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& 学年高二数学同步精品课堂（提升版）（选修2-1）：专题1.4.3 含有一个量词的命题的否定（讲）（解析版）
学年高二数学同步精品课堂（提升版）（选修2-1）：专题1.4.3 含有一个量词的命题的否定（讲）（解析版）
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资料概述与简介
【教学目标】
１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；
２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
【教法指导】
重点：命题的概念、命题的构成
难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假
【教学过程】
☆情境引入☆
生活中经常遇到这样的描述：“我国13亿人口，都解决了温饱问题”“我国还存在着犯罪活动”“今天，全班所有同学都按时到校”“这次数学竞赛至少有3人参加”等等．其中“都”“存在”“所有”“至少”在数学命题中也经常出现，它们在命题中充当什么角色呢？它们对命题的真假的判断有什么影响呢？
☆探索新知☆
1．短语“__________”、“__________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__________”表示，含有全称量词的命题，叫做__________．
2．全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：__________．
3．常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示__________的含义．
4．短语“__________”、“__________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“__________”表示，含有存在量词的命题，叫做__________．
5．特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，______________．
6．存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示______________的含义．
7．全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定?p：_______________，全称命题的否定是__________命题．
8．特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定?p：______________，特称命题的否定是__________命题．
9．常见的命题的否定形式有：
原语句 是 都是 > 至少有
一个 至多有
一个 对任意x∈A
形式 _____ ________ ____ __________ ____________ ____________________
题型一　全称命题、特称命题的否定
例1写出下列命题的否定．
(1)p：x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：所有能被3整除的整数是奇数；
(4)p：每一个四边形的四个顶点共圆．
[]　(1)?p：?x∈R，x2＋2x＋2>0.
(2)?p：所有的三角形都不是等边三角形．
(3)?p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(4)?p：存在一个四边形的四个顶点不共圆．
题型二　利用全称命题与特称命题求参数的取值范围
例2　若命题p：x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2]　　　 B．[2，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(－2,2)
1．(2015·浙江理，4)命题“?n∈N*，f(n)∈N* 且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A．?n∈N*, f(n)?N*且f(n)>n
B．?n∈N*, f(n)?N*或f(n)>n
C．?n0∈N*, f(n0)?N*且f(n0)>n0
D．?n0∈N*, f(n0)?N*或f(n0)>n0
[解析]　根据全称命题的否定是特称命题，可知选D.
2．写出下列全称命题和特称命题的否定．
(1)每个二次函数的图象都开口向下；
(2)任何一个平行四边形的对边都平行；
(4)某些平行四边形是菱形．
[解析]　(1)命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(2)命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．
(3)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”.
3．(2015·广东深圳市宝安区高二期末调研测试)已知命题p：?x∈R，使tanx＝1，则下列关于命题?p的描述中正确的是(　　)
A．?x∈R，使tanx≠1
B．?x?R，使tanx≠1
C．?x∈R，使tanx≠1
D．?x?R，使tanx≠1
[解析]　特称命题的否定是全称命题，故命题p：?x∈R，使tanx＝1的否定?p：?x∈R，使tanx≠1.
4．(2015·北京西城区高二期末测试)命题“?x∈R，x2－2x<0”的否定是__________________．
[答案]　?x∈R，x2－2x≥0
[解析]　特称命题的否定是全称命题，故“?x∈R，x2－2x<0”的否定是“?x∈R，x2－2x≥0”．
5．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．
(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；
(2)存在一条直线，其斜率不存在；
(3)对所有的实数a、b，方程ax＋b＝0都有唯一解；
(4)存在实数x0，使得＝2.
1. 含有一个量词的全称命题的否定：
全称命题 p ：
? x ∈M，p（x），
它的否定┐p ：
? x0 ∈M， ┐p（x0）.
全称命题的否定是特称命题.
2. 含有一个量词的特称命题的否定：
特称命题 p ：
? x0 ∈M，p（x0），
它的否定 ┐p ：
? x ∈M， ┐p （x）.
特称命题的否命题是全称命题.
☆课后作业☆
课本习题1.4
A组 第3题， B组(1)(2)(3)(4)
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01高中一年级各章知识点及典型例题
一、 《集合》知识点及典型例题（一）集合概念及表示法 集合概念 集合元素特征 一组确定对象 1、确定性：给定一个 的全体形成一个 集合 M，一个元素 集合 , 其中的每一 即可确定 a 与 M a， 个对象叫做集合 的 关 系 ： 要 么 a?M ， 要 么 的元素. a?M 。 * 1 、元素与集 合的关系： 从属关 2、互异性：集合中的 元素是互不相同 ?属于 :? 系? ，但 的，若遇到相同元 ?不属于 :? 素， 当一个来处理。 有时，如： 3、无序性：集合中元 素排列是不考虑顺 {1} ? {{1}, {12}, ?} 序的。 2 、空集（ ? ）― ―不含任何元素 的集合。 解题时， 若未明 确集合非空时， 要 考虑空集的可能 性。 （二） 集合与集合的关系 关 系 定 义 如果集合 A 中所有元素是集合 B 的元素，那么集 A 叫集合 B 的 子集 ? 集合的表示方法 列 举 法 、描述法: {元素 | 元素公共属性 图示法 }、 （韦恩图） 、专用字母法（如 R 表 示实数集，C 为复数集，N 为自然 数集等等） 、区间法（表示比较简 练，如用于表示不等式的解集等） 。 *对于用描述法表示的集合，要从 竖号前弄清元素是什么 （是点集还 是数集或是其它集合） ，从竖号后 看元素满足的性质，便于解题。 如：① {( x, y) | x 2 ? y 2 ? 1} 表示单 位 圆 ， {x | x 2 ? y 2 ? 1} 表 示 数 集[ ?1,1] 。② { y | y ? x 2 ? 1} 表示数集[1,??) ， {( x, y) | y ? x 2 ? 1} 表示抛物线。性质(1) A ? B, B ? C ? A ? C子集。 记为：A ? B（或 B ? A ） (2) ? ? A, A ? A , (3) A ? B ? A ? B (4) A ? B ? A, A ? B ? B真子集 ?如果 A ? B 且 B 中至少比 A 多一 (5) A ? A ? B, B ? A ? B 个元素以上，则 A 是 B 的真子 集，记为： A ? B 。(6)A? B ? A ? A ? B A? B ? A ? B ? A *性质(6)， 在解题时， 要注意作 “转 化” 。1如 果 两 个 集 合 的 元 素 完 全 相 (7) 空 集 是 任 何 非 空 集 合 的 真 子 同，那么这两个集合相等。 集。 相等= （或 A ? B, B ? A ? A ? B ） (8)n 个元素集合共有 2 n 个子集，2 n -1 个真子集， 2 n -2 个非空子集。一、 运算 交集集合运算及性质 定 义性质A ? B ? {x | x ? A且x ? B}A ? A ? A, A ? B ? B ? A, A ? ? ? ? , A ? CU A ? ?A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C )A ? A ? A, A ? B ? B ? A, A ? ? ? A, A ? CU A ? U并集A ? B ? {x | x ? A或x ? B}A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C )（用于 card( A ? B) ? cardA? cardB? card( A ? B) 计数） 补集CU A ? {x | x ?U且x ? A}U 叫给定的全集， A ? UCU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B) CU ( A ? B) ? (CU A) ? (CU B)典型例题1、已知集合 M ? {x | x 2 ? 4x ? 3 ? 0}, N ? {x | 2x ? 1 ? 5} ，则 M ? N ? （ A、 {x | 1 ? x ? 3} C、 {x | x ? 3} 答案:B 解: ? M ? {x | x 2 ? 4x ? 3 ? 0} ? {x | 1 ? x ? 3}, N ? {x | 2x ? 1 ? 5} ? {x | x ? 2}? M ? N ? {x | 1 ? x ? 2}）B、 {x | 1 ? x ? 2} D、 {x | 2 ? x ? 3}2、设集合 A ? {x || x ? 2 |? 2}, B ? {x | A、 {x | 0 ? x ? 4} 答案：B B、Rx ? 1} ，则 C R ( A ? B) （ x ?1）C、 {x | x ? ?1}D、 ?解： A ? {x || x ? 2 |? 2} ? {x | 0 ? x ? 4 |, B ? {x |x ? 1} ? {x | x ? ?1} x ?12? A ? B ? ? ? C R ( A ? B) =R。3、设集合 M ? {x || x |? 2, x ? Z}, N ? {?2,?1,0} ，则 M ? N ? （ A、M 答案：C B、N C、 {?2,?1,0,1}） D、 {?2,?1,0,1,2}解：? M ? {x || x |? 2, x ? Z} ? {?1,01 }, N ? {?2,?1,0}? M ? N ? {?2,?1,0,1} 4、若集合 A ? {x || x ? 2 |? 1}, B ? {x | ( x ? 1)(x ? 4) ? 0} ，则下列结论正确的是（ A、 A ? B ? ? C、 A ? B 答案：C 解：? A ? {x || x ? 2 |? 1} ? {x | 1 ? x ? 3}, B ? {x | ( x ? 1)(x ? 4) ? 0} ? {x | 1 ? x ? 4} ? A ? B 5、满足： M ? {a1 , a2 , a3 , a4 }，且 M ? {a1 , a2 , a3 } ? {a1 , a2 } 的集合 M 的个数是（ A、1 答案:B B、2 C、3 D、14 ） B、 A ? B ? R D、 B ? A ）解：由题集合 M 必定含有 a1 , a 2 ，不含 a3 ，集合 M 为： {a1 , a2 } 或 {a1 , a 2 , a 4 } 6、设集合 M ? {x | y ? x ? 2}, N ? {y | y ? x 2 , x ? M } ，则 M ? N ? （ A、M 答案:A 解: ? M ? {x | y ? x ? 2} ? {x | x ? 2,}N ? {y | y ? x 2 , x ? M} ? {y | y ? 4}?M ? N ? M）B、NC、RD、 ?8 7、若集合 P ? {( x, y ) | y ? ? }, Q ? {( x, y ) | y ? x 2 } ，则 P ? Q ? （ x） D、 {( 2,?4)}A、 ? 答案：CB、 {(0,0)}C、 {( ?2,4)}? 8 ? ? ?y ? ? 解： P ? Q ? ?( x, y) | ? x} ? {(?2,4)} ? ?y ? x2 ? ?8、定义运算 A * B ? {z | z ? xy, x ? A, y ? B} ，设 A ? {1,2}, B ? {0,2} ，则集合 A * B 所有元素之 和为（ A、0 答案：D ） B、2 C、33D、69、设集合 P ? {0,1,2}, Q ? {1,2,3,4} ，定义集 合 P * Q ? {( x, y) | x ? P ? Q且y ? P ? Q} ，那么 P * Q 中元素的个数是（ A、14 个 答案:B B、10 个 C、7 个 D、4 个 ）解: x ? P ? Q ? {1,2} , y ? P ? Q ? {0,1,2,3,4} , P * Q 中元素的个数,即点 ( x, y ) 的个数,共 10 个。 解：? A * B ? {0,2,4}? A * B 所有元素之和为 6。1 10、已知 A ? { y | y ? log 2 x, x ? 1}, B ? { y | y ? ( ) x , x ? 1} ，则 A ? B ? （ ） 2 1 1 A、 ? B、 (??,0) C、 (0, ) D、 (?? , ) 2 2 答案：A 1 1 解：? A ? { y | y ? log 2 x, x ? 1} ? { y | y ? 0}, B ? { y | y ? ( ) x , x ? 1} ? { y | 0 ? y ? } ? 2 2A? B ? ? 。11、 已知集合 A ? {x | x ? a}, B ? {x | 1 ? x ? 2} 且 A ? C R B ? R ， 则实数 a 的取值范围是 （ A、 a ? 1 答案：A B、 a ? 1 C、 a ? 2 D、 a ? 