视数学思想方法的渗透
整式可以简明地表示实际问题中的数量关系，它比只有具体数字表示的算式更有一般性。整式中的字母表示数，这使得关于整式的运算与数的运算具有一致性，因此可以说整式的运算是建立在数的运算基础之上的，式的运算更具有一般性，数的运算是式的运算的特殊情形。学生已经学习了有理数的运算，能够运用有理数的运算法则和运算律进行运算，因此本章编写时，充分注意了与数的运算相联系，类比着数的运算，在数的运算的基础上探求整式加减运算的法则和规律。例如，在学习合并同类项法则时，教科书通过一个“探究”栏目，将数的运算和式的运算对照起来。先让学生进行数的运算和，在计算的过程中，重点思考进行运算的依据，然后，引导学生利用这个依据，探讨关于式的运算。由于式子中的字母表示数，因此可以用关于数的运算法则和运算律对式子进行变形和化简。对于类比数的运算来学习式的运算，教科书是非常强调的，在可以进行类比的地方基本都提出明确要求。比如，在研究去括号时，教科书提出如下问题“上面的式子①②都带有括号，类比数的运算，它们应如何化简？”。因此，本章编写加强了数的运算与式的运算之间的联系，利用学生所熟悉的数的运算来学习式的运算，充分利用类比的思想方法，体现“数式通性”，促使学生的学习形成正迁移。
4.加大探索空间，发展思维能力
给学生留出探索交流的空间，培养学生的探究能力和创新精神是本套教科书的一个编写特点。为此，教科书在正文中专门设置了“思考”“探究”和“归纳”的栏目，力求使得数学结论的获得是通过学生思考、探究等活动而得出的。此外，教科书也设计了“数学活动”“课题学习”等专栏，为学生提供更多的探索的空间。本章编写时，结合本章内容的特点，在为学生提供探索空间、发展学生的思维能力方面做了积极努力，无论是对于概念的获得，还是运算法则的研究，教科书都充分注意为学生创造探索空间。例如，对于本章的两个主要概念单项式和多项式，教科书改变了以往直接给出概念的做法，而是设计了一个由学生探索得出结论的过程。以单项式为例，教科书要求学生分析一些式子的共同特点，得到单项式的概念。这个过程让学生经历形成概念的探索过程，对单项式概念会有更深入的理解。再比如，对于运算法则的获得，教科书也给学生留出了较大的探索空间。以研究合并同类项法则为例，教科书强调类比数的运算来研究式的运算。教科书通过设置“探究”栏目，将这个类比的过程留给学生，让学生找到数的运算与式的运算的相同之处，通过类比得到合并同类项的方法，同时也理解了合并同类项的依据。总之，这样的一种编写方式为学生提供了更加广阔的探索空间，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式。因此，教学中要注意改进教学方式，充分相信学生，尽可能为学生留出探索的空间，发挥学生学习的主动性和积极性，培养学生的创新精神和自学意识。
三、对教学的几个建议
1.加强式与数的类比教学
在前面介绍本章的编写特点时，我们谈到本章编写注意加强式与数的类比，体现“数式通性”，利用学生熟悉的有关数的运算来学习整式的运算。根据教科书的这个编写特点，在整式运算的教学中要强调通过类比的思想方法学习式的运算，理解数的运算性质和运算律在式的运算中仍然成立，体会“数式通性”。通过对数与式运算的分析，使学生理解认识事物的过程是由特殊（具体）到一般（抽象），又由一般（抽象）到特殊（具体），在不断重复中得到提高，培养学生初步的辨证唯物主义观点。通过数与式之间的联系，体现数学知识间具体与抽象的内在联系和数学的内在统一性。
2.重视培养学生列式表示数量关系的能力
加强与实际的联系是本章编写的一个特点，对于本章重点概念（如单项式、多项式的概念）的引出，以及运算法则（如整式加减运算法则）的探讨，都是紧密结合实际问题展开的，可以说实际问题贯穿于全章内容的始终。教科书的这种编写方式，一方面可以让学生体会整式的概念和整式的加减运算来源于实际，是实际的需要，同时也可以让学生看到整式及其加减运算在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题的过程，体会整式比数字更具一般性的道理。另外，从实际问题所隐含的数量关系看，基本上是学生比较熟悉的，比如有速度、路程和时间的关系，有单价、数量和总价的关系，有三角形、正方形、长方形、圆等平面图形的周长、面积，以及正方体、长方体、圆柱等几何体的表面积、体积等等。教科书选择具有这些学生熟悉的数量关系的实际问题，一个主要的目的是让学生经历分析实际问题中的数量关系，并用整式表示出来的过程，这为下一章一元一次方程的学习打下基础。因此，教学时，要充分发挥实际问题的作用，结合实际问题学习单项式、多项式等概念以及整式加减运算法则等，引导学生分析实际问题中数量关系，培养学生列式表示数量关系的能力，逐步让学生养成善于利用数学解决实际问题的习惯。
