FCKeditor使用方法(FCKeditor_2.6.3)详细使用说明第1/2页
字体：[ ] 类型：转载 时间：
要用到文本编辑器,选择了FCKeditor,下面就配置作一下说明:
环境:windowsXP myeclipse6.0GA fckeditor2.6.3 fckeditor2.3
一.下载 官方下载首页：http://www.fckeditor.net/download/,使用的是FCKeditor_2.6.3.zip 和FCKeditor-2.3版本 二.部署 本例以WebRoot作为应用根路径，部署后的目录结构如下图所示： 1、FCKeditor_2.5.1.zip解压，将fckeditor文件夹复制到/WebRoot/下 2、FCKeditor-2.3.zip解压，将commons-fileupload.jar和FCKeditor-2.3.jar复制到/WebRoot/WEB-INF/lib/下 3、修改/WebRoot/WEB-INF/web.xml文件，增加以下内容： 代码如下:&servlet& &servlet-name&Connector&/servlet-name& &servlet-class&com.fredck.FCKeditor.connector.ConnectorServlet&/servlet-class& &init-param& &param-name&baseDir&/param-name& &param-value&/UserFiles/&/param-value& &/init-param& &init-param& &param-name&debug&/param-name& &param-value&true&/param-value& &/init-param& &load-on-startup&1&/load-on-startup& &/servlet& &servlet& &servlet-name&SimpleUploader&/servlet-name& &servlet-class&com.fredck.FCKeditor.uploader.SimpleUploaderServlet&/servlet-class& &init-param& &param-name&baseDir&/param-name& &param-value&/UserFiles/&/param-value& &/init-param& &init-param& &param-name&debug&/param-name& &param-value&true&/param-value& &/init-param& &init-param& &param-name&enabled&/param-name& &param-value&true&/param-value& &/init-param& &init-param& &param-name&AllowedExtensionsFile&/param-name& &param-value&&/param-value& &/init-param& &init-param& &param-name&DeniedExtensionsFile&/param-name& &param-value&php|php3|php5|phtml|asp|aspx|ascx|jsp|cfm|cfc|pl|bat|exe|dll|reg|cgi&/param-value& &/init-param& &init-param& &param-name&AllowedExtensionsImage&/param-name& &param-value&jpg|gif|jpeg|png|bmp&/param-value& &/init-param& &init-param& &param-name&DeniedExtensionsImage&/param-name& &param-value&&/param-value& &/init-param& &init-param& &param-name&AllowedExtensionsFlash&/param-name& &param-value&swf|fla&/param-value& &/init-param& &init-param& &param-name&DeniedExtensionsFlash&/param-name& &param-value&&/param-value& &/init-param& &load-on-startup&1&/load-on-startup& &/servlet& &servlet-mapping& &servlet-name&Connector&/servlet-name& &url-pattern&/fckeditor/connector&/url-pattern& &/servlet-mapping& &servlet-mapping& &servlet-name&SimpleUploader&/servlet-name& &url-pattern&/fckeditor/simpleuploader&/url-pattern& &/servlet-mapping&
当前1/2页&1
大家感兴趣的内容
12345678910
最近更新的内容
常用在线小工具2-2~2-3对数函数+幂函数(2-2.1~2-3示范教案+备课资料+本章复习)-共享资料网
2-2~2-3对数函数+幂函数(2-2.1~2-3示范教案+备课资料+本章复习)
志鸿优化之优秀教案2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算 整体设计 教学分析 我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开 始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了 解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了 解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质 和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系 一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了 “阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特 点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用, 尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标 1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的 关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的 技能;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、 综合解决问题的能力;培养学生数学应 用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质;让学 生归纳整理本节所学的知识. 3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则 的学习,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数 运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点 教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排 3 课时 教学过程 对数与对数运算(1) 第 1 课时 对数与对数运算 导入新课 思路 1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取 4 次,还有多长？（2）取多少次,还有 0.125 尺？ 2.假设 2002 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年平均增长 8%,那么经过多少年国民生产 总值是 2002 年的 2 倍？1 4 1 ) ＝？( )x＝0.125 ? x=? 2 2 x 2.(1+8%) =2 ? x=?都是已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的抽象出：1.( 式子,已知底数和幂的值,求指数,这就是我们这节课所要学习的对数 〔引出对数的概念,教师板 书课题:对数与对数运算(1)〕. 思路 2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还 不够,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数 〔引出对数的概念,教师 板书课题:对数与对数运算(1)〕.― 178 ―志鸿优化之优秀教案推进新课 新知探究 提出问题 (对于课本 P572.1.2 的例 8) ①利用计算机作出函数 y=13×1.01x 的图象. ②从图象上看,哪一年的人口数要达到 18 亿、20 亿、30 亿…? ③如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？ 即18 20 30 =1.01x, =1.01x, =1.01x,在这几个式子中,x 分别等于多少？ 13 13 13④你能否给出一个一般性的结论? 活动： 活动：学生讨论并作图,教师适时提示、点拨. 对问题①,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点. 对问题②,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数 的某些点的坐标. 对问题③,定义一种新的运算. 对问题④,借助③,类比到一般的情形. 讨论结果： 讨论结果：①如图 2-2-1-1.图 2-2-1-1 ②在所作的图象上,取点 P,测出点 P 的坐标,移动点 P,使其纵坐标分别接近 18,20,30,观察这时 的横坐标,大约分别为 32.72,43.29,84.04,这就是说,如果保持年增长率为 1 个百分点,那么大约 经过 33 年,43 年,84 年,我国人口分别约为 18 亿,20 亿,30 亿. ③18 20 30 =1.01x, =1.01x, =1.01x,在这几个式子中,要求 x 分别等于多少,目前我们没学这种 13 13 13 18 18 运算,可以定义一种新运算,即若 =1.01x,则 x 称作以 1.01 为底的 的对数.其他的可类似得 13 13到,这种运算叫做对数运算. ④一般性的结论就是对数的定义: 一般地,如果 a(a&0,a≠1)的 x 次幂等于 N,就是 ax=N,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm), 记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 有了对数的定义,前面问题的 x 就可表示了: x=log1.0118 20 30 ,x=log1.01 ,x=log1.01 . 13 13 13a N 幂 真数1由此得到对数和指数幂之间的关系: b 指数 对数 指数式 a =N 对数式 logaN=bb底数 对数的底数例如：42=16 ? 2=log416;102=100 ? 2=log =2 ?1 =log42;10-2=0.01 ? -2=log100.01 2― 179 ―志鸿优化之优秀教案提出问题 ①为什么在对数定义中规定 a&0,a≠1? ②根据对数定义求 loga1 和 logaa(a&0,a≠1)的值. ③负数与零有没有对数? ④alog a N=N 与 logaab=b(a&0,a≠1)是否成立?讨论结果： 讨论结果：①这是因为若 a＜0,则 N 为某些值时,b 不存在,如 log（－2）1 ; 2若 a=0,N 不为 0 时,b 不存在,如 log03,N 为 0 时,b 可为任意正数,是不唯一的,即 log00 有无数个 值; 若 a=1,N 不为 1 时,b 不存在,如 log12,N 为 1 时,b 可为任意数,是不唯一的,即 log11 有无数个值. 综之,就规定了 a＞0 且 a≠1. ②loga1=0,logaa=1. 因为对任意 a&0 且 a≠1,都有 a0=1,所以 loga1=0. 同样易知：logaa=1. 即 1 的对数等于 0,底的对数等于 1. ③因为底数 a＞0 且 a≠1,由指数函数的性质可知,对任意的 b∈R,ab＞0 恒成立,即只有正数才 有对数,零和负数没有对数. ④因为 ab=N,所以 b=logaN,ab=a alog a N=N,即 a alog a N=N. =N 叫对数恒等式)因为 ab=ab,所以 logaab=b.故两个式子都成立.(a alog a N思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数 对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动： 活动：同学们阅读课本 P68 的内容,教师引导,板书. 解答： ①常用对数： 我们通常将以 10 为底的对数叫做常用对数.为了简便,N 的常用对数 log10N 解答： 简记作 lgN. 例如：log105 简记作 lg5;log103.5 简记作 lg3.5. ②自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数 e=2.718 28……为底的对数,以 e 为底的对数叫 自然对数,为了简便,N 的自然对数 logeN 简记作 lnN. 例如：loge3 简记作 ln3;loge10 简记作 ln10. 应用示例 思路 1 例 1 将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式： （1）54=625;（2）2-6=1 1 ;（3）( )m=5.73; 64 3(4)log 1 16=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303.2活动： 学生阅读题目,独立解题,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生,强调注意的问 活动： 题. 对（1）根据指数式与对数式的关系,4 在指数位置上,4 是以 5 为底 625 的对数. 