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数+数学+好好学=数好学 其中数,好,学各代表多少
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数：9,好：8,学：1
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特级教师唐盛昌：学好数学需要什么样的能力
对很多学生来说，数学是自己学习经历中的噩梦；但对另外一些学生来说，数学则是思维的体操，是让他们的大脑施展拳脚的绝佳空间。
数学学得好的孩子有什么思维特质？这些思维特质又该如何培养？我们今天请到了重量级嘉宾，知名教育家、数学特级教师唐盛昌，请他通过自己从教超过半个世纪的丰富经验，分享自己对于数学学习的看法。
唐盛昌：上海市特级校长、数学特级教师。原上海中学校长；原中国教育学会副会长；原上海市数学学会副理事长；现任教育部基础教育课程教材专家工作委员会副主任、上海市基础教育国际课程比较研究所所长。
如何发现孩子的数学天分？
思维的跳跃性和缜密性的完美结合
首先，我们要明确一个概念，对孩子早期能力的识别是一个非常困难的工作，同时也是世界性的难题。期望通过一种明确的方法或者测试来判断是不现实的。
在承认第一点的基础上，基于我从实践视角的多年研究，数学学习能力较强的孩子往往体现为思维的跳跃性和缜密性的完美结合。
这些孩子都具有一种比较强的数学想象能力，他们能突破原有思维框架，找出新的问题解决思路，新的问题解决方法。
比如面对一个数学问题，有时候数学能力强的孩子会有一种直觉，让他们可以跳过很多逻辑推导的步骤，一下子看到不同概念之间的内在联系，从而迅速推导出结论。
这种思维跳跃而且能够跳得正确的能力，就是一种数学学习能力的天分。
当然，孩子们是多样化的，有些孩子在数学领域有天分，有些孩子在其他领域有天分。并且，有天分的孩子也并不一定就会做出成就，还需要其他的因素，尤其是意志品质。
比如在碰到数学问题时是持之以恒的探索，或者进行思维跳跃，还是碰到困难就放弃了？如果是后者，即使具有很好的数学天赋，成果还是出不来的。
我们要发现孩子的数学天分，目的还是为了因材施教。家长首先要认清自己孩子对数学的学习兴趣与学习能力，从而对孩子提出适当的学习要求。
比如，对于有数学学习天分的孩子，应该创造环境来培养其数学学习能力；对于一些不喜欢数学和对数学不敏感的孩子，家长要做到“扬长”“平短”。比如对空间概念不敏感的孩子，家长可以多用魔方玩具等培养其空间想象能力。
大多数孩子只要教育得当，都可以达到我们基础教育的数学课程标准。至于学习奥数，从我们多年的实践经验看，真正适宜搞奥数的孩子比例是很低的，应该不超过百分之一二。
如何培养孩子的数学感？
不同年龄段培养不同的数学能力
正如开始所说，数学能力强的孩子往往都具有数学感。那么什么是数学感呢？
数学感包含的内容是相当丰富的。比如对一个学龄前的孩子来说，他会遇到一个数字的概念。
比如我们说一个杯子、两个杯子，这是具体的，但数字是一个抽象的概念，数字1、2、3是看不见摸不着的。所以对于这个年龄段的孩子来说，一个杯子是可以理解的，但是1是一个抽象的概念，对他们的思维要求就比较高。另外，数除了可以代表数量，还可以代表数序。比如二和第二，实际上是不一样的。
除了数以外，还有很多重要的数学概念，比如空间概念。数学上是从数轴到平面再到三维空间。而事实上，孩子日常生活中首先接触到的大是三维的概念。
这样一些基本概念形成后，才能对数学有一个比较清晰的了解。所以孩子真正形成数学概念，并不是会数数，也绝不是通过解答习题可以培养。
那么该怎么培养孩子的数学感觉呢？
数学思维是分层次的，对不同年级段的孩子的思维能力要求也是不一样的。
