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为什么万有引力的方向是指向地心？
上传时间： 10:58　　来源：十万个为什么　
& & 地球上万有引力方向指向地心，重力是万有引力的一个分力，这个分力（重力）的方向垂直于水平面。
&&& 关键的问题是要搞清：由于地球的自转，使得水平面不是地球的切面，因为海水也在做圆周运动，需要万有引力的另一个分力做向心力。从人的主观感觉来说，&平&的方向就是平静水面的方向，而竖直向下的方向就是和水平面垂直的方向，不是和地球切面垂直的方向。所以说重力的方向是竖直向下，而不是指向地心。
&&& 很多书上都说重力的方向永远是竖直向下，但没有说清楚这句话的具体含义，实际上，&竖直向下&的定义就是重力所指的方向！重力是万有引力的一个分力，万有引力指向地心，而另一个分力用来和地球一起围绕地轴旋转的向心力，向心力垂直指向地轴。
&&& 竖直向下是重力的方向，重力的方向竖直向下，如此反复定义，不是没说清楚吗？其实应该这么理解：重力的方向是竖直向下，竖直向下就是垂直水平面向下的方向。但要区别指向地心和竖直向下，地球不是正圆球，也不是均匀的，因此不能说地球表面物体和地球之间的万有引力或者重力的方向指向地心，只有两者都可看作质点时才能将指向地心等同于竖直向下。总之，竖直向下大概指向地心，但它一定是垂直于水平面的，因为事实就是这样，铅锤线永远是垂直水平面的。
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阳光家教网 高中（高考）物理复习资料第四章考纲要览主题 内 运动的合成和分解 抛体运 动与圆 周运动 抛体运动 圆周运动 速度 匀速圆周运动 线速度曲线运动万有引力与航天容要求 Ⅱ Ⅱ说明角速度向心加Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅰ斜抛运动只做定性要求向心力生活中的圆周运动 万有引 力定律 万有引力定律及其应用 环绕速度 第二宇宙速度 第三宇宙速度考向预测纵观历年考题，与本章内容相关的考题知识覆盖面宽，常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度 较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养．近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引 力的考查．卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视．在高考 题中本章内容以选择、填空、计算等题型出现都有可能．第 1 课时基础知识回顾1．曲线运动（1）曲线运动中的速度方向曲线运动质点在平面内的运动说明：当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角 为锐角时，物体做曲线运动速率将增大，当物体受到 的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做 曲线运动的速率将减小．做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，在某2．运动的合成与分解点（或某一时刻）的速度方向是曲线上该点的切线方向． （1）合运动与分运动的特征 （2）曲线运动的性质 ① 等时性：合运动和分运动是同时发生的，所用时间 由于曲线运动的速度方向不断变化，所以曲线运 动一定是变速运动，一定存在加速度． （3）物体做曲线运动的条件 物体所受合外力（或加速度）的方向与它的速度 方向不在同一直线上． ①如果这个合外力是大小和方向都恒定的， 即所受 的力为恒力，物体就做匀变速曲线运动，如平抛运动． ②如果这个合外力大小恒定，方向始终与速度垂 直，物体就做匀速圆周运动． ③做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指一方 弯曲．根据曲线运动的轨迹，可以判断出物体所受合 外力的大致方向． 相等． ② 等效性：合运动跟几个分运动共同叠加的效果相同． ③ 独立性：一个物体同时参与几个运动，各个分运动 独立进行，互不影响． （2）已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包 括位移、 速度和加速度的合成． 遵循平行四边形定则． ① 两分运动在同一直线上时，先规定正方向，凡与正 方向相同的取正值，相反的取负值，合运动为各分运 动的代数和． ② 不在同一直线上，按照平行四边形定则合成（如图 4-1-1 示） ．阳光家教网 高中（高考）物理复习资料当合速度与合加速度不在一条直线上时，合运动是曲 线运动．所以 CD 正确． 【答案】CD ③ 两个分运动垂直时，正交分解后的合成为2 2 2 s合 ? s 2 v2 a2 x ? s y v合 ? x ? v y a合 ? x ?a y图 4-1-1【点拨】两直线运动的合运动的性质和轨迹，由两个 因素决定：一是分运动的性质，二是合运动的初速度 与合运动的加速度方向?拓展如图 4-1-4 图示，物c B b a（3）已知合运动求分运动，叫运动的分解，解题时应 按实际“效果”分解，或正交分解．体在恒力 F 作用下沿曲 线从 A 运动到 B， 这时突 然使它所受的力方向改 变而大小不变（即由 Fv A重点难点例析一、怎样确定物体的运动轨迹？1．同一直线上的两分运动（不含速率相等，方向相反 情形）的合成，其合运动一定是直线运动． 2．不在同一直线上的两分运动的合成． （1） 若两分运动为匀速运动， 其合运动一定是匀速运 动． （2） 若两分运动为初速度为 0 的匀变速直线运动， 其 合运动一定是匀变速直线运动． （3）若两分运动中，一个做匀速运动，另一个做匀变 速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动（如平 抛运动） ． （4）若两分运动均为初速度不为 0 的匀加（减）速直 线运动，其合运动不一定是匀加（减）速直线运动， 如图 4-1-2、图 4-1-3 所示） ．图 4-1-2 情形为匀变速曲 线运动；图 4-1-3 情形为匀变速直线运动（匀减速情 形图未画出） ，此时有图 4-1-4变为-F） ，在此力作用下物体以后运动情况，下列说法 正确的是（ ） A．物体不可能沿曲线 Ba 运动 B．物体不可能沿直线 Bb 运动 C．物体不可能沿曲线 Bc 运动 D．物体不可能沿原曲线由 B 返回 A 【解析】 物体在 A 点时的速度 vA 沿 A 点切线方向， 物体在恒力 F 作 用下 沿曲线 AB 运动，此力 F 必 有垂直于 vA 的分 量，即力 F 只可A v c B a bF/F 图 4-1-5v1 a1 ． ? v2 a2v1 v a能沿为图中所示的各种方向之一；当物体运动到达 B 点时，瞬时速度 vB 沿 B 点的切线方向，这是时受力 F/=-F，即 F/只可能为图中所示的方向之一；可知物体 以后只可能沿曲线 Bc 运动． 【答案】ABDv1 a1 ov a v2 a2 图 4-1-2a1o a2 v2 图 4-1-3二、船过河问题的分析与求解方法1．处理方法：船在有一定流速的河中过河时，实际上 参与了两个方向的运动，即随水流的运动（水冲船的 运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动） ， 船的实际运动是合运动． 2．对船过河的分析与讨论． 设河宽为 d，船在静水中速度为 v 船，水流速为 v 水． （1）船过河的最短时间 如图 4-1-6 所示， 设船头斜向上 游与河岸成任意夹角 θ，这时船速 在垂直河岸方向的速度分量为 v1=v 船 sinθ，则过河时间为 v船 v1【例 1】关于不在同一直线的两个初速度不为零的匀 变速直线运动的合运动，下列说法正确的是（ ） A．一定是直线运动 B．一定是曲线运动 C．可能是直线运动，也可能是曲线运动 D．一定是匀变速运动 【解析】两个分运动的加速度恒定，因此合加速度是 恒定的，所以合运动的性质一定是匀变速运动；当合 速度与合加速度在一条直线上时， 合运动是直线运动，θ v2 O v 水 图 4-1-6阳光家教网 t? d d ，可以看出，d、v 船一定时，t 随 sinθ ? v1 v船 sin ?C．2.0m/s高中（高考）物理复习资料D．4.0m/s C【解析】 如图 4-1-9 所 示，要使小船避开危 险区沿直线到达对 岸，小船的合速度方 向范围为水平方向 AB （不包括 AB）到 AC 之间．由图中几何关 系可知，当合速度方向沿 AC，小船垂直 AC 开行，其 在静水中的速度最小．由图可知， 100 ，即 θ=30° ， tan ? ? 100 3 故 v 船=v 水 sinθ=2.0m/s． 【答案】C 【点拨】本题关键是确定小 B 图 4-1-9增大而减小；当 θ=90° 时，即船头与河岸垂直时，过 河时间最短 tmin?d ． 到达对岸时船沿水流方向位移 v船x=v 水 tmin= v水 d ．v船（2）船过河的最短位移 ① v 船&v 水 如图 4-1-6 所示，设船头斜指向上游，与河岸夹 角 θ．当船的合速度垂直于河岸时，此情形下过河位 移最短，且最短位移为河宽 d．此时有 v 船 cosθ=v 水， 即 ? ? arc cos ② v 船&v 水 如图 4-1-7 所示，无论 船向哪一个方向开，船不可 能垂直于河岸过河．设船头 与河岸成 θ 角，合速度 v 合与 河岸成 α 角．可以看出：α 角 越大，船漂下的距离 x 越 短，那么，在什么条件下 α 角最大呢？以 v 水的矢尖为 圆心，v 船为半径画圆，当 v 合与圆相切时，α 角最大， 根据 cos ? ? v船 ，船头与河岸的夹角应为v水v水 ． v船x船避开危险区沿直线到达对岸时小船的合速度方向而 做出速度矢量三角形，从图知当小船垂直 AC 开行， 其在静水中的速度最小．本题易出现错解的情形是： 认为当小船垂直河岸开行，在静水中的速度最小，此 时 v 船=v 水 tanθ= 4 3 m/s． 3图 4-1-7?拓展在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为 v1，摩 托艇在静水中的航速为 v2，战士救人的地点 A 离岸边 最近处 O 的距离为 d，如战士想在最短时间内将人送 上岸，则摩托艇登陆的地点离 O 点的距离为（ A． dv 2 B．02 v2 ? v12v ? ? arc cos 船 ， v水船沿河漂下的最短距离为： d ． xmin ? (v水 ? v船 cos ? ) v船 sin ? 此情形下船过河的最短位移： s ? 【例 2】如图 4-1-8 所 示，一条小船位于 200m 宽的河的正中点 A 处， 从这里向下游 100）C．v d ? 水d． cos ? v船dv1 v2D．dv2 v1【解析】摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行 方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水 的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸100 3 m3mA危险区方向的运动速度为 v2，到达江岸所用时间 t=d ； v2处有一危险区， 当时水流 速度为 4.0m/s， 为了使小 船避开危险区沿直线到沿江岸方向的运动速度是水速 v1 在相同的时间内， 图 4-1-8 ） 被水冲下的距离，即为登陆点距离 0 点距离 s=v1t=达对岸，小船在静水中的速度至少是（ A．4 3 m/s 3B．8 3 m/s 3dv1 ． v2【答案】C阳光家教网 三、如何分解用绳（或杆）连接物体的速度？1． 一个速度矢量按矢量运算法则分解为两个速度， 但 若与实际情况不符，则所得分速度毫无物理意义，所 以速度分解的一个基本原则就是按实际效果进行分 解．通常先虚拟合运动（即实际运动）的一个位移， 看看这个位移产生了什么效果，从中找到两个分速度 的方向；最后利用平行四边形画出合速度和分速度的 关系图，由几何关系得出他们的关系． 2． 