对（2）根据指数式与对数式的关系,-6 在指数位置上,-6 是以 2 为底1 的对数. 64― 180 ―志鸿优化之优秀教案对（3）根据指数式与对数式的关系,m 在指数位置上,m 是以 对(4)根据指数式与对数式的关系,16 在真数位置上,16 是1 为底 5.73 的对数. 31 的-4 次幂. 2对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01 在真数位置上,0.01 是 10 的-2 次幂. 对(6)根据指数式与对数式的关系,10 在真数位置上,10 是 e 的 2.303 次幂. （1）log5625=4;（2）log2 解：1 =-6;（3）log 1 5.73=m; 64 3（4）(1 -4 ) =16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10. 2思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题? 活动： 活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的 关系,特别是位置的对照. 解答： 解答：若是指数式化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式, 则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清 N 与 b 在指数式与对数式中的位置,千万 不可大意,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据. 变式训练 课本 P64 练习 1、2. 例 2 求下列各式中 x 的值: （1）log64x= ?2 ;（2）logx8=6; 3（3）lg100=x;（4）-lne2=x. 活动： 学生独立解题,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与 活动： 对数式的关系,转化为指数式求解. （1）因为 log64x=解：6×( ? ) ? 2 1 3 ,所以 x=64 3 =(2) =2-4= . 3 16 2 2（2）因为 logx8=6,所以 x6=8=23=( 2 )6.因为 x&0,因此 x= 2 . （3）因为 lg100=x,所以 10x=100=102.因此 x=2. （4）因为-lne2=x,所以 lne2=-x,e-x=e2.因此 x=-2. 点评： 点评：本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解. 变式训练 求下列各式中的 x： ①log4x=1 3 ;②logx27= ;③log5（log10x）=1. 2 411 解：①由 log4x= ,得 x=4 2 =2; 2 3 ②由 logx27= ,得 x 4 =27,所以 x=27 3 =81; 4③由 log5（log10x）=1,得 log10x=5,即 x=105.― 181 ―3 4志鸿优化之优秀教案点评： 在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先 点评： 将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果. 思路 2 ） 例 1 以下四个命题中,属于真命题的是（ （1）若 log5x=3,则 x=15 （2）若 log25x= 若 log5x=－3,则 x=1 ,则 x=5 （3）若 logx 5 =0,则 x= 5 2（4）1 125D.（3） （4）A.（2） （3） B.（1） （3） C.（2） （4） 活动： 活动：学生观察,教师引导学生考虑对数的定义. 对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于（1）因为 log5x=3,所以 x=53=125,错误; 对于（2）因为 log25x=1 ,所以 x=25 2 =5,正确; 21对于（3）因为 logx 5 =0,所以 x0= 5 ,无解,错误; 对于（4）因为 log5x=－3,所以 x=5-3=1 ,正确. 125总之（2） （4）正确. 答案： 答案：C 点评： 点评：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据. 例2 对于 a＞0,a≠1,下列结论正确的是（ ） （1）若 M=N,则 logaM=logaN （2）若 logaM=logaN,则 M=N （3）若 logaM2=logaN2,则 M=N （4）若 M=N,则 logaM2=logaN2 A.（1） （3） B.（2） （4） C.（2） D.（1） （4） （2） 活动： 活动：学生思考,讨论,交流,回答,教师及时评价. 回想对数的有关规定. 对（1）若 M=N,当 M 为 0 或负数时 logaM≠logaN,因此错误; 对（2）根据对数的定义,若 logaM=logaN,则 M=N,正确; 对（3）若 logaM2=logaN2,则 M=±N,因此错误; 对（4）若 M=N=0 时,则 logaM2 与 logaN2 都不存在,因此错误. 综上,（2）正确. 答案： 答案：C 点评： 点评：0 和负数没有对数,一个正数的平方根有两个. 例 3 计算： (1)log927;(2)log 4 3 81;(3)log ( 2 +3 ) (2-3);(4)log 3 54625.活动： 活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,学生展示自己的解题过程,教师及时 评价学生.利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值,首先设成对数式,再转化成指数式 或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法.― 182 ―志鸿优化之优秀教案解法一：(1)设 x=log927,则 9x=27,32x=33,所以 x= (2)设 x=log 4 3 81,则( 3 ) =81,3 =34,所以 x=16;4x3 ; 2x 4(3)令 x=log ( 2 +3 ) (2-3 )=log ( 2 +3 ) (2+3 )-1,所以(2+ 3 )x=(2+ 3 )-1,x=-1;4(4)令 x=log 354625,所以( 5 )x=625,5 3 x=54,x=3.334解法二：(1)log927=log93 =log99 = (2)log 4 3 81=log 4 3 ( 4 3 )16=16; (3)log ( 2 + (4)log 33 ) (2-3 23 ; 23 )=log ( 2 +3 4 543 ) (2+3 )-1=-1;54625=log 3( 5 )3=3.点评： 点评：首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和 对数恒等式的依据. 变式训练 课本 P64 练习 3、4. 知能训练 1.把下列各题的指数式写成对数式: (1)42＝16;（2）30=1;（3）4x＝2;（4）2x＝0.5;(5)54=625;(6)3-2=1 1 ;(7)( )-2=16. 9 4解：(1)2＝log416;(2)0＝log31;(3)ｘ＝log4２;(4)ｘ＝log20.5;(5)4=log5625; (6)-2=log31 ;(7)-2=log 1 16. 9 4 1 ; 32.把下列各题的对数式写成指数式: (1)ｘ＝log527;(2)ｘ＝log87;(3)ｘ＝log43;(4)ｘ＝log7 (5)log216=4;(6)log 1 27=-3;(7)log3 3x=6;(8)logx64=-6;(9)log)log327=a. 解：(1)5x＝27;(2)8x＝７;(3)4x＝3;(4)7x＝ =x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27. 3.求下列各式中 x 的值: (1)log8x= ?1 1 ;(5)24=16;(6)( )-3=27;(7)( 3 )6 3 32 3 ;(2)logx27= ;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0. 3 4― 183 ―志鸿优化之优秀教案? ? 3×( ? ) 2 3 -2 1 解：(1)因为 log8x= ? ,所以 x=8 3 =(2 ) 3 = 2 3 =2 = ; 3 4 3 4222(2)因为 logx27=3 ,所以 x 4 =27=33,即 x=(33) 3 =34=81; 4(3)因为 log2（log5x）=1,所以 log5x=2,x=52=25; (4)因为 log3（lgx）=0,所以 lgx=1,即 x=101=10. 4.(1)求 log84 的值; (2)已知 loga2=m,loga3=n,求 a2m+n 的值.x 3x 2 解：(1)设 log84=x,根据对数的定义有 8 =4,即 2 =2 ,所以 x=2 2 ,即 log84= ; 3 3(2)因为 loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有 am=2,an=3, 所以 a2m+n=(am)2?an=(2)2?3=4×3=12. 点评： 点评：此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用. 拓展提升 请你阅读课本 75 页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于 对数的材料,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础. 课堂小结 (1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5) 对数恒等式；(6)两种特殊的对数. 作业 课本 P74 习题 2.2A 组 1、2. 【补充作业】 1.将下列指数式与对数式互化,有 x 的求出 x 的值. （1）5? 1 2=1 5;（2）log24=x;（3）3x=1 ; 27（4）(1 x ) =64;（5）lg0.000 1=x;（6）lne5=x. 4? 1 2（1）5 解：=1 5化为对数式是 log51 5=?x1 ; 2x =2,x=4; 2（2）x=log （3）3x= （4）(4 化为指数式是( 2 )x=4,即 2 2 =22, 21 1 1 化为对数式是 x=log3 ,因为 3x=( )3=3-3,所以 x=-3; 27 27 31 x 1 ) =64 化为对数式是 x=log 1 64,因为( )x=64=43,所以 x=-3; 4 4 4（5）lg0.0001=x 化为指数式是 10x=0.0001,因为 10x=0.000 1=10-4,所以 x=-4; （6）lne5=x 化为指数式是 ex=e5,因为 ex=e5,所以 x=5.― 184 ―志鸿优化之优秀教案2.计算 3log5 3+ 3log 31 5的值.1 1解：设 x=log31 1 1 ,则 3x= ,(3 2 )x=( ) 2 ,所以 x=log 5 5 5+ 3log 3 1 513.5=所以 3 3log 3 5= 5+ 3log 31 5= 5+1 56 5 . 53.计算 a 解： alog a b ?log b c ?log c N(a&0,b&0,c&0,N&0).log b c ?log c Nlog a b ?log b c ?log c N=b=clog c N=N.设计感想 本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学 生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对 数函数的基础,鉴于这种情况,安排教学时,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细,通俗 易懂,要反复练习,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别,结合指数式理解对数式,强化 对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本 堂课的任务,为下一节课作准备. (设计者：路致芳 设计者： 设计者 路致芳) 指数与指数幂的运算(2) 第 2 课时 指数与指数幂的运算 导入新课 思路 1.碳 14 测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳 14,并与氧结合成二氧化碳 后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸 收碳 14 在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳 14,其组织内的碳 14 便以约 5 730 年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳 14 的 含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数 幂的运算之分数指数幂. 思路 2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广 呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题――指数与指数幂的运算之分 数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a＞0, ① a5 10= (a ) =a =a4 232 5210 5;8② a = (a ) =a4=a 2 ; ③4 a128= 4 (a ) =a3=a3 412 4;― 185 ―志鸿优化之优秀教案④ a210= 2 (a ) =a5=a5 210 2.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？453 , 3 7 5 , 5 a 7 , n x m (x&0,m,n∈N*,且 n&1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？ 活动： 活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步 的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类 比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励 提示. 讨论结果： 讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a?a?a?