三到五岁的学龄前儿童还到不了抽象运算的程度，这时就无法挑战较高的思维运算问题，否则就会欲速则不达。这个阶段首先要让孩子感受到从具体到抽象的过程。比如，不要问孩子3+5等于几，可以给孩子3块积木加上5块积木，让他自己去感觉摸索。
在小学阶段，学生应该掌握一定的运算规律。这个时期，记忆力起到了很重要的作用。但单靠记忆力，到了一定的学习阶段就不能解决问题了。
在初中阶段，数学能力表现为逻辑思维能力，包括分类、归纳、演绎等逻辑思维能力。所以我们也就不难理解有些孩子小学数学很好，到了初中却不一定好的原因了。
高中数学对逻辑思维能力的要求更强，需要学生对数学理解更深刻，能整体把握问题。学习排列组合、概率初步是最难的，需要学生具备较好的整体把握能力和较高的思维严密性，立体几何、解析几何则需要空间想象能力。
大学以后对学生的数学能力有了更高的要求，既要具备深刻性，还需要创新性。
所以不同年龄段，数学思维要求不一样。
男生记忆力的普遍特点是机械记忆不强，而理解记忆强。如果我们小学阶段的题目偏向于机械记忆，就会把一批本来有数学天分的孩子淘汰掉。我们只知道他们是在小学阶段数学没学好的孩子，而没有意识到他们只是思维不适应。这是我们家长和教育工作者都要注意的。
对于教师和家长来说，要保护好孩子的数学学习兴趣，不能轻易对一个孩子说你不行，要让他们在数学学习中有更多的尝试。
在小学、初中阶段广泛激发兴趣，高中阶段则聚焦志趣，同时还要考虑他们的兴趣和潜能。
家长要避免两大误区：
提前灌输具体知识、片面注重解题方法
在这里我想强调一下家长在子女数学学习中的作用问题。
对家长来说，应该更多的花力气在培养孩子数学学习的意志品质上，督促孩子提高学习效率，引导孩子养成正确的学习态度，让孩子有效的学习。
我不赞同家长盲目送孩子到课外辅导机构上课，也不赞同盲目的向孩子提前灌输具体的数学知识，这往往也是很多课外教学机构的误区。
首先，数学学科是一个系统化学科体系，具有内在的结构。同时数学教学体系的编写过程和学生思维发展过程是相匹配的，如果我们揠苗助长，盲目把认知链条打破打乱，会造成学生对其所学的认识混乱。
很多家长看到孩子在某个地方总是做错，会认为这是“粗心”，其实很多情况下，这不是粗心，而是因为孩子在幼儿园或小学最初接触这个概念的时候发生了偏差，但这些模糊的概念盘踞在大脑中，很难纠正。这样的“粗心大意”很难改掉。
其次，过早让孩子学习数学会压缩孩子未来在数学方面拓展的空间。
对于数学知识的进一步教学有两种，一种是从一个概念到其类似概念的延伸和拓展，还有一种是将学生后续的数学思路提前教授。这些都是一些课外教学机构和家长的做法。
例如鸡兔同笼的问题，用小学算术的方法解答是比较难的，但是如果学过两元一次方程组，就变得非常容易；例如数正方形，没有学过排列组合的时候非常难，但如果使用排列组合就变得非常容易。
在学习两元一次方程、排列组合之前，如果没有得当的引导，没有原理的分析，这类题目只会让孩子付出大量的劳动，产生负面作用，把脑子搞乱。
优秀的数学老师要做到：
了解数学整体架构、引导学生更深刻理解数学
教育是人学，是对人的理解和尊重。教育的对象是有差异的学生，所以我想强调教师因材施教的巨大作用。
数学发展到今天，已经成为一门非常系统的科学，这门科学有其自身的结构。我们无法将这种结构直接拿给学生，所以就产生了数学的教学结构。由数学的教育教学专家、心理专家和学科的专家结合起来，一起将不同年龄段学生应该学习的数学知识、体系、学习顺序安排好，这就是我们的教学结构。
我认为每位教师首先需要提高自身的专业素养，需要知道的不是一个个具体的知识，而要了解数学整体架构是如何组成的，某个知识点在这个整体架构中有怎样的地位，重要性在哪里，有哪些应用……这是一个非常高的要求，不是只会解题就可以的。