3.抓住重点、加强练习，打好基础
合并同类项和去括号是进行整式加减的基础，它们是本章的重点。整式的加减主要是通过合并同类项把整式化简。熟练进行合并同类项，必须抓好三个关键环节的教学。首先要使学生掌握同类项的概念，会辨别同类项，准确地掌握判断同类项的两条标准（字母和字母指数）；其次，要明确合并同类项的含义是把多项式中同类项合并成一项，经过合并同类项，多项式的项数会减少，这样多项式就得到了简化；最后，要使学生明确“合并”是指同类项的系数的加减，把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。去括号是对多项式变形，学习去括号时，括号中符号的处理是教学的难点，也是学生容易出错的地方，掌握去括号的关键是让学生理解去括号。对于合并同类项和去括号等重点内容，教学中可以适当加强练习，使学生熟练掌握整式加减的运算法则，为今后的学习打下基础。
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行化简与阶梯形矩阵
本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第1章，第1.2节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉
译，更多章节内容可以访问云栖社区“华章计算机”公众号查看
本节书摘来自华章出版社《 线性代数及其应用 （原书第4版）》一书中的第1章，第1.2节，作者:（美）戴维C. 雷（David C. Lay）马里兰大学帕克学院 著刘深泉
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行化简与阶梯形矩阵
本节我们将1.1节中的方法进一步精确化，变成行化简算法（也称行消去法），它可用来解任意线性方程组. 1而应用算法的第一部分，我们可以回答1.1节中提出的基本存在与唯一性问题.
这种算法可用于任意矩阵，不管它是否为某一方程组的增广矩阵. 所以本节的第一部分讨论任意矩阵. 首先我们引入两类重要的矩阵，它们包含1.1节中的“三角”矩阵，在以下的定义中，矩阵中非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列；非零行的先导元素是指该行中最左边的非零元素.
一个矩阵称为阶梯形（或行阶梯形），若它有以下三个性质：
1. 每一非零行在每一零行之上.
2. 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右面.
3. 某一先导元素所在列下方元素都是零.
若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，称它为简化阶梯形（或简化行阶梯形）.
4. 每一非零行的先导元素是1.
5. 每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素.
若一个矩阵具有阶梯形（简化阶梯形），它就称为阶梯形（简化阶梯形）矩阵. 性质2说明先导元素构成阶梯形. 性质3其实是性质2的推论，不过我们把它列出来以示强调.
1.1节中的“三角”矩阵，如
都是阶梯形的，第二个矩阵是简化阶梯形的. 再举更多的例子.
下列矩阵都是阶梯形的，先导元素用 ? 表示，它们可取任意的非零值，在*位置的元素可取任意值，包括零值.
下列矩阵是简化阶梯形的，因先导元素都是1，且在每个先导元素1的上、下，各元素都是0.
一个矩阵可以行化简（即用行初等变换）变为阶梯形矩阵，但用不同的方法可化为不同的阶梯形矩阵. 然而，一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯形矩阵. 下列定理将在书末附录A中给出证明.
定理1 （简化阶梯形矩阵的唯一性）
每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵.
若矩阵A等价于阶梯形矩阵U，称U为A的阶梯形（或行阶梯形）；若U是简化阶梯形，称U为A的简化阶梯形. 大部分矩阵程序用RREF作为简化（行）阶梯形的缩写，有些用REF作为（行）阶梯形的缩写.
当矩阵经行变换化为阶梯形后，经进一步的行变换将矩阵化为简化阶梯形时，先导元素的位置并不改变. 因简化阶梯形是唯一的，当给定矩阵化为任何一个阶梯形时，先导元素总是在相同的位置上. 这些先导元素对应于简化阶梯形中的先导1.
矩阵中的主元位置是A中对应于它的阶梯形中先导元素的位置. 主元列是A的含有主元位置的列.
在例1中，符号（?）对应主元位置. 前四章中的许多基本概念都与矩阵中主元位置有联系.