…?a,a0=1(a≠0);00 无意义; a-n=1 (a≠0);am?an=am+n;(am)n=(an)m=(ab)n=anbn. an5 10 10 5 8 8 12 12 4 10 10 2(2)①a2 是 a10 的 5 次方根；②a4 是 a8 的 2 次方根；③a3 是 a12 的 4 次方根；④a5 是 a10 的 2 次 方根.实质上① a 分别写成了 =a ,② a =a 2 ,③ 4 a =a ,④ 2 a =a 结果的 a 的指数是 2,4,3,510 8 12 10 , , , ,形式上变了,本质没变. 5 2 4 5根据 4 个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以 写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）. (3)利用(2)的规律, 5 =5 , 7 =7 , a =a ,3 5 4 3 3 4 3 5 5 3 5 7 7 5nx =x .7mm nm(4)53 的四次方根是 5 4 ,75 的三次方根是 7 3 ,a7 的五次方根是 a 5 ,xm 的 n 次方根是 x n . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.m m(5)如果 a&0,那么 am 的 n 次方根可表示为 n a m=a n ,即 a n = n a m(a&0,m,n∈N*,n&1). 综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是 a = n a m(a&0,m,n∈N*,n&1). 提出问题 ①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗? ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义? ⑤分数指数幂的意义中,为什么规定 a＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果? ⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适 用于有理数指数幂呢? 活动： 活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负 整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指 数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具 体的实例说明 a＞0 的必要性,教师及时作出评价.n m― 186 ―志鸿优化之优秀教案讨论结果： 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=1 (a≠0),n∈N*. n a②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分 数指数幂的意义. 规定:正数的负分数指数幂的意义是 a? n m=1 an m=1nam(a&0,m,n∈N*,n&1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是: 正数的正分数指数幂的意义是 a = a?n mnm(a&0,m,n∈N*,n&1),正数的负分数指数幂的意义是an m=1 a1n m=1nam(a&0,m,n∈N*,n&1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有 a＞0 这个条件会怎样呢?2如(-1) 3 =3-1=-1,(-1) 6 =6(-1)2=1 具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分 数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零, 如无 a＞0 的条件,比如式子 3a =|a| ,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负 号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况 下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上. ⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数 r,s,均有下面的运算性质: （1）ar?as=ar+s(a&0,r,s∈Q), （2）(ar)s=ars(a&0,r,s∈Q), （3）(a?b)r=arbr(a&0,b&0,r∈Q). 我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 应用示例 思路 1 例 1 求值:①8 ;②252 3 ? 1 222 31 16 ? 4 ③( )-5;④( ) . 2 81 1 16 2 写成 2-1, 写成( )4,利用有理数幂的 2 81 33活动： 活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题 目要求,把底数写成幂的形式,8 写成 23,25 写成 52,运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来.2 2解：①8 3 =(23) 3 =2 ②25? 1 23×2 3=22=4; =5-1==(5 )2?1 2=51 2×( ? ) 21 ; 5③(1 -5 -1 -5 -1 ) =(2 ) =2 ×(-5)=32; 2― 187 ―志鸿优化之优秀教案16 ? 4 2 4×( ? 4 ) 2 -3 27 ④( ) =( ) =( ) = . 81 3 3 8点评： 本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算, 点评：233而不是首先转化为熟悉的根式运算,如 8 3 = 8 = 3 64 =4. 例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式. a3?a2? a 3 a (a&0). 活动： 活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算, 根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的 解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结.13232解：a3? a =a3?a 2 =a23+1 27=a 2 ;8a2? a =a2?a 3 =a3 1 3 1 2322+3 2=a 3 ;4 3 1 2 2 3a a =(a?a ) =(a ) =a .点评： 点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根 式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表 示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能 既有分母又有负指数. 例 3 计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a b )(-6a b )÷(-3a b 6 );1 2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5（2）(m 4 n?3 8 8).活动： 活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除, 最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其 运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交 流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注 意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简 化步骤. 解： （1）原式=［2×(-6)÷(-3)］a 31 2 1 1 + ? 2 6b21 1 5 + ? 3 6=4ab0=4a;（2）(m 4 n?3 8 81) =(m 4 )8(n?3 8 81) =m 4 n×83 ? ×8 8=m2n-3=m2 . n3点评： 分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式 点评： 转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练 求值: (1)3 3 ? 3 3 ? 6 3 ;― 188 ―志鸿优化之优秀教案(2) 627 m 3 4 ( ) . 125n 61 1 1 1 1 1 1+ + + 2 3 6解：(1)3 3 ? 3 3 ? 6 3 =3?3 2 ?3 3 ?3 6 =333 4 6 3 3=32=9；4 3 6 4 3 6(2) 627 m 3 m 9m 2 9 2 ? 4 27 m 4 (3 ) (m ) ( ) =( ( ) =( ( 3 6 ) = = = mn . 4 4 125n 6 125n 6 5 n 25n 4 25 3 6 6 6 (5 ) (n )4 6例 4 计算下列各式: （1）( 3 25 ? 125 )÷ 4 25 ; （2）a2 a ? 3 a2(a＞0）.活动： 先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第 （1） 活动： 小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就 简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答. （1）原式=(25 -125 )÷25 =(5 -5 )÷5 解： =52 1 ? 3 2 1 3 1 2 1 4 2 3 3 2 1 2-53 1 ? 2 2=5 -5= 6 5 -5; =1 6（2）a2 a? a3 2a2 a ?a1 2 2 3=a1 2 2? ? 2 35=a 6 = a . 思路 265例 1 比较 5 , 3 11 , 6 123 的大小. 活动： 学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指 活动： 数,才能进行比较,又因为根指数最大的是 6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的 大小就可以了. 解：因为 5 = 5 = 6 125 , 3 11 = 6 121 ,而 125＞123＞121,所以 6 125 & 6 123 & 6 121 . 所以 5 & 6 123 & 3 11 . 点评： 点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 例 2 求下列各式的值:4 263(1) 81× 9 3 ; (2)2 3 × 3 1.5 × 6 12 . 活动： 活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂 后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由― 189 ―志鸿优化之优秀教案里往外 81× 942 3= 3 × (3 ) ,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.4 4 4 3 1 2 1 4 2 3 1 4 14 3 1 4 7 64 31 2解：(1) 81× 942 3=［3 ×(3 ) ］ =(31 2 144+) =(31) =3 = 36 3 ;1 1 11+ + + + 3 (2) 2 3 × 1.5 × 12 =2×3 ×( ) 3 ×(3×22) 6 =2 3 3 ?3 2 3 6 =2×3=6. 2 3 61 1例 3 计算下列各式的值: （1） ［(a? 3 2b ) ?(ab ) (b ) ］ ;? 1 2 ? 1 22 -11 -3 21 2 71 3a +a ? （2） a ?1 1+ a(3) ( a31+ a;b 2 ) ?3 ÷ b ? 4 a ?1 .活动： 活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出, 利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底 数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式, 然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算. 解：(1)原式=(a? 3 2b)12?1 3(ab ) ?(b ) =a b? 3 2 7 11 -3 61 27 31 2?2 3a b1 6?1 2b =a7 61 1 + 2 6b2 1 7 ? ? + 3 2 6=a b =2 302 33另解：原式=(a 2 b-2a 2 b 解 =(a 23 1 + 2?b 2 ) 32b3 7 ?2? + 2 211) 3 =(a2b0) 3 =a 3 ;1+（2）原式=1a ? 1+ aa+1 a=a +1 a (a ? 1)a ?1=1 a?a +1 a (a ? 1)=1a(1 ?a +1 )= a ?12 a (a ? 1) a (1 ? a )=1 2 1?2（3）原式=（a 2 b 3 ）-3÷(b-4a-1) 2 =a?3 2b-2÷b-2a?1 2=a3 1 ? + 2 2b-2+2=a-1=1 . a例 4 已知 a＞0,对于 0≤r≤8,r∈N*,式子( a )8-r? (1 r ) 能化为关于 a 的整数指数幂的情形有几 4 a种？ 活动： 学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由 活动： 运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于 a 的指数幂的情形, 再讨论,及时评价学生的作法.― 190 ―志鸿优化之优秀教案8-r 解： ( a ) ? (1 r ) =a 4 a8? r 2??ar 4=a8? r r ? 4 4=a16 ? 3 r 4.16-3r 能被 4 整除才行,因此 r=0,4,8 时上式为关于 a 的整数指数幂. 点评： 本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂 点评： 进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式. 