高二数学选修4-4,4-5各章节练习ABC卷
高二数学选修 ,4高二数学选修 4-4,4-5 各章节练习 ABC 卷 坐标系与参数方程 [基础训练 A 组]一、选择题 1．若直线的参数方程为 ? ．? x = 1 + 2t (t为参数) ，则直线的斜率为（ 则直线的斜率为（ ? y = 2 ? 3t）A． ．2 3 3 C． ． 22 3 3 D． ? ． 2B． ? ．2．下列在曲线 ? ．? x = sin 2θ (θ 为参数) 上的点是（ 上的点是（ ? y = cos θ + sin θB． ( ? ．）A． ( , ? 2) ． 3．将参数方程 ? ．1 23 1 , ) 4 2C． (2, 3) ．D． (1, 3) ．? x = 2 + sin 2 θ ? 化为普通方程为（ (θ 为参数) 化为普通方程为（ 2 ? y = sin θ ?B． y = x + 2 ． C． y = x ? 2(2 ≤ x ≤ 3) ． ）） D． y = x + 2(0 ≤ y ≤ 1) ．A． y = x ? 2 ．为直角坐标方程为（ 4．化极坐标方程 ρ 2 cos θ ? ρ = 0 为直角坐标方程为（ ． A． x2 + y 2 = 0或y = 1 ． B． x = 1 ．C． x2 + y 2 = 0或x = 1 ． ）D． y = 1 ．5．点 M 的直角坐标是 ( ?1, 3) ，则点 M 的极坐标为（ ． 的极坐标为（ A． (2, ．π3)B． (2, ? ．π3)C． (2, ．2π ) 3D． (2, 2kπ + ． ）π3), (k ∈ Z )6．极坐标方程 ρ cos θ = 2sin 2θ 表示的曲线为（ ． 表示的曲线为（ A．一条射线和一个圆 ． 二、填空题 1．直线 ? ． B．两条直线 ．C．一条直线和一个圆 ．D．一个圆 ．? x = 3 + 4t (t为参数) 的斜率为 的斜率为______________________。 。 ? y = 4 ? 5t ? x = et + e ? t ? 的普通方程为__________________。 (t为参数) 的普通方程为 。 t ?t ? y = 2(e ? e ) ?2．参数方程 ? ．13．已知直线 l1 : ? ．? x = 1 + 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y = 5 相交于点 B ，又点 A(1, 2) ， ? y = 2 ? 4t则 AB = _______________。 。1 ? ?x = 2 ? 2 t ? 4．直线 ? (t为参数) 被圆 x 2 + y 2 = 4 截得的弦长为 截得的弦长为______________。 ． 。 ? y = ?1 + 1 t ? ? 25．直线 x cos α + y sin α = 0 的极坐标方程为 ． 的极坐标方程为____________________。 。 三、解答题 1．已知点 P ( x, y ) 是圆 x 2 + y 2 = 2 y 上的动点， ． 上的动点， 的取值范围； （1）求 2x + y 的取值范围； ）恒成立， 的取值范围。 （2）若 x + y + a ≥ 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。 ）求直线 l1 : ? 2．?x = 1+ t ? 的坐标， (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 = 0 的交点 P 的坐标，及点 P ? y = ?5 + 3t ?的距离。 与 Q (1, ?5) 的距离。3．在椭圆 ．x2 y 2 + = 1 上找一点，使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 = 0 的距离的最小值。 上找一点， 的距离的最小值。 16 122数学选修 4-4 [综合训练 B 组]一、选择题 1． ． 直线 l 的参数方程为 ? 之间的距离是（ 之间的距离是（ A． t1 ． ） C． 2 t1 ．坐标系与参数方程?x = a + t (t为参数) ， 上的点 P 对应的参数是 t1 ， l 则点 P 与 P ( a, b) 1 1 ?y = b +tB． 2 t1 ．D． ．2 t1 21 ? ?x = t + 2．参数方程为 ? 表示的曲线是（ ． t (t为参数) 表示的曲线是（ ?y = 2 ?A．一条直线 ． B．两条直线 ． C．一条射线 ．）D．两条射线 ．1 ? ?x = 1+ 2 t ? (t为参数) 和圆 x 2 + y 2 = 16 交于 A, B 两点， 两点， 3．直线 ? ． ? y = ?3 3 + 3 t ? ? 2的中点坐标为（ 则 AB 的中点坐标为（ A． (3, ?3) ． ） C． ( 3, ?3) ． ） D． (3, ? 3) ． B． (? 3,3) ．4．圆 ρ = 5 cos θ ? 5 3 sin θ 的圆心坐标是（ ． 的圆心坐标是（ A． ( ?5, ? ．4π ) 3B． ( ?5, ．π3)C． (5, ．π3)D． ( ?5, ．5π ) 3）5．与参数方程为 ? ．?x = t ? ? y = 2 1? t ?(t为参数) 等价的普通方程为（ 等价的普通方程为（y2 = 1(0 ≤ x ≤ 1) 4A． x + ．2y2 =1 4 y2 = 1(0 ≤ y ≤ 2) 4B． x + ．2C． x + ．2D． x + ．2y2 = 1(0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2) 4）6．直线 ? ．? x = ?2 + t (t为参数) 被圆 ( x ? 3) 2 + ( y + 1)2 = 25 所截得的弦长为（ 所截得的弦长为（ y = 1? t ?3A． 98 ．B． 40 ．1 4C． 82 ．D． 93 + 4 3 ．二、填空题1 ? ?x = 1? 1． 则它的普通方程为__________________。 ． 曲线的参数方程是 ? 则它的普通方程为 。 