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中国古代科学成就有哪些用到了数学的极限思想?如上
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1.算圆周率 pi2.计算圆的面积极限概念发展的几个历史阶段 王晓硕 (辽宁师范大学数学系,大连,116029) 极限概念是分析数学中最基本的概念之一,用以描述变量在一定变化过程中的终极状态.极限 理论是微积分学的基础,它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点.从古至今,人们对于极限概念的认识经历了一段漫长的过程.从最初时期朴素、直观的极限观经过了2000 多 年的发展,演变成为近代严格的极限理论,在现代数学中,人们又引进了更广泛和更一般的极限概 念.这其中的思想演变是渐进的、相互推动的.本文针对极限概念在不同时期的特点给予粗略的概 述.一、朴素的、直观的极限观 ( 这种极限观在我国古代的文献中就有记载,最著名的是《庄子·天下篇》中记载的惠施 约前 ) [ 4 ] 370——约前 310 的一段话:“一尺之锤,日取其半,万世不竭.” 公元 3 世纪,中国数学家刘徽 ( ) 263 年左右 成功地把极限思想应用于实践,其中最典型的方法就是在计算圆的面积时建立的“割 圆术”.由于刘徽所采用的圆的半径为1,这样圆的面积在数值上即等于圆周率,所以说刘微成功地 创立了科学的求圆周率的方法.刘徽采用的具体做法是:在半径为一尺的圆内,作圆的内接正六边 5 ( ) 形,然后逐渐倍增边数,依次算出内接正6 边形、正 12 边形、…、直至 6 ×2 192 边形的面积.他利 r ·ln ( ) 用公式 2n = · n 为内接正 边形的边长,2n 为内接2 边形的面积 来求正多边形的面积.S n l n S n 2 刘徽认为,割得越细,圆内接正多边形与圆面积之差越小,即“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至 于不可割,则与圆和体,而无所失矣”.这就是割圆术所反映的朴素的极限思想.刘徽的极限观念与古希腊的安蒂丰不谋而合.智人学派的安蒂丰( ,约前480——约 A n tiphon 前410) 在讨论化圆为方的问题时想到用边数不断增加的内接正多边形来接近圆面积,而内接正多 边形与圆周之间存在的空隙当多边形的边数不断加倍时被逐渐“穷竭”.后来,希腊数学家欧多克索 斯(Eudoxu s 约前400——约前 347) 建立了下列原理:“对于两个不相等的量,若从较大量中减去大 于其半的量,再从所余量中减去大于其半的量.继续重复这个步骤,则必有某个余量小于原来较小 [ 1 ] 的量.” 这就是近代分析中的阿基米德公理“∏ > 0,> 0,∈ ,使 > ”的原形.著名希腊数 a b n N na b 学家阿基米德( ,约前287——约前 212) 把上述方法成功地应用于许多面积和体积的计 A rch im ede 算.例如,在《方法》一书中,他证明了“抛物线弓形面积是同底等高三角形的三分之四”的结果.阿 ( ) 基米德是根据力学原理去发现问题,然后用欧多克索斯的原理和反证法 双重归谬法 来证明有关 结论的.从阿基米德的工作中,可以看到近代积分学中微元法基本思想的雏形,但是还没有求极限 的观念.尽管如此,阿基米德所创造的极富启发性的方法,获得了大量的辉煌成果,为后人开辟了广 阔的领域.由安蒂丰提出,欧多克索斯完善的方法经阿基米德的工作发展到一个高峰.他们的工作到 17 世纪被重新研究,欧多克索斯原理被称为“穷竭法”.穷竭法所蕴涵的思想就是近代极限概念的雏
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最近快被这个整疯了，，那种演示实验用了什么方法。。。
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比如割圆术算什么？速度积分求面积算什么？