2）解： C R B ? {x | x ? 1或x ? 2} ， （数形结合法）画数轴分析易知： a ? 1 12、已知集合： A ? {x | ?3 ? x ? 5}, B ? {x | a ? 1 ? x ? 4a ? 1} ，若 A ? B ? A ，求实数 a 的取值范 围。 解：? A ? B ? A ? B ? A?a ? 1 ? 4 a ? 1 ? 当 B ? ? 时，画数轴分析，可得： ?a ? 1 ? 3 ?4 a ? 1 ? 5 ?，解得： 0 ? a ? 1当 B ? ? 时， a ? 1 ? 4a ? 1 ? a ? 0 综上，实数 a 的取值范围是： a ? 1 。4二、 《简易逻辑》知识点及典型例题（一） 、逻辑联结词及真值表 4、逻辑联结词有：或（ p ? q ） 、且（ p ? q ） 、非（ ?p ） 5、真值表 p q 非pp或qp且q真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 (二)、四种命题及关系 1、命题：用来判断真假的语句，叫做命题。 （注意它与陈述或形容一件事情的语句的区别） 简单命题：不含逻辑联接词的命题叫做简单命题。 复合命题：由简单命题和逻辑联接词构成的命题叫做复合命题。 2、四种命题及关系 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用 ?p 和 ?q 表示 p 和 q 的否定。 原命题：若 p 则 q 。 逆命题：若 q 则 p 。 否命题：若 ?p 则 ?q 。 逆否命题：若 ?q 则 ?p 。 *（1） 、 “原命题”与“逆否命题” 、 “逆命题”与“否命题”互为逆否。 （2） 、互为逆否的两个命题等价,同真假。在“判断命题真假”和“充要条件的判断”时要注 意转化。 （3）常见的否定 “至少有一个”的否定形式为：一个也没有； “至多有一个”的否定形式为：至少有两个； “至多有 n 个”的否定形式为：至少有 n ? 1 个； “都是”的否定形式是：不都是； “某个”的否定形式是：任意一个； “所有”的否定形式是：某些； “任意两个”的否定形式是：某两个； “任意”的否定形式是：某个； “ p 且 q ” 的否定形式是： ?p 或 ?q ； “ p 或 q ” 的否定形式是： ?p 且 ?q ； “对所有的 x 都成立”的否定形式是：存在某个 x 不成立； “对任何的 x 不成立” 的否定形式是：存在某个 x 成立。 （4）反证法常用于：证明唯一性、以否定形式出现的命题、正面考虑较难的命题的证明。在5推证矛盾时，一般有三种表现形式：一是与已知条件产生矛盾；二是与自身产生矛盾；三是 与已知的命题产生矛盾。 （5） “否命题”与“命题的否定”是不同概念。 “否命题”是对原命题“若 p 则 q ”既否定条件又否定结论；而“命题 p 的否定”即：非 p ， 只否定命题的结论。 例如：命题 p ：已知实数 a , b ，若 | a | ? | b |? 0 ，则 a ? b 。 否命题是：已知实数 a , b ，若 | a | ? | b |? 0 ，则 a ? b 。 命题的否定是：已知实数 a , b ，若 | a | ? | b |? 0 ，则 a ? b 。 (三)、充要条件 条 件 充分条件 定 义 从集合观点看若p? q， 则 p 是 q 的充分条件。 若集合 p ? q ， 则 p 是 q 的充分 条件。必要条件若p?q， 则 p 是 q 的必要条件。 若集合 p ? q ， 则 p 是 q 的必要 条件。充要条件若 p ? q， 则 p 是 q 的充要条件。 若集合 p ? q ，则 p 是 q 的充要条件。 在判定时，主要是看“推” ，注意不要弄错方向： “条件”在前。典型例题1、已知“非 p 且 q ”为真，则下列命题中是真命题的为（ A、 p 答案:B 解: 由“非 p 且 q ”为真知: p 假 q 真,所以“ p 或 q ”为真命题。 2、已知命题“ p 或 q ”与命题“ p 且 q ”都是假命题，对于下列命题： ①命题“ ?p ”与命题“ ?q ”的真值相同； ②命题“ ?p ”与命题“ ?q ”中至少有一个是真命题； ③命题“ ?p ”与命题“ ?q ”的真值不相同； ④命题“ ?p ”与命题“ ?q ”都是真命题。 其中正确命题的个数是（ A、1 B、2 ） C、36） D、非 qB、 p 或 qC、 p 且 qD、4答案：C 解：由“ p 或 q ”与命题“ p 且 q ”都是假命题，知 p ， q 都是假命题。①②④正确。 6、由命题 p ：? ? {0,2,3, ?}, q : 2 ? {2,3} ，构成的： “ p或q” ， “ p且q” “非 q ” ， “非 p ”形式 的复合命题中，真命题有___________个。 答案：2 解：由题 p 真 q 假，所以“ p 或 q ” ， “非 q ” ，为真。 4、已知命题 p ： | x ? 1 |? 2 ，命题 q ： x ? Z 。如果“ p 且 q ” “非 q ”同时为假命题，则满足 条件的 x 为（ ） B、 {x | ?1x ? 3, x ? Z} D、{0，1，2}A、 {x | x ? 3或x ? ?1, x ? Z} C、 {?1,0,1,2,3} 答案：D解：由题 p 假 q 真， p 假即：| x ? 1 |? 2 ? ?1 ? x ? 3 ，所以满足条件的 x 为“ ? 1 ? x ? 3 ”中的 整数，即 0,1,2 。 6、已知命题：若 a ? b ，则 a ? 1 ? b ? 1 。 否命题是：_________________________________________; 命题的否定是:______________________________________. 答案：否命题是：若 a ? b ，则 a ? 1 ? b ? 1 。 命题的否定是: 若 a ? b ，则 a ? 1 ? b ? 1 。 7、命题“若 x 2 ? 1 ，则 ? 1 ? x ? 1 ”的逆否命题是：_________________________________; 命题的否定是:_____________________________________________. 答案：逆否命题是：若 x ? ?1或x ? 1 ，则 x 2 ? 1 。 命题的否定是: 若 x 2 ? 1 ，则 x ? ?1或x ? 1 。 8、命题： “若 ab ? 0 ，则 a , b 中至少有一个为零”的逆否命题 是：_________________________________。 9、答案：逆否命题是：若 a ? 0且b ? 0 ，则 ab ? 0 10、 对任意实数 a, b, c ,给出下列命题:& a ? b& 是 & ac ? bc& 的充要条件； 二、 ②“ a ? 5 是无理数”是“ a 是无理数”的充要条件；③“ a ? b ”是“ a 2 ? b 2 ”的充分条件； ④“ a ? 5 ”是“ a ? 3 ”的必要条件。 其中真命题的个数是( ) A、1 B、2 C、37D、4答案：B， 解：②④正确。①应是充分条件，③应是既不充分也不必要条件。 10、 “ x ? 1 ”是“ x 2 ? x ”的（ A、充分而不必要条件 C、充分必要条件 答案：A 解： x ? 1 ? x 2 ? x即x ? 0或x ? 1 &≠ 11、已知条件 p : x 2 ? 2x ? 3 ? 0, q :| x ? 1 |? a ，若 q 是 ?p 的必要不充分条件，则实数 a 的取值 范围是（ A、 [2,??) C、 [1,??) ） B、 (2,??) D、 (1,??) ） B、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件答案: q ： 1 ? a ? x ? 1 ? a ?p ： x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 即 ? 1 ? x ? 3 ，数形结合，得?1 ? a ? ?1 ?a?2 ? ?1 ? a ? 312、函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? mx ? 3( x ? R) 是偶函数的充要条件是____________. 答案: m ? 0 解: 函数 f ( x) ? (m ? 1) x 2 ? mx ? 3( x ? R) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) ? f (?1) ? f (1) ? m ? 0 。 13、 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的一个而充分不必要条件是（ A、 x ? 2 ? 1 C、 x ? ?1或x ? 3 答案:A B、 x ? 2 ? 1 D、 x ? 2 ）解析: ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 即 x ? ?1或x ? 3 ? A 即 x ? ?1 顺推得,反推不得,正确.三、 《不等式的解法》知识点及典型例题 不等式的解法不等式类型 一元一次不等式 解 法 通过化简化为“ ax ? b(或ax ? b) ”的最简形式，再求解集。 1、 用方程的根， R 或 ? 表示解集， 但要注意平方项系数的正负，8一元二次不等式遇负时先化为正。2、含字母时要注意分类讨论。 先将分式不等式移项，通分整理为一边是分式一边是 0 的形 式，再根据“同号得正，异号得负”转化为整式不等式求解。 即 分式不等式f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0, ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0且g ( x) ? 0 g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0, ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0且g ( x) ? 0 g ( x) g ( x)高次不等式解一元高次不等式，常用“数轴标根法” （或称“区间法” “穿 根法” 。 “数轴标根法”解一元高次不等式的步骤： ①将 f(x)的最高次数项的系数化成正数；②将 f(x)分解成若 干一次因式积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上 方依次通过每个点画曲线， 奇次根依次穿过， 偶次根同向折回， 不穿过。④根据曲线显现出的符号变化规律，写出不等式的解 集。 1、如 a f ( x) ? b(b ? 0, a ? 0, a ? 1) ，用两边取对数数方法。指数不等式? f ( x) ? g ( x),0 ? a ? 1 2、 a f ( x ) ? a g ( x ) ? ? ? f ( x) ? g ( x), a ? 13、 a[d f ( x) ]2 ? b[d f ( x) ] ? c ? 0, (d ? 0且d ? 1) ， 可用换元法或 直接因式分解。 1、形如b ? ? f ( x) ? a , a ? 1 loga f ( x) ? b( f ( x) ? 0, a ? 0, a ? 1) ? ? b ? ? f ( x) ? a ,0 ? a ? 1对数不等式? f ( x) ? g ( x) ? 0, a ? 1 2、 loga f ( x) ? loga g ( x) ? ? ?0 ? f ( x) ? g ( x),0 ? a ? 13、 a[logm f ( x)]2 ? b[logm f ( x)] ? c ? 0(m ? 0, m ? 1) 可用换元 法或直接因式分解。 4、 解对数不等式要注意真数大于 0。 解绝对不等式的基本思想：去掉绝对值符号。 去掉绝对值符号的常用方法有以下三种方法：?a, a ? 0 ① 根据实数绝对值的意义，即 | a |? ? ， ?? a, a ? 0② 根据性质 | x |? a ? ?a ? x ? a ， | x |? a ? x ? ?a或x ? a 绝对值不等式 ③ 根据 | a | 2 ? a 2 ，可在两边同时平方。9解法：1、用公式： | ax ? b |? c ? ?c ?| ax ? b |? c| ax ? b |? c ? ax ? b ? ?c或ax ? b ? cc ?| ax ? b |? d ? c ? ax ? b ? d或 ? d ? ax ? b ? ?c| f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x),| f ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)或f ( x) ? ? g ( x)11、 两边平方： | f ( x) |?| g ( x) ? f 2 ( x) ? g 2 ( x)| f ( x) |?| g ( x) |? f 2 ( x) ? g 2 ( x)12、 解含有两个以上绝对值符号并且其形式是和或差的不 等式，可采用“零点分段法”求解。 13、 对形如 | x ? a | ? | x ? b |? c, 或 | x ? a | ? | x ? b |? c ，利用三角不等式 抽象不等式绝对值几何意义解较方便。特别是知“恒成立”求取值范 围问题，用绝对值几何意义较方便。 利用三角函数线或三角函数图象求解 利用函数单调性转化为具体不等式或利用函数的图象求解?a ? 0 *1、不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 恒成立的充要条件是： ? 2 ?? ? b 4ac ? 0 ?a ? 0 2、不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 恒成立的充要条件是： ? 2 ?? ? b 4ac ? 03、绝对值的几何意义：| x ? a | ：数轴上表示两数 x, a 表示的两点间的距离。典型例题1、若不等式 | 8x ? 9 |? 7 和不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集相同，则实数 a , b 的值为（ A、 a ? ?8, b ? ?10 C、 a ? ?1, b ? 9 答案：B 解： | 8 x ? 9 |? 7 ? ?2 ? x ? ?1 1 由题 ? 2 和 ? 是方程 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的两根 4 4）B、 a ? ?4, b ? ?9 D、 a ? ?1, b ? 2101 b ? ?2? ? ? ? ?a ? ?4 ? 4 a ?? ?? ?b ? ?9 ?(?2) ? (? 1 ) ? ? 2 ? 4 a ?2、如果 x 是实数，那么使 | x |? 2 成立的必要不充分条件是（ A、 | x ? 1 |? 1 答案：C 解： | x |? 2 即 ? 2 ? x ? 2 C：即 ? 4 ? x ? 2 3、函数 f ( x) ?1 A、 ( ?? ,? ) 3 答案：C）B、 | x ? 1 |? 2C、 | x ? 1 |? 3D、 | x ? 1 |? 1A：即 ? 2 ? x ? 0 D：即 0 ? x ? 2B：即 ? 3 ? x ? 13x 3 1? x? lg(3x ? 1) 的定义域是（1 C、 ( ? ,1) 3）1 D、 ( ? ,?? ) 31 1 B、 (? , ) 3 3?3x ? 1 ? 