t (t为参数,t ≠ 0) ， ? y = 1? t2 ?2．直线 ? ．? x = 3 + at (t为参数) 过定点 过定点_____________。 。 ? y = ?1 + 4t3．点 P(x,y)是椭圆 2 x 2 + 3 y 2 = 12 上的一个动点，则 x + 2 y 的最大值为 ． 上的一个动点， 的最大值为___________。 。 4．曲线的极坐标方程为 ρ = tan θ ? ．1 则曲线的直角坐标方程为________________。 ，则曲线的直角坐标方程为 。 cos θ5．设 y = tx(t为参数) 则圆 x 2 + y 2 ? 4 y = 0 的参数方程为 ． 的参数方程为__________________________。 。 三、解答题 1．参数方程 ?? x = cos θ (sin θ + cos θ ) (θ 为参数) 表示什么曲线？ 表示什么曲线？ ? y = sin θ (sin θ + cos θ )2．点 P 在椭圆 ．x2 y 2 + = 1 上，求点 P 到直线 3 x ? 4 y = 24 的最大距离和最小距离。 的最大距离和最小距离。 16 93．已知直线 l 经过点 P (1,1) ,倾斜角 α = 的参数方程。 （1）写出直线 l 的参数方程。π6，2 2 两点的距离之积 的距离之积。 （2）设 l 与圆 x + y = 4 相交与两点 A, B ，求点 P 到 A, B 两点的距离之积。4数学选修 4-4 [提高训练 C 组]一、选择题坐标系与参数方程. 坐标系与参数方程.1．把方程 xy = 1 化为以 t 参数的参数方程是（ ． 参数的参数方程是（1 ? ?x = t 2 A． ? ． 1 ? y = t?2 ?）? x = sin t ? B． ? ． 1 ? y = sin t ?? x = cos t ? C． ? ． 1 ? y = cos t ?? x = tan t ? D． ? ． 1 ? y = tan t ?）2．曲线 ? ．? x = ?2 + 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是（ 与坐标轴的交点是（ ? y = 1 ? 2t2 5 1 2B． (0, )、 , 0) ． (( A． (0, )、 , 0) ．C． (0, ?4)、 0) ． (8, 3．直线 ? ．1 1 5 2 5 D． (0, )、 0) ． (8, 9? x = 1 + 2t (t为参数) 被圆 x 2 + y 2 = 9 截得的弦长为（ 截得的弦长为（ y = 2+t ?B． ．）12 5 9 C． 5 ． 5A． ．12 5 5 9 D． 10 ． 54．若点 P (3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? ．? x = 4t 2 ? y = 4t(t为参数) 上，等于（ 则 PF 等于（ A． 2 ． C． 4 ． B． 3 ． D． 5 ．）5．极坐标方程 ρ cos 2θ = 0 表示的曲线为（ ． 表示的曲线为（ A．极点 ． C．一条直线 ． B．极轴 ． D．两条相交直线 ．）6．在极坐标系中与圆 ρ = 4 sin θ 相切的一条直线的方程为（ ． 相切的一条直线的方程为（ A． ρ cos θ = 2 ． C． ρ = 4 sin(θ + ． B． ρ sin θ = 2 ．）π3)D． ρ = 4 sin(θ ? ．π3)5二、填空题? x = 2 pt 2 1．已知曲线 ? (t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, ， ． ? y = 2 pt且t1 + t2 = 0 ，那么 MN =_______________。2．直线 ? ．? x = ?2 ? 2t ? ? y = 3 + 2t ?(t为参数) 上与点 A(?2, 3) 的距离等于 2 的点的坐标是 的点的坐标是_______。 。3．圆的参数方程为 ? ．? x = 3sin θ + 4 cos θ (θ 为参数) ，则此圆的半径为 则此圆的半径为_______________。 。 ? y = 4sin θ ? 3cos θ4．极坐标方程分别为 ρ = cos θ 与 ρ = sin θ 的两个圆的圆心距为 ． 的两个圆的圆心距为_____________。 。 5．直线 ? ．? x = t cos θ ? x = 4 + 2 cos α 相切， 与圆 ? 相切，则 θ = _______________。 。 ? y = t sin θ ? y = 2sin α三、解答题1 t ?t ? ? x = 2 (e + e ) cos θ ? 分别在下列两种情况下， 化为普通方程： 1．分别在下列两种情况下，把参数方程 ? 化为普通方程： ? y = 1 (et ? e? t ) sin θ ? ? 2（2） 为参数， 为常数； （1） θ 为参数， t 为常数； ） t 为参数， θ 为常数； ） 为参数， 为常数； （2．过点 P ( ．10 , 0) 作倾斜角为 α 的直线与曲线 x 2 + 12 y 2 = 1 交于点 M , N ， 2的值。 求 PM ? PN 的值及相应的 α 的值。6数学选修 4-4一、选择题 1．D ． 2．B ． 3．C ． 4．C ． 5．C ． 6．C ．坐标系与参数方程 [基础训练 A 组]k=y ? 2 ?3t 3 = =? x ? 1 2t 22 转化为普通方程： 转化为普通方程： y = 1 + x ，当 x = ?3 1 时， y = 4 2转化为普通方程： 转化为普通方程： y = x ? 2 ，但是 x ∈ [2, 3], y ∈ [0,1]ρ ( ρ cos θ ? 1) = 0, ρ = x 2 + y 2 = 0, 或ρ cos θ = x = 1(2, 2kπ + 2π ), (k ∈ Z ) 都是极坐标 3ρ cos θ = 4 sin θ cos θ , cos θ = 0, 或ρ = 4 sin θ ,即ρ 2 = 4 ρ sin θ则 θ = kπ +π2, 或 x2 + y2 = 4 y二、填空题 1． ? ．