由于高中研究的绳都是不可伸长的， 杆都是不可伸 长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原 则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（或杆）和 平行于绳（或杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的 分速度大小相同求解． υ υA＝ . cosθ高中（高考）物理复习资料【点悟】本题中也许学生不易理解绳上各点的运动， 关键是要弄清合运动就是船的实际运动，只有实际位 移 、实际加速度、实际速度才可分解，即实际位移 、 实际加速度、实际速度在平行四边形的对角线上.课堂自主训练1．小船在静水中速度为 v1，今小船要渡过一条河流， 过河的小船始终垂直对岸划行， 若小船划行到河中 间时，河水流速忽然由 v2 增大到 v ' 2，则过河时间 与预定时间相比，将（ A．增长 C．缩短 ） B．不变 D．无法确定? 易错门诊【例 3】如图 4-1-10 所示，卡车通过定滑轮牵引河中 的小船，小船一直沿水面运动．在某一时刻卡车的速 度为 υ，绳 AO 段与水平面夹角为 ? ，不计摩擦和轮 的质量，则此时小船的水平速度多大？【解析】合运动、分运动都是独立的，且具有等时 性．小船渡河速度不变，则渡河时间就不变，与河 水速度的变化无关，但河水流速的变化会影响船沿 河岸方向的位移．选项 B 正确． 【答案】B 2．如图4-1-13所示的塔吊臂上有 一可以沿水平方向运动的小车A， 小车下装有吊着物体B的吊钩．在 小车A与物体B以相同的水平速 图 4-1-10 度沿吊臂方向匀速运动的同时， 图 4-1-13O A吊钩将物体B向上吊起， A、 B之间的距离以d=H-2t2 【错解】将绳的速度按图 4-1-11 所示的方法分解，则 υ1 即为船的水平速度 υ1=υ? cosθ． 【错因】 上述错误的原因是没有弄清船的运动情况． 船 的实际运动是水平向右的匀速运动，每一时刻船上各 点都有相同的水平速度而 AO 绳上各点运动比较复 杂．以连接船上的 A 点来说，它有沿绳的速度 υ，也 有与 υ 垂直的法向速度 υn，即转动分速度，A 点的合 （SI） （SI表示国际单位制， 式中H为吊臂离地面 的 高度）规律变化，则物体做（ A．速度大小不变的曲线运动 B．速度大小增加的曲线运动 C．加速度大小方向均不变的曲线运动 D．加速度大小方向均变化的曲线运动 【解析】由题意，物体 B 在水平方向做匀速直线运 动 ； 由 d=H-2t2 知 ， 它 在 竖 直 方 向 的 位 移 为 y=H-d=2t2，因此它在该方向上做初速度为 0 的， 加速度为 4m/s2 匀加速直线运动．所以它的合运动 为匀加速曲线运动． 【答案】BC图 4-1-11 图 4-1-12）v 速度 υA 即为两个分速度的矢量和 υA= ． cos ?课后创新演练1．关于曲线运动性质的说法正确的是（ B ） A．变速运动一定是曲线运动 B．曲线运动一定是变速运动 C．曲线运动一定是变加速运动 D．曲线运动一定是加速度不变的匀变速运动【正解】小船的运动为平动，而绳 AO 上各点的运动 是平动＋转动．以连接船上的 A 点为研究对象，如图 4-1-12，A 的平动速度为 υ，转动速度为 υn，合速度 υA 即与船的平动速度相同．则由图可以看出阳光家教网 2． 两个互成角度的匀加速直线运动， 初速度的大小分 别为 v1 和 v2，加速度分别为 a1 和 a2，则它们的合 运动的轨迹（D） A．如果 v1=v2，那么轨迹一定是直线 B．如果 v1≠0，v2≠0，那么轨迹一定是曲线 C．如果 a1=a2，那么轨迹一定是直线 D．如果 a1/a2=v1/v2，那么轨迹一定是直线 3． 一个质点受到两个互成锐角的力 F1 和 F2 的作用后， 由静止开始运动， 若运动中保持二力方向不变， 但 F1 突然增大到 F2+ ? F，则质点以后（AB） A．一定做匀变速曲线运动 B．在相等的时间内速度的变化一定相等 C．可能做匀速直线运动 D．可能做变加速直线运动 4． 某河水的流速与离河岸距离的变化关系如图 4-1-14 甲所示．船在静水中的速度与时间的关系如图 4-1-14 乙所示． 若要使船以最短时间渡河， 则 （BD）v/(m.s-2)43高中（高考）物理复习资料F 拉 B 沿水平面向右匀速运动过程中，绳对 A 的拉力 的大小是（A） A．大于 mg C．总等于 mg 图 4-1-16 B．等于 F D．小于 mg7．玻璃板生产线上，宽 9m 的玻璃板以 4 3 m／s 的速度连续不断地向前行进， 在切割工序处， 金刚 钻的走刀速度为 8m／s， 为了使割下的玻璃板都成 规定尺寸的矩形， 金刚钻割刀的轨道应如何控制？ 切割一次的时间多长？ 【解析】要切成矩形则割刀相对玻璃板的速度垂直 v，如图 4-1-17，设 v 刀与 v 玻方向夹角为 θ， cosθ=v玻 v刀=4 3 ，则 θ=300． 8vv刀2 2 ? v玻 v= v 刀 = 64 ? 48 =4m/s．θv玻4-1-17时间 t=v/(m.s-2)s 9 = =2.45s． v 48．质量为 m＝1kg 的物体静止在光滑水平面上，从 t ＝0 时刻开始物体受到水平力 F 的作用，F＝0.1Nt/sOd/m150 300O并保持不变．此力先沿向东的方向作用 1s，而后 依次改为沿向北、向西、向南方向各作用 1s．以 出发点为原点，向东为 x 轴正方向，向北为 y 轴正 方向，建立直角坐标系，如图 4-1-18 求： （1）第 1s 内物体的位移值； （2）物体在第 2s 末的速度大小； （3）在坐标系中画出前 4s 内物体的运动轨迹甲乙图 4-1-14 A．船渡河的最短时间是 75s B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度是 5m/s 5．如图 4-1-15 所示，卡车通过定滑轮牵引河中的小 船，小船一直沿水面运动．则（BC）（北） y/m0.2 0.1图 4-1-15 A．小船的速度 v2 总小于汽车速度 v1 B．汽车速度 v1 总小于小船的速度 v2 C．如果汽车匀速前进，则小船加速前进 D．如果汽车匀速前进，则小船减速前进 6．如图 4-1-16 所示，物 体 A 和 B 质量均为 m， 且分别与轻绳连结跨过 光滑轻质定滑轮， 当用力－0.2 －0.1 0 0.1 0.2x/m（东）FB4-1-18【解析】 （1）沿 x 轴物体运动的加速度为Aax＝F/m．阳光家教网 1 2 1s 内物体的位移 S1＝ a x t ， 2联立解得 S1＝0.05m． （2）第 2s 内物体沿 x 轴方向做匀速运动， 沿 y 轴方向做匀加速直线运动． v2x＝v1x＝axt＝0.1m/s ， ay＝高中（高考）物理复习资料v2y＝ayt＝0.1m/s． 物体在第 2s 末的速度 v2＝ v2 x ? v2 y2 2，代入数据解得 v2＝0.14m/s． （3）如图 4-1-19 所示F ＝0.1m/s2， m（北） y/m0.2 0.1d c b a0.1 0.2－0.2 －0.10x/m（东）4-1-19第 2 课时基础知识回顾1．平抛运动抛体运动的规律及其应用v x ? v0 ， x ? v0 t ，竖直方向：v y ? gt ， y ?（1）定义：将一物体水平抛出，物体只在重力作用 下的运动。 （2）性质：加速度为 g 的匀变速曲线运动，运动过 程中水平速度不变，只是竖直速度不断增大，合速 度大小、方向时刻改变。 （3） 研究方法： 将平抛运动分解为水平方向的匀速 直线运动和竖直方向的自由落体运动，分别研究两 个分运动的规律，必要时再用运动合成方法进行合 成。 （4）规律： 设平抛运动的初速度为 v0 ，建立坐标系如图 1 速度、位移： ○ 水平方向：1 2 gt 2合速度（ t 秒末的速度） ：2 2 ， vt ? vx ? vy方向： tan g? ?vy v0?gt v0合位移（ t 秒末的位移） ： s ? x2 ? y2 方向： tan g? ?y 1 / 2 gt 2 gt ? ? x v0 t 2v 0∴ tan g? ? 2 tan g?图 4-2-1阳光家教网 2 运动时间：由 y ? ○高中（高考）物理复习资料1 2 gt 得： t 2?2y g的匀速直线运动和竖直上抛运动的合运动来处理。 取水平方向和竖直向上的方向为 x 轴和 y 轴，则这 两个方向的初速度分别是：v0x=v0cosθ，v0y=v0sinθ（t 由下落高度 y 决定）g 2 3 轨迹方程： y ? x ○ 2 2v0（在未知时间情况下应用方便） 4 可独立研究竖直分运动： ○ a．连续相等时间内竖直位移之比为：重点难点例析一、平抛物体运动中的速度变化水平方向分速度 保持 vx=v0，竖直方向， 加速度恒为 g，速度 vy=gt，从抛出点看，每 隔 ?t 时间的速度的矢 量 关 系 如 图 4-2-3 所 示．这一矢量关系有两 个特点： 1．任意时刻 v 的速度 水平分量均等于初速度 v0； 2．任意相等时间间隔?t 内的速度改变量均竖直向 下，且 ?v ? ?vy图 4-2-31 ∶3∶5∶…∶(2n-1)（n=1，2，3，…）b．连续相等时间内竖直位移之差为： ?y ?gt 25 一个有用的推论： ○AOvB 0? g?t ．( ) B．加速度 D．平均速度【例 1】物体在平抛运动的过程中，在相等的时间 内，下列物理量相等的是v0 vtθ D vyA．速度的增量C 图 4-2-2C．位移【解析】平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为重 力加速度 g,由加速度定义 a ?平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长 线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水 平位移的一半。 证明：设时间 t 内物体的水平位移为 s，竖直位移为 h，则末速度的水平分量 vx ? v0 ??v ，可知速度增量 ?t?v ? g ?t ，所以相等时间内速度的增量和加速度是相等的．位移和平均速度是矢量，平抛运动是曲 线运动，相等时间内位移和平均速度的方向均在变 化． 【答案】AB 【点拨】任意时刻的速度，与速度变化量 ?v 构成 直角三角形。 ?v 沿竖直方向。平抛运动的速率随 时间并不均匀变化。速度随时间是均匀变化的。s ，而竖直分量 t2h v vy ? ， tan? ? y ? 2 h ， t vx s所以有 s ? ?h s ? tan ? 2?拓展用闪光照相方法研究平2．斜抛运动：（1）将物体斜向射出，在重力作用下，物体作曲线 运动，它的运动轨迹是抛物线，这种运动叫做“斜抛 运动”。 （2）性质：加速度为 g 的匀变速曲线运动。根据运 动独立性原理，可以把斜抛运动看成是作水平方向抛运动规律时，由于某种原 因， 只拍到了部分方格背景及 小球的三个瞬时位置（见图 4-2-4） ．若已知闪光时间间隔 为 t=0.1s，则小球运动中初速图 4-2-4阳光家教网 度大小为多少？小球经 B 点时的竖直分速度大小多 大？g 取 10m／s ，每小格边长均为 L=5cm． 【解析】由于小球在水平方向作匀速直线运动，可 以根据小球位Z的水平位移和闪光时间算出水平速 度，即抛出的初速度．小球在竖直方向作自由落体 运动，由竖直位移的变化根据自由落体的公式即可 算出竖直分速度． 因 A、 B（或 B、C）两位Z的水平间距和时 间间隔分别为 xAB=2L=2× 5cm=10cm=0.1m tAB=△ t=0.1s． 所以，小球抛出的初速度为 由② 得：2高中（高考）物理复习资料沿斜面滑到底端时水平位移 S； （2）小球到达斜面 底端时的速度大小。 （g 取 10 m/s2） 解： （1）在斜面上小球沿 v0 方向做匀速运动，垂直 v0 方向做初速度为零的匀加速运动，加速度a ? g sin 300s ? v0tl?①1 g sin 30 0 t 2 2②t?v0 ?xAB ? 1m / s t AB2l g sin 30 0③由① 、③ 得：设小球运动至 B 点时的竖直分速度为 vBy、运 动至 C 点时的竖直分速度为 vCy，B、C 间竖直位移 为 yBC，B、C 间运动时间为 tBC．根据竖直方向上自 由落体运动的公式得 v2Cy-v2By=2gyBC， 即（vBy+gtBC）2-v2By=2gyBC2 2 yBC ? gt BC vBy ? 2tBCs ? v02l 2 ? 10 ? 10 m ? 20 m 0 10 ? 