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极限与连续
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极限与连续
官方公共微信孔劲松&&& 湖北省黄石市第二中学&&&&& 435003
&&&&&&& 摘要&& 运用微积分思想解决实际问题在高中物理中时有体现，虽然高考大纲未作要求，但实际上学生在高中数学学科中已经学习了微积分的初步知识，若能初步学会运用微积分的初步知识来解决物理问题，思维定能达到新的飞跃，是高中生具有较高物理素质的表现，也为将来进入大学继续学习打下很好的基础。
&&&&&&& 关键词&& 微积分思想&& 高中物理& 初步应用& 微元& 积分
&&&&&&& 运用微积分思想解决实际问题在高中物理中时有体现，由于大纲未作要求,同学对其感觉较为生僻，但若能有所涉猎，思想定能达到新的飞跃，是高中生具有较高物理素质的表现，也会为将来进入大学继续学习打下很好的基础。微积分思想应用于物理时称为微元法，其意思是在处理物理问题时，从对事物的极小部分（微元）分析入手，达到解决事物整体问题的办法。 它的载体涉及物理学的力、热、电、光、原子等诸多物理领域，包纳了近似、对称、等效、隔离等多种科学方法，也需要三角解析几何、方程、数列、极限、数学归纳等数学知识和方法作为支持， 现禀着&大处着眼，小处着手&的原则，将高考中有关此方面的试题加以整理与罗列，举出一套切实可行的操作方法，名为&化整为零，积零为整&解题法。
&&&&&&& 一、 高中物理中运用初步微积分思想解题的基本思路
&&&&&&& 对形如：dY＝X&dX（dX和dY表示X与Y的小量）推得Y=1/2&X&X（即&X&dX＝1/2&X&X）的函数的解释。所谓小量，即趋近于零的微元的数学表达形式。之前等式意味变量Y的小量等于变量X于X的小量的乘积。之后等式意味着变量X与Y的关系。下面我们从一个侧面尝试将其推导出。
&&&&&&& 如图二，求Y=X在0到X*围成的阴影三角形的面积。我们知道
其面积为Y=1/2&X*&X*（1），换种角度，我们从微积分思想来看，将三角形沿Y轴方向无限分割成无数个小直角梯形。每个厚度为dX，在任意X属于0到X*处有小梯形，其面积为dY=X&dX(近似看成矩形，底乘高)故无限累加后面积Y＝&dY=&X&dX；和（1）式比较可知:&X&dX＝1/2&X&X。即为所证。
&&&&&&& 从另一个角度看，我们知道，积分为求导的逆运算。若有函数Y＝1/2&X&X，对其求导：dY/dX＝1/2（X&X）&=1/2&2&X=X；将等式左边dX移动到右边即：dY=X&dX。
&&&&&&& 由上我们可以看出，变量X和Y的小量关系我们可以得到其整体关系，同时由整体关系也可以得到小量关系。在此并没有严格的数学证明，只是从侧面将其推导，以求在高中知识范围内能达到理解。下面我们在举一例体会其在实际问题中的应用。
&&&&&&& 例：一电容为C、正对面积为S、两极板间距为L的平行板电容器接于电动势为U的电源两极（下极板接负极）。电容器极板间有单位体积分子数为N的带正电量q的小尘埃。求当电路接通后到全部尘埃被其中一个极板吸附时，电场力对所有尘埃所做总功。（忽略尘埃对极板带电量的影响，忽略重力影响）
&&&&&&& 为求总功，我们不妨将所有尘埃分成无数层，求出对每层所做的元功，再累加即可。如下具体操作：（化整为零）将极板围成空间沿极板平面方向切成无数小层。每曾厚度为dX，在任意距下极板X处的小层中，元体积为dV＝dX&S;元分子数为dN=N&dX&S；此小份所受电场力dF=N&dX&S&q&U/L；对此小份所做元功dW＝N&S&q&U/L&dX&X；这就是小量之间的关系。再由我们所知的求和的转换直接得出（积零为整）W=&dW= N&S&q&U/L&&dX&X= N&S&q&U/L&1/2&X&X此处我们将X从0累加到L,故W= N&S&q&U/L&（1/2&L&L－0）＝1/2& N&S&q&U&L。即为所求。