5 42 2k=y ? 4 ?5t 5 = =? x ? 3 4t 4 y ? t ? x = et + e ? t ? x + 2 = 2e y y ? ? ?? ? ( x + )( x ? ) = 4 ?y t ?t 2 2 ? = e ?e ? x ? y = 2e ? t ?2 ? ? 22． ．x y ? = 1, ( x ≥ 2) 4 163． ．5 2将?? x = 1 + 3t 1 5 5 代入 2 x ? 4 y = 5 得 t = ，则 B ( , 0) ，而 A(1, 2) ，得 AB = 2 2 2 ? y = 2 ? 4t直 线 为 x + y ?1 = 0 ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 d =4 ． 141 2 = ，弦长的一半为 2 222 ? (5． θ = ．2 2 14 ) = ，得弦长为 14 2 2π2+αρ cos θ cos α + ρ sin θ sin α = 0, cos(θ ? α ) = 0 ，取 θ ? α =? x = cos θ ， ? y = 1 + sin θπ2三、解答题 1．解： ）设圆的参数方程为 ? ． （1） （2 x + y = 2 cos θ + sin θ + 1 = 5 sin(θ + ? ) + 17∴? 5 + 1 ≤ 2 x + y ≤ 5 + 1（2） x + y + a = cos θ + sin θ + 1 + a ≥ 0 ）∴ a ≥ ?(cos θ + sin θ ) ? 1 = ? 2 sin(θ + ) ? 1 4 ∴ a ≥ ? 2 ?12．解：将 ? ．π?x = 1+ t ? 代入 x ? y ? 2 3 = 0 得 t = 2 3 ， ? y = ?5 + 3t ?得 P (1 + 2 3,1) ，而 Q (1, ?5) ，得 PQ = 3．解：设椭圆的参数方程为 ? ．(2 3) 2 + 62 = 4 34 cos θ ? 4 3 sin θ ? 12 ? x = 4 cos θ ? ，d = 5 ? y = 2 3 sin θ ?=4 5 4 5 θ cos θ ? 3 sin θ ? 3 = 2 cos(θ + ) ? 3 5 5 3当 cos(θ +π3) = 1 时， d min =4 5 ，此时所求点为 (2, ?3) 。 5数学选修 4-4一、选择题 1．C ． 2．D ． 距离为 t1 + t1 =2 2坐标系与参数方程 [综合训练 B 组]2 t1y = 2 表示一条平行于 x 轴的直线，而 x ≥ 2, 或x ≤ ?2 ，所以表示两条射线 轴的直线， 1 3 2 t +t (1 + t ) 2 + (?3 3 + t ) = 16 ，得 t 2 ? 8t ? 8 = 0 ， t1 + t2 = 8, 1 2 = 4 2 2 2 1 ? ?x = 1+ 2 × 4 ? ? ?x = 3 ?? 中点为 ? ? ? y = ?3 3 + 3 × 4 ? y = ? 3 ? ? 283．D ．4．A ．圆心为 ( , ?5 25 3 ) 25．D ．x2 = t,y2 y2 = 1 ? t = 1 ? x2 , x2 + = 1, 而t ≥ 0, 0 ≤ 1 ? t ≤ 1, 得0 ≤ y ≤ 2 4 46．C ．? 2 x = ?2 + 2t × ? x = ?2 + t ? x = ?2 + t ? ? 2 ?? ，把直线 ? 代入 ? 2 ? y = 1? t ? y = 1? t ? ? y = 1 ? 2t × 2 ? ( x ? 3) 2 + ( y + 1)2 = 25 得 (?5 + t ) 2 + (2 ? t ) 2 = 25, t 2 ? 7t + 2 = 0t1 ? t2 = (t1 + t2 )2 ? 4t1t2 = 41 ，弦长为 2 t1 ? t2 = 82二、填空题 1． y = ．x( x ? 2) ( x ≠ 1) ( x ? 1) 21 1 1? x = ,t = , 而 y = 1? t2 ， t 1? x即 y = 1? (1 2 x( x ? 2) ) = ( x ≠ 1) 1? x ( x ? 1) 22． (3, ?1) ．y +1 4 = ， ?( y + 1)a + 4 x ? 12 = 0 对于任何 a 都成立，则 x = 3, 且y = ?1 都成立， x?3 a椭圆为3． 22 ．x2 y 2 + = 1 ，设 P ( 6 cos θ , 2 sin θ ) ， 6 4x + 2 y = 6 cos θ + 4sin θ = 22 sin(θ + ? ) ≤ 224． x 2 = y ．ρ = tan θ ?1 sin θ = , ρ cos 2 θ = sin θ , ρ 2 cos 2 θ = ρ sin θ , 即 x 2 = y 2 cos θ cos θ4t ； 1+ t24t ? ?x = 1+ t2 ? 5． ? ． 2 ? y = 4t ? 1+ t2 ?x 2 + (tx) 2 ? 4tx = 0 ，当 x = 0 时， y = 0 ；当 x ≠ 0 时， x =4t ? x= ? 4t ? 1+ t2 而 y = tx ，即 y = ，得 ? 2 1+ t2 ? y = 4t ? 1+ t2 ?2三、解答题91．解：显然 ．y y2 1 1 = tan θ ，则 2 + 1 = , cos 2 θ = 2 2 y cos θ x x +1 x21 1 2 tan θ x = cos 2 θ + sin θ cos θ = sin 2θ + cos 2 θ = × + cos 2 θ 2 2 1 + tan 2 θ y y 2 +1 1 1 y2 y x + = x 2 , x(1 + 2 ) = + 1 即x= × 2 2 y y y 2 x x 1+ 2 1+ 2 1+ 2 x x x得x+y2 y = + 1 ，即 x 2 + y 2 ? x ? y = 0 x x12 cos θ ? 12sin θ ? 24 52．解：设 P (4 cos θ ,3sin θ ) ，则 d = ．12 2 cos(θ + ) ? 