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高一数学《集合》专题强化训练（共5份）（附：解析与答案）
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高一数学《集合》专题强化训练（共5份）（附：解析与答案）
1.用列举法表示下列集合． (1)x2－4的一次因式组成的集合；
(2){y|y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}；
(3)方程x2＋6x＋9＝0的解集；
(4){20以内的质数}．
2.用描述法表示下列集合．(1)方程2x＋y＝5的解集；
(2)小于10的所有非负整数的集合；
(3)坐标平面内，两坐标轴上点的集合；(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上所有点的集合．
审核人：数学孙宜新
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有关集合的教学
集合的概念
&&&& 数学必修1：集合的概念&&&&&&& 教学目标：
&&& （1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法&&& （2）使学生初步了解“属于”关系的意义&&& （3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 &&& 教学重点：集合的基本概念&&& 教学过程：&&& 1．引入&&& （1）章头导言&&& （2）集合论与集合论的创始者-----康托尔（有关介绍可引用附录中的内容）&&& 2．讲授新课&&& 阅读教材，并思考下列问题：&& &（1）有那些概念？&&& （2）有那些符号？&&& （3）集合中元素的特性是什么？&&& （4）如何给集合分类?&&& （一）有关概念:&&& 1、集合的概念&& （1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.&&&（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.&&&（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.&&& 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……&&& 2、元素与集合的关系&& （1）属于： 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A&& （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 &&& 要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.&&& 3、集合中元素的特性&& （1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.&& （2）互异性：集合中的元素一定是不同的.&& （3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.&&& 4、集合分类&&& 根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类： && （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф&& （2）含有有限个元素的集合叫做有限集&& （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集&&& 注：应区分 ， ， ，0等符号的含义&&& 5、常用数集及其表示方法&&& （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记 作N&&& （2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N* 或N+&&& （3）整数集：全体整数的集合.记作Z&&& （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q&&& （5）实数集：全体实数的集合.记作R&&&& 注：
&&& （1）自然数集包括数0.&&& （2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*&&& 课堂练习：教材第5页练习A、B&&& 小结：本节课 我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质&&& 课后作业：第十页习题1-1B第3题&&& 附录：&&& 集合论的诞生&&& 集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.&&& 康托尔的不朽功绩&&& 前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.&&& 数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并 尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地 踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.　　“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永 远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.&&& 最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学 们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理 数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎 意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多 于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用 希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系&&& 它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.&&& 公理化集合论的建立　　集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术 化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.　　它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.　　超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.　　这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.　　康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.&&& 注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&高一数学集合的概念
&&& 题：1.1集合－集合的概念&&& 教学目的：
&&& （1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法&&& （2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义&&&&（3）会运用集合的两种常用表示方法&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&& 教学重点：集合的表示方法&&& 教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合&&& 授课类型：新授课&&& 课时安排：1课时&&& 教&&& 具：多媒体、实物投影仪&&& 教学过程：&&& 一、复习引入：上节所学集合的有关概念&&& 1、集合的概念&&& （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合 &&& （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素&&&&&2、常用数集及记法&&& （1）自然数集：全体非负整数的集合 记作N， &&& （2）正整数集：非负整数集内排除0的集 记作N*或N+ ， &&& （3）整数集：全体整数的集合 记作Z ,& &&& （4）有理数集：全体有理数的集合 记作Q ,&&& &&& （5）实数集：全体实数的集合 记作R， &&& 3、元素对于集合的隶属关系&&& （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A&&& （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 &&&& 4、集合中元素的特性&&&&（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 &&& （2）互异性：集合中的元素没有重复 &&& （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）&&&& 5、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……（2）“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写&&&&& 二、讲解新课：&&
