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求解高中数学含参变量函数问题的思路和方法
TIMES2014年第22期
求解高中数学含参变量函数问题的思路和方法
武汉市弘桥中学　武汉　汉阳　430050
摘　要：含参变量函数问题是数学教学当中最重要且最难的部分，也是高考数学中经常出现的题目，掌握含参变量函数问题对于高考数学获得较好成绩十分有益。本文介绍了含参变量函数问题的主要类型，并根据作者自身的工作经验总结了该类型问题的求解思路和方法。
关键词：高中数学；含参变量函数；求解方法含参变量问题作为高中数学非常重要的一部分，经常直接或变相的出现在数学高考试卷中。据统计，在很多高考数学的选择或填空题中都会出现含参变量的函数问题，而且在最后的压轴大题中也会类似的含参变量问题，例如高考解析几何问题中，出现频率较高的就是求解参数取值范围的问题。所以掌握含参变量问题的主要解决方法，是任何一个想取得较好高考数学成绩的高中学生必须做到的。本文主要从含参变量函数问题的类型和常用求解方法，两个方面进行分析的。一　常见含参变量函数问题的类型
通过统计研究，我们很容易发现常见的含参变量函数问题主要有哪些。首先设不等式f(x,m)≥0，或f(x,m)≤0，为式（*），其中m为多项式f(x,m)的参变量。那么常见的求解含参变量问题的类型主要有以下几种：（1）对于任意的
参变量mM，使式子（*）恒成立，求解主变量x的取值范
围；（2）对于任意的主变量xX，使式子（*）恒成立，
求解参变量m的取值范围；（3）存在参变量mM，使式子
（*）成立，求解主变量x的取值范围；（4）存在主变量xX，使式子（*）成立，求解参变量m的取值范围。当然，其中X，MR。无论是填空、选择题，还是压轴的解析题，当出现含参变量问题时，其实其本质都是以上四种类型的一个。所以分析出题目到底是哪种类型，再顺着针对相应类型问题的解题思路，就可以较轻松的把问题解出来了。二　含参变量函数问题的求解思路和方法
解决以上四种含参变量问题的思路和方法有很多种，下面文章就通过例子介绍几种常用的方法。
1.参变元与主变元转化法。参变元与主变元转化法主要是指在解析含参变量问题时，有时需要把参变量视为函数的自变量，然后再将主变量视为函数自变量，这样通过参变元与主变元方法的互相转化来求解问题。我们通过下面这个例
子来理解该方法：对于任意的m[-1,1]，函数f(x)=x2+(m-4)x+4-2m的值大于零总成立，求x的取值范围。
通过分析，我们知道该问题属于上述类型的第一种，即已知参变量的取值范围，关于主变量和参变量的表达式恒成立，求主变量的取值范围。现在我们采用参变元与主变元转化法来解答该题。首先把参变量m视为该函数的自变量，即h(m)=(x-2)m+x2-4x+4，那么问题就转化成对于任
[-1,1]，h(m)>0恒成立，即
成立，也就是
成立，在此我们又将主变量转化为了自变量，
从而得出主变量的取值范围为{x|x3}。
2.分离变量法。分离变量法是解答含参变量函数问题最常用的方法之一，主要是通过把参变量分到不等式一边，再进
行分析求解。具体的方法我们通过以下的例子进行介绍理解：已知对于任意x[0,2]不等式|m-2x|-x+1>0恒成立，求实数m的取值范围。
通过分析，我们知道该问题属于上述类型的第二种，即已知主变量的取值范围，关于主变量和参变量的不等式恒成立，求参变量的取值范围。首先我们根据绝对值符号的性质，找到零点，去掉绝对值符号，得
。然后采用分离变量法求
找到这两个不等式组的交
叉点，即若2x=3x-1，得x=1；若2x=x+1，也得x=1。由于x
[0,2]，所以接下来把区间分为x
[0,1）和x[1,2]，分别求出参变量m的取值范围，再求交集就可以得出最终的答案，即m的取值范围为{m|m>5或m<2}。
3.数形结合法。数形结合法也是解决含参变量函数问题较常用的方法之一，主要是在坐标系中将函数图像画出，再结合题目中给出的已知条件，从而得出答案。我们还结合2.2小节中的例子，采取数形结合的方法求解问题，首先我们可以设f(x)=|m-2x|，g(x)=x-1；然后在同一个坐标系中画出这两个函数的图像；再根据题目中的条件，对于区间[0,2]中任意的x，都有f(x)>g(x)，从而得出最后的结果。
4.利用函数性质求解问题法。利用函数性质求解问题法，顾名思义就是在解答含参变量函数问题时，结合函数的性质，例如函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性、对称性等性质，从而求解含参变量函数问题。在有些题目中经常出现，给出参变量的值或取值范围，求解已知含参变量函数的单调区间；或已知含参变量函数的单调区间，求出参变量的值或取值范围等。三　结语
含参变量函数问题的求解方法有很多，例如补集法等，对于该类题型的求解过程中，若发现采用常用方法求解较复杂时，可使用较为特殊的方法。但总的来说，含参变量函数问题的求解主要还是将函数、导数以及不等式等知识有效的运用起来，从而使该类型题目迎刃而解的。该类型题目综合考查了学生的数学分析思想以及逻辑推理能力，所以需要学生认真学习掌握该类型题目的求解方法，不仅可以使自己取得较好的数学成绩，也可以锻炼自身拥有较好的思维能力。
参考文献：
[1]赵晔明.现代教育技术条件下高中数学教学研究[D].内蒙古师范大学,2009.