24 4 ， 即d = 5当 cos(θ + 当 cos(θ +ππ π4 4) = ?1 时， d max = ) = 1 时， d min12 (2 + 2) ； 5 12 = (2 ? 2) 。 5? π ? 3 t ?x = 1+ ? x = 1 + t cos 6 ? ? 2 3．解： ）直线的参数方程为 ? （1） ，即 ? ． （ ? y = 1 + t sin π ? y = 1+ 1 t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 t ?x = 1+ ? 2 代入 x 2 + y 2 = 4 （2）把直线 ? ） ? y = 1+ 1 t ? ? 2得 (1 +3 2 1 t ) + (1 + t ) 2 = 4, t 2 + ( 3 + 1)t ? 2 = 0 2 2t1t2 = ?2 ，则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 210数学选修 4-4一、选择题 1．D ． 2．B ．坐标系与参数方程 [提高训练 C 组]xy = 1 ， x 取非零实数，而 A，B，C 中的 x 的范围有各自的限制 取非零实数， ， ，2 1 1 ，而 y = 1 ? 2t ，即 y = ，得与 y 轴的交点为 (0, ) ； 5 5 5 1 1 1 当 y = 0 时， t = ，而 x = ?2 + 5t ，即 x = ，得与 x 轴的交点为 ( , 0) 2 2 2当 x = 0 时， t =3．B ．? x = 1 + 5t × ? x = 1 + 2t ? ? ?? ? ?y = 2+t ? y = 1 + 5t × ? ?2 ? x = 1 + 2t 5 ，把直线 ? 代入 1 ?y = 2+t 5x 2 + y 2 = 9 得 (1 + 2t )2 + (2 + t ) 2 = 9, 5t 2 + 8t ? 4 = 08 16 12 12 t1 ? t2 = (t1 + t2 ) 2 ? 4t1t2 = (? ) 2 + = ，弦长为 5 t1 ? t2 = 5 5 5 5 54．C ． 5．D ． 6．A ．2 的距离， 抛物线为 y = 4 x ，准线为 x = ?1 ， PF 为 P (3, m) 到准线 x = ?1 的距离，即为 4ρ cos 2θ = 0, cos 2θ = 0,θ = kπ ±π4，为两条相交直线ρ = 4 sin θ 的普通方程为 x 2 + ( y ? 2) 2 = 4 ， ρ cos θ = 2 的普通方程为 x = 22 2 圆 x + ( y ? 2) = 4 与直线 x = 2 显然相切二、填空题 1． 4 p t1 ． 垂直于抛物线的对称轴。 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴， MN = 2 p t1 ? t2 = 2 p 2t12． (?3, 4) ,或 (?1, 2) ． 或1 2 (? 2t ) 2 + ( 2t )2 = ( 2) 2 , t 2 = , t = ± 2 23． 5 ．由?? x = 3sin θ + 4 cos θ 2 2 得 x + y = 25 ? y = 4sin θ ? 3cos θ1 2 1 24． ． 5． ．2 2圆心分别为 ( , 0) 和 (0, )π6，或5π 62 2 作出图形，相切时， 直线为 y = x tan θ ，圆为 ( x ? 4) + y = 4 ，作出图形，相切时，易知倾斜角为 三、解答题π6，或5π 6111．解： ）当 t = 0 时， y = 0, x = cos θ ，即 x ≤ 1, 且y = 0 ； ． （1） （ 当 t ≠ 0 时， cos θ =x 1 t (e + e ? t ) 2,sin θ =y 1 t ?t (e ? e ) 2而 x + y = 1 ，即2 2x2 1 t ?t 2 (e + e ) 4+y2 1 t ?t 2 (e ? e ) 4=1（2）当 θ = kπ , k ∈ Z 时， y = 0 ， x = ± ）1 t (e + e ? t ) ，即 x ≥ 1, 且y = 0 ； 2 π 1 t ?t 当 θ = k π + , k ∈ Z 时， x = 0 ， y = ± ( e ? e ) ，即 x = 0 ； 2 22x 2x 2y ? t ? t ?t ?e + e = cos θ ?2e = cos θ + sin θ kπ ? ? , k ∈ Z 时，得 ? ，即 ? 当θ ≠ 2 ? et ? e ? t = 2 y ? 2e ? t = 2 x ? 2 y ? ? sin θ cos θ sin θ ? ?得 2e ? 2et ?t=(2x 2y 2x 2y + )( ? ) cos θ sin θ cos θ sin θ即x2 y2 ? 2 =1。 cos 2 θ sin θ? 10 ?x = + t cos α 2．解：设直线为 ? (t为参数) ，代入曲线并整理得 ． 2 ? y = t sin α ?(1 + sin 2 α )t 2 + ( 10 cos α )t + 3 =0 23 2 则 PM ? PN = t1t2 = 1 + sin 2 α所以当 sin2α = 1 时，即 α =π2， PM ? PN 的最小值为3 π ，此时 α = 。 4 212数学选修 4-5 [基础训练 A 组]不等式选讲一、选择题 的是（ 1．下列各式中，最小值等于 2 的是（ ．下列各式中， A． ．）x y + y xB． ．x2 + 5 x +42C． tan θ + ．1 tan θyD． 2 x + 2? x ．2．若 x, y ∈ R 且满足 x + 3 y = 2 ，则 3 + 27 + 1 的最小值是（ ． 的最小值是（x）A． 3 3 9 ．B．1 + 2 2 ．C． 6 ．D． 7 ． ）3．设 x & 0, y & 0, A = ． A． A = B ． C． A ≤ B ．x+ y x y , B= + 的大小关系是（ ，则 A, B 的大小关系是（ 1+ x + y 1+ x 1+ yB． A & B ． D． A & B ．