函数对称性与周期性关系
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函数对称性与周期性关系
函数对称性与周期性关系
【典型例题】
1. 定义在R上的函数，若总有成立，则函数的图象是关于直线成轴对称图形。反之，若函数的图象关于直线成轴对称图形，则必有
推论，对于定义在R上的函数，若有，则图象关于直线成轴对称图形，反之亦真。
证明：若对，总有，设点，在的图象上，点关于的对称点，由
，则点在函数的图象上，由的任意性知的图象关于直线对称，反之证明略。
推论，由显然
[例1] 已知，满足且，当时，比较与的大小。
解：由知关于对称，故，又由知，则在递减，在上递增。
当时，&& ∴ 即
当时，&&&& ∴ ，即
[例2] 函数的图象关于直线对称，且时，则当时，的解析式为&&&&&&& 。
解：依条件，设，则，
[例3] 若的图象关于直线对称，则&&&&& 。
A. &&&&&&&&& B. &&&&&& C. &&&&&& D.
[例4] 设对任意，满足且方程恰有6个不同的实根，则此六个实根之和为&&&&&& 。
A. 18&&&&& B. 12&&&&&& C. 9&&&&&&& D. 0
解：依条件知图象关于直线对称，方程六个根必分布在对称轴两侧，且两两对应以（3，0）点为对称中心，故，所以，选A。
[例5] 设满足（1），（2）当时，是增函数，定义域，则下列不等式成立的是（&&& ）
解：由条件知图象关于直线成轴对称
又及时递增
∴ ，故选C
2. 对称性与周期性的关系
（1）若函数在R上的图象关于两条直线与对称，则为R上的周期函数。
（2）若函数在R上的图象关于直线与点对称，则为R上的周期函数。
证：（1）因图象关于及对称，则，，故得证
（2）由图象关于对称，有①&
又由图象关于点对称，有，
由①和② &③
又由③式 得证
特别地，图象关于直线对称的偶函数必是周期函数
推论，定义在R上的函数满足
（1）当为偶函数时，是以为一个周期的周期函数。
（2）当为奇函数时，是以为一个周期的周期函数。
&&&&&&&&&&&&
[例1] 已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时，，求时，的解析式。
解：由（1）（2）知，对任
[例2] 已知定义在实数集R上的函数满足：（1）；（2）；（3）当时解析式，求上的解析式。
当时，，则
当时，，则
又为偶函数，知
另法：当时，，
[例3] 函数定义在R上，且对一切满足，，设，问方程在区间中至少有几个实根。
解：依条件为函数的周期，，均为的根，因此在区间上至少有二个根
由周期性可知也为的根
所以方程在区间中至少有
[例4] 若偶函数，满足（1）图象关于直线对称，（2）在区间上是减函数，求证以为最小正周期。
证：依条件知为函数的周期，假设函数还存在比更小的周期2，且
（1）若，则与在上是减函数矛盾
（2）若，即时，与在上是减函数矛盾，所以是的最小正周期。
[例5] 已知是定义在实数集R上的偶函数，是R上的奇函数，又知（1）（是常数）；（2）试求的值。
分析：条件（2）即，即关于点对称
又由是偶函数，故是以为周期的周期函数
解：由条件（2）知，令，则
，故，即为以4为周期的周期函数，又由，所以
【模拟试题】
一. 选择题（每小题5分，共50分）
1. 函数的定义域为A，函数的定义域为B，若，则实数的取值范围是（&&& ）
A. &&&&&&&& B.
C. &&&&&&&&&&&&&& D.
2. 函数在区间上递减，则实数的取值范围是（&&& ）
A. &&&&&&& B. &&&&&&& C. &&&&&&& D.
3. 已知，且，则满足（&&& ）
A. &&&&&&&&&&&&& B. &&&&&&& C. &&&&&&& D.
4. 定义在R上的奇函数为减函数，设，给出下列不等式：
其中正确的不等式序号是（&&& ）
A. （1）（2）（4）&&&&&&&&&&&&& B. （1）（4）&&&&&&&
C. （2）（4）&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D. （1）（3）
5. 偶函数在上单调递减，则与的大小关系为（&&& ）
A. &&&&&&&&&&& B.
C. &&&&&&&&&&& D. 不能确定
6. 已知定义域为R的函数满足有，且，若，则（&&& ）
A. 2&&&&&&& B. 4&&&&&&& C. &&&&&&&&&&& D.