教师教学生做题的过程中，重要的不是解题方法，而是要激发学生对数学内在规律和联系的认识，这样学生才能将数学真正学好。
对教师更高要求是传道与启发。教师应该更多的培养自身对数学知识内容的把握，使得本身思维品质提升，这样才能运用到实践中，对数学教学内容真正的掌握理解其内涵和本质。
学生向教师提问，应该是学生自身思维之后的产物。教师发现学生在哪里卡住了，然后进行个性化的分析，解决具体问题。
一个优秀的教师能对学生的学习情况诊断清楚并对症下药。对数学拔尖的学生，一位优秀教师能根据学生的特点引导学生探究，进行思想火花的碰撞，激发他们的学习动机。
这需要教师专业素养和对数学的深刻理解，能不能把这个问题以合适的方法，讲授和学习，并探究更好、更快、更有效的方法。
寻数学教学的价值
“意义”在《现代汉语词典》中的解释是事物所包含的思想和道理，包括内容、价值等方面的含义。在哲学中，意义是“客体对主体精神活动的一种指向”。意义世界是人的精神家园，是支撑人生命实践活动的价值理念系统。意义世界是一个人的世界，是一个文化的世界，也是一个价值理念的世界。对人的生存意义的探询和追问一直是哲学的核心话题。作为生命实践形态的数学课堂教学，绝不仅仅是一个认知性的掌握知识、发展智力的过程，更应该是一个促成完整的人的生成与成长的过程，是一个个体生命潜能多方面得以彰显、丰富的过程。由此来审视当下的数学教学，或许“我们已经走得太远，忘却了为什么而出发？”
1“意义失落” - 数学教学的现实折射
当教学忽略了作为学习主体的儿童的成长需要，忽略了数学本身所具有的意义特性，当数学成为一种解题工具，成为一种“冰冷”的知识被传授，当老师眼里没有完整的数学、动态的数学，当数学教学不能给学生带来良好的学科感受，不能培养其良好的数学情怀，必将使学生对数学产生冷淡和漠不关心的态度，数学教学也就失去了教育的价值和意义。
忽视“数学本质”，对形式的追求大于对内容的开掘
教学“三角形的认识”时，让学生“做”三角形是一个重要环节。为追求教学效果，一位教师不惜花费大量的时间和精力准备钉子板、橡皮筋等各种材料，甚至提前“放水”，让学生进行演练。课堂上，学生制作的三角形规范到位，精彩纷呈。而这之后的比较和分析，教师却是轻描淡写，一带而过。当被问及“为什么要让学生做三角形”，教师却表现出一脸茫然和无辜──“教材上不就这样安排的吗？”
显然，这样的教学更多只是在追求一种外在的“形式”。一味追求教学的形式，造成的可能是数学本质的流失，是课堂教学的失真，是学生学习的失效，是数学文化品格的迷失。不要忘记，在情境背后还有知识和能力，在知识背后还有文化和精神，在技巧的背后还有思想和方法，在逻辑的背后还有直觉和猜想，在应用的背后还有原理与模型。把握数学本质是一切教学法的根！
漠视“儿童存在”，以成人的立场替代儿童的视角
很多教师教师经常感到很困惑──“已经讲过了，怎么会这样呢？”教学效果顺畅，但随后的练习却暴露出了问题。
其实，儿童学习数学一直以来都有其自身的方式。教学中，教师用自己的理解代替儿童的理解，用成人的思维代替儿童的思维，割断了数学学习与儿童成长之间本源性的联系，使教学成了一件与儿童“无关”的事情，儿童感受不到数学之于自身成长的意义，体味不到思维的乐趣。
轻视“过程价值”，用冰冷的美丽淹没火热的思考
在“长方形的面积”教学中，一位教师仅仅用15分钟就轻松地得出长方形的面积计算公式，之后大量时间则用来练习，课堂内完成包括教材和练习册上的所有习题并进行了评讲。在问及为什么这样处理时，教师的回答很干脆──“这点东西学生都知道，还需要教吗？”
当下，教学中依然存在“短时高效”“当堂掌握”等过于追求“结果”的教学倾向。教师只注重知识的传授，不引导学生经历知识发生的过程，割裂过程与结果的连续性。轻视教学过程的内在价值，其实就是轻视师生生命过程的内在价值。这样的教学表面上教学效率的提高，实际上泯灭的却是学生学习的兴趣、激情和创造力。教师对数学及数学教学本质的误解，让数学教学“变了形”“走了味”。异化的数学教学可能使学生的好奇心、想象力、创造力日渐流失。