&&& （二）集合的表示方法&&& 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合 例如，由方程 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}&&& 注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100} 所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}&&& （2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素 &&& 2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法 &&& 格式：{x∈A| P（x）}& &&& 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合&&&&&例如，不等式 的解集可以表示为： 或所有直角三角形的集合可以表示为： &&& 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分&如：{直角三角形}；{大于104的实数}&& （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}&&& 3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 &&& 4、何时用列举法？何时用描述法？&&& ⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法 如：集合 &&& ⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法 &&& 如：集合 ；集合{1000以内的质数}&&& 例 集合 与集合 是同一个集合吗？&&& 答：不是 因为集合 是抛物线 上所有的点构成的集合，集合 =& 是函数 的所有函数值构成的数集 &&& （三） 有限集与无限集&&& 1、&有限集：含有有限个元素的集合 &&& 2、&无限集：含有无限个元素的集合 &&& 3、&空集：不含任何元素的集合 记作Φ，如： &&& 三、练习题：&&& 1、用描述法表示下列集合&& &①{1，4，7，10，13}&&&&&&&&&&&&& &&& ②{-2，-4，-6，-8，-10}&&&&&&&&&&& &&& 2、用列举法表示下列集合&& &①{x∈N|x是15的约数}&&&&&&&&&&& {1，3，5，15}&&& ②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}} &&& {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}&&& 注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}&&& ③&& &&& ④&& {-1，1}&&& ⑤&& {（0，8）（2，5），（4，2）}&&& ⑥ &&&& {（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}&&& 3、关于x的方程ax＋b=0，当a,b满足条件____时，解集是有限集；当a,b满足条件_____时，解集是无限集 &&& 4、用描述法表示下列集合：&&& &(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }=&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ;&&& &(2) { 0,± , ± , ± , ± , ……}=&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&四、小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：有限集、无限集、空集 2．集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图&&& 五、课后作业：&&& 六、板书设计（略）&&& 七、课后记：
&&& 高一数学集合的概念教学设计
&&& 题：1.1集合－集合的概念
&&& 教学目的：
&&& （1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法
&&& （2）使学生初步了解“属于”关系的意义
&&& （3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&& 教学重点：集合的基本概念及表示方法
&&& 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
&&& 授课类型：新授课
&&& 课时安排：1课时
&&& 教&&& 具：多媒体、实物投影仪
&&& 内容分析：&& &1．集合是中学数学的一个重要的基本概念 在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题 例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集 至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具 这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础 &&& 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础 例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑 &&& 本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明 然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子 &&& 这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念 学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义 本节课的教学重点是集合的基本概念&&&&&集合是集合论中的原始的、不定义的概念 在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识 教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集 ”这句话，只是对集合概念的描述性说明
&&& 教学过程：
&&& 一、复习引入：
&&& 1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；
&&& 2．教材中的章头引言；
&&& 3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）；
&&& 4．“物以类聚”，“人以群分”；
&&& 5．教材中例子（P4）
&&& 二、讲解新课：&&
&&& 阅读教材第一部分，问题如下：
&&& （1）有那些概念？是如何定义的？
&&& （2）有那些符号？是如何表示的？
&&& （3）集合中元素的特性是什么？
&&& （一）集合的有关概念：
&&& 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
&&& 定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合．
&&& 1、集合的概念
&&& （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）
&&& （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素
&&&&2、常用数集及记法
&&& （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合 记作N，
&&& （2）正整数集：非负整数集内排除0的集 记作N*或N+
&&& （3）整数集：全体整数的集合 记作Z ,
&&& （4）有理数集：全体有理数的集合 记作Q ,
&&& （5）实数集：全体实数的集合 记作R
&&& 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集 记作N*或N+ Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*
&&& 3、元素对于集合的隶属关系
&&& （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
&&& （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
&&& 4、集合中元素的特性
&&& （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可
&&& （2）互异性：集合中的元素没有重复
&&& （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
&&& 5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q…… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q…… ⑵“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写
&&& 三、练习题：
&&& 1、教材P5练习1、2
&&& 2、下列各组对象能确定一个集合吗？
&&& （1）所有很大的实数 （不确定）
&&& （2）好心的人 &&&&&& （不确定）
&&& （3）1，2，2，3，4，5．（有重复）
&&& 3、设a,b是非零实数，那么 可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__
&&& 4、由实数x,－x,｜x｜, 所组成的集合，最多含（& A& ）
& &&（A）2个元素& （B）3个元素& （C）4个元素& （D）5个元素
&&& 5、设集合G中的元素是所有形如a＋b （a∈Z, b∈Z）的数，求证：
&& &(1) 当x∈N时, x∈G;&
&& &(2) 若x∈G，y∈G，则x＋y∈G，而 不一定属于集合G
&&& 证明(1)：在a＋b （a∈Z, b∈Z）中，令a=x∈N,b=0,
&&& 则x= x＋0* = a＋b ∈G,即x∈G
&&& 证明(2)：∵x∈G，y∈G，
&&& ∴x= a＋b （a∈Z, b∈Z）,y= c＋d （c∈Z, d∈Z）
&&& ∴x+y=( a＋b )+( c＋d )=(a+c)+(b+d)
&&& ∵a∈Z, b∈Z,c∈Z, d∈Z
&&& ∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z
&&& ∴x+y =(a+c)+(b+d) &∈G，
&&& 又∵ ＝
&&& 且 不一定都是整数，
&&& ∴ ＝ 不一定属于集合G
&&& 四、小结：本节课学习了以下内容：
&&& 1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于）
&&& 2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性
&&& 3．常用数集的定义及记法
&&& 五、课后作业：
&&& 六、板书设计（略）
&&& 七、课后记：
&&& 八、附录：康托尔简介&
&&& 发疯了的数学家康托尔（Georg Cantor，）是德国数学家，集合论的创始者& 日生于圣彼得堡，日病逝于哈雷& 康托尔11岁时移居德国，在德国读中学.1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期.1867年以数论方面的论文获博士学位.1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授.由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度.在年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战.他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应.这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论.　　康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂.有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”.来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院.
