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2006年12月第23卷第4期陕西师范大学继续教育学报(西安) JournalofFurtherEducationofShaanxiNormalUniversity Dec.. No.4 对导体处于静电平衡状态几个问题的讨论渊小春(西安科技大学数理学院讲师西安710054) 摘要:从导体静电平衡状态出发,利用电场线的性质,对导体静电平衡教学过程中几个问题进行了讨论。澄清学生对一些问题的模糊理解,对教学有一定的参考价值。关键词:静电平衡;电场线;感应电荷;电荷分布中图分类号:O441.1文献标识码:A文章编号:(03—03 收稿日期:2006一O8一O7 大学物理电磁学部分“静电场中的导体”这节课的教学中,有几个问题学生容易感到困惑,本文就这几个问题从基础知识出发进行讨论。 1静电平衡状态导体内存在着自由电荷,无论原来是否带电, 在外电场的作用下,自由电荷发生移动,从而改变电荷分布产生静电感应。最后达到静电平衡状态。导体处于静电平衡时,从电场强度的角度描述:导体内部场强处处为零,导体表面处的场强与它的表面垂直;从电势角度描述:导体处于静电平衡时,导体是等势体,导体表面是等势面。 2几个具体问题的分析 2.1导体电势的变化当带电体未移近中性导体时,导体的周围无电场线,其电势U=U=0(无穷远处为电势零点)。当带电体A移近中性导体时,由于静电感应,在导体的两端分别带上等量异号感应电荷。其电场线如图(1)¨ 这时,虽然导体两端带上等量异号电荷,但整个导体是等势体,表面是等势面,导体上的正电荷发出电场线不能终止于自身上的负电荷,只能圉1 终止于无限远处,因为电场线指向电势降落的方向,因此有UB&U&0,既然UB&0,那么终止于导体上负电荷的电场线不能来自无穷远处,只能是来自带电体A。所以有Ua&Us&U=0,可见由于带正电的A的移近,使得导体目的电势升高了。若A带负电,则A的移近,会使得导体的电势降低,由Us=0变为U&0。 2.2接地导体的电势及导体上电荷的变化如图(2),带电体的电场中有中性导体,将导体接地。由前面分析知,接地前U&0(无穷远处为电势零点,那么地球的电势为零。对于地面上任何有限的带电体,地球半径都可以看作无限大,地球可被看作一个无限大的平面导体,只要能够把大地看成是一个无限大的,不带电的平面导体,大地的电势总与无限远处等电势](。 l03 维普资讯
①圈2 将导体接地,地球上的负电荷就会由电势低的地球移向电势高的导体,与导体右端的正电荷中和,最后达到导体的电势与地球的电势相等的平衡状态,此时UB=U地=0,中性导体变为带负电的导体。若A带负电,中性导体处于A的电场中,将接地,导体上的负电荷就会由低电势的导体移向高电势的地球,达到导体的电势与地球电势相等。由上可知,接地导体,电势为零,在其靠近带电体的一端带有与带电体异号电的电荷。 2.3空腔导体内存在点电荷时,导体内外表面上感应电荷的分布静电平衡时空腔导体腔内无带电体时,其电荷只能分布在外表面,腔内电场为零]㈣,空腔导体中电场为零,空腔导体及空腔整体为等势体。若腔内有带电体,在静电平衡时,导体空腔内表面所带电荷与腔内带电体所带电荷等值异号。腔内电场线由正电荷发出全部终止于负电荷上。电场线不穿过导体,因此腔内带电体与腔内表面感应电荷的电场对腔外无影响。即这两部分电荷的场对腔外表面电荷的分布无影响J()。因此可知:(1)空腔内有+q时,其内表面有一q的感应电荷,外表面电荷为Q+q,其中Q为导体本身所带电荷量。(2)空腔内带电体在腔内移动时,腔内表面的感应电荷电量不变,分布发生变化,但对腔外电场无影响(3)空腔内带电体在腔内移动时,空腔导体外表面上电荷分布不变,若空腔导体外无其它导体或带电体时,外表面上电荷的分布,只与外表面的形状有关。图(3)(4)是两种不同情况电场线的分布,前者电荷未在空腔中心,后者在空腔中心,但外表面电荷分布相同。 104 幽3 圈4 2.4两带电体之间距离不是足够远时,其电荷分布及相互作用空间有两个带电导体A、,电量分别为Q。, Q:,如果Q+Q&0,从远处看,可把A、视为一个电量为Q+Q:的正电荷系统,正电荷的电场线终止于无限远处,不会有发自无限远处的电场线终止于导体A、上。如果Q,+Q&0,无限远处不会接收到由导体发出的电场线;如果Q+Q=0,无限远处不会有电场线的发出和终止。因此,A、两导体上不会同时被感应出异号电荷。分析:如果导体A、表面上电荷都是异号的, 如图(5)所示,一部分表面上带正电荷,一部分表面上带负电荷,每个导体上正电荷发出的电场线不能终止于自身所带的负电荷上。对于Q。+Q:&0的情况,不会有发自无限远处的电场线终止于两导体,因此,终止于导体表面上负电荷的电场线只能是来自导体A表面上的正电荷,终止于导体A表面上负电荷的电场线也只能是来自导体表面上的正电荷。这样显然不成立, 因为沿电场线方向,电势降落,由A_+的电场线说明导体A的电势高于,由 A的电场线又说明日的电势高于A,显然不正确。对于Q+Q:≤0的情况,导体A、表面上正电荷发出的电场线不能终止无限远处,又不能终止在自身,那么只能终止于另一导体上,会出现和上面一样的矛盾。因此两个带电导体所带电荷不可能同时都是异号的,至少其中有一个导体表面上所带电荷应是同号的。圈5 维普资讯