0 1 解：由 ? ? ? ? x ? 1。 3 ?1 ? x ? 04、在 R 上定义运算 ? ： x ? y ? x(1 ? y) ，若不等式 ( x ? a) ? ( x ? 1) ? 1 对任意实数 x 恒成立， 则（ ） A、 ? 1 ? a ? 1 C、 ? 2 ? a ? 0 答案：D B、 0 ? a ? 2 D、 ? 2 ? a ? 2解： ( x ? a) ? ( x ? 1) ? 1 即 ( x ? a)(? x) ? 1 ? x 2 ? ax ? 1 ? 0? 对任意实数 x 恒成立? ? ? a 2 ? 4 ? 0 ? ?2 ? a ? 2?( x ? 1) 2 , x ? 1 5、设函数 f ( x) ? ? ，已知 f (a) ? 1，则 a 的取值范围是（ ?2 x ? 2, x ? ?11 A、 (?? ,?2) ? (? ,?? ) 2 1 C、 ( ?? ,?2) ? ( ? ,1) 2 答案：A 1 1 B、 ( ? , ) 2 2 1 D、 (?2,? ) ? (1. ? ?) 2）?a ? 1 ? a ? ?1 1 或? ? a ? ?2或a ? ? 。 解： f (a ) ? 1 ? ? 2 2 ?(a ? 1) ? 1 ?2a ? 2 ? 16、不等式1 1 ? 2 的解集为（ x ?1 x ?1）11A、 (1,??) C、 [0,1) ? (1,??) 答案：D 解：不等式可化为：B、 [1,??) D、 (?1,0] ? (1,??)x ? 0 ? x( x ? 1)( x ? 1) ? 0且x 2 ? 1 ? 0 x ?12由数轴标根法得解集为： (?1,0] ? (1,??) 。 7、不等式 | x 2 ? x |? 2 的解集为（ A、 (?1,2) 答案：A2 ? ? x ? x ? ?2 ? ?1 ? x ? 2 解： | x ? x |? 2 ? ?2 ? x ? x ? 2 即： ? 2 ? ?x ? x ? 2） C、 (?2,1) D、 (?2,2)B、 ( ?1,1)228、不等式x ( x ? 2) ? 0 的解集为（ x?3） B、 (?2,3) ? (3,??) D、 (??,2) ? (3,??)A、 (??,0) ? (2,3) C、 (??,?2) ? (0,??)答案：A x( x ? 2) ? 0 ? x( x ? 2)( x ? 3) ? 0 ，由数轴标根法得解集为： (??,0) ? (2,3) 解： x?30 －+ 2+ － 39、(1)不等式 | 2 x ? 1 | ? x ? 1的解集为_________________。 解： | 2 x ? 1 | ? x ? 1 ?| 2 x ? 1 |? 1 ? x ? ?1 ? x ? 2 x ? 1 ? x ? 1?2 x ? 1 ? ?1 ? x ? x ? 0 即? ?? ? 0 ? x ? 2 ? 解集为： (0,2) ?2 x ? 1 ? x ? 1 ?x ? 2(2) 不等式 | x 2 ? 3 |? 2 x 的解集为_________________。12解： | x 2 ? 3 |? 2x ? x 2 ? 3 ? 2x或x 2 ? 3 ? ?2x ? x ? 1或x ? 3 ? 解集为： (??,1) ? (3,??) （3）不等式 | x ? 1 | ( x ? 2) ? 0 的解集为_________________。?x ? 2 ? 0 解： | x ? 1 | ( x ? 2) ? 0 ? ? ? x ? 1或1 ? x ? 2 ? 解集为： (??,1) ? (1,2) ?x ? 1 ? 010、不等式 x 2 ? m x ? 4 ? 0 对任意数恒成立，则 m 的取值范围是________________。 解：由 ? ? m 2 ? 16 ? 0 ? ?4 ? m ? 4 。 11、若不等式 : (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对于一切 x ? R 恒成立，则 a 的取值范围是（ A、 (??,2] C、 (?2,2] B、 [?2,2] D、 (??,?2) ）答案： 解：当 a ? 2 时，不等式为： ? 4 ? 0 ，合题意。?a ? 2 ? 0 ? ?2 ? a ? 2 当 a ? 2 时，由 ? 2 ?? ? 4( a ? 2) ? 16 ( a ? 2) ? 0? a 的取值范围是： ? 2 ? a ? 2 。12、不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? m 对任意实数恒成立，则 m 的取值范围是________________。 解：由三角不等式得： | x ? 1 | ? | x ? 2 |?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 3 ，因为恒成立，所以 m 的取值范围 是： m ? 3 。 13、 （1）不等式 x 2 ? (1 ? a) x ? a ? 0(a ? R) 的解集为__________________.?{x | x ? a或x ? ?1}, 当a ? ?1时 ? 解： x ? (1 ? a) x ? a ? 0 ? ( x ? a)(x ? 1) ? 0 ? ?{x | x ? ?1或x ? a}, 当a ? ?1时, ?{x | x ? ?1}, 当a ? ?1时 ?2（2）不等式 x 2 ? 6 | x | ?9 ? 0 的解集为__________________. 解： x 2 ? 6 | x | ?9 ? 0 ? (| x | ?3) 2 ? 0 ?| x |? 3 ? x ? ?3 。 14、解下列不等式： （1） | 2 x ? 1 | ? | x ? 2 |? 4 解:(零点分段法)原不等式可化为:1 ? 1 ? ?x ? 2 ?? ? x ? 2 ?x ? ? ①或 ? 2 ②? ③ 2 ? (2 x ? 1) ? ( x ? 2) ? 4 ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 ? x) ? 4 ?? (2 x ? 1) ? (2 ? x) ? 413解①得: x ? ?1 解②得: 1 ? x ? 2 解③得: x ? 2? 原不等式的解集为： (??,?1) ? (1,2] ? (2,??) ? (??,1) ? (1,??) 。（2） 3x 解： 3 x2 2?2 x? 272?2 x? 27 ? 3x?2 x? 33 ? x 2 ? 2x ? 3 ? ?1 ? x ? 3 ? 原不等式的解集为： (?1,3)（3） log2 | x ? 2 |? 3 解:原不等式可化为:log2 | x ? 2 |? log2 8 ?| x ? 2 |? 8 ? x ? 2 ? ?8或x ? 2 ? 8 ? x ? ?6或x ? 10? 原不等式的解集为：(??,?6) ? (10,??)（4） (3 x ) 2 ? 2 ? 3 x ? 3 ? 0 解法 1(换元法)设 3 x ? t ,则不等式化为: t 2 ? 2t ? 3 ? 0 即 (t ? 1)(t ? 3) ? 0 又 t ? 0? t ? 3 ? 0 ? t ? 3 ? 3 x ? 3 ? x ? 1 ? 原不等式的解集为： (1,??) .解法 2:(因式分解法)原不等式可化为: (3x ? 1)(3x ? 3) ? 0 ? 3x ? 1 ? 0 ?3x ? 3 ? 0 ? x ? 1 ? 原 不等式的解集为： (1,??) . （5） (log2 x) 2 ? 4 log2 x ? 5 ? 0 解法 1:(换元法)令 log2 x ? t ,则不等式可化为:t 2 ? 4t ? 5 ? 0 ? ?1 ? t ? 5 ? ?1 ? log 2 x ? 5 ? log 21 ? 原不等式的解集为： ( ,32 ) . 2 解法 2: (因式分解法)原不等式可化为:1 1 ? x ? log 2 32 ? ? x ? 32 2 2(log2 x ? 1)(log2 x ? 5) ? 0 ? ?1 ? log2 x ? 5 ? log 21 ? 原不等式的解集为： ( ,32 ) . 21 1 ? x ? log 2 32 ? ? x ? 32 2 2第二章 函数一、映射与函数的概念 1 映射的概念14按某个确定的对应关系 f ，使得对于集合 A 中的任意一个元素，在集合 B 中都有唯一确定 的元素和它对应，那么这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的映射，记作： f : A ? B 。 *（1）集合 A、B 不加约束，可以是数集，也可以是点集，或其它类型的元素构成的集合。 （2）对应法则具有方向性，是确定的， f : A ? B 和 f : B ? A 是不同的映射。 （3） 、定义强调 A 中元素的任意性和 B 中元素的唯一性。 （4） 、允许 A 中的不同元素在 B 中有相同的象，但不要求 B 中的元素有原象。 （5） 、判断一个对应是否是映射的方法 要判断一个对应是否是映射，只看第一个集合：第一个集合中每一个元素是否都有对应 元素，且对应是唯一的，至于第二个集合中的每一个元素是否都有原象不作要求。 2、函数的概念 7、 传统定义：在某个变化过程中有两个变量 x, y ，并且对于 x 在某个范围内的每一个 确定的值，按某个对应法则， y 都有唯一确定的值和它对应，那么 y 是 x 的函数。 8、 近代定义：设 A、B 是两个非空数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使得对于集 合 A 中的任何一个数 x ，在集合 B 中有唯一确定的数 f ( x) 和它对应，称映射：f : A ? B 为从集合 A 到集合 B 的函数。自变量 x 的取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 函数是一种从一个非空数集到另一个非空数集的特殊的映射。 （3） 、函数的三要素：定义域、值域和对应法则 。 定义域是灵魂，对应法则是核心。定义域和对应法则确定着值域。 （4） 、同一函数：定义域和对应法则（或函数式）都相同的函数（即三要素都相同的函数） 。 判断时若函数式能化简的就先化简。 （5）函数的表示法：解析法、列表法、图象法。 3、分段函数 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数?2 x ? 1, x ? ?1 ? 称为分段函数。如： f ( x) ? ? x 2 ? 3x,?1 ? x ? 2 为分段函数。 ?3 x , x ? 2 ?分段函数的求法是分别求出各区间上的函数关系再组合在一起， 但是要注意各区间之的间 点要不重复、无遗漏。 解决分段函数问题要看用哪一段。 4、复合函数 如果 y ? f (u), u ? g ( x) ，那么函数 y ? f [ g ( x)] 叫复合函数，其中 f (u ) 叫做外层函数， g ( x) 叫做内层函数。2 如： y ? lo g 2 ( x ? 2 x ? 3) 是 复 合 函 数 。 其 中 外 层 函 数 为 y ? f (u ) ? log2 u ， 内 层 函 数 为15u ? x 2 ? 2x ? 3典型例题13、已知映射 f : ( x, y) ? ( x ? y, xy) ，则 (?2,3) 在 f 作用下的象是_____________；象 (2,?3) 的 原象是_____________。? x ? y ? 2 ? x ? ?1 ? x ? 3 解: (?2,3) 在 f 作用下的象是 (1,?6) ,由 ? ?? 或? ? 象 (2,?3) 的原象是: ? xy ? ?3 ? y ? 3 ? y ? ?1(?1,3) 或 (3,?1)2、已知映射 f : A ? B ，其中 A ? B ? R ，对应法则 f : x ? y ? ? x 2 ? 2 x ，对于实数 k ? B ， 在集合 A 中不存在原象，则 k 的取值范围是（ A、 k ? 1 B、 k ? 1 C、 k ? 1 D、 k ? 1 答案:A ）解:题为方程: ? x 2 ? 2 x ? k 无解, ? ? 4 ? 4k ? 0 ? k ? 1 3、下列对应是否为从 A 到 B 的映射？ 1 ① A ? R, B ? R, f : x ? y ? x ?1 解:不是映射,因为 A 中 ?1无对应. ② A ? {x | x ? 0}, B ? R, f : x ? y, y 2 ? x 解:不是映射,因为不满足“对应是唯一的”. ③ A ? {平面?内的矩形 }, B ? {平面?的圆 } ， f : 作平面 ? 内矩形的外接圆。 解:是映射,因为任意矩形都有外接圆且外接圆是唯一的，该对应满足映射定义. 4、设集合 A ? R ，集合 B ? 正实数集，则从集合 A 到集合 B 的映射 f 只能是（ A、 f : x ? y ?| x | C、 f : x ? y ? 3? x 解:C 正确.因为 A、B、D 中 0 无对应。 5、下列命题正确的是（ ） A、函数是定义域到值域的映射 C、函数 y ? 2 x( x ? N ) 的图象是一条直线*）B、 f : x ? y ? x D、 f : x ? log2 (1? | x |)B、 f ( x) ? x ? 3 ? 2 ? x 是函数2 ? ?x , x ? 0 D、函数 y ? ? 2 的图象是一条抛物线 ? ?? x , x ? 0解：A 正确,B 不是函数,因为此函数无定义域,C 应是分布在一条直线上一群孤立的点,D 中函16数的图象应是一条曲线. 6、下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ A、 y ? x 与 y ? x 2 C、 y ? x ? 1 ? x ? 1 与 y ? x 2 ? 1） x B、 y ? 与 y ? x 0 x D、 y ? ( x ) 2 与 y ?| x |答案:B 解:A 两函数对应法则不同,C 两函数的定义域不同,D 两函数对应法则不同 7、下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ） A、 y ? x ? 1 与 y ? ( x ? 1) 2 C、 y ? 4 lg x 与 y ? 2 lg x 2 B、 y ? x ? 1 与 y ?x ?1 x ?1x 100D、 y ? lg x ? 2 与 y ? lg答案:D 解:A 两函数对应法则不同,B 两函数的定义域不同,C 两函数的定义域不同.? f ( x ? 2), x ? ?1 1 ? 8、已知函数： f ( x) ? ?2 x ? 2,?1 ? x ? 1 ，则 f ( ) ? __________ , f (3) ? __________ _ ， 2 ?2 x ? 4, x ? 1 ?f [ f (2)] ? __________ ___ 。1 1 解: f ( ) ? 2 ? ? 2 ? 3, f (3) ? 2 3 ? 4 ? 4, f [ f (2)] ? f (0) ? 2 ? 0 ? 2 ? 2 2 2? x ? 2, x ? 2 _______ 9、已知函数 f ( x) ? ? ，则（1） f (lg 30 ? lg 3) ? __________ ； ?? 2, x ? 2（2）不等式 xf ( x ? 1) ? 10 的解集为：_________________. 解: (1) f (lg 30 ? lg 3) ? f (1) ? ?2?x ? 1 ? 2 ?x ? 1 ? 2 (2) xf ( x ? 1) ? 10 ? ? 