0.5 g sin 30（2）设小球运动到斜面底端时的速度为 v，由动能 定理得：mgl sin 30 0 ?1 1 2 mv 2 ? mv 0 2 2式中 yBC=5L=0.25m tBC=△ t=0.1s， 代入上式得 B 点的竖直与速度大小为 VBY=2m/s 【答案】1m/s，2m/s。2 v ? v0 ? gh ? 10 2 ? 10 ? 10 m / s ? 14.1m / s【答案】（1）20m，（2）14.1m/s. 【点拨】物体做类似平抛运动，其受力特点和运动 特点类似于平抛运动，因此解决的方法可类比平抛 运动――采用运动的合成与分解。关键的问题要注 意： （1） 满足条件： 受恒力作用且与初速度的方向垂直。 （ 2） 确定两个分运动的速度方向和位移方向， 分别 列式求解。二、类平抛运动平抛运动的规律虽然是在地球表面重力场中得 到的，同样适用于月球表面和其他行星表面的平抛 运动．也适用于物体以初速度 v0 运动时，同时受到 垂直于初速度方向，大小、方向均不变的力 F 的作 用情况．例如带电粒子在电场中的偏转运动、物体 在斜面上的运动以及带电粒子在复合场中的运动等 等．解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关 系。 【例 2】如图 4-2-5 所示，有一倾角为 30° 的光滑斜 面，斜面长 L 为 10m， 一小球从斜面顶端以 10m/s 的速度沿水平方 向抛出，求： （1 ）小球sL 30°?拓展在真空中速度为 v＝6.4× 107 米／秒的电子束连续地 射入两平行极板间，极板长度为 L＝8.0× 10-2 米，间 距为 d＝5.0× 10-3 米。两极板不带电时，电子束将沿 两极板之间的中线通过。 在两极板上加一 50 赫兹的 交变电压 Uv0? U0 sin ?t 如果所加电压的最大值 U0超过某一值 Uc 时，将出现以下现象：电子束有时能 通过两极板，有时间断不能通过。求 Uc 的大小.4-2-5阳光家教网 【解析】（1）电子通过平行极板所有的时间 t=L/v≈10 秒， 交变电压的周期 T≈10 秒， 可见： t&&T 因此,电子通过平行极板时,极板间的电压从场 强可看作是恒定不变的. 电子进入平行极板中间后,其运动沿水平方向 为匀速运动,沿竖直方向为匀加速运动.设电子束刚 好不能通过平行极板的电压为 Uc,电子经过平行极 板的时间为 t,所受的电场力为 F,则:-9 -2高中（高考）物理复习资料d．抛射体所能到达的最大高度为：2 sin 2 ? 1 v0 H? 2 gv0 sin 2 ? e．其到达最高点所需的时间： T ? gf．抛射体的最大射程为： X?t?L v2 v0 sin 2? g【例 3】物体以速度 v0 抛出做斜抛运动，则( 的)d 1 2 ? at 2 2 F eU c a? ? m md由以上三式,可得： U cA，在任何相等的时间内速度的变化量是相同 B．可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖 直方向的自由落体运动 C，射高和射程都取决于 v0 的大小 D．v0 很大，射高和射程可能很小?mv 2 d 2 eL2【解析】斜抛运动整个过程中加速度恒为 g，为匀 变速运动，故相等时间内速度变化一定相同；由斜 抛运动的两分运动特点知 B 错误；射高与射程不仅 取决于 v0 的大小还取决于抛出速度 v0 与水平方向的 夹角大小，故 C 错误，D 正确。 【答案】AD 【点评】把握好斜抛运动的特点，理解斜抛运动的 两分运动的规律，本类题目是不难分析的。代入数值,得：Uc=91 伏特. (2)因为(△ t)通=2(△ t)断,所以:U c ? U 0 sin?3由此得： U 0?Uc sin?391 ? 105伏特 。 3 2?拓展物体做斜向上抛运动时 , 描述物体在竖直方向 的分速度(取向上为正)随时间变化的图象如图 4-2-6，正确的是代入数值得： U 0 ?vy v0 O t Ovy v0 t O - v0vyvy【答案】91 伏特；105 伏特。三、斜抛运动物体的射程和射高斜抛运动的规律： a．速度：tO - v0tv ? v ? v , tan ? ?2 x 2 yvy vx2 0AB 4-2-6CDb．轨迹方程：y ? tan ? ? x ?g x2 2 2v cos ?【答案】A 【解析】斜抛物体只受重力作用，竖直方向做竖直 上抛运动，其加速度不变恒为 g，故 B、D 错；由 于加速度的方向向下，则竖直方向最后的速度应向 下为负值，这样 C 错，A 正确.四、平抛运动规律的应用阳光家教网 平抛运动可看做水平方向的匀速直线运动和 竖直方向的自由落体运动的合运动．物体在任一时 刻的速度和位移都是两个分运动对应时刻的速度和 位移的矢量和． 解决与平抛运动有关的问题时，应充分注意到 二个分运动具有独立性，互不相干性和等时性的特 点，并且注意与其它知识的结合点．高中（高考）物理复习资料2． 某一质点做平抛运动， 试求下列情况下的有关物 理量。 （g 取 10m/s2） (1)若在质点落地前 1 秒内它的速度方向与水平方向 夹角由 300 变成 600.试求： 1 平抛的初速度 v0 ； 2 ○ ○ 平抛运动的时间 t；○ 3 平抛运动的高度 h。 （2）若质点在倾角为 ? 的斜面上端以初速从 A 处 水平抛出，落在斜面上 B 点，求质点在斜面上方的 飞行时间 t ? 。 （3 ）若质点以速度 v0 正对倾角为 ? 的斜面水平抛 出，落在斜面上时速度与斜面垂直，求飞行时间 t ??? 易错门诊【例 3】如图 4-2-6 所示，一高度为 h=0.2m 的水平 面在 A 点处与一倾角为 θ=30°的斜面连接，一小球 以 V0=5m/s 的速度在平面上 向右运动。求小球从 A 点运 动到地面所需的时间 （平面与 斜面均光滑，取 g=10m/s2） 。 【错解】小球沿斜面运动，则h v0Aθv0 v1y3004-2-7v1h 1 ? V0 t ? g sin ? ? t 2 , sin ? 2可求得落地的时间 t 【错因】小球应在 A 点离开平面做平抛运动，而不 是沿斜面下滑。 【正解】落地点与 A 点的水平距离v2y600v2图 4-2-8【解析】 （1）根据已知条件作出图 4-2-8 所示的示 意图，假定轨迹上 A、B 两点是落地前的 1 秒内的 始、终点，则对 A 点： tan 300s ? V0 t ? V0斜面底宽 l2h 2 ? 0.2 ? 5? ? 1(m) g 10?? hctg? ? 0.2 ? 3 ? 0.35(m)对 B 点： tan 600gt v02 ○1 ○因为 s ? l ,所以小球离开 A 点后不会落到斜 面，因此落地时间即为平抛运动时间。 ∴?g (t ? 1) v0t?2h 2 ? 0.2 ? ? 0.2(s) g 10由○ 1 ○ 2 有 t=0.5s， v0? 5 3m / s ? 8.66m / s ，【点悟】正确解答本题的前提是熟知平抛运动的条 件与平抛运动的规律。运动总时间：t 总=t+1=1.5s， 下降的高度： h ?课堂自主训练1．在塔顶上分别以跟水平面成 45° 角斜向上的、水 平的、跟水平线成 45° 角斜向下的三个方向开枪， 子弹射到地面时的速度大小分别是 v1、v2、v3（设 三种方向射出的子弹的初速度的大小都一样，不计 空气阻力） ，那么 A．v1= v 3& v 2 C．v 1& v 2& v 3 【解析】 ． 【答案】B (D) B．v 3& v 2& v 1 D．v 1= v 2= v 3 甲1 2 gt ? 11.25m 2乙4-2-9（2）设运动时间为 t?，由 4-2-9 甲图可得：x ? v0t ?1 ○阳光家教网 1 y ? gt ?2 2 tan ? ? y x2 ○高中（高考）物理复习资料A．地面的观察者看到这些物体在空中排列在 抛物线上，它们做平抛运动 B．地面的观察者看到这些物体在空中排列在 一直线上，它们都做平抛运动 C．飞机上的观察者看到这些物体在空中排列 在抛物线上，它们都做自由落作运动 D．飞机上的观察者看到这些物体在空中排列 在一直线上，它们都做自由落体运动 4．物体以速度 v0 水平抛出，若不计空气阻力，当 其竖直分位移与水平分位移相等时( A．竖直分速度等于水平分速度 B．即时速度大小为 BCD )3 ○1 2 gt ? gt ? 2 ? 由○ 1 ○ 2 ○ 3 有 tan ? ? v0t ? v02v tan ? 故 t? ? 0 g（3） 由于速度与斜面垂直， 从而可将速度按图 4-2-9 乙水平方向和竖直方向进行分解，5v02 2v0 /gC．运动的时间为 2v0/g D．运动的位移为 2vx ? v0 , vy ? gt ??v 由几何关系有： tan ? ? 0 gt ??所以 t ?? ?5．如图所示，物体 1 从高 H 处以初速度 v1 平抛，同时物 体 2 从地面上以速度 v2 竖直 上抛，不计空气阻力，若两物 体恰能在空中相遇，则( BC ) A．两物体相遇时距地面v0 g tan ?4-2-10【答案】 （1）v0=8.66m/s，t=1.5s，h=11.25m； （ 2）的高度为 H/2 B．从抛出到相遇所用的时间为 H/v2 C．两物体抛出时的水平距离为 Hv1/v2 D．两物体相遇时速率一定相等 6．一个物体以速度 v0 水平抛出，落地时速度的大t? ?2v0 tan ? v0 ； （3） t ?? ? g g tan ?课后创新演练1． 关于平抛运动， 下列几种说法不正确的是( A.平抛运动是一种匀变速曲线运动 B.平抛运动的落地时间与初速度大小无关 C.平抛运动的水平位移与抛出点的高度无关 D.平抛运动在相等时间内速度的变化相等 2．飞机以 150m/s 的水平速度匀速飞行，不计空气 阻力，在某一时刻让 A 物落下，相隔 1s 又让 B 物 体落下， 在以后运动中关于 A 物体与 B 物体的位置 关系，正确的是( D ) A.物 A 在物 B 的前下方 B.物 A 在物 B 的后下方 C.物 A 在物 B 的正下方 5m 处 D.以上说法都不正确 3． 从一架匀速飞行的飞机上每隔相等的时间释放一 个物体， 这些物体在空中的运动情况是(空气的阻力 不计)( AD ) C )小为 v，不计空气的阻力，则物体在空中飞行的时 间为( C ) B．A．v ? v0 gv ? v0 g2 v 2 ? v0 C． g2 v 2 ? v0 D． g7．一足球运动员开出角球，球的初速度是 20 m/s， 踢出时和水平面的夹角是 37° ，如果球在飞行过程 中，没有被任何一名队员碰到，空气阻力不计，落 点与开出点之间的距离为( A．38.4 m C．76.8 m A ) B．19.2 m D．153.6 m8．一水平放置的水管，距地面高 h=1.8m，管内横 截面面积 S=2.0cm2，有水从管口处以不变的速度 v=2.0m/s 源源不断地沿水平方向射出，设出口处横阳光家教网 截面上各处水的速度都相同，并假设水流在空中不 散开。取重力加速度 g=10m/s,不计空气阻力。求水 流稳定后在空中有多少立方米的水。 【解析】水做平抛运动，尽管我们无法求出轨迹的 长度和截面积，但考虑到出水速度是恒定的，只要 求出水在空中的时间，就可以求得流量。以 t 表示vy ? 2 ghvx ?高中（高考）物理复习资料s 2h 2 g初速度的水平和竖直分速度分别为 vx 、 vy 。则：2 2 那么， v ? vx ? vy可见只要测出射高为 h 和射程为 s 即可。10．在一次投篮游戏中，同学小创调整好力度，将球从 A 点向篮筐 B 投去，结果球如图 4-2-11 所示划 着一条弧线飞到篮筐后方，已知 A.B 等高，请问，下 轮再投时， 他将如何调整？若保持力度不变， 把球投 入篮筐，他有几种投法？1 2 水由喷口处到落地所用的时间，有： h ? gt ， 2单位时间内喷出的水量为 Q ? Sv ， 空中水的总量 应为 V ? Qt ，由以上各式得： V ? S ? v ? 代入数据得： V ? 2.4 ?10 m【答案】2.4× 10-4m3. 9．有一位同学在做本实验时，想知道水流离开喷水 嘴时的初速度大小， 但又没有直接的测量工具， 一时 不能如愿。你能想办法帮他间接测量出来吗？若能， 说出做法；若不能，说明理由。本次实验中，你的装 置中喷水嘴的喷水初速度大小大约是多少？ 【解析】能。设射高为 h 和射程为 s，喷水嘴处水流?4 32h gA图 4-2-11B【解析】保持抛射角不变，减少初速度；或保持初 速度不变， 改变抛射角； 或初速度和抛射角都调整。 两种。一是减小抛射角，二是增大抛射角。