4．若 x, y , a ∈ R + ，且 x + ．y ≤ a x + y 恒成立，则 a 的最小值是（ 恒成立， 的最小值是（C．1 ． D． ．）A． ．2 2B． 2 ．1 25．函数 y = x ? 4 + x ? 6 的最小值为（ ． 的最小值为（ A． 2 ． B． 2 ． C． 4 ．） D． 6 ． ）6．不等式 3 ≤ 5 ? 2 x & 9 的解集为（ ． 的解集为（ A． [ ?2,1) ∪ [4, 7) ． C． ( ?2, ?1] ∪ [4, 7) ．B． (?2,1] ∪ (4, 7] ． D． (?2,1] ∪ [4, 7) ．二、填空题 1．若 a & b & 0 ，则 a + ．1 的最小值是_____________。 的最小值是 。 b(a ? b)a b b+m a+n , , , 按由小到大的顺序排列为 b a a+m b+n2．若 a & b & 0, m & 0, n & 0 ，则 ．3．已知 x, y & 0 ，且 x 2 + y 2 = 1 ，则 x + y 的最大值等于 ． 的最大值等于_____________。 。 4．设 A = ．1 1 1 1 + 10 + 10 + ?? + 11 的大小关系是_____________。 ，则 A 与 1 的大小关系是 。 10 2 2 +1 2 + 2 2 ?1135．函数 f ( x ) = 3 x + ． 三、解答题12 ( x & 0) 的最小值为 的最小值为_____________。 。 x22 2 21．已知 a + b + c = 1 ，求证： a + b + c ≥ ． 求证：1 32．解不等式 x + 7 ? 3 x ? 4 + 3 ? 2 2 & 0 ．3．求证： a + b ≥ ab + a + b ? 1 ．求证：2 24．证明： 2( n + 1 ? 1) & 1 + ．证明：1 1 1 + + ... + &2 n 2 3 n14数学选修 4-5 [综合训练 B 组]一、选择题 1．设 a & b & c, n ∈ N ，且 ． A． 2 ． B． 3 ．不等式选讲n 1 1 + ≥ 恒成立， 的最大值是（ 恒成立，则 n 的最大值是（ a?b b?c a?c C． 4 D． 6 ． ．） D．最小值 ?1 ．）x2 ? 2x + 2 2． 若 x ∈ ( ?∞,1) ，则函数 y = ． 有（ 2x ? 2A．最小值 1 ． 3．设 P = ． B．最大值 1 ． C．最大值 ?1 ．2 ， Q = 7 ? 3 ， R = 6 ? 2 ，则 P, Q, R 的大小顺序是（ 的大小顺序是（B． P & R & Q ． D． Q & R & P ．3 3 2 2）A． P & Q & R ． C． Q & P & R ．的取值范围是（ 4．设不等的两个正数 a, b 满足 a ? b = a ? b ，则 a + b 的取值范围是（ ． A． (1, +∞) ． C． [1, ] ． B． (1, ) ． D． (0,1) ．）4 34 35．设 a, b, c ∈ R + ，且 a + b + c = 1 ，若 M = ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ，则必有（ ． 则必有（ A． 0 ≤ M & ．1 a1 b1 c）1 8B． ．1 ≤ M & 1 C．1 ≤ M & 8 ． 8D． M ≥ 8 ．6．若 a, b ∈ R + ，且 a ≠ b, M = ． A． M & N ． 二、填空题 B． M & N ．a b + , N = a + b ，则 M 与 N 的大小关系是 b aC． M ≥ N ． D． M ≤ N ．1．设 x & 0 ，则函数 y = 3 ? 3 x ? ．1 的最大值是__________。 的最大值是 。 x2．比较大小： log 3 4 ______ log 6 7 ．比较大小： 3．若实数 x, y , z 满足 x + 2 y + 3 z = a ( a为常数) ，则 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为 若实数 4．若 a, b, c, d 是正数，且满足 a + b + c + d = 4 ，用 M 表示 ． 是正数，a + b + c, a + b + d , a + c + d , b + c + d 中的最大者，则 M 的最小值为 中的最大者， 的最小值为__________。 。5．若 x ≥ 1, y ≥ 1, z ≥ 1, xyz = 10 ，且 x ．lg x? y lg y ? z lg z ≥ 10 ，则 x + y + z = _____ 。15三、解答题 1．如果关于 x 的不等式 x ? 3 + x ? 4 & a 的解集不是空集，求参数 a 的取值范围。 ． 的解集不是空集， 的取值范围。a2 + b2 + c 2 a + b + c 2．求证： ≥ ．求证： 3 3求证： n 3．当 n ≥ 3, n ∈ N 时，求证： 2 ≥ 2( n + 1) ．4．已知实数 a, b, c 满足 a & b & c ，且有 a + b + c = 1, a 2 + b 2 + c 2 = 1 ． 求证： 求证： 1 & a + b &4 316数学选修 4-5 [提高训练 C 组]一、选择题不等式选讲1．若 log x y = ?2 ，则 x + y 的最小值是（ ． 的最小值是（）A． ． C． ．33 2 23 2 3B． ． D． ．23 3 32 32a b c d + + + ， a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b+ 2． a, b, c ∈ R ，设 S = ．则下列判断中正确的是（ 则下列判断中正确的是（ ） A． 0 & S & 1 B．1 & S & 2 ． ． D． 3 & S & 4 C． 2 & S & 3 ． ． 3．若 x & 1 ，则函数 y = x + ． A．16 ． C． 4 ． B． 8 ． D．非上述情况 ．