图(6)是Q+Q:&0时的电场分布图图6 图(7)是Q。+Q&0时的电场分布图图7 图(8)是Q+Q=0时的电场分布图圈8 从图(6)、(7)、(8)可看出,AB两导体相对部分的表面上被感应出异号电荷,建立起电容式电场,因此,、B两导体之间的相互作用为引力。以上几个问题学生清楚了,对涉及导体的问题中就会避免由于“想当然”而出现错误(如下例)。同时,对于提高学生的分析问题能力以及严谨认真的品质的形成都有一定的帮助。例1在一不带电的半径为的金属球外,有点荷+q,与球心相距为r(如图9),则感应电荷在球心产生的电场强度是多少?若将金属球接地, 则感应电荷在球心处产生的电场强度是多少?电势是多少? 分析导体球处于点电荷q所产生的静电场中, 静电平衡时,其内部的场强为零。 E0=E口+E感=0 因为云赤方向图9 由q指向0,所以E感= 方向由0指向q。不管金属球接地与否,球内场强为零,q在0处产生的场强不变,故E感不变。接地前后,金属球电势发生变化,未接地时,其电势为Vo=Uq+u感。(感应电荷的电量为零,在球心处的电势为零) 接地后,金属球电势为零,即有 Uo Uq川感。。·· 一 Uq一此时感应电荷的电量不再为零,设为q即有垡=一垡 4百。R 4百s 例2中性金属球内有一球形空腔,空腔中心置一点电荷q(如图10),问:①金属球内外表面带电多少?怎样分布? ②内外表面产生感应电荷在球外一点P产生的场强各是多少? 由前面的讨论可知内面产生感应电荷 q=一q。,外面产生的感应电荷q=q,因对称性,q:均匀分布在内表面,又因q、q:在腔外产生的合场强为零, 图l0 所以q在外表面也均匀分1
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第9章静电场中的导体分析.ppt 15页
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第9章静电场中的导体分析
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静电场中的导体 + + + + + + + + + 一、金属导体的电结构 感应电荷 二、静电感应
静电平衡条件 导体的特点：自由电子，但不能逸出导体 第9章 静电场中的导体和电介质 + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 导体内电场强度 外电场强度 感应电荷电场强度 静电平衡状态 静电感应现象过程 导体(带电或不带电) 自由电子作宏观定向运动 导体表面一端带负电,另一端带正电,称感应电荷. 自由电子宏观定向运动停止 外电场作用下 电荷重 新分布 附加电场 induced charge
+ + + + 导体是等势体 静电平衡条件：
导体表面是等势面
导体内部电势相等 ——导体内部和表面无电荷的定向移动 推论： C D 导体表面场强垂直表面 导体内部场强处处为零 三、静电平衡时导体上的电荷分布 + + + + + + + + + + 结论 导体内部无净电荷 1　实心导体 2　有空腔导体
空腔内无电荷 电荷分布在表面上 内表面上有电荷吗？ 若内表面局部带电 所以内表面不带电 + + - -
电荷分布在外表面上（内表面无电荷） + + + + + + + + + + 矛盾 导体是等势体
空腔内有电荷 电荷分布在表面上 内表面上有电荷吗？
当空腔内有电荷
时,内表面因静电感应出现等值异号的电荷
，外表面有感应电荷
（电荷守恒） + + + + + + + + + + +
为表面电荷面密度
作钱币形高斯面 S 3　导体表面电场强度与电荷面密度的关系
表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比 + + + + + + + + + 注意 导体表面电荷分布与导体形状有关. 4　导体表面电荷分布
尖端放电现象 尖端放电现象的利与弊
带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附近的空气发生电离而使导体产生放电现象，即尖端放电 . 四、静电屏蔽
1　屏蔽外电场 外电场
空腔导体可以屏蔽外电场, 使空腔内物体不受外电场影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必处处相等 空腔导体屏蔽外电场
接地空腔导体 将使外部空间不受 空腔内的电场影响. 接地导体电势为零
2　屏蔽腔内电场 + + + + + + + + 有导体存在时静电场的分析与计算 导体上的电荷重新分布 电场 利用： 相互影响 静电场的基本规律 （高斯定理和环路定理） 电荷守恒定律 导体的静电平衡条件 进行分析与计算 静电场的叠加原理 求： 导体球接地后 球上感应电荷的电量qx 是多少？ q R a O 例 Q1 Q2 q1 q4 & q2 q3 P1 P2 & 0 P1: P2: 例 题 正方向 Q +
+++++ ++++++ ++++++
原不带电 ++++++
++++++ 接地后:
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10.6 静电场中的导体和电介质