7. 已知定义在R上的偶函数在区间上为增函数，且，则不等式的解集为（&&& ）
A. &&&&&&&&&&&& B. &&&&&&&&&& C. &&&&&&&&&&& D.
8. 已知函数是R上的偶函数，且满足，当时，，则（&&& ）
A. 0.5&&&&&&&&&&& B. 1&&&&&&& C. 1.5&&&&&&&&&&& D.
9. 函数是（0，2）上的增函数，函数是偶函数，则下列结论中正确的是（&&& ）
A. &&&&&&&&&&&&&&&&& B.
C. &&&&&&&&&&&&&&&&& D.
10. 设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（&&& ）
A. &&&&&&&&&&&&&&&&& B.
C. &&&&&&&&&&&&&& D.
二. 填空题（每小题4分，共24分）
11. 定义在R上的函数满足，则
&&&&&&&&& 。
12. 已知函数，则&&&&&&&&&&&& 。
13. 设，，且，那么函数的最大值是&
14. 已知为偶函数，为奇函数，它们的定义域都为，当时，它们的图象如下图，则不等式的解集为&&&&&&&&& 。
15. 已知二次函数，若在区间内至少存在一个实数，使，则实数的取值范围是&&&&&&&&&&&& 。
16. 设函数，给出下列命题：
（1）时，为奇函数
（2），时，方程只有一个实数根
（3）的图象关于点对称
（4）方程至多两个实数根
上述四个命题中所有正确的命题序号为&&&&&&&&&& 。
三. 解答题（共76分）
17. 已知集合，集合
其中，设全集，，求实数的取值范围。
18. 求函数的值域。（满分12分）
19. 已知两个函数，
（1）若都有成立，求的取值范围；
（2）若都有成立，求的取值范围。（满分12分）
20. 已知奇函数
（1）确定的值，并证明在R上为增函数；
（2）若方程在上有解，证明。（满分12分）
21. 已知函数满足，其中，且。
（1）对于函数，当时，，求实数的取值范围；
（2）当时，的取值范围恰为，求的取值范围。（满分14分）
【试题答案】
1. A&& 2. D&& 3. B&& 4. B&& 5. C&& 6. B&& 7. C&& 8. A&& 9. B&& 10. D
11. 7&&& 12. &&&13. 0&& 14. &&&&15. &&&&16. ①②③
17. 解：A：&& &&&&∴
设，则&&& ∴ ，
∴ &&&&∵ &&&&∴ &&&∴
若，则在上
∴ &&&&&∴ &&&&综上所述：
18. 解：& 定义域：R
设，则且&&&
∵ 函数在上
∴ 当时，&&
∴ 函数的值域为
19. 解：∵ &&&&&
&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&3
&&&&&&&&&& +&&&&&&&& 0&&&&&&&& －&&&&&&&& 0&&&&&&&& +
&& &&&&↑&&&& 极大值&&&& ↓&& 极小值&&& ↑&&&&&& 111
在上↓，在上↑
（1）∵ 都有成立
（2）∵ 都有成立
∴ ，即&&&&& ∴
20. 解：（1）∵ 为R上的奇函数&&& ∴
∴ &&&&&∴
∵ 在R上↑且，在上↑
∴ 在R上↑
（2）∵ 在R上↑，且当时有，
∴ 当时，的值域为（）
∵ 方程在上有解&&&& ∴
∴ &&&&&即
21. 解：（1）（且）
设，则&&&& ∴
当时，∵ ，&&& ∴ 在其定义域上↑
当时，∵ ，&&&& ∴ 在其定义域上↑
∴ 且都有为其定义域上的增函数
又∵ &&&&∴ 为奇函数
（1）∵ 当时，
∵ 在上↑且值域为
&&&& &&&&&&&&
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2017高中数学黄金100题―函数的周期性与对称性（带解析）
作者：佚名 资料来源：网络 点击数： &&&
2017高中数学黄金100题―函数的周期性与对称性（带解析）
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文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y