1 16 x + 的最小值为（ 的最小值为（ x x2 + 1）4． b & a & 0 ， P = ． 设 且a+b a2 + b2 Q R ， = ， M = ab ， N = ， = ， 1 1 1 1 2 2 + 2 + a2 b a b22则它们的大小关系是（ 则它们的大小关系是（ A． P & Q & M & N & R ． C． P & M & N & Q & R ． 二、填空题 1．函数 y = ．） B． Q & P & M & N & R ． D． P & Q & M & R & N ．3x ( x & 0) 的值域是 x + x +12.2．若 a, b, c ∈ R + ，且 a + b + c = 1 ，则 a + b + ．c 的最大值是.3．已知 ?1 & a, b, c & 1 ，比较 ab + bc + ca 与 ?1 的大小关系为 ． 4．若 a & 0 ，则 a + ．1 1 ? a 2 + 2 的最大值为 a a.5．若 x, y , z 是正数，且满足 xyz ( x + y + z ) = 1 ，则 ( x + y )( y + z ) 的最小值为 ． 是正数， 最小值为______。 。17三、解答题 求证： 1． 设 a, b, c ∈ R ，且 a + b = c ，求证： a 3 + b 3 & c 3 ．+ 2 2 22．已知 a & b & c & d ，求证： ． 求证：1 1 1 9 + + ≥ a ?b b?c c ?a a ? d+ 的大小。 3．已知 a, b, c ∈ R ，比较 a + b + c 与 a b + b c + c a 的大小。 ．3 3 3 2 2 24．求函数 y = 3 x ? 5 + 4 6 ? x 的最大值。 ． 的最大值。5．已知 x, y , z ∈ R ，且 x + y + z = 8, x 2 + y 2 + z 2 = 24 ． 求证： 求证：4 4 4 ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 3, ≤ z ≤ 3 3 3 318数学选修 4-5一、选择题 1．D ． 2．D ． 3．B ．不等式选讲 [基础训练 A 组]∵ 2 x & 0, 2? x & 0,∴ 2 x + 2? x ≥ 2 2 x 2? x = 23x + 33 y + 1 ≥ 2 3x ? 33 y + 1 = 2 3x +3 y + 1 = 7B= x y x y x+ y + & + = = A ，即 A & B 1+ x 1+ y 1+ x + y 1+ y + x 1+ x + y4．B ．x2 + y 2 x + y 2 ∵ ≥ ,即 x 2 + y 2 ≥ ( x + y) ， 2 2 2∴ x+ y ≥2 ( x + y ) ，而 x + y ≤ a x + y ， 21 1 2 ( x + y ) 恒成立，得 ≤ 恒成立， , 即a ≥ 2 a a 2即 x+ y ≥ 5．A ．y = x?4 + x?6 ≥ x?4+6? x = 2? 2 x ? 5 & 9 ? ?9 & 2 x ? 5 & 9 ??2 & x & 7 ? ?? ?? ，得 (?2,1] ∪ [4, 7) ? ? 2 x ? 5 ≥ 3 ?2 x ? 5 ≥ 3, 或2 x ? 5 ≤ ?3 ? x ≥ 4, 或x ≤ 1 ?6．D ．二、填空题 1． 3 ．( a ? b) + b +1 1 ≥ 3 3 ( a ? b) ? b ? =3 b( a ? b) b( a ? b)2． ．b b+m a+n a b b+m & & & 由糖水浓度不等式知 & & 1， a a+m b+n b a a+m b b+n a a+n a+n a & 1 ，得 & & 1 ，即 1 & & 且 & a a+n b b+n b+n b x+ y ≤ 2 x2 + y2 , x + y ≤ 2 x2 + y 2 = 2 23． 2 ． 4． A & 1 ．A=1 1 1 1 1 1 1 1 + 10 + 10 + ?? + 11 & 10 + 10 + 10 + ?? + 10 = 1 10 2 2 +1 2 + 2 2 ?1 2 2 2 2210 个5． 9 ．f ( x) = 3x +12 3 x 3x 12 3x 3 x 12 = + + 2 ≥ 33 ? ? =9 2 x 2 2 x 2 2 x2三、解答题2 2 2 2 1．证明：∵ a + b + c = ( a + b + c ) ? (2ab + 2bc + 2ac ) ．证明：19≥ (a + b + c) 2 ? 2(a 2 + b 2 + c 2 ) ∴ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2 = 1∴ a2 + b2 + c2 ≥另法一： 另法一：∵ a + b + c ?2 2 21 31 (a + b + c) 2 = a 2 + b2 + c 2 ? 3 31 = (2a 2 + 2b 2 + 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac) 3 1 = [(a ? b) 2 + (b ? c) 2 + (a ? c) 2 ] ≥ 0 3 ∴ a2 + b2 + c2 ≥ 1 32 2 2 2 2 2 2 另法二： 另法二：∵ (1 + 1 + 1 )( a + b + c ) ≥ ( a + b + c ) = 1即 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 1 ，∴ a + b + c ≥2 2 21 32．解：原不等式化为 x + 7 ? 3 x ? 4 + 2 ? 1 & 0 ． 当x&4 时，原不等式为 x + 7 ? (3 x ? 4) + 2 ? 1 & 0 32 4 2 ，即 & x & 5 + ； 2 3 2 4 时，原不等式为 x + 7 + (3 x ? 4) + 2 ? 1 & 0 3得 x & 5+当 ?7 ≤ x ≤ 得x&?1 2 1 2 4 ? &x≤ ； ，即 ? ? 