因为除 最大射程外，每一射程都对应两个抛射角。第 3 课时基础知识回顾1．描述圆周运动的物理量描述圆周运动的物理量定义式为 a ?匀速圆周运动v2 或 a ? rw2 ． r1）线速度:是描述质点绕圆周运动快慢的物理 量,某点线速度的方向即为该点切线方向,其大小的 ?l 定义式为： v ? ． ?t 2） 角速度: 是描述质点绕圆心圆周运动快慢的 ?? 物理量,其定义式为： w ? ,国际单位为 rad/s． ?t 3）周期和频率:周期和频率都是描述圆周运动 快慢的物理量 , 用周期和频率计算线速度的公式为 2?r v? ? 2?rf , 用周期和频率计算角速度的公式 T5） 向心力: 向心力是物体做圆周运动时受到的 总指向圆心的力，其作用效果是使物体获得向心加 速度(由此而得名)，其作用效果是只改变线速度的 方向，而不改变线速度的大小 , 其大小可表示为F?mv2 或 F ? mrw2 ．方向时刻与运动的方向垂 r直.它是根据效果命名的力. 说明：向心力，可以是几个力的合力，也可以是 某个力的一个分力；既可能是重力、弹力、摩擦力， 也可能是电场力、 磁场力或其他性质的力． 如果物体 作匀速圆周运动， 则所受合力一定全部用来提供向心 力．2? ? 2?f . 为w? T4） 向心加速度: 是描述质点线速度方向变化快 慢的物理量, 向心加速度的方向指向圆心,其大小的2．匀速圆周运动阳光家教网 1）定义：做圆周运动的物体，在相同的时间内 通过的弧长都相等．在相同的时间物体与圆心的连 线转过的角度都相等． 2）特点：在匀速圆周运动中, 线速度的大小不 变, 线速度的方向时刻改变 . 所以匀速圆周运动是 一种变速运动．做匀速圆周运动的物体向心力就是 由物体受到的合外力提供的.高中（高考）物理复习资料因 A、 B 两轮同轴转动， 角速度相等， 即 ω A= ω B， 所以 A、B、C 三轮角速度之比 ω A∶ ω B∶ ωC=2∶ 2∶ 1． 因 A 轮边缘的线速度 vA=ωARA=2ωBRB=2vB， 所以 A、B、C 三轮边缘线速度之比 v A∶ v B∶ vC=2∶ 1∶ 1． 根据向心加速度公式 a=ω2R，所以 A、B、C 三轮边缘向心加速度之比2 2 2 a A : aB : aC ? ? A RA : ? B RB : ?C RC3．离心运动:1）定义：做匀速圆周运动的物体，当其所受向 心力突然消失或不足以提供向心力时而产生的物体 逐渐远离圆心的运动，叫离心运动． 2）特点： （1）当 F 合= mr? 2 的情况，即物体所受力等于 所需向心力时，物体做圆周运动. （2）当 F 合& mr? 2 的情况，即物体所受力小于 所需向心力时，物体沿曲线逐渐远离圆心做离心运 动. 了解离心现象的特点，不要以为离心运动就是 沿半径方向远离圆心的运动． （3）当 F 合＞ mr? 2 的情况，即物体所受力大 于所需向心力时，表现为向心运动的趋势=8∶ 4∶ 2=4∶ 2∶ 1． 【答案】2∶ 2∶ 1 ；2 ∶ 1∶ 1；4∶ 2∶ 1。 【点拨】在分析传动问题时，要抓住不等量和相等 量的关系．同一个转轮上的角速度相同，而线速度 跟该点到转轴的距离成正比．在不考虑皮带打滑的 情况下，传动皮带及和皮带相接触的两轮边缘上的 各点线速度的大小相等．?拓展如图 4-3-2 所示，O1 皮带传动装置的主动轮的轴心，轮的半径为 r1；O2 为从动轮的轴心，轮的半 径为 r2； r3 为与从动轮固定在一起的大轮的半径． 已 知 r2＝1.5r1，r3=2r1．A、B、C 分别是三个轮边缘 上的点，那么质点 A、B、C 的线速度之比是 _________ ，角速度之比是_________ ，向心加速 度之比是__________ ，周期之比是_________．重点难点例析一、描述匀速圆周运动的物理量之间的关系共轴转动的物体上各点的角速度相同， 不打滑的皮 带传动的两轮边缘上各点线速度大小相等。 【例 1】如图 5-2-1 所示的传动装置中，A、B 两轮 同轴转动． A 、 B 、 C 三轮的半径大小的关系是 RA=RC=2RB． 当皮带不打滑时， 三轮的角速度之比、 三轮边缘的线速度大小之比、 三轮边缘的向心加速 度大小之比分别为多少？图 4-3-2【解析】由于 A、B 轮由不打滑的皮带相连，故vA ? vB ．又由于 v ? ?r ，则图 4-3-1? A rB 1.5r1 3 ? ? ? ?B rA r1 2由于 B、C 两轮固定在一起 所以 ωB=ωC． 由 v ? ?r 知【解析】由于皮带不打滑，因此，B、C 两轮边缘 线速度大小相等，设 vB=vC=v．由 v=ωR 得两轮角 速度大小的关系 ω B∶ ωC=RC∶ RB=2∶ 1．vB rB 1.5r1 3 ? ? ? vC rC 2r1 4阳光家教网 所以有 ?A : ?B : ?C高中（高考）物理复习资料? 3:2:2为了避免汽车发生离心运动酿成事故，试求汽车安 全行驶的速度范围。 （g=10m/s2） 【解析】汽车所受的静摩擦力提供向心力，为了保 证汽车行驶安全，根据牛顿第二定律，依题意有：vA : vB : vC ? 3: 3: 4由于 vA? vB ，依 a ?v a R 3 得 A ? B ? R aB RA 22kMg≥Mv2 R由于 ?B2 依a ?? R得 ? ?C ，aB RB 3 ? ? aC RC 4代入数据可求得：υ=10m/s。 【答案】0～10m/s.aA : aB : aC ? 9 : 6 :8再由 T ?三、圆周运动中向心力的来源分析向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力， 也可以是某些力的合力，或某力的分力。它是按力 的作用效果来命名的。分析物体做圆周运动的动力 学问题， 应首先明确向心力的来源。 需要指出的是： 物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合 外力。物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力 沿半径方向的分力（或所有外力沿半径方向的分力 的矢量和） 。2??知1 1 1 TA : TB : TC ? : : ? 2 : 3 : 3 3 2 2【答案】3：3：4，3：2：2，9：6：8，2：3：3二、关于离心运动的问题物体做离心运动的轨迹可能为直线或曲 线。半径不变时物体作圆周运动所需的向心力， 是与角速度的平方（或线速度的平方）成正比 的。若物体的角速度增加了，而向心力没有相 应地增大，物体到圆心的距离就不能维持不变， 而要逐渐增大使物体沿螺线远离圆心。若物体 所受的向心力突然消失，即将沿着切线方向远 离圆心而去。 【例 2】物体做离心运动时，运动轨迹 A．一定是直线 B．一定是曲线 C．可能是直线，也可能是曲线 D．可能是圆 【解析】一个做匀速圆周运动的物体，当它所受的 向心力突然消失时， 物体将沿切线方向做直线运动， 当它所受向心力逐渐减小时，则提供的向心力比所 需要的向心力大，物体做圆周运动的轨道半径会越 来越大，物体的运动轨迹是曲线。 【答案】C 【点拨】理解离心运动的特点是解决本题的前提。? 易错门诊【例 3】如图 4-3-3 所示， 水平转盘的中心有个竖直 小圆筒， 质量为 m 的物体 A 放在转盘上， A 到竖直筒中 心的距离为 r.物体 A 通过 轻绳、 无摩擦的滑轮与物体 B 相连，B 与 A 质量相同. 物体 A 与转盘间的最大静摩擦力是正压力的 μ 倍， 则转盘转动的角速度在什么范围内，物体 A 才能随 盘转动. 【错解】当 A 将要沿盘向外滑时，A 所受的最大静 摩擦力 Fm ′指向圆心，则 Fm ′＝mωm2r Fm ′＝μFN＝μmg 由① 、② 解得： ?m ② ① 由于由于最大静摩擦力是压力的 μ 倍，即4-3-3??gr要使 A 随盘一起转动，其角速度 ω 应满足0＜?＜?gr?拓展质量为 M＝1000kg 的汽车，在半径为 R＝25m【错因】A 物随盘一起做匀速圆周运动提供是绳的 拉力和 A 物所受的摩擦力的合力，而拉力的大小始 终等于 B 物的重力。 【正解】由于 A 在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所的水平圆形路面转弯，汽车所受的静摩擦力提供转 弯的向心力，静摩擦力的最大值为重力的 0.4 倍。阳光家教网 以它所受的合外力必然指向圆心，而其中重力、支 持力平衡，绳的拉力指向圆心，所以 A 所受的摩擦 力的方向一定沿着半径或指向圆心，或背离圆心. 当 A 将要沿盘向外滑时，A 所受的最大静摩擦 力指向圆心，A 的向心力为绳的拉力与最大静摩擦 力的合力.即 F＋Fm ′＝mω12r 由于 B 静止，故 F＝mg ② ①高中（高考）物理复习资料T?1 可知 C 选项错误。 n（ ）【答案】B 2． 关于向心力的说法正确的是 A.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力 B.做圆周运动的物体除受其他力外，还要受到一个 向心力的作用 C.向心力不改变圆周运动物体速度的大小 D.做圆周运动的物体其向心力是不变的 【解析】物体因为受到一个向心力的作用而做圆周 运动，且这个向心力是根据力的效果命名的，并非 是除其他力之外的一个新的概念的力。由于做圆周 运动物体的向心力方向随时发生变化，因此做匀速 圆周运动的物体所受的向心力虽然大小不变，但却 是变力。向心力方向随时与速度方向垂直，因此它 不改变物体的速度大小，正确答案是 C。 【答案】C 3. 关于洗衣机脱水桶的有关问题，下列说法中正确 的是 A．如果衣服上的水太多脱水桶就不能进行脱水 B．脱水桶工作时衣服上的水做离心运动，衣服并由于最大静摩擦力是压力的 μ 倍，即 Fm ′＝μFN＝μmg ③ 由① 、② 、③ 解得 ω1＝g(1 ? ?) / r ；当 A 将要沿盘向圆心滑时，A 所受的最大静摩 擦力沿半径向外，这时向心力为： F－Fm ′＝mω22r ④ 由② 、③ 、④ 得 ω2＝g(1 ? ?) / r .不做离心运动 C．脱水桶工作时桶内的衣服也会做离心运动。所 以脱水桶停止工作时衣服紧贴在桶壁上 D．白色衣服染上红墨水时，也可以通过脱水桶将 红墨水去掉使衣服恢复白色 【答案】C要使 A 随盘一起转动，其角速度 ω 应满足g(1 ? ?) / r ≤ω≤ g(1 ? ?) / r答案g(1 ? ?) / r ≤ω≤ g(1 ? ?) / r【点悟】根据向心力公式解题的关键是分析做匀速 圆周运动物体的受力情况；明确哪些力提供了它需 要的向心力.课后创新演练1．甲沿着半径为 R 的圆周跑道匀速跑步，乙沿着 半径为 2R 的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内， 甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大课堂自主训练1． 质点做匀速圆周运动时， 下列说法正确的是 （ A.线速度越大，周期一定越小 B.角速度越大，周期一定越小 C.转速越小，周期一定越小 D.圆周半径越大，周期一定越小 【解析】由关系式 T ? ）小分别为 ω1、ω2 和 v1、v2.则 A．ω1＞ω2，v1＞v2 B．ω1＜ω2，v1＜v2 C．ω1＝ω2，v1＜v2 D．ω1＝ω2，v1＝v2 2．如图 4-3-4 所示，静止在地 球上的物体都要随地球一起转 动 ， 下 列 说 法 正 确 的 是 （A ） A．它们的运动周期都是相同的（ C ）2? R ，可知 A、D 选项错 v可知 B 选项正确；由关系式误；由关系式 T ?2??4-3-4阳光家教网 B．它们的线速度都是相同的 C．它们的线速度大小都是相同的 D．它们的角速度是不同的 3．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽 车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的 车轮半径为 30 cm，当该型号轿车在高速公路上行 驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h” 上，可估算出该车车轮的转速约为（ B ） A．1000 r/s C．1000 r/h B．1000 r/min D．2000 r/h高中（高考）物理复习资料C．小球只受到一个水平指向圆心的向心力作用 D．小球受到重力和弹力的合力是恒力 8．