或? ? 3 ? x ? 5或 ? 5 ? x ? 3 ? ?5 ? x ? 5 ? x( x ? 3) ? 10 ?? 2 x ? 10?2 x , x ? 2 ? 10、设函数 f ( x) ? ? 2 x ，若 f (m) ? 1 ，则实数 m 的取值范围是（ ,x ? 2 ? ?x ? 3A、 (0,2) ? (3,??) C、 (0,1) ? (2,??) 答案:A B、 (3,??) D、 (0,2) ）17?m ? 2 ?m ? 2 ? 解: f (m) ? 1 可化为： ? m 或? 2m 解得: 0 ? m ? 2或m ? 3 ?1 ?2 ? 1 ? ?m ? 3?x 2 , x ? 0 ? x, x ? 0 11、设 f ( x) ? ? ， g ( x) ? ? 2 则当 x ? 0 时， f [ g ( x)] 等于（ ? x, x ? 0 ?? x , x ? 0A、 ? x C、 x 2 答案:B 解: f [ g ( x)] ? f (? x 2 ) ? ? x 2 B、 ? x 2 D、 x）2 x 12 、 函 数 y ? 3l o g 由 函 数 ____________ 和 函 数 ____________ 复 合 而 成 ， 其 中 内 函 数 是__________，外函数是___________。 解: y ? 3u ,u ? log2 x , u ? log2 x , y ? 3u13、函数 y ? log2 ( x 2 ? 2 x) 的定义域是________________。 解:由 x 2 ? 2 x ? 0 ? x ? 0或x ? 2 ? 定义域为: (??,0) ? (2,??) .《求函数的定义域》知识点及典型例题 一、知识点14、 函数的定义域：使函数式有意义的自变量的取值范围。 基本思想：使函数解析式有意义的 x 所有条件化为不等式（组）的解集。 15、 求函数定义域的主要依据 （1） 分式函数，分母不等于 0； （2） 偶次根式，被开方数大于等于 0； （3） x 0 中的底数 x ? 0 。 （4） 一次函数 y ? kx ? b 、二次函数 y ? a 2 x ? bx ? c 定义域都为 R。 （5） 指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 定义域为 R。 （6） 对数函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的定义域为： R ? 。 （7） y ? sin x, y ? cos x 的定义域为 R； （8） y ? tan x 的定义域为： {x | x ? k? ??2, k ? Z}18y ? cot x 的定义域为： {x | x ? k? , k ? Z}3、求函数定义域的类型 求函数的定义域即求使函数式有意义的自变量的取值范围。 有以下几种类型： （1）已知函数的解析式，解使函数式有意义的 x 的不等式即可。 （2）复合函数 f [ g ( x)] 的定义域 若已知 f ( x) 的定义域为 [a, b] ，则复合函数 f [ g ( x)] 的定义域应由不等式：由 a ? g ( x) ? b 解出 x 的范围。 （3）若已知 f [ g ( x)] 的定义域为 [a, b] ，求 f ( x) 的定义域即求： g ( x) 在 [a, b] 内的取值范围。 （4）求反函数的定义域，即求原函数的值域。 （5） 对于实际问题求得的函数解析式， 在确定定义域时， 除了要考虑函数解析式有意义之外， 还要注意自变量的实际意义的制约。 4、求定义域的步骤 （1）列出函数式有意义的不等式（组） ； （2）解不等式（组） ； （3）写出函数的定义域； （4） 对实际问题还需根据实际意义在前面的基础上再限制， 从而得到实际问题的函数定义域。二、典型例题1、函数 f ( x) ? 1 ? 2 x 的定义域是（ A、 (??,0] C、 (??,0) 答案: A 解析:由 1 ? 2 x ? 0 得: x ? 0 。) 2、函数 f ( x) ? A、 (1,2) ? (2,3) C、 (1,3) 答案：A1 的定义域是（ log2 (? x ? 4 x ? 3)2）B、 [0,??) D、 R）B、 (??,1) ? (3,??) D、 [1,3]192 ? ?? x ? 4 x ? 3 ? 1 解析：由 log2 (? x 2 ? 4 x ? 3) ? 0 ? ? 2 解得： 1 ? x ? 2或2 ? x ? 3 。 ? ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ?? x2 ? x ? 6 3、 （1）函数 f ( x) ? 的定义域是______________。 x ?1（2）函数 g ( x) ? (2 x ? 1) 0 的定义域是______________。?? x 2 ? x ? 6 ? 0 解析： （1）由 ? 解得： ? 2 ? x ? 1或1 ? x ? 3 ? 定义域为： [?2,1) ? (1,3] x ? 1 ? 0 ?（2）由 2 x ? 1 ? 0 解得： x ? 4 、已知 f ( x) ?1 1 ? 定义域为： {x | x ? } 2 21 1? x2的定义域为 F ， g ( x) ?1 2 ? x ? 6x 2的定义域为 G ，全集 U=R ，则F ? CU G ? ______________。1 2 解析：由 1 ? x 2 ? 0 解得： F ? (?1,1) ，由 2 ? x ? 6 x 2 ? 0 解得： G ? ( ? , ) 2 3 1 2 1 2 ? CU G ? (?? ,? ] ? [ ,?? ) ? F ? CU G ? (?1, ] ? [ ,1) 。 2 3 2 35、函数 y ? ax2 ? ax ? A、 ? 2 ? a ? 2 C、 0 ? a ? 2 答案：D 解：题为 ax 2 ? ax ?1 的定义域为 R，则 a 的取值范围是（ aB、 ? 2 ? x ? 2 D、 0 ? a ? 2）?a ? 0 1 ? 0 的解集为 R，? ? ?0? a ? 2。 2 a ? ? a ? 4 ? 0 ?6、已知函数 y ? mx2 ? 6mx ? 8 的定义域为 R，则 m 的取值范围是______________。 解：题为 mx2 ? 6mx ? 8 ? 0 的解集为 R，当 m ? 0 时， 8 ? 0 ，合题意；?m ? 0 8 8 当 m ? 0 时，由 ? ? 0 ? m ? ，? m 的取值范围是： [0, ] 。 2 9 9 ?? ? 36m ? 32m ? 01 1 7、已知函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? } ，则函数 f ( ) 的定义域为（ x 2 1 1 A、 {x | x ? } B、 {x | x ? 且x ? 0} 2 2）C、 {x | x ? 2} ? {x | x ? 0} 答案：DD、 {x | 0 ? x ? 2}20解析：由1 1 ? 解得： 0 ? x ? 2 x 28、已知函数 f ( x) 的定义域为 [?1,2], 那么函数 f ( x ? 1) ? f ( x 2 ? 1) 的定义域是______________。?? 1 ? x ? 1 ? 2 解：由 ? ? ? 3 ? x ? 1 ? 定义域为： [? 3,1] 2 ?? 1 ? x ? 1 ? 29、已知函数 f ( x) ? lg x, g ( x) ? 4 x ? 2 x?1 ? 3 ，那么函数 f [ g ( x)] 的定义域是（ A、 (??,2) C、 (log2 3,??) 答案：C 解析：? f ( x) 的定义域为： (0,??) ?由 4 x ? 2 x?1 ? 3 ? 0 ? (2 x ? 3)(2 x ? 1) ? 0 B、 (2,??) D、 (??, log2 3) ）? 2 x ? 3 ? 0 ? x ? log2 3 。10、函数 f ( x) ? 3 x (0 ? x ? 2) 的反函数的定义域为（ A、 (0,??) C、 (0,1) 答案：B 解析：即求原函数的值域，? 30 ? 3 x ? 32 ?原函数值域： (1,9] ，即为反函数定义域。 11、设函数 y ? log2 ( x ? 1)(x ? 3) ，则其反函数的定义域为______________。 解：即求原函数的值域，? x ? 1 ? 2 ? log2 ( x ? 1) ? log2 2 ? 1 原函数值域：[1,??) ，即为反函数 定义域。 12、已知 f (2 x ? 1) 的定义域为 [1,3] ，则 f ( x) 的定义域为______________。 解：?1 ? x ? 3 ? 3 ? 2 x ? 1 ? 7 ? f ( x) 的定义域为 [3,7] 。 13、已知 f (2 x ? 1) 的定义域为 [1,3] ，则 f ( x) 的定义域为______________。 解：?1 ? x ? 3 ? 3 ? 2 x ? 1 ? 9 ? f ( x) 的定义域为 [3,9] 14、用长为 8cm 的铁丝做成一个矩形框架，若此矩形的一边长为 xcm ，面积为 ycm2 ，则 y 关 于 x 的函数解析式为___________________,其定义域为_______________。解析：矩形的另一边长为： 4 ? x(cm) ，则 y ? x(4 ? x) ? ? x ? 4x2）B、 (1,9] D、 [9,??)21由??x ? 0 ? 0 ? x ? 4 ? 定义域： (0,4) ?4 ? x ? 0《求函数的解析式》知识点及典型例题一、知识点 求函数解析式常用的方法有： ①代入法：用 g ( x) 代入 f ( x) 中的 x ，即得 f [ g ( x)] 的解析式。 ②拼凑法：对 f [ g ( x)] 的解析式进行拼凑变形，使它能用 g ( x) 表示出来，再用 x 代替两边所有g ( x) 即可。 （注意 x 的变化范围，与 g ( x) 同）③换元法：设 t ? g ( x) ，解出 x ，代入 f [ g ( x)] 得 f (t ) 的解析式，再把 t 换 x 为即可。 （注意 t 的 变化范围） ④待定系数法：若已知 f ( x) 的函数类型，设出它的一般形式，根据条件建立方程组确定相关 系数即可。 ⑤赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式的方法。 ⑥解方程组的方法：建立 f ( x) 的方程组，通过解方程组 f ( x) 求出。 除此之外，在后继内容中，将还会有求函数解析式的相关问题，如用对称性、奇偶性、 图象的变换等求函数解析式等。二、典型例题2 1、已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 5 ，则 f (2 x ? 1) ? _________________。解析: (代入法) f (2 x ? 1) ? (2 x ? 1) 2 ? 3(2 x ? 1) ? 5 ? 4 x 2 ? 10x ? 91 1 ) ? x 2 ? 2 ，则 f ( x) ? ______________。 x x 1 1 1 解: （拼凑法）? f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ? ( x ? ) 2 ? 2 ? f ( x) ? x 2 ? 2 x x x2、 （1）已知： f ( x ?（2）已知： f (cosx) ? sin 2 x ，则 f ( x) ? ______________。 解: （拼凑法）? f (cosx) ? sin 2 x ? 1 ? cos2 x ? f ( x) ? 1 ? x 2 (?1 ? x ? 1) （3）若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ，则 f ( x) ? ______________。 解: （拼凑法）? f ( x ? 1) ? x ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 1? f ( x) ? x 2 ? 1( x ? 1)1 1 （4）已知： f ( x ? ) ? x 3 ? 3 ，则 f ( x) ? ______________。 x x221 1 1 1 1 1 1 解: （拼凑法）? f ( x ? ) ? x 3 ? 3 ? ( x ? ) ? 3x 2 ? ? 3x 2 ? ( x ? ) 3 ? 3( x ? ) x x x x x x x? f ( x) ? x 3 ? 3x( x ? ?2或x ? 2)2 3、 （1）已知 f ( ? 1) ? lg x ，则 f ( x) ? ______________。 x 2 2 2 2 , f (t ) ? lg ? f ( x) ? lg 解： （换元法）令 ? 1 ? t 则 x ? x t ?1 t ?1 x ?1 1 x （2）已知： f (1 ? ) ? ，则 f ( x) ? ______________。 x 1? x2 1 1 1 t ?1 x ?1 t ?1 解： （换元法）令 1 ? ? t ，则 x ? , f (t ) ? ? 2 ? f ( x) ? 2 1 2 t ? 2t x t ?1 x ? 2x 1? ( ) t ?11? x 1? x2 )? （3）已知 f ( ，则 f ( x) 的解析式可以是（ 1? x 1? x2x 1? x2 2x C、 1? x2）A、2x 1? x2 x D、 ? 1? x2B、 ?1? x 1? t ?t则x ? 解： （换元法）令 , f (t ) ? 1? x 1? t1? t 2 1? ( ) 1 ? t ? 2t ? f ( x) ? 2 x 1? t 2 1? t 2 1? x2 1? ( ) 1? t4、 （1）已知 f ( x) 是一次函数，且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 1 ，求函数 f ( x) 的解析式。?k 2 ? 4 f [ f ( x )] ? 4 x ? 1 ? k ( kx ? b ) ? b ? 4 x ? 1 ? 解：设 f ( x) ? kx ? b ，则 ? ?kb ? b ? ?1?k ? 2 ?k ? ?2 或? ? f ( x) ? 2x ? 1或f ( x) ? ?2x ? 1 ?? ?b ? ?1 ?b ? 1（2）已知 f ( x) 是一次函数，且满足： 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ，函数 f ( x) 的解析式。 解：设 f ( x) ? kx ? b ， 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ? 3[k ( x ? 1) ? b] ? 2[k ( x ? 1) ? b] ? 2 x ? 17?k ? 2 ?k ? 2 ?? ?? ? f ( x) ? 2 x ? 7 ?5k ? b ? 17 ?b ? 75、设 f ( x) 是定义实数集 R 上的函数，满足： f (0) ? 1 且对任意实数 a , b 都 有： f (a) ? f (a ? b) ? b(2a ? b ? 