例 5 已知 f（x）=ex－e-x,g（x）=ex+e-x. （1）求［f（x） 2－［g（x） 2 的值； ］ ］ （2）设 f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求g ( x + y) 的值. g ( x ? y)活动： 活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果 学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难 以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求. ］ ］ ］?［f（x）－g（x） ］ 解：(1)［f（x） 2－［g（x） 2=［f（x）+g（x） x -x x -x x -x x -x x -x 0 =（e －e +e +e ） －e －e －e ）=2e （－2e ）=－4e =－4; （e ］ 另解：(1)［f（x） 2－［g（x） 2=(ex-e-x)2-(ex+e-x)2 ］ 解 2x x -x -2 2x x -x -2 =e -2e e +e x-e -2e e -e x =-4ex-x=-4e0=-4; (2)f（x）?f（y）=（ex－e-x） y－e-y）=ex+y+e-(x+y)－ex-y－e-(x-y)=g（x+y）－g（x－y）=4, （e 同理可得 g（x）g（y）=g（x+y）+g（x－y）=8, 得方程组 ??g(x + y) - g(x - y) = 4, 解得 g（x+y）=6,g（x－y）=2. ?g(x + y) + g(x - y) = 8,所以g ( x + y) 6 = =3. g ( x ? y) 2点评： 点评：将已知条件变形为关于所求量 g（x+y）与 g（x－y）的方程组,从而使问题得以解决, 这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中 重要的数学思想. 知能训练 课本 P54 练习 1、2、3. ［补充练习］ 教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表 扬鼓励. 1.(1)下列运算中,正确的是( ) 2 3 6 A.a ?a =a B.(-a2)3=(-a3)2 C.( a -1)0=0 D.(-a2)3=-a6 (2)下列各式① 4 ( ?4) ( )― 191 ―2n,② 4 ( ?4)2 n +1③ a ,④ 4 a （各式的 n∈N,a∈R）中,有意义的是545志鸿优化之优秀教案A.①② (3) ( A.a3 4B.①③C.①②③④ ) C.a3D.①③④a 6 ) 2 ? (43a 6 ) 2 等于(B.a2?2D.a4 )(4)把根式－2 3 ( a ? b)?改写成分数指数幂的形式为(? 5 2 ? 5 2A.-2(a-b)?2 5 ? 2 5B.-2(a-b)?C.-2(a2 5-b2 3)1 2 1 2 1 3 1D.-2(a5 2-b) ) D.9a5 1 （-3a b ）÷（ a 6 b 6 ）的结果是( (5)化简（a b ） 3A.6a?B.-a1 3C.-9a32.计算：(1)0.027－（－1 -2 ） +256 4 －3-1+（2－1）0=________. 71 1(2)设 5x=4,5y=2,则 52x-y=________.3.已知 x+y=12,xy=9 且 x＜y,求x2 ? y2 x +y1 2 1 2的值.答案： 答案：1.(1)D(2)B1 2 1 2 1 2(3)B (4)A (5)C 2.(1)191 2 1 2 1 21 2(2)81 23.解： 解x ?y x +y1 21 2=( x ? y )( x ? y ) ( x + y )( x ? y )1 2 1 2 1 2 1 2=x ? 2x y + y . x? y因为 x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因为 x＜y,所以 x-y=-2×33=-63.所以原式 拓展提升112 ? 6 ?6 3=?3 . 31.化简x ?1 x + x +12 3 1 3+x +1 x +11 3?x ? x3 x ?11 3.活动： 活动：学生观察式子特点,考虑 x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分 解,根据本题的特点,注意到:1 1 2 1x-1=(x 3 )3-13=(x 3 -1)?(x 3 +x 3 +1); x+1=(x ) +1 =(x +1)?(x -x +1); x-x =x ［(x ) -1］=x (x -1)(x +1).1 3 1 3 1 3 2 1 3 1 3 1 3 1 3 331 32 31 3― 192 ―志鸿优化之优秀教案构建解题思路教师适时启发提示.1 1 1 1 2 1解：x ?1 x + x +12 3 1 3+x +1 x +11 3?x ? x3 x ?11 31 3=( x 3 ) 3 ? 13 x + x +12 3 1 3+( x 3 ) 3 + 13 x +11 3 1 31 3?x3 x3 ? x3 x ?11 3=( x ? 1)( x + x + 1) x + x +12 3 1 21 32 31 3+( x + 1)( x ? x + 1) x +11 32 31 3?x ( x ? 1)( x + 1)11 3( x 3 ? 1)=x -1+x -x +1-x -x =-x . 点拨:解这类题目,要注意运用以下公式, (a -b )(a +b )=a-b,1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 21 32 31 32 31 31 3(a 2 ±b 2 )2=a±2a 2 b 2 +b,1 1 2 1 1 2(a 3 ±b 3 )(a 3 ? a 3 b 3 +b 3 )=a±b. 2.已知 a +a1 2 ? 1 2=3,探究下列各式的值的求法.3(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3)a2 ? a a ?a1 2? ?3 2 1 2.1解：(1)将 a 2 +a3 3 2?1 2=3,两边平方,得 a+a-1+2=9,即 a+a-1=7;1 1 2 3(2)将 a+a-1=7 两边平方,得 a2+a-2+2=49,即 a2+a-2=47; (3)由于 a 2 -a3 2?=(a 2 )3-(a3 2 1 2?),1 2?1所以有a ?a a ?a1 2?1 ? 2=(a ? a )(a + a + a a ) a ?a1 2 1 ? 2?1 2?1 2=a+a-1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换” 两种方法求值. 课堂小结 活动： 教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相 活动： 互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点: (1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是 a = n a m(a&0,m,n∈N*,n&1),正数 的负分数指数幂的意义是 a 负分数指数幂没有意义.― 193 ―?n mn m=1 an m=1nam(a&0,m,n∈N*,n&1),零的正分数次幂等于零,零的志鸿优化之优秀教案(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. (3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数 r、s,均有下面的运算性质: ①ar?as=ar+s(a&0,r,s∈Q), ②(ar)s=ars(a&0,r,s∈Q), ③(a?b)r=arbr(a&0,b&0,r∈Q). (4)说明两点: ①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推 出关系. ②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互 化,也可以利用(a ) = a 作业 课本 P59 习题 2.1A 组m n nn× m n=am 来计算.2、4.设计感想 本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复 理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的 理解,用观察、 归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练 习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务. (设计者：郝云静 设计者： 设计者 郝云静) 指数与指数幂的运算(3) 第 3 课时 指数与指数幂的运算 导入新课 思路 1. 同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就 推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过 程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程 中,增添的数是――实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内 容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂. 思路 2. 同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数 的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二 次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的 发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们 必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂, 因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们知道 2 =1.414 213 56…,那么 1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是 2 的什么近似值？ 而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是 2 的什么近似值？ ②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?― 194 ―志鸿优化之优秀教案2 的过剩近似值 51.5 1.42 1.415 1.22 1....52的近似值11.........52的近似值2 的不足近似值1.4 1.41 1.414 1.414 2 1.414 213 1.414 213 1.414 213 5 1.414 213 56 1.414 213 5629.518 269 694 9.672 669 973 9.735 171 039 9.738 305 174 9.738 461 907 9.738 508 928 9.738 516 765 9.738 517 705 9.738 517 736 ③你能给上述思想起个名字吗? ④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如 52,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗? ⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗? 活动： 活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解 释,可用多媒体显示辅助内容:问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于 2 的方向,另一方面从小于 2 的方向. 问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联. 问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近. 问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释. 问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般. 讨 论结果 ： ①1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于2 ,称 2 的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于 2 ,称 2 的过剩近似值.― 195 ―志鸿优化之优秀教案②第一个表:从大于 2 的方向逼近 2 时,5 的方向逼近 522就从 51.5,51.42,51.415,51.22,…,即大于 52.2第二个表:从小于 2 的方向逼近 2 时,5 的方向逼近 52就从 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于 52.2从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面 5 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…, 即 小 于 5 51.5,51.42,51.415,51.22,…,即大于 5 即逼近 52 2 2从 从2的方向接近 522,而另一方面 52的方向接近 5,可以说从两个方向无限地接近 5,,所以 52是一串有理数指数幂 51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂 51.5,51.42,51.415,51.22,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点 从两个方向向表示 52的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是 522一定是一个实数,即 51.4&51.41&51.414&51.414 2&51.414 21&…&5 充分表明 52&…&51.3&51.415&51.42&51.5.