真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩.1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦.日，康托尔在一家精神病院去世.
& &集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣.康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础
康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础. 从而解决17世纪牛顿（I.Newton，）与莱布尼茨（G.W.Leibniz，）创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始，柯西（A.L.Cauchy，）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，）等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论
克隆尼克（L.Kronecker，），康托尔的老师，对康托尔表现了无微不至的关怀.他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久.他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔
横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位.使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折.法国数学家彭加勒（H.Poi-ncare，）：我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西.集合论是一个有趣的“病理学的情形”，后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了.德国数学家魏尔（C.H.Her-mann Wey1，）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾.菲利克斯．克莱因（F.Klein，）不赞成集合论的思想.数学家H．A．施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断交.从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去,变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠,他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位,健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒大学附属精神病院去世.流星埃．
伽罗华（E.Galois，），法国数学家伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般π次方程求解问题.许多数学家为之耗去许多精力，但都失败了.直到1770年，法国数学家拉格朗日对上述问题的研究才算迈出重要的一步 伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题 他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上 同时创立了具有划时代意义的数学分支——群论，数学发展史上作出了重大贡献 1829年，他把关于群论研究所初步结果的第一批论文提交给法国科学院 科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人 在日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会 然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作 1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了 以参加科学院的数学大奖评选，论文寄给当时科学院终身秘书J．B．傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿 1831年1月伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院 这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作 当时的数学家S．K．泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁 尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它 日，临死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，造福人类 日离开了人间 死因参加无意义的决斗受重伤 1846年，他死后14年，法国数学家刘维尔着手整理伽罗华的重大创作后，首次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上
高二数学集合的概念教案
第1课时&&& 集合的概念&
1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象&&&&&&& 就成为一个集合，简称&&&&&& ．集合中的每一个对象叫做这个集合的&&&&&&& ．
2．集合中的元素属性具有：
(1) 确定性；& (2)&&&&&&&&& ； (3)&&&&&&&&&& ．
3．集合的表示法常用的有&&&&&&&&&& 、&&&&&&&&&& 和韦恩图法三种，有限集常用&&&&&&&&&& ，无限集常用&&&&&&&&&& ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．
二、元素与集合的关系
4．元素与集合是属于和&&&&&&&&&& 的从属关系，若a是集合A的元素，记作&&&&&&&&& ，若a不是集合B的元素，记作&&&&&&&&&& ．但是要注意元素与集合是相对而言的．
三、集合与集合的关系
5．集合与集合的关系用符号&&&&&&&&&& 表示．
6．子集：若集合A中&&&&&&&&&& 都是集合B的元素，就说集合A包含于集合B（或集合B包含集合A），记作&&&&&&&&&& ．
7．相等：若集合A中&&&&&&&&&& 都是集合B的元素，同时集合B中&&&&&&&&&& 都是集合A的元素，就说集合A等于集合B，记作&&&&&&&&&& ．
8．真子集：如果&&&&&&&&&& 就说集合A是集合B的真子集，记作&&&&&&&&&& ．
9．若集合A含有n个元素，则A的子集有&&&&&&&&&& 个，真子集有&&&&&&&&&& 个，非空真子集有&&&&&&&&&& 个．
10．空集 是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素， 是任何集合的&&&&&&&&&& ， 是任何非空集合的&&&&&&&&&& ，解题时不可忽视 ．
例1.&已知集合 ，试求集合 的所有子集.
例2. 设集合 ， ， ，求实数a的值.
例3.&已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.?（1）若A是空集，求m的取值范围；?（2）若A中只有一个元素，求m的值；?（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.?
例4. 若集合A＝{2，4， }，B＝{1，a＋1， ， 、& }，且A∩B＝{2，5}，试求实数 的值．
变式训练1.若a,b R,集合 求b-a的值.
变式训练2：（1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，S P，求a取值？
（2）A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B A,求m。
变式训练3.（1）已知A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值；?
（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.?