1) ，则 f ( x) 的解析式可以是（23）A、 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 C、 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 答案：AB、 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 D、 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1解： （赋值法）令 a ? b ? x ，则 f ( x) ? f (0) ? x( x ? 1) ? f ( x) ? x 2 ? x ? 11 6、 （1）已知函数 f ( x) 满足： 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ，则 f ( x) ? ______________。 x1 ? 2 f ( x ) ? f ( ) ? 3x ? 1 ? x ? f ( x) ? 2 x ? 解： （解方程组法）由 ? x ?2 f ( 1 ) ? f ( x ) ? 3 ? x x ?（2）已知函数 f ( x) 满足： 3 f ( x 5 ) ? f (? x 5 ) ? 4x ，则 f ( x) ? ______________。5 5 ? ?3 f ( x ) ? f (? x ) ? 4 x ? f (x5 ) ? 2x 令 x5 ? t 解： （解方程组法）由 ? 5 5 ? ?3( f ? x ) ? f ( x ) ? ?4 x则 x ? 5 t , f (t ) ? 25 t ? f ( x) ? 25 x 7、把函数 f ( x) ? 2 x 2 ? x ? 1 的图象向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数 g ( x) 的 图象，则 g ( x) 的解析式为__________________。 解： g ( x) ? 2( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) ? 1 ? 1 ? 2x 2 ? x ? 1 8、 把函数 f ( x) ? 3x ? 1 的图象向左平移 2 个单位， 再向上平移 3 个单位得到函数 g ( x) 的图象， 则 g ( x) 的解析式为__________________。 解： g ( x) ? 3 x?2 ? 4 9、已知 f ( x) 为奇函数，且当 x ? 0 时， f ( x) ? x 2 ? 3x ，则当 x ? 0 时， f ( x) ? _________ 。 解：当 x ? 0 时， ? x ? 0 ， f (? x) ? (? x) 2 ? 3x ，又 f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) ? ? x 2 ? 3x 。 10、 （1） 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数， 且 f ( x) ? f ( x ? 2) 恒成立， 当 x ? (?2,?1) 时，f ( x) ? x 2 ， 则当 x ? (2,3) 时，函数 f ( x) 的解析式为 （ A． x 2 ? 4 B． x 2 ? 4 ） D． ( x ? 4) 2C． ( x ? 4) 2解：? f ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x) 是以 2 为一个周期的周期函数。当 x ? (2,3) 时， x ? 4 ? (?2,?1)24? f ( x ? 4) ? (4 ? x) 2 ? f ( x) ? (4 ? x) 2选 D。 （2）定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ? 0 ，若当 x∈(0，3)时， f ( x) ? 2 x ， 则当 x∈(- 6，-3)时， f ( x) =( A. 2 x ?6 B.- 2 x ?6 ) C. 2 x ?6 D.- 2 x ?6解： f (3 ? x) ? f (3 ? x) ? 0 ? f (3 ? x) ? ? f (3 ? x) ? f ( x ? 6) ? ? f (? x) ? f ( x)? f ( x) 是以 6 为一个周期的周期函数。当 x∈(- 6，-3)时， x ? 6 ? (0,3) ，? f ( x ? 6) ?2 x ?6 ? f ( x) ? 2 x?6 选 A。《求函数值》知识点及典型例题一、知识点 求函数值的方法： ①代入法；②寻找规律(主要看欲求式的特点)；③赋值法；④利用函数的性质：奇偶性、周 期性等。 二、典型例题 1、已知函数 f ( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 1，则 f (2) ? __________ __, f ( x ? 1) ? __________ __ 。 解:(代入法) f (2) ? 3 ? 2 2 ? 4 ? 2 ? 1 ? 21, f ( x ? 1) ? 3( x ? 1) 2 ? 4( x ? 1) ? 1 ? 3x 2 ? 10x ? 8 .?sin ?x, x ? 0 11 11 2、已知 f ( x) ? ? ，则 f ( ? ) ? f ( ) 的值为（ 6 6 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0A、 ?1 答案：C 解:(代入法) f (? B、 ? 3 ? 2 C、 ? 2） D、 ? 311 11? ? 1 ) ? sin( ? ) ? sin ? 6 6 6 2 11 11 11 5 1 ? 1 f ( ) ? f ( ) ? 1 ? f (? ) ? 2 ? sin( ? ) ? ? ? 2 ? f ( ? ) ? f ( ) ? ?2 6 6 6 6 6 6 23、已知 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? bx ? 8 且 f (?2) ? 10 ，则 f (2) ? （ A、 ? 26 答案：A B、 ? 18 C、 ? 10 D、 10）解:(代入法)? f (?2) ? 10 ? 8a ? 2b ? ?50 ? f (2) ? 24 ? 8a ? 2b ? ?26251 1 1 x2 4、已知函数 f ( x) ? ，那么 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? _________。 2 2 3 4 1? x1 ( )2 1 1 x x2 1 解： （寻找规律） f (1) ? ? f ( x) ? f ( ) ? 2 ? x ? 2 ? 2 ?1 1 2 x ?1 x ?1 2 x x ?1 1? ( ) x 1 7 1 1 1 ? f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? 3 ? 1 ? 2 2 2 3 421 2 3 10 4x 5、设 f ( x) ? x ，那么 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ?? ? f ( ) =_____________。 11 11 11 11 4 ?2解: （寻找规律）? f ( x) ? f (1 ? x) ?4x 41? x 4x 4 ? ? ? ?1 x 1? x x 4 ? 2 4 ? 2 4 ? 2 4 ? 2 ? 4x1 10 2 9 5 6 ? 原式= [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ?[ f ( ) ? f ( )] ? 5 11 11 11 11 11 11 1 ( x ? R) ，则 f ( 1 ) ? f ( 1 ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? __________ _ 6、已知函数 f ( x) ? x 4 ?2 3 4 3 4 5 51 1 1 4x 1 ? 1? x ? x ? ? 解: （寻找规律）? f ( x) ? f (1 ? x) ? x x 2 4 ? 2 4 ? 2 4 ? 2 4 ? 2? 41 2 1 3 2 3 3 ? 原式= [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? 3 3 4 4 5 5 27、如果函数 f ( x) 满足：对任意实数 a , b 都有： f (a ? b) ? f (a) f (b),且f (1) ? 2 ，则f (2) f (3) f (4) f (5) f (2009 ) ? ? ? ??? ? ______________。 f (1) f (2) f (3) f (4) f (2008 )解：(赋值法)令 a ? n, b ? 1 ,则 由题得:f (n ? 1) ? f (1) ? 2 ? 原式= 2008 ? 2 ? 4016 。 f ( n)8、 设函数 f ( x) 的定义域是 N * ， 且 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy, f (1) ? 1 ， 则 f (25) ? __________。 解：(赋值法)令 x ? n, y ? 1，则由已知得： f (n ? 1) ? f (n) ? 1 ? n? f (25) ? f (24) ? 25f (24) ? f (23) ? 24 f (23) ? f (22) ? 23?26f (2) ? f (1) ? 2以上各式相加，得： f (25) ? f (1) ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 24 ? 25? f (25) ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 24 ? 25 ? 25(1 ? 25) ? 325 29、已知函数 f ( x) 对于一切 x, y ? R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ，则 （1） f (0) ? _________ ; (2)函数 f ( x) 为_________函数;(填奇偶性) (3)若 f (2) ? a ,则 f (1) ? ________ ;__ 。 （2）若 f (?3) ? m ，则 f (12) ? __________ （结果用 m 表示）解：(赋值法)（1）令 x ? y ? 0 ，则由题可得： f (0) ? 2 f (0) ? f (0) ? 0 (2)令 y ? ? x ,则 f (? x) ? f ( x) ? 0 ? f ( x) 为奇函数. （3）令 x ? y ? 1，则由题可得： f (2) ? 2 f (1) ? f (1) ?a 2（4）令 x ? y ? 6 ，则 f (12) ? 2 f (6) ，又令 x ? y ? 3 ，则 f (6) ? 2 f (3)? f (12) ? 4 f (3) ，再令 x ? 3, y ? ?3 ，则 f (?3) ? f (3) ? 0 ? f (12) ? ?4 f (?3) ? ?4m 。 _ _ _ _ _ _ 10、 设函数 y ? f ( x) 是奇函数， 若 f (?2) ? f (?1) ? 3 ? f (1) ? f (2) ? 3 ， 则 f (1) ? f (2) ? _。解： （由函数奇偶性求）原式为： ? f (2) ? f (1) ? 3 ? f (1) ? f (2) ? 3 ? f (1) ? f (2) ? ?3 小结:7、8、9、10 为抽象函数求函数值问题。 1 1 1 1 1 ) ? f (? ) ? f (? )? f( )? f( ) 11、已知函数 f ( x) ? ? x ? sin x ，则 f (? 10
? f( ) ? __________ ___ 。 2010 解： （由函数奇偶性求）? f (? x) ? x ? sin x ? ? f ( x) 即 f (? x) ? f ( x) ? 0? 原式= 3 ? 0 ? 012、 已知 f ( x) 在 R 上是奇函数， 且满足 f ( x ? 4) ? f ( x) ， 当 x ? (0,2) 时， f ( x) ? 2x 2 ， 则 f (7 ) ? （ A、 ? 2 ） B、2 C、 ? 98 D、 98 4 为 一 个 周 期 的 周 期 函 数 ，解 ： 由 f ( x ? 4) ? f ( x) 知 函 数 f ( x) 为 以27? f (7) ? f [8 ? (?1)] ? f (?1) ?? f (1) ? ?2 ?12 ? ?2 。13、设偶函数 f ( x) 对任意 x ? R ，都有 f ( x ? 3) ? ?f (113.5) 的值为（1 ，且当 x ? [?3,?2] 时， f ( x) ? 2 x ，则 f ( x)）2 7A、 ?2 7B、C、 ?1 5D、1 5解： f ( x ? 3) ? ?1 ? f ( x ? 6) ? f ( x) ?函数 f ( x) 为以 6 为一个周期的周期函数， f ( x) 1 1 1 1 ?? ?? ? f (2.5) f (?2.5) 2 ? (?2.5) 5? f (113.5) ? f (6 ? 18 ? 5.5) ? f (5.5) ? ?14、定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数，若 f ( x) 的最小正周期为是 ? ，且当5? ? x ? [0, ] 时， f ( x) ? sin x ，则 f ( ) 的值为（ 3 2） D、3 2A、 ?1 2B、1 2C、 ?3 2解： f (5? ? ? ? ? 3 ) ? f [2? ? (? )] ? f (? ) ? f ( ) ? sin ? 3 3 3 3 3 215、已知函数 f ( x) ? 2 sin （ A、 2 3 ） B、 3?x3)? ，则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? ? ? f (2005C、 1 的最小正周期是： T ?D、0解：函数 f ( x) ? 2 sin?x32??3? 6 ? 六个六个加相等又 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? 0) ? 2 sin ? 原式=334 ? 0 ? f (20052005? ? ? 2 sin ? 3 3 3《求函数的值域（或最值） 》知识点及典型例题28一、知识点 14、函数的值域：所有函数值的集合叫做函数值的值域。 15、基本初等函数的值域： （1） y ? kx ? b, k ? 0 的值域为 R。 （2） y ? a 2 x ? bx ? c (a ? 0) 的值域是：当 a ? 0 时值域是 [4ac ? b 2 ,??) ；当 a ? 0 时值域是： 4a4ac ? b 2 (??, ]。 （当 x 无限制时，即 x ? R ，配方；当 x 限在某个区间，数形结合或用导数法 4a求值域） （3） y ?k (k ? 0) 的值域为： { y | y ? 0} 。 x（4） y ? a x (a ? 0, a ? 1) 值域为： { y | y ? 0} 。 （5） y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的值域为：R。 （6） y ? sin x, y ? cos x 的值域为： [ ?1,1] （7） t ? tan x, y ? cot x 的值域为：R。 