是一个实数.③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识. ④根据②③我们可以推断 52是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.⑤无理数指数幂的意义: 一般地,无理数指数幂 aα（a&0,α 是无理数）是一个确定的实数. 也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在 数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知 道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实 数指数幂. 提出问题 （1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数? （2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢? （3）你能给出实数指数幂的运算法则吗? 活动： 活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳. 对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明. 对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂 aα（a&0,α 是无理数）是一个 确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通. 对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然 就得到了. 讨论结果： （1）底数大于零的必要性,若 a=-1,那么 aα 是+1 还是-1 就无法确定了,这样就造成 讨论结果： 混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂 aα 是一个确定的实数,就不会再造成混乱.― 196 ―志鸿优化之优秀教案（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理 数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无 理数指数幂的运算法则: ①ar?as=ar+s(a&0,r,s 都是无理数). ②(ar)s=ars(a&0,r,s 都是无理数). ③(a?b)r=arbr(a&0,b&0,r 是无理数). （3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂. 实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: ①ar?as=ar+s(a&0,r,s∈R). ②(ar)s=ars(a&0,r,s∈R). ③(a?b)r=arbr(a&0,b&0,r∈R). 应用示例 思路 1 例 1 利用函数计算器计算.（精确到 0.001）3（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1 4 ;（4） 33.活动： 教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数 活动： 值,对于（1）,可先按底数 0.3,再按 对于（2）,先按底数 3.14,再按 对于(3),先按底数 3.1,再按 键,再按幂指数 2.1,最后按 键,再按 3,最后按 即可; 键,再按 3,最后按 键.有时也 ,即可求得它的值； 即可;键,再按负号键,再按 34,最后按对于 （4） ,这种无理指数幂,可先按底数 3,其次按 键,再按 可按 或 键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途. 答案： （1）0.32.1≈0.080;（2）3.14-3≈0.032; 答案： （3）3.1 ≈2.336;（4） 33 4 3≈6.705.点评： 点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现 代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后 n 位,只需看第（n+1）位能否进位即 可. 例 2 求值或化简. (1) a b?4 23ab 2 (a&0,b&0);( 4ab ?1 )1 ?3 21 ? (2)( ) 2 41(a&0,b&0);(0.1) (a b )?23(3) 5 ? 2 6 +7?4 3 ? 6?4 2 .活动： 学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子 活动：― 197 ―志鸿优化之优秀教案达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于 运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的 意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重 根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把 5,7,6 拆成 ( 3 )2+( 2 )2,22+( 3 )2,22+( 2 )2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律. 解：(1) a b?4 23 2? 4 2 2 2ab = a b (a b ) =a ba b =a1 32 31 2-21 61 3?11 6b =4 33 6b4 a 11.点评： 根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示. 点评：1 3 3 3 3 31 ? (2)( ) 2 41( 4ab ?1 ) 3 (0.1) (a b )?2 3 1 ?3 24 2 ? 4 2 2 ?2 ?2 2 4 0 0 4 = a a b b = ab= . 25 25 10 2点评： 点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一 个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数. (3)5?2 6 + 7?4 3 ? 6?4 22 2 2= ( 3 ? 2 ) + (2 ? 3 ) ? (2 ? 2 ) = 3 - 2 +2- 3 -2+ 2=0. 点评： 点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用. 例 3 已知 x=1 n ?n 2 (5 -5 ),n∈N*,求(x+ 1 + x )n 的值. 2111活动： 学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5 n 与 5 活动：?1 n具有对称性,它们的积是常数 1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时 给予提示. x2=? 1 n ?n 2 1 2 (5 -5 ) = (5 n -2?50+5 n ) 4 41 12=? 1 2 (5 n +2+5 n -4) 42? 1 = (5 n +5 n )2-1. 411这时应看到 1+x2=1+1 n ?n 2 1 n ?n 2 ( -5 ) = (5 +5 ) , 4 41111― 198 ―志鸿优化之优秀教案这样先算出 1+x2,再算出 1 + x ,带入即可.2解：将 x=? ? 1 n ?n 1 1 (5 -5 )代入 1+x2，得 1+x2=1+ (5 n -5 n )2= (5 n +5 n )n, 2 4 4 1 11 1111111所以(x+ 1 + x )n=［21 1? 1 n ?n 1 n (5 -5 )+ (5 + 5 n ) 2 ］n 2 4 1 1 1? ? 1 1 =［ (5 n -5 n )+ (5 n +5 n )］n=(5 n )n=5. 2 2点评： 点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法. 思路 2 例 1 计算:(1) 62 31 3 3 4 + 3 + 0.0625 + (5 π ) 0 ? 2 ?1 ; 4 81 11 1 ?3 (2)125 +( )-2+343 3 -( ) ; 2 27(3)(-2x y1 2 1 2 1 4 ? 1 3)(3x y )；1 4 1 41 22 3(4)(x -y )÷(x -y ). 活动： 活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识, 教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的 运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先 因式分解,并对学生作及时的评价. 解：(1) 611 3 3 4 + 3 + 0.0625 + (5 π ) 0 ? 2 ?1 4 81 125 2 27 3 1 =( ) +( ) +(0.062 5) 4 +14 8 2=(4× 5 2 1 3 3× 3 1 ) × +( ) +(0.5) 4 + 2 2 2 2 1 1=5 3 1 + +0.5+ 2 2 22 3 1 1=5;1 1 ?3 (2)125 +( )-2+343 3 -( ) 2 27=(5 ) +(2 ) +(7 ) -(3 )2 3 3-1 -21 3 3-3?1 3― 199 ―志鸿优化之优秀教案3×=52 3+21 4-2×(-1)3×+71 3-32 31 ? 3×( ? ) 3=25+4+7-3=33;?(3)(-2x y = ? 6x 41 1 + 21 3)(3x y )=(-2×3)(x x ?y1 2 ? + 3 3 31 21 41 2?1 3y )2 3?y=-6x 4 y1 34 =? 6 x 1 233y;1 4 1 4 1 4 2 1 4 1 4 2 1 4 1 4(4)(x -y )÷(x -y )=((x ) -(y ) )÷(x -y ) =(x +y )(x -y )÷(x -y ) =x +y . 点评： 点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式. 例 2 化简下列各式: (1)1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 41 2x ?2 + y ?2 x? 2 3+y-3?32 3?-3x ?2 ? y ?2 x? 2 3+y?2 3;(2)(a +a )(a -a )÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］. 活动： 学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意 活动： 分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查 x 与 x 的2232 3关系可知 x2=(x 3 )3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转 化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流. 解：(1)原式=x ?2 + y ?2 x? 2 3 ?+y2 3?2 3 ??2 3x ?2 ? y ?2 x2 ? 2 3+y??2 3 ? 2 3 ? 2 3 ? 2 3= (x =x??2 3) ?x2?2 3y+ ( y ) ? [( x ) + ( x )( y ) + ( y ) 2 ]2 ? 4 32 34 3? ( xy )?2 3+y?x?4 3? ( xy )?2 3?y?4 3= ? 2( xy )?2 3= ?23 xy(2)原式=［(a3)2-(a-3)2］÷［(a4+a-4+1)(a-a-1)］(a 2 ) 2 ? (a ?2 ) 2 (a 2 ? a ?2 )(a 4 a + ?4 +1) a 2 ? (a ?1 ) 2 = 4 = 4 = =a+a-1. ?4 ?1 ?4 ?1 ?1 (a + a + 1)(a ? a ) (a + a + 1)(a ? a ) a?a点评： 点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一 般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a =(a ) 还容易看出,对其 中夹杂的数字 m 可以化为 m?a a1 2 ? 1 2 3 2 1 2 3=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公― 200 ―志鸿优化之优秀教案式的能力. 知能训练 课本 P59 习题 2.1A 组 3. 利用投影仪投射下列补充练习:?1.化简:(1+211 32?)(1+21 16?)(1+2 B.(1-21 8?)(1+21 32 -11 4?)(1+21 2)的结果是(? 1 32)? 1 D. (1-2 32 ) 2 1? 1 A. (1-2 32 )-1 2?)C.1-2分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形. 因为(1+2? 1 32 ?)(1-21 32?)=1-2? 11 16?,所以原式的分子分母同乘以(1-2? 11 32),依次类推,所以(1 ? 2 2 )(1 + 2 2 ) 1? 2? 1 32=1 ? 2 ?1 1? 2? 1 32=? 1 (1-2 32 )-1. 21答案： 答案：A7 10 ? 3 0 -0.5 0.5 -4 2.计算(2 )0.5+0.1-2+(2 ) -3π +9 +49 ×2 . 9 27 25 2 27 3 1 3 9 1 7 ) +100+( ) -3+49 2 × = +100+ -3+ + =100. 解：原式=( 9 64 16 5 16 3 163.计算 a + 2 a ? 1 +1 2 12a ? 2 a ? 1 (a≥1).2解：原式= ( a ? 1 + 1) +( a ? 1 ? 1) 2 = a ? 1 + 1+ | a ? 1 ? 1 | (a≥1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.? 