2“生成意义” - 数学教学的内在诉求
在教育立场中，数学不仅是事实性的“符号存在”（数学的概念、原理、法则等），更是儿童“生命实践”的活动存在；不仅是无可怀疑的真理汇集，更是儿童“有意义”的创新建构。意义是“客体对主体精神活动的一种指向”，这种指向只有在人的体验、理解中才能显现出来。数学教学的意义就在于数学活动对儿童精神活动的一种指向。生成意义是教学活动的根本出发点，也是教学活动的本质之所在。
儿童：追寻意义的存在
海德格尔说：人是一种意义性存在，人所栖居的世界是一个意义的世界。教学活动中的儿童，无疑是一种寻求意义的存在，儿童学习数学本质上就是儿童寻求自身存在意义的过程。儿童学习数学不是被动地接受知识，而是主动地寻求知识背后的意义，并与自身“经验结构”相融合进而创生新的意义。这里的意义，不仅仅是知识本身的意义，更有主体自身成长的意义，还包容着作为整体人所需要的精神、情感等方面的意义。
数学：蕴含意义的领域
郭元祥教授指出：“知识具有三个不可分割的组成部分：符号表征、逻辑形式和意义。”意义是知识的内核，是其内具的促进人的思想、精神和能力发展的力量。作为个体生命成长的重要媒介的数学知识，同样蕴含着对人的思想、感情、价值观乃至整个精神世界具有启迪作用的“意义”。这个角度来看，数学不仅是一个符号的孤岛，更是一个蕴含意义的领域。
教学：生成意义的溪流
教学的本质是思维对话。“对话不是单纯的言语应答，而是各种价值相等、意义平等的意识主体相互作用的一种形式。”英国思想家戴维·伯姆认为，“对话仿佛是一种流淌于人们之间的意义溪流，它使所有对话者都能够参与和分享这一意义之溪，并因此能够在群体中萌生新的理解和共识。”从这个角度上讲，任何不能使学生获得新的意义系统的教学，无论采用什么手段和方法开展，在本质上只能是灌输。
3徜徉在“意义世界”中 - 数学教学的实践重构
教育的终极意义不在穷尽真理，而在润泽生命。“数学所照亮的不是与人无关的符号世界、规律世界，而恰恰是引导我们如何发展的意义世界。当我们在进行数学活动时，与其说是活动在操纵意义，不如说意义在引导我们的精神。”由此，敞亮知识背后的“意义世界”，让儿童徜徉在数学学习的“意义世界”中，用意义引领成长，成为数学教学的必然追求。
回归儿童的“生活世界”
“生活世界”是数学的意义之源。数学中的许多概念、原理都可以在“生活世界”中找到原型。回归“生活世界”，用生活的事件来丰富、润泽数学知识，数学的意义才会向我们敞亮。
例如，在寻找“图形覆盖现象的规律”教学中，例题呈现的是一个“纯粹”的数学问题：用红色方框框10个连续的自然数，每次框两个数，一共可以得到多少个不同的和？学生结合直观操作，也能准确地把握其中的规律。但是站到他们的立场上思考：为什么要学习这个找规律呢？这样的规律在生活中有用吗？为此，在教学中，我创设了问题情境：体育彩票开奖，一共有七个号码，选对其中连续的两个就可以中五等奖，五等奖的彩票有几种不同的情况呢？在研究完五等奖之后再研究其他的中奖情况，将问题情境与整体的教学贯通起来。问题本质没有变化，但鲜活生动的生活素材，让学生深切感受到数学学习在实际生活的价值和意义。
还原知识的“生命形态”
数学“客观知识”是人类生命实践活动的智慧结晶，是前人通过辨析比较大量材料、提炼抽取本质属性、归纳概括命名的活动过程而形成的。经过简约化提炼和形式化表达，数学知识凝结为一种符号化知识，它遮蔽了前人生命实践活动过程中的真实复杂性和丰富生动性。教学中，如果教师不对这些符号化的结果性知识作加工处理，把它们直接搬到课堂教给学生，那么学生面对的就是显性的、外在于自己的知识世界，他们只能以被动方式接受这些抽象的现成知识，很难有知识形成过程的和实践体验。还原知识的“生命形态”意味着：让数学知识恢复到其产生时的鲜活状态，让其成为一种“过程形态”的知识。引领学生用自己的认知方式和思维方式去经历、体验人类创造知识的关键历程。
