分析只需证明向量组?1,?2,?,?m和?1,?；?1??2????m?(m?1)(?1??2??；从而?i??i??1??2????m???i?1；这表明?1,?2,?,?m可由?1,?2,?,?；6．设A为n×m阶矩阵,B为m×n阶矩阵,且n＞；习题3.5；1．求下列齐次线性方程组的一个基础解系并用它表出；?2x1?x2?4x3?3x4?0?x1?x3?
分析只需证明向量组?1,?2,?,?m和?1,?2,?,?m等价. 证明由题知?1,?2,?,?m可由?1,?2,?,?m线性表示,且有 ?1??2????m?(m?1)(?1??2????m)??1??2????m?1m?1(?1??2????m).
从而?i??i??1??2????m???i?1m?11m?1(?1??2????m)(?1??2????m)??i(i?1,2,?,m) 这表明?1,?2,?,?m可由?1,?2,?,?m线性表示. 所以向量组?1,?2,?,?m和?1,?2,?,?m等价.
故它们有相同的秩,向量组?1,?2,?,?m的秩为r． 6．设A为n×m阶矩阵,B为m×n阶矩阵,且n＞m,证明 AB= 0 ． 证明 因AB是n阶方阵且n＞m,所以R(AB)?R(A)?min(m,n)?n. 从而方阵AB的秩小于其阶数,所以AB= 0. 习题3.5 1．求下列齐次线性方程组的一个基础解系并用它表出通解. ?2x1?x2?4x3?3x4?0?x1
?x3?x4?0（1） ? ?3x?x?x
?7x3?3x4?0?1?x1?2x2?x3?x4?x5?0?2x1 +x2?x3?2x4?3x5?0（2） ???3x1?2x2?x3?x4?2x5?0?2x?5x?x?2x?2x?02345?1 解(1)对方程组的系数矩阵施以初等行变换 ?2?1??3??7????1等行变换??初????0???3??1?0??0??0??0?1??0? ?x1可得原方程组的同解方程组?????x3x2?2x3?0?0, 选择x3为自由未知量, x4?0??1???2??,于是方程组的通解为k?(k为任意常数）取x3=1,得一个基础解系??. ?1????0? (2)对方程组的系数矩阵施以初等行变换 ??11?????30等行变换??初???????2???02?????x2?x3??12??1?2??3??2?21?2?51?1?11?121?20x4?x4?7??8?5??8? ?5?8??0?x5?0x5?0x5?0??x1?原方程组的同解方程组为??????7858 x4?58选择x4,x5为自由未知量，取x4?2,x5?0和x4?0,x5?8 得一个基础解系 ??1??7??????15?????1??1?,?2???5?, 于是方程组的通解为k1?1?k2?2(k1,k2为任意常数）. ????20?????0??8?????2．设线性方程组 （???2）x1?3x2?2x3?0?（??8）x2?2x3?0??x1??（??3）x3?0?2x1?14x2? 问?为何值时, 该方程组有非零解？并求出它的全部解. 解 当系数行列式为零时, 该方程组有非零解. 由 ??2?12?3?2?2?0???2?10?3?2?2?0?(??1)(??3) 2??814??82??2??3??1所以当??1 或3时, 方程组有非零解. ?-1???1 时，系数矩阵?-1?2?-3-714-2??初等行变换-2??????4???1?0??0??? ??2???
方程组的全部解为k0(k为任意常数）;???1????1???3 时，系数矩阵?-1?2?-3-514-2??-2?6????1?初等行变换??????0???0??010-1??2?1?2??0???, ?1?2??1方程组的全部解为k??2??1??????(k为任意常数）. ?????3．设n阶方阵A的每行元素之和都为零,且R（A）= n?－1 ,求方程组A X =0的通解. 解 由R(A) =n?－1 得,方程组A X =0的基础解系中含有n－R (A) = n－（n－１）=１个解向量； 又因为n阶方阵A的每行元素之和为零,于是向量??(1,1,?,1)T为方程组A X = 0的解且是1个线性无关解, 所以方程组A X =0的基础解系与通解分别为 ??(1,1,?,1);XT*． ?k?（ｋ为任意常数）4．已知3阶非零矩阵B的每个列向量都是线性方程组 ?x1?2x2?2x3?0??2x1?x2??x3?0??3x1?x2?x3?0 的解, 求?的值. 解 因为B 的每个列向量都是线性方程组的解且B?0, 所以方程组有非零解. 则方程组的系数行列式等于零, 即 ?5?5?2??0?10??4?05???1 5．已知线性方程组 ?x1?2x2?x3?2x4?0??