1 2 4.设 a&0,x= (a n -a n ),则(x+ 1 + x )n 的值为_______. 211分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到 解：1+x2=1+1 n ?n 2 1 n ?n 2 (a -a ) = (a +a ) . 4 421111这样先算出 1+x2,再算出 1 + x ,? ? ? 1 1 1 将 x= (a n -a n )代入 1+x2,得 1+x2=1+ (a n -a n )2= (a n +a n )2. 2 4 41 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ? 1 1 所以(x+ 1 + x ) =［ (a n -a n )+ (a n +a n )2］n 2 42n― 201 ―志鸿优化之优秀教案? ? 1 1 =［ (a n -a n )+ (a n +a n )］n=a. 2 21111答案： 答案：a 拓展提升 参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂 2 活动： 活动：教师引导学生回顾无理数指数幂 52 3的意义.的意义的过程,利用计算器计算出 3 的近似值,取3它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算 2 近思想,“逼出” 23的过剩近似值和不足近似值,利用逼的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.解：3=1.…,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.3 的过剩近似值1.8 1.74 1.733 1.06 1...23的过剩近似值3 的不足近似值1.7 1.73 1.731 1.04 1...23的不足近似值3........3........我们把用 2 作底数, 3 的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数 21.7,21.72,21.731,21.7319,…, 同样把用 2 作底数,3 的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:21.8,21.74,21.733,21.7321,…,不难看出 3 的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即 3 的近似 值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂 2α 会越来越趋近于同一个数,我们 把这个数记为 23.3即 21.7&21.73&21.731&21.7319&…& 2 也就是说 23&…&21.&21.74&21.8.是一个实数, 23=3.321 997 …也可以这样解释:3当 3 的过剩近似值从大于 3 的方向逼近 3 时, 2 当 3 的不足近似值从小于 3 的方向逼近 3 时, 2的近似值从大于 2 的近似值从小于 23的方向逼近 2 的方向逼近 23； .333― 202 ―志鸿优化之优秀教案所以 23就 是 一 串 有 理 指 数 幂 21.7,21.73,21.731,21.7319,…, 和 另 一 串 有 理 指 数 幂321.8,21.74,21.733,21.7321,…,按上述规律变化的结果,即 2≈3.321 997.课堂小结 (1)无理指数幂的意义. 一般地,无理数指数幂 aα（a&0,α 是无理数）是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算性质: 对任意的实数 r,s,均有下面的运算性质: ①ar?as=ar+s(a&0,r,s∈R). ②(ar)s=ars(a&0,r,s∈R). ③(a?b)r=arbr(a&0,b&0,r∈R). (3)逼近的思想,体会无限接近的含义. 作业 课本 P60 习题 2.1 B 组 2. 设计感想 无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂 的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本 堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的 思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力. 备课资料 ［备用习题］ 1.以下各式中成立且结果为最简根式的是( ) A.a ? 5 a3 a? a10 2 7= 10 a 42 5B. xy ( xy ) = y ? 6 x ? yC.a2 bb3 aa = 8 a 7 b15 b3D. (3 5 ? 125 ) 3 =5+125 125 ? 23 5 ? 125 答案： 答案：B 2.对于 a&0,r,s∈Q,以下运算中正确的是( A.ar?as=ars 答案： 答案：B 3.式子 B.(ar)s=ars C.()a r r s ) =a ?b bD.arbs=(ab)r+sx?2 = x ?1x?2 x ?1成立的充要条件是()A.x?2 ≥0 x ?1B.x≠1C.x&1D.x≥2分析： 分析：方法一:― 203 ―志鸿优化之优秀教案要使式子x?2 = x ?1x?2 x ?1成立,需 x-1&0,x-2≥0,即 x≥2.若 x≥2,则式子x?2 = x ?1 x?2 = x ?1x?2 x ?1成立.从而 x≥2 是式子 方法二: 对 A,式子x?2 x ?1成立的充要条件.故选 D.x?2 ≥0 连式子成立也保证不了,尤其 x-2≤0,x-1&0 时式子不成立. x ?1对 B,x-1&0 时式子不成立. 对 C,x&1 时 x - 1 无意义. 对 D 正确. 答案： 答案：D 4.化简 b - (2 b - 1) (1＜b&2). 解： b - (2 b - 1) = ( b ? 1) = b -1(1&b&2).25.计算 3 2 + 5 + 3 2 - 5 .3 3 解：令 x= 2 + 5 + 2 - 5 ,两 边 立 方 得 x3=2+ x3=4-3x,x3-3x+4=0. ∴(x-1)(x2+x+4)=0. ∵x2+x+4=(x+5 +2? 5 +332+ 5 ?3 2- 5 ? (32 + 5 + 3 2 - 5 ), 即1 2 15 )+ &0, 2 4∴x-1=0,即 x=1. ∴ 3 2 + 5 + 3 2 - 5 =1. (设计者：郑芳鸣) 设计者：郑芳鸣 设计者 2.3 幂函数 整体设计 教学分析 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又 一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函 数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后, 尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重― 204 ―志鸿优化之优秀教案要的函数模型,通过研究 y＝x,y＝x ,y＝x ,y＝x ,y＝x 等函数的性质和图象,让学生认识到 幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性： 当幂指数 α＞0 时,幂函数的图象都经过点 （0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数 α＜0 时,幂函数的图象都经过点 （1,1） ,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到 一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学 习了 y=x,y=x2,y=x-1 等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现 在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概 念、性质和图象,研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路 和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的, 另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径. 学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两 类不同函数的表达式进行辨析. 三维目标 1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化 情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能 力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣. 2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较, 使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别, 使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望. 3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研 究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去 分析和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1 1.如果张红购买了每千克 1 元的水果 w 千克,那么她需要付的钱数 p （元） 和购买的水果量 w （千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里 p 是 w 的函数. 2.如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 S=a2,这里 S 是 a 的函数. 3.如果正方体的边长为 a,那么正方体的体积 V=a3,这里 V 是 a 的函数.123-11 24.如果正方形场地面积为 S,那么正方形的边长 a=S 2 ,这里 a 是 S 的函数. 5.如果某人 t s 内骑车行进了 1 km,那么他骑车的速度 v=t-1km/s,这里 v 是 t 的函数. 以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点 吗？(右边指数式,且底数都是变量). （适当引导：从自变量所处的位置这个角度） （引入新课,书写课题:幂函数）. 思路 2.我们前面学习了三类具体的初等函数:二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们 再学习一种新的函数――幂函数,教师板书课题:幂函数.― 205 ―志鸿优化之优秀教案推进新课 新知探究 提出问题1问题①:给出下列函数:y=x,y=x 2 ,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指 数函数？ 问题②:根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一 般性的结论. 问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢? 问题④:画出 y=x,y=x ,y=x2,y=x-1,y=x3 五个函数图象,完成下列表格. 函数 性质 y=x y=x2 y=x3 y=x1 2 1 2y=x-1定义域 值域 奇偶性 单调性 特殊点 图象分布 问题⑤:通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有 幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断？ 问题⑥:通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗? 活动： 活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和 基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方 法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发 学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示. 讨论结果： 讨论结果： ①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位 置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数. ②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类 型的函数为幂函数,如果我们用字母 α 来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定 义: 一般地,形如 y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数.1如 y=x2,y=x 2 ,y=x3 等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. ③我们研究指对数函数时,根据图象研究函数的性质,由具体到一般;一般要考虑函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象,从图象的变化情况来看函数的定义域、 值域、单调性、奇偶性等性质,研究幂函数的性质也应如此. ④学生用描点法,也可应用函数的性质,如奇偶性、定义域等,画出函数图象.利用描点法,在同 一坐标系中画出函数 y=x,y=x ,y=x2,y=x3,y=x-1 的图象. 列表: x y=x … … -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3 … …1 2― 206 ―志鸿优化之优秀教案y=x1 2… … … … 9 -27 4 -8 1 -1 -10 0 01 1 1 11.41 4 81.73 9 27… … … …y=x2 y=x3y=x-1?1 31 21 21 3描点、连线.画出以上五个函数的图象如图 2-3-1.