§10-7 静电场中的导体和电介质主要研究 （1）电场对导体和电介质的作用； （2）导体和电介质对电场的影响；电场 物质§10.7.1 导体的静电平衡1. 导体 从导电性来讲，物质可分为三类：导体、半导体和绝缘体。导体：有能自由移动电荷的物体。如金属导体，电解质溶液，气体等离子体……课本主要指金属导体，自由电荷是自由电子。 自由移动：只要有不为零的电场力，就会定向运动。2. 导体的静电感应1）无外电场时导体的静电感应过程E外2）加上外电场后导体的静电感应过程E外+加上外电场后导体的静电感应过程E外++加上外电场后导体的静电感应过程E外+ + ++ +加上外电场后导体的静电感应过程E外+ ++加上外电场后导体的静电感应过程E外+ + ++ +加上外电场后导体的静电感应过程E外+ + ++ +加上外电场后导体的静电感应过程+ + +E外++ + +加上外电场后导体的静电感应过程E外+ + ++ + +加上外电场后导体的静电感应过程+ + + + + + + +E外加上外电场后导体的静电感应过程+ + + + + + + + + +E外加上外电场后问题：导体的静电感应过程能无休止进行下去吗？1)有电源和闭合回路时――可以。靠其他形式的能驱使 自由电荷不断定向移动。 2)孤立导体――不可以。有一个极限――静电平衡：EE00E施 E总tE感3. 导体达到静电平衡+ + + + + + + + + +E感感应电荷E外? ? ? E内 ? E外 ? E感 ? 0感应电荷静电感应：导体内的自由电荷在外电场作用下产生定向移动，使得导体表面出现感应电荷的现象。感应电荷：由于静电感应而在导体表面产生的净电荷。感应电场：由感应电荷激发的电场，起到削弱原施感电场的作用。静电平衡：感应电场与原施感电场抵消――导体内电场为零(电学特征)，导体内无宏观电荷的定向移动(力 学特征)的状态（静电平衡条件）。§10.7.2 静电平衡导体的电学特征1、电势方面2、电场方面3、电荷方面1. 静电平衡导体上的电势特征 静电平衡时导体为等势体，导体表面为等势面。 (导体只有一个电势值) 证明：在导体上任取两点，电势差为：baU ab ? U a ? Ub ? ? E ? dl静电平衡时导体中 E ? 0b aUa ? Ub ? 0,U a ? Ub导体为等势体，导体表面为等势面。2.静电平衡导体表面电场特征1)方向:静电平衡时;场强方向与导体表面垂直由于静电平衡时导体表面为等势面， 由等势面的性质，场强方向垂直于等势面， 所以场强垂直于导体表面。 反之，如果场强不垂直于表面，电场力 继续移动电荷，不满足静电平衡条件。金属球放入前电场为一均匀场? E金属球放入后电力线发生弯曲 电场为一非均匀场++ + + + ++? E?2)大小:静电平衡时;导体表面附近的场强 大小为:? E? ?0S证明：垂直导体表面作 一小高斯柱面，外底面 上的场强近似不变。?,? ? ??S EdS cos? ??q? q ? ?S? ? ?外底 ? ?侧 ? ?内底?0?侧 ? 0, ?内底 ? 0,? E?dS ?E ? 0S? ? E ??外底 dS?q??S ? ? ES ? ?0 ?0证毕? E? ?0注意： 1.E不是面积S产生的，是整个导体产生的。 2. E 是导体外表面之外附近很近处的场强。几个公式的对比? E? ?03. 静电平衡导体上的电荷特征 静电平衡时导体内无宏观净电荷，所有宏 观净电荷电荷分布于外表面。证明：导体内取任何闭合面? ? ??S E ? dS ??q静电平衡时E = 0， ? q ? 0 或：导体的宏观净电荷只分布在外表面反之，如果体内有宏观净电荷 ? q ? 0, E ? 0 与静电平衡矛盾 所以静电平衡时导体内无宏观净电荷。?0高 斯 面怎么分布？一般导体表面上的电荷分布,与导 体外表面形状有关,还和它周围电场有关。孤立带电体的电荷分布规律只与外表面形状有 关；导体上电荷面密度大小只与带电量及该处 表面的曲率有关。 曲率较大，表面尖而凸出部分，电荷面密度较大 曲率较小，表面比较平坦部分，电荷面密度较小 曲率为负，表面凹进去的部分，电荷面密度最小尖端放电:尖端场强特别强，足 以使周围空气分子电离而使空 气被击穿，导致“尖端放电”。避雷针孤立导体的电荷分布的半定量分析：孤立导体：导体周围无其它带电体。一般导体较为复杂，为了简化，这里用以 无限长导线相连的两个导体球简化模型： 球 1 电势 q1 R1 q1 U1 ? ? 2 4?? 0 R1 ? 0 4?R1?R1? 1?0R1R2无限长细导线导体：整体等势；细：基本无 电荷；无限长：2小球电荷分 布无相互影响。球 2 电势 q2 R2 q2 R ? 2 2 U2 ? ? ? 2 4?? 0 R2 ? 0 4?R2 ?0 两导体相连，故电势相等：U1 ? U 2R1? 1?0 ?0 R? ? C1 ?? R?R2? 2R1R2注：不是一个普遍规律！ 如：连接线较短时，相 同的R有不同电荷密度静电平衡态是能量最小(能量特征)的状态。任何导体都总是会趋于能量最低的静电平衡态(就像热力学系统趋 于能量最低的热平衡态).静电平衡态是唯一确定的。无外场时，自身带电导体也会处于静电平衡态2q1q1库仑力是长程力，自由电荷 间的库仑作用使得电荷出现 集体移动，最后处于能量最 低的静电平衡态。0q1静电平衡导体的电学特征1、电势方面1)静电平衡时导体为等势体；2)导体表面为 等势面。(导体只有一个电势值)2、电场方面1)导体内部电场为零――或电场线无法穿透导 体；2)导体表面场强方向与导体表面垂直；3) 导体表面附近的场强大小为： E ? ?/?03、电荷方面1)静电平衡时导体内无净电荷，所有电荷分布于 外表面;2)电荷面密度与导体表面附近的电场成正 比;3) 一般来说表面曲率大的地方电荷密度高。静电平衡导体的能量特征所有静电平衡导体的特征： ――能量必定处于唯一确定的最低状态 与静电平衡的类型无关：不管是外部电场，空腔内部电场导致的静电平衡，还是自身带电导致的静电平衡。§10.7.3 有空腔的导体壳和静电屏蔽问题：怎样使得一个区域不受其他电场影响？或该区域电场不影响其他空间。――能否利用静电感 应进行静电屏蔽？ 