&I．题源探究•黄金母题例1 设 ，&& 求证：（1） ；（2） .【解析】（1） &&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&& （2） &&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&& 例2容易知道，正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心。除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗?其坐标是?正弦曲线是轴对称图形吗?如果是，对称轴的方程是? 你能用已学过的正弦函数性质解释上述现象吗? 对于弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题。【解析】由周期函数的性质知，T=2π 所以对称中心为&， 正弦曲线是轴对称图形 同样由周期函数的性质知 其对称轴方程纬 。& 对于余弦函数同样有类似的性质，因为cosA=sin(A+ ) 所以对称中心为 ，余弦曲线是轴对称图形 同样由周期函数的性质知 X=Kπ(K为整数) & 正切函数同样有类似的性质，对称中心为(kπ/2,0)(K为精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第44页A组第&& 8题
【母题评析】本题以 为载体，考查函数奇偶性的证明、复合函数的运算问题，此类问题是高考常考的题型之一。
【思路方法】赋值法是解决复合函数、函数奇偶性的判断问题常用的解题方法之一，使用时要注意赋值的合理性。
精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第46页A组第&& 11题
【母题评析】本题以正弦函数是奇函数为依据，让你去探索正弦函数有没有对称中心、对称轴，然后类比正弦函数，在去探索总结余弦函数、正切函数的对称性，此题的结论也是高考常考的知识点。
【思路方法】以旧探新是一种重要的学习、解题方法，这种类比推理思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。整数)但不是轴对称图形，而是中心对称图形。例3 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题：(1)求函数的周期；(2)画出函数y＝f(x＋1)的图象；(3)你能写出函数y＝f(x)的解析式吗？
考点：函数的图象,函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）从图象得知，x从0变化到1，函数经历 个周期，即 ，故函数的周期T=2；（2）函数y=f（x+1）的图象可由函数y=f（x）的图象向左平移1个单位得到，因为函数y=f（x）的图象过点（0，0）、点（1，1）所以y=f（x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1），再根据函数为周期函数画出图象：
（3）当-1≤x＜0时，f（x）=-x，&&&&& 当0≤x＜1时，f（x）=x；&当2n-1≤x＜2n时，f（x）=f（x-2n）=-（x-2n）=2n-x，&当2n≤x＜2n+1时，f（x）=f（x-2n）=x-2n，∴ （n为整数）点评：本题主要考查函数的图象的变换，及求函数的解析式，属于基础题．
精彩解读【试题来源】人教版A版必修四第47页B组第&& 3题
【母题评析】本题以y＝f(x)的图象为载体，考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求解析式）问题，此类问题是高考常考的题型之一。
【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”。
II．考场精彩•真题回放【例1】【2016年高考山东理数】已知函数f(x)的定义域为R.，当x&0时，& ；当& 时， ；当& 时，& .则f(6)= （&& ）（A）−2&&&& （B）−1&&&& （C）0&& & （D）2&&& 【答案】D&&& 【解析】当 时， ,所以当 时，函数 是周期为& 的周期函数，所以 ，又函数 是奇函数，所以 ，故选D.【例2】【2016高考新课标1卷】已知 & 为 的零点, 为&图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为(&&&& )（A）11&&&&&&& （B）9&&&& （C）7&&&&&&& （D）5【答案】B【解析】因为 为 的零点, 为 图像的对称轴,所以 ,即 &,所以 ,又因为 在 单调,所以 ,即 ,由此 的最大值为9.故选B.