[2]李晓洁.高中数学教学中培养数学思维能力的实践研究[D].天津师范大学,2012.
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计算机的发明让很多本来很有趣的数学问题，变成了机械的穷举，让很多人遇到算法问题首先想到的就是找出所有的组合，然后穷举。没错计算机的发明确实大大加快了数学计算的速度，使我们可以计算出很多原来无法通过人工计算的数据。但计算机的速度也毕竟有限，数的数量确是无限的，如果我们遇到什么问题都去穷举，那总有一天我们会发现有些问题可能用最快的计算机算到我们头发白了都算不出来。所以在这里，我还是要呼吁一下，程序员们，让我们用数学的思维去分析算法，其实有的算法的数学逻辑真的不是太复杂，甚至就是初等代数就可以解决。下面就今天看到的这篇文章文章
，具体谈谈。
请允许我在开始这篇文章之前把原问中的题目重新贴一遍
原文中作者的方法其实也已经很不错了，只是没有数学推导，由于没有数学推导，又导致不能更好的优化。
这个问题实际上第一眼看上去就会想到等差数列求和，那么我们就来推导一下
设 数列的 起始数为 n ，从 n 开始 累加到 n + m 后的总和为 s
其中 m 为大于0 的正整数。
则 s = (n + n + m) * (m+1) / 2;
这道题我们需要已知 s 和 m 的情况下求n
那么 n& = s / (m+1) &#8211; m / 2;
对分子，分母合并后 n = (2 * s &#8211; m * (m+1))/(2*(m+1));
到这里，我们要解决的问题就是找到所有使等式右边可以整除的 m 就可以了。
原文作者的思路和这个应该差不多，只是实现逻辑上有些繁琐，而且他是m从 1 到 s/2 这样穷举，
其实我从上面的公式可以看出，这里m 和 n& 是成反比的，随着m的增加，n会逐渐减小，当n 小于1时，我们就可以终止这个运算。
下面我给出根据这个公式推导出来的算法实现的代码
static void GetAllSerials(int s)
int n = 0;
int m = 1;&
int up = 2 * s - m * (m + 1); //分母
int down = 2 * (m + 1); //分子
if ((up % down) == 0 && n & 0) //判读是否可以除尽，且 n 要大于0
for (int i = i &= n + i++)
if (i == n)
Console.Write(string.Format("{0}", i));
Console.Write(string.Format("+{0}", i));
Console.WriteLine();
while (n & 0);
计算 GetAllSerials(27545); 结果是：
09+34+37+393852+55+58+275963+66+69+72+770+771+772+773+774+775+776+777+778+779+780+781+782+783+784+785+786+787+788+789+790+791+792+793+794+795+796+797+798+799+800+801+802+803+804359+360+361+362+363+364+365+366+367+368+369+370+371+372+373+374+375+376+377+378+379+380+381+382+383+384+385+386+387+388+389+390+391+392+393+394+395+396+397+398+399+400+401+402+403+404+405+406+407+408+409+410+411+412+413+414+415+416+417+418+419+420+421+422+423+424+425+426+427+428
当计算 27545 时，我的算法循环次数为 235 次，而原文作者的循环次数为 13772 次&后续思考：这个算法其实还可以继续优化，这个算法的效率其实还可以提高1倍，大家可以想想怎么进一步优化，如果有人想出来，我就不再写了，如果没有人想出来，我过几天再公布答案。 &&&