2 4 2 4 3当 x & ?7 时，原不等式为 x + 7 ? (3 x ? 4) + 2 ? 1 & 0 得x & 6?2 矛盾； ，与 x & ?7 矛盾； 2 1 2 2 ? & x & 5+ 2 4 2所以解为 ?3．证明：∵ ( a 2 + b 2 ) ? ( ab + a + b ? 1) ．证明：20= a 2 + b 2 ? ab ? a ? b + 1 1 = (2a 2 + 2b 2 ? 2ab ? 2a ? 2b + 2) 2 1 = [(a 2 ? 2ab + b 2 ) + (a 2 ? 2a + 1) + (b 2 ? 2b + 1)] 2 1 = [(a ? b) 2 + (a ? 1)2 + (b ? 1) 2 ] ≥ 0 2∴ a 2 + b 2 ≥ ab + a + b ? 14．证明：∵ ．证明：1 1 1 & & k +1 + k 2 k k ?1 + k 1 & 2( k ? k ? 1) k 1 1 1 + + ... + &2 n 2 3 n∴ 2( k + 1 ? k ) &∴ 2( n + 1 ? 1) & 1 +数学选修 4-5一、选择题 1．C ．不等式选讲[综合训练 B 组]∵a ?c a ?c a ?b +b?c a ?b+b?c b?c a?b + = + = 2+ + ≥4 a?b b?c a ?b b?c a ?b b?c 1 1 1 1 4 n ∴ + ≥ + ≥ 恒成立， ，而 恒成立，得 n ≤ 4 a?b b?c a?c a?b b?c a?c2．C ．y=( x ? 1) 2 1 x ?1 1 1? x 1 + = + ≤ ?2 ? = ?1 2x ? 2 2x ? 2 2 2( x ? 1) 2 2(1 ? x)3．B ．∵ 2 + 2 = 2 2 & 6,∴ 2 & 6 ? 2 ，即 P & R ；又∵6 + 3 & 7 + 2,∴ 6 ? 2 & 7 ? 3 ，即 R & Q ，所以 P & R & Q( a + b) 2 44．B ．a 2 + ab + b 2 = a + b, (a + b) 2 ? (a + b) = ab ，而 0 & ab &21所以 0 & (a + b) ? ( a + b) &2( a + b) 2 4 ，得 1 & a + b & 4 35．D ．M =(a+b+c a+b+c a+b+c (b + c)(a + c)(a + b) ? 1)( ? 1)( ? 1) = a b c abc≥8 ab bc ac =8 abc a b + b & 2 a, + a &2 b b a6．A ．∵ a ≠ b,∴∴a b a b + b+ + a & 2 b + 2 a ，即 + & b+ a b a b a二、填空题 1． 3 ? 2 3 ． 2． & ．y = 3 ? 3x ?1 1 ≤ 3 ? 2 3x ? = 3 ? 2 3 ，即 ymax = 3 ? 2 3 x xa b b ba b 设 log 3 4 = a, log 6 7 = b ，则 3 = 4, 6 = 7 ，得 7 ? 3 = 4 ? 6 = 4 ? 2 ? 3即3a ?b=4 ? 2b 4 ? 2b a ?b b = &1? a ?b & 0 ? a & b ，显然 b & 1, 2 & 2 ，则 3 7 73． ．a2 14∵ (12 + 22 + 32 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + 2 y + 3 z ) 2 = a 2a2 即 14( x + y + z ) ≥ a ，∴ x + y + z ≥ 142 2 2 2 2 2 24． 3 ．M≥1 (a + b + c + a + b + d + a + c + d + b + c + d ) 4 3 = (a + b + c + d ) = 3 ，即 M min = 3 45．12 ．lg( x lg x ? y lg y ? z lg z ) ≥ 1 ? lg 2 x + lg 2 y + lg 2 z ≥ 12 2 2 2 而 lg x + lg y + lg z = (lg x + lg y + lg z ) ? 2(lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x )= [lg( xyz )]2 ? 2(lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x) = 1 ? 2(lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x) ≥ 1即 lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x ≤ 0 ，而 lg x, lg y , lg z 均不小于 022得 lg x lg y + lg y lg z + lg z lg x = 0 ， 此时 lg x = lg y = 0 ，或 lg y = lg z = 0 ，或 lg z = lg x = 0 ， 得 x = y = 1, z = 10 ，或 y = z = 1, x = 10 ，或 x = z = 1, y = 10x + y + z = 12三、解答题 1．解：∵ x ? 3 + x ? 4 ≥ ( x ? 3) ? ( x ? 4) = 1 ．∴ ( x ? 3 + x ? 4 ) min = 1当 a ≤ 1 时， x ? 3 + x ? 4 & a 解集显然为 φ ， 所以 a & 1 2．证明：∵ (12 + 12 + 12 )( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ ( a + b + c) 2 ．证明：a 2 + b 2 + c 2 ( a + b + c) 2 ∴ ≥ 3 9 a2 + b2 + c 2 a + b + c ≥ 即 3 33．证明：∵ 2 = (1 + 1) = 1 + Cn + Cn + ...Cn ≥ 1 + Cn + Cn ．