&&&&&&& 在解题中无门提到了&无限分割&，使每份厚度dX趋近于零。实际上无限分割与逼近是人类研究数学与物理学的一种重要思想方法。我国魏晋时人刘徽首创的&割圆术&就是应用此思想将正n边形无限分割与接近求得了圆周率&的精确值。在他之后，科学巨匠牛顿又将无限分割与逼近的思维方法引入对物理问题的研究中，在对变量无限分割和极限下逼近某一确定值的基础上，创立了微分学及其一系列运算法则。而我们所用的等式&X&dX＝1/2&X&X就是从其中选取的最基本与实用的。有了以上对此法则背景介绍、数学解释、物理应用等方面的了解后，我们应该能毫无顾虑地应用它。
&&&&&&& 二、 运用中的注意事项
&&&&&&& 1. 明白应用在物理实际问题中的积分思想是有范围限定的，即从某一固定点无限累加到另一固定点，也就是通常所说的定积分。换言之，我们必须注意累加的起始位置与终止位置。
&&&&&&& 例如右图三同样是求Y=X围成的阴影面积，现在我们求从X到X的梯形面积。
由平面几何知识我们知道Y=1/2&（X＋X）&（X－X）；（1）
而运用微积分的思想，同样能列出dY=dX&X的小量表达式。但是在&积零为整&的时候面积Y再不是Y=1/2&X&X或是Y=1/2&X&X；而是Y=1/2&X&X－1/2&X&X。也就是说对于同样的法则&Y=1/2&X&X&此时右边整式为终止点与起始点的差值。当对于左边的起始点非零时亦是同理。
&&&&&&& 2.微元法千变万化，使用时要理智、灵活。
&&&&&&& 首先，要选择合适的微元，线元、面元、时间元、过程元、元电荷、元电流、元功等各种无限分割的小量皆可视为微元。这就要求解题者对于不同的情景、不同的问题寻找合适的微元入手。所谓&好的开始是成功的一半&，选择恰当的微元能达到事半功倍的效果。具体来说，主要是看题目所问问题，若和时间有关，我们可考虑时间元和动量定理的应用；若和电量有关，我们可以考虑元电量和磁通量的关系。总之是以方便、简洁为原则，切莫张冠李戴或是自寻烦恼。
&&&&&&& 其次，注意应用物理规律达到微元之间的转变。例如电流乘以时间元等于元电量（i&
dt＝dq）；速度乘以时间元等于位移元（v&dt＝ds）；电动势乘以时间元等于元磁通量（E&dt＝dФ）等等。
&&&&&&& 再次，微元法需要不少近似的解题技巧，应当将其了然于胸。例如在小角情况下sin d&=tan d&=d&,小梯形可视为矩形等等。
&&&&&&& 三、可用微元法解决的几种物理问题
&&&&&&& 微分学的创立极大地推动了数学与物理学的发展，将无限分割与逼近的思想方法纳入到严密的科学体系中，但我们须知它并不是万能的。在我们所接触的试题中，有三种可考虑采取微元法求解。
&&&&&&& 1.内禀问题
&&&&&&& 即讨论的问题属于整体内部的一种对称联系。这时可将整体细分，取出任一微元作为&隔离体&加以研究，使得整体内部关系转化为微元与其余部分的相互联系，以便应用反映物体相互联系的物理规律求解。
&&&&&&& 例如：单位长度质量为&、半径为r的圆环放在水平光滑地面上绕圆心以匀角速度w转动，求环中张力大小。
&&&&&&& 此题为典型的内禀问题，为求环整体中的张力，我们只能从小部分下手。(化整为零)取一小圆心角d&对应的圆弧分析，应用物理规律对其受力分析，有两张力在法向上的分力和等于小圆弧的向心力：2&T&sin d&/2=dm&w&w&r；在d&趋近于零
时有小量近似sin d&/2＝d&/2,同时对于另一个小量dm有dm＝d&&&&
r；全部带入得T=&&w&w&r&r；即为所求！
&&&&&&& 2.变量问题
&&&&&&& 由于某些题目所处的物理情景和各种参量在不断变化，诸如变力、
变质量、变化的场、变化过程等等。解决这类问题也应从小处着手，辨别变化中的
不变量，以及变化所遵循的规律，从而求解。
&&&&&&& 例如：空间存在如图所示磁感应强度为B的水平方向磁场。一质量m，电阻R，长a，宽b的矩形线框从如图五状态静止开始坠入磁场中。当线框刚好完全进入磁场时速度大小为V，求从开始到刚好完全进入所经历的时间。（下落过程中洛仑兹力总小于线框重力）