图 2-3-1 让学生通过观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,教师注意引导学生用 类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质. 通过观察图象,完成表格. 函数 性质 定义域 值域 奇偶性 单调性 特殊点 图象分布 y=x R R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1) 第Ⅰ、 Ⅲ象限 y=x2 R {y|y≥0} 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1) 第Ⅰ、 Ⅱ象限 y=x3 R R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1) 第Ⅰ、 Ⅲ象限1y=x 2 {x|x≥0} {y|y≥0} 非奇非偶 在第Ⅰ象限 单调递增 (1,1) 第Ⅰ象限y=x-1 {x|x≠0} {y|y≠0} 奇 在第Ⅰ象限 单调递减 (1,1) 第Ⅰ、 Ⅲ象限⑤第一象限一定有幂函数的图象； 第四象限一定没有幂函数的图象； 而第二、 三象限可能有, 也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断. ⑥幂函数 y=xα 的性质. （1）所有的幂函数在（0,+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1） （原因：1x=1） ； （2）当 α＞0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在\[0,+∞)上是增函数（从左往右看,函数图象 逐渐上升）. 特别地,当 α＞1 时,x∈（0,1）,y=x2 的图象都在 y=x 图象的下方,形状向下凸,α 越大,下凸的程 度越大. 当 0＜α＜1 时,x∈（0,1）,y=x2 的图象都在 y=x 的图象上方,形状向上凸,α 越小,上凸的程度越 大. （3）当 α＜0 时,幂函数的图象在区间（0,+∞）上是减函数. 在第一象限内,当 x 向原点靠近时,图象在 y 轴的右方无限逼近 y 轴正半轴,当 x 慢慢地变大时, 图象在 x 轴上方并无限逼近 x 轴的正半轴. 应用示例― 207 ―志鸿优化之优秀教案思路 1 例 1 判断下列函数哪些是幂函数. ①y=0.2 ;②y=x-3;③y=④y=x . 活动： 活动：学生独立思考,讨论回答,教师巡视引导,及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别, 形如 y=xα（x∈R）的函数称为幂函数,变量 x 的系数为 1,指数 α 是一个常数,严格按这个标准 来判断. x 解：①y=0.2 的底数是 0.2,因此不是幂函数; ②y=x-3 的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数; ③y=x-2 的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数; ④y=x 的底数是变量,指数是常数,因此是幂函数. 点评： 点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断. 变式训练 判别下列函数中有几个幂函数？1 2 1 5x -21 5①y=x 3 ;②y=2x2;③y=x 3 ;④y=x2+x;⑤y=-x3. ①③的底数是变量,指数是常数,因此①③是幂函数;②的变量 x2 的系数为 2,因此不是幂函 解： 数; ④的变量是和的形式,因此也不是幂函数; ⑤的变量 x3 的系数为-1,因此不是幂函数. 例 2 求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性. （1）y=x ,（2）y=x2 3 ? 3 2,（3）y=x-2.活动： 活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求 一个函数的定义域的方法,判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法, 一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时,可以从以下几个方面来考虑:列出相应不等 式或不等式组,解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域. （ 要使函数 y=x 有意义,只需 y= x 有意义,即 x∈R.所以函数 y=x 的定义域是 x∈R. 解：1） 又 f(-x)=f(x),所以函数 y=x 是偶函数,它在(-∞,0］上是减函数,在［0,+∞)上是增函数. （2）要使函数 y=x3 2? 2 3322 32 33 2有意义,只需 y=12x3有意义,即 x∈R ,所以函数 y=x3 2+?3 2的定义域是 R+,由于函数 y=x 是减函数.?的定义域不关于原点对称,所以函数 y=x?是非奇非偶的函数,它在(0,+∞)上（3）要使函数 y=x-2 有意义,只需 y=1 有意义,即 x≠0,所以函数 y=x-2 的定义域是 x≠0,又 2 xf(-x)=f(x),所以函数 y=x-2 是偶函数,它在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数. 点评： 点评：在函数解析式中含有分数指数时,可以把它们的解析式化成根式,根据“偶次根号下非 负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时,根据负指数幂的意 义将其转化为分式形式,根据分式的分母不能为 0 这一限制条件来求出对应函数的定义域,求― 208 ―志鸿优化之优秀教案函数的定义域的本质是解不等式或不等式组. 例 3 证明幂函数 f(x)= x 在［0,+∞)上是增函数. 活动： 活动：学生先思考或讨论,再回答,教师根据实际,可以提示引导. 证明函数的单调性一般用定义法,有时利用复合函数的单调性. 证明：任取 x1,x2∈［0,+∞),且 x1＜x2,则 f(x1)-f(x2)= x 1 - x 2 =( x1 ? x 2 )( x1 + x 2 ) x1 + x 2x1 ? x 2 x1 + x 2＜0.=x1 ? x 2 x1 + x 2,因为 x1-x2＜0,x1+x2＞0,所以所以 f(x1)&f(x2),即 f(x)= x 在［0,+∞)上是增函数. 点评： 点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写,利用作商的方法比较大小,f(x1)与 f(x2)的 符号要一致. 思路 22 例 1 函数 y＝（x -2x）?1 2的定义域是() B.（-∞,0）∪（2,＋∞） D.（0,2）A.{x|x≠0 或 x≠2} C.（-∞,0］∪［2,＋∞) 分析：函数 y＝（x2-2x）? 1 2化为 y=1 x ? 2x2,要使函数有意义需 x2-2x＞0,即 x＞2 或 x＜0,所以函数的定义域为{x|x＞2 或 x＜0}. 答案： 答案：B 变式训练1函数 y＝（1-x2） 2 的值域是()A.［0,＋∞) B.（0,1］ C.（0,1） D.［0,1］ 活动： 活动：学生独立解题,先思考,然后上黑板板演,教师巡视指导. 函数的值域要根据函数的定义域来求. 函数可化为根式形式,偶次方根号的被开方数大于零,转化为等式或不等式来解,可得定义域, 这是复合函数求值域问题,利用换元法. 分析：令 t＝1-x2,则 y＝ t , 因为函数的定义域是{x|-1≤x≤1},所以 0≤t≤1.所以 0≤y≤1. 答案： 答案：D 点评： 点评：注意换元法在解题中的应用. 例 2 比较下列各组数的大小： （1）1.10.1,1.20.1;（2）0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2. 活动： 活动：学生先思考或回忆,然后讨论交流,教师适时提示点拨. 比较数的大小,常借助于函数的单调性. 对（1） （2）可直接利用幂函数的单调性.― 209 ―志鸿优化之优秀教案对(3)只利用幂函数的单调性是不够的,还要利用指数函数的单调性,事实上,这里 0.30.3 可作为 中间量. （1）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数 y=x0.1 的单调性,在 解： 第一象限内函数单调递增,又因为 1.1＜1.2,所以 1.10.1&1.20.1. （2）由于要比较的数的指数相同,所以利用幂函数的单调性,考察函数 y=x-0.2 的单调性,在第 一象限内函数单调递减,又因为 0.24＜0.25,所以 0.24-0.2&0.25-0.2. (3)首先比较指数相同的两个数的大小,考察函数 y=x0.3 的单调性,在第一象限内函数单调递增, 又因为 0.2＜0.3,所以 0.20.3&0.30.3. 再比较同底数的两个数的大小,考察函数 y=0.3x 的单调性,它在定义域内函数单调递减,又因 为 0.2＜0.3,所以 0.30.3&0.30.2. 所以 0.20.3&0.30.3&0.30.2. 另外,本题还有图象法,计算结果等方法,留作同学们自己完成. 点评： 指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性； 底数相同的幂的大小比较可以利 点评： 用指数函数的单调性. 知能训练 1.下列函数中,是幂函数的是( ) A.y=2x B.y=2x3 C.y=1 xD.y=2x2.下列结论正确的是( ) A.幂函数的图象一定过原点 C.当 α&0 时,幂函数 y=xα 是增函数 3.下列函数中,在(-∞,0)是增函数的是( A.y=x3 B.y=x2B.当 α&0 时,幂函数 y=xα 是减函数 D.函数 y=x2 既是二次函数,也是幂函数 ) C.y=1 x3D.y=x 24.已知某幂函数的图象经过点(2, 2 ),则这个函数的解析式为.1答案： 答案：1.C 2.D 3.A 4.y=x 2 拓展提升 分别在同一坐标系中作出下列函数的图象,通过图象说明它们之间的关系. ①y＝x ,y＝x ,y=x-3;②y＝x1-1 -2?1 2 1?,y＝x1 3;③y=x,y=x2,y=x3;④y=x 2 ,y＝x 3 . 活动： 活动：学生思考或交流,探讨作图的方法,教师及时提示,必要时,利用几何画板演示. 解：利用描点法,在同一坐标系中画出上述四组函数的图象如图 2-3-2、图 2-3-3，图 2-3-4、 图 2-3-5.― 210 ―志鸿优化之优秀教案图 2-3-2图 2-3-3图 2-3-4图 2-3-5①观察图 2-3-2 得到: 函数 y＝x-1、y＝x-2、y=x-3 的图象都过点(1,1),且在第一象限随 x 的增大而下降,函数在区间 (0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近 x 轴,向上无限接近 y 轴,指数越小,向右无限接近 x 轴 的图象在下方,向上离 y 轴越远. ②观察图 2-3-3 得到: 函数 y＝x? 1 2、y＝x?1 3的图象都过点(1,1),且在第一象限随 x 的增大而下降,函数在区间(0,+∞)上是单调减函数,且向右无限接近 x 轴,向上无限接近 y 轴,指数越小,向右无限接近 x 轴的图象 在下方,向上离 y 轴越远. ③观察图 2-3-4 得到: 函数 y=x、y=x2、y=x3 的图象过点(1,1)、(0,0),且在第一象限随 x 的增大而上升,函数在区间 ［0,+∞)上是单调增函数,指数越大图象下凸越大,在第一象限来看,图象向上离 y 轴近,向下离 y 轴近. ④观察图 2-3-5 得到: 函数 y=x 、 y＝x 的图象过点(1,1)、 (0,0),且在第一象限随 x 的增大而上升,函数在区间 ［0,+∞) 上是单调增函数,指数越大图象上凸越大,在第一象限来看,图象在点(1,1)的左边离 y 轴近,在 点(1,1)的右边离 x 轴近. 根据上述规律可以判断函数图象的分布情况. 课堂小结 1.幂函数的概念. 2.幂函数的性质. 3.幂函数的性质的应用. 作业 课本 P87 习题 2.3 1、2、3. 设计感想 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又― 211 ―1 2 1 3志鸿优化之优秀教案一类基本的初等函数,课本内容较少,但高考内容不少,应适当引申,所以设计了一些课本上没 有的题目类型,以扩展同学们的视野,同时由于作图的内容较多,建议抓住关键点作图,要会熟 练地运用计算机或计算器作图,强化对知识的理解. 习题详解 (课本第 79 页习题 2.3) 1.函数 y=1 是幂函数. x22.解析:设幂函数的解析式为 f（x）=xα, 因为点（2, 2 ）在图象上,所以 2 =2α.1 所以 α= ,即幂函数的解析式为 f（x）=x 2 ,x≥0. 23.（1）因为流量速率 v 与管道半径 r 的四次方成正比,所以 v=k?r4； （2）把 r=3,v=400 代入 v=k?r4 中,得 k= （3）把 r=5 代入 v= 3 086 cm3/s. 备课资料 历史上数学计算方面的三大发明 你知道数学计算方面的三大发明吗?这就是阿拉伯数字、十进制和对数. 研究自然数遇到的第一个问题是计数法和进位制的问题,我们采用的十进制是中国人的一大 发明.在商代中期的甲骨文中已有十进制,其中最大的数是 3 万,印度最早到六世纪末才有十进 制.但是,目前使用的计数法和阿拉伯数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 是印度人最早开始使用,后来传到 阿拉伯,由阿拉伯人传到欧洲,并被欧洲人所接受. 十进制位置计数法的诞生,是自然数发展史上的一次飞跃,同一个数字由于它所在的位置不同 而有不同的值.无穷多个自然数可以用有限个符号来驾驭,所有的自然数都可以方便清楚地表 示出来. 16 世纪前半叶,由于实际的需要,对计算技术的改进提出了前所未有的要求.这一时期计算技 术最大的改进是对数的发明和应用,它的产生主要是由于天文和航海计算的迫切需要.为了简 化天文航海方面所遇到的繁杂数值计算,自然希望将乘除法归结为简单的加减法.苏格兰数学 家纳皮尔(Napier,J.)在球面天文学的三角学研究中,首先发明了对数方法.1614 年他 在题为《奇妙的对数定理说明书》一书中,阐述了他的对数方法,对数的使用价值为纳皮尔的 朋友――英国数学家布里格斯(Birggs,H.)所认识,他与纳皮尔合作,并于 1624 年出 版了《对数算术》一书,公布了以 10 为底的 14 位对数表,并称以 10 为底的对数为常用对数. 常用对数曾经在简化计算上为人们做过重大贡献,而自然对数以及以 e 为底的指数函数成了 研究科学、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把对数的发明与解析几何的创始,微积分学 的建立并称为 17 世纪数学的三大成就.