关于离心运动，下列说法中正确的是（ D ） A．物体突然受到向心力的作用，将做离心运动 B ．做匀速圆周运动的物体，在外界提供的向心力 突然变大时将做离心运动 C．做匀速圆周运动的物体，只要向心力的数值发 生变化，就将做离心运动 D．做匀速圆周运动的物体，当外界提供的向心力 突然消失或变小时将做离心运动 9.为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴 杆上固定着两个薄圆盘 a、b，a、b 平行相距 2 m， 轴杆的转速为 3600 r/min，子弹穿过两盘留下两个 弹孔 a、b，测得两孔所在的半径间的夹角为 30° ， 如图 4-3-6 所示则该子弹的速度是( C )4． 用绳子拴着一个物体， 使物体在光滑的水平桌面 上做匀速圆周运动，绳子断了以后，物体将（B） A.仍维持圆周运动 B.沿切线方向做直线运动 C.沿半径方向接近圆心 D.沿半径方向远离圆心 5． 市内公共汽车在到达路口转弯前， 车内广播中就 要播放录音：“乘客们请注意，前面车辆转弯，请拉 好扶手”。这样可以 （ C ） A．提醒包括坐着和站着的全体乘客均拉好扶手， 以免车辆转弯时可能向前倾倒 B ．提醒包括坐着和站着的全体乘客均拉好扶手， 以免车辆转弯时可能向后倾倒 C．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转 弯时可能向转弯的外侧倾倒 D．主要是提醒站着的乘客拉好扶手，以免车辆转 弯时可能向转弯的内侧倾倒 6． 关于列车转弯处内外铁轨间的高度关系， 下列说 法中正确的是 （ C ） A．内、外轨一样高，以防列车倾倒造成翻车事故 B ．因为列车转弯处有向内倾倒的可能，故一般使 内轨高于外轨，以防列车倾倒 C．外轨比内轨略高，这样可以使列车顺利转弯， 减少车轮与铁轨的挤压 D．以上说法都不对 7．如图 4-3-5 所示，一小球 套在光滑轻杆上， 绕着竖直轴 OO/匀速转动，下列关于小球 受力的说法中正确的是 （ B ） A．小球受到重力、弹力和向 心力作用 B．小球受到重力和弹力作用4-3-6A.360 m/s C.1440 m/s B.720 m/s D.1080 m/s10．如图 4-3-7 所示，一种向自行车车灯供电的小 发电机的上端有一半径 r0=1.0cm 的摩擦小轮，小轮 与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦 而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车 车轮的半径 R1=35cm，小齿轮的半径 R2=4.0cm，大 齿轮的半径 R3=10.0cm。求大齿轮的转速 n1 和摩擦 小轮的转速 n2 之比。 （假定摩擦小轮与自行车轮之 间无相对滑动）摩擦小轮 小发电机 车轮 大齿轮 链条 小齿轮4-3-7【解析】大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带 传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等， 由 v=2πnr 可知转速 n 和半径 r 成反比； 小齿轮和车 轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传 动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比 n1∶ n2=2∶ 1754-3-5阳光家教网 【答案】2∶ 175高中（高考）物理复习资料第 4 课时基础知识回顾1．圆周运动的动力学问题匀速圆周运动动力学及实例分析v2 A．向心加速度为 rv2 B．向心力为 m( g ? ) rC．对球壳的压力为做匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力， 即v2 4? 2 2 F 合=F 向，或 F 合= m = m? r = m 2 r 。 r T2．竖直平面内的圆周运动中的临界问题1）轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆 周运动。小球能到达最高点（刚好做圆周运动）的条 件是小球的重力恰好提供向心力， 即 mg 时的速度是做圆周运动的最小速度 vminmv 2 rv2 ) r?mv2 ， 这 rD．受到的摩擦力为 ? m( g ?【解析】物体在最低点沿半径方向受重力、球壳对物 体的支持力，两力的合力提供物体做圆周运动在此位 Z的向心力，由牛顿第二定律有：FN? gr 。2）轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆 周运动，小球能到达最高点（刚好做圆周运动）的探 究是在最高点的速度 v≥ 0 . （1）当 v ? 0 时，杆对小球的支持力等于小球的 重力； （2）当 0 ? v ? 小球的重力； （3）当 v ? （4）当 v ?? mg ?mv 2 ， r物体的向心加速度为v2 mv 2 ，向心力为 ，物体对球 r r壳的压力为 m( g ?gr 时，杆对小球的支持力小于v2 ) ，在沿速度方向，物体受滑到 r ? ? FN ? ? m( g ? v2 )， r摩擦力， 由摩擦定律有：Ffgr 时，杆对小球的支持力等于零；综上所述，选项为 A、D 正确。gr 时，杆对小球提供拉力。重点难点例析【答案】A、D 【点拨】匀速圆周运动动力学规律是物体所受合外力 提供向心力， 即 F 合=F 向，或 F 合= m一、圆周运动的动力学问题解决有关圆周运动的动力学问题，首先要正确对 做圆周运动的物体进行受力分析， 必要时建立坐标系， 求出物体沿半径方向的合外力，即物体做圆周运动时 所能提供的向心力，再根据牛顿第二定律等规律列方 程求解。 【例 1】质量为 m 的物体沿着半径为 r 的半球形金属 球壳滑到最低点时的速度大小为 v，如图所示，若物 体与球壳之间的摩擦因数为 μ ，则物体在最低点时 （ ）v2 4? 2 2 = m? r = m 2 r 。 r T这一关系是解答匀速圆周运动的关键规律。?拓展铁路转弯处的弯道半径 r 是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外高度差 h 的设计不仅 与 r 有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率。下表 中是铁路设计人员技术手册中弯道半径 r 及与之相对 应的轨道的高度差 h。阳光家教网 弯道半径 r （cm） 内外轨高度 差 h（m）660 330 220 165 132 110高中（高考）物理复习资料则绳与小球的情况即为此类临界问题，因为绳只 能提供拉力不能提供支持力． 竖直面内圆周运动的最高点，当有支撑面(点) 时，物体的临界速度： v临 ? 0 杆与球的情况为此类临界问题，因为杆既可以提 供拉力，也可提供支持力或侧向力． 2．当静摩擦力提供物体做圆周运动的向心力时， 常会出现临界值问题． 【例 2】 【2008 广东佛山质检 14】在游乐园坐过山 车是一项惊险、刺激的游戏。据《新安晚报》报道， 2007 年 12 月 31 日下午 3 时许，安徽芜湖方特欢乐世 界游乐园的过山车因大风发生故障突然停止，16 位游 客悬空 10 多分钟后被安全解救， 事故幸未造成人员伤 亡。游乐园“翻滚过山车”的物理原理可以用如图 4-4-1 所示的装置演示。斜槽轨道 AB、EF 与半径 R=0.4m 的竖直园轨道（圆心为 O）相连，AB、EF 分别与园 O 相切于 B、E 点，C 为轨道的最低点，斜轨 AB 倾角 为 370。质量 m=0.1kg 的小球从 A 点由静止释放，先 后经 B、C、D、E 到 F 点落入小框。 （整个装置的轨 道光滑，取 g=10m/s2, sin37° =0.6, cos37° =0.8）求： （1）小球在光滑斜轨 AB 上运动的过程中20.050.100.150.200.250.30（1）根据表中数据，试导出 h 与 r 关系的表达式，并 求出当 r=440m 时，h 的设计值。 （2） 铁路建成后， 火车通过弯道时， 为保证绝对安全， 要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力，又已知我国 铁路内外轨的距离设计值 L=1.435m，结合表中数据， 求出我国火车的转弯速率 v（路轨倾角很小 α 时，可 认为 tan ? ? sin ? ） 【解析】 （1）分析表中数据可得，每组的 h 与 r 之乘 积均等于常数 C ? 660m ? 50 ?10 m ? 33m ，因2 ?3此， h ? r ? 33(或h ?33 ) r 33 m ? 0.075m ? 75mm 440当 r=440m 时，有： h ?（2）转弯中，当内外轨对车轮均没有侧向压力时，火 车的受力如同 4-4-1 所示。 由牛顿定律得：mg tan ? ? mv r1 ○加速度的大小； （2）要使小球在运动 的全过程中不脱离轨因为 α 很小，有：h tan ? ? sin ? ? L1 、○ 2 可得： v ? 由○4-4-1 2 ○道， A 点距离最低点的 竖直高度 h 至少多 高？4-4-2ghr L【解析】 （1）小球在斜槽轨道 AB 上受到重力和支持 力作用，合力为重力沿斜面向下的合力，由牛顿第二 定律得： mg sin 370代入数据解得：v=15m/s=54km/h 【答案】 （1）75mm； （2）54km/h。? maa ? g sin 370 ? 6.0m / s 2 。（2）要使小球从 A 点到 F 点的全过程不脱离轨道， 只要在 D 点不脱离轨道即可， 物体在 D 点做圆周运动 临界条件是： mg二、圆周运动的临界问题圆周运动中临界问题的分析，应首先考虑达到临 界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体受 力的特点，结合圆周运动的知识，综合解决问题． 1．在竖直面内做圆周运动的物体 竖直面内圆周运动的最高点，当没有支撑面(点) 时，物体速度的临界条件是： v临 ? Rg 由机械能守恒定律得： mg (h ? 2 R)?mv 2 R? mv 2 2解以上两式得 A 点距离最低点的竖直高度 h 至少为：阳光家教网 高中（高考）物理复习资料v2 h ? 2R ? ? 2.5R ? 1.0m 。 2g【答案】 （1）6.0m/(2)1.0m。 【点拨】本题侧重考察圆周运动临界条件的应用。物 体运动从一种物理过程转变到另一物理过程，常出现 一种特殊的转变状态，即临界状态。通过对物理过程 的分析，找出临界状态，确定临界条件，往往是解决 问题的关键。2低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于 圆管的合力为零，那么 m1，m2，R 与 v0 应满足关系式 是。 【错解】依题意可知在 A 球通过最低点时，圆管给 A 球向上的弹力 N1 为向心力，则有2 v0 RN1 ? m11 ○B 球在最高点时，圆管对它的作用力 N2 为 m2 的 向心力，方向向下，则有?拓展游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游 客却不会掉下来如图 4-4-3， 我们把这种情况抽象为图 4-4-4 的模型；弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使 小球从弧形轨道上端滑下，小球进入圆轨道下端后沿 原轨道运动，实验发现，只要 h 大于一定值，小球就 可以顺利通过圆轨道的最高点．如果已知圆轨道的半 径为 R，h 至少要等于多大？不考虑摩擦等阻力．v12 N 2 ? m2 R2 ○ 3 ○因为 m2 由最高点到最低点机械能守恒，则有1 1 2 m2 g 2 R ? m2v12 ? m2v0 2 2 N1=N2由○ 1 、○ 2 、○ 3 式解得： v0?4m2 gR m2 ? m1【错因】错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏 规范的解题过程。没有做受力分析，导致漏掉重力， 表面上看分析出了 N1=N2，但实际并没有真正明白为 什么圆管给 m2 向下的力。 总之从根本上看还是解决力 学问题的基本功受力分析 不过关。图 4-4-3图 4-4-4【正解】首先画出小球运动 达到最高点和最低点的受 力图，如图 4-4-5 所示。