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数学因式分解怎么做?
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基本方法　　 ⑴提公因式法　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.　　如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.　　具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式,多项式的次数取最低的.　　如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-”号时,多项式的各项都要变号.　　口诀：找准公因式,一次要提净；全家都搬走,留1把家守；提负要变号,变形看奇偶.　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).　　注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式　　⑵公式法　　如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法.　　平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；　　完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.　　立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)； 　　立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；　　完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．　　公式：a^3+b^3+c^3+3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)　　例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2.　　（3）分解因式技巧　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形.　　2.分解因式技巧掌握：　　①等式左边必须是多项式；　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；　　③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.　　注：分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑.　　3.提公因式法基本步骤：　　（1）找出公因式；　　（2）提公因式并确定另一个因式：　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；　　②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式；　　③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同. [编辑本段]竞赛用到的方法　　 ⑶分组分解法　　分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识.　　能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式：二二分法,三一分法.　　比如：　　ax+ay+bx+by　　=a(x+y)+b(x+y)　　=(a+b)(x+y)　　我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难.　　同样,这道题也可以这样做.　　ax+ay+bx+by　　=x(a+b)+y(a+b)　　=(a+b)(x+y)　　几道例题：　　1. 5ax+5bx+3ay+3by　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b)　　=(5x+3y)(a+b)　　说明：系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出.　　2. x^3-x^2+x-1　　解法：=(x^3-x^2)+(x-1)　　=x^2(x-1)+ (x-1)　　=(x-1)(x2+1)　　利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决.　　3. x2-x-y2-y　　解法：=(x2-y2)-(x+y)　　=(x+y)(x-y)-(x+y)　　=(x+y)(x-y-1)　　利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决.　　　　 ⑷十字相乘法　　这种方法有两种情况.　　①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．　　②kx²+mx+n型的式子的因式分解 　　如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)．　　图示如下：　　×　　c d 　　例如：因为　　1 -3 　　×　　7 2 　　-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19, 　　所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)．　　十字相乘法口诀：首尾分解,交叉相乘,求和凑中　　 ⑸拆项、添项法　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.　　例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)　　=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) 　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) 　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) 　　=(c+b)(c-a)(a+b)．　　　　 ⑹配方法　　对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.　　例如：x²+3x-40　　=x²+3x+2.25-42.25　　=(x+1.5)²-(6.5)²　　=(x+8)(x-5)．　　 ⑺应用因式定理　　对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a．　　例如：f(x)=x²+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式.(事实上,x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)　　注意：1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数；　　2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数　　 ⑻换元法　　有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法. 　　注意:换元后勿忘还元.　　例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时,可以令y=x²+x,则　　原式=(y+1)(y+2)-12　　=y²+3y+2-12=y²+3y-10　　=(y+5)(y-2)　　=(x²+x+5)(x²+x-2)　　=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．　　也可以参看右图.　　　　 ⑼求根法　　令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．　　例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,　　则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1．　　所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．　　　　 ⑽图象法　　令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．　　与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确.　　例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时,可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.　　作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2 　　则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．　　　　 ⑾主元法　　先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.　　　　 ⑿特殊值法　　将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.　　例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则　　x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105, 　　将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 ．　　注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值, 　　则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此.　　　　 ⒀待定系数法　　首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.　　例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知：这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.　　于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) 　　=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd 　　由此可得a+c=-1,　　ac+b+d=-5,　　ad+bc=-6,　　bd=-4．　　解得a=1,b=1,c=-2,d=-4．　　则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．　　也可以参看右图.　　　　 ⒁双十字相乘法　　双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法.　　双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:　　ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f　　x、y为未知数,其余都是常数　　用一道例题来说明如何使用.　　例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．　　分析：这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解.　　图如下,把所有的数字交叉相连即可　　x 2y 2　　① ② ③　　x 3y 6　　∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．　　双十字相乘法其步骤为：　　①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；　　②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；　　③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错. [编辑本段]多项式因式分解的一般步骤：　　①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式； 　　②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 　　③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；　　④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.　　也可以用一句话来概括：“先看有无公因式,再看能否套公式.十字相乘试一试,分组分解要合适.”　　几道例题　　1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．　　原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．　　2．求证：对于任何实数x,y,下式的值都不会为33：　　x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．　　原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．　　（分解因式的过程也可以参看右图.）　　当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立.　　3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证：这个三角形是等腰三角形.　　分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解.　　证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,　　∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．　　∴(a-c)(a+2b+c)=0．　　∵a、b、c是△ABC的三条边,　　∴a＋2b＋c＞0．　　∴a－c＝0,　　即a＝c,△ABC为等腰三角形.　　4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式.　　-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)　　=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．