变式训练4.已知集合A＝{a，a＋d，a＋2d}，B＝{a，aq，& }，其中a≠0，若A＝B，求q的值
1．本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆．
2．利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验．
3．注意空集φ的特殊性，在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性．
4．要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法在解题中的应用．
第2课时&&& 集合的运算
一、集合的运算
1．交集：由&&&&&&&&&& 的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝&&&&&&&&&&& ．
2．并集：由&&&&&&&&&&& 的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝&&&&&&&&&& ．
3．补集：集合A是集合S的子集，由&&&&&&&&&& 的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作 ，即 ＝&&&&&&&&&& ．
二、集合的常用运算性质
1．A∩A＝&&&&&&&&& ，A∩ ＝&&&&&&&&& ，A∩B=B∩A，A∪A＝&&&&&&&&& ，A∪ ＝&&&&&& ，A∪B＝B∪A
2． ＝&&&&&&&&& ， ＝&&&&&&&&& ，&&&&&&&&&&& ．
3．&&&&&&&&&& ，&&&&&&&&&& ，
4．A∪B＝A&&&&&&&&&& A∩B＝A&&&&&&&&&&
例1. 设全集 ， 方程 有实数根 ， 方程 有实数根 ，求 .
例2. 已知 , 或 .(1)若 ,求 的取值范围;(2) 若 ,求 的取值范围.
变式训练1.已知集合A= B=&& 当m=3时，求 .
变式训练2：设集合A= B
（1）若A B 求实数a的值；（2）若A B=A，求实数a的取值范围；
1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言．
2．集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想．
3．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.
高三数学集合的运算
课题：集合的运算
教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．
教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．
教学过程：
（一）主要知识：
1．交集： ；并集： ；补集：若 ；
（二）主要方法：
1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；
2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；
3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．
（三）高考回顾：
考题1：(2006安徽理) 设集合 ， ，则 等于&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (&&&& )
A．&&&&&&&&&&&&&&& B．&&&&& C．&&&&&&&&&&&& D．&
考题2：（2006安徽文）设全集 ，集合 ， ，则 等于&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&&& ）
A．&&&&&&&& B．&&&&&& C．&&&&&&& D．
考题3：（2006福建文）已知全集 且 则 等于&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (&&&&& )&
（A） 　　　　（B） 　　　　（C） 　　　　（D）&
考题4：（2006辽宁文）设集合 ，则满足 的集合 的个数是（　　）
Ａ．1&&Ｂ．3&&Ｃ．4&&Ｄ．8
考题5：（2006全国卷I理）已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ）
（A）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （B）｛x|0＜x＜3｝
（C）｛x|1＜x＜3｝&&&&&&&&&&&&&&& （D）｛x|2＜x＜3｝
考题6：（2006陕西理）已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x－6≤0}, 则P∩Q等于&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& (&&&& )&
A. {2}&&&& B.{1,2}&& C.{2,3}& D.{1,2,3}
（四）典型例题：
例1．设全集 ，若 ， ， ，则&&&&&&&&&& ，&&&&&&&&&&& ．
例2．已知集合 ， ，则&&&&&&&&&& ，&&&&&&&&& ；
例3．已知集合 ， ，若 ， ，求实数 、 的值．
说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．
例4．已知集合 ， ，若 ，求实数 的取值范围．&
例5．已知集合 ，&，若 ，求实数 的取值范围．
分析：本题的几何背景是：抛物线 与线段 有公共点，求实数 的取值范围．
（五）巩固练习：
1．设全集为 ，在下列条件中，是 的充要条件的有&&&&&&&&& &（&&&& ）&① ，② ，③ ，④ ，&& 个&&&& &&&&& 个&& &&&&&&& 个&&&& &&&&& 个
2．集合 ， ，若 为单元素集，实数 的取值范围为&&&&&&&&&&& ．
（六）课后作业：
1．设全集I={1，2，3，4，5}，若A B={2}，& ={4}，& ={1，5}，则下列结论正确的是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ）&&&&&&&&&&&&&&&&&
A．&&&& B．&&&& C．&&&&&& D．
2．已知M= ，N= ，则M N=&&&&&&&&&&&&&&&& （&&& ）
A．&&&&&&&&&&&&&& B．M&&&&&&&&&&&& C．N&&&&&&&&&&&&&&& D．R
3．设A= ，B= ，C= ，且A B=C，则a=&&& b=&&& 。
4．设含有4个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集个数为T，则 =&&& 。
5．集合A= ，B= ，若A B中有且仅有一个元素，则r=&&&&&&&&& 。
6.设集合A= ，B= ，求集合C，使其同时满足下列三个条件：（1） ；（2）C有两个元素；（3） .
7.设集合P= ，Q=
I．若P Q，求实数a的取值范围；
II．若 ；求实数a的取值范围；
III．若 ，求实数a的值。
馆藏&34909
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