分情况讨论：Q1)导体球壳能屏蔽外电场，使得腔内空间不受外电场影响吗？r1 r2q――如果无外部施感电场，腔内电场为零。那么，有外部施感电场时，腔内空间电场还为零吗？(为零则被屏蔽)反证法：如在内表面存在等量异 号电荷，则腔内有电力线，移动 电荷作功。所以导体不是等势体， 与静电平衡条件矛盾。 所以：内壁无感应电荷，所有 感应电荷分布于外表面；腔内 无感应电场。导体的外电场无法影响腔内空 间――导体壳对内部空腔有静电 屏蔽作用。Q2）问题：闭合导体壳能屏蔽腔内的电场，使 得外表面空间完全不受腔内电荷的影响吗？ 以最简单情况――球对称性情况为例：腔内球心电荷q1使球壳产生感应，内壁按球对称产生-q1感应电荷，外壁按球对称产生+q1感应电 荷――会对外界激发电场。故闭合导体球壳不能 屏蔽腔内电荷对外界电场的影响 如果将导体壳接地呢？ ――外壳电荷q1移动到地面， 外部无电荷，也就无电场。屏 蔽了腔内电场对外的影响。- q1 q1q13)导体壳自身带电时――自身电场会影 响腔内和外界吗？ 导体球壳最后会处于静电平衡。 因此自身电荷会分布于外球面， 分布结果使得外表面成为等势面 ，分布比例关系是唯一的。 导体球壳自身电荷在腔内不激发电场；仅仅 在外部激发电场。 导体球壳接地，则自身电荷流入地面，在腔内r1 r2q和外部都不激发电场。静电屏蔽封闭导体壳（不论接地与否）内部的电场 不受外电场的影响；接地封闭导体壳外部的场不受壳内和壳体 电荷的影响。? E? ++ E?0 + +????????????前面讨论了：1）只有外部有电荷；2）只有腔内有电荷； 3) 只有导体壳带电 3种情况的静电屏蔽问题 问题扩展： 以上情况导体中内外电荷的分布问题？ 以上情况的叠加？1、导体壳外表面的电荷分布情况讨论： 1）只有自身带电时,带电导体自身电荷只分布在外表面,自身电荷分布关系只由外表面形状确定（有无内壁都一样――不受内壁形状影响）.自身分布使得 表面电场垂直外表面,外表面为等势面,导体为等势 体(U1)――外表面的自身电荷分布是唯一的。 2）只有外场时,中性导体外表面的感应电荷只分布在导体外表面,感应电荷分布使得外表面为等势面(U2) ,分布关系也是唯一确定的。分布关系由 外电场和外表面共同确定（有无内壁都一样） 。3）既有外场，自身也带电时，导体外表面电荷(感应 +自身)分布由前面两种情况叠加得到――也是唯一的 ，结果使得外表面为等势面（ U1 +U2 ）。表面电荷分布由外电场和外表面形状共同确定――叠加原理? q1q14）只有腔内有施感电荷时，外表面电荷的分布情况？ 电量及分布是唯一的吗？由什么确定？+q1总电量由腔内施感电荷决定.q1在球心时,外表面电荷呈球对称分布,使外壁电场垂直外表面――外表面为等势面。受腔内施感电荷分布影响吗？（难点）腔内施感电荷偏心时，外表面电荷的分布情况改变？A.内壁的感应电荷分布使内壁等势；q1? q1B.腔内电场线不穿透导体；C.导体是等势体,内外表面都是等势面 ――外表面成为等势面应由外表面电 荷分布使然。 ――等效于取消内腔，给导体壳带 等量电荷情况。 导体壳外表面电荷分布关系与腔内电场无 关，只与外电场和外表面形状有关。分布 是唯一的，结果使得外表面成为等势面。+q1q12、腔内壁电荷分布受哪些因素影响？1）腔内施感电荷的电量？――会影响感应电荷总 量(施感电荷发出的电场线会全止于内壁,不穿透金 属壳。故施感电量=感应电量)；但不影响分布关系2）腔内施感电荷的分布3）导体壳内壁形状 外部电场和自身电荷对内壁感应 电荷分布有影响吗？ ――无。因都向外激发电场，没 有任何电场传统导体壳进入内腔+q2 ? q1 q1q1+腔内感应电荷的分布与外部电场无关，只与腔内 施感电荷的分布及腔体内壁的形状有关；结果使 得内壁成为等势面。导体外表面电荷分布关系由外场和外表面形状共同决 定与内部电场无关(腔内施感电荷只影响外壁电荷总量, 不影响分布关系),结果能且只能使得外表面成为等势面腔内施感电荷只影响外表面电荷总量，等效于给 导体壳带上同量电荷(接地后对外影响也消失) 因电场不能穿透导体，内/外 部电场对外/内电荷不产生作 用，导体使腔内外相对独立； 如果导体接地，则内外完全相 互屏蔽。q1 ? q1+ q+q12例：1)只有导体壳带q1电荷时,导体球壳表面电 荷分布是否均匀?增大到2q1呢?不规则导体呢？ 2)只有腔内带有q1施感电荷时,导体球壳表面电 荷分布是否均匀?与情况1是否有差别?不规则？ 3)导体壳外表面积为s,只有外电场时,在p点附近 的表面电荷密度为σ0,当在腔内放q1电荷时,该点面 q 电荷密度是： ? ? ? ? 1 ？再给导体壳带上q2 0 电荷呢？不规则呢？ s q1 q1 q2?0p+? q1 q1++q1?0p4）球壳内有q1电荷，球壳带q2电荷，外面 有q3施感电荷。只有q1时球壳电势为U1， 只有q2时球壳电势为U2，只有q3时球壳电 势为U3.求同时存在时的球壳电势？q1 ? q2U ? U1 ? U 2 ? U3? q1+q1+ q3思考：U1，U2，和U3分别为多少？§10.7.4 静电平衡的电学量计算问题电荷守恒定律 静电平衡条件 1）电荷分布? 2）E3）u叠加定理典型问题1：系列带电平行板问题已知:导体板A带电量QA,B板带QB,面积都为S。 求：(1)A、B上的电荷分布及空间的电场分布(2)将B板接地，求电荷分布 解:设面电荷密度如图( 都为正)。取向右为正 。由静电平衡有： a点A B ? 1 ? 2? 3 ? 4? ? ? ? E 4 E 3 E 2 E1a+?1 ? 