x2?cx3?cx4?0??x1?cx2
?x4?0 的基础解系由两个解向量构成,求c的值与该方程组的通解. 解
由于方程组A X =0的基础解系中含有两个解向量,所以4-R（A）=2, 即R（A）=2, 故先确定c使R（A）=2．由于 ?1?A?0??1?21c1c02??初等行变换c??????1??0101?2cc?(c?1)2?1?0??0?21c?21c?12??c??1???1?初等行变换?????0??0?2?2c??c?2??(c?1)? 欲使R（A）=2, 只有(c?1)2=０即ｃ=１．此时, 同解方程组为 ?x1?x3, ??x2??x3?x4方程组的通解为X?k1(1,?1,1,0)T?k2(0,?1,0,1)T （k1,k2为任意常数）． 6．设 ?1??1A???2????t???1? B是3阶非零矩阵,且AB=O, 求t的值. 解因为AB=O, 所以B 的每个列向量都是齐次线性方程组AX?0的解. 又因为B?O, 所以齐次线性方程组AX?0有非零解, 则R(A)?3. 由于 ?1??1A???2???等行变换??初????t???1??1?0??0???t?3??0?, 欲使R(A)?3, 需t = 3. 故t = 3. 习题3.6 1．解下列线性方程组（在有无穷多解时求出其结构式通解）． ?2x1?3x2?x3?4?x1?x2?x3?x4?0??1?x1?2x2?4x3??5（1）?
（2）? ?x1?x2
?x4?3x?8x?2x?1x?x?9x??6?2x1?2x2?4x3?6x4??123?1 解（1）对方程组的增广矩阵施以初等行变换化为行最简阶梯形矩阵 ?2?1??3??43?28?114?29????4??1???50初等行变换????????013????6???????1??2?0??0? 由于R(A)?2?R(A)?3?n, 所以原方程组有无穷多解, 并且由阶梯形方程组 ?x1??1?2x3 ?x?2?x3?2?x1??2x3?x2?x3得方程组的一个特解?0?(?1,2,0)T, 导出组的同解方程组为?, 易得导出组的一个基础解系??(?2,1,1)T. ??1???2???所以方程组的结构式通解为 2?k?1?(k为任意常数）. ?????0??1?????（2）对方程组的增广矩阵施以初等行变换化为行最简阶梯形矩阵 ?1??1??2??1?1?2?10?41?16?????10???1初等行变换???????0?2???1???0????20???1??2?1?2??0??? 由于R(A)?2?R(A)?4?n, 所以原方程组有无穷多解, 并且由阶梯形方程组 1?x??x2?x41??2??x?1?2x34??2 得方程组的一个特解?0?(,0,,0)T, 导出组的同解方程组??x4?x3?2x4, 三亿文库包含各类专业文献、行业资料、专业论文、外语学习资料、幼儿教育、小学教育、高等教育、第三章习题与复习题详解---高等代数02等内容。　
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设A为3*3矩阵,且方程AX=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)=_?
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设A为3*3矩阵,且方程AX=0的基础解系含有两个解向量,则秩(A)=_?答案为1是怎么算的?谢谢!
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因为基础解系中解向量的个数=未知数个数-秩这样：2=3-秩，所以秩为1.
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回复#1楼6zikao的帖子2是怎么来的?是因为题目中说AX=0而得来的吗?谢谢!
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题干说“基础解系含有两个解向量”，两个解向量，2就是这样来的。
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回复#3楼6zikao的帖子谢谢!
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