3、求函数值域的常用方法（也是求最值的常用方法） 求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择相应的方法。 因此，对函数解析式的结构特征的分析是十分重要的。常见函数解析式模型和相应解法可归 纳为： （ 1 ）直接法（观察法） ：有的函数式结构并不复杂，可直接观察出函数的值域。如函数y ? x 4 ? 3 的值域为： [ 3,??) 。（2）求形如： y ?c {y | y ? }。 a cx ? d 的函数值域：用反函数法（逆求法）或分离常数法求函数值域：是 ax ? b（3）形如 y ?sin x ? 1 2x ?1 或y? 等函数的值域：逆求法，不等式法，先逆求出 2 x 或 sin x ， x sin x ? 2 2 ?1再利用这两函数性质： 2 x ? 0, | sin x |? 1 建立 y 不等式求解。 （4）二次函数 y ? a 2 x ? bx ? c (a ? 0) 的值域：当 x 无限制（ x ? R ）时，用配方法；当 x 限在 某个区间，数形结合法或用导数法求值域） 数形结合法：通过作函数的图象来求函数的值域。最高点纵坐标为最大值，最低点纵坐 标为最小值。29（5）形如： F ( x) ? a[ f ( x)]2 ? bf ( x) ? c 二次型的值域：换元法，转化为二次函数在某个区间 上的值域。 （6）形如 y ? ax ? b ? cx ? d （ a, b, c, d 为常数， ac ? 0 ）的值域： 当 ac ? 0 时用单调性法；当 ac ? 0 时用换元法，转化为二次函数在指定区间上的值域。 （7）形如 y ? ax ? b ? cx ? d （ a, b, c, d 为常数， ac ? 0 ）的值域： 当 ac ? 0 时用单调性法；当 ac ? 0 时用换元法，转化为二次函数在指定区间上的值域。 （8）求形如： y ?a1 x 2 ? b1 x ? c1 (a1 , a 2 不同时为0) 的函数值域： a2 x 2 ? b2 x ? c2x2 ? x ? 2 的值 x 2 ? 4x ? 3先看能不能约分，若能约分用分离常数法或逆求法求值域（如求函数 y ?域） ；若不能约分，用判别式法或用均值不等式求值域（如求函数 y ? 别式法；求函数 y ?3x ( x ? 0) 的值域，用均值不等式求） 。 x ? x ?12x2 ? x ? 3 的值域，用判 x2 ? x ?1用判别式法求的具体做法是：把函数转化为关于 x 的二次方程 F ( x, y) ? 0 ，因为 x ? ? ， 通过方程有实根，由判别式 ? ? 0 ，从而建立 y 的不等式，解不等式得原函数值域。 用均值不等式： a ? b ? 2 ab(a ? 0, b ? 0) 求值域，要注意条件“一正、二定、三相等” 。即： ① a ? 0, b ? 0 ②和 a ? b(或积ab) 为定值③取“=”条件，三个条件缺一不可。 *通过对函数式进行恒等变形，创设均值不等式的使用条件。 k （9）形如 y ? x ? ( x ? 0, k ? 0) 的值域：①用均值不等式求（要注意条件“一正、二定、三 x 相等” ） ；②当“三相等”不满足时，用单调性法。 k 两个常用结论：①函数 y ? x ? ( x ? 0, k ? 0) ，在 (0, k ] 上递减，在 [ k ,??) 上递增。 （用求 x k 导的方法易得此结论） ② | x ? |? 2 k (k ? 0) x （10）分段函数的值域：数形结合法。 （11）含绝对值符号如： y ?| x ? 1 | ? | x ? 3 | 的函数值域：①零点分段法数形结合法，②利用 三角不等式： || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | 求。 （12）导数法 利用导数求函数在闭区间上的最值，从而得到函数的值域。 利用导数求最值的步骤：①求导数为 0 的点，及它们对应的函数值。②将上步骤的函数 值与区间两个端点对应的函数值比较，找出最大者、最小者。 （13）其它方法30? ①函数 y ? x ? 1 ? x 2 ( x ? [0,1]) 的值域，用三角换元法：令 x ? sin ? , ? ? [0, ] 。 2②求函数 y ? x ? 2 ? x ? 1 的最大值，先进行分子有理化（得： y ? 调性求最大值。 ③求函数 y ?3 x ? 2 ? x ?1）再用单x2 ? 5 x2 ? 4的值域，用单调性法，不能用均值不等式。二、典型例题1、 （1）函数 y ? x 2 ? 4 的值域是_______________； 直接法（观察法） 解:? x 2 ? 4 ? 4 ? y ? 4 ? 2 ? 值域是: [2,??) （2）函数 y ? 3 x2?1的值域是______________；解:? x 2 ? 1 ? 1? y ? 3 ? 值域是: [1,??)1 （3）函数 y ? ( ) | x| 的值域是______________； 2 1 解: ?| x |? 0 ? 0 ? y ? ( ) 0 ? 1 ? 值域是: (0,1] 2 1 （4）函数 y ? 2 的值域是______________； x ?2 1 1 解:? x 2 ? 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? 值域是: (0, ] 2 2（5）函数 y ?x2 的值域是______________； x2 ?1解:当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, 0 ? y ? 1 ? 值域是: [0,1) 2、求下列函数的值域： 1? x （1） y ? 2x ? 5 ( 反函数法（逆求法）)5x ? 1 4x ? 2 1? x 1? 5y 得: x? 2x ? 5 1? 2y（2） y ?解 : (1) 解 法 一 ： （逆求法）由 y ?1 是: { y | y ? ? } 2, 由 1? 2y ? 0 得 函 数 值 域1? x 解法二： （分离常数法） y ? ? 2x ? 51 7 7 ? (2 x ? 5) ? 1 2 2 ?? ? 2 2x ? 5 2 2x ? 5317 7 1 1 1 1 ? 2 ? 0 ? ? ? 2 ? ? ? y ? ? ? 函数值域是: { y | y ? ? } 2 2x ? 5 2 2x ? 5 2 29、 解法一： （逆求法）由 y ?5x ? 1 5 2y ?1 得: x ? 由 5 ? 4 y ? 0 得函数值域是: { y | y ? } 4x ? 2 4 5 ? 4y5 7 7 (4 x ? 2) ? 5x ? 1 4 2 ?5? 2 解法二： （分离常数法） y ? ? 4x ? 2 4x ? 2 4 4x ? 2 7 5 5 ? 2 ? 0 ? y ? ? 函数值域是: { y | y ? } 4 4x ? 2 4 cx ? d c 小结： y ? 的函数值域是： { y | y ? } ax ? b a 1 3、 （1）函数 y ? 的值域是______________； 3 ? ex解: （逆求法， 不等式法） 由y? 域是:1 (?? ,0) ? ( ,?? ) 31 3y ?1 3y ?1 1 ? ex ? ?ex ? 0? ? 0 ? y ? 0或y ? ? 值 x y y 3 3?e（2）函数 y ?1 ? 3x 的值域是______________； 1 ? 3x解: （逆求法，不等式法）由 y ? 是: (?1,1)1 ? 3x 1? y 1? y ? 3x ? ? 3x ? 0 ? ? 0 ? ?1 ? y ? 1 ? 值域 x y ?1 1? y 1? 3cos x ? 1 的值域是______________； cos x ? 2 解: （逆求法，不等式法）（3）函数 y ?由y?cos x ? 1 2y ?1 2y ?1 ? cos x ? ?| cos x |? 1?| |? 1 ?| 2 y ? 1 |?| 1 ? y | ?两边平方 ?? ?? cos x ? 2 1? y 1? yy 2 ? 2 y ? 0 ? ?2 ? y ? 0 ? 值域是: [?2,0]4、 （1）函数 y ? x 2 ? 4x ? 5 的值域是______________； 解:(配方法) ? y ? x 2 ? 4x ? 5 ? ( x ? 2) 2 ? 1 ? 1 ? 值域是: [1,??) （2）函数 y ? x 2 ? 4 x ? 5 的值域是______________；32解: (配方法) y ? x 2 ? 4 x ? 5 ? ( x ? 2) 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 值域是: [1,??) （3）函数 y ? x 2 ? 4x ? 5, x ?[?2,1] 的值域是______________； 解(数形结合) 作函数 y ? x 2 ? 4x ? 5, x ?[?2,1] 的图象如下图:yx ? ?2105 0 1 x由图可知:值域为: [5,10] （4）函数 y ? x 2 ? 4x ? 5, x ? [1,2] 的值域是______________； 解:同(3)作图分析,可得值域为: [10,17] （5）函数 y ? 4 ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的值域是______________； 解:函数的定义域为: [?1,3] ,? 0 ? ?x 2 ? 2x ? 3 ? 4 ?0 ? ? x 2 ? 2x ? 3 ? 2 ? 2 ? y ? 4? 值域是: [2,4]5、函数 f ( x) ? A、4 51 的最大值是（ 1 ? x(1 ? x)） C、3 4B、5 4D、4 3解: (配方法) ? f ( x) ?4 ? 最大值是 ,选 D. 31 1 ? 2 ? 1 ? x(1 ? x) x ? x ? 11 1 4 ? ? 1 3 3 3 (x ? )2 ? 2 4 46、 （1）函数 y ? sin 2 x ? 4 cos x ? 1 的值域是______________； （2）函数 y ? 4 x ? 2 x ? 3(1 ? x ? 2) 的值域是______________； （3）函数 y ? (log 3 x) 2 ? 2 log 3 x ? 3(1 ? x ? 9) 的值域是______________； 2733解： （1） y ? sin 2 x ? 4 cos x ? 1 ? ? cos2 x ? 4 cos x ? 1 ，令 cos x ? t ，则y ? ?t 2 ? 4t ? 2(?1 ? t ? 1) ，作图分析，易得值域为： [?3,5]三、y ? 4 x ? 2 x ? 3 ? (2 x )2 ? 2 x ? 3 令 2 x ? t ，则 y ? t 2 ? t ? 3(2 ? t ? 4) ，作图分析，易得值域为： [5,15) 四、 令 log3 x ? t ，则 y ? t 2 ? 2t ? 3(?3 ? t ? 2) ，作图分析，易得值域为： [?4,12]7、 （1）函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 的值域是______________； 解 :( 单 调 性 法 ) 函 数 的 定 义 域 是 : [2,??) , ? y ? x ? 1 ? x ? 2 在 [2,??) 上 是 增 函 数? y ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 值域是: [ 3,??)（2）函数 y ? 3x ? 2x ? 1 的值域是______________；1 3 3 解: (单调性法)函数的定义域是: [ ,?? ) ? y ? ? 值域是: [ ,?? ) 2 2 2（3）函数 y ? 2x ? 1 ? x 的值域是______________； 解: (单调性法)函数定义域是: (??,1] ? y ? 2 ? 值域是: (??,2] 8、 （1）函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的值域是______________； 解 :( 换元法 ) 令 1 ? 2x ? t , 则 x ?5 域为: (?? , ] . 41? t 2 1? t 2 , y ? 2? ? t ? ?t 2 ? t ? 1(t ? 0) , 作图易得 , 函数值 2 2（2）函数 y ? 2x ? 5 ? 15 ? 4x 的值域是______________； 解 :( 换元法 ) 令 15 ? 4 x ? t , 则 x ? 函数值域为: (??,3] 9、求下列函数的值域x2 ? x ? 2 （1） y ? 2 x ? 4x ? 3 x2 ? 9 （2） y ? 2 x ? 7 x ? 12 15 ? t 2 15 ? t 2 t2 5 , y ? 2? ? 5 ? t ? ? ? t ? (t ? 0) 作图易得 , 4 4 2 2（3） y ?x2 ? x ? 3 x2 ? x ?1（4） y ?2x x ? x ?1234解:（1） （反解法）? y ?x 2 ? x ? 2 ( x ? 1)(x ? 2) x ? 2 3 ? ? ( x ? 1且x ? 3) ? y ? 1且y ? ? 2 2 x ? 4 x ? 3 ( x ? 1)(x ? 3) x ? 33 ? 函数值域为: { y | y ? 1且y ? ? } 。 2（2） （反解法）? y ?x2 ? 9 ( x ? 3)(x ? 3) x ? 3 ? ? ( x ? 3且x ? 4) ? y ? 1且y ? ?6 2 x ? 7 x ? 12 ( x ? 3)(x ? 4) x ? 4? 函数值域为: { y | y ? 1且y ? ?6}x2 ? x ? 3 ? yx 2 ? yx ? y ? x 2 ? x ? 3 ? ( y ? 1) x 2 ? (1 ? y) x ? y ? 3 ? 0 （3） （判别式法）由 y ? 2 x ? x ?1当 y ? 1 ? 0即y ? 1 时，上式为： ? 4 ? 0 不成立，? y ? 1? x ? R ?上方程有解? ? ? (1 ? y) 2 ? 4(1 ? y)( y ? 3) ? 0 ? 3 y 2 ? 14y ? 11 ? 0 ?11 11 ? 函数值域为: (1, ] 3 3 2x ? yx 2 ? yx ? y ? 2 x ? yx 2 ? ( y ? 2) x ? y ? 0 （4） （判别式法）由 y ? 2 x ? x ?1 1? y ?当 y ? 0 时，上式为： x ? 0 成立 当 y ? 0 时，? x ? R ?上方程有解? ? ? ( y ? 2) 2 ? 4 y 2 ? 0 ? ?2 ? y ?2 ? 函数值域为: [ ?2, ] 。 3 10、求下列函数的值域：2 且y ? 0 3（1） y ?| x ? 1 | ? | x ? 3 | （2） y ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | 解:(利用三解不等式) (1) ? y ?| x ? 1 | ? | x ? 3 |?| ( x ? 1) ? ( x ? 3) |? 4 ? 值域是: 4,??) (2) ?|| x ? 2 | ? | x ? 5 ||?| ( x ? 2) ? ( x ? 5) |? 7 即 | y |? 7 ? ?7 ? y ? 7 ? 值域是: [?7,7] 11、函数 y ? x ? 