2 ? 3 ?4 ? ? ? ?0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0将系统视为4个孤立带电平面，薄板电场公式( 向两边激发电场)?1 ? 2 ? 3 ?4 ? ? ? ?0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0由电荷守恒有:A板b点? 1 ? 2? 3 ? 4? E4Ab? ? ? E1 E 2 E 3? 1S ? ? 2 S ? QABB板? 3 S ? ? 4 S ? QBQA ? QB ?1 ? ? 4 ? 2SQA - QB ? 2 ? ?? 3 ? 2S解方程得: 电荷分布场强分布（两种方法）? 1 ? 2? 3 ? 4? E31、将系统视为4个孤立 带电平面，薄板电场公 式(向两边激发电场)? E4b? ? E1 E 2B3Ei ? ? i /2? 0E ? ? Ei1A 2注意方向1区：E ? E1 ? E 2 ? E 3 ? E 4 ? E1 ? E 4 ? （Q A ? Q B）/S? 02区，3区略QA ? QB ?1 ? ? 4 ? 2S QA - QB ? 2 ? ?? 3 ? 2S2、得到具体的导体表面电荷分布后，用导体表面电 场和面电荷密度关系求(只向导体外一侧激发电场)。Ei ? ? i /? 0? 1 ? 2? 3 ? 4a没有电场能穿透导体,找到影 响该空间的电荷分布b? E1? E3? E2Bc? E431区，只有第1面电荷激发的电场 12区，只有第2，3面电荷激发的电场A 23区，只有第4面电荷激发的电场1区：E1 ? ? 1 /? 0 ? （Q A ? Q B）/S? 0有了E，板间电势差也容易求(略)讨论: 每板1个电荷守恒和静电平衡方程： 方程个数=板数乘以2.板数越多，求 解越复杂。需要总结其中的特征A?2?3B? E1)板间电荷密度相反 2)最外两侧的板电荷面密度相同 3)等量同种电荷:电荷只分布在板 外侧,板间电场/荷为零; 等量异种电荷:电荷只分布在板间.QA ? QB ?1 ? ? 4 ? 2SQA - QB ? 2 ? ?? 3 ? 2S(2)将B板接地，求电荷及场强分布 B接地时 ? 4 ? 0由静电平衡有: a点 b点A B ? 1 ? 2? 3 ? 4?1 ? 2 ? 3 ? ? ?0 2? 0 2? 0 2? 0 ?1 ? 2 ? 3 ? ? ?0 2? 0 2? 0 2? 0E 3 E 2 E1a ? ? ?电荷守恒:? 1S ? ? 2 S ? QA依然是:板外侧相等，板间相反。 板接地且一侧无其他板 时，无板外侧电荷为零解得电荷分布：?1 ? 0 ? ? 4QA ? 2 ? ?? 3 ? S如果接地C板左侧有2块板： 解得电荷分布：A B ? C ? 1 ? 2? 3 ? 4 5 ? 6QA ? 2 ? ?? 3 ? S QA ? QB ? 4 ? ?? 5 ? S板接地且一侧无其他板时,无板外侧电荷为零依然是:板外侧相等，板间相反。?1 ? 0 ? ? 6abc接地板内侧带电为所有同侧板的电荷之和的 相反(怎么理解？)扩展1:求多个板的 电荷及场强分布用前方法要列6个6变量方 程，不好求解！用叠加可 以各个击破！ 分析:以A板左侧为例A B ? C ? 1 ? 2? 3 ? 4 5 ? 6? ? ? E 3 E 2 E1QA /2abc如仅A板带电,A板左侧电荷为:如仅B板带电,其左侧电荷为: QB /2 该电荷向左激发的电场对A板有感应, 结果使A板左侧带电为: Q /2BB、C板右侧 激发电场不 到A板区域！仅C板带电时，A板左侧由于感应 而带的电量为:QC /2Q Q Q A B A,B,C板同时存在时由叠加原 Q1 ? ? ? C 2 2 2 理,A板左侧电荷为:A B ? C 由电荷守恒,A板右侧电 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 5 ? 6荷为: Q2 ? QA - Q1? ? ? 由板间电荷相反,有: E 3 E 2 E1Q3 ? -Q2abc……, 依次用电荷守恒和板间电荷相反求得其他量 也可以从右向左求解:(求C板右侧的电荷密度) 只有A板时: QA /2 只有B板时: QB /2 只有C板时: QC /2QA Q B QC Q6 ? ? ? ? Q1 2 2 2也可以直接求 某板某侧的电 荷，如B板左侧:只有A板时: - QA /2 只有B板时: QB /2 只有C板时:A B ? C ? 1 ? 2? 3 ? 4 5 ? 6? ? ? E 3 E 2 E1abcQC /2- Q A Q B QC Q3 ? ? ? 2 2 2在复杂的情况下,以退为进,分解为几个简单的 情况,再进行叠加,模块化叠加很有利于问题解 决。(即使超过10个板,也可在1分钟内求解)扩展2:将B板接地， 求电荷及场强分布 由静电平衡，对a， b，c分别有:A B ? C ? 1 ? 2? 3 ? 4 5 ? 6? ? ? E 3 E 2 E1abc?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ?0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0 ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ?0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0 ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? ? ? ?0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0 2? 