【命题意图】本类题通常主要考查函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点.常与函数的图象及其他性质交汇命题.题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围.备考时应加强对这部分内容的训练.&【例3】【2016高考浙江理数】设函数 &，则 的最小正周期（&& ）A．与b有关，且与c有关& B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关& D．与b无关，但与c有关&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 【答案】B【解析】 &，其中当 时， ，此时周期是 ；当 时，周期为 ，而 不影响周期．故选B．&【例4】【2016高考江苏卷】设 是定义在 上且周期为2的函数，在区间 上，&( ,若& ，则 的值是&&&&&& .【答案】 【解析】 &，因此
【难点中心】对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查，主要考查学生的综合能力、创新能力、数形结合的能力.这就要求学生对函数的奇偶性、周期性、单调性三者之间的关系了如指掌，并能灵活运用。&& 分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
&III．理论基础•解题原理考点一& 函数的周期性&&& 1.周期性：对任意的 ，都有 ，则 叫做函数 的周期.&&&&&&&& ①若 ，周期 ；&&&&&&& ②若 （相反），周期 ；&&&&&&&& ③若 ( )（互倒），周期 ； &&&&&&&& ④若 ( )（反倒），周期 ；&&&&&&&& ⑤若 ，周期 ；&& ⑥若 ，周期 .&& 考点二& 函数的称性&&& 1.一个函数的对称关系：若函数 满足 ，则 关于直线 对称，若函数 满足 ，则 关于直线 对称。&&& 2.两个函数的对称关系：&&&&&& 函数 与函数 的图像关于直线 对称；（巧记：相等求 ）&&&&&& 函数 与函数 的图像关于点 对称；（巧记：相等求 ）&& 考点三& 周期与对称的关系：&& ①若 的图像有两条对称轴 和 ( )，则 为周期函数， 为一个周期.（告知周期 和其中一条对称轴，可以写出其他相邻的对称轴.）&& ②若 的图像有两个对称中心 和& ( )，则 为周期函数， 为一个周期.（告知周期 和其中一个对称中心，可以写出其他相邻的对称中心.）&& ③若 的图像有一条对称轴 和一个对称中心& ( )，则 为周期函数， 为一个周期.&& 考点四、如何计算一般形式的周期和对称：& 若 ( )，则 ；（巧记：消去 ）& 若 ，则 的图像关于直线 对称；（巧记：消去 ，相加除2）& 若 ，则 的图像关于点 对称；（巧记：消去 ，相加除2）& 若 ，则 的图像关于点 对称.（巧记：消去 ，相加除2，除2）IV．题型攻略•深度挖掘【考试方向】这类试题包括确定函数周期性、对称性、利用周期性求解析式或函数值、利用对称性进行图像变换，都是高考的热点及重点.常与函数的图象及其他性质交汇命题.题型多以选择题、填空题形式出现，函数的周期性、对称性常与函数的其他性质，如与单调性、奇偶性相结合求函数值或参数的取值范围.备考时应加强对这部分内容的训练.【技能方法】解决此类问题一般会在周期上设置障碍，要通过周期的定义或有关结论算出已知函数的周期，再进行求值等相关运算，若是抽象函数，要求能够熟练运用赋值法。函数对称性、周期性的考察，往往以三角函数为载体，考察其周期、对称轴、对称中心的求解，此类问题一般会在解析式上设置障碍，要求先对解析式进行化简变形，变形的过程就考察了三角函数的有关公式，化简常常借助辅助角公式把原函数解析式化为单一函数.【易错指导】（1）如果对于函数 定义域中的任意 ，满足 ，则得函数 的周期是 ；（2）如果对于函数 定义域中的任意 ，满足 ，则得函数 的对称轴是 。V．举一反三•触类旁通考向1& 周期性与奇偶性相结合【例1】【2016年高考四川理数】已知函数 是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时， ，则 =&&&&&&&&&&& .【答案】-2&【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把 和 ，利用奇偶性与周期性化为 上的函数值即可．考向2& 对称性与单调性相结合【例2】【2016河北衡水二调，理12】定义在 上的函数 对任意 都有 ，且函数 的图象关于（1,0）成中心对称，若 满足不等式 ，则当 时， 的取值范围是（& ）&&&&&& A．&&&&&&&&&&& B．&&&&&& C．&&&&&&&& D． 【答案】D【解析】设 ，则 ．由 ，知 ，即 ，所 【例3】下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间 上单调递增的是 （& ）&&&&& （A）&&&&&& （B）&&&&&&& （C）&&&&&& （D） 【答案】D.【解析】对于 ，函数 是关于原点对称且在 和 上单调递减；对于 ，函数 是关于 轴对称且在 上单调递减；对于 ，函数 无对称性且在 上单调递增；对于 ，函数 是关于 对称且在 上单调递增；故选 .