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首先熟记公式，然后灵活运用公式；还有要学会用十字相乘法去做二次三项式，这是因式分解中常用的方法。
扫描下载二维码概述/因式分解
因式分解是中学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．
方法/因式分解
十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公因式分解没有普遍适用
的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、运用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法式法，换元法，长除法，短除法，除法等。注意四原则：1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2．最后结果只有小括号3．最后结果中多项式首项为正（例如：-3x2+x=x（-3x+1））不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=-x（2+3y+4z）归纳方法：1．提公因式法。2．运用公式法。3．拼凑法。提取公因式法因式分解各项都含有的的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。当各项的系数有分数时，公因式系数为各分数的最大。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。口诀：找准公因式，一次要提尽，全家都搬走，留1把家守，提负要变号，变形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)ma(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。注意：把变成不叫提公因式公式法如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。分解公式：1、平方差公式： 即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。2、完全平方公式： 、即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。口诀：首平方，尾平方，积的二倍放中央。同号加、异号减，符号添在异号前。推广：（1） 即三数和的平方，等于这三个数的平方和加上每两项的积的2倍。（2） 即四数和的平方，等于这四个数的平方和加上每两数的积的2倍。即几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上每两数的积的2倍。（3）（4）3、立方和公式：即两数之和，乘它们的平方和与它们的积的差，等于这两个数的立方和。推广：三项立方和公式即三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍变形：4、立方差公式：即两数之差，乘它们的平方和与它们的积的和，等于这两个数的立方差。变形：5、完全立方公式：即两数之和（差）的立方等于这两个数的立方和（差）与每一个数的平方乘以另一个数3倍的和（和与差）。6、两根式：例：a2+4ab+4b2=（a+2b）2解方程法通过解方程来进行因式分解，如：X2+2X+1=0&,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×（X+1）十字相乘法对于x2+px+q型的式子如果q能分解为分解为数a,b的积，且有a + b = p时（即a与b和是一次项的系数），那么x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）；或对于kx2+mx+n型的式子如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx2+mx+n=（ax+c）（bx+d）。这种分解因式的方法叫做十字相乘法。注：与十字相乘法对应的还有双十字相乘法具体方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。口诀：分二次项，分常数项，交叉相乘求和得一次项。（拆两头，凑中间）特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。基本步骤：（1）把二次项系数和常数项分别分解因数;（2）尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;（3）确定合适的十字图并写出因式分解的结果;（4）检验。例1：把6x2 +13x + 6分解因式解：∴原式=（2x+3）（3x+2）例2：把3m3 -3m2 -60m分解因式解：∴原式=3m（m2-m-20）=3m（m-5Xm+4）双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下：ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y为未知数，其余都是常数用一道来说明如何使用。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解：图如下，把所有的数字交叉相连即可x2y&　2x3y　&6∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．双十字相乘法其步骤为：①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图②中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)③再按另一个字母（如x）的一次系数进行，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。④纵向相乘，横向相加。分组分解法分组分解是分解因式的一种简洁的方法，下面是这个方法的详细讲解。能分组分解的多项式有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by=a（x+y）+b（x+y）=（a+b）（x+y）我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）几道例题：1． 5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x（a+b）+3y（a+b）=（5x+3y）（a+b）说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2． x2-x-y2-y解法：=（x2-y2）-（x+y）=（x+y）（x-y）-（x+y）=（x+y）（x-y-1）利用二二分法，再利用公式法a2-b2=（a+b）（a-b），然后相合解决。三一分法，例：a^2-b^2-2bc-c^2=a^2-（b+c）^2=（a-b-c）（a+b+c）拆添项法&这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)．配方法&对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：x2+3x-40=x2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)2-(6.5)2=(x+8)(x-5)换元法&有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)综合除法令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……，xn，则该多项式可分解为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)&．例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4&+7x3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5&，-3，-2，1．所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1,x2,x3,……xn&，则多项式可因式分解为f(x)=&f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。主元法&例如在分解x3+2x2-5x-6时，可以令y=x3+2x2-5x-6.作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2则x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法&将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7&．注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，则x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。待定系数法&首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。于是设x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．则x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)．
分解公式/因式分解
平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2立方和（差）两数差乘以它们的平方和与它们的积的和等于两数的立方差。即a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)证明如下：（&a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3所以a3-b3=(a-b)3-[-3(a2)b+3ab2]=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)同理&a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)十字相乘公式十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab因式定理&
对于多项式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)．)注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数2．对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数二次多项式&
（根与系数关系二次多项式因式分解）例：对于二次多项式&aX2+bX+c(a≠0)当△=b2-4ac≥0时，设aX2+bX+c=0的解为X1,X2=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)=a(X-X1)(X-X2).
四个注意/因式分解
因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举下例，可供参考。例1&把-a2-b2+2ab+4分解因式。解：-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4）=-[(a-b)2-4]=-(a-b+2)(a-b-2)这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的错误。这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9)的错误，因为4x2-9还可分解为(2x+3)(2x-3)。考试时应注意：在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数！由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”等是一脉相承的。
应用/因式分解
1．&应用于多项式除法。：a(b-1)(ab+2b+a)说明：(ab+b)2-(a+b)2&=&(ab+b+a+b)(ab+b-a-b)&=&(ab+2b+a)(ab-a)&=&a(b-1)(ab+2b+a)．2．&应用于高次方程的求根。3．&应用于分式的通分与约分顺带一提，梅森合数分解已经取得一些微不足道的进展：1，p=4r+3，如果8r+7也是素数，则：(8r+7)|(2P-1)。即（2p+1）|（2P-1）例如：23|(211-1);；11=4×2+347|(223-1);；23=4×5+3167|(283-1);,,,.83=4×20+32,p=2n×32+1,，则（6p+1）|(2P-1)，例如：223|(237-1)；37=2×2×3×3+1439|(273-1)；73=2×2×2×3×3+1-1)；577=2×2×2×2×2×2×3×3+13，p=2n×3m×5s-1,则（8p+1）|（2P-1）例如；233|(229-1)；29=2×3×5-1-1)；179=2×2×3×3×5-11913|（2239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1
练习题/因式分解
1.&5ax+5bx+3ay+3by=2.&x^3-x^2+x-1=3.&x2-x-y2-y=
参考答案/因式分解
1.(5x+3y)(a+b)2.(x-1)(x^2+1)3,(x+y)(x-y-1)
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