&&&&&&& 稍微分析可知，由于速度在不断变化，洛仑兹力亦不断变化，线框作变速运动，难以求解。不妨采取微元法尝试。第一步（化整为零）取任一暂态，当线框下落X（X属于零到b）设此时速度为V,为求所耗时间，我们列出此时的动量定理：（mg－Bia）&dt＝m&dv& （1）
其中i＝U/R＝BVa/R,代入（1）式有：
&&&&&&& Mg&dt－B&B&a&a/R&V&dt＝m&dv
将其中小量稍加转化：V&dt＝dx；得到：
&&&&&&& Mg&dt－B&B&a&a/R&dx＝m&dv
由此小量关系我们即可得到整体关系：
Mg&t－B&B&a&a/R&b＝m&V,于是得t＝V/g＋B&B&a&a&b/Rmg，即为所求！
&&&&&&& 再例：如图六，顶角&＝45&的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度V沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为 m，导轨与导体棒单位长度的电阻均为 r，导体棒与导轨接触点的 a和 b，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。t=0时，导体棒位于顶角O处，求：
&&&&&&& （1）导体棒在 O～t时间内产生的焦耳热 Q。 （2）若在 to 时刻将外力 F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标 x。
&&&&&&& 导体棒在运动中，电阻在不断变化，同时由于导体棒长度的变化，感应电动势大小也在不断变化，是个复杂的变量问题。我们不妨采用微元法，假设导体棒运动了X的距离，那么此时电动势为U=BVX，总电阻为R=（2＋&2）&X&r，其中X=V&t，故瞬时电流为i＝U/R＝BV/（2＋&2）r,此时产生的元热量为dQ=i&i&R&dt＝B&B&V&V&V/（2＋&2）r&t&dt，显然这就是我们熟悉的微元方程，将其积分转化出即得总热量Q= B&B&V&V&V&t&t/2（2＋&2）r，于是可得导体棒上分热量为Q&= B&B&V&V&V&t&t/2（6＋4&2）r，即为第三问所求。
&&&&&&& 而对于第四问，同样采取微元法解决，设在X处导体棒速度降为v，此时电流为i＝B&v&X/（2＋&2）&X&r＝Bv/（2＋&2）r，此时所受洛仑兹力为F＝B&Bv/（2＋&2）r&X，然后我们列出动量定理：B&Bv/（2＋&2）r&X&dt＝m&dv，在式中有两个变量：v与X，无法求解，但是我们可以考虑到小量转化，因为v&dt＝dx，代入有：B&B/（2＋&2）r&X&dx＝m&dv，这就是我们熟悉的等式，可以轻易得：B&B/（2＋&2）r&（1/2&X&X-1/2&X&P&X&P）=m&V，（注意积分中的初始位置！）其中X&P＝to&V；至此所有问题已经解决，变形后即可得X=&（2（2＋&2）mrV/B&B＋V&V&to&to），即为所求！
&&&&&&& 3.暂态问题
&&&&&&& 即问题所述情景属于事物变化全景中的某特例场景。这时，需选取与该状态逼近的相邻状态，从而获得一元过程，对该过程运用相应的物理规律求解。但这种类型的题目在高考中基本不会出现，置与此处只是为了拓宽读者视野。
&&&&&&& 总结以上所有叙述，我们应对微积分思想在高中的体现和应用有了大致的了解。总体看来，将微积分思想用于物理的微元法的一般思维与操作程序为：决定是否采用微元法，选择适当的微元，对微元作物理及数学处理以求结论。读者在领悟微积分思想，掌握微元法后，在高中物理学习中应该更加游刃有余 。
&&&&&&& 参考文献
&&&&&&& 【1】《曲一线科学备考&2013B版&5年高考3年模拟:高考物理(新课标专用)》
&&&&&&& 【2】范小辉.《新编高中物理奥赛指导》南京师范大学出版社
&&&&&&& 【3】王建忠.《启东中学奥赛精题详解》& 南京师范大学出版社
&&&&&&& 【4】赵坚.《微积分初步》& 中央广播电视大学
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