0由电荷守恒，对 A,C板分别有:又：? 1S ? ? 2 S ? QA ? 5 S ? ? 6 S ? QC? 2 ? -? 3 ? 4 ? -? 5? 2 ? -? 3 ? QA /S与接地板B异侧QC无关?1 ? 0 ? ? 6解得:A B ? C ? 1 ? 2? 3 ? 4 5 ? 6? ? ? E 3 E 2 E1abc? 5 ? -? 4 ? QC /S与接地板B异侧QA无关QB ? (? 4 ? ? 3 )S从解形式看，接地板将 两侧互相屏蔽。如果无C板，B板C侧无电荷/场；因此接地板左侧区对 右侧的C板无影响，不影响C的电荷分布。反之，右侧 区也不影响左侧A板的电荷分布。 故可把接地板两侧分别考虑，把问题简单化。 注:接地板带电不为零,其某面电荷只受同侧影响。最后求接地 板的面电荷扩展3:将两侧板接地， 求电荷及场强分布第i板分别相对第1板和第 n板的电势相等U i1 ? U in解得:Ei1 ? di1 ? Ein ? din与到接地板距离成 反比，距离越远， 同样电势需要的电 场越弱，电量也就 越少。d in Qi1 ? Qi d i1 ? d in d i1 QiR ? Qi d i1 ? d in如插入有厚度的中性板j，只影响非接地板i对某接 地板的距离，原板i带电的算法不变。即:' d in Qi1 ? Qi ' d i1 ? d ind i1 QiR ? Qi ' d i1 ? d in扣除某板到接地板间的导体板厚度即可。d' in而中性板j两侧的电量，受原第i板影响。显然：d Q j1 ? QiR ? Qi ? ?Q jR ' d i1 ? d in' in如插入有厚度的带电板j，原板i带电情况为只有i板带电， 和只有j板带电，这两种情况的叠加。多个带电板也类 似： 即: QiL ??i ?2n ?1 i ?2n ?1d Qi ' ' d i1 ? d ind i'1 Qi ' ' d i1 ? d in' inQiR ? ?d' in但距离都需扣除i板到接地板间的导体板厚度。因为，只考虑一个板带电时，其他板是作为中性 导体板存在，这是会影响式子中的相关距离的。求解要领： 先由接地情况进行空间划分：∞∞，∞⊥，⊥⊥。 1)无板接地:用叠加原理直接求解 2)仅左(或右)1个板接地: A）从接地板开始求：其外侧电荷为零，内侧 为其他板电荷之和的相反；由板间电荷相反和 电荷守恒求得与接地板相邻的板的情况，…… 或B）从接地板异侧开始求：最外侧板外侧面 电荷为零，由电荷守恒可求得内侧电荷；由板 间电荷相反和电荷守恒求得与接地板相邻的板 的情况，…… 3)有多个板接地情况(稍微复杂)
典型问题2、电场中导体球壳系列问题? 求图中金属球壳的电势。求电势两种基本方法： q1 L1 R1 O R2U壳 ? ??R1? ? E ? dlU 壳 ? U o ? U q1 ? U q感U q感 ?U q1 ?U 壳 ? ? du利用静电平衡特点： 等势体：U壳=UO4??0 R1q1?q感? 0 (电荷守恒)4?? 0l1? U壳(特殊点还是更方便计算) 中性球壳电势等于外部 施感电荷在球心的电势 U 利由q 和感应电荷O 1电势叠加得到：带电球壳？? 推广1：球壳带q电荷静电平衡：U壳=UO q1 L1qR1 O R2U 壳 ? U o ? U q1 ? U q感 ? U qU q感 ? 4??0 R1 q Uq ? 4?? 0 R1?q感?0U壳 ?4?? 0l1q1?q 4?? 0 R1U q1 ?4?? 0l1q1带电球壳的电势等于外部施 感电荷在球心的电势，与自 身电荷引起电势的叠加。 外部有多个施感电荷?电荷在 腔内？? 推广2：电荷在球壳内 电荷守恒：内壁带-q1， 外表面带q1静电平衡：U壳=UO？ 应为：U球壳 ? U外壁 ? U内壁q1? q1 R1q1 R2解法1a：电势叠加法（基于外壁）U外壁 ? U 点 ? U内壁 ? U 外壁U 外壁 ? q1 q1 ? ? ? 4?? 0 R1 4?? 0 R1 4?? 0 R1 q1?4?? 0 R1q1解法1b：电势叠加(基于内壁)U内壁 ? U ? U点内壁?U外壁q1? q1 R1q1 R2U内壁? q1 q1 ? ? ? 4?? 0 R2 4?? 0 R2 4?? 0 R1 q1?4?? 0 R1?q1解法2：路径积分法U 外壁 ? ?R1? E外 ? dl ?4?? 0 R1q1球形空腔内位于球心的施感电荷和内壁感应电荷(合称 腔内部分)对外部电场和电势的贡献为零(就像没有内腔)如q1偏心呢？ 腔内部分对导体电势的贡献也为零？ q1腔内的电场不能穿透导体壳。如果 只有腔内部分电荷，而没有外壁电 荷――如外壳接地则外壁电荷消失 ，则导体外电场和电势都为零。? q1q1故球壳的电势完全由外表面电荷贡献――不用考虑 腔内情况――相当于一个实心的电量为q1的导体球U 外壁 ? U壳 ?4?? 0 R1q1腔内所有电荷对外部电场和电势的贡献都为零！内壁电势=外壁电势――能否说腔内所有点的电势都等？ 推广4：球心电势？ 其他点的电 ――叠加法 势不作要求q1? q1 R1 d R2q1 OUo ? U ? U点 o内壁 o?U内壁 o外壁 oU外壁 o?4?? 0 R1q1Uq1 ? q1 点 Uo ? ? 