把下列矩阵A用行变换化为阶梯形，确定主元列.
利用1.1节的方法. 最左边的非零列的第一个元素就是第一个主元位置. 这个位置必须放一个非零元，即主元素. 最好将第一行与第四行对换，这样可以避免分数运算.
把第一行的倍数加到其他各行，以使主元1下面各元素变成0. 第二行的主元位置必须尽量靠左，即在第二列. 我们选择这里的2作为第二个主元.
把第二行的-5/2倍加到第三行，3/2倍加到第4行.
（2）中的矩阵与1.1节所遇到的不同，这里没有办法在第3列中找到先导元素！我们不能利用第一行或第二行，否则会破坏已产生的阶梯形的先导元素的排列. 然而若我们对换第3行和第4行，我们可在第4列产生先导元素.
此矩阵已是阶梯形. 第1、2、4列是主元列.
如例2所示，主元就是在主元位置上的非零元素，用来通过行变换把下面的元素化为0，例2中的主元是1，2，-5，注意这些元素与矩阵A中同一位置的元素不相同，如（3）式所示.
根据例2，我们给出一个有效的算法，变换矩阵成阶梯形或简化阶梯形. 认真掌握这一算法将使你获益匪浅.
行化简算法
下列算法包含四个步骤，它产生一个阶梯形矩阵，第五步产生简化阶梯形矩阵. 我们用一个实例来说明这一算法.
用行初等变换把下列矩阵先化为阶梯形，再化为简化阶梯形.
第一步，由最左的非零列开始. 这是一个主元列. 主元位置在该列顶端.
第二步，在主元列中选取一个非零元作为主元. 若有必要的话，对换两行使这个元素移到主元位置上.
对换第1、3两行（也可对换1、2两行）
第三步，用倍加行变换将主元下面的元素变成0.
我们当然可以把第1行除以主元3. 但这里第1列有两个3，我们只需把第1行的-1倍加到第2行.
第四步，暂时不管包含主元位置的行以及它上面的各行，对剩下的子矩阵使用上述的三个步骤直到没有非零行需要处理为止.
暂时不看第一行，第一步指出，第2列是下一个主元列，第二步，我们选择该列中“顶端”的元素作为主元.
对第三步，我们可先把子矩阵的“顶行”除以主元2. 不过也可以把这一行的-3/2倍加到下面的一行. 这就得到
暂时不看第二个主元所在的行，我们剩下一个只有一行的新子矩阵.
新的子矩阵已不需要处理了，我们已得到整个矩阵的阶梯形. 若我们需要简化阶梯形，进行下一个步骤.
第五步，由最右面的主元开始，把每个主元上方的各元素变成0. 若某个主元不是1，用倍乘变换将它变成1.
下一个主元在第2行，将这行除以这个主元.
将第2行的9倍加到第1行
最后将第1行除以主元3
这就是原矩阵的简化阶梯形.
第1~4步称为行化简算法的向前步骤，产生唯一的简化阶梯形的第5步，称为向后步骤.
数值计算的注解
在第2步中，计算机程序通常选择一列中绝对值最大的元素作为主元. 这种方法通常称为部分主元法，可以减少计算中的舍入误差.
线性方程组的解
行化简算法应用于方程组的增广矩阵时，可以得出线性方程组解集的一种显式表示法.
例如，设某一个线性方程组的增广矩阵已经化为等价的简化阶梯形
因为增广矩阵有4列，所以有3个未知数，对应的线性方程组是
对应于主元列的变量 和 称为基本变量 .1其他变量如 ，称为自由变量.
当一个线性方程组是相容的，如方程组（4）解集可以用显式表示，只要把方程的简化形式解出来，用自由变量表示基本变量即可. 由于简化阶梯形使每个基本变量仅包含在一个方程中，这是很容易的. 在方程组（4）中，我们可由第1个方程解出 ，第2个方程解出 （第3个方程对未知数没有任何限制，可以不管它）.
我们说 是自由变量，是指它可取任意的值. 当 的值选定后，由（5）中的前2个方程就可以确定 和 的值，例如，当 =0得出解（1，4，0）；当 ，得出解（6，3，1）， 的不同选择确定了方程组的不同的解，方程组的每个解由 的值的选择来确定.
（5）式给出的解称为方程组的通解，因为它给出了所有解的显式表示.