A 球在圆管最低点必受向上弹力 N1，此时两球对圆管的【解析】小球在最高点时不掉下来的条件是：圆轨道对小球的弹力 FN≥0，此时有v2 m g ? FN ? m R1 mgh ? mg 2 R ? mv 2 2【答案】2.5R.（1）合力为零，m2 必受圆管向下的弹力 N2，且 N1=N2。 据牛顿第二定律 A 球在圆管的最低4-4-5而在整个运动过程中，由机械能守恒定律有 （2）N1 ? m1g ? m12 v0 R1 ○v12 R同理 m2 在最高点有：由以上各式联列可解得 h≥2.5R,即 h 至少要等于 2.5R．m2 g ? N 2 ? m22 ○三、圆周运动的综合问题m2 球由最高点到最低点机械能守恒? 易错门诊【例 3】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为 R（比细管的半径大得多） ，圆管中有两个 直径与细管内径相同的小球 （可视为质点） 。A 球的质 量为 m1， B 球的质量为 m2。它们沿环形圆管顺时针 运动，经过最低点时的速度都为 v0。设 A 球运动到最1 1 2 m2 g 2 R ? m2v12 ? m2v0 2 2 又 N1=N2由○ 1 、 2 、 3 式解得： v0 ○ ○3 ○?(5m2 ? m1 ) gR m2 ? m1【点悟】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草阳光家教网 图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。 找出其中的联系就能很好地解决问题。高中（高考）物理复习资料课堂自主训练1.如图 4-4-6 所示，质量 为 m 的物块与转台之间 的动摩擦因数为 μ， 物体 与转轴相距 R， 物块随转 台由静止开始转动， 当转 速增加到某值时， 物块即 将在转台上滑动， 此时转 台已开始做匀速圆周运动，在这一过程中，摩擦力对 物体做的功为（ ） A．0 B．2 ?? mgR C．2μmgR D．μmgR/2 【解析】当物块随转台匀速运动时，由 ? mg ? m v 知，R1 2 1 mv ? ? mgR ． 2 22当小球刚好离开锥面时 N=0（临界条件） 则有 Tsinθ=mω2r ④ T? cosθ-G=0 ⑤ 由④ ⑤ 式可得 ? ? 即小于的角速度至少为 【答案】g L cos?g L cos?g L cos?图 4-4-6课后创新演练1．如图 4-4-9 所示，有一质量为 M 的大圆环，半径为 R，被一轻杆固定后悬挂在 O 点，有两个质量为 m 的 小环（可视为质点） ，同时 从大环两侧的对称位置由 静止滑下.两小环同时滑到 大环底部时，速度都为 v， 则此时大环对轻杆的拉力 大小为（ C ） A． （2m+2M）g C．2m(g+v2/R)+Mg B．Mg－2mv2/R D．2m(v2/R－g)+Mg图 4-4-9由动能定理知： 摩擦力 Ff 的功： W f ?1 2 1 mv ? 0 ? ? mgR 2 22．当汽车以 10m/s 的速度通过某拱桥顶点时，车对桥顶 的压力为车重的 3/4， 为了避免车沿粗糙桥面上行驶至该 桥顶时所受摩擦力为零，则汽车通过桥顶速度不应 （ B ） A．v≥15m/s C．v≥25m/s B．v≥20m/s D．v≥30m/s【答案】D 2. 如图 4-4-7 所示，在光滑的圆锥 顶用长为 L 的细线悬挂一质量为 m 的小球，圆锥顶角为 2θ，当圆 锥和球一起以角速度 ω 匀速转动 图 4-4-7 时，球压紧锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离 开锥面，则小球的角速度至少为多少？ 【解析】小球在水平面内 做匀速圆周运动，由绳子 的张力和锥面的支持力两 者的合力提供向心力，在 竖直方向则合外力为 零．由此根据牛顿第二定 图 4-4-8 律列方程，即可求得解 答．对小球进行受力分析 如图 4-4-8 所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有 T? sinθ-N? cosθ=mω2r ① y 方向上应有 N? sinθ+T? cosθ-G=0 ② ∵ r = L?sinθ ③ 由① 、② 、③ 式可得 T = mgcosθ+mω2Lsinθ3．如图 4-4-10 所示，轻杆的一端有一小球，另一端有 光滑的固定轴 O．现给球一初速 度，使球和杆一起绕 O 轴在竖直 面内转动，不计空气阻力，用 F 表示球到达最高点时对小球的作 用力，则 F（ D ） A．一定是拉力 B．一定是推力 C．一定等于 0 D．可能是拉力，也可能是推力，也可能等于 0 4．如图 4-4-11 所示，一球质量 为 m， 用长为 L 的细线悬挂于 O 点， 在 O 点正下 L/2 处钉有一根 长钉， 把悬线沿水平方向拉直后 无初速度释放， 当悬线碰到钉子 瞬间下列说法正确的是 （ BCD ）图 4-4-11 4-4-10阳光家教网 A．小球的线速度突然加大 B．小球的向心加速度突然增大 C．小球的角速度突然增大 D．悬线拉力突然增大 5．如图 4-4-12 所示，手持 一根长为 L 的轻绳的一端 在水平桌面上做半径为 r、 角速度为 ω 的匀速圆周运 动， 绳始终保持与该圆周相 切， 绳的另一端系质量为 m 的木块， 木块也在桌面上做 匀速圆周运动， 不计空气阻 力（ D ） A．手对木块不做功 B．木块不受桌面的摩擦力 C．绳的拉力大小等于 m? 3 l 2 ? r 2 D．手拉木块做功的功率等于 m? 3 r (l 2 ? r 2 ) / l 6．如图 4-4-13 所示，MN 是两个共轴圆筒的横截面， 外筒半径为 R，内筒 半径比 R 小得多，可 忽略不计，筒的两端 是封闭的，两筒之间 抽成真空，两筒以相 同的角速度 ω 绕其中图 4-4-13 图 4-4-12高中（高考）物理复习资料量车速和行程的装置的示意图.A 为光源， B 为光电接 收器，A、B 均固定在车身上，C 为小车的车轮，D 为与 C 同轴相连的齿轮.车轮转动时，A 发出的光束 通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被 B 接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示.若实 验显示单位时间内的脉冲数为 n，累计脉冲数为 N， 则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或 数据是 ；小车速度的表达式为 v= . ;行程 的表达式为 s=图 4-4-14 【解析】小车的速度等于车轮的周长与单位时间内车 轮转动圈数的乘积.设车轮的半径为 R，单位时间内车 轮转动圈数为 k，则有 v=2πRk 若齿轮的齿数为 p，则齿轮转一圈电子电路显示 的脉冲数即为 p， 已知单位时间内的脉冲数为 n， 所以 单位时间内齿轮转动圈数为n ， 由于齿轮与车轮同轴 p n p相连，它们在单位时间内转动圈数相等，即 k=由以上两式可得，v=心轴线(图中垂直于纸面)匀速转动，设从 M 筒内部可 以通过窄缝 S(与 M 筒的轴线平行)不断地向外射出两 种不同速率 v1 和 v2 的微粒， 从 S 处射出时初速度的方 向都是沿筒的半径方向，微粒到达 N 筒后就附着在 N 筒上，如果 R、v1 和 v2 都不变，而 ω 取某一合适的值， 则以下说法中正确的是（ ABC ） A．有可能使微粒落在 N 筒上的位置都在 a 处的一条 与 a 缝平行的窄条上 B．有可能使微粒落在 N 筒上的位置都在某一处如 b 处的一条与 S 缝平行的窄条上 C．有可能使微粒落在 N 筒上的位置分别在某两处如 b 处和 c 处与 S 缝平行的窄条上 D．只要时间足够长，N 筒上将到处都落有微粒 7． 质量相等的两汽车以相同的速度 v 分别通过半径为 R 的凸形桥顶 P 与凹形桥底 P′时两桥面所受的压力之 比为 FP∶ FP′=(gR-v2)∶ （gR＋v2） 8．如图 4-4-14 所示为一实验小车中利用光电脉冲测 且 K=2 πRn p同理， 设车轮转动的累计圈数为 K， 则有 s=2πRK，N 2 πRN ，所以 s= p p可见， 要测出小车的速度 v 和行程 s， 除单位时间 内的脉冲数 n 和累计脉冲数 N 外，还必须测出车轮半 径 R 和齿轮的齿数 p. 9．在一根长为 L 的不计质 量的细杆中点和末端各连 一质量为 m 的小球 B 和 C， 如图 4-4-15 所示，杆可以 在竖直平面内绕固定点 A 转动，将杆拉到某位置放 开，末端 C 球摆到最低位 置时， 杆 BC 受到的拉力刚图 4-4-15好等于 C 球重的 2 倍．求： （g=10m/s2）阳光家教网 （1）C 球通过最低点时的线速度； （2）杆 AB 段此时受到的拉力． 【解析】 （1）C 球通过最低点时，受力如图且作圆周 运动，F 向=TBC－mg高中（高考）物理复习资料等且都为 ? ，均小于 100，图 4-4-17 乙表示滑块对器 壁的压力 F 随时间 t 变化的曲线，且图中 t=0 为滑块 从 A 点开始运动的时刻． 试根据力学规律和题中(包括 图中)所给的信息，求小滑块的质量、容器的半径及滑 块运动过程中的守恒量．(g 取 10m/s2) 【解析】由图乙得小滑块 A、A/之间做简谐运动的周VC2 即 2mg－mg= m l得 vC= gL ，即为所求. （2）以最低点 B 球为研究4-4-16期 T=对象，其受力如图 4-4-16 球圆周运动的2 F 向=TAB－mg－2mg 即 TAB－3mg= m V B ，?5s，由 T ? 2? R 得：R=0.1m gL/2且 vB= 1 vC2在最高点 A，有 Fmin=mgcosθ，式中 Fmin=0.495N 在最高点 B，有 Fmax-mg=m得 TAB=3.5mg 即为所求.10．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速 变化的力，图 4-4-17 甲表示小滑块(可视为质点)沿固 定的光滑半球形容器内壁在竖直平面的 A 、 A? 之间来 回滑动． A 、 A? 点与 O 点连线与竖直方向之间夹角相 mv2=mgR(1-cosθ)v2 ,Fmax=0.495N R从 A 到 B 过程中，滑块机械能守恒，1 2由以上各式联立解得：cosθ=0．99，则 m=0.05kg 滑块机械能 E=1 2 mv =mgR(1―cosθ)=5× 10-4J 2从以上分析可求出小滑块质量 m=0.05kg，容器的半径 R=0.1 m，滑块运动的守恒量是机械能 E=5× 10-4J.第5 图 4-4-17基础知识回顾1．开普勒三定律课时万有引力定律及其应用他们之间的距离的二次方成反比。 2）公式： F= G1）第一定律（轨道定律） ：所有的行星围绕太阳的 轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 2）第二定律（面积定律） ：对任意一个行星来说， 它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。 3）第三定律（周期定律） ：所有行星的轨道的半长 轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相 等。 在近似情况下，通常将行星或卫星的椭圆轨道 运动处理为圆轨道运动。m1m2 ， r2其中 G=6.67× 10-11N? m2/kg2，叫引力常量。 3） 适用条件： 仅仅适用于质点或可以看作质点的物 体。相距较远（相对于物体自身的尺寸）的物体和 质量均匀分布的球体可以看作质点，此时，式中的 r 指两质点间的距离或球心间的距离。3．万有引力定律的应用！ ）由 G2．万有引力定律1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的， 引力的大小跟着两个物体的质量的乘积成正比，跟Mm v2 GM ? m 得v ? ，所以 R 越大， 2 R R Rυ 越小；阳光家教网 Mm GM 2 2）由 G 2 ? m? R 得 ? ? ，所以 R 越 R R3大，ω 越小； 3）由 G高中（高考）物理复习资料重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多 种因数影响，纬度越高，高度越小，重力加速度越 大． 