考向3& 周期性与命题的判断相结合【例4】【2016高考上海理数】设 、 、 是定义域为 的三个函数，对于命题：①若 、 、 均为增函数，则 、 、 中至少有一个增函数；②若 、 、 均是以 为周期的函数，则 、 、 均是以 为周期的函数，下列判断正确的是（&&& ）&、①和②均为真命题&&&&&&&&& 、①和②均为假命题&、①为真命题，②为假命题&&& 、①为假命题，②为真命题& 学科.网【答案】D【解析】①不成立，可举反例 ,& ,& &考向4& 奇偶性、周期性与单调性【例5】【2016黑龙江省大庆市调研】若偶函数 对任意实数 都有 ，且在 上为单调递减函数，则（&&& ）A．&&&&&&&&& B． C．&&&&&&&&& D． 【答案】C【解析】先根据f（x+2）=f（x），判断函数为以4的周期函数，再通过周期性把 分别转化成& ，进而根据函数在2，0]上单调递减进而得到答案．f（x+4）=f（x+2+2）=f（x+2）=f（x），则f（x）是以4为周期的函数． &&& f（x）在-2，0]上单调递减，& 故选：C【例6】【2016浙江省高三联考】定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上单调递增，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（&&& ）&&&&&&& A．&&&&&&& B．&&&&&&&&& C．&&&&&&& D． 【答案】C【解析】由 ，得函数的周期为2；由 为偶函数且在 上单调递增可得，函数 在 上单调递减.而 ，所以 ；因为 &，而 ，所以 ，因为 &，而 ，所以 .综上 ，即 .故选C. 考向5& 周期性、对称性与单调性【例7】【2016呼伦贝尔二模】已知函数 满足 ， 关于 轴对称，当 时， ，则下列结论中正确的是（&& ）A．&&&&&&& B．& C．&&&&&&& D． 【答案】A&考向6& 三角函数与对称性、周期性相结合【例8】【2016湖北咸宁】若函数 的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ,则 ＝________________；【答案】3【解析】∵函数f（x）的最大值为3,∴A+1=3,即A=2；∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ,即 ,∴最小正周期T=π,∴ω=2,∴函数f（x）的解析式为：y=2sin（2x- ）+1； &．【例9】【2016江苏无锡】将函数 的图像向左平移个 单位长度后,所得的图像关于 轴对称,则 的最小值是&&&&&&&& 【答案】 【解析】 ,所以向左平移个 单位长度后变换为 ,由题意得 因此 的最小值是 【例10】 【2015天津卷文】已知函数 , ,若函数 在区间 内单调递增,且函数 的图像关于直线 对称,则 的值为&&&&&&&& ．【解析】法一：因为 的递增区间长度为半个周期,所以由 在区间 解法二：由 在区间 内单调递增可得,当 时， &恒成立,由 ,可得, 且 ,解得 ,又函数 在区间 内单调递增,且函数 的像关于直线 对称,所以 是 的最大值, ,由 可得, 文 章来源莲山 课件 w ww.5 Y
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函数的对称性和周期性性质它们都好像有个性质是什么f（a+b)=f（c+d）这种形式的.（括号里我乱打的）
猪猪818淚傼
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f(a-x)=f(b+x) f(x)关于x=(a+b)/2对称f(x-a)=f(x+b) T=a+b
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教科书上写的很清楚，记下公式就行了
扫描下载二维码函数的对称性与周期性；一函数的对称性；（一）函数图象的自对称；所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心；1、奇函数的图象关于；2、二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象；3、三角函数y?sinx的图象关于直线对称，它也；4、函数y?f?x?若对于定义域内任意一个x都有；5、函数y?f?x?若对于定义域内任意一个x都有；6、曲线y?f?x?关于直
函数的对称性与周期性
一 函数的对称性
（一）函数图象的自对称
所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身. 关于函数图象的自对称,有下列性质:
1、奇函数的图象关于
2、二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象关于直线
3、三角函数y?sinx的图象关于直线对称，它也有对称中心是 y?cosx的图象的对称轴是，对称中心是。
4、函数y?f?x?若对于定义域内任意一个x都有f?a?x??f?b?x?，则其图象关于直线
5、函数y?f?x?若对于定义域内任意一个x都有f?a?x??f?a?x??b，则其图象关于点
6、曲线y?f?x?关于直线x?a与x?b（a＜b）对称，则y?f?x?是周期函数且周期为2?b?a?