法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说:“对数的 发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命.” 一直到 18 世纪,瑞士数学家欧拉(Euler,L.)才发现了指数与对数的关系,他指出“对 数源出于指数”,这个见解很快被人们所接受. (设计者：邓新国 设计者： 设计者 邓新国)― 212 ―1400 400 400 4 ＝ ,即 v= r； 4 81 81 3400 4 400 4 r ,得 v= ×5 ≈3 086（cm3/s）,即 r=5 cm 时,该气体的流量速率为 81 81志鸿优化之优秀教案本章复习 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的重要的数学模型,面对纷繁复杂的变化现象,我们还可以根据 变化现象懂得不同特征进行分类研究.而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观世界的 变化规律的三类重要且常用的基本初等函数,本章学习了这三类基本初等函数的概念和性质, 因此我们对这一些基本知识和三类基本初等函数学完的前提下,综合复习所学知识,进行知识 梳理和整合,同时通过进行知识梳理和整合,使学生形成知识网络,强化数学思想和方法的运 用,通过复合函数和抽象函数的复习,提高学生的综合能力. 三维目标 1.理解指数与对数,指数函数与对数函数及幂函数的概念和联系,通过提问,提高学生的认知水 平,为学生塑造良好的数学认知结构. 2.让学生熟悉,能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关的问题,培养学生数形 结合的思想观念及抽象思维能力. 3.对复合函数,抽象函数有一个新的认识,培养学生分析、解决问题和交流以及分类讨论的能 力. 重点难点 重点难点 教学重点：指数函数、对数函数及幂函数的图象和性质. 教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题. 课时安排 1 课时 教学过程 应用示例 思路 1 例 1 计算: (1)［(3? ? 3 ? 3 4 0.5 ) (5 ) +(0.008) 3 ÷(0.02) 2 ×(0.32) 2 ］÷0.062 50.25; 8 9 2 2 1 1（2）lg 5 ? lg 8000 + (lg 2 3 ) 2 . 1 1 lg 600 ? 0.036 ? lg 0.1 2 2活动： 活动：学生观察、思考,学生观察式子的特点,特别是指数和真数的特点,教师引导学生考虑题 目的思路,对有困难的学生及时提示,组织学生讨论交流,并对学生作及时的评价. 解：(1)原式=［((? ) 3 3 2 7 2 1 4 7 ) ×( ? )?( )2×0.5+(0.2)3×( ? )÷(0.2) 2 ］÷(0.5)4× =［ × +52÷ 5 ］ 2 3 3 3 4 9 3 1÷0.5=56 56 + 270 5 +10 5 = . 27 27lg 5 ? lg 8000 + (lg 2 3 ) 2 lg 5 ? lg(2 3 × 10 3 ) + ( 3 lg 2) 2 （2） = 1 1 1 1 lg 6000 ? lg 0.036 ? lg 0.1 lg(2 × 3 × 10 2 ) ? lg(0.6) 2 ? lg 10 ?1 2 2 2 2― 213 ―志鸿优化之优秀教案3 lg 5 ? lg 2 + 2 lg 5 + 3(lg 2) 2 3[lg 5 + lg 2(lg 5 + lg 2)] 6 = = = . 1 5 7 lg 2 + lg 3 + 2 ? lg 0.6 + lg 6 ? lg 0.6 + 2 2点评： 点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式,注意立方和立方差公式在分 数指数幂当中的应用. 变式训练 如果已知 log5427＝a,54b＝3,如何用 a、b 表示 log10881? b 解法一： 解法一：由 54 ＝3 得 log543＝b. 所以 log10881＝log 54 81 log 54 27 + log 54 3 a+b a+b ＝ = = . log 54 108 log 54 2 + 1 2 ? log 54 27 2 ? a解法二： 解法二：由 log5427=a,得 54a=27,设 x=log10881,则 108x=81, 所以(542×27-1)x=3×27,即(542×54-a)x=54b×54a. 所以 542x-ax=54a+b,即 2x-ax=a+b. 因此,得 x=a+b . 2?a点评： 点评：解法一是通过指数化成对数,再由对数的运算性质和换底公式计算结果;解法二是通过 对数化成指数,再由指数的运算性质计算出结果,但解法二运算的技巧性较大.? 1 2 例 2 已知 a＞0,a≠1,x= (a n + a n ) ,求(x+ x - 1 )n 的值. 21 1活动： 活动：学生思考,观察题目的特点,教师引导学生考虑问题的思路,从整体上看,应先化简,然后1再求值,要有预见性,a n 与 a 给予提示.?1 n具有对称性,它们的积是常数 1,为我们解题提供了思路,必要时? ? ? ? 1 1 1 1 x -1= (a n +a n )2-1= (a n +2?a0+a n )-1= (a n -2?a0+a n )= (a n -a n )2. 4 4 4 4211222211? ? 1 n 1 这时应看到 x - 1 = (a ? a n ) 2 = |a n -a n |. 4 221111解：将 x=? ? 1 n ?n 1 1 (a +a )代入 x2-1,得 x2-1= (a n +a n )2-1= (a n -a n )2. 2 4 4 1 1 1 1111111所以 x - 1 =2? ? 1 n 1 (a ? a n ) 2 = |a n -a n |, 4 2? 1 1 1 1 1 1 n ?n 1 n ? n ?a n , a & 1, 2 x+ x - 1 = (a +a )+ |a -a |= ? 1 2 2 ? a ? n ,0 & a & 1 . ?― 214 ―志鸿优化之优秀教案?a, a & 1, ? 所以(x+ x - 1 ) = ? 1 ? a ,0 & a & 1 . ?2n点评： 点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法. 例 3 若函数 f(x)的定义域是(1 ,3］,求 f(log3x)的定义域. 2活动： 活动：学生思考,小组讨论,教师引导,学生展示思维过程,教师评价.根据你的学习经历,回顾求 一个函数的定义域的方法.已知抽象函数 f(x)的定义域,求抽象函数 f［g(x)］的定义域,要借助 于 f(x)的定义域来求,由于函数 f(x)的定义域是( (1 ,3］,所以 f(log3x)中的 log3x 的范围就是 21 ,3］,从中解出 x,即为 f(log3x)的定义域. 2 1 1 解：因为函数 f(x)的定义域为( ,3］,所以 f(log3x)中的 log3x 的范围就是( ,3］, 2 2即 0.5＜log3x≤3,即 3 ＜x≤9. 因此函数 f(log3x)定义域为(3,9］. 点评： 点评：求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围,对复合函数的定义 域要严格注意对应法则. 变式训练 1.求函数 y=1 5x 1? x的定义域.?12.求函数 f(x)= ( ) ? 1 的定义域.x1 9答案： 答案：1.{x|x≠0 且 x≠1}.2.{x|x≤0}. 思路 21? 2x 的定义域、值域和单调区间. 例 1 求函数 y= 4x活动： 学生观察,思考交流,独立解题,教师要求学生展示自己的思维过程.求函数的定义域就是 活动： 求使函数解析式有意义的自变量的取值范围;函数的值域要根据定义域来求;求函数的单调 区间一般用定义法,有时也借助复合函数的单调性.由于自变量处在指数位置上,分母是一个 指数式,因此自变量取值无限制;值域转化为二次函数,单调区间用复合函数的单调性确定. 解：函数 y=1? 2x 的定义域是全体实数, 4x1? 2x 1 2 1 1 1 1 1 1 因为 y= = ( x ) ? x =［( )x ? ］2 ? ≥ ? ,所以函数的值域为［ ? ,+∞). x 2 2 4 4 4 4 2 2设 u=(1 x ) ,则它在(-∞,+∞)上单调递减, 2― 215 ―志鸿优化之优秀教案而二次函数 y=(u ?1 2 1 1 1 ) ? 在 u≤ 时是减函数,在 u≥ 时是增函数, 2 4 2 2 1 x 1 1 x 1 令( ) ≤ ,则 x≥1,令( ) ≥ ,则 x≤1, 2 2 2 2所以函数 y=1? 2x 在［1,+∞)上是增函数,在(-∞,1］上是减函数. 4x 1 1 + ). 2 ?1 2x点评： 点评：这里求函数值域的方法是配方法,求单调区间是用复合函数的单调性确定的. 例 2 已知函数 f(x)=x((1)指出函数的奇偶性,并予以证明； (2)求证：对任何 x(x∈R 且 x≠0),都有 f(x)＞0. 解：(1)因为 f(x)的定义域是不为 0 的实数,关于原点对称, 又 f(-x)=-x(1 2?x1 2x 1 2x 1 1 1 ? )=x( x )=x( x -1+ )=x( x + )=f(x),所以 f(x)是偶 2 ?1 2 2 ?1 2 2 ?1 2 ?1 2+函数. (2)当 x＞0 时,2x＞1,所以 f(x)＞0. 当 x＜0 时,由 f(x)为偶函数,有 f(x)=f(-x)＞0. 所以对一切 x∈R,x≠0,恒有 f(x)＞0. 点评： 利用函数的奇偶性常可使解法简化,如本题,当 x＜0 时,证明 f(x)＞0 较繁,若注意到 f(x) 点评： 为偶函数,则只需证明当 x＞0 时,f(x)＞0,而这是显然的. 知能训练 课本 P82 复习参考题 A 组 1、3、4、6、8、10. 拓展提升 问题：已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,过 A 作 x 轴的垂线,垂足为 E,过点 B 作 y 轴的垂线,交 EA 于 C,若 C 恰好在函数 y=log2x 的图象上,试求 A、B、C 三点的坐标. 活动： 活动：学生先仔细审题,理解题目的含义,然后思考交流,教师适当时候提示指导. 画出函数的图象,设出点的坐标,由图形间的关系建立方程求解. 解：先画出函数的图象如图.图 2-1 设 A(x1,log8x1)、B(x2,log8x2), 则 C(x1,log8x2).因为 C 在函数 y=log2x 的图象上, 所以 log8x2=log2x1,即 所以 x2=x13.1 log2x2=log2x1. 3― 216 ―志鸿优化之优秀教案又x1 OE OF x2 = ,即 = , EA FB log 8 x1 log 8 x2所以 x1log8x13=x13log8x1. 所以 3x1log8x1=x13log8x1.由 x1&1,所以 log8x1≠1. 从而有 3x1=x13.所以 x1= 3 ,x2=3 3 . 所以 A、B、C 三点的坐标分别为 A( 3 ,log83)、B(3 3 ,log83 3 )、C( 3 ,log2 3 ). 课后作业 课本 P82 复习参考题 A 组 2、5、7、9. 设计感想 本堂课是对过去学过的一章知识进行复习,目的是构建知识体系,形成知识网络,总结解题的 方法规律和思想,以便综合运用这些知识,使学生能够见题想法,见题有法,能够做到一题多解, 触类旁通,由于涉及的知识点和方法思想较多,所以设计的题目也较多,要注意解题方法的总 结和提炼,希望加快处理速度,提高课堂复习效果,做到以不变应万变,使全体同学在知识和技 能上都有较大的提高. 习题详解 (课本第 82 页复习参考题) A组 1.（1）11； （2）7 1 9 ； （3） ； （4） . 8 1000 251 2 2 1 2 1 2 22.（1）原式=(a ? b ) + (a + b ) (a + b )(a ? b )?1 21 2 1 2 1 2 1 21 2=a ? 2 a b + b + a + 2 a b + b 2( a + b ) = ; a?b a?b1 21 21 21 21 2 (a ? a ) a = a ?1 . （2）原式= = 1 a2 +1 (a + a ?1 )(a ? a ?1 ) a+ a a?10 lg 5 2 = 1 ? lg 2 , = 3.（1）因为 lg2=a,lg3=b,log125= 2 lg 12 lg 2 ? 3 2 lg 2 + lg 3 lg所以 log125= （1? a . 2a + b2 ） 因 为log 7 2 3 × 7 3 log 7 2 + 1 3(log 3 2 ÷ log 3 7) + 1 log23=a,log37=b,log1456= = = = log 7 2 × 7 1 + log 7 2 1 + log 3 2 ÷ log 3 71 3( ÷ b) + 1 a = 1 1+ ÷ b aab + 3 . ab + 1― 217 ―志鸿优化之优秀教案4.（1） （-∞, 5.（1 1 ）∪（ ,+∞）;（2） ［0,+∞）. 2 22 ,1）∪（1,+∞）;（2） （-∞,2）;（3） （-∞,1）∪（1,+∞）. 36.（1）因为 log67&log66=1,所以 log67&1. 又因为 log76&log77=1,所以 log76&1.所以 log67&log76. （2）因为 log3π&log33=1,所以 log3π&1.又因为 log20.8&0,所以 log3π&log20.8. 7.证明： （1）因为 f（x）=3x,所以 f（x）?f（y）=3x×3y=3x+y. 又因为 f（x+y）=3x+y,所以 f（x）?f（y）=f（x+y）. （2）因为 f（x）=3x,所以 f（x）÷f（y）=3x÷3y=3x-y. 又因为 f（x-y）=3x-y,所以 f（x）÷f（y）=f（x-y）. 8.证明:因为 f（x）=lg1? x ,a、b∈（-1,1）, 1+ x 1? a 1? b (1 ? a )(1 ? b) + lg =lg , 1+ a 1+ b (1 + a )(1 + b)所以 f（a）+f（b）=lga+b a+b 1 + ab ） f（ ）=lg（ a+b 1 + ab 1+ 1 + ab 1 + ab ? a ? b =lg 1 + ab + a + b 1?=lg(1 ? a )(1 ? b) . (1 + a )(1 + b) a+b ）. 1 + ab所以 f（a）+f（b）=f（9.（1）设保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式为 y=k?ax（a&0,且 a≠1）. 因为点（0,19