【例 1】某人利用单摆来确定某高山的高度．已知 单摆在海面处的周期是 T0．而在该高山上，测得该 单摆周期为 T．求此高山离海平面高度 h 为多少？ （把地球看作质量均匀分布的半径为 R 的球体） 【解析】根据单摆周期公式有：T0 ? 2? L L , T ? 2? g0 gMm 4? 2 4? 2 R3 ? m 得 ，所以 R T ? R2 T2 GM越大，T 越大； 4）模型总结： （1）当卫星稳定运行时，轨道半径 R 越大，υ 越小；ω 越小；T 越大；万有引力越小；向 心加速度越小。 （2）同一圆周轨道内正常运行的所有卫星的速度、 角速度、周期、向心加速度均相等。 （3） 这一模型在分析卫星的轨道变换、 卫星回收等 问题中很有用。由万有引力公式得：g0 ? G M R2 g ?G M ( R ? h) 2联立解得： h ? ( T ? 1) RT0重点难点例析一、万有引力与重力1． 重力： 重力是指地球上的物体由于地球的吸引而 使物体受到的力．通过分析地球上物体受到地球引 力产生的效果， 可以知道重力是引力的一个分力． 引 力的另一个分力是地球上的物体随同地球自转的向 心力 ( 这个向心力也可以看作是物体受到的地球引 力与地面支持力的合力) 如图 5-3-2 所示． 但由于向 心力很小，所以在一般计算中可认为重力近似等于 引力，重力方向竖直向下（即指向地心） ．【答案】 h ? ( T ? 1) RT0【点拨】重力加速度与物体所处高度、纬度有关， 同时注意单摆的振动周期与重力加速度有关。 ? 拓展10火星的质量和半径分别约为地球的 1 和 1 ， 地球表面2的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为 A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g 【解析】考查万有引力定律。星球表面重力等于万 g火 Mm 有引力， G 2 = mg， 故火星表面的重力加速度 = R g M火R地2 = 0.4，故 B 正确。 M地R火2 【答案】B二、估算天体的质量和密度把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀 速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力 作为它绕中心天体的向心力．根据G Mm 4? 2 r ? man ? m 2 2 r T2．天体表面重力加速度问题 设天体表面重力加速度为 g，天体半径为 R， 因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的引 力，所以有mg ? G Mm GM ,g ? 2 R2 R图 4-5-1得： M ? 4? 2 r 3GT 2同样可以推得在天体表面 h 重力加速度mg ' ? G Mm ( R ? h) 2 GM g' ? ( R ? h) 2因此，只需测出卫星（或行星）的运动半径 r 和周期 T，即可算出中心天体的质量 M． 又由 ρ= M4 3 ?R 3可以求出中心星体的密度阳光家教网 【例 3 】登月飞行器关闭发动机后在离月球表面 112km 的 空 中 沿 圆 形 轨 道 绕 月 球 飞 行 ， 周 期 是 120.5min．已知月球半径是 1740km，根据这些数据 计算月球的平均密度． （G=6.67× 10-11Nm2／kg2） 【解析】根据牛顿第二定律有Mm 4? ? m 2 ( R ? h) ( R ? h)2 T2高中（高考）物理复习资料又 V ? 4 ?R 332 3 得： ? ? M ? 3? ? n ? ( R ? h) 2 3 V Gt R2 3 【答案】 ? ? M ? 3? ? n ? ( R ? h) V Gt 2 R 3三、万有引力定律及其应用G? 易错门诊【例 3】 从地球上发射的两颗人造地球卫星 A 和 B， 绕地球做匀速圆周运动的半径之比为 RA∶ RB=4∶ 1， 求它们的线速度之比和运动周期之比。 【错解】 卫星绕地球做匀速圆周运动所需向心力为： v2 F向 ? mg ? m R 设 A，B 两颗卫星的质量分别为 mA，mB，则：mA g ? mAmB g ? mB22 vB RB从上式中消去飞行器质量 m 后可解得4? 2 ( R ? h)3 4 ? 3.142 ( )3 =7.2× 1022kg. M? ? 2 ?11 3 2 GT 6.67 ?10 ? (7.23 ?10 )根据密度公式有2 vA RA1 ○ 2 ○RA ? 2。 RB??M 3M 3 ? 7.2 ?1022 ? ? 3 V 4? R 4 ? 3.14 ? (1.74 ?106 )3? 3.26 ?103 kg / m3【答案】3.26× 103kg/m3. 【点拨】要计算月球的平均密度，首先应求出质量 M．飞行器绕月球做匀速圆周运动的向心力是由月 球对它的万有引力提供的． ? 拓展 继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的 焦点！经过近 7 年 35.2 亿公里在太空中风尘仆仆的 穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的 “卡西尼”号土星探测器于美国东部时间 2004 年 6 月 30 日 （北京时间 7 月 1 日） 抵达预定轨道， 开始“拜 访”土星及其卫星家族。 这是人类首次针对土星及其 31 颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器 进入绕土星飞行的轨道，在半径为 R 的土星上空离 土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕 n 周 飞行时间为 t .试计算土星的质量和平均密度。 【解析】设“卡西尼”号的质量为 m，土星的质量为 M. “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其 向心力由万有引力提供. Mm 2? G ? m( R ? h)( ) 2 T ( R ? h) 2 由题意 T ? t n2 2 3 所以： M ? 4? n ( R ? h) ． 2 Gt由○ 1 ○ 2 得 vA ? RA ，所以 v A ? 2 vB vB RB又 T ? 2? R ，所以 TA ? RA ? vB ? 4 ? 1 ? 2 v TB RB vA 2【错因】 这里错在没有考虑重力加速度与高度有关。 根据万有引力定律知道：M 地 mA 2 RA M m mB g B ? G 地2 B RB mA g A ? G2 1， 由○ 3 ○ 4 得， g A ? RB ? 23 ○ 4 ○RA 16gB所以 g A ? 1 g B 16 可见， 在“错解”中把 A， B 两卫星的重力加速度 gA， gB 当作相同的 g 来处理是不对的。 【正解】卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提 供向心力，根据牛顿第二定律有： A： FA向 ? G2 M 地 mA vA ? m A 2 RA RA2 M 地 mB vB ? m B 2 RB RB5 ○B： FB向 ? G6 ○阳光家教网 5 /○ 6 得： vA ? RB ，∴v ○ 22A高中（高考）物理复习资料vBRAvB?RB 1 ? RA 2绕地球运动的向心加速度有为多大？月球表面的物 体受到月球的引力产生的加速度是多大？ ( 已知月 球中心到地球中心的距离为地球半径的 60 倍， 地球 的质量约为月球质量的 81 倍， 月球的半径约为地球 半径的 0.27 倍) 【解析】根据万有引力定律，宇宙间任何两个物体 间都存在万有引力，地球表面的物体受到地球的引 力产生的加速度为 g，设地球质量为 M，月球的质 量为 M 月 ，地球的半径为 R，月球的半径为 r。 以地球表面的物体为研究对象， mg ? 加速度： g ?根据 T ? 2? RA ， T ? 2? RB 可知： B A vB vATA vB RA 2 4 ? ? ? ? ? 8 :1 TB vA RB 1 1【点悟】我们在研究地球上的物体的运动时，地面 附近物体的重力加速度近似看做是恒量。但研究天 体运动时，应注意不能将其认为是常量，随高度变 化，g 值是改变的。GMm R2① ，课堂自主训练1．如图 4-5-2 所示，在 半径为 R=20cm，质量为 M=168kg 的 均 匀 铜 球 上，挖去一个球形空穴， 空穴的半径为 R/2，并且 跟铜球相切， 在铜球外有 一个质量为 m=lkg 可视为质点的小球，这个小球位 于连接铜球的中心跟空穴中心的直线上，并且在靠 近空穴一边，两个球心相距 d=2m，试求它们之间 的吸引力。 【解析】本题直接用万有引力的公式计算挖去球形 空穴的铜球和质量为 m 的小球的万有引力是不可能 的，但可看成大小两个实心铜球与质量为 m 的小球 的万有引力之差，这样就可用等效的方法求出它们 之间的吸引力。 设被挖去的部分质量为 M ' ，则： 4 R ① M ' ? ? ( )3 ? ? 3 2GM ? 9.8m/s 2 2 R③②研究月球受到地球的引力产生的加速度：M 月a ? GMM月 (60R ) 24-5-2a?GM GM ? ? 0.0027m/s 2 (60R) 2 3600R 2④设月球表面的物体受到月球的引力产生的加速 度为 g ' ，则：GM月m r2 1 Mm GMm 1 81 ? ? ? (0.27R) 2 R2 81? (0.27) 2 Gmg' ?⑤解得： g ' ? 1 ? 9.8 ? 1.63m/s 2 。6【答案】1.63m/s2. 3．天体中两颗恒星的质 量相差不大，相距较近 时， 它们绕一中心分别做 匀速圆周运动， 这叫做双 星。 已知双星的质量分别4 3 ?R ? ? 3 M 所以： M ' ? 8 M?所以：F?② ③ ，为 m1 和 m2 ，相距为 r， 它们分别绕连线上的一4-5-3点做匀速圆周运动，求它们的周期和线速度。 ④ 【解析】首先建立双星系统的运动模型如图 4-5-3 所示。由转动的中心总在一直线上得到，两星的转 动周期相同，角速度一样，再根据向心力由它们之 间的万有引力提供，结合规律容易得到。 设 m1 到 O 的距离为 x， m2 到 O 的距离为 r-x， 则： GGMm GM ' m 1 1 ? ? GMm [ 2 ? ] R 2 R d2 d (d ? ) 8(d ? ) 2 2 2代入数据得： F ? 2.41?10?9N2． 地球对地面上物体的引力和地球对月球的引力是 一种性质的力―万有引力。地球表面物体的重力加 速度为 g ? 9.8m/s 2 ，月球受到地球的吸引力产生的m1 m2 2? ? m1 ( ) 2 x r2 T①阳光家教网 G m1m2 2? ? m2 ( ) 2 (r ? x) 2 r T②高中（高考）物理复习资料星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做 圆周运动．由此能得到半径为 R、密度为 ρ、质量 为 M 且均匀分布的星球的最小自转周期 T．下列表 ③ 达式中正确的是（AD） Ａ．T＝2π R 3 / GM B．T＝2π 3R3 / GM C．T＝ ? / G? ④， Ｄ．T＝ 3? / G?联立二式解得：T ? 2?rm2r r , x? G (m1 ? m2 ) m1 ? m2G 因 此速度 分别为： v1 ? 2?x ? m2 T r (m1 ? m2 )5． （南京市调研性测试）银河系的恒星中大约四分 之一是双星。某双星由质量不等的星体 S1 和 S2 构 成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线 上某一定点 O 做匀速圆周运动。由天文观察测得其 运动周期为 T，S1 到 O 点的距离为 r1、S1 到 S2 间的 距离为 r，已知引力常量为 G。由此可求出 S2 的质 量为（ D ） A．2? (r ? x) G v2 ? ? m1 T r (m1 ? m2 )【答案】 2? r⑤r G ；m 。 1 r ( m1 ? m2 ) G (m1 ? m2 )课后创新演练1． 关于太阳系中行星运动的轨道， 以下说法正确的 是（ BC ） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆 B．