1 ? x 2 ( x ? [0,1]) 的值域是（ A、 [1, 2 ] C、 [0,1] B、 [ ?1,1] D、 [0,2] ）? 解(三角换元)令 x ? sin ? ( a ? [0, ] ,则 235y ? sin ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ??4)? ? ? 3? ? 2 ? ? ? [0, ] ?? ? ? [ , ] ? sin(? ? ) ? [ ,1] ? y ? [1, 2 ] 2 4 4 4 4 2选 A.《反函数问题》知识点及典型例题一、知识点1 反函数的定义 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A,值域为 C。由 y ? f ( x) r 反解出 x ? ? ( y ) ,如果对于 C 中每 一个 y 值,在 A 中都有唯一确定的 x 值和它对应,那么称 x ? ? ( y ) 为以为 y 自变量的函数,叫做y ? f ( x) 的反函数 , 记作： x ? f ?1 ( y) ，通常情况下，一般用 x 表示自变量，所以记作：y ? f ?1 ( x) 。反函数的定义域和值域，分别是原函数的值域和定义域。(即原、反函数的定义域、值域 对调。) 2、符号的抽象理解 记法 y ? f ?1 ( x) 中的“ x ”是原函式 y ? f ( x) 中的 y ， “ y ”是原函式 y ? f ( x) 中的 x 。如求f ?1 (5) 即当原来 y ? f ( x) 中 y ? 5 时， x ? ? 。此理解在解一些反函数抽象不等式时较易。3、反函数存在条件： （1） x , y 之间建立一一对应关系，如 y ? x 2 , x ? R 无反函数。 （2）单调函数必有反函数。 （3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。 （4）周期函数不存在反函数。 4、求反函数 步骤：反解 ?对换 ?写出（注明定义域） 原、反函数的定义域、值域对调。 求分段函数的反函数分段求，再合并。 5、反函数的性质 （1） y ? f ( x) 的图象与 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称。 若点 (a, b) 在原函数 y ? f ( x) 图象上，则点 (b, a ) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 图象上。36（2）函数 y ? f ( x) 的图象本身关于直线 y ? x 对称 ? 函数 y ? f ( x) 的反函数是它本身。 （3）反函数与原函数具有相同的单调性。 （4）奇函数的反函数也是奇函数。二、典型例题1、下列函数存在反函数的是( A、 y ?| x | C、 y ? 3 x 答案:C 解:A、B 都是两个 x 对一个 y ，D 为周期函数。 2、 （1）函数 y ? ? e x ? 1( x ? 0) 的反函数是（ A、 y ? ln(x 2 ? 1)(x ? ? 2 ) C、 y ? ln(x 2 ? 1)(x ? ?1) 答案：A （2）函数 y ? log2 ( x ? 4 ? 2)(x ? 0) 的反函数是（ A、 y ? 4 x ? 2 x?1 ( x ? 2) C、 y ? 4 x ? 2 x?2 ( x ? 2) 答案：C ） ） ) B、 y ? x 2 D、 y ? 2 sin xB、 y ? ? ln(x 2 ? 1)(x ? ? 2 ) D、 y ? ? ln(x 2 ? 1)(x ? ?1)B、 y ? 4 x ? 2 x?1 ( x ? 1) D、 y ? 4 x ? 2 x?2 ( x ? 1)? x 2 ? 1, x ? 0 ? 3、函数 y ? ? 2 的反函数是_______________。 , x ? 0 ? ?x? y ? 1, y ? 1 ? x ? 1, x ? 1 ? x 2 ? 1, x ? 0 ? ? ? ? x ? ?2 ?反函数为： y ? ? 2 解：由 y ? ? 2 ? ,x ? 0 ?y,y ? 0 ? ,x ? 0 ?x ?x ?4、函数 y ? A、 (0,??) 答案：Bx?2 ( x ? 2) 的反函数的定义域为（ x） D、 (?1,0)B、 (0,1)C、 (??,0)2 2 ? 0 ? ? 1? 0 ? y ? 1 x x解：即求原函数值域 y ? 1 ?37?2 x, x ? [0,1] 5、已知函数 f ( x) ? ? x ，则 f 2 , x ? [ 1 , 3 ] ?A、8 B、6?1( x) 的最大值为（C、3） D、3 2答案：C 解：即求原函数定义域中自变量的最大值，不必求反函数。 6、 （1）已知函数 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) ，其反函数为 f 为（ A、3 答案：B 解： f ?1 (2) ? 9 ? loga 9 ? 2 ? a ? 3 ? f (2) = log3 3 ? 1 （ 2 ）已知函数 f ( x) ? loga x ? 1(a ? 0, a ? 1) ，其反函数为 f(3,4) ，则 a ? （?1 ?1( x) ，若 f ?1 (2) ? 9 ，则 f (3) 的值1 3） B、1 C、1 2D、( x) ，若 y ? f ?1 ( x) 的图象过点） B、 3 C、 3 3 D、2A、 2 答案：D解：由题函数 f ( x) ? loga x ? 1(a ? 0, a ? 1) 过点 (4,3) ?3 ? loga 4 ? 1 ? a 2 ? 4 ? a ? 2 7、函数 f ( x) ? loga (3x ? 1)(a ? 0, a ? 1) 的反函数图象必过定点（2 A、 (0, ) 3 答案：A）B、 (0,1)C、 (1,0)2 D、 ( ,0) 32 2 2 解： 不论 a 取何值， f ( ) ? log a 1 ? 0, 即原函数图象过定点 ( ,0) ? 反函数图象必过定点 (0, ) 。 3 3 38 、设函数 f ( x) ? loga ( x ? b)(a ? 0, a ? 1) 的图象过点 (2,1) ，其反函数的图象过点 (2,8) ，则a ? b ?（ A、3 答案：B） B、4 C、5 D、6?a ? 2 ? b ?1 ? log a (2 ? b) ?a ? 3 ?? 2 ?? 解：由题，原函数的图象过点 (2,1) 和点 (8,2) ? ? ?b ? 1 ?2 ? log a (8 ? b) ?a ? 8 ? b?a ? b ? 41 9、已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ? 0 时， f ( x) ? ( ) x ，那么 f ?1 (0) ? f ?1 (8) 的值为 2 （ ）38A、2 答案：CB、3C、 ? 3D、 ? 2解：? f (0) ? 0 ? f ?1 (0) ? 0 ，当 x ? 0 时， f ( x) ? ?2 x ，? f ?1 (8) ? ?310、已知函数 f ( x) ? 2 x?3 ， f?1( x) 是 f ( x) 的反函数，若 mn ? 16(m ? 0, n ? 0) ，则） C、1 D、 ? 2f ?1 (m) ? f ?1 (n) 的值为（A、10 答案：D B、4解法一：? f ?1 ( x) ? log2 x ? 3? f ?1 (m) ? f ?1 (n) ? (log2 m ? log2 n) ? 6 ? log2 (mn) ? 6 ? ?2 解法二：设 x1 ? f ?1 (m), x2 ? f ?1 (n) 则： m ? 2x1 ?3 , n ? 2x2 ?3 ?mn ? 2x1 ? x2 ?6 ? 24 ? x1 ? x2 ? ?2? f ?1 (m) ? f ?1 (n) ? ?211、已知函数 y ? f ( x) 是奇函数，当 x ? 0 时， f ( x) ? 3 x ? 1 （1）当 x ? 0 时， f ( x) ? ______________; 解：当 x ? 0 时， ? x ? 0 ? f (? x) ? 3? x ? 1 ，又 f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) ? 1 ? 3? x (2)设 y ? f ( x) 的反函数为 y ? g ( x) ，则 g (?8) ? _____________。 解：即求原函数当 y ? ?8 时， x ? ? 由 1 ? 3? x ? ?8 ? x ? ?2 。12、若指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的部分对应值如下表：xf ( x)?2 0.5920 1 ） B、 {x | x ? ?1或x ? 1} D、 {x | ?1 ? x ? 0或1 ? x ? 0}则不等式 f ?1 (| x |) ? 0 的解集为（ A、 {x | ?1 ? x ? 1} C、 {x | 0 ? x ? 1} 答案：D 解：由表可知： a ? 1f ?1 ( x) ? loga x ， f ?1 (| x |) ? 0 ? loga | x |? 0 ? 0 ?| x |? 1 ? ? 1 ? x ? 0或0 ? x ? 13913、若函数 f ( x) ?1 A、 ( ,?? ) 2 答案：B1 (10 x ? 10 ? x ) 的反函数为 f 2?1( x) ，则 f ?1 ( x) ? 0 的解集为（D、 (?1,0)）B、 (??,0)C、 (0,??)解：题为求 f ( x) ??y?1 1 (10 x ? 10 ? x ) 的值域，易知 f ( x) ? (10 x ? 10 ? x ) 在 (??,0) 上是增函数， 2 21 (10 0 ? 10 0 ) ? 0 ，? 原函数值域为 (??,0) 。 2 1 14、函数 y ? e x ? ( ) x 的反函数是____________函数（填单调性） 。 3 1 解：? 函数 y ? e x ? ( ) x 为增函数? 其反函数也为增函数。 3《函数的单调性》知识点及典型例题一、知识点1、函数单调性的定义 设 D 是函数 f ( x) 定义域的一个区间, 给定区间 D 上的任意两个数 x1 , x 2 ，如果 x1 ? x 2 ，都有 。 f ( x1 ) ? f ( x2 ) （或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ）则称函数 f ( x) 为这个区间上的增函数（或减函数） 定义的等价形式：设 x1 , x2 ? [a, b] ，那么 （1）f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x) 在 [a, b] 上是增函数。 x1 ? x2[ f ( x1 ) ? f ( x2 )](x1 ? x2 ) ? 0 ? f ( x) 在 [a, b] 上是增函数。（2）f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x) 在 [a, b] 上是减函数。 x1 ? x2[ f ( x1 ) ? f ( x2 )](x1 ? x2 ) ? 0 ? f ( x) 在 [a, b] 上是减函数。几何意义：增函数（减函数）图象上任意两点连线的斜率大于 0（小于 0） 。 单调区间：如果函数 y ? f ( x) 在某个区间是增函数或减函数，则说 y ? f ( x) 在这一区间上具 有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 y ? f ( x) 的单调区间。 2、函数单调性的判定方法40（1）定义法： 步骤：①设 x1 , x 2 是指定区间上任两个数且 x1 ? x 2 ；②作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ，并变形（或作商） ； ③判断差的正负（或与 1 的大小） ；④下结论。 （2）导数法（抽象函数用定义判断） 若函数 y ? f ( x) 在某区间上可导，如果 f ?( x) ? 0 ，则 y ? f ( x) 为增函数；如果 f ?( x) ? 0 ，则y ? f ( x) 为减函数。(若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 是常数函数)（3）图象法 从左到右图象上升的为增函数，图象下降的为减函数。 （4）用复合函数单调性： “同”增， “异”减。 （5）用运算性质： 若 f ( x), g ( x) 都为增函数（或减函数） ，则 f ( x) ? g ( x) 为增函数（或减函数） 。 若为 f ( x) 增函数， g ( x) 为减函数，则 f ( x) ? g ( x) 为增函数。 若为 f ( x) 减函数， g ( x) 为增函数，则 f ( x) ? g ( x) 为减函数。 （6）奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反。 （7） 、反函数与原函数具有相同的单调性。 a （8）函数 y ? x ? (a ? 0) 在 (??, a ), ( a ,??) 上是增函数，在 [? a ,0), (0, a ] 是减函数。 x 3、求函数的单调区间 步骤： （1）求导 f ?( x) （2）解不等 f ?( x) ? 0(或f ?( x) ? 0) ； （3）写单调区间（如有多个单调区 间用逗号隔开或用“和”字，不能用“ ? ” 。 4、利用单调性解抽象不等式 求解与抽象函数有关的不等式问题，主要依据函数的单调性，其中要把不等式中出现的常数 转化为某自变量的函数值，把不等式两边都化为同一自变量的函数的形式，然后根据单调性 得自变量应满足的不等式进行求解。二、典型例题1、 （1）函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 在 [1,??) 上是增函数，则实数 a 的取值范围是（ A、 a ? 1 C、 a ? ?1 B、 a ? 1 D、 a ? ?1 ）解：作图易知：函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 在 [?a,??) 上是增函数?1 ? ?a ? a ? ?1 （2）函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 在 (??,?2) 上是减函数，则实数 a 的取值范围是_____________; 解：作图易知：函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 在 (??,?a) 上是减函数? ?a ? ?2 ? a ? 2 （3） 函数 f ( x) ? 3x 2 ? ax ? 5 在 (??,?1) 上是减函数，则实数 a 的取值范围是_____________;41a a 解：作图易知：函数 f ( x) ? 3x 2 ? ax ? 5 在 (?? , ) 上是减函数? ? ?1? a ? ?6 6 6（4）已知 f ( x) ? 4x 2 ? mx ? 1 在 (??,1] 上递减，在 [1,??) 上递增，则 m ? ________________。 解：由m ?1? m ? 8 8（5）已知 f ( x) ? 2x 2 ? mx ? 3 在 (??,?2) 上递减，在 [?2,??) 上递增，则 f (1) ? __________。 