4?? 0 d 4?? 0 R2- q1 q1 Uo ? ? ? 4?? 0 R1 4?? 0 R2 4?? 0 dq1?4?? 0 R1q1? U壳腔内施感电荷为正,则球心电势高于球壳.高出量为 该电荷在球心电势,减去内壁感应电荷在球心电势一般情况呢？用叠加原理解决！刚才提到导体接地情况 ――推广5：球壳接地 导体球的感应电荷量=？ ――叠加原理点 o 感应 oq1q2? q1q1l1q1OU 球壳 ? U o ? U ? U ?0 q1 q感应 点 感应 Uo ? Uo ? 4?? 0l1 4?? 0 R1 R1 所列方程与前面例子类似 q感应 ? ? q1 l1作业： 10.19，10.20，10.21更复杂的接地情况(难点):E1 R1R2导体q1在球心,中间导体接 q2 地,外导体带电为q2,求各 E2 面电荷分布，电场/势分布q1R3由静电屏蔽知识,接地壳的 腔内电荷――只影响接地壳内壁电荷分布； 之外电荷――只影响接地壳外壁电荷分布 接地把内外相对分隔！可分别考虑接地球内 与接地板情况有类似之处 部和外部1)求接地壳内壁的电荷――只考虑内部电 荷,显然该内壁电荷为-q12)求接地壳外壁的电荷？ 只考虑其外部电荷,等 效把内部去掉情况解:设接地壳外壁电荷为qx，则外 导体壳内壁电荷为- qx,由电荷守E1E2R1R2qxR3? qxDq2 ? q x恒，外壁电荷为： q 2 ? q x接地壳电势为零,其电势由其外电荷贡献,包括:1)接 地壳外壁电荷;2)外壳内壁电荷;3)外壳外壁电荷，共 3个部分。因此有：U地 ? U D ? 0 ? UD为接地壳外壁某点R1 D?UR2 D?UR3 DUR1 DR3 D R2 D?UU U?U qx ? 4?? 0 R3 - qx ? 4?? 0 R2R2 DR3 D?0E1 R1E2R2qxR3? qxDq2 ? q xq2 ? q x U ? 4?? 0 R1 q2 ? qx - qx qx ? ? ?0 4?? 0 R1 4?? 0 R2 4?? 0 R3R1 Dqx R - R ? R ? q2 R-1 1 -1 2 -1 1-1 1讨论:E1 R1E2qx q2 ? -1 -1 -1 -1 R1 - R2 ? R1 R1 q2 ? U q2 4?? 0 R1R2qxR3? qxDq2 ? q x――只有R1外壁的q2电量时,在R3 处的电势 外壳不带电,仅接地壳带q3电时,会在外壳分别 感应出- qx和qx电荷。总体对R3处的电势为:U qx- qx qx ? ? ? 4?? 0 R1 4?? 0 R2 4?? 0 R3qxU地 ? U D ? 0 ? Uq2 ? Uqx (两者共同贡献)用该法可以直接写出接地壳外壁电荷§10.7.5 电介质的极化电 无极分子 ：分子正负电荷中心重合； 介 质 有极分子：分子正负电荷中心不重合。 甲烷分子 CH 4++水分子 H 2OH+正负电荷 中心重合H C H+? peO +负电荷 中心H+H+H? pe ? 0正电荷中心 ? pe ――分子电偶极矩1. 无极分子的位移极化e? 无外电场时 pe ? 0f? ? pel? E外f? 加外电场 pe ? ?0+极化电荷+ + + + + +? E外极化电荷2. 有极分子的转向极化+ + + + + + + + + + + + + + +++ + ++无外场时 电矩取向不同? f? ? ? ? E 加上外场 M ? pe ? E外 外? pe? f3. 各向同性电介质的电场极化+介电常数+ ? + E外 + + ? + pe转向外电场 +各向同性电介质在电场中的极化：在介 质2端面产生极化电荷层。 极化电场方向与外电场方向相反。 极化电场与介电常数εr有关：4.极化电荷和感应电荷 都是由外电场引起都能激发电场 同样分布的两种电荷,在同样 环境中激发的电场相等E0pE0对应电场方向都与外电场相反p极化电场无法抵消外电场，感应电场可以 极化电荷对应电介质情况,无法自由移动； 感应电荷对应导体情况,可自由移动5.束缚电荷与自由电荷 都能激发电场E0同样分布的两种电荷,在同样 环境中激发的电场相等―― 电介质,束缚电荷等效性束缚电荷无法自由移动；自由 电荷可自由移动 等效条件：自由电荷与介质表 面的束缚电荷分布相同等效于E0自由电荷电介质在电场中会产生极化,结果是在端面产 生极化束缚电荷,除此之外无其他电学效果. 或：除产生极化电荷之外，其他可不考虑能否定量？极化电场与介电常数εr有关： 实验表明：?? ' ?? ' ??rE0??E'? ? ? ? ? E ? E 0 ? E' ? E 0 /? r? ? 1 E' ? ( - 1)E 0? ? ? E' , E 0 , ? E 只有1个独立变量?r极化电荷的等效处理 极化电荷激发的电场已 知，怎样分布的自由电 荷才能与之等效？?' ?' ? ? E等效 ? E ' 2? 0 2? 0形式类似?? ' ? ? 0 E'? 0 ? ? 0 E0极化电荷和自由电荷激发电场的性质相同极化电荷怎么分布？――与等效的自由电荷相同。 算出极化电场，乘以真空的介电常数得到注：? ' ? ? 0? r E0§10.7.6 有电介质时的高斯定理已知的多为自由电荷,极化电荷是被动产生。问题： 怎样方便由自由电荷求解有电介质情况？ 对图中高斯面：S?0 ? q ? ? q0 ? ? q'? ? ?q ? ? ?? E ? dS ??0? ? ' ? ' ??0E0E' E高 斯 面极化电荷带来麻烦:要消去? ? E ? E 0 /? r无电介质时：??S? ? E0 ? dS ? ? q0 /? 