证明：n n 1 2 n 1 n ?1+ Cnn = 2(n + 1)∴ 2n ≥ 2(n + 1) （本题也可以用数学归纳法） 本题也可以用数学归纳法） ( a + b) 2 ? ( a 2 + b 2 ) 4．证明：∵ a + b = 1 ? c, ab = = c2 ? c ．证明： 2 ∴ a, b 是方程 x 2 ? (1 ? c) x + c 2 ? c = 0 的两个不等实根， 的两个不等实根，2 2 则 ?= (1 ? c ) ? 4(c ? c ) & 0 ，得 ?1 & c &1 32 而 (c ? a )(c ? b) = c ? ( a + b)c + ab & 0 2 2 即 c ? (1 ? c )c + c ? c & 0 ，得 c & 0, 或c &2 3所以 ?1 4 & c & 0 ，即 1 & a + b & 3 323数学选修 4-5一、选择题 1．A ． 由 log x y = ?2 得 y = 而x+ y = x+ 2．B ．不等式选讲提高训练 C 组]1 ， x21 x x 1 x x 1 1 3 = + + 2 ≥ 33 ? ? 2 = 33 = 3 2 2 x 2 2 x 2 2 x 4 2a b c d + + + a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b a b c d a+b+c+d & + + + = =1 a+b+c+d b+c+d +a c+d +a+b d +a+b+c a+b+c+d a a c c b b d d & & & & 即 S &1， ， ， ， a+b+c a+c c+d +a a+c b+c+d b+d d +a+b d +b a c c a b d d b + & + =1， + & + =1 得 a+b+c c+d +a a+c a+c b+c+d d +a+b d +b b+d a b c d + + + & 2 ，得 S & 2 ，所以 1 & S & 2 即 a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b 1 16 x 1 16 3．B y = x+ + 2 = x+ + ≥ 2 16 = 8 ． x x +1 x x+ 1 x R 为平方平均数，它最大 为平方平均数， 4．A ．二、填空题 1． [ ?3, 0) ．3x 3 1 1 = ，∵ x & 0,∴ x + ≤ ?2, 得 x + + 1 ≤ ?1 x + x +1 x + 1 +1 x x x 1 3 ?1 ≤ & 0 ? ?3 ≤ & 0 ? ?3 ≤ y & 0 1 1 x + +1 x + +1 x xy=22． 3 ． 3． & ．(1 ? a + 1 ? b + 1 ? c ) 2 ≤ (12 + 12 + 12 )(a + b + c) = 3构造单调函数 f ( x ) = (b + c ) x + bc + 1 ，则 f (1) = (1 + b)(1 + c ) & 0 ，f (?1) = (?1 + b)(?1 + c) = (1 ? b)(1 ? c) & 0 ，即 ?1 & x & 1 ， f ( x) & 0 恒成立， 恒成立，所以 f ( a ) = (b + c ) a + bc + 1 & 0 ，即 ab + bc + ca & ?1 4． 2 ? 2 ． 设 a +21 1 1 = t (t ≥ 2) ，则 a 2 + 2 = t 2 ，即 a + = t 2 + 2 2 a a a 1 1 t ? a 2 + 2 = t 2 + 2 ? t (t ≥ 2) ， y ' = ?1 & 0 a a t2 + 2 2 时， ymax = 2 ? 2再令 y = a +的减函数， 即 t ∈ [ 2, +∞) 时， y 是 t 的减函数，得 t =245． 2 ．( x + y )( y + z ) = xy + y 2 + yz + zx = y ( x + y + z ) + zx ≥ 2 y ( x + y + z ) zx = 2a b + =1 c c三、解答题 1．证明：∵ a, b, c ∈ R , ．证明：+∴0 &2 32 2 2 a b & 1, 0 & & 1, a 3 , b 3 , c 3 & 0 c c2 3a +b2c3a b a b a+b = ( )3 + ( )3 & + = = 1， ∴ a 3 + b 3 & c 3 c c c c c2 2 2 2 22．证明：∵ a & b & c & d ,∴ a ? b & 0, b ? c & 0, c ? d & 0 ．证明：∴(1 1 1 1 1 1 + + )(a ? d ) = ( + + )[(a ? b) + (b ? c) + (c ? d )] a ?b b?c c ?a a ?b b?c c?a≥ 33∴1 1 1 ? ? × 3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? d ) = 9 a?b b?c c?a1 1 1 9 + + ≥ a?b b?c c?a a ?d3 3 3是同序和， 3．解：取两组数： a, b, c 与 a 2 , b 2 , c 2 ，显然 a + b + c 是同序和， ． 取两组数：a 2b + b 2 c + c 2 a 是乱序和，所以 a 3 + b3 + c3 ≥ a 2b + b 2 c + c 2 a 是乱序和，4．解：函数的定义域为 [5, 6] ，且 y & 0 ．y = 3× x ? 5 + 4 × 6 ? x≤ 32 + 42 × ( x ? 5) 2 + ( 6 ? x )2 =55．证明：显然 x + y = 8 ? z , xy = ．ymax = 5( x + y)2 ? ( x2 + y 2 ) = z 2 ? 8 z + 20 2∴ x, y 是方程 t 2 ? (8 ? z ) x + z 2 ? 8 z + 20 = 0 的两个实根， 的两个实根，由 ?≥ 0 得4 4 4 ≤ z ≤ 4 ，同理可得 ≤ y ≤ 4 ， ≤ x ≤ 4 3 3 325
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