（二）函数图象的互对称
所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。关于函数图象的互对称,有下列性质:
1、互为反函数的两个函数的图象关于直线。
2、函数y?f?x?与函数y?2b?f?x?的图象关于直线
3、函数y?f?a?x?与函数y?f?b?x?的图象关于直线对称。
4、函数y?f?x?与函数y?2k?f?2h?x?的图象关于点对称。
二 函数的周期性
如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.
一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.
关于函数的周期性的结论：
1、已知函数y?f?x?对任意实数x,都有f?x?a???f?x?,则y?f?x?是以为周期的函数；
2、已知函数y?f?x?对任意实数x,都有f?a?x?=
期的函数； 1,则y?f?x?是以为周f(x)
3、已知函数y?f?x?对任意实数x,都有f?a?x?=-?
期的函数. 1,则y?f?x?是以为周f(x)
4、已知函数y?f?x?对任意实数x,都有f?a?x??f?x??b，则y?f?x?是以为周期的函数
5、已知函数y?f?x?对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),则是y?f?x?的一个周期.
6、已知函数y?f?x?对任意实数x,都有f(x＋m)＝1?f(x),则是f(x)的一个周期. 1?f(x)
1?f(x),求证:4m是f(x)的一个周期. 1?f(x)7、已知函数y?f?x?对任意实数x,都有f(x＋m)＝－
A. ?x?1?是偶函数，则函数y?f?2x?的图象的对称轴是（
2.f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（
3.设函数f(x)(x?R)为奇函数，f(1)?
A．0 B．1 1,f(x?2)?f(x)?f(2),则f(5)?（
） 2C．5 2D．5
4.设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是
(A)f?1.5??f?3.5??f?6.5?；
(B)f?3.5??f?1.5??f?6.5?；
(C)f?6.5??f?3.5??f?1.5?；
(D)f?3.5??f?6.5??f?1.5?
5. 函数y?f(x)的图象为C1，C1关于直线x?1对称的图象为C2，将C2向左平移2个单位后得到图象C3，则C3对应函数为（
A. y?f(?x)
B. y?f(1?x)
C. y?f(2?x)
D. y?f(3?x)
6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?2)??f(x)，则f(6)的值为（
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则
8.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x?2)?
C. 1，若f(1)??5，则f(f(5))等于 f(x)11
9.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有
515f(f())的值是（
xf(x?1)?(1?x)f(x，则)222
x10. 已知偶函数y?f(x)满足f(x?1)?f(x?1)，且当x?[?1,0]时，f(x)?3?4， 9
则f(log15)的值等于（
11.在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)?f(2?x)，若f(x)在
区间[1,2]上是减函数，则f(x)（
A. 在区间[?2,?1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数
B. 在区间[?2,?1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C. 在区间[?2,?1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D. 在区间[?2,?1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
12.已知定义在R上的函数y?f(x)满足下列三个条件：
① 对于任意的x?R，都有f(x?4)?f(x)；
② 对于任意的0?x1?x2?2，都有f(x1)?f(x2)；
③ 函数y?f(x?2)的图象关于y轴对称。
则下列结论正确的是（
A. f(6.5)?f(5)?f(15.5)
B. f(5)?f(6.5)?f(15.5)
C. f(5)?f(15.5)?f(6.5)
D. f(15.5)?f(5)?f(6.5)
13.设f(x)为R上的奇函数，且f(?x)?f(x?3)?0，若f(?1)??1，
f(2)?loga2，则a的取值范围是
14.若f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)?11，则f()＝ x?12
15.y?f?x?定义域为R，且对任意x?R都有f?x?1??f?x??1，若f?
2??1f(2009)=
1?fx16.设函数y?f(x)是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线x?2对称，已知
x?[?2,2]时，函数f(x)??x2?1，则x?[?6,?2]时，f(x)?
17.定义在(??,??)上的偶函数f(x)满足f(x?1)??f(x)，且在[?1,0]
上是增函数，下面是关于f(x)的判断：
① f(x)是周期函数；
② f(x)的图象关于直线x?1对称；
③ f(x)在[0,1]上是增函数；
④ f(2)?f(0).
其中正确的判断是
（把你认为正确的判断都填上）。
18.设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，
f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间[0,7]上只有f(1)?f(3)?0.
⑴ 试判断函数y?f(x)的奇偶性；
⑵ 试求方程f(x)?0在闭区间[?]上的根的个数，并证明你的结论。
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