0无电介质时：?0E0高 斯 面??0??S? ? E0 ? dS ? ? q0 /? 0? ? 利用E0与E的关系? ? ? ? ? q0 ?? E ? dS ? ?? E0 /? r ? dS ?S S? ? ??S ? 0? r E ? dS ? ? q0 ? ? ? D ? ? 0? r E ? ?E ? ? ?? D ? dS ? ? q0S? 0? r? 0 ? ? ' ? ' ??0E0高 斯 面E' E? ? ? ? E' , E 0 , ? E，D 只有1个独立变量电介质中的高斯定理：通过任何闭合曲面的电位移 通量，等于该曲面包围的自由电荷的代数和。这是只有部分电介质在高斯面内的情况? E线???不能穿 透导体? D电位移线 方向:切线大小: 电位移线条数? Db? D线? ? ? 能穿透导S?? Dab? D体,连续的a注意D是为消除极化电荷的影响而引入的 辅助物理量。介质中的高斯定理不仅适用于介质中,也适用于真空三、介质中高斯定理的解题思路与应用 ? E' ? ? ? ? ??SD ? dS ? ? q0 ? D ? ? 0? r E总 ? E总 ? U D ? q0 ? ? ? ? E0 电场间 E' ? E - E 0 总 的关系 ? ? 1 ? ( - 1)E 0 ? (1 ? ? r )E总?r电场和电 势关系电场和电荷 密度关系U ab ? ? E ? dlE极 ? ? 极 /? 0 ? ( 1b a?r? 1)E0?0例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 ?r 的介质球中心，求：I 区、II区的 D、E 及 U。?rq0I IIRr解:在介质球内、外各作半径为 r 的高斯面? ? ?? D ? dS ? ? q0S??S DdS cos? ? ? q0球面上各点D大小相等，D // dS,2cos? ? 1?rq0Rr rD4?r ? ? q0? q0 D? 2 4?r高斯面I IIq0 I区： D1 ? 2 4?rq0 II区： D2 ? 2 4?r? q0 D? 2 4?r?rq0Rr rI由 D ?? ? E 0 rD I区： E1 ? 1 ? 0? r q0 D2 ? E0 ? II区： E2 ? 2 ? 0? r 4?? 0 r高斯面 II E0 q0 ? ? 2 4?? 0? r r ?rUa ? ??a? ? E ? dl?? ? Edr? aII区：U 2 ? ? E2 drr?rq0 4?? 0 r U面 ?RqIq0RrII???q0 4?? 0 rr? dr 2球外表面(代人法) 球内： U1 - U 面 ?4?? 0 R?RrE1drq0 dr 2??r4?? 0? r rq0 ?1 1 ? U1 ? ? ? ?? 4?? 0? r ? r R ? 4?? 0 R q0?rq0Rq0 / ? r 1 q0 / ? r 1 q0 ? ? ? 4?? 0 r 4?? 0 R 4?? 0 R能否快速写出结果？ ――需分析结果的物理意义IrII讨论：极化电荷怎么分布？是多少？ 显然是：球对称分布在球心和球面。球面极化电荷不影响内部极化电场，求极化 电荷需要用球心部分。将球心极化电荷对称扩大到场点所在高斯面q0 1 ? ? 0 E' ? ( ? 1) 2 2 4?r 4?r ? rq极心q极心 ? (1?r? 1)q0 ? 0球面极化电荷与球心电量相等电性相反 1 q极面 ? q0 (1 ? ) ? 0?r在球外不受极化电荷的影响：极化电荷按对称性不 变集中到球心的等效值为零讨论:系统中有3种电荷：球 心自由电荷；球心极化电荷； ?r 球面极化电荷。某点电势为 它们电势的代数和q0RIrIIq极心 ? (1?r? 1)q0；q极面 ? (1 -1?r)q0q0 ( U1 ?1?r 4?? 0? 1)q0 1 1 ?r ? ? r 4?? 0 r 4?? 0 Rq0 (1 ?1)q0 / ? r 1 q0 / ? r 1 q0 ? ? ? 4?? 0 r 4?? 0 R 4?? 0 R例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板面积为 S，面电荷密度为 ?0 , 其间插有厚度为 d’ 、介 电常数为 ?r 的电介质， 求 ：①.P1 、P2点的场强E；?0d'??0①.解：过 P1 点作高 斯柱面, 左右底面分 别经过导体和 P1 点。D高 斯 面P1 P2?D ? ??S D ? dS ? ? q0?rd?D ? ?D左底 ? ?D右底 ? ?D侧?D左底 ? 0 ?D侧 ? 0导体内 D=0D?dS?0d'D??0?D ? ?D右底? ??右底 D1dS cos?高 ? D1S? ? q0 ? ? 0S 斯 面 D1 ? ? 0P1 P2?rdE1 ?? 0? rD1?0 ? ?0真空中?r ? 1过P2点作高斯柱面, 左右底面分别 经过导体和P2点。?D ? ?D左底 ? ?D右底 ? ?D侧同理?0d'D??0?D ? 0 ? ?D右底 ? 0 ? ? q0D2S ? ? 0S高 斯 面P1 P2D2 ? ? 0?rd?0 E2 ? ? ? 0? r ? 0? rD2?0 D1 ? ? 0 , E1 ? I区： ?0 ?0 D2 ? ? 0 , E2 ? II区： ? 0? r高 斯 面?0d'D??0P1 P2?rd
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