例如，教学“混合运算”，大多数教师认为混合运算顺序是一种规定，没有多少道理可讲，可以堂而皇之地告诉孩子。教学中，我设置一个冲突的情境：计算飞镖比赛成绩，第一次：9环、7环、8环、5环；第二次8环、7环、8环、8环。学生很快发现，第二次的成绩中有三个8环，可以先算“三八二十四”，然后再加上7等于31。教师引导学生列出综合算式：7+8&3，8&3+7，体验无论8&3在前还是在后，都要先算。借助真实的问题，很自然地理解了“先算乘法”的合理性。在数学体系内部，数学规定要考量其唯一性、相容性和不循环性。对于小学生来说，鉴于他们的理解能力，这些方面并不能自如地走进小学课堂，但把数学规定源头所体现出的人类思维的自由性呈现给学生，不仅完全可行，而且可以改变学生对数学的态度。
植根儿童的“数学经验”
数学知识不仅包括被整个数学共同体所认同的“客观性知识”（科学形态的表征），还包括从属于学生自己的“主观性知识”（个体认识的表征），即带有鲜明个体认知特征的“数学经验”。学生的数学经验反映了其对数学的真实理解。在哲学上，所谓理解是指理解者在其“前理解”的基础上与理解对象达到一种“视界融合”的过程，是意义不断创造与生成的过程。显然，这里的“前理解”包括儿童的“数学经验”。为此，教学中教师要充分重视学生的数学经验，主动了解学生的数学经验，让数学教学建立在学生已有的知识经验基础之上，发挥数学经验在教学中的积极作用。
例如，在“折线统计图”教学中，我首先呈现条形统计图并进行分析，激活学生已有的数学经验。然后引导学生从整体上观察条形统计图，并用手比画气温的变化趋势，同步画出轨迹，把条形的顶端简化为一点，自然引入折线统计图。在此基础上引导学生比较两者的异同，突出折线统计图的特点。这样的教学利用学生已有的数学经验，使学生对折线统计图的特点理解更加深入。
其实，儿童的“前理解”不仅包括“结构性知识”，更包括大量的“非结构性经验背景”。儿童不只是模仿和接受成人的思维策略或模式，他们要调用自己已有的知识经验去过滤和解释新信息，以至同化它。正因为如此，儿童与其说是“学习数学”，毋宁说是儿童经验的“数学化”。
凸显知识的“文化意蕴”
数学具有鲜明的文化特性。数学的概念、原理、公式、知识结构、数学方法、数学思想和数学观念所蕴含的真、善、美的客观因素和数学家信念品质、价值判断、审美追求、思维过程等深层次的创造因素，以及这些主客观因素之间的交互作用，构成了庞大的数学文化系统。凸显知识的“文化意蕴”有利于提升学生数学的理解力和包容力。但知识背后的文化意蕴不能通过原理、公式、法则的掌握产生，它需要设置文化情境，通过理解、体验、联想、想象、顿悟等知性活动将文化情境中的价值和意义内化、整合为儿童的自我理解。
例如，教学“倍数和因数”，教师设置了这样的“文化情境”：向学生介绍自然数6是一个完美数，它的所有因数（除了本身以外）的和等于本身。接着让学生猜猜第二个完美数是几？并组织学生进行探索。然后介绍数学家找寻完美数的过程。最后，介绍在历经千年沧桑的古罗马宏伟建筑中隐藏着倍数和因数的秘密。伴随着一首首优美和谐的旋律缓缓流淌，教师又提醒学生，音符之间的和谐源自于倍数和因数的关系。在这样的情境中，学生经历了数学的发现之旅，感受到数学的应用价值和神奇力量。更重要的是，在体味数学家求索之路的艰辛过程中，接受一次数学精神的洗礼！
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