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 C．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是 不同的 D．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是相同的 2.对于万有引力定律公式 F ? G 法正确的是（AC） A．对卫星而言，是指轨道半径 B．对地球表面的物体而言，是指物体距离地面的 高度 C．对两个质量分布均匀的球体而言，是两球心之 间的距离 D. 对人造卫星而言，是指卫星到地球表面的高度 3．A、B 是两个环绕地球做圆周运动的人造卫星， 若两个卫星的质量相等，环绕运动的半径Mm 中的 r，下列说 r24? 2 r 2 (r ? r1 ) GT 24? 2 r 3 GT 2B．4? 2 r13 GT 2 4? 2 r 2 r1 GT 2C．D．6． 航天技术的不断发展， 为人类探索宇宙创造了条 件。 1998 年 1 月发射的“月球勘探者号”空间探测器， 运用最新科技手段对月球进行近距离勘探，在月球 重力分布、磁场分布及元素测定等方面取得最新成 果。探测器在一些环形山中央发现了质量密集区， 当飞越这些重力异常区域时（AC） A．探测器受到的月球对它的万有引力将变大 B．探测器运行的轨道半径将变大 C．探测器飞行的速率将变大 D．探测器飞行的速率将变小 7． “神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行 变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为 h 的圆 形轨道．已知飞船的质量为 m，地球半径为 R，地 面处的重力加速度为 g．则飞船在上述圆轨道上运 行的动能 E K （B） A．等于 1 mg( R ? h) B．小于 1 mg( R ? h)2RA ? RB / 2 ，则卫星 A 和 B 的（ＡＣ）A．加速度大小之比是 4∶ 11 B．周期之比是 2 2 ∶2C．大于 1 mg( R ? h)2D．等于 1 mgh 28． 在某个星球表面以初速度 v 竖直向上抛出一个物1 C．线速度大小之比是 2 ∶体，物体上升的最大高度为 H，已知该星球的直径 为 D，那么环绕这个星球做匀速圆周运动的最大速D．向心力之比是 1∶ 1 4． 组成星球的物质是靠引力吸引在一起的， 这样的 星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，阳光家教网 度是 v 2高中（高考）物理复习资料D。 H3 【答案】 t ? (2? ? ? ) sin ? T2? (1 ? sin 3 ? )9．如图 4-5-4 所示。地球 和某行星在同一轨道平面 内同向绕太阳做匀速圆周 运动。地球的轨道半径为 R，运转周期为 T。地球和 太阳中心的连线与地球和 行星的连线所夹的角叫地 球对该行星的观察视角 （简10．空间有一颗绕恒星运动的球形行星，此行星上 一昼夜是 6h，在行星的赤道处，用弹簧测力计称量 物体的重力加速度比在两极测量的读数小 10%，已 知万有引力恒量是 6.67?10?11 N ? m 2 /kg2 ，求此行 星的密度。4-5-4【解析】 要解决这一问题先要 建立符合题意的模型， 建立模 型时可以和日 ― 地系统的运 动模型进行对比得到，如图 4-5-5 所示，由题意知行星自 转的周期为 6h。 设行星的质量为 M， 半径 为 R，平均密度为 ? ，则M? 4? 3 R ? ，两极的重力为物体受到的万有引力 3Mm ，m 是一个假定的物体的质量。 R2称视角） 。已知该行星的最大视角为 ? ，当 行星处 于最大视角处时，是地球上的天文爱好者观察该行 星的最佳时期。 若某时刻该行星正处于最佳观察期， 问该行星下一次处于最佳观察期至少需经历多长时 间？ 【解析】由题意可得行星的轨道半径 r 为：r ? R sin ?4-5-5①'设行星绕太阳的运转周期为 T ， 由开普勒第三 定律有： R3 ?T2 r3 T /2②F ?G设行星最初处于最佳观察期时，其位Z超前与 地球，且设经时间 t 地球转过 ? 角后该行星再次处 于最佳观察期。则行星转过的角度物体在赤道随行星自转的向心力为： 2? ① F向 ? m( ) 2 RT?为：弹簧测力计的读数为 F ' 由题意得到：F ' ? F ? F向2? ? ???? 2 ?于是有： 2? t ? ?T③ ④② ③G2? t?? T'⑤3Mm Mm ? 2? ? ? m? ? R ? 0.9G 2 R2 R ? T ?而 M ? 4? R 3 ? ⑥32④ ⑤解① ② ③ ④ ⑤ 可得： t ? (? ? 2? ) sin ? T 32? (1 ? sin ? )若行星最初处于最佳观察期时， 其位Z滞后与地球， 同理可得：t? (2? ? ? ) sin 3 ? 2? (1 ? sin 3 ? ) TG 4? 3 G 4? 3 ? 2? ? ? R ? ?? R ? ? R ? 0.9 2 ? R2 3 R 3 ? T ?代入数据得到： ? ? 3.03?103 kg/m3 。 ⑦【答案】 ? ? 3.03?103 kg/m3 。第 6 课时基础知识回顾1．三种宇宙速度人造卫星宇宙航行? 第一宇宙速度（环绕速度）v1=7.9km／s，人造卫星 的最小发射速度，人造卫星的最大环绕速度； ? 第二宇宙速度（脱离速度）v2=11.2km／s，使物体挣阳光家教网 脱地球引力束缚的最小发射速度； ? 第三宇宙速度逃逸速度） v3=16.7km／s， 使物体挣脱 太阳引力束缚的最小发射速度。高中（高考）物理复习资料2．天体运动模型――人造地球卫星1）处理方法：将卫星的运动视作匀速圆周运动。 2）动力学特征：由万有引力提供向心力，且轨道平面 的圆心必与地球的地心重合。 3）基本规律：Mm v2 4? 2 2 ? m ? m ? r ? m r ? ma r2 r T2 4） 重力加速度与向心加速度 （不含随地球表面自转的 G图 4-6-1向心加速度）的关系： （1）因 G ? F万 ? F向 ，故 g ? G ? F万 ? F向 ? a 向m m m因此同步卫星的周期等于地球自转的周期是一定 的，所以同步卫星离地面的高度也是一定的． 【 例 1 】 已 知 地 球 半 径 R=6.4× 106m ， 地 球 质 量 M=6.0× 1024kg，地面附近的重力加速度 g=9.8m/s2，第 一宇宙速度 v1=7.9× 103m/s。 若发射一颗地球同步卫星， 使它在赤道上空运转，其高度和速度应为多大？ 【解析】 设同步卫星的质量 m， 离地高度 h， 速度为 v， 周期为 T（等于地球自转周期）2 方法一： G Mm ? m 4? ( R ? h) 2 2 ( R ? h) T（2） a ? g ? R g （R 为地球半径，r 为轨道半径，g r r 2r2为地球表面的重力加速度） 5）两种特殊卫星 （1） 近地卫星： 沿半径约为地球半径的轨道运行的地 球卫星，其发射速度与环绕速度相等，均等于第一宇 宙速度。 （2）同步卫星：运行时相对地面静止，T=24h；同步 卫星只有一条运行轨道，它一定位于赤道正上方，且 距 离 地 面 高 度 约 为 h≈3.6×104km ， 运 行 时 的 速 率 υ≈3.1km/s。 6）卫星系统中的超重和失重 （1） 卫星进入轨道前的加速过程， 卫星内的物体处于 超重状态、 （2） 卫星进入园形轨道正常运行时， 卫星内的物体处 于完全失重状态。 （3） 在回收卫星的过程中， 卫星内的物体处于失重状 态。2 解得： h ? GMT ? R ? 3.56 ?10 7 m 4? 2 2? ( R ? h) v? ? 3.1?103 m / s T方法二：若认为同步卫星在地面上的重力等于地球的 万有引力，有mg ? G Mm R2GMm 4? 2 ? m 2 ( R ? h) 2 ( R ? h) T重点难点例析一、同步卫星问题同步卫星是指运行期与地球自转周期相等的地球 卫星．这里所说的“静止”是相对地球静止．同步卫星 只能处于赤道面上．如图 5-3-3 所示，若同步卫星位 于赤道平面的上方或下方，则地球对它的万有引力 Fa 或 Fb 的一个分力 Fa1 或 Fb1 是它环绕地球的向心力， 另一个分 Fa2 或 Fb2 将使卫星向赤道平面运动．这样， 同步卫星在环绕地球运动的同时，将会在赤道附近振 动，从而卫星与地球不能同步．2 解联立方程得： h ? GMT ? R ? 3.56 ?10 7 m 4? 2方法三：根据第一宇宙速度 v1，有GGMm mv12 ? R2 RMm 4? 2 ? m ( R ? h) ( R ? h)2 T24?2 解得： h ? GMT ? R ? 3.56 ?10 7 m 2【 答 案 】 同 步 卫 星 的 高 度 为 3.56× 107m ， 速 度 是 3 3.1× 10 m/s。 【点拨】根据万有引力提供向心力列式求解，是解决 此类问题的基本思路。在本题中又可以用地面重力加 速度、第一宇宙速度这些已知量做相应代换。阳光家教网 本题计算得到的同步卫星运行速度为 3.1× 10 m/s，比第一宇宙速度 v1=7.9× 10 m/s 小得多。 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，同步卫星是在 高空中做匀速圆周运动， 它的速度小于第一宇宙速度。 同步卫星发射时的速度大于第一宇宙速度，一开始做 大椭圆轨道运动，随后在高空中进行调整最后进入同 步轨道做匀速圆周运动，速度比第一宇宙速度小。3 3高中（高考）物理复习资料?拓展我国发射的神州五号载人宇宙飞船的周期约为90min，如果把它绕地球的运动看做是匀速圆周运动， 飞船的运动和人造地球同步卫星的运动相比，假设它 们质量相等，下列判断中正确的是（ B．飞船的动能小于同步卫星的动能 C．飞船的轨道半径大于同步卫星的轨道半径 D．发射飞船过程需要的能量小于发射同步卫星过程 需要的能量 【解析】同步卫星的运转周期为 24h， 飞船的周期约为 90min ） A．飞船受到的向心力大于同步卫星受到的向心力周轨道上运动，然后经再次启动发动机使卫星改在椭 圆轨道上运动，最后定点在一定高度的圆周轨道上运 动． 【例 2】2003 年 10 月 15 日，我国成功地发射了“神 舟”五号载人飞船，经过 21 小时的太空飞行，返回舱 于次日安全返回． 已知飞 船在太空中运行的轨道 是一个椭圆． 椭圆的一个 B 焦点是地球的球心， 如图 A 4-6-2 所示，飞船在飞行 图 4-6-2 中是无动力飞行， 只受地 球引力作用， 在飞船从轨 道 A 点沿箭头方向运行到 B 点的过程中，有以下说 法正确的是（ ） ① 飞船的速度逐渐增大 ② 飞船的速度逐渐减小 ③ 飞船的机械能 EA=EB ④ 飞船的机械能 EA & EB A．②④ B．②③ C．①④ D．①③ 【解析】在飞船作椭圆运动的过程中，只有万有引力 作用，飞船绕地球转动机械能守恒，所以，③ 是正确 的．从 A 点到 B 点万有引力做负功，动能变小，重力 势能增大．所以，从 A 点到 B 点的过程中飞船的速度 逐渐减小，② 是正确的． 【答案】B 【点拨】把握天体运动的特点是解决此题的关键。由FT?向? M1v2 RF向 ? GM 1M 2 R22? R （设地球质量为 M ） 2 vRF向 GM2 2 那么 T 2 ? 4? M1 ? 4? R 2G、M 都一定,那么 T 就和 R 有关,T 相对大的 R 相对 大,那么同步卫星的 R 大， 由 F向 ? G M 1M 2 R2 那么 R 越大 F 向越小 根据万有引力定律 G Mm ? mv 得： 2R Rv?2?拓展1 GM GM ， Ek ? mv 2 ? 2 2R R设一号飞船在离地 h 高处环绕地球做匀速圆周运 动，其动能为 Ek，重力势能为 Ep，二号飞船在离地 2h 高处环绕地球做匀速圆周运动，其动能为 Ek@ ，重力 势能为 Ep@ ，两飞船质量相等，则下列关系正确的是： A．Ek& Ek@ B．Ep& Ep@ C．Ek+Ep& Ek@ + Ep@ D．Ek+Ep= Ek@ + Ep’ 【解析】根据万有引力提供向心力，则有：GG可见轨道半径小的，线速度小，动能小。 【答案】ABDMm1 v12 ? m 1 ( R ? h)2 ( R ? h)二、能量问题及变轨道问题只在万有引力作用下，卫星绕中心体转动机械能 守恒.这里的机械能包括卫星的