求方程组的解，该方程组的增广矩阵已经化为
该矩阵已是阶梯形，但我们在解出基本变量前仍需把它化为简化阶梯形，记号“~”表示它前面和后面的两个矩阵是行等价的（译者注：该记号在中文教科书中并未通用）.
增广矩阵有6列，所以原方程组有5个变量，对应的方程组为
矩阵的主元列是第1，3，5列，基本变量为 ， ， ，剩下的变量 和 为自由变量，解出基本变量，我们得通解为
注意，由方程组（6）的第3个方程， 的值是确定的.解集的参数表示
解集的表示式（5）和（7）称为解集的参数表示，其中自由变量作为参数. 解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解.
当一个方程组是相容的，且具有自由变量，则它的解集具有多种参数表示. 例如，在方程组（4）中，我们可以把方程2的5倍加到方程1，得等价方程组
这时可把 看作参数，用 表示 和 ，得到解集的第一种表示法. 不过，我们总是约定使用自由变量作为参数来表示解集（本书末尾的习题解答也采用这一约定）.
当方程组是不相容时，解集是空集，无论方程组是否有自由变量，此时，解集无参数表示.
考虑下列方程组，它的增广矩阵已是阶梯形，但还不是简化阶梯形：
计算机程序通常用回代法解此方程组，而不是求它的简化阶梯形. 也就是说，程序先解第3个方程，用 表示 ，并把此表达式代入第2个方程，从中解出 ，最后把 和 的表达式代入第1个方程解出 .
我们的矩阵算法，即行化简算法的向后步骤，它求出简化阶梯形，与回代法所需算术运算次数相同. 但矩阵算法通常减少了手算时出错的可能性. 我强烈建议你仅使用简化阶梯形来解方程组！与本书配合的学习指导书给出一些好的建议帮助你更快更准确地解方程组.
数值计算的注解
一般地，行化简算法的向前步骤比向后步骤需要更多运算. 解方程组的算法通常用浮算来衡量. 一个浮算（flop或浮点运算）就是两个浮点实数进行一次算术运算（+，-，*，/）. 对一个矩阵，化简为阶梯形大约需要 次浮算（当 n相当大，比如说n&=30 时，大约是 次浮算），而进一步化为简化阶梯形大约最多只需n2次浮算.
存在与唯一性问题
虽然非简化的阶梯形并不适于解线性方程组，这种形式对于回答1.1节中提出的两个基本问题已经足够了.
确定下列线性方程组的解是否存在且唯一
该方程组的增广矩阵在例3中化简为
基本变量是
；自由变量是 . 这里没有类似0=1的造成不相容方程组的方程，所以我们可用回代法求解. 但解的存在性在方程（8）中已经清楚了. 同时，解不是唯一的，因为有自由变量存在.
的每一种选择都确定一组解，所以此方程组有无穷多组解.当一个方程组化为阶梯形，且不包含形如0=b 的方程，其中 ，每个方程包含一个基本变量，它的系数非零. 或者这些基本变量已完全确定（此时无自由变量），或者至少有一个基本变量可用一个或多个自由变量表示，对前一种情形，有唯一的解；对后一种情形，有无穷多个解（对应自由变量的每一个选择都有一个解）.
上述讨论证明了以下定理
定理2 （存在与唯一性定理）
线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列. 也就是说，增广矩阵的阶梯形没有形如
的行，若线性方程组相容，它的解集可能有两种情形：（ⅰ）当没有自由变量时，有唯一解；
（ⅱ）若至少有一个自由变量，有无穷多解.
以下是求解线性方程组的步骤.
应用行化简算法解线性方程组
1. 写出方程组的增广矩阵.
2. 应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形. 确定方程组是否有解，如果没有解则停止；否则进行下一步.
3. 继续行化简算法得到它的简化阶梯形.
4. 写出由第3步所得矩阵所对应的方程组.
5. 把第4步所得的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式.
1. 求出下列增广矩阵对应的方程组的解
求出下列方程组的通解
练习题答案
1. 增广矩阵的简化阶梯形和相应的方程组是
基本变量是 与 ，通解为（见图1-6）：
注意：要点是一般解要描述每个变量，参数要明显标出. 下面的写法是不正确的：
在这种写法中，似乎和 都是自由变量，这当然是不对的.
2. 当我们行化简方程组的增广矩阵，得
所得阶梯矩阵说明方程是不相容的，因它的最右列是主元列；第3行相应于方程0=5，因此不必再进行任何行变换. 注意，自由变量在此问题中并不起作用，因为方程组是不相容的.
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