解：由m ? ?2 ? m ? ?8 ? f ( x) ? 2x 2 ? 8x ? 3? f (1) ? 7 4（6） 已知 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx 为奇函数，g ( x) ? x 2 ? cx ? 3 在 (??,3) 上递减， 在 (3,??) 上递增， 则 b ? ________， c ? __________ 。 解： f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx 为奇函数 ? b ? 0 ， g ( x) ? x 2 ? cx ? 3 在 (??,3) 上递减，在 (3,??) 上递 增? ?c ? 3 ? c ? ?6 。 2（7）若函数 f ( x) ? (2a ? 1) x ? 1是 R 上的减函数，则实数 a 的取值范围是_____________。 解:由 2a ? 1 ? 0 ? a ?1 22、定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) 且当 x ? (0,1] 时单调递增，则（1 5 A、 f ( ) ? f (?5) ? f ( ) 3 2 5 1 C、 f ( ) ? f ( ) ? f (?5) 2 3 1 5 B、 f ( ) ? f ( ) ? f (?5) 3 2 1 5 D、 f (?5) ? f ( ) ? f ( ) 3 2 1 5 5 1 1 1 解：? f (?5) ? f (5) ? f (1), f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (1) ? f ( ) ? f ( ) ? f (?5) ，选 B 3 2 2 2 3 2）3、 （1） 已知定义域为 R 的函数 f ( x) 在 (8,??) 上为减函数， 且 f (8 ? x) ? f ( x ? 8) ,则 （ A、 f (6) ? f (7) C、 f (7) ? f (9) 答案：D 解：? f (8 ? x) ? f ( x ? 8) ? f (6) ? f (10), f (7) ? f (9) ，又函数 f ( x) 在 (8,??) 上为减函数? f (9) ? f (10) 即 f (7) ? f (10) 。3 （2）若 f ( x) 在 R 上是减函数，则 f (a 2 ? a ? 1) 与 f ( ) 的大小关系是________________。 4 3 1 3 3 解：? a 2 ? a ? 1 ? (a ? ) 2 ? ? ? f (a 2 ? a ? 1) ? f ( ) 。 4 2 4 442）B、 f (6) ? f (9) D、 f (7) ? f (10)（3）已知 f ( x) 在 R 上的偶函数，且 f ( x) 在 [0,??) 上为增函数，则 f (?2), f (?? ), f (3) 的大小 关系是________________。 解：? f (?2) ? f (2), f (?? ) ? f (? ) ，又 f ( x) 在 [0,??) 上为增函数，? f (2) ? f (3) ? f (? ) ? f (?2) ? f (?3) ? f (? )4、 （1）若 a ? log3 ? , b ? log7 6, c ? log0.2 8 ，则（ A、 a ? b ? c C、 c ? a ? a 答案：A B、 b ? a ? c D、 b ? c ? a）解：? a ? log3 ? ? log3 3 ? 1, b ? log7 6 ? log7 7, c ? log0.2 8 ? log0.2 1 ? 0 ? a ? b ? c1 （2） ( )1.5 ,2 2 ,2 3 的大小关系是________________。 2 1 解：? 2 ? 1 又 y ? 2 x 是增函数? ( )1.5 ? 2 2 ? 2 3 25、 （1）已知 f ( x) 是 R 上的偶函数，且在 (??,0) 上是增函数，则满足 f ( x) ? f (2) 的实数 x 的 取值范围是（ A、 x ? 2 C、 ? 2 ? x ? 2 答案：D ） B、 x ? ?2 D、 x ? ?2 或 x ? 2解：由题 f ( x) 在 (0,??) 上是减函数? f ( x) ? f (2) ? f (| x |) ? f (2) ?| x |? 2 ? ? 2 ? x ? 2 。（2）函数 y ? f ( x) 在 R 上单调递增，且 f (m2 ) ? f (?m) ，则实数 m 的取值范围是（ A、 (??,?1) C、 (?1,0) 答案：D 解： f (m 2 ) ? f (?m) ? m 2 ? ?m ? m ? ?1或m ? 0 （3）已知 f ( x) 是 R 上的减函数，则不等式 f (| A、 (?1,1) C、 (?1,0) ? (0,1) 答案：C 解： f (|1 1 |) ? f (1) ?| |? 1 ?| x |? 1且x ? 0 ? ?1 ? x ? 0或0 ? x ? 1 x x43）B、 (0,??) D、 (??,?1) ? (0,??)1 |) ? f (1) 的解集是（ x）B、 (0,1) D、 (??,?1) ? (1,??)（ 4 ） 若 f ( x) 是 定 义 在 (0,??) 的 递 增 函 数 ， 且 f ( x) ? f (2 x ? 3) ， 则 x 的 取 值 范 围 是 ________________。?x ? 0 ? 解： f ( x) ? f (2 x ? 3) ? ?2 x ? 3 ? 0 ? x ? 0 ?x ? 2x ? 3 ?6、已知 f ( x) 是定义在 (?1,1) 上的奇函数，它在区间 [0,1) 上单调递减， 且 f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ，求实数 a 的取值范围。 解:易知 f ( x) 在区间 (?1,0] 上单调递减? f ( x) 在区间 (?1,1) 上单调递减?? 1 ? 1 ? a ? 1 ? ? f (1 ? a) ? f (1 ? a 2 ) ? 0 ? f (1 ? a) ? f (a 2 ? 1) ? ?? 1 ? 1 ? a 2 ? 1 ? 0 ? a ? 1 ?1 ? a ? 1 ? a 2 ?7、 （ 1 ） 若 g ( x) 在 [m, n] 上 是 增 函 数 ， 则 g ( x) 的 最 大 值 为 _______________ ， 最 小 值 为 _____________，值域为_______________。 答案: g (n), g (m),[ g (m), g (n)] （ 2 ） 若 g ( x) 在 [m, n] 上 是 减 函 数 ， 则 g ( x) 的 最 大 值 为 _______________ ， 最 小 值 为 _____________，值域为_______________。 答案: g (m), g (n),[ g (n), g (m)] （3） 如果奇函数 f ( x) 在区间 [3,7] 上是增函数且最小值为 5， 那么在区间 [?7,?3] 上是 （ A、增函数且最小值为 ? 5 C、减函数且最小值为 ? 5 答案:B B、增函数且最大值为 ? 5 D、减函数且最大值为 ? 5 ）解:由题,得: f (3) ? 5 , ? 函数 f ( x) 在区间 [3,7] 上是增函数? f ( x) 在区间 [?7,?3] 上是增函数 且最大值为 f (?3) ? ? f (3) ? ? 5 8、 （1）函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 8 的单调递增区间是________________。 解：函数的定义域为： [?2,4] ，题为求 u ? ? x 2 ? 2x ? 8, (?2 ? x ? 4) 的单调递增区间，作图易 得,增区间为: [?2,1] （2）函数 y ? 2 sin( 2 x ??6) 的单调递增区间为（）44A、 [k? ? C、 [k? ???3, k? ? , k? ???6], k ? Z ], k ? Z3解:由 2k? ??26? 2x ??6? 2k? ??26 5? , k? ? ? ], k ? Z D、 [k? ? 6 , k ? Z ? k? ?B、 [k? ??, k? ?2? ], k ? Z 3?? 函数的增区间为: [k? ??3, k? ??63? x ? k? ??6,k ? Z], k ? Z ,选 C。（3）函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? 4 x) 的单调递增区间是________________。 解 : 函数定义域为 : (??,0) ? (4,??) ,? 2 ? 1 ? 题为求函数 u ? x 2 ? 4x, x ? (??,0) ? (4,??) 的单 调增区间,作图易得,增区间为: (4,??) 9、 （1）下列函数在 0,??) 上是减函数的是（ A、 y ? x 2 ? 1 C、 B、 y ? 2 x ? 3 ）1 D、 y ?| log2 x | x 答案:C 解:作图易知,A、B 中的函数都是增函数。D 中的函数有增有减。2 ? ? x ? 1, x ? 0 （2）函数 ? 2 的单调性为（ ? ?? x , x ? 0） B、在 (??,0) 上是增函数 ，在 (0,??) 上是减函数 D、不能确定A、在 (0,??) 上是减函数 C、在 (??,??) 上是增函数 答案:C解:作图易知,函数在 (??,??) 上是增函数. 10、用函数单调性的定义证明：函数 f ( x) ? x 3 ? x 在 (??,??) 上是增函数。 证明：设 x1 ? x 2 则3 3 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x1 ) ? ( x2 ? x2 ) 3 3 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )(x12 ? x1 x2 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )((x12 ? x1 x2 ? x2 ? 1)2 x 2 2 3x 2 ? ( x1 ? x2 )[(x1 ? ) ? ? 1] 2 4 2 x2 2 3x2 ) ? ? 1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 4? x1 ? x2 ? 0, ( x1 ?45? 函数 f ( x) ? x 3 ? x 在 (??,??) 上是增函数11、若函数 f ( x) 在区间 D 上减函数，则方程 f ( x) ? 0 在 D 上的根的个数是________________。 解：方程根个数即函数图象与 x 轴的交点个数 作图分析，如下图,易知，根的个数为：0 个或 1 个。yyx 0 0 x《函数的奇偶性》知识点及典型例题 一、知识点1、函数奇偶性的定义： 设 y ? f ( x), x ? A （A 关于原点对称:即在定义域中任取一个数，它的相反数也在定义域中） 。 如果对于任意 x ? A 都有 f (? x) ? f ( x) 即 f (? x) ? f ( x) ? 0 ，则称 y ? f ( x) 为偶函数； 如果对于任意 x ? A 都有 f (? x) ? ? f ( x) 即 f (? x) ? f ( x) ? 0 ，则称 y ? f ( x) 为奇函数； 如果函数 y ? f ( x) 是偶函数或奇函数，则函数 y ? f ( x) 具有奇偶性。 *（1）并不是每一个函数都具有奇偶性；定义域不关于原点对称的函数不具有奇偶性。 （2）任意一个函数可写成一个偶函数和一个奇函数的和。 （3）若 f ( x) ? 0 且定义域关于原点对称，则 f ( x) 既是奇函数又是偶函数。 （4）若 f ( x) ? m(m ? 0, m常数) 且定义域关于原点对称，则 f ( x) 是偶函数。 2、函数奇偶性的判断 一般地，①先判断函数的定义域是否关于原点对称；②能化简函数式的先化简函数式。 然后，判断 f (? x) 与 f ( x) 的关系，常用方法有： （1）用定义：若 f (? x) ? f ( x) 恒成立，则 f ( x) 为偶函数；若 f (? x) ? ? f ( x) 恒成立，则 f ( x)46为奇函数。 （2）作和或作差 若 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立，则 f ( x) 为偶函数；若 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立，则 f ( x) 为奇函数。 如 f ( x) 的解析式为对数形式，一般转化考察 f (? x) ? f ( x) 与 0 的关系。 （3）作商判断f (? x) ?1, ? f ( x)为偶函数 ( f ( x) ? 0) ?? f ( x) ?? 1, ? f ( x)为奇函数（4）利用图象的对称性 若函数 f ( x) 的图象关于原点对称 ? f ( x) 为奇函数。 若函数 f ( x) 的图象关于 y 轴对称 ? f ( x) 为偶函数。 （5）抽象函数奇偶性的判断――赋值法，抓住定义。 3、奇偶函数的性质 （1）两个奇函数的和为奇函数，积、商为偶函数。 （2）两个偶函数的和、积、商都是偶函数。 （3）一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数。 （4）奇函数的图象关于原点对称，并且在两个关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数的 图象关于 y 轴对称，并且在两个关于原点对称的区间上单调性相反。 （5） f ( x) 是偶函数 ? f ( x) ? f (| x |) 。 （6）若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0，则 f (0) ? 0 。 4、多项式函数 F ( x) ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? a0 的奇偶性 多项式函数 F ( x) 是奇函数 ? F ( x) 的偶次项的系数全为零，且常数项为 0。 多项式函数 F ( x) 是偶函数 ? F ( x) 的奇次项的系数全为零。二、典型例题1、判断下列函数的奇偶性： （1） f ( x) ? ( x ? 1)1? x 1? x（2） f ( x) ?lg(1 ? x 2 ) | x 2 ? 2 | ?2（3） f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 ||x| ( x ? 1) 0 （5） f ( x) ? x（4） f ( x) ?2 ? x2 | x ? 2 | ?22 ? ? x ? x, x ? 0 （6） f ( x) ? ? 2 ? ?? x ? x, x ? 047解： （1）函数的定义域为： [?1,1) 不关于原点对称，所以该函数不具有奇偶性。 （2）函数的定义域是： (?1,0) ? (0,1) ，? f ( x) ?? f (? x) ? f ( x) ? f ( x) 是偶函数。lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) lg(1 ? x 2